Baixe Curso pratico de Matematica - Paulo Bucchi - vol 2 e outras Notas de aula em PDF para Eletrônica, somente na Docsity! Caro estudante Este livro foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de facilitar o seu aprendizado, tornando-o mais dinâmico e prazeroso. Procurei aproveitar o maior espaço possível no desenvolvi- mento e na abrangência dos tópicos estudados, com a preocupação de utilizar exemplos e aplicações simples e práticas no trato da informação matemática, relacionando o assunto com situações reais. Para ampliar seus conhecimentos, introduzi pequenos textos da história da matemática associados a biografias sucintas de grandes mestres. Também inseri questões de vestibulares das mais diversas faculdades e regiões do Brasil, com o objetivo de alargar seus horizontes para as etapas seguintes de sua vida aca- dêmica. Bom trabalho! Paulo Bucchi O SUMÁRIO CAPÍTULO 1 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 1 1.1 Segiências, 1 Termos de uma sequência, 2 1.2 Segiências numéricas, 2 Classificação das sequências numéricas, 4 Lei de formação de uma sequência, 4 1.3 As progressões aritméticas, 6 Definição, 6 Classificação de uma P A. quanto à razão, & 14 Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética, 9 1.5 Interpolação aritmética, 12 16 Propriedades das progressões aritméticas, 13 17 Soma dos termos de uma progressão aritmética finita, 14 Gauss, genialidade desde a infância, 14 Dedução da fórmula da soma, 15 18 Formas de se representar uma progressão aritmética, 18 1.9 Resumo, 21 1.10 Questões de revisão e aprofundamento, 21 CAPÍTULO 2 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS ... 2 2.1 As progressões geométricas, 24 As segiências em versos, 24 Definição de progressão geométrica, 25 Classificação das progressões geométricas, 26 22 Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, 28 2.3. Interpolação geométrica, 31 24 Propriedades das progressões geométricas, 32 25 26 21 Soma dos termos de uma progressão geométrica finita, 32 Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, 35 A interminável corrida de Aquiles, 35 Dedução da fórmula da soma de uma P. G. infinita, 36 Produto dos termos de uma progressão geométrica finita, 39 Sinal do produto P,, 39 2.8 Formas de se representar uma progressão geométrica, 41 29 2.10 211 Questões que envolvem progressão aritmética e progressão geométrica, 42 Resumo, 44 Questões de revisão e aprofundamento, 44 CAPÍTULO 3 NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIR 4 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310 Os números no mundo das finanças, 49 Razão centesimal ou porcentagem, 49 Interpretação da porcentagem, 50 Questões envolvendo porcentagem, 50 Fator de aumento e fator de redução, 53 Fator de aumento, 53 Fator de redução, 55 Acréscimos e descontos sucessivos, 56 Operações comerciais, 58 Operação com lucro, 58 Operação com prejuizo, 59 Operações financeiras, 60 Juro,60 Capital (ou principal), 60 Montante, 60 Taxa de juros, 60 . Período, 60 Juros simples, 61 Fórmula para cálculo de juros simples, 61 Juros compostos, 63 Fórmula para cálculo dos juros compostos, 64 Juros compostos com taxas variáveis, 66 Inflação, 67 6.11 Sistemas escalonados, 146 Processo do escalonamento de um sistema linear, 146 6:12 Classificação e resolução de sistemas escalonados, 148 6.13. Discussão de sistemas utilizando o método do escalonamento, 151 6.14 Resumo, 152 6.15 Questões de revisão e aprofundamento, 153 CAPÍTULO 7 ANÁLISE COMBINATÓRIA .... 157 74 Introdução, 157 7.2 Problemas de contagem, 158 Árvore de possibilidades, 158 Princípio fundamenta! da contagem, 158 7.3 Fatorial de um número, 160 74 Arranjos simples, 163 Cálculo do número de arranjos simples, 163 7.5 Permutações simples, 167 = Cálculo do número de permutações simples, 168 7.6 Combinações simples, 170 Cálculo do número de combinações simples, 171 7.7 Agrupamentos com repetição, 176 Arranjos com repetição, 176 Permutações com repetição, 177 78 Resumo, 179 7.9 Questões de revisão e aprofundamento, 179 CAPÍTULO 8 BINÔMIO DE NEWTON... 182 8.1 Números binomiais, 182 Definição, 182 Números binomiais complementares, 183 8.2 Propriedades dos números binomiais, 183 Primeira propriedade, 183 Segunda propriedade, 185 8.3 Triângulo de Pascal, 186 84 Propriedades do triângulo de Pascal, 187 Primeira propriedade, 187. Segunda propriedade. 187 Terceira propriedade, 188 — Quarta propriedade, 188 Quinta propriedade, 190 Sexta propriedade, 191 8.5 O binômio de Newton, 192 Fórmula do binômio de Newton, 192 Termo geral, 193 86 Resumo, 196 8.7 Questões de revisão e aprofundamento, 197 CAPÍTULO 9 PROBABILIDADES ...... 200 9.1 Introdução, 200 9.2 Experimentos determinísticos e aleatórios, 201 9.3 Espaço amostral, 201 9.4 Eventos, 202 Evento certo, 202 Evento impossível, 202 9.5 Operações com eventos, 203 União de eventos, 203 Intersecção de eventos, 204 Eventos complementares, 204 9.6 Probabilidade de um evento, 206 Propriedades das probabilidades, 209 9.7 Probabilidade da união de dois eventos, 211 9.8 Probabilidade do evento complementar, 214 9.9 Probabilidade condicional, 216 9.10 Produto de probabilidade, 219 Eventos independentes, 219 9.11 Lei binomial de probabilidade, 223 9.12 Resumo, 226 9.13 Questões de revisão e aprofundamento, 227 CAPÍTULO 10 GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO .......... 229 10.1 Introdução, 229 10.2 10.3 10.4 105 10.6 10.7 10.8 10.9 Conceitos e postulados, 230 Ponto—reta—plano,230 Semireta, 231 Semiplano,231 Espaço e semiespaço, 232 Postulados e teoremas, 232 Postulado fundamental, 232 Postulados da reta, 232 Postulado 1: da existência, 232 Postulado 2: da determinação, 232 Postulado 3, 233 Postulado do plano, 233 Postulado 1: da existência, 233 Postulado 2: da determinação, 233 Postulado 3: da inclusão, 233 Postulado 4, 234 Posições relativas de duas retas no espaço, 235 Retas concorrentes, 235 Retas paralelas, 235 Retas reversas, 235 Retas perpendiculares, 236 Retas ortogonais, 236 Determinação de planos, 237 Posições relativas de uma reta e um plano, 239 Reta contída no plano, 239 Reta concorrente ou secante ao plano. 240 Reta paralela ao plano, 240 Posições relativas de dois planos, 241 Planos secantes, 241 Planos paralelos distintos, 242 Planos paralelos coincidentes, 243 Perpendicularismo, 244 Perpendicularismo de reta e plano, 244 Perpendicularismo entre planos, 244 10.10 Projeção ortogonal, 247 Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano, 247 Projeção ortogonal de uma figura geométrica, 248 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano, 248 10.11 Distâncias, 248 Distância entre dois pontos, 248 Distância entre um ponto e uma reta, 249 Distância entre duas retas paralelas, 249 Distância entre um ponto e um plano, 249 Distância entre dois planos paralelos, 249 Distância entre uma reta e um plano paralelo a ela, 249 Distância entre duas retas reversas, 250 10.12 Ângulo entre reta e plano, 250 10.13 Diedro, 250 Secção normal de um diedro, 251 Medida de um diedro, 251 10.14 Triedro, 251 Tredro triretânguio, 252 caríruLo | PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 1.1 Seguências 1.7 Soma dos termos de uma progressão 12 Seguências numéricas aritmética finita 1.3 As progressões aritméticas 18 Formas de se representar uma 1.4 Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética progressão aritmética 19 Resumo 1.5 Interpolação aritmética ' ci 18: Propridados das pigros 1.10 Questões de revisão e aprofundamento aritméticas 11 SEQUÊNCIAS A palavra segiiência significa encadeamento, sucessão de elementos. Na natureza, podemos en- contrar inúmeros exemplos de se- quências. Na ilustração ao lado, obser- ve que há uma segiiência na evolu- ção da espécie humana. Nos conjuntos, vale lembrar que a ordem em que os elementos 5" , , ' são colocados não importa. Assim, se A = (a,b,c)eB= (b,a,c), então A = B. Passaremos a estudar agora conjuntos cuja ordem dos elementos é importante. Tomemos como exemplo as notas musicais dó, ré, mi, fá, sol, lá e si. F Bo 2 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA Existem 5.040 maneiras diferentes de formar o mesmo conjunto com esses elementos. Vamos citar apenas quatro: A = (dó, ré. mi, fá. si, sol, lá) = (dó, ré, mi, fá, lá, si. sol) C = (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si) = (dó, ré, mi, fá, sol, si, lá) Observe que o conjunto € = (dó, ré, mi. fá, sol, lá, si) apresenta uma particularidade que os outros não têm: seus elementos seguem a ordem da escala musical. Conjuntos que têm seus ele- mentos segundo uma ordem preestabelecida são denominados segiências ou sucessões, ou seja: Sequência ou sucessão é todo conjunto cujos elementos estão dispostos em uma determinada ordem. Termos de uma sequência Os elementos de uma sequência são seus termos, que indicaremos entre parênteses. Assim, no exemplo das notas musicais, temos a segiência (dó, ré, mi, fá, sol. lá, si) em que dó é o primeiro termo, que indicamos por a, (a, = dó); ré é o segundo termo, que“indicamos por a(a, = ré), e assim sucessivamente, até o termo a, = si. De modo geral. uma sequência com n termos é indicada por: (a,.02,.03. 0,04) a, o segundo termo da segiiência a, O primeiro termo da sequência sendo a, O n-ésimo termo da sequência O elemento a, é denominado termo geral. pois pode representar qualquer termo da sequência. Exemplo Paran = 1,a, representa o primeiro termoa, e paran = 2,4, representa o segundo termo a.,, e assim por diante. 12 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Várias situações que ocorrem na natureza seguem padrões matemáticos denominados sequências numéricas. Algumas dessas sequências podem ser observadas, por exemplo, em biologia quando estudamos o crescimento de bactérias, plantas e algas. + LECTON CAPÍTULO 7 + PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 3 Na música, as fregiúências com que vibram as oitavas de uma nota musical formam uma sequência. Outros exemplos em que podemos aplicar essas sequências são: em juros compostos, na valorização e depreciação de bens e nas taxas de produção industrial. A história das segiiências numéricas é muito antiga. Alguns povos, como os babilônios, por exemplo. registravam em tabletas as segiiências formadas por quadrados e cubos de números inteiros. No século VI, os pitagóricos estudavam segúências de números inteiros. Eles associavam essas sequências a figuras geométricas, constituindo, assim, os números figurados. A hM. Sequência de números triangulares Avançando no tempo, vamos encontrar, no século XIII, a sequência (1. 1,2,3,5,8, 13, 21, ...). bastante famosa e conhecida como sequência de Fibonacci, com muitas propriedades importantes. Na foto ao lado, por exemplo, podemos encontrar a segiiência de Fibonacci. Olhando a pinha por baixo, vemos que os pinhões for- mam espirais que estão no sentido horário e outras que estão no sentido anti-horário. A dé- cima terceira espiral do sentido horário (ver fio amarelo) sai do mesmo ponto que a oitava espiral do sentido anti-horário (ver etiquetas amarelas), uma percorre no sentido horário e outra no sentido anti-horário e voltam a se en- contrar novamente. O 8 e o 13 são números que pertencem à segiência de Fibonacci. em que cada número é a soma dos dois anteriores. Veremos dois tipos importantes de se- quência numérica. Neste capítulo. estudare- mos as progressões aritméticas e no próximo. as progressões geométricas. Sequência de Fibonacci na pinha Leonardo de Pisa (1175-1250) Talentoso matemático italiano, conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccil. Seu interesse pela matemática foi despertado nas longas via- gens que fez a vários países, como Grécia e Egito. Escreveu vários livros, dos quais Liber abaci, publicado em 1202, é o mais conhecido. á 6 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA. JPMO! Escreva a sequência cujos termos são definidos por: a-+ 2 sene(1,2,3,4) ag. = 2 i : — |J2n+3,semépar IBN Escreva a sequência dofnida por a, = [273.88 népe , sendo n E (1,2,3,4,5). e as RR SS SD eee oe HM Na sequência a, = 2 + 3n,com n EN”, o valor de a; — a, é: a) 88 b) 42 c) 36 d) 84 e) nda FEZ (Uneb-BA) Os termos de uma sequência são definidos por a, , = a, -(2"-' + 1).Se a; = 3, então as é igual a: a) 105 b) 459 e 119 d) 135 e) 384 BEBE Os termos da famosa sequência de Fibonacci são definidos por a, ., = a, + a, em que aj=a=1,comneiN*en 2. O valor do termo a, é: a) 55 b) 76 c) 89 d) 144 e) nda 13 AS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Definição Considere a sequência (4, 8, 12, 16, 20). Observe que, ao subtrair de cada termo, a partir do segundo, o seu antecessor, vamos obter um valor constante igual a 4. Acompanhe: a-a=8-4=4 a-a,=12-8=4 a-a=16-12=4 a;—-a,=20- 16=4 Ao proceder da mesma forma com a sequência (4, 0, —4, —8, — 12), vemos que o valor constante agora é —4: a-a=0-4=-4 a-a=-4-0=-4 a-a=-8-(-4)=-8+4=-4 as-a=-I2-(-8)=-12+8=-—4 Segiiências como essas que acabamos de ver são chamadas progressões aritméticas (P.A.), e o valor constante que obtivemos em cada caso denomina-se razão da P.A., ou seja: Progressões aritméticas são segiências de números reais em que a diferença entre cada termo e o seu anterior, a partir do segundo, é um valor constante r, denominado razão da P.A. Dessa forma. se a segiiência (a, à. A, ..., 4, -p- 4,) É uma P.A,, então: AA =447TA=w=G—A ET Mpendtução prostida. AM 104 do Cddigo Penal é Ar 3 um Ler 004/71 TD TTT[[[[——— CAPÍTULO 1 + PROGRESSÕES ARMMÉTICAS 7 Exemplos a ge e 3 DE SA 1. Verificar se a sequência (+ 7 3) é uma P.A. Resolução Para saber se a segiiência dada é uma P.A.. devemos fazer: dad Si 4 4 2 4 1 1 1 q q Portanto, a sequência (5 1, +. 5) éumaP.A. 2. Os números 6, 4x e 6x + 4 são termos consecutivos de uma P.A. Determinar 0 valor de x. Resolução 6, 4x, 6x+4 a, a 8 De acordo com a definição, temos: -a=a,-a;>4x-6b=br+4-4 => => d4r-brtdr=4+6>2=1051=5 3. Determinar a razão da progressão aritmética [x = 2x. 5 ) Resolução - Como a segiiência dada é uma P.A.. para determinar a razão basta escolher qualquer termo (exceto o primeiro) e subtrair seu antecessor. Escolhendo o último termo, temos: 4. As medidas dos lados de um triângulo estão em progressão aritmética nesta ordem: 2x —3,xe2x — 5. Determinar o perímetro desse triângulo. Resolução ae X. LE = a: Co leg TE Assim: G—0,=04-0,=>x-(2x-3)=2%-5S-y> rx-UW+3=2-5-r>x=4 Dessa forma, obtemos: aq=R-3)=>4,=2:4-3>54,=5 =x => 0,=4 = -S=>a,=2:4-5>0,=3 Os lados do triângulo medem 5, 4 e 3. Logo, o perímetro é 12, 8 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA Classificação de uma P.A. quanto à razão As progressões aritméticas podem ser classificadas em: * Crescentes: Quando a razão é positiva. Por exemplo: (0.3, 6,9...) sendor = 3(r > 0) * Decrescentes: Quando a razão é negativa. Por exemplo: (8, 5, 2, —1, —4, ...), sendo r=-3(r<0) * Constantes: Quando a razão é nula. Por exemplo: (5, 5, 5.5, ...), sendo r = O a) (3x,x,-x,-3x,..) d) (11,7,4,0,-4,..) (4-2, -$) 9(3 5.455...) e) (5 4; > 0, -—+. =1) Pas a razão de cada P.A. a($.15) DMZ, JE, JE.) b) (-2,0,2,4,..) 8) (183,7,1.-5,.) HEHE sendo x + 3, x + 5 e 4x — 2 números consecutivos de uma PA, determine o valor de x. HEM As medidas dos tados de um triângulo estão em P.A,, nesta ordem: x + 4, 2x +465x- 2. Deter- mine o perímetro do triângulo. BMG! (Faap-SP) A sequência xº, (x + 15, (x + 3) é uma P.A. Calcule o valor de x. BEM O valor de a paraque (a + 1,2 +5,39 + 1) seja uma progressão aritmética é: a)1 bjo c) -2 d)4 e) nda BEBE Para que a progressão aritmética de razão r = 5 — 2x seja decrescente, x deve assumir valores no intervalo: sb og 0JLH otra Jr HE (FGv-sP) A sequência (3m, m + 1,5) é uma PA. Sua razão é: a) -3 d) 7 b3 e) impossível de se determinar o 7 BRR (U. Caxias do Sui-RS) O valor de x para que a sequência (2x, x + 1, 3x) seja uma progressão aritmética é: as ») 5 q3 9 + 2 eee CAPÍTULO 1 PROGRESSÕES ARTMÉTICAS 1 a, a; a+6r=4:(a;+r) ide Ee '» = => atdrta+8r=ãa40 a,+6r = 20 a +6r = 20 3 AE 10a, =0 > a = Escolhendo uma das equações e substituindo a; por 2, temos; dare DSO ES fre es E O décimo segundo termo é: InSa+tllr=a,=2+11-3 > aun=35 f) = 2 8. Seja f(n), comn E IN, uma segiiência definida por: far) = fas n se n Determinar o valor de SO). Resolução * Paran = 1, temos: fa+D=AD+s PAD=D+AS => A)=2+5 > f2)=7 * Paran = 2, temos: fe+D=A0+s SI3)=7+55 f3)=12 Observe que obtivemos uma P.A. do tipo (HI), F2), f(3), “s f(20)) em que a, = f(1) = 2, n=2M0er=s5. O último termo da P.A. é f(20) = asp. portanto: In=0, +19 > ay=2+19.5 P40=2+95 > f(20)=97 Ao ERERCIMOS PRO POSTOS O primeiro termo de uma PA. é3€e0 último é9. Escreva a P.A., sabendo que o número de termos é igual à razão. Emuma PA. o primeiro termo é 2 e o sexto é 17. Qual é a razão dessa PA ? Escreva a P.A, cujo segundo termo é 18 e o décimo é —6. A diferença entre o quinto e o segundo termo de uma P.A. é 1. Calcule a razão. HBBRM Em uma P.A, o sexto termo é o triplo do segundo. Calcule o décimo termo, sabendo que a soma do terceiro com o quinto é 40. BZ Determine o centésimo número natural impar. IBIZS! Determine quantos múltiplos de 7 existem entre 100 é 1.000. [REZA (FEI-SP) Ache o décimo termo da PA. (a, 2...) cem me me WEB! O segundo e o quarto termo de uma P.A, valem, respectivamente, x e y. O primeiro termo é: + by SE o A dx-y e) nda 12 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA MES] sendo o terceiro termo de uma P.A. igual a 21 e o oitavo igual a 6, o seu vigésimo termo será: a) 10 b) -10 c) 30 d) —30 e) -15 MEME O 135º número natural impar é igual a: a) 270 b) 269 c) 135 d) 271 e) 273 BEM O primeiro termo de uma progressão aritmética, com a, = 12 e razão iguala 5, é: a) —18 b) 18 c) 42 d) —42 e2 MHZ se a sequência (a, 2a — 1, ...) é uma PA. e o quarto termo é igual a 21, calcule a razão. a) 6 b)5 eo1 dB e) 10 GE Em uma PA. sabe-se que à,; = 10 à,, = 22. O décimo terceiro termo é: a) 34 b) 24 c) 28 d) 30 e) 44 MEM (Unicap-PE) Sabe-se de uma P.A. que a soma do sexto termo com o décimo sexto é 58 e que o quarto termo é o quádruplo do segundo. Qual, entre os números abaixo, não é termo dessa pro- gressão? a) 8 bm c) 20 d) 25 e) —1 MES (UECE) Seja (a,. à>, à, a, às) uma P.A. crescente. Se a, e a; são as raízes da equação x — 16x — 36 = 0, então a, — a, é igual a as b) 4 cos 6 e) nda BEM A soma dos termos extremos de uma progressão aritmética de 9 termos é igual a 26. Se o terceiro termo dessa progressão é 5, a razão é: a) 6 b)4 o) dj2 e MEME (FURG-RS) Que relação deve existir entre os números a, b e c para que sejam, respectivamente, O quinto, o oitavo e o décimo quarto termo de uma progressão aritmética? aj3a-b+4c bja= SE c-4-3a ga-LÍ% a-40-3b dons H0)=1 HE gacien-sP) Se A com E é uma sequência doca es [17 7, - Nm+3 , então a) 597 b) 600 c) 601 d) 604 e) 607 15 INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Interpolar (ou inserir) k meios aritméticos entre dois números a e b significa obter uma P.A. de extremos a, = a e a, = b, com (k + 2) termos. Exemplo Interpolar seis meios aritméticos entre 4 e 39. Resolução Devemos ter a seguinte P.A.: (EEEB 6 termos DB) Temos a, = 4,e a, = 39.Comok = 6,entãon =k + 2,ouseja,n = 8. e q. CAPÍTULO 1 + PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 13 Agora, para interpolar seis meios aritméticos, basta determinar a razão da P.A.: a=at(n-Dr>30=4+(8-D):r=535=7>r=s Portanto, a P.A. é (4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39). Meios interpolados Interpole quatro meios aritméticos entre 2 e 27. Interpole oito meios aritméticos entre 5 e 50. HBEZA Insira seis meios aritméticos entre + e 2. (ÉS rn voe mc atemóncos cn 1545, qu 6 o seo emo ca PA. con? BRAS (F.C. M. Santos-SP) Inserindo cinco meios aritméticos entre 18 e 138, obtemos a razão: a) 138 b)5 c) 30 d) 25 e) 20 o Interpolando-se m termos, com m E Ne m > 1, entre 1 e m”, obtém-se uma P.A. de razão igual a: a) Jm 51 bm+2 dm-1 9 E e) m+1 BEBE (U. Taubaté-sP) O número mínimo de termos que se deve interpolar entre os números a = 10e b = 100, para que a P.A. assim formada tenha razão menor que >, é: a) 134 b) 133 c) 100 d) 10 e) 135 1.6 PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Vejamos agora duas importantes propriedades das progressões aritméticas: Primeira propriedade A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. é igual à soma desses extremos. Exemplo Seja a P.A. (10, 20, 30, 40, SO, 60, 70). Os termos a; e a; estão igualmente distantes dos extremos a, e a,, respectivamente. Observe que:a, taç=a,+a,=80 ; = dEssaê 16 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA Exemplos 1. Calcular a soma dos quinze primeiros termos da P.A. (3,5, 7,9, ...). Resolução Temos:n =15,4,=3,r=5-3=2€e8,5,=? Vamos, inicialmente, calcular o valor de a ,s: as=a,+1l4r => aç=3+14:2=>a,.=31 Aplicando a expressão da soma, temos: (aj+as) Ss = 2 n > S= CO ss = s,=11"15=8,=255 2. A soma dos cinco primeiros termos de uma P.A. é 45. Sabendo que a, = 1, calcular a razão. Resolução Temos:S,=45,a,=l,jn=5Ser=? s,= (050) no 8, = (tattoo pg, Cut) o, = 45= Eilta) so +4p= DO =2+4=I8>r=4 3. Determinar a soma dos n primeiros números pares positivos. Resolução AP.A. é(2,4,6,8,...). emquea, =2er =2. a=a+t(n-Der=>a=2+(n-1)-2=>4,=2+2n-2=>a,=2n o . — 2+2m). - Qn+2nº io 2 E RS get n>s, e pe > S=n+n 4. Determinar a soma dos múltiplos de 9 compreendidos entre 65 e 249. Resolução a=a+t+(n-D:r=>283=2+(n-D)9>17=(n-1):9>n=20 Substituindo os valores na fórmula da soma da P.A., temos: s= “5. = Sy= Emo. s=3180 >>>, CAPÍTULO 1 + PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 17 5. (F. M. Pouso Alegre-MG) Um coronel dispõe seu regimento num triângulo completo, colocando um homem na primeira linha, dois na segunda, três na terceira, e assim por diante. Forma, assim, um triângulo com 171 homens. Qual é o número de linhas? Resolução Formando o triângulo dessa maneira, obtemos uma P.A. de razão 1 cujo primeiro termo é 1. Assim, temos: a=a+t(n-D)er=> >a=l+(n-D:I=>a,=n Em (o +00) rã > m= 1 ns =>nº+n=342=n'+n-342=0 Resolvendo a equação, obtemos n = 18, que é o número de linhas. or ires Calcule a soma dos trinta primeiros termos da P.A. (3, 8, 13, 18, IN Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.A. (E, =: 7 Le) Quantos termos deve ter a P.A. (9, 6,3, -), para que a soma seja nula? (FGV-SP) Quantos termos devemos tomar na progressão aritmética (—7, —3, soma valha 3.150? a fim de que a MBB A soma dos sete primeiros termos de uma P.A. é 84. Sabendo-se que a, = 3, calcule a razão. MBB Determine a soma dos n primeiros números ímpares positivos. MEME Calcule x nas equações: a1t+4+7+.+x=117 b)5+x+.. +30 = 105 HEM (U. E. Ponta Grossa-PR) Em uma P.A, finita temos a, = 8e a, = 38. Calcule a soma dos termos dessa P.A., sabendo que o número de termos é igual à razão. HEIME Ao comprar um terreno, uma pessoa paga R$ 1.750,00 de entrada e o restante em prestações men- x sais consecutivas e de valores crescentes, durante: três anos. Sendo a primeira prestação de R$ 650,00, a segunda de R$ 700,00, a terceira de R$ 750,00, e assim por diante, qual é o total pago pelo terreno? a e BEE Em uma P.A. de quatro termos, a soma deles é 42. Sabendo que o primeiro termo é 3, calcule a razão. a)8 b)3 c) 15 a) 5 8) nda 18 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA. WE25) A soma de três números inteiros positivos e consecutivos é 3a. O menor deles é: aja-1 b) 2a ca da-z e) necessariamente 1 HZ] Um teatro tem 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim sucessivamente até a vigésima fila, que é a última. O número de poltronas desse teatro é: a) 92 c) 150 e) 1.500 b) 132 d) 1.320 FEZm (FGV-SP) Um automóvel percorre no primeiro dia de viagem uma certa distância x; no segundo dia, percorre o dobro do que percorreu no primeiro dia; no terceiro dia, percorre O triplo do primeiro dia; e assim sucessi- vamente. Ao final de 20 dias, percorreu uma distância de 6.300 km. A distância percorrida no primeiro dia foi de: a) 15km c) 20km e) 35km b) 30 km d) 25 km DEZ (F.M. ABC-SP) Em uma P.A. em que S, = 10e S, = 28, o primeiro termo é xº e a razão é x. Ache o valor de x. a > ») 2 91 d3 e)2 3 2 + B29 (Fesp-PE) Um corpo, em sua queda, percorre 7 m no primeiro segundo, e, em cada segundo que se segue, a distância percorrida vai aumentando constantemente de 9,8 m. A altura da queda após 11 segundos e a distância percorrida pelo corpo no último segundo são, respectivamente: a) 301me 102m c) 575me 102m e) 616me 105m b) 616mes6m d) 421me9Im BSM A soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 250 é igual a: a) 3.325 b) 3.850 c) 3.500 d) 3.825 e) 3.675 2x=a BRSE (Mackenzie-SP) Seja a função y = 3, Cujo conjunto imagem é (0, 1, 2, 3, ..., 20). A soma de todos os elementos do domínio da função é: a) 210 b) 231 c) 400 d) 441 e) nda MESZ (Cesgranrio) Se X = (1 + 3 +... + 49) é a soma dos números ímpares de 1 a 49, e Y=(2+4 +... + 50) é a soma dos números pares de 2 a 50, então X — Y vale: a) -50 b) -25 do d) 25 e) 50 1.8 FORMAS DE SE REPRESENTAR UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Em alguns casos, quando temos problemas envolvendo soma e produto de termos de uma P.A., é conveniente representar seus termos conforme segue: * P.A. com dois termos: (x — r,x + 1) * P.A, com três termos: (x — r,x,x + r) * P.A. com quatro termos: (x — 3r,x — r,x + r,x + 3r) * P.A. com cinco termos: (x — 2r,x — r,x,x +r.x + 2r) 22 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA BEBE Determine a soma dos n primeiros termos de uma P.A. cujo termo geral é dado por: a= = -(3n—1) TE E ———e— — ME367 (U. Católica de Salvador-BA) Cônsidere a sequência [1, - 5, 5, -4, ..) na qualum termo e seu sucessor têm sinais opostos e denominadores consecutivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é: 0 D57 9% a 35 MES (U. E. Ponta Grossa-PR) O décimo termo da sequência [-5., É, E, .. ) vale: E E E MESES (U. Católica de Salvador-BA) Quantos múltiplos de 6 estão compreendidos entre os números —10 e 100? a) 18 b) 20 c) 24 d) 26 e) 28 MEME seja S uma sequência cujo termo genérico é a, = 4n — 7, com n € IN — (0). A soma dos 10 pri- meiros termos de S é: “ a) 135 b) 140 c) 150 d) 175 e) 180 S46! Um estacionamento cobra R$ 1,50 pela primeira hora. A partir da segunda hora o valor cai para R$ 1,00, até a décima segunda, quando chega a custar R$ 0,40. Assim, os preços caem em pro- gressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado cinco horas nesse local, quanto gastará seu proprietário? a) R$4,58 d) R$4,85 b) R$5,41 e) R$5,34 c) R$5,14 BEM (Mackenzie-SP) O maior dos ângulos extemos de um triângulo mede 160º. Se as medidas dos ângulos internos estão em P.A., dois deles medem: a) 60"e 100º b)60"e90 c) 20ºe 75º d)45ºe 105º e) nda BRAZ! A soma dos quadrados de três números naturais consecutivos é 194. A soma desses três números é: a) 20 b) 15 c) 18 d) 24 e) 30 MAS) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula S, = 31º — 5n. Se a, à; e a; são os três primeiros termos dessa progressão, então o valor da expressão aca -a, é: a) 240 b) -240 c) 320 d) -320 e) zero HEAR! Numa PA. finita, em que o segundo termo é 7 e o último é 31, a soma de seus termos é 136. Então, essa P.A. tem: a) Stermos d) 26 termos b) 10 termos e) 52 termos c) 16 termos BRAS! (E. F. O. Attenas-MG) Numa progressão aritmética de razão 0.5, o primeiro termo é 1 e a soma dos termos é 45. O número de termos dessa progressão é: a) 20 b) 16 o 15 d 12 9 “CAPÍTULO 1 « PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 23 HEa46 A soma dos n primeiros termos da sequência ( y = " gas 3 Ro : e) é igual a 53 quando n for igual a: as b) 6 co7 dB DR) PRM (UFRS) Uma coleção de n discos concêntricos é tal que seus raios estão em progressão arit- mética de razão r. Se o menor disco tem área x, o maior tem área igual a: a m-[n- 1) a [Ni+(n- 1) e) n vezes a do menor b)m:nr? dx: +n7? URB] Um esportista amador deseja participar de uma competi- e ção de marcha. Para isso, treina diariamente marchando z 33 km. Na primeira hora, consegue percorrer 5 km, e em é cada hora seguinte, 250 m menos que na anterior. O : número de horas que emprega nesse treino é: £ a) 4 & b8 8 c) 20 dy 21 e33 BRAS (Fesp-PE) Numa progressão aritmética finita, sabemos que a soma de seus termos é 5, que o último termo é & do primeiro e que a razão é o inverso do número de termos. Podemos afirmar então que o número de termos da progressão é: a) 8 b) 5 co) 4 d)6 es HESO Imagine uma sequência de triângulos equiláteros, cujas alturas medem 1 cm, 2 cm, 3 cm, ..., 99 cm. A soma dos perímetros desses triângulos é: a) 50/3m d) 99/3m b) 33.3m e) 198/3m c) 100/3m DEBE (Cesesp-PE) Dois andarilhos iniciam juntos uma caminhada. Um deles caminha uniformemente 10 km por dia e o outro caminha 8 km no primeiro dia e acelera o passo de modo a caminhar mais + km a'cada dia que se segue. Indique a alternativa correspondente ao número de dias cami- nhados para que o segundo andarilho alcance o primeiro. a) 10 b)9 co)3 d)5 e)21 caríruo 2 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 2.1 As progressões geométricas 2.7 Produto dos termos de uma progressão 22 Fórmula do termo geral de uma geométrica finita progressão geométrica 28 Formas de se representar uma 23 Interpolação geométrica progressão geométrica 24 Propriedades das progressões 29 Questões que envolvem progressão geométricas aritmética e progressão geométrica 25 Soma dos termos de uma progressão 2.10 Resumo geométrica finita 2.11 Questões de revisão e aprofundamento 2.6 Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita 2.1 AS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS As sequências em versos Civilizações antigas como a babilônica e a egípcia já conheciam as segiências denomi- nadas hoje progressões geométricas. Uma evidência disso está no papiro de Rhind, escri- to pelo egípcio Ahmes há mais de 4 mil anos. Trata-se de um problema em que, ao que pare- ce, o escriba tinha em mente algum tipo de re- creação matemática. Esse problema trabalha com os seguintes dados: 7 casas, 49 gatos, 343 ratos, 2.401 espi- gas de milho e 16.807 grãos. O que o escriba registrou nele serviu como fonte de inspiração para outros trabalhos. Um problema semelhante a esse aparece na obra Liber abaci, de Leonardo Fibonacci. na Idade Média. Trecho do papiro de Rhind, uma das principais fontes de informação sobre a matemática dos antigos egípcios. CAPÍTULO 2 + PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 27 . Constantes: Todos os termos são iguais entre si. Por exemplo: (2, =, 2.0). sendo q = 1 . Oscilantes: Cada termo, a partir do segundo, tem o sinal contrário ao do termo anterior. Por exemplo: (2, —6, 18, —54,....),sendoq = —3e(-6, 12, —24,48....).sendoq = —2 À Classifique cada P.G. em crescente, decrescente ou oscilante: a) (64, 32, 16,8,...) 0) (2.2.2, 4,..) di (3.1, 5 +...) d (3. -6,12,-24,..) fe) tt une rr rt pes a(Z 1248...) 9 (+ 5: 4.3..) 1 se 4 N b) (48,12,3,..) a( -<2, +) BBB Determine uma P.G. de 5 termos cujo primeiro termo é a, e a razão é q nos seguintes casos: aja-3eq= 3 ba,=-2eq-4 Ja-teg=2 Determine a razão de cada P.G. a(2 de ro) 9) (15,5,5/5,..) 34 1 2 3 9 ] 9 (6 5 dr) (E Se) BEESH (U. F. Viçosa-MG) As sequências seguintes são aritméticas ou geométricas (3. 4 1 1) blg Te do +=) ea 8 16 dr dr) n(S. S 27.162...) NM. (>6, -3,0,3,.) a) Quais são as geométricas? b) Quais são as aritméticas? c) Calcule a soma das razões das sequências aritméticas. d) Calcule o produto das razões das sequências geométricas. e e EI (U. Caxias do Sui-RS) O valor de x para que a sequência (x + 1,x. x + 2) seja uma progressão geométrica é: 2 az d) É q 9-+ 3 28 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA BEBE (FAS) Durante um ano, certo produto tem o seu preço reajustado em 15% ao mês. Os preços mensais do produto formam uma progressão: a) aritmética com razão 15. d) geométrica com razão 15. b) aritmética com razão 1,15. e) geométrica com razão 1,15. c) geométrica com razão 115. 22 FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Considere a progressão geométrica (a,, à, «+, - p+ 2). Cada um de seus termos pode ser escrito da seguinte maneira: a=a; maq As Ape a,=(a; 2] = q=a, “q a=aq=+a=t(a q) => aa q e assim por diante. Então, temos: a=a q? a=a"q' a=a q aq H a a=a qo! Conhecendo o primeiro termo a, e a razão q, pela fórmula do termo geral, podemos determinar qualquer um dos termos da P.G. Exemplos 1. Calcular o sétimo termo da P.G. (5. LA, ad Resolução Temosia=S.q=7ea,=? musa SE arde pd -2 Cálculo da razão: q Pa >q E 1 NO 3 2 Cálculo do valor de a,: e 3. & = 3 a,=a,"q saca rqtioa=5 [2] q 1 243 co “98 4 = CAPÍTULO 2 « PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 29 2. Calcular o primeiro termo de uma P.G. cujo décimo termo é 243 e a razão, 3. Resolução Temos:n = 10,0, =243,q=3ea,=? asa qr >ap=a q) = U=a PS Pa Ps a 1 1 e a ca mia TR 3. Em uma P.G. de quatro termos, os termos extremos são 2 e 54. Calcular a razão. Resolução Temos:n =4a,=2,a, =5S4eq=? MTM qUi = 4=2:]' = q'=7 + q'=P =q=3 4. Em uma P.G. de razão 4, os termos extremos são 3 e 768. Calcular o número de termos. Resolução Temos:q =4a,=3.a,=768en=? ea qU! = T68B=3:41 = 4001-2586 > 41=4! > => n-l=4>5n=5 5. O segundo termo de uma P.G. é 2 e o quinto, 54. Escrever a PG. Resolução Temos: a, =2ea,= 54 Para escrever a P.G.. devemos conhecer a, e q. a =aq 2 <q - + 4 as =4,"4 M=ag Dividindo 1 por Il membro a membro. temos: 2 - aº*q E = E É = o SE aa a po nd im Scape Substituindo q por 3 em uma das equações, vem: 2 2=a;q>2=a,3=a=+> 3 Portanto. a P.G. procurada é (+. 2.6. 18,54. =) 6. Que número se deve somar a 1, 15 e 57, de modo a resultar em uma P.G.? Resolução Seja x o número procurado, de forma que (1 + x). (15 + x) e (57 + x) estejam em P.G. Daf,a=l+x.a,=IS5+rxea=57+r. nu CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA E MEME interpoie trás meios geométricos entre 4 e 324. EIS interpoie quatro meios geométricos entre = 432. E MES (Acate-SC) Interpolando cinco meios geométricos entre 2 e 1.458, obtém-se como termo médio o número: a) 162 b) 18 c) 54 d) 1.230 e) 486 2.4 PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Vejamos duas importantes propriedades de P.G. Primeira propriedade Cada termo de uma P.G., excluindo os extremos, é média ieosps a Ena, geométrica entre seu termo anterior e o posterior. dizemos queb é média geométrica entre a ec, ou seja, b = Jão Exemplo tac > 0). Dada a P.G. (2, 6, 18, 54), temos: 6 = 2" 18 el8g= /6-54 Segunda propriedade O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma P.G. é igual ao produto desses extremos. Exemplo e Na P.G. (2, 4. 8, 16, 32, 64, 128), temos: 8:32 = 2. D8e4-64=2-128 Mcaçeid Dr ABM Calcule o produto xy em cada P.G.: a) (3,x,y,81) b) (5, x, 45, y, 405) c) (x,4,8, 16,32, 64, y) 2.5 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA Seja a P.G. finita (a,, as, Ay 4-1 4,), de razão q(g + O e q + 1). Vamos indicar à soma de seus n termos por: S = atata+t.+ta,+a, I CAPÍTULO 2 + PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 33 Multiplicando ambos os membros de / 1 por q, vem: q Sa q+rarg+ Gg +a+ta sq + A-rtgqtaq a as a aa a Fazendo II — I . vem: q'S,= mtata+r.+tastatra,q -—S, = TO CM AA — Aros qº SS = A'q=a => => S(q-D=a'q-a=> 1 (an q = a; «gro — “go! — >58,= 58, = 44 gra > 8s,=U 7% Ex QR=A q=4 =. + Sa 1), q Portanto, a soma dos termos de uma P.G. finita de n termos é dada por: PRE al) sa Exemplos 1. Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.G. (1,39,97, d: Resolução Temos:a,=1,n=10,9=3€ So =? Es aetgr=) ss = LG j Ee io 1 S So=2954 2. Em uma P.G,, o quarto termo é 135 e 0 sétimo, 3.645. Calcular a soma dos oito primeiros termos. Resolução Temos: a, = 135,4, = 3.645,8,=? Cálculo de a, e q: a=a q 135 =aq' a =ag 36485 = ag” Dividindo II por 1 membro a membro, temos: 3.645 ag e, ER = as se q>Y=q>4q=3 a: 34 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA Substituindo q por3em T , vem: 135 135=a,+P =» aj= > =a,=5 Cálculo de S,: se. at(gr = 1) Ea set >» S,= = => S,= 16.400 3. Calcular a soma dos cinco primeiros termos da P.G. (2, 2, J2,..). Resolução Trata-se de uma P.G. constante (q = 1). Nesse caso, S, = n * a;. Portanto, S, = 5.2. Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G. (3, 6, 12, ...). A soma de todos os termos de uma P.G. finita é 1.020. Sendo a, =4eq =2, calcule o número de termos da P.G. HEM A soma dos termos de uma P.G. crescente de três termos positivos é 21 e a diferença entre os extremos é 9. Escreva a P.G. HEBME Determine três números em P.G., de tal forma que a soma do segundo com o terceiro seja 60 e a diferença entre o segundo e o primeiro seja 10. MBM Em uma P.G., o segundo termo é 4 e o quarto é 64. Calcule a soma dos sete primeiros termos. MEMO (Acate-SC) A soma dos oito primeiros termos da P.G. (16,8,4,...)é: HEHE A soma dos seis primeiros termos da P.G. [+., E, b...] é: 2% 3 o 1 diria ME (F.C. M. Santos-SP) Em uma PG. a, = 324 e q = 2. Determine a soma dos nove primeiros termos. a) 2.000 b) 1.533 c) 1.615 a 1.213 e) nda AS! (Mackenzie-SP) Numa P.G. de quatro termos, a soma dos termos de ordem par é 10 e a soma dos termos de ordem ímpar é 5. Então, o quarto termo dessa progressão vale: a)9 b) 8 os d) 15 e) 10 CAPÍULO 2 « PROGRESSÕES SEOMÉTRIC, As Exemplos 1. Calcular a soma dos termos da P.G. (2 1 — aus E AD a Resolução Temos; a, = 2q= 1 2 A soma dos termos dessa P.G. infinita é: 2. Calcular a geratriz da dízima 0,232323... Resolução A dízima 0,232323... pode ser escrita como 0,23 + 0.0023 + 0,000023 + .... Daí: 23 23 23 2 dia Fº cp AE ra 0232323... io * To. + To: +. A expressão que acabamos de obter é a soma dos termos de uma P.G. infinita decrescente. 23 “q emquea, = eg= Too Então, temos: . 23 23 = Bi a 100 — MO 28 s= Ts = e T >8 5) => s 59 1 100 3. A soma dos termos da P.G. (1. + as ) com x > 1, é 4. Calcular o valor de x. ” |- 7 Resolução Temos: 14 1 + 1 +u=4 x DaP.G.obtém-se:a, = 1 e q= » Substituindo esses valores na expressão S = T——. temos: > d4x-D=r=>4-4=y54x= E 38 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA 4. O lado de um triângulo eguilátero mede 3 cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo egúilátero. Unindo-se os pontos médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo equilátero, e assim sucessivamente. Determinar a soma dos perímetros de todos os triângulos. Resolução e t Temos: S, = 36,8, = 3º. S=3:q7.e assim sucessivamente. “Como € = 3 em, obtemos a P.G. (9. E e sendo a, = 9eq = + Substituindo esses valores na expressão S = Tr temos: s=-—2 ss-S os=18 e: % Portanto, a soma dos perímetros de todos os triângulos eguiláteros é 18 cm. Calcule a soma dos termos das seguintes progressões geométricas: a) (SS de) 21) a (02/002:0002;..) 1828] Calcule a geratriz das seguintes dízimas periódicas: a) 0,3111... b) 0,3232... c) 2,8333... d) 3,666... IBRE Resolva as seguintes equações: d+ +.=8 d) Gr ext Dx + Sr + =4 CO ca TESTES O ST eee WENME A soma dos termos da PG. (5, T, 74) & EN fi TI HEAS (1TA-SP) Dada a P.G. (1. + Te ), a soma dos seus infinitos termos 6: a b)2 d1+ 5 9 > 23 L E Figura 3 Figura 4 ete. Assinale a aitomativa que corresponde à soma de todas as áreas coloridas da seaência ae ess q 3e a 2e gt+2 2.7 PRODUTO DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA Considere a P.G. (dp ads 4,1, 4,). O produto dos n termos dessa P.G. pode escrito das seguintes formas: ' cas e Pa =drida tdo casca, I E =a td" tata, H Fazendo 1 “ I , temos: PS Cm ca) (ara, (ac t0)-(8;0a) Pela segunda propriedade de P.G.. temos que: a, “GA, 1=a,*a, A partir daí. podemos escrever: RB = (aa) (aca)..(aa,) = P; =(a, a) > =P =+fa a Jal = d a * aa)” Sinal do produto P, * P.G. com todos os termos positivos: P>0 npar: P>0 . PI sea di n ímpar: P. <Q n múltiplo de 4: P, > 0 . PO oniamee << n múltiplo de 4 mais 2: P, < O 42 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA 29 QUESTÕES QUE ENVOLVEM PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Exemplos 1. Sejam x e y números positivos. Se os números 3, x e y formam, nessa ordem, uma P.G.. e se os números x, y e 9 formam, nessa ordem, uma P.A.., então, qual é o valor de x + y? Resolução Se (3. x. x) é uma P.G., temos: El SS p=3y 3 Es E Se (x. y, 9) é uma P.A., temos: p—-x=9-y => 2y=9+x W=3y 9+x = 2y Dividindo membro a membro, obtemos: Temos, então, o seguinte sistema: I 2 sad à gens Ta => 2 -3%k-27=0 Resolvendo a equação. encontramos x = da como raiz positiva. Substituindo x = 5 em xº = 3, obtemos y = =L.. Daí rtr= 5 + 2 = xy AS 2. Os números reais positivos a, b e c formam, nessa ordem, uma P.A. de razão 4. Além disso, a. 3h e 12c, nessa ordem, formam uma P.G. Determinar o valor de a + b + c. Resolução Da P.A.(a,b.c). com razão 4, temos: b=a+d4ec=a+8 Da P.G. (a, 3h, 12c), temos: 3b = Ja: 12c ou(3bY = 12ac = 9h? = 1220 =» 3b?=4ac 1 Substituindo b pora + 4ec pora + 8em I ,temos: 3-(a+4P=4-a-(a+8)=>3-(0+8a+160)=4-0)+32:4 > = a'+8a-48=0 Resolvendo a equação, encontramos a raiz positiva a = 4. Então, temos: a=4 b=a+4> b=8 c=a+8>c=12 Portanto,a +b+c=24. CAPÍTULO 2 + PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 43 3. (U.F. Fortaleza-CE) A segiiência (x. 5, y) é uma progressão aritmética de razão r e a se- qúência (x, 4, y) é uma progressão geométrica de razão q. Sex <y, então o quociente = éigual a: 1 3 a) Es d) z 2 4 b) 3 e) 3 e) 4 Resolução DaP.A,, temos: 5 = 1 =>x+y=10 DaP.G..temos:4= xy >» x- x=16 x+y =10 » Vamos encontrar x = 2ey = 8. xy = 16 Resolvendo o sistema | Então. temos a P.A. (2, 5, 8), de razão r = 3,ea P.G. (2,4, 8). de razão q = 2. Portanto, + e a alternativa correta é a (d). E MR A sequência (1. a,, as, a, à, à,, 2,) é uma progressão aritmética crescente é a sequência (7, e, à) é uma progressão geométrica. Determine a razão da progressão aritmética. e 9 RES (U. 5. Judas Tadeu-SP) Dada a sequência de números reais 2x — 1X+207+4x,y+ E, sabe. RE (Fatec-SP) Se a, b e c são números naturais tais que a segdência (a, b, c) éuma PA, é a sequén: cia (b, 28, 2(a + c)) é uma P.G., então determine o valor de b. IBM sabendo-se que a sucessão (-3, x, y, 15) é uma progressão aritmética e a sucessão (1, x, y, 27) é uma progressão geométrica, determine x e y. ME (PUC-SP) Sabe-se que as sequências (a, 2, b) e a, > b | são, respectivamente, progressões geométrica e aritmética. Os números a e b são as raízes da equação: ax-5x+4=0 d2é-5x+2=0 ej2xX -5x-2=0 b)x+5x+4=0 d2X+5x+2=0 “4 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA 2% RESUMO ————— Progressão geométrica é uma segiiência numérica (a. 4,, 44. .... a, - 1 4,) em que: - = q (razão) q, a A Classificação quanto à razão: Coescnai a>0eg>1 este e nda a>0e0<g<il * Decrescente Eae DO ade! * Constante para q = | * Oscilante para q < O Termo geral:a, = a, - q"! Propriedades * Cada termo de uma P.G.. excluindo os extremos, é média geométrica entre seu termo anterior e o posterior. * O produto dos termos egúidistantes dos extremos de uma P.G. é igual ao produto desses extremos. Soma dos n primeiros termos: S = —— T- T 2 Soma dos termos de uma P.G. infinita: S = ros CI<q<1) 2.11 QUESTÕES DE REVISÃO E APROFUNDAMENTO BEBE Uma P.G. é aermida por a, = 5, com n E IN”. Calcule os seguintes termos: a) a; b) a, c) a, ABB Dados a, e q de uma P.G., calcule o que se pede: aa-teg-L.a=? da-5 eq=3a=? BEBE Caicuie à razão da P.G. nos seguintes casos: aja=270ea=1 b)a,=45e a,=405 BE Calcule o número de termos de cada PG: a) (400,40, ... as) b) (3.6,12...,1,596) c) (1,3,..,249) 0) (540, 180, .., 20.) —— — ————— CAPÍTULO 2 « PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 47 BEBE Quantos termos devem ser inseridos entre os números | e 81 para se ter uma P.G. de razão 37 s a7 b) 5 c 8 d) 10 eos MEME (Mogi-SP) O número 0,212121... é equivalente a: sã dão od df 0% HEHE (Fesp-SP) Em um triângulo egiilátero de lado €, se unirmos os pontos médios de seus lados, obte- remos um novo triângulo equilátero. Se procedermos assim sucessivamente, obteremos novos triângulos equiláteros, cada vez menores. A soma das áreas dos triângulos eqdiláteros formados é: a) ed b €:45 eo) ed a) es e) ed BESE (FGV-SP) Uma progressão geométrica infinita é decrescente. A soma de seus termos é Zea soma do primeiro com o segundo termo vale 4. A razão dessa progressão é: 95 » + o + 9 + e) nda MRE (Fesp-sP) se x + 5 ++ + + «= 10, então o valor de x é igual a: a) 10 b)2 7 d) 12 DE HBE (Vunesp) Seja A o número rea representado pela dizima 0,999... . Pode-se afirmar que: a) Réiguala 1. b) Ré menor que 1. c) R se aproxima cada vez mais de 1 sem nunca chegar. d) Ré o último número real menor que 1. e) A é um pouco maior que 1. BEMA (FGV-SP) Parao < a <1,a soma algébrica a - 5 se de += tutto de desa vale: a 1 t-a a b1-a c)1-2a+2aº Oia ara BEBE (Fatec-SP) Se a e b são números reais tais que a sequência (a, 5, 9) é uma progressão aritmética e a sequência (a, 2, b) é uma progressão geométrica, então b é igual a: a) 4 bjs 6 98 os MEME (VECE) Seja (5, b,. b,) uma progressão geométrica de razão maior do que 1. Seb, +b+b;=910(b, +25, b, + 27, b; + 1) é uma progressão aritmética, então b, é igual a: a) 4 b)5 Ro 97 MEME Seja S a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão -4 é primeiro termo 20. Se S é também a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica decrescente Cujo primeiro termo é 15, a razão dessa progressão é: too o) at af MEM são dados três números em P.A. cuja soma é 18. Se muttiplicarmos o primeiro por 2, o segundo por 3 o terceiro por 6, os produtos formarão uma P.G. O maior dos três números iniciais em P.A. é: aj3 b) 6 DR) d) 18 «8 CURSO PRÁNICO DE MATEMÁTICA TA (PUC-RS) De acordo com a disposição dos números abaixo, 2 4 6 8 10 12 16 18 20 2 32 3 36 38 a soma dos elementos da décima linha vale; a) 2.066 b) 5.130 c) 10.330 d) 20.570 e) 20.660 TAS (ITA-SP) Seja (a,, a, .. -» 2,) UMA progressão geométrica com um número impar de termos e razão 9 > 0. O produto de seus termos é igual a 2% e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n — 1) primeiros termos é igual a 2(1 + qX1 + q”), então: aja,+q=16 da+q+n=20 ba +q=12 eJa+q+n=11 cja,+q=10 O NMprIaçãO preta. AA UA a Cos Pora 0 A 30 a Li SMT 3.1 Os números no mundo das finanças 32 Razão centesimal ou porcentagem 3.3 Questões envolvendo porcentagem 34 Fator de aumento e fator de redução 3.5 Acréscimos e descontos sucessivos 36 Operações comerciais 37 Operações financeiras 3.1 OS NÚMEROS NO MUNDO DAS FINANÇAS O homem modemo vive rodeado de números: faz investi- mentos de várias naturezas, paga impostos, compra, vende, etc. Esses são alguns dos exemplos que fazem parte da matemáti- ca financeira, assunto que agora passaremos a estudar. 32 RAZÃO CENTESIMAL OU PORCENTAGEM 38 Juros simples 39 Juros compostos 3.10 Juros compostos com taxas variáveis 3.11 Resumo 3.12 Questões de revisão e aprofundamento GENS 1 EO MODERNA —— Sejam a e b (b 0) números reais. Denomina-se razão o quociente entre a e b e indica- EA se por > a :b, em que a é o antecedente e b, o consegilente. Às razões que têm consegientes iguais a 100 são denominadas razões centesimais ou porcentagens. Exemplos 50 3 3 100 * 100 * 100 As porcentagens são fregiientemente indicadas na forma decimal ou pelo símbolo % (por cento). k CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA b) 40% de 90% c) (5%)? de 400 PI de porcentagem: 3) 300 é de 1.500? b) 45 é de 607? Cc) 315 é de 10.500? d) 270 é de 3.000? PA De quanto: a) 1.800 é 30%? b) R$ 600,00 é 40%? Ps Em certa pesquisa sobre a preferência de jornais, foram Ps (FESP) Em um lote de 1.000 peças, 85% são do tipo A e 35% Ex r Santo André-SP) Determine o valor de 3% de trinta milésimos de 0.03. P8 (UECE) Uma empresa, em Fortaleza, deu férias cole- tivas aos seus empregados. Se 48% dos vajaram para São Paulo, 28% para Recife e 12 deles ficaram em Fortaleza, então, qual o número de empregados que viajaram para Recife? BIS) (Unifor-CE) Das 35 pessoas reunidas em uma sala, sabe-se que 23 são do sexo masculino, 15 usam ócu- Pao A contribuição provisória sobre movimentação finan- ceira (CPMF) é um imposto de 0,20% calculado sobre 9 valor de cada transação efetuada por um cliente de mentou R$ 8.500,00, quanto ele pagou de CPMF? mjojo/jm|»> o x Qual o valor total de impostos pago? ERES O vaior de (20%): é: a) 400% b) 4% c) 200% d) 0,2% LUCIANA WHITAKER / PULSAR Fioroduão profa. AR. 194 do Código Penal a Ar 30 du Lei 6.906/75, CAPÍTULO 3 e NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 53 BEM (F. Rui Barbosa-BA) Duzentos ingressos foram distribuídos entre três pessoas para serem vendidos: 90 para a primeira, 60 para a segunda e 50 para a terceira. No final, a primeira pessoa conseguiu vender 80%; a segunda vendeu 40% e a terceira vendeu 60%. No cômputo geral, dos 200 ingressos foram vendidos: a) 63,5% b) 60% c) 65% d) 62,5% e) 63% 3.4 FATOR DE AUMENTO E FATOR DE REDUÇÃO Muitos problemas da área financeira podem ser resolvidos com o auxílio dos fatores de aumento e de redução. Fator de aumento Conceito muito usado no cálculo de acréscimos quando se faz alguma operação financeira. Observe a situação a seguir. Um empregado de uma empresa teve um aumento de salário de 25% sobre seu ganho atual, que é R$ 800,00. Para determinar seu novo salário, devemos fazer: 25% de 800 = = - 800 = 0.25 - 800 = 200 Dessa forma, temos: R$ 800,00 + R$ 200,00 = R$ 1.000,00 Salário atual Reajuste Novo salário Portanto, o novo salário desse empregado é R$ 1.000,00. Admitindo que o aumento seja estendido a todos os empregados da empresa, calcular o reajuste para um salário cujo valor atual é x. Devemos fazer: 25% de x = 0.25 + x O novo salário é dado por: x + 0,25 «x = (1 + 0,25) + x = 1,25x O número 1,25 neste caso é denominado fator de aumento. De modo geral, se determinado valor N sofre um acréscimo segundo uma taxa porcentual i. 0 novo valor N' é dado por: N=1+D):N sendo | + i o fator de aumento. Exemplos 1. O preço de custo de uma mercadoria é R$ 3.000.00. Sabendo que ela foi vendida por R$ 3.450,00, qual foi o fator de aumento usado? Resolução Sendo € o preço de custo e V, o de venda, temos € = 3.000 e V = 3.450. Daí, vem: V=U+D):C> Lri= E = += =» I+i=LI5 Portanto, o fator de aumento é 1,15. Observação À taxa porcentual nesse caso é dada por: L+i=115 => i=115-1=0,15=15% 54 CURSO PRÁTICO DE MATEMA FICA 2. Determinar o fator de aumento 1 + i, considerando uma taxa porcentual de 350%. Resolução a; 350 = 34 = =35 i 350% 700 3 Iri=1+35=45 Portanto, o fator de aumento é 4,5. 3. O preço de um produto foi Teajustado em 145%, passando para R$ 735,00. Qual era o Preço antes do reajuste? Resolução “= E Temos; i = 145% 00 = 1.45 Sendo N o Preço antes do reajuste e Nº = R$ 735,000 Preço atual, vem: N=NI +) = 735=N(1 41,45) 5 135=245N 5 N= 5 => N=300 Portanto, antes do aumento o produto custava R$ 300,00. E aji=4% b) i=18% c) | = 190% d) 7 = 600% Big o Preço de uma camisa sofreu um determinado aumento, passando de R$ 15,00 para R$ 36,90. Qual foi o porcentual de reajuste? BA! O preço de uma mercadoria sofreu um aumento de 20% * passou para R$ 540,00. Quanto custava a mercadoria antes do aumento? PHS! Um notebook custava R$ 3.500,00. Seu preço teve um acréscimo e Passou para R$ 3.675,00. Qual foi o fator de aumento utilizado? BB) Um funcionário recebeu um aumento salarial de 75% e passou a ganhar R$ 840,00, Se tivesse recebido 125%, Passaria a ganhar Y reais men- saimente. Quanto estaria recebendo? z 3 3 2 B ê á de importação de 30%. Em função disso O seu preço para o ii ê uso é de R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe 5 Cedar? al Será, em reais, o novo preço do carro para o impor E tador? $ a) R$ 22.500,00 d) R$ 31.200,00 s b) R$ 24.000,00 e) R$ 39.000,00 c) R$ 25.350,00 Ê CAPÍTULO 3 « NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 57 2. O preço de um videocassete sofreu dois descontos sucessivos, de 5% e 10%, e passou a custar R$ 350,55. Qual era o preço antes dos descontos? Resolução Sejam f, e f, os fatores de redução. Então, temos: f=1-0,05=0,95 e f.=1 — 0,10 = 0,90 Seja N o preço do vídeo antes dos descontos. Daí, vem: 350,55 350,55 =N - 0,95 -0,90 =» N = “OBS” = 410 Portanto, o preço do videocassete antes dos descontos era R$ 410,00. DL IBM Devido à ascenção do tênis brasileiro, as vendas em uma loja de artigos esportivos aumentaram nos últimos dois meses. No primeiro mês, 70% e, no segundo, 80%. Atualmente, a loja vende 306 raquetes por mês. Quantas ela vendia antes desses dois aumentos? 2 z z z : ã 5 Z x Gustavo Kuerten, tenista brasileiro, campeão do torneio de Roland Garros na França, em junho de 1997. (BZ O preço de um eletrodoméstico, em determinada ocasião, era R$ 100,00. Esse preço sofreu dois aumentos sucessivos, de 3% e 5%. Calcule: a) o preço desse eletrodoméstico após esses aumentos. b) a porcentagem total de aumento. ES O preço de um equipamento sofreu dois descontos sucessivos, de 15% e 20%, e passou a custar R$ 2.040,00. Quanto custava antes desses dois descontos? EE Um certo produto que custava inicialmente R$ 13,00 teve dois aumentos sucessivos de 12% e 8%. Determine o preço final aproximado desse produto, sabendo que ainda lhe foi aplicado um desconto de 14%. emma eme E mae BEBE Um atacadista comprou uma mercadoria por R$ 800,00 e a vendeu com um acréscimo de 30% a um varejista. Este. por sua vez, revendeu-a com um acréscimo de 20%. O preço final da mercadoria foi: a) R$ 1.100,00 d) R$ 1.248,00 b) R$ 1.128,00 e) R$ 1.318,00 c) R$ 1.200,00 MEMO! Uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 5%. A seguir, sofre um acréscimo de 20%. Dessa forma, o preço final, em relação ao preço inicial: a) diminuiu 25%. d) diminuiu 2,5% b) aumentou 10% e) nda c) aumentou 8,3% 58 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA 36 OPERAÇÕES COMERCIAIS Veremos a Seguir operações de compra e Yenda em que pode ocorrer lucro ou prejuízo. L=V-c sendo Z o lucro, Vo preço de venda e C 0 preço de custo. Resolução Pelo enunciado. temos que: L = 12% deC L=0,12:€ Daí, vem: DES Cet ESTO ú => 1,12:3.000=v = V=3.360 Portanto, o preço de venda é R$ 3.360,00. 2. Um imóvel foi comprado por R$ 30.000,00 e vendido por R$ 45.000,00. Qual foi a por- centagem do lucro sobre o Preço de compra? Resolução Temos: C = R$ 30.000,00 e V = R$ 45.000,00 O lucro é dado por: L=V-€ => L=45.000- 30000 = £= 15000 Sendo i a taxa porcentual, temos: : — 15.000 vas at i= 30000 > | =05=s0% Portanto, a Porcentagem do lucro foi de 50%. 3. Uma mercadoria foi comprada por R$ 3.600,00, Pretende-se vendê-la com um lucro de 10% sobre o preço de venda. Determinar o preço de venda” Resolução De acordo com O enunciado, vem: € = R$3.600.00 e L=010-y Então, temos: L=V-C=> 010-V=v-C > V-010-v=cC > > 0,9 = 3.600 > v = 4.000 Portanto, o preço de venda é R$ 4.000,00. CAPÍTULO 3 + NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 59 Operação com prejuízo Às operações comerciais em que ocorre prejuízo são calculadas pela expressão: P=C-v sendo P o prejuízo. € o preço de custo e V o preço de venda. Exemplo Um automóvel foi vendido por R$ 14.000,00. com prejuízo de 30% sobre o preço de custo. Qual era o preço de custo? Resolução Temos: P = 30% de C =0,30+C e V = R$ 14.000,00 Então: P=C-V5>030-C=C-V=>V=C-030:€C > = 14.000 = 0.70: € = € = 20.000 Portanto, o preço de custo do automóvel era R$ 20.000.00. meme ro cor ca E mese 125] Uma moto foi vendida por R$ 6.000,00, gerando um lucro de 20% sobre o custo. Qual foi o custo dessa moto? BE Uma mercadoria custa R$ 480,00 e é vendida por R$ 600,00. De quanto por cento é o lucro? MBM Certa mercadoria toi vendida por R$ 1.500,00, gerando um lucro que é o dobro do preço de custo. Calcule o preço de custo dessa mercadoria. HBIZE Uma mercadoria comprada por R$ 3.500,00 deve ser vendida com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda? IBIZE Um terreno foi vendido por R$ 6.500,00. obtendo-se um lucro de 30% sobre o preço de compra. Qual foi o preço de compra? EH Certo equipamento foi vendido por R$ 3.000,00, com prejuízo de R$ 2.000,00 do preço de custo. De quanto por cento foi o prejuízo? emma o oc O EE me—-e HEHE Uma mercadoria foi comprada por R$ 200,00. Para que haja um lucro de 60% sobre o preço de a) R$ 100,00 b) R$ 120,00 c) R$200,00 d) R$ 320,00 e) R$400,00 HEHZ! Um negociante vendeu um aparelho elétrico por R$ 98,00. ganhando 40% sobre o preço de custo. O preço de custo for: ay R$70,00 b) R$72,00 c) R$74,00 d) R$78,00 e) R$ 80,00 HEM (FGV-SP) Uma firma comercial quer determinar o preço p pelo qual deve vender um artigo que lhe custa c a fim de obter um lucro de 15% sobre o preço de venda. A fórmula que dá esse preço é: ap=015c bjp=1.15 9p=4SE dp=0,85€ p= = CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA 1. Uma pessoa aplica uma importância à taxa de 5% a.a. (ao ano), a juros simples. Em 2505 tempo essa pessoa terá o dobro dessa importância? ução Devemos, inicialmente, transformar a taxa porcentual em notação decimal, isto é, =5%aa =005aa. Para que o capital dobre, devemos ter: M=C+tj=M=C+C5j+C=2C >j=C Aplicando a fórmula de juros simples, vem: j=Cir>C=C-088-1>005:4=1 =1= >1=20 Portanto, essa pessoa terá o dobro da quantia aplicada em vinte anos. 2. Ao final de um mês de aplicação, uma pessoa recebeu R$ 4.400,00 correspondentes aos rendimentos. Calcular o capital inicial. sabendo que ela fez sua aplicação da seguinte forma: * Um terço a 3% am. * Dois terços a 4% am. Resolução Seja C o capital inicial aplicado. Calculemos os juros em cada situação. 1º) Um terço do capital foi aplicado a 3% a.m., durante | mês: ED Ea ms h=3€ o 1> = O rendimento total no período foi de R$ 4.400,00. Logo, j, + j. = 4.400. Então, temos: 3€ 8c HC 300 * 300 * +00 = og = 4400 = HC = 1.320.000 = € = 120.000 Portanto, o capital inicial era R$ 120.000,00. O rm veem «(A CORRO os srs Pa Determine os juros simples e o montante do capital de R$ 10.000,00 quando aplicado a: a) 4% a.m., durante quinze meses. c) 2% am., durante oito meses. b) 55% a.a., durante dois anos. d) 3,5% a.m., durante meio ano. PE Quai é o capital que. emprestado a uma taxa de 24% a.a., produz no final de três anos o montante de R$ 24.080,00? CAPÍTULO 3 + NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA es BIBH Durante quanto tempo um capital, aplicado a uma taxa de 40% a.a., rende um juro igual a = do seu valor? EE Uma pessoa aplicou R$ 7.000,00 a juros simples de 8,5% a.m. Qual foi o montante depois de cinco meses? EE Determine em quanto tempo um capitaí triplicará a juros simples, quando aplicado à taxa de 4% am.? EHSE Uma mercadoria foi comprada em dez meses, a juros simples, à taxa de 11% a.m., num total (mon- tante) de R$ 840,00. Determine os juros pagos. [EBE Uma pessoa aplica determinado capital durante um mês, obtendo ao final do prazo um rendimento de R$ 560.00. Determine esse capital, sabendo que ele foi aplicado da seguinte forma: * Um quinto a 2% am. * Umterçoa 3% am. * Orestante a 5% am. ma RE A see o MES! Um empréstimo de R$ 8.000,00, durante três meses, rende juros simples de R$ 1.200,00. A taxa mensal é de: a) 8% b) 5% c) 12% d) 4% e) nda MEME! Durante quantos meses um capital de R$ 10.000,00 esteve empregado a uma taxa de 2,5% ao mês para render juros simples de R$ 1.000.007 a) 3 meses b) 4 meses c) Smeses d) G meses e) 1mês HEHE (FGv-sP) Um capital aplicado a juros simples, à taxa igual a 8% ao mês, triplica em que prazo? a) 6 meses b) 18 meses c) 25 meses d) 30 meses e) nda MEME (F. 5. Marcos-sP) A taxa de juros simples mensai que quadruplica um capital em dois anos é: a) 1.5% b) 12,5% c) 150% d) 1,25% e) 0,125% HEHE Determinado capital quintuplica ao ser aplicado em regime de juros simples à taxa i. O tempo t. em meses, é dado por: q ai gy + 1 nd 7 c SF 4 der a Str 39 JUROS COMPOSTOS Em juros compostos, diferentemente do que ocorre com os juros simples, os juros gerados a partir do segundo período são calculados sobre o montante do período anterior, daí a conhe- cida frase “rende juro sobre juro”. Esse tipo de capitalização é o mais usado no mercado financeiro. Exemplo Uma pessoa aplica R$ 3.000,00 a juros compostos de 3% ao mês, pelo prazo de dois meses. Qual será o montante produzido nesse período? 54 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA Resolução Passado o primeiro mês, o montante será: 1,03 + 3.000 = 3.090 =» M, = R$ 3.090,00 Fator de aumento Passado o segundo mês, o montante passa a ser: 1,03 - 3.090 = 3.182,70 => M, = R$3.182/70 Portanto, o montante produzido em dois meses será R$ 3.182,70. Fórmula para cálculo dos juros compostos Sendo C o capital inicial, i a taxa, 1 0 período e M 0 montante, temos: Período (r) Montante (M) Primeiro M=C+Ci=sM=C-(1+i) M=M+Mei=M=M (+) Segundo PM=C+)d+)=sM=CA+iy ; M=M+M is MM (+) Terceiro SM=CA+P+)oM=C (+ r-ésimo M=M,=C(+iy Cbserve que os valores dos montantes obtidos formam uma progressão geométrica de razão | + i. Assim, para resolver questões sobre juros compostos, podemos aplicar a seguinte fórmula: M=CA+iy Exemplos 1. Aplicando a fórmula dos juros compostos no exemplo anterior, em que € = R$ 3.000,00, i=3%am=003amer=2 meses, determinar o montante, Resolução M=CI+rij=sM= 3.000(1 + 0,03) =» M = 3.000(1,037 = => M = 3.000: 1,0609 = M = 3.182,70 Ne que o valor do montante encontrado pela fórmula é o mesmo do processo anterior, isto é, M = R$3.182,70. 2. Determinar em quantos meses um capital de R$ 2.000,00, aplicado em regime de juros compostos, produz R$ 205,00 de rendimento, a uma taxa de 5% ao mês. Resolução Temos M = C + j. Então: M = 2.000 + 205 = M=2205 CAPÍTULO 3 + NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 67 HEM Determine o capital que, aplicado a juros compostos: a) rende R$ 75,19 de juros, a 0,1% ao dia, em 6 dias. b) rende R$ 5.163,30 de juros, a 3,5% ao mês, em 4 meses. MEME Um capital de R$ 150.000,00 aplicado a juros compostos gera um montante depois de um certo tempo. Determine esse tempo, sabendo que: a) o montante é R$ 151.125,00, à taxa de 0,25% ao dia. b) o montante é R$ 182.490,00, à taxa de 4% ao mês. Dados: log 1,0075 = 0,00324 log 1,0025 = 0,00108 log 1,2166 = 0,085 log 1,04 = 0,017 EMS) Num certo país. um banco paga juros compostos com as seguintes taxas: 10% no primeiro mês e 20% no segundo mês. Pede-se ao final desses dois meses: a) o montante de um capital de R$ 10.000,00; b) ataxa total. O BEE Determinado capita! foi aplicado a uma taxa mensal de juros compostos de 2,5%, gerando no final de quatro meses um montante de R$ 6.402,04. O capital aplicado foi: a) R$ 5.000,00 c) R$ 6.200,00 e) nda b) R$ 4.500,00 d) R$ 5.800.00 HEHE Se aplico hoje o capital de R$ 100.000,00 à taxa de 10% a.m., daqui a cinco meses terei um mon- tante de: a) R$ 150.000,00 c) R$ 161.051,00 e) R$ 169.000,00 b) R$ 154.300,00 d) R$ 165.088,00 Inflação Entende-se por inflação o aumento generalizado e contínuo dos preços de bens e serviços. Ela reduz o poder de compra da moeda. Exemplo Em um certo mês a inflação foi de 3%. No niês seguinte, caiu para 2%. Qual foi a taxa de inflação acumulada nesses dois meses? Resolução Consideremos 100 unidades monetárias como valor de referência. Com base nas taxas de inflação de 2% e 3%, vamos atualizar esse valor: 100 + 1,03 + 1,02 = 105,06 O aumento inflacionário é dado por: 105,06 — 100 = 5,06 Portanto, a taxa de inflação correspondente a esses dois aumentos é dada por: = 506 a = oo = 00506 = 5,06% a) 40% b) 46% c) 52% d) 58% e) 64% 3.11 RESUMO Fator de aumento e fator de redução é N = (1+DN N =(1-DN Fator de Fator de aumento redução Operações comerciais *comlucro:L=V-o Sendo: * com prejuízo: P=C — y L = lucro V = preço de venda € = preço de custo P = prejuízo Operações financeiras * Juros simples Sendo: j=Cic j=juro M=CU+icr) € = capital * Juros compostos i = taxa M=CA+iy t = período M=C+j M = montante Juros compostos com taxas variáveis M=C-A+i) +) +i) Sendo fa, .., à, as taxas de juros compostos de cada período. Meprentução prestada: Av VOA do Código Para a A aii sm CAPÍTULO 3 + NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 69 3.12 QUESTÕES DE REVISÃO, E APROFUNDAMENTO —— erro rs HEM Das cem pessoas que estão em uma sala, 99% são homens. Quantos deles devem sair da sala para que a porcentagem passe a ser 98%? HEM! Houve uma época em que o preço de um litro de álcool era 70% do preço de um litro de gasolina. Qual é a porcentagem dessa diferença de preço em relação ao preço de um litro de álcool? HEMMEE Uma compra de R$ 100,00 deverá ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma à vista e a outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 20% sobre o saldo devedor, determine o valor de cada parcela, HEM (UFPE) O preço de certo produto aumentou 7.300% no período de três anos. Indique o fator pelo qual devemos multiplicar o preço inicial para obter o preço no fim do período. HEEBM Um produto cujo custo foi de R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço de venda. Determine esse preço de venda. [BIBE! Vendendo um imóvel por R$ 102.000,00, seu proprietário teve 25% de prejuízo sobre o preço de custo. Por quanto ele comprou o imóvel? [BBB Uma pessoa aplica uma certa quantia numa caderneta de poupança, com rendimento mensal, por três meses. No primeiro mês, o rendimento foi de 1%, no segundo, 2% e no terceiro, 3%. Determine a taxa de rendimento do trimestre. [BH Um comercianto aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como as vendas não esta- vam satisfatórias, ele voltou aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, qual foi o porcentual de redução? ee MHZ (FGv-SP) Em um colégio com 1.000 alunos, 65% dos quais são do sexo masculino, todos os estu- dantes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo. Apurados os resulta- dos, verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao plano. A porcentagem de estudantes favoráveis ao plano vale: a) 43,5% c) 90% U e) 26% b) 45% d) 17,5% WEZ (Fuvest-SP) Atualmente, 50% das gaivotas de certa menor região são brancas e 50% são cinzentas, Se a população da espécie branca aumentar 40% ao ano e a da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual será, aproximadamente, a porcentagem de gai- BANCO DEIMAGENS / ED MODERNA votas brancas daqui a dois anos? a) 50% c) 26% e) 9% ; b) 38% d) 14% ip b! As gaivotas são aves marinhas de asas longas e robustas que se alimentam princi- palmente de peixes. WEZ (Mackenzie-SP) O preço de compra de um certo produto é x; se for vendido por k, haverá, em rela- ção a x, um prejuízo de 20%. Então, se for vendido por 3k, haverá em relação a x um lucro de: a) 40% b) 140% c) 60% d) 160% e) 240% 72 CURSO PRÁTICO DE MATEMATICA Quanto às aplicações, as matrizes são utilizadas na com- putação, na mecânica, em circuitos elétricos e na eletrônica. Um exemplo interessante do uso na eletrônica é o medi- dor de vibrações (foto). As informações detectadas por esse engenhoso instru- mento são processadas utilizando a linguagem das matrizes. 42 NOÇÃO DE MATRIZ A tabela a seguir apresenta um panorama da quantidade de vários poluentes que saem dos escapamentos dos veículos. +) Dados medidos em 1994. em gramas por quiliemetro rodado. (**) Dados medidos em 1995. Fonte: Conesto Note que o monóxido de carbono, o mais perigoso para a saúde, se encontra em maior quan- tidade na combustão da gasolina (27,7), valor este que está na primeira linha e na primeira coluna. Continuando ainda na primeira coluna, podemos observar na quarta linha que o gás natural lança muito menos monóxido de carbono do que os outros combustíveis (6,0). Tabelas assim como essa são denominadas matrizes. De modo geral, podemos afirmar que: Matriz é qualquer tabela de números dispostos em linhas e colunas. 43 REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ — — — — — As matrizes são indicadas de três formas: usando-se parênteses ( ), colchetes [ ]ou barras duplas || ||. O quadrado mágico dos antigos chineses, por exemplo, poderia ser representado das se- guintes formas: E AR À 4» 2 4 “Dosê IA 7/M53.5-9 8 1 6 8 1 6 8 1 6 : |, õ Paradas mondo MA AMA a Er a a a a a CAPÍTULO 4 « MATRIZES 44 MATRIZ DO TIPO m x n 73 Seja m o número de linhas e n o número de colunas de uma matriz. Uma matriz com m linhas e n colunas é denominada matriz do tipom x n (lê-se “m porn”). Exemplos 1. A tabela ao lado fornece o calor latente de fusão (L,) de algumas substâncias, em calorias por grama. E um exemplo de matriz do tipo 4 X 1. 2. A tabela abaixo tem 11 linhas e 2 colunas. Dizemos, então, que é uma matriz do tipo 11 X 2. Substância | L, (cal/g) Chumbo 58 Ferro 30,0 Alumínio 771,0 Água (gelo) 80.0 (saturada. em gramas) (em Bife magro (100 g) 2708» Camarão (100 g) Carne de porco (100 g) Figado (100 g> Fonte Tabela adaptada da revista Superinseressunte. São Paulo, Abril, nm. 4, 1994, 3. Matriz À do tipo 4 x 2 A tem 4 linhas e 2 colunas. 4. Matriz B do tipo 2 X 1 B= | j B'tem 2 linhas e 1 coluna. —3 74 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA. Identificação das linhas e das colunas de uma matriz Para identificar as linhas e as colunas de uma matriz, procedemos da seguinte forma: * Numeramos as linhas de cima para baixo. * Numeramos as colunas da esquerda para a direita. Exemplo Elementos de uma matriz Os elementos de uma matriz são representados por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices, i e. que indicam a linha e a coluna, respectivamente, onde se encontra o elemento : z g z a:. . Es É Indica Indica a Ê alinha coluna ã Exemplo i Amariza=| 4 2 6 vamos associar a matriz A = |“! 42 an em que: | =, “O 8 Gy Ap ay a=4, ap =2, 4n=6, ay=-1, G»=0 € qu=3 Matriz genérica Uma matriz A qualquer disposta em m linhas e n colunas pode ser representada das seguintes formas: An Gi... as dy dx o Qu Am Am ce Gp bA = (a, x «+ Sendo a; 0 elemento localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna, com Isismel<sj<n Exemplo Determinar a matriz A = (axa tal que a, = 2; + j2 >— Matriz diagonal É toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes à diagonal principal são iguais a zero. iz identidade (ou matriz unidade) a matriz quadrada 1, = (a,,), x. tal que l.sei =j "me = vi. SS Moro a pan ijE(1,23 n) Observe que“na matriz identidade de ordem n os elementos da diagonal principal são iguais a | e os demais elementos, iguais a zero. Exemplo voo 0 EA o oo n=/W b=0 o 1, = 0 oo 0 oo o 00 Matriz nula É aquela cujos elementos são todos iguais a zero, isto é, a matriz A = (a;;) x» é uma matriz nula se: a;=0. comi<i<meil<j<n Exemplos 1. A matriz nula de ordem 2 é indicada por: Ri 78 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA 2. A matriz nula do tipo 3 X 2 é indicada por: o 0 00 to o ERES PROPOSTAS mm P2 Determine valores de x e y para que cada uma das matrizes abaixo seja uma matr diagonal +2 0 a á o x D4=| ] bDB=|0 9x-4 O o 2y-4 o 0 y [88 Detomine os valores de x y para que cada uma das seguintos matizes seja uma matriz ideia. x-1 0 0 sy ajA= 0.10 ne-[ !] O x+5 y+4 01 PE Determine os valores de x e y para que cada uma das seguintes matizos seja nula: ra 3 O 4y+12 O X+ dido ] DB=lo 2x-4 O y-1 0 0 o 0 “E (PUC Campinas: Sr) A matriz quadrada de ordem, A = (a) coma, = (-1)1.1:/,6 “ea ali Je [ig fts SIIRE Se A = (a,) é matriz quadrada de ordem 3 tai que a, = | - |, VijE(1,2,3), então: 2 36 0-1 -2 aA=|3 4 5 9A=|1 0 —4 e) nda 45 6 2 1 0 0 1% “00 bDA=|-1 04 dA=|0 0 0 -2 10 00 MRE (Ulbra) Uma mat A, quadrada de ordem 3, é definida por a, = = + 1.0 valor do sou mento a,, é: a) -6 b) -3 oa d) 6 6) impossível calcular Matriz oposta Dada a matriz A do tipo m X n, denomina-se matriz oposta da matriz A a matriz =A do tipom x “is GxÃo elemento da linha í e da coluna é o oposto do elemento que está na linha 1 « na coluna j da matriz A. Exemplo 0 > 4 0 .=2 4 Ses=|1 —s 6 |, então sua matriz oposta é —A = | —1 S. —61- 2-3. 3 2 dE RISE Obtenha a matriz oposta de cada uma das seguintes matrizes: [-3 o 2] -2 2 ajA= 5 oe-| | eJE=|-5 3. os | 2 1-4] o -s 12 D)B=|4 3 1 a0- [1 º :) o 2 -4 o 25 = = 1 BEE Des ae mares | )es-[2 | tona aa atendo que - -8 46 IGUALDADE DE MATRIZES Vamos considerar as matrizes: ja du yu este by bu | q dx by ba Os elementos correspondentes dessas matrizes são aqueles que têm os índices iguais. Assim, são correspondentes os seguintes elementos: antby, dptbi, Queda. apeby Então, podemos escrever: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo, são iguais se seus elementos correspondentes fondo iesdé Para as matrizes A e B consideradas, se A = B, devemos ter: an=by Gu=by au=bip Gu=by De modo geral. se A = (A) xn € B = (D,)u x no então: 4=Besa,=b; comisi<mel<sj<n Exemplos : 4 — ts 1 Sejm asma = | ] ea=| Be. q 1 Deer. 52 9 s+4 2 9 ez.para que A = B. 82 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA 48 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES — — Considere duas matrizes A e B. do mesmo tipo m x n. Subtrair a matriz B da matriz A equivale a somar a matriz A com a matriz —B (oposta da matriz B). ou seja: A-B=A+(-B) Exemplo ' 5 4 o 2 Dadas as matrizes A = eB= » determinar A — B. a 4 -—6 Resolução [ 1 1] 3: 2] 3 3] 11]- BHO! Dadas as marizes A = | 3 4 js Bio -1 0). C=|4 4| eD=|-2 3|, deter | 29, 8 10| 5 5] 08, mine as seguintes matrizes: aA-B bc-D gc-B D(A+C)-(B+D) DR o * ye =] -6 2] x , mam eucas se | 1 É] p e E “3 MO iguala a) -6 b) -5 co) -1 d1 e6 us EQUAÇÃO MATRICIAL mm —-— - -— - — Toda equação cuja incógnita é uma matriz recebe o nome de equação matricial. Exemplos E E =1 34 a B x 1. Considerando - matrizes A = eB= « determinar a 2 01 = 4 3 matriz X tal que A + X = B. Resolução Vamos somar a matriz —A aos dois membros: ALX+(-A)=B+(-A) 5 X=B-A produção protddo AM HMA do Codigo Pont o Art DO da Lo 5. 0MA/a resprannações promos CAPÍTULO 4 « MATRIZES Então. temos: 4 2 2. Dadas as matrizes A = 4 Temos 2 “| resolver o 9a 6 —4 co (MAr=Bo no - sistema: | 20" p= q + ad = DB E Resolução. X = Ê +49) Somando as duas igualdades membro a membro, vem: ax+r = B RASA a, ar gl fã 2 69 x =A+B5X= + | =X = 9a 6 —4 15 =3 Considerando a segunda equação do sistema, temos: X-ysÃ=o F="K-A > p==X+(-4) Então: y = —6 E aj O o igesa -10 —16 -15 3 =0! «<e] —24 2 NE Oesasasmanizeca- | ' d).e-| e Tee-[i | | nominais -2 3 ax+A-=C b)X+C=B cA=-B+X -2| 1 BB Dadas as matrizes 4 = o 2 ,B= 2 1 5 06- y 1 4 3 32 |2 6 -4 matriz X tal que: ax-A=B b)Xx-(A+B)=C 41 0 -2 32-12 MME DadasasmatrizesA=|2 4 5 eB-=|0 1 6 , cesovao sistema: | 123 sos 2 Xx-Y=A -x+2y = B 1 84 CURSO PRÁTICO DE MATEMÁTICA 25 5 =1 menconm-[n) [4] e e) 10 | então a matriz X tai que 13 A+B-C-X=0é Lala) E) E) 4.10 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ Considere um número real k e uma matriz 4, do tipo m X n. Multiplicar o número k Pela matriz A (k « A) significa multiplicar todos os elementos des- sa matriz pelo número k. De modo geral, temos: Se A = (Gu xs Ck ER, então k “A é uma matriz do tipo m X n cujos elementos são dados por: ka, comi<i<m el<j<n Exemplos -=3 dcomigassis | e 3 comimero mlk = 2 een amas 158 do mesmo tipo que a matriz A, tal que B = KA. Então, temos: Ê - .(— 3. - » à ds p= [243 204] A 6 8 24 2 21 22] 2 4 2 41 0 5 =, 2. Dadas as matrizes A = O 5/,8B=|6 gleC= = 10 6 |. determinar 4.3 4 1 o amatriz3A + B-2C. Resolução Temos: 3 3A = 3:10 => 34 = 15 Peprocução prostecla, MNA do Cohgo Penal o A 30 da Li a