Mecânica Dos Fluidos - 6ª Ed White, Frank , Notas de estudo de Mecânica dos fluidos

Baixe Mecânica Dos Fluidos - 6ª Ed White, Frank e outras Notas de estudo em PDF para Mecânica dos fluidos, somente na Docsity! MECÂNICA DOS FLUIDOS S E X T A EDIÇÃO FRANK M. WHITE TABELA DE EQUAÇÕES Lei dos gases ideais: p 5 rRT, Rar 5 287 J/kg-K Tensão superficial: Dp 5 Y(R121 1 R221) Hidrostática, densidade constante: p2 2 p1 5 2g(z2 2 z1), g 5 rg Força Hidrostática sobre superfície: F 5 ghCGA, yCP 5 2Ixxsenu/(hCGA), xCP 5 2Ixysenu/(hCGA) Força de flutuação: FB 5 gfluido(volume deslocado) Massa no VC:d/dt(CV rd) 1 S(rAV)saída 2 S(rAV)entrada 5 0 Quantidade de movimento no VC: d/dt(CV rVd) 1 S[(rAV)V]saída 2 S[(rAV)V]entrada 5 SF Quantidade de movimento angular no VC: d/dt(CV r(r0 x V)d) 1 SrAV(r0 x V)saída 2 SrAV(r0 x V)entrada 5 SM0 Fluxo permanente de energia: (p/g 1 aV2/2g 1 z)entrada 5 (p/g 1 aV2/2g 1 z)saída 1 hatrito 2 hbomba 1 hturbina Aceleração: dV/dt 5 V/t 1 u(V/x) 1 v(V/y) 1 w(V/z) Continuidade incompressível:   V 5 0 Navier-Stokes: r(dV/dt) 5 rg 2 p 1 µ2V Função corrente incompressível c(x,y): u 5 c/y; v 5 2c/x Potencial de velocidade f(x,y,z): u 5 f/x; v 5 f/y; w 5 f/z Escoamento irrotacional não permanente de Bernoulli: f/t 1  dp/r 1 V2/2 1 gz 5 Const Fator de atrito turbulento: 1/1f 2,0 log10 3 /(3,7d) 2,51/ 1Red1f) 4 Perda de carga em tubo: hf 5 f(L/d) V2/(2g) em que f 5 Fator de atrito do gráfico de Moody Orifício, bocal, escoamento venturi: Q 5 CdAgarganta[2Dp/{r(1 2 b4)}]1/2, b 5 d/D Escoamento lanimar sobre placa plana: d/x 5 5,0/Rex1/2, cf 5 0,664/Rex1/2, CA 5 1,328/ReL1/2 Escoamento turbulento sobre placa plana: d/x 5 0,16/Rex1/7, cf 5 0,027/Rex1/7, CD 5 0,031/ReL1/7 CA Arrasto/1 1 2 V 2A2; CS Sustenção/1 1 2 V 2A2 Escoamento potencial 2-D: 2f 5 2c 5 0 Escoamento isentrópico:T0/T 5 1 1 {(k 2 1)/2}Ma2, r0/r 5 (T0/T)1/(k21), p0/p 5 (T0/T)k(k21) Variação isentrópica de área unidimensional: A/A* 5 (1/Ma)[1 1 {(k 2 1)/2}Ma2](1/2)(k 1 1)/(k 2 1) Expansão Prandtl-Meyer: K 5 (k 1 1)/(k 2 1), ω 5 K1/2tan21[(Ma221)/K]1/2 2 tan21(Ma2 2 1)1/2 Escoamento uniforme, n de Manning, unidades SI: V0(m/s) 5 (1,0/n)[Rh(m)]2/3S01/2 Escoamento em canal gradualmente variado: dy/dx 5 (S0 2 S)/(1 2 Fr2), Fr 5 V/Vcrit Fórmula da turbina de Euler: Potência 5 rQ(u2Vt2 2 u1Vt1), u 5 rv Obra originalmente publicada sob o título Fluid mechanics, 6th edition ISBN 0072938447/9780072938449 © 2007, The McGraw-Hill Companies, Inc., New York, NY, 10020 Preparação do original: Mônica de Aguiar Rocha Leitura fi nal: Vera Lúcia Pereira Capa: Rosana Pozzobon (arte sobre capa original do Studio Montage, St. Louis, Missouri) Editora sênior: Arysinha Jacques Affonso Editor assistente: Cesar Crivelaro Diagramação: Triall Composição Editorial Ltda. Reservados todos os direitos de publicação em língua portuguesa à AMGH Editora Ltda. (AMGH Editora é uma parceria entre ARTMED Editora S.A. e MCGRAW-HILL EDUCATION) Av. Jerônimo de Ornelas, 670 – Santana 90040-340 Porto Alegre RS Fone (51) 3027-7000 Fax (51) 3027-7070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e outros), sem premissão expressa da Editora. SÃO PAULO Av. Embaixador Macedo Soares, 10.735 – Pavilhão 5 – Cond. Espace Center Vila Anastácio 05095-035 São Paulo SP Fone (11) 3665-1100 Fax (11) 3667-1333 SAC 0800 703-3444 IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL __________________________________________________________ W584m White, Frank M. Mecânica dos fl uídos [recurso eletrônico] / Frank M. White ; tradução: Mario Moro Fecchio, Nelson Manzanares Filho ; revisão técnica: José Carlos Cesar Amorim. – 6. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2011. Editado também como livro impresso em 2011. ISBN 978-85-8055-009-2 1. Mecânica dos fl uídos. 2. Engenharia civil. I. Título. CDU 532 __________________________________________________________ Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052 v Sobre o autor Frank M. White é Professor emérito de Engenharia Mecânica e Oceanográfica na Universidade de Rhode Island (URI). Estudou no Georgia Tech e no M.I.T. Em 1966, na URI, ajudou a fundar o primeiro departamento de engenharia oceanográfica dos Estados Unidos. Conhecido principalmente como professor e autor, recebeu oito prêmios e escreveu quatro livros-texto sobre mecânica dos fluidos e transferência de calor. De 1979 a 1990 foi editor-chefe do ASME Journal of Fluids Engineering e atuou de 1991 até 1997 como diretor do ASME Board of Editors e do Publications Commit- tee. É membro da ASME e, em 1991, recebeu o ASME Fluids Engineering Award. Vive com sua esposa, Jeanne, em Narragansett, Rhode Island. Dedico a Jeanne Agradecimentos ix Área do professor Na exclusiva Área do Professor em www.bookman.com.br, os professores po- dem acessar materiais como Manual de Solução , Banco de Imagens e outros recur- sos adicionais referentes aos capítulos (disponíveis em inglês). Agradecimentos Foram tantas as pessoas que me ajudaram, que se torna impossível lembrar ou listar todas elas. Sheldon Green da Universidade de British Columbia, Gordon Hollo- way da Universidade de New Brunswick, Saeed Moaveni da Minnesota State Uni- versity Mankato, e Tapan K. Sengupta do Indian Institute of Technology em Kanpur deram muitas sugestões úteis. Samuel S. Sih do Walla Walla College e John Borg da Marquette University foram especialmente prestativos com o manual de soluções. Muitos outros revisores e correspondentes forneceram boas sugestões, correções e materiais: Larry Belfiore da Colorado State University; Paulo Vatavuk da Universi- dade Unicamp, Brasil; Bertrand Côté da Université de Sherbrooke, Canadá; Elizabe- th J. Kenyon do EJK Technical Publishing Services; John Ladd do Integrated Defense Systems, St. Louis, MO; Andris Skattebo do Scandpower A/S; Jeffrey S. Allen da Michigan Technological University; Peter R. Spedding da Queen’s Univer- sity, Belfast, Irlanda do Norte; Cristina L. Archer da Stanford University; Fulvio Bellobuono da Universidade de Nápoles; Debendra K. Das da Universidade do Alaska Fairbanks; Kevin O’Sullivan da Associated Press; Lennart Lüttig e Nina Ko- liha do REpower Systems AG, Hamburgo, Alemanha; Jesse Shoemaker e Gina Ma- bbott da Dwyer Instruments; Pirouz Kavehpour da UCLA; Johan Stander da University of Stellenbosch, África do Sul; Sukanta K. Dash do Indian Institute of Technology em Kharagpur; David Chelidze, Richard Lessmann, e Donna Meyer da University of Rhode Island; Craig Swanson da Applied Science Associates, Inc.; Ghanem F. Oweis da American University of Beirut, Líbano; Cliff Moses da Univer- sidade do Texas em San Antonio; Ephraim Sparrow da Universidade de Minnesota; Deborah Pence da Oregon State University; Dale Hart da Louisiana Tech University; Georg Huber da Klagenfurt, Austria; Ken Craig da Universidade de Pretoria, África do Sul; Lino Guzzella do ETH Zurich; Edmund Robertson e John O’Connor da Uni- versidade de St. Andrews; Gary L. Peak da McCauley Corp.; Haecheon Choi da Seoul National University; e Nevan C. Hanumara do M.I.T. A equipe editorial e de produção da McGraw-Hill prestou uma ajuda enorme. Muitos agradecimentos a Bill Stenquist, Amanda Green, Melinda Bilecki, Kelley Butcher, Jonathan Plant, Megan Hoar, Carrie Burger, John Leland, Tracy Konrardy, Suzanne Jeans, Brenda Ernzen, Michael Weitz, Christine Walker, Louis Poncz, Bren- da Rolwes, Pamela Carley, Jenny Hobein, e Christina Nelson. Por fim, foi muito bem-vindo, como de costume, o apoio e encorajamento contínuo de minha esposa e família. Obrigado também ao nosso cachorro, Sadie, e ao nosso gato, Harry. xi Sumário Prefácio vii Capítulo 1 Introdução 15 1.1 Observações preliminares 15 1.2 História e escopo da mecânica dos fluidos 16 1.3 Técnicas de solução de problemas 17 1.4 O conceito de fluido 18 1.5 O fluido como um meio contínuo 20 1.6 Dimensões e unidades 21 1.7 Propriedades do campo de velocidade 29 1.8 Propriedades termodinâmicas de um fluido 30 1.9 Viscosidade e outras propriedades secundárias 37 1.10 Técnicas básicas de análise de escoamento 52 1.11 Campos de escoamento: linhas de corrente, linhas de emissão e linhas de trajetória 52 1.12 O Engineering Equation Solver 57 1.13 Incerteza nos dados experimentais 58 1.14 O Exame de Fundamentos de Engenharia (FE) nos EUA 59 Problemas 60 Problemas para exames de fundamentos de engenharia 68 Problemas abrangentes 69 Referências 72 Capítulo 2 Distribuição de pressão em um f luido 75 2.1 Pressão e gradiente de pressão 75 2.2 Equilíbrio de um elemento de fluido 77 2.3 Distribuições de pressão hidrostática 78 2.4 Aplicação à manometria 85 2.5 Forças hidrostáticas em superfícies planas 88 2.6 Forças hidrostáticas em superfícies curvas 96 2.7 Forças hidrostáticas em camadas de fluidos 99 2.8 Empuxo e estabilidade 101 2.9 Distribuição de pressão no movimento de corpo rígido 107 2.10 Medidas de pressão 115 Resumo 119 Problemas 119 Problemas dissertativos 142 Problemas para exames de fundamentos de engenharia 142 Problemas abrangentes 143 Problemas de projetos 145 Referências 146 Capítulo 3 Relações integrais para um volume de controle 149 3.1 Leis físicas básicas da mecânica dos fluidos 149 3.2 O teorema de transporte de Reynolds 153 3.3 Conservação da massa 160 3.4 A equação da quantidade de movimento linear 165 3.5 O teorema da quantidade de movimento angular 179 3.6 A equação da energia 184 3.7 Escoamento sem atrito: a equação de Bernoulli 195 Resumo 204 Problemas 205 Problemas dissertativos 232 Problemas para exames em fundamentos de engenharia 233 Problemas abrangentes 234 Problemas de projeto 235 Referências 235 xii Sumário Capítulo 4 Relações diferenciais para escoamento de f luidos 237 4.1 O campo de aceleração de um fluido 238 4.2 A equação diferencial da conservação da massa 239 4.3 A equação diferencial da quantidade de movimento linear 246 4.4 A equação diferencial da quantidade de movimento angular 252 4.5 A equação diferencial da energia 254 4.6 Condições de contorno para as equações básicas 256 4.7 A função corrente 261 4.8 Vorticidade e irrotacionalidade 269 4.9 Escoamentos irrotacionais sem atrito 271 4.10 Alguns escoamentos viscosos incompressíveis ilustrativos 276 Resumo 284 Problemas 285 Problemas dissertativos 295 Problemas para exames de fundamentos de engenharia 296 Problemas abrangentes 296 Referências 297 Capítulo 5 Análise dimensional e semelhança 299 5.1 Introdução 299 5.2 O princípio da homogeneidade dimensional 302 5.3 O teorema Pi 308 5.4 Adimensionalização das equações básicas 318 5.5 A modelagem e suas armadilhas 327 Resumo 339 Problemas 339 Problemas dissertativos 348 Problemas para exames de fundamentos de engenharia 348 Problemas abrangentes 349 Problemas de projetos 350 Referências 350 Capítulo 6 Escoamento viscoso em dutos 353 6.1 Regimes de número de Reynolds 353 6.2 Escoamentos viscosos internos e externos 358 6.3 Perda de carga – o fator de atrito 361 6.4 Escoamento laminar totalmente desenvolvido em um tubo 363 6.5 Modelagem da turbulência 365 6.6 Solução para escoamento turbulento 371 6.7 Quatro tipos de problemas de escoamento em tubos 379 6.8 Escoamento em dutos não circulares 385 6.9 Perdas localizadas em sistemas de tubulações 394 6.10 Sistemas com múltiplos tubos 403 6.11 Escoamentos experimentais em dutos: desempenho de difusores 409 6.12 Medidores para fluidos 414 Resumo 435 Problemas 436 Problemas dissertativos 454 Problemas para exames de fundamentos de engenharia 455 Problemas abrangentes 455 Problemas de projetos 457 Referências 458 Capítulo 7 Escoamento ao redor de corpos imersos 461 7.1 Efeitos da geometria e do número de Reynolds 461 7.2 Cálculos baseados na quantidade de movimento integral 465 7.3 As equações de camada-limite 468 7.4 A camada-limite sobre uma placa plana 471 7.5 Camadas-limite com gradiente de pressão 480 7.6 Escoamentos externos experimentais 486 Resumo 513 Problemas 513 Problemas dissertativos 527 Problemas para exames de fundamentos de engenharia 527 Problemas abrangentes 528 Problema de projeto 529 Referências 529 Capítulo 8 Escoamento potencial e dinâmica dos fluidos computacional 533 8.1 Introdução e revisão 533 8.2 Soluções elementares de escoamento plano 536 8.3 Superposição de soluções de escoamento plano 543 8.4 Escoamentos planos em torno de formatos de corpo fechado 549 8.5 Outros escoamentos potenciais planos 559 8.6 Imagens 563 8.7 Teoria do aerofólio 566 8.8 Escoamento potencial com simetria axial 578 8.9 Análise numérica 583 Resumo 597 Problemas 598 Problemas dissertativos 608 Problemas abrangentes 609 Problemas de projetos 610 Referências 610 Capítulo 1 Introdução A mecânica dos fluidos é o estudo dos fluidos em movimento (dinâmica dos flui- dos) ou em repouso (estática dos fluidos). Tanto os gases quanto os líquidos são classi- ficados como fluidos, e o número de aplicações dos fluidos na engenharia é enorme: respiração, circulação sanguínea, natação, bombas, ventiladores, turbinas, aviões, na- vios, rios, moinhos de vento, tubos, mísseis, icebergs, motores, filtros, jatos e asperso- res, só para citar alguns exemplos. Quando pensamos nesse assunto, vemos que quase tudo neste planeta ou é um fluido ou se move em um fluido ou próximo dele. A essência do estudo do escoamento dos fluidos é um compromisso criterioso en- tre a teoria e a experimentação. Como o escoamento dos fluidos é um ramo da mecâni- ca, ele satisfaz a um conjunto de leis fundamentais bem definidas e, portanto, temos disponível uma grande quantidade de tratados teóricos. No entanto, a teoria frequente- mente é frustrante porque ela se aplica principalmente a situações idealizadas, que podem se tornar inválidas nos problemas práticos. Os dois principais obstáculos à va- lidade de uma teoria são a geometria e a viscosidade. As equações básicas do movi- mento dos fluidos (Capítulo 4) são muito difíceis para permitir ao analista estudar configurações geométricas arbitrárias. Assim, a maioria dos livros-texto se concentra em placas planas, tubos circulares e outras geometrias simples. É possível aplicar téc- nicas numéricas computacionais a geometrias complexas, e há atualmente livros-texto especializados para explicar as novas aproximações e métodos da dinâmica dos fluidos computacionais (CFD) [1-4]1. Este livro apresentará muitos resultados teóricos, levan- do em consideração suas limitações. O segundo obstáculo à validade de uma teoria é a ação da viscosidade, que só pode ser desprezada em certos escoamentos idealizados (Capítulo 8). Primeiro, a viscosida- de aumenta a dificuldade das equações básicas, embora a aproximação de camada-limite proposta por Ludwig Prandtl em 1904 (Capítulo 7) tenha simplificado bastante as aná- lises de escoamentos viscosos. Segundo, a viscosidade tem um efeito desestabilizador sobre todos os fluidos, dando origem, em baixas velocidades, a um fenômeno desorde- nado e aleatório chamado de turbulência. A teoria do escoamento turbulento não está refinada e é fortemente sustentada por experimentos (Capítulo 6), contudo pode ser muito útil como uma aproximação na engenharia. Este livro-texto apenas apresenta as correlações experimentais padrão para escoamento turbulento médio no tempo. Por outro lado, há livros-texto avançados tanto sobre turbulência e modelagem da turbu- lência [5, 6] como sobre a nova técnica de simulação numérica direta (direct numerical simulation — DNS) da flutuação turbulenta [7, 8]. 1As referências numeradas aparecem no final de cada capítulo. 1.1 Observações preliminares 15 16 Capítulo 1 Introdução Há teoria disponível para os problemas de escoamento de fluido, mas em todos os casos ela deve ser apoiada pelos experimentos. Frequentemente os dados experimen- tais são a principal fonte de informação sobre escoamentos específicos, tais como o arrasto e a sustentação em corpos imersos (Capítulo 7). Felizmente, a mecânica dos fluidos é um assunto altamente visual, com boa instrumentação [9-11], e o uso de con- ceitos de modelagem e de análise dimensional (Capítulo 5) está difundido. Assim, a análise experimental proporciona um complemento natural e fácil para a teoria. Você deve ter em mente que a teoria e a experimentação devem andar lado a lado em todos os estudos de mecânica dos fluidos. Assim como a maioria das disciplinas científicas, a mecânica dos fluidos tem uma história errática na sua evolução inicial, seguida por uma era intermediária de descober- tas fundamentais nos séculos XVIII e XIX, levando à era da “prática moderna” do sécu- lo XX, como costumamos chamar nosso conhecimento limitado porém atualizado. As civilizações antigas tiveram conhecimentos suficientes para resolver certos problemas de escoamento. Navios a vela com remos e sistemas de irrigação eram conhecidos em tempos pré-históricos. Os gregos produziram informações quantitativas. Arquimedes e Heron de Alexandria postularam a lei do paralelogramo para a soma de vetores no sé- culo III a.C. Arquimedes (285–212 a.C.) formulou as leis para a flutuação de corpos e as aplicou a corpos flutuantes e submersos, incluindo uma forma de cálculo diferencial como parte da análise. Os romanos construíram grandes sistemas de aquedutos no sé- culo IV a.C., mas não deixaram registros que nos mostrem qualquer conhecimento quantitativo dos princípios de projeto. Desde o nascimento de Cristo até a Renascença, houve um progresso constante no projeto de sistemas de escoamento como navios e canais e condutores de água, mas não foi registrada nenhuma evidência de avanços fundamentais na análise de escoa- mentos. Leonardo da Vinci (1452–1519) formulou a equação da conservação da massa em escoamento permanente unidimensional. Leonardo foi um excelente experimenta- lista, e suas anotações contêm descrições precisas de ondas, jatos, ressaltos hidráuli- cos, formação de turbilhões e projetos de dispositivos de baixo arrasto (aerodinâmicos) e alto arrasto (paraquedas). Um francês, Edme Mariotte (1620–1684), construiu o pri- meiro túnel de vento e com ele testou modelos. Problemas envolvendo a quantidade de movimento dos fluidos puderam finalmen- te ser analisados depois que Isaac Newton (1642–1727) postulou suas leis do movi- mento e a lei da viscosidade dos fluidos lineares, que agora são chamados de newtonianos. Primeiro a teoria levou à hipótese de um fluido “perfeito” ou isento de atrito, e os matemáticos do século XVIII (Daniel Bernoulli, Leonhard Euler, Jean d’Alembert, Joseph-Louis Lagrange e Pierre-Simon Laplace) produziram muitas solu- ções belas de problemas de escoamento sem atrito. Euler, Figura 1.1, desenvolveu as equações diferenciais de movimento e sua forma integral, conhecida por equação de Bernoulli. D’Alembert as utilizou para mostrar seu famoso paradoxo: um corpo imerso em um fluido sem atrito tem arrasto nulo. Esses belos resultados se somaram até exce- der a sua validade, pois as hipóteses de fluido perfeito têm aplicação muito limitada na prática e a maior parte dos escoamentos na engenharia são dominados por efeitos de viscosidade. Os engenheiros começaram a rejeitar o que eles consideravam como uma teoria totalmente não realística e desenvolveram a ciência chamada hidráulica, basea- da quase que integralmente em experimentos. Experimentalistas como Chézy, Pitot, Borda, Weber, Francis, Hagen, Poiseuille, Darcy, Manning, Bazin e Weisbach produ- ziram dados sobre uma variedade de escoamentos em canais abertos, resistência de embarcações, escoamentos em tubos, ondas e turbinas. Muito frequentemente os dados eram usados em sua forma bruta sem levar em conta os fundamendos da física do es- coamento. 1.2 História e escopo da mecânica dos fluidos Figura 1.1 Leonhard Euler (1707–1783) foi o maior matemático do século XVIII e usou o cálculo de Newton para desenvolver e resolver as equações de movimento de um escoamento não viscoso. Ele publicou mais de 800 livros e artigos. [Cortesia da School of Mathematics and Statistics, University of St Andrew, Scotland.] No final do século XIX, finalmente começou a unificação entre a hidráulica expe- rimental e a hidrodinâmica teórica. William Froude (1810–1879) e seu filho Robert (1846–1924) desenvolveram leis para teste de modelos; Lord Rayleigh (1842–1919) propôs a técnica da análise dimensional; e Osborne Reynolds (1842–1912) publicou, em 1883, o clássico experimento em tubo que mostrou a importância do adimensional número de Reynolds, assim denominado em sua homenagem. Enquanto isso, a teoria do escoamento viscoso foi disponibilizada, mas não explorada, desde que Navier (1785–1836) e Stokes (1819–1903) acrescentaram com sucesso termos viscosos Newtonianos às equações de movimento. As equações resultantes, chamadas de equa- ções de Navier-Stokes, eram muito difíceis de analisar para escoamentos arbitrários. Foi então, em 1904, que um engenheiro alemão, Ludwig Prandtl (1875–1953), Figura 1.2, publicou talvez o mais importante artigo já escrito sobre mecânica dos fluidos. Prandtl observou que os escoamentos de fluidos com baixa viscosidade, como os esco- amentos de água e de ar, podem ser divididos em uma camada viscosa delgada, ou camada-limite, próxima às superfícies sólidas e interfaces, ligada a uma camada exter- na que pode ser considerada não viscosa, em que são válidas as equações de Euler e Bernoulli. A teoria da camada-limite mostrou ser uma ferramenta muito importante na moderna análise de escoamento. Os fundamentos do século XX para o atual estado da arte em mecânica dos fluidos foram estabelecidos em uma série de experimentos e te- orias abrangentes por Prandtl e seus dois principais concorrentes e colegas, Theodore von Kármán (1881–1963) e Sir Geoffrey I. Taylor (1886–1975). Muitos dos resultados esboçados aqui de um ponto de vista histórico serão naturalmente discutidos neste li- vro. Mais detalhes históricos podem ser encontrados nas Referências 12 a 14. Uma vez que 75% da Terra está coberta por água e 100% por ar, o escopo da me- cânica dos fluidos é vasto e faz parte da vida diária de todos os seres humanos. As ci- ências da meteorologia, oceanografia física e hidrologia estão relacionadas com escoamentos de fluidos que ocorrem naturalmente, bem como os estudos médicos da respiração e da circulação sanguínea. Todos os problemas de transporte envolvem mo- vimento de fluidos, com especialidades bem desenvolvidas em aerodinâmica de aero- naves e foguetes e em hidrodinâmica de navios e submarinos. Quase toda a nossa energia elétrica é gerada do escoamento de água ou do escoamento de vapor através de turbinas geradoras. Todos os problemas de combustão envolvem movimento de fluido, assim como problemas mais clássicos de irrigação, controle de cheias, abastecimento de água, disposição de esgotos, movimento de projéteis, oleodutos e gasodutos. O objetivo deste livro é apresentar conceitos fundamentais e aplicações práticas em mecânica dos fluidos para prepará-lo para interagir tranquilamente em qualquer um desses campos es- pecializados da ciência do escoamento — e estar então preparado para acompanhar as novas tecnologias que surgirem. A análise do escoamento de fluidos gera muitos problemas a serem resolvidos. Este livro contém mais de 1.600 problemas propostos. A resolução de um grande número desses problemas é fundamental para aprender o assunto. É preciso trabalhar com equações, dados, tabelas, hipóteses, sistemas de unidades e esquemas de soluções. O grau de dificuldade irá variar e é importante você examinar todos os tipos de proble- mas, com ou sem as respostas no Apêndice. Veja a seguir os passos recomendados para a solução dos problemas: 1. Leia o problema e redefina-o com o seu resumo dos resultados desejados. 2. Das tabelas e gráficos, obtenha os dados de propriedades necessárias: massa espe- cífica, viscosidade etc. 3. Verifique se você entendeu o que está sendo solicitado. Os estudantes frequente- mente respondem a perguntas erradas — por exemplo, pressão em lugar de gra- 1.3 Técnicas de solução de problemas 1.3 Técnicas de solução de problemas 17 Figura 1.2 Ludwig Prandtl (1875–1953), frequentemente chamado de “pai da mecânica dos fluidos moderna” [15], desenvolveu a teoria da camada- limite e muitas outras análises inovadoras. Ele e seus estudantes foram pioneiros nas técnicas de visualização de escoamento. [Aufnahme von Fr. Struckmeyer, Gottingen, cortesia AIP Emilio Segre Visual Archives, Lande Collection.] 20 Capítulo 1 Introdução e começam a escoar como fluidos. Há livros especializados dedicados a este estudo mais geral de deformação e escoamento, em um campo denominado reologia [16]. Além disso, líquidos e gases podem coexistir em misturas de duas fases, tal como as misturas vapor-água ou água com bolhas de ar. Livros especializados apresentam a análise desses escoamentos multifásicos [17]. Finalmente, há situações em que a distinção entre um líquido e um gás se torna nebulosa. Esse é o caso que ocorre em temperaturas e pressões acima do ponto chamado de ponto crítico de uma substân- cia, em que existe somente uma única fase, com a aparência principalmente de gás. À medida que a pressão aumenta muito acima do ponto crítico, a substância com aspecto de gás torna-se tão densa que há uma semelhança com um líquido, e as apro- ximações termodinâmicas usuais, como a lei dos gases perfeitos, tornam-se impreci- sas. A temperatura e a pressão críticas da água são Tc 5 647 K e pc 5 219 atm (atmosferas2), de modo que os problemas típicos envolvendo água e vapor estão abaixo do ponto crítico. O ar, sendo uma mistura de gases, não tem um ponto crítico preciso, mas seu componente principal, o nitrogênio, tem Tc 5 126 K e pc 5 34 atm. Portanto os problemas típicos envolvendo o ar estão no intervalo de alta temperatura e baixa pressão em que o ar é, sem dúvida nenhuma, um gás. Este livro aborda so- mente os líquidos e gases claramente identificáveis, e os casos-limite discutidos an- teriormente estão além do nosso escopo. Já usamos termos técnicos do tipo pressão e massa específica do fluido sem uma discussão rigorosa de suas definições. Até onde sabemos, os fluidos são agregações de moléculas, amplamente espaçadas para um gás e pouco espaçadas para um líquido. A distância entre moléculas é muito grande comparada com o diâmetro molecular. As moléculas não estão fixas em uma estrutura, mas movem-se livremente umas em rela- ção às outras. Dessa maneira a massa específica do fluido, ou massa por unidade de volume, não tem um significado preciso porque o número de moléculas que ocupam um dado volume varia continuamente. Esse efeito torna-se sem importância se a uni- dade de volume for grande, comparada com, digamos, o cubo do espaçamento mole- cular, quando o número de moléculas dentro do volume permanece aproximadamente constante, apesar do enorme intercâmbio de partículas através das fronteiras. No en- tanto, se a unidade de volume escolhida for muito grande, poderá haver uma variação notável na agregação global das partículas. Essa situação é ilustrada na Figura 1.4, na qual a “massa específica” calculada por meio da massa molecular dm dentro de um dado volume d é plotada em gráfico em função do tamanho da unidade de volume. Há um volume-limite d* abaixo do qual as variações moleculares podem ser impor- 1.5 O fluido como um meio contínuo Figura 1.4 A definição-limite de massa específica de um fluido contínuo: (a) um volume elementar em uma região do fluido de massa específica contínua variável; (b) massa específica calculada em função do tamanho do volume elementar. 2Uma atmosfera (atm) é igual a 101.300 Pa. Incerteza microscópica Incerteza macroscópica 0 1200 d d * ª 10-9 mm3 Volume elementar Região contendo fluido = 1000 kg/m3 = 1100 = 1200 = 1300 (a) (b) r r r r r d tantes e acima do qual as variações de agregações podem ser importantes. A massa específica r de um fluido é mais bem definida como r = Æd d d d  * lim m (1.1) O volume-limite d* é aproximadamente 10–9 mm3 para todos os líquidos e para os gases à pressão atmosférica. Por exemplo, 10–9 mm3 de ar nas condições padrão contém aproximadamente 3  107 moléculas, que são suficientes para definir uma massa específica aproximadamente constante de acordo com a Equação (1.1). A maio- ria dos problemas de engenharia trabalha com dimensões físicas muito maiores do que esse volume-limite, de maneira que a massa específica é essencialmente uma função pontual e as propriedades do fluido podem ser consideradas variando continuamente no espaço como está representado na Figura 1.4a. Tal fluido é chamado meio contínuo, que simplesmente significa que a variação de suas propriedades é tão suave que o cál- culo diferencial pode ser usado para analisar a substância. Vamos supor que o cálculo de meio contínuo seja válido para todas as análises neste livro. Uma vez mais, há ca- sos-limite para gases a pressões tão baixas que o espaçamento molecular e o livre ca- minho médio das moléculas3 são comparáveis a, ou maiores que, o tamanho físico do sistema. Isso requer que a aproximação de meio contínuo seja abandonada em favor de uma teoria molecular do escoamento de gases rarefeitos [18]. Em princípio, todos os problemas de mecânica dos fluidos podem ser abordados do ponto de vista molecular, mas não faremos essa tentativa aqui. Note que o uso do cálculo de meio contínuo não impede a possibilidade de saltos descontínuos nas propriedades do fluido através de uma superfície livre ou interface do fluido ou através de uma onda de choque em um fluido compressível (Capítulo 9). Nosso cálculo na análise do escoamento de fluidos deve ser flexível o bastante para lidar com condições de contorno descontínuas. Uma dimensão é a medida pela qual uma variável física é expressa quantitativamente. Uma unidade é um modo particular de ligar um número à dimensão quantitativa. Assim o comprimento é uma dimensão associada a variáveis como distância, deslo- camento, largura, deflexão e altura, enquanto centímetros e polegadas são ambas unidades numéricas para expressar o comprimento. A dimensão é um conceito pode- roso sobre o qual foi desenvolvida uma esplêndida ferramenta chamada análise di- mensional (Capítulo 5), enquanto as unidades são os valores numéricos que o cliente quer como resposta final. Em 1872 uma reunião internacional na França propôs um tratado chamado Con- venção Métrica, assinado em 1875 por 17 países, inclusive os Estados Unidos. Repre- sentou um avanço sobre os sistemas britânicos porque o uso que ele faz da base decimal é o fundamento do nosso sistema numérico, aprendido desde a infância por todos nós. Os problemas ainda persistem porque até mesmo os países que adotam o sistema mé- trico diferiram no uso de quilogramas-força em lugar de Newtons, quilogramas em lugar de gramas, ou calorias em lugar de joule. Para padronizar o sistema métrico, a Conferência Geral de Pesos e Medidas, realizada em 1960 por 40 países, propôs o Sistema Internacional de Unidades (SI). Estamos agora passando por um penoso perí- odo de transição para o SI, um ajuste que pode levar ainda mais alguns anos para se completar. As sociedades profissionais têm conduzido o trabalho. Desde 1o de julho de 1974, estão sendo exigidas unidades do SI para todos os artigos publicados pela 1.6 Dimensões e unidades 3A distância média percorrida pelas moléculas entre colisões (veja o Problema P1.5). 1.6 Dimensões e unidades 21 22 Capítulo 1 Introdução American Society of Mechanical Engineers (ASME), e há um livro-texto para expli- car o SI [19]. Serão usadas unidades do SI em praticamente todo este livro. Em mecânica dos fluidos há apenas quatro dimensões primárias das quais todas as outras podem ser derivadas: massa, comprimento, tempo e temperatura.4 Essas dimensões e suas unidades em ambos os sistemas são dadas na Tabela 1.1. Note que a unidade kelvin não usa o símbolo de grau. As chaves ao redor de um símbolo, como em {M}, significam “a dimensão” da massa. Todas as outras variáveis em mecânica dos fluidos podem ser ex- pressas em termos de {M}, {L}, {T}, e {}. Por exemplo, a aceleração tem as dimensões {LT –2}. A mais crucial dessas dimensões secundárias é a força, que está diretamente rela- cionada com massa, comprimento e tempo pela segunda lei de Newton. A força é igual à taxa de variação da quantidade de movimento com o tempo, ou, para massa constante, F 5 ma (1.2) Por meio dessa relação vemos que, dimensionalmente, {F} 5 {MLT –2}. O uso de uma constante de proporcionalidade na lei de Newton, Equação (1.2), é evitado definindo-se a unidade de força exatamente em termos das outras unidades básicas. No sistema SI, as unidades básicas são newtons {F}, quilogramas {M}, me- tros {L} e segundos {T}. Definimos 1 newton de força 5 1 N 5 1 kg · 1 m/s2 O newton é uma força relativamente pequena, aproximadamente igual ao peso de uma maçã. Além disso, a unidade básica de temperatura {} no sistema SI é o grau Kelvin, K. O uso dessas unidades do SI (N, kg, m, s, K) não necessitará de fatores de conversão em nossas equações. No sistema BG também é evitada uma constante de proporcionalidade na Equação (1.2), definindo-se a unidade de força exatamente em termos das outras unidades bási- cas. No sistema BG, as unidades básicas são libra-força {F}, slugs {M}, pés {L} e segundos {T}. Definimos 1 libra-força 5 1 lbf 5 1 slug · 1 ft/s2 Uma lbf < 4,4482 N e tem o peso aproximado de 4 maçãs. Usa-se a abreviatura lbf para libra-força e lbm para libra-massa. O slug é uma massa razoavelmente grande, igual a 32,174 lbm. A unidade básica de temperatura {} no sistema BG é o grau Rankine, °R. Lembre-se de que uma diferença de temperatura de 1 K 5 1,8 °R. O uso Dimensões primárias O Sistema Internacional (SI) O sistema britânico gravitacional (BG) Tabela 1.1 Dimensões primárias nos sistemas SI e BG Dimensão primária Unidade no SI Unidade no BG Fator de conversão Massa {M} Quilograma (kg) Slug 1 slug 5 14,5939 kg Comprimento {L} Metro (m) Pé (ft) 1 ft 5 0,3048 m Tempo {T} Segundo (s) Segundo (s) 1 s 5 1 s Temperatura {} Kelvin (K) Rankine (°R) 1 K 5 1,8°R 4Se os efeitos eletromagnéticos são importantes, uma quinta dimensão primária deve ser incluída, trata-se da corrente elétrica {I}, cuja unidade no SI é o ampère (A). dos fluidos; 1 stokes 5 1 cm2/s. A água a 20 °C tem m < 0,01 poise e também ν < 0,01 stokes. Expresse esses resultados em unidades do (a) SI e do (b) BG. Solução • Abordagem: Converta gramas em kg ou slugs e converta centímetros em metros ou pés. Valores das propriedades:• Dado m 5 0,01 g/(cm ⋅ s) e ν 5 0,01 cm2/s. Passos da solução:• (a) Para conversão em unidades do SI, m = ◊ = = ◊ = 0 01 0 01 1 1 000 0 01 m/cm)s 0 001, , ( / . ) ( , ,g cm s g kg g cm kg m s v 0,01cm 2 s cm2(0,01 m/cm)2 s m s = =0 01 0 000001 2 , , Resposta (a) • Para conversão em unidades do BG m = ◊ =0,01 g cm s 0 01 1 1 000 1 14 5939, ( / . )( / , ) (0,01 m /cm)(1 ft / 0,3048 m)s g kg g slug kg 0 0000209 0 01 slug ft s cm2(0,01 m /cm)2 (1 ft / 0,3048 m2) , , = ◊ = =v 0,01cm s 2 s ft s , 2 0 0000108= Resposta (b) Comentários:• Essa foi uma conversão trabalhosa que poderia ter sido abreviada usando-se os fatores de conversão direta de viscosidade do Apêndice C. Por exemplo, mBG 5 mSI/47,88. Parte (a) Parte (b) Repetimos nosso conselho: ao trabalhar com dados em unidades não usuais, converta-os imediatamente em unidades do SI ou do BG porque (1) é uma maneira mais profissional de trabalhar e (2) as equações teóricas da mecânica dos fluidos são dimensionalmente consistentes e não requerem outros fatores de conversão quando são usados esses dois sistemas fundamentais de unidades, como ilustra o exem- plo a seguir. EXEMPLO 1.3 Uma equação teórica útil para calcular a relação entre pressão, velocidade e altitude em um es- coamento permanente de um fluido considerado não viscoso e incompressível com transferência de calor e trabalho mecânico desprezíveis5 é a relação de Bernoulli, que recebeu esse nome em homenagem a Daniel Bernoulli, que publicou um livro sobre hidrodinâmica em 1738: p p V0 1 2 2= + +r rgZ (1) em que p0 = pressão de estagnação p = pressão no fluido em movimento V = velocidade r = massa específica Z = altitude g = aceleração da gravidade 5Há uma grande quantidade de hipóteses, que serão mais bem estudadas no Capítulo 3. 1.6 Dimensões e unidades 25 26 Capítulo 1 Introdução (a) Mostre que a Equação (1) satisfaz o princípio de homogeneidade dimensional, que afirma que todos os termos aditivos em uma equação física devem ter as mesmas dimensões. (b) Mos- tre que resultam unidades consistentes, sem fatores de conversão adicionais, em unidades do SI. (c) Repita o item (b) para unidades do BG. Solução Podemos expressar a Equação (1) dimensionalmente, usando chaves, escrevendo as dimensões de cada termo da Tabela 1.2: {ML–1T –2} = {ML–1T –2} 1 {ML–3} {L2T –2} 1 {ML–3} {LT –2} {L} = {ML–1T –2} para todos os termos Resposta (a) Escreva as unidades do SI da Tabela 1.2 para cada grandeza: {N/m2} = {N/m2} 1 {kg/m3} {m2/s2} 1 {kg/m3} {m/s2} {m} = {N/m2} 1 {kg/(m · s2)} O lado direito da expressão parece incorreto até lembrarmos da Equação (1.3), em que 1 kg 5 1 N · s2/m. { /( )} {N ◊s 2/m} { } {N/m}2kg m s m s ◊ = ◊ =2 2 Resposta (b) Assim todos os termos da equação de Bernoulli terão unidades pascals, ou newtons por metro quadrado, quando forem usadas as unidades do SI. Não são necessários fatores de conversão, o que é verdadeiro para todas as equações teóricas na mecânica dos fluidos. Introduzindo as unidades do BG para cada termo, temos {lbf/ft2} 5 {lbf/ft2} 1 {slugs/ft3} {ft2/s2} 1 {slugs/ft3} {ft/s2} {ft} = {lbf/ft2} 1 {slugs/(ft · s2)} Mas, pela Equação (1.3), 1 slug 5 1 lbf · s2/ft, de maneira que { /( )} {lbf ◊ s2/ft} { } {lbf / ft2}slugs ft s ft s ◊ = ◊ =2 2 Resposta (c) Todos os termos tem unidade de libra-força por pé quadrado. Não são necessários fatores de conversão no sistema BG também. Parte (a) Parte (b) Parte (c) Há ainda uma tendência, nos países de língua inglesa, de usar libra-força por pole- gada quadrada como unidade de pressão porque os números são mais convenientes. Por exemplo, a pressão atmosférica padrão é 14,7 lbf/in2 5 2.116 lbf/ft2 5 101.300 Pa. O pascal é uma unidade pequena porque o newton é menos do que 14 lbf e um metro qua- drado é uma área muito grande. Note que não somente todas as equações da mecânica (dos fluidos) devem ser dimen- sionalmente homogêneas, mas se deve também usar unidades consistentes; isto é, cada termo aditivo deve ter as mesmas unidades. Não há nenhuma dificuldade nisso usando-se os sistemas SI e BG, como no Exemplo 1.3, mas há problemas para aqueles que experi- mentam misturar unidades inglesas coloquiais. Por exemplo, no Capítulo 9, usamos fre- quentemente a hipótese de escoamento permanente compressível adiabático de um gás: h V+ =12 2 constante Unidades consistentes em que h é a entalpia do fluido e V 2/2 é a sua energia cinética por unidade de massa. As tabelas termodinâmicas coloquiais costumam fornecer h em unidades térmicas bri- tânicas por libra-massa (Btu/lb), ao passo que V é comumente fornecida em ft/s. É completamente errado adicionar Btu/lb a ft2/s2. A unidade apropriada para h neste caso é ft · lbf/slug, que é idêntica a ft2/s2. O fator de conversão é 1 Btu/lb < 25.040 ft2/s2 5 25.040 ft · lbf/slug. Todas as equações teóricas em mecânica (e em outras ciências físicas) são dimen- sionalmente homogêneas; isto é, cada termo aditivo da equação tem as mesmas dimen- sões. No entanto, o leitor deve estar ciente de que muitas fórmulas empíricas na literatura da engenharia, resultantes principalmente das correlações de dados, são di- mensionalmente inconsistentes. Suas unidades não podem ser harmonizadas sim- plesmente e alguns termos podem conter variáveis ocultas. Um exemplo é a fórmula que os fabricantes de válvulas hidráulicas citam para a vazão volumétrica de líquido Q (m3/s) através de uma válvula parcialmente aberta: Q C p dV = ÊËÁ ˆ ¯̃ D 1 2/ na qual ∆p é a queda de pressão na válvula e d é a densidade do líquido (a relação entre a massa específica do líquido e a massa específica da água). A grandeza CV é o coefi- ciente de vazão da válvula, que os fabricantes apresentam em tabelas nos catálogos das válvulas. Como d é adimensional {1}, vemos que essa fórmula é totalmente inconsis- tente, tendo um lado a dimensão de vazão {L3/T} e o outro lado a raiz quadrada de uma diferença de pressão {M1/2/L1/2T}. Conclui-se que CV tem de ter dimensões, e elas são bem estranhas: {L7/2/M1/2}. A resolução dessa discrepância não fica muito clara, embo- ra se saiba que os valores de CV na literatura aumentam linearmente com o quadrado do tamanho da válvula. A apresentação de dados experimentais em forma homogênea é o assunto da análise dimensional (Capítulo 5). Lá iremos aprender que uma forma homogênea para a relação de vazão em uma válvula é Q C A pd= Ê ËÁ ˆ ¯̃abertura D r 1 2/ em que r é a massa específica do líquido e A é a área da abertura da válvula. O coefi- ciente de descarga Cd é adimensional e só varia ligeiramente com o tamanho da válvu- la. Acredite — até discutirmos o fato no Capítulo 5 — que essa última expressão é uma formulação muito melhor dos dados. Ao mesmo tempo, concluímos que equações dimensionalmente inconsistentes, que ocorrem na prática da engenharia, são confusas e vagas e até mesmo perigosas, no sentido de que elas frequentemente são mal usadas fora do seu campo de aplicação. Os resultados na engenharia frequentemente são muito pequenos ou muito grandes para as unidades comuns, com muitos zeros de um modo ou de outro. Por exemplo, para escrever p 5 114.000.000 Pa, temos um número longo e inconveniente. Usando o prefixo “M” para representar 106, convertemos esse número em p 5 114 MPa (mega- pascals), muito mais simples. Da mesma forma, t 5 0,000000003 s é um pesadelo para quem estiver lendo este livro, comparado com o equivalente t 5 3 ns (nanossegundos). Esses prefixos são comuns e convenientes, tanto no sistema SI quanto no BG. A Tabe- la 1.3 traz uma lista completa. Equações homogêneas versus equações dimensionalmente inconsistentes Prefixos convenientes em potências de 10 Tabela 1.3 Prefixos convenientes para unidades de engenharia Fator multiplicativo Prefixo Símbolo 1012 tera T 109 giga G 106 mega M 103 quilo k 102 hecto h 10 deca da 10–1 deci d 10–2 centi c 10–3 mili m 10–6 micro m 10–9 nano n 10–12 pico p 10–15 femto f 10–18 atto a 1.6 Dimensões e unidades 27 30 Capítulo 1 Introdução Em geral, a velocidade é uma função vetorial da posição e do tempo e, portanto, tem três componentes u, v e w, sendo cada um deles um campo escalar: V(x,y,z,t) 5 iu(x,y,z,t) 1 jv(x,y,z,t) 1 kw(x,y,z,t) (1.4) O uso de u, v e w em lugar da notação mais lógica de componente Vx, Vy, e Vz é resul- tado de uma prática consolidada em mecânica dos fluidos. Grande parte deste livro, especialmente os Capítulos 4, 7, 8 e 9, trata de encontrar a distribuição do vetor velo- cidade V para uma variedade de escoamentos práticos. Embora o campo de velocidade V seja a propriedade mais importante de um flui- do, ele interage estreitamente com as propriedades termodinâmicas do fluido. Já intro- duzimos na discussão as três propriedades mais comuns: 1. Pressão p 2. Massa específica r 3. Temperatura T Essas três propriedades são companheiras constantes do vetor velocidade nas análises de escoamento. Há outras quatro propriedades termodinâmicas intensivas que se tornam importantes quando se trata com balanços de trabalho, calor e energia (Capítulos 3 e 4): 4. Energia interna û 5. Entalpia h 5 û 1 p/r 6. Entropia s 7. Calores específicos cp e cv Além disso, efeitos de atrito e condução de calor são regidos por duas propriedades chamadas de propriedades de transporte: 8. Coeficiente de viscosidade m 9. Condutividade térmica k Essas nove grandezas são todas verdadeiras propriedades termodinâmicas, determina- das pela condição termodinâmica ou de estado do fluido. Por exemplo, para uma subs- tância de fase única, tal como a água ou o oxigênio, duas propriedades básicas, como a pressão e a temperatura, são suficientes para fixar o valor de todas as outras: r 5 r(p, T) h 5 h(p, T) m 5 m(p, T) (1.5) e assim por diante para todas as grandezas da lista. Note que o volume específico, tão importante em análises termodinâmicas, é omitido aqui em favor do seu inverso, a massa específica r. Lembre-se de que as propriedades termodinâmicas descrevem o estado de um sis- tema — isto é, uma porção de matéria de identidade fixa que interage com suas vizi- nhanças. Aqui, na maioria dos casos, o sistema será um pequeno elemento de fluido e todas as propriedades serão consideradas propriedades contínuas do campo de escoa- mento: r 5 r(x, y, z, t) e assim por diante. Lembre-se também de que a termodinâmica normalmente se ocupa com sistemas estáticos, ao passo que os fluidos usualmente estão em movimento variado com pro- priedades variando constantemente. 1.8 Propriedades termodinâmicas de um fluido As propriedades conservam seu significado em um escoamento que tecnicamente não está em equilíbrio? A resposta é sim, de um ponto de vista estatístico. Em gases à pressão normal (e mais ainda para líquidos), ocorre uma quantidade enorme de coli- sões moleculares em uma distância muito pequena, da ordem de 1 mm, de modo que um fluido sujeito a mudanças bruscas rapidamente se ajusta ao equilíbrio. Conside- ramos então que todas as propriedades termodinâmicas listadas anteriormente exis- tem como funções de ponto em um fluido escoando e seguem todas as leis e relações do estado de equilíbrio comum da termodinâmica. Existem, naturalmente, importan- tes efeitos de não equilíbrio, tais como as reações químicas e nucleares em fluidos es- coando, que não são tratados neste livro. Pressão é a tensão (de compressão) em um ponto no fluido estático (Figura 1.3). Junto com a velocidade, a pressão p é a mais importante variável dinâmica em mecânica dos fluidos. Diferenças ou gradientes de pressão geralmente causam o escoamento do fluido, especialmente em dutos. Em escoamentos a baixa velocidade, a intensidade real da pressão nem sempre é importante, a menos que caia a um valor tão baixo que cause a formação de bolhas de vapor no líquido. Por conveniência, tratamos muitos dos proble- mas propostos em nível de 1 atm 5 101.300 Pa. No entanto, os escoamentos de gás a alta velocidade (compressível) (Capítulo 9) são realmente sensíveis ao valor da pressão. A temperatura T é uma medida do nível da energia interna de um fluido. Ela pode variar consideravelmente durante um escoamento em alta velocidade de um gás (Capí- tulo 9). Embora os engenheiros usem frequentemente as escalas Celsius ou Fahrenheit por conveniência, muitas aplicações neste texto requerem escalas de temperatura ab- soluta (Kelvin ou Rankine): ºR 5 ºF 1 459,69 K 5 ºC 1 273,16 Se as diferenças de temperatura forem grandes, a transferência de calor pode ser im- portante [20], mas nossa preocupação aqui é principalmente com os efeitos dinâmi- cos. A massa específica de um fluido, representada por r (letra grega rô minúscula), é a sua massa por unidade de volume. A massa específica é muito variável em gases e au- menta quase proporcionalmente com a pressão. A massa específica dos líquidos é qua- se constante; a massa específica da água (aproximadamente 1.000 kg/m3) aumenta somente 1% se a pressão for aumentada por um fator de 220. Dessa maneira, a maioria dos escoamentos de líquidos é tratada analiticamente como aproximadamente “incom- pressível”. Em geral, os líquidos são cerca de três ordens de grandeza mais densos que os gases à pressão atmosférica. O líquido comum mais pesado é o mercúrio, e o gás mais leve é o hidrogênio. Compare suas massas específicas a 20 °C e 1 atm: Mercúrio: r 5 13.580 kg/m3 Hidrogênio: r 5 0,0838 kg/m3 Elas diferem em um fator de 162.000! Assim, os parâmetros físicos em vários escoa- mentos de líquidos e gases podem variar consideravelmente. As diferenças geralmente são resolvidas pelo uso da análise dimensional (Capítulo 5). Outras massas específicas de fluidos estão listadas nas Tabelas A.3 e A.4 (no Apêndice A) e na Referência 21. Pressão Temperatura Massa específica 1.8 Propriedades termodinâmicas de um fluido 31 32 Capítulo 1 Introdução O peso específico de um fluido, representado por g (letra grega gama minúscula), é seu peso por unidade de volume. Assim como a massa tem um peso P 5 mg, a massa específica e o peso específico são simplesmente relacionados pela gravidade: g 5 rg (1.6) As unidades de g são peso por unidade de volume, em lbf/ft3 ou N/m3. Na gravidade padrão da Terra, g 5 9,807 m/s2. Assim, por exemplo, os pesos específicos do ar e da água a 20°C e 1 atm são aproximadamente gar 5 (1.205 kg/m 3)(9.807 m/s2) 5 11,8 N/m3 gágua 5 (998 kg/m 3)(9.807 m/s2) 5 9.790 N/m3 O peso específico é muito útil nas aplicações de pressão hidrostática do Capítulo 2. Pesos específicos de outros fluidos são dados nas Tabelas A.3 e A.4. A densidade, representada por d, é a relação entre a massa específica do fluido e a massa específica de um fluido padrão de referência, usualmente a água a 4 °C (para lí- quidos) e o ar (para gases): d d gás = = = r r r r r r gás ar gás 3 líquido água líquido 1,205kg/m líquido = 1 000 3. /kg m (1.7) Por exemplo, a densidade do mercúrio (Hg) é dHg 5 13.580/1.000 < 13,6. Os enge- nheiros acham essas relações adimensionais mais fáceis de lembrar do que os valores numéricos reais de massa específica de vários fluidos. Em termostática, a única energia de uma substância é aquela armazenada em um sistema por atividade molecular e forças de ligação molecular. Isso é chamado comu- mente de energia interna û. Um ajuste comumente aceito a essa situação estática para um escoamento é acrescentar mais dois termos de energia provenientes da mecânica newtoniana: a energia potencial e a energia cinética. A energia potencial é igual ao trabalho necessário para mover o sistema de massa m da origem até uma posição vetorial r 5 ix 1 jy 1 kz contra o campo gravitacional g. Seu valor é –mg · r, ou –g · r por unidade de massa. A energia cinética é igual ao trabalho necessário para variar a velocidade da massa de zero até a velocidade V. Seu valor é 12 mV 2 ou 12V 2 por unidade de massa. Então, por convenção, a energia total armazenada e por unidade de massa em mecânica dos fluidos é a soma desses três ter- mos: e u V= + ◊^ ( )12 2 + -g r (1.8) Além disso, neste livro, definiremos o sentido positivo de z para cima, tal que g 5 –gk e g · r 5 –gz. A Equação (1.8) torna-se, então, e u V^= + +12 2 gz (1.9) A energia interna molecular û é uma função de T e p para substâncias puras de uma única fase, ao passo que as energias potencial e cinética são grandezas cinemáticas. Peso específico Densidade Energias potencial e cinética EXEMPLO 1.5 Calcule r e cp do vapor a 689,48 kPa e 204 oC, (a) pela aproximação de gás perfeito e (b) pelas tabelas de vapor da ASME [23] ou pelo EES. Solução Abordagem (a) – lei dos gases perfeitos:• Embora o vapor não seja um gás ideal, podemos estimar essas propriedades com precisão razoável por meio das Equações (1.10) e (1.17). Use a temperatura absoluta, (204 °C 1 273) 5 477 K. Da Tabela A.4, o peso molecular da água (H2O) é 18,02, então, a constante do gás do vapor é R Mvapor H O 2 2 2 kJ/(kmol.K mol m /(s .K)= = =� 8 314 18 02 461 38. ) , / , Então, da lei dos gases perfeitos resulta a massa específica, Equação (1.10): r � p RT = =689 480 461 38 477 3 13. , ,N/m m /(s .K) K kg/m 2 2 2 3 ◊ Resposta (a) A 477 K, da Figura 1.5, kvapor 5 cp /cv < 1,30. Então, da Equação (1.17), c kR kp � � - = ◊ -1 1 3 461 38 1 3 1 1 999 31 2 2, , , . ,m /(s .K) 2 2 m /(s .K) Resposta (a) Abordagem (b) — tabelas ou software:• Podemos consultar as tabelas de vapor ou progra- mar algumas linhas no software EES. Ao usar o software EES, certifique-se de que o menu Variable Information especifica as unidades no SI: kPa e oC. As instruções do EES para avaliação da massa específica e calor específico do vapor são, para essas condições, Rho 5 DENSITY (steam; P 5 689,48; T 5 204) Cp 5 SPECHEAT(steam; P 5 689,48; T 5 204) Observe que o software está configurado para kPa e °C, sem necessidade de conversão. O software EES retorna os valores de ajuste da curva Rho 5 3,25 kg/m3 ; Cp 5 2,216 kJ/(kg.K) Comentários:• As tabelas de vapor dariam resultados muito próximos aos do EES. A esti- mativa de r pela lei dos gases perfeitos é 4% menor, e a estimativa de cp é 9% menor. A principal razão para a discrepância é que essa temperatura e pressão estão razoavelmente próximas do ponto crítico e da linha de saturação do vapor. A temperaturas mais altas e pres- sões mais baixas, digamos, 450 °C e 340 kPa, a lei dos gases perfeitos resulta em proprieda- des com uma precisão de aproximadamente ± 1%. 1.8 Propriedades termodinâmicas de um fluido 35 36 Capítulo 1 Introdução O autor desconhece qualquer “lei dos líquidos perfeitos” comparável àquela dos gases perfeitos. Os líquidos são quase incompressíveis e têm um único calor especí- fico razoavelmente constante. Dessa maneira uma relação de estado idealizada para um líquido é r < constante cp < cv < constante dh < cp dT (1.18) A maioria dos problemas de escoamento neste livro pode ser resolvida com essas hipó- teses simples. Normalmente se considera a água com uma massa específica igual a 998 kg/m3 e um calor específico cp 5 4.210 m 2/(s2 · K). Podem ser usadas as tabelas de vapor se for necessária uma maior precisão. A massa específica de um líquido usualmente decresce ligeiramente com a tempe- ratura e cresce moderadamente com a pressão. Se desprezarmos o efeito da temperatu- ra, uma relação empírica pressão-massa específica para um líquido é p p B B a a n  ( )+ Ê ËÁ ˆ ¯̃ -1 r r (1.19) em que B e n são parâmetros adimensionais que variam ligeiramente com a temperatu- ra e pa e ra são valores para a atmosfera padrão. Para a água podemos estabelecer aproximadamente os valores B < 3.000 e n < 7. A água do mar é uma mistura variável de água e sal e portanto requer três pro- priedades termodinâmicas para definir seu estado. Essas propriedades normalmente são a pressão, a temperatura e a salinidade Ŝ, definida como o peso do sal dissolvido dividido pelo peso da mistura. A salinidade média da água do mar é 0,035, escrita usualmente como 35 partes por 1.000, ou 35‰. A massa específica média da água do mar é 2,00 slugs/ft3 < 1.030 kg/m3. Rigorosamente falando, a água do mar tem três calores específicos, todos aproximadamente iguais aos valores para a água pura, de 25.200 ft2/(s2 · R) 5 4.210 m2/(s2 · K). Relações de estado para líquidos EXEMPLO 1.6 A pressão na parte mais profunda do oceano é aproximadamente 1.100 atm. Calcule a massa específica da água do mar em kg/m3 nessa pressão. Solução A Equação (1.19) vale tanto para a água pura quanto para a água do mar. A razão p/pa é 1.100: 1 100 3 001 3 000 7 . ( . ) .� r ra Ê ËÁ ˆ ¯̃ - ou r ra = ÊË ˆ ¯ = 4 100 3 001 1 046 1 7. . , / Supondo uma densidade média da água do mar na superfície ra 5 1.030 kg/m 3, calculamos r < 1,046(1.030) 5 1.077,38 kg/m3 Resposta Mesmo nessas pressões imensas, o aumento da massa específica é menor que 5%, o que justi- fica o tratamento de um escoamento de líquido como essencialmente incompressível. Figura 1.6 As tensões de cisalhamento causam deforma- ções tangenciais contínuas em um fluido: (a) um elemento de fluido deformando a uma taxa de du/dt; (b) distribuição de velocidade em uma camada cisalhada próxima a uma parede. As grandezas como pressão, temperatura e massa específica discutidas na seção anterior são variáveis termodinâmicas primárias características de qualquer sistema. Existem também certas variáveis secundárias que caracterizam o comportamento me- cânico de um fluido específico. A mais importante delas é a viscosidade, que relaciona as tensões locais em um fluido em movimento com a taxa de deformação por cisalha- mento do elemento de fluido. A viscosidade é uma medida quantitativa da resistência de um fluido ao escoamen- to. Mais especificamente, ela determina a taxa de deformação do fluido que é gerada pela aplicação de uma dada tensão de cisalhamento. Podemo-nos mover facilmente através do ar, que tem uma viscosidade muito baixa. O movimento é mais difícil na água, que tem uma viscosidade 50 vezes maior. Encontra-se uma resistência ainda maior no óleo SAE 30, que é 300 vezes mais viscoso do que a água. Tente mover sua mão através da glicerina, que é 5 vezes mais viscosa do que o óleo SAE 30, ou dos melaços de cana-de-açúcar, com um valor 5 vezes maior que a glicerina. Os fluidos podem ter uma ampla gama de viscosidades. Considere um elemento de fluido sob cisalhamento em um plano por uma única tensão de cisalhamento τ, como na Figura 1.6a. O ângulo de deformação devido ao cisalhamento du cresce continuamente com o tempo enquanto a tensão τ for mantida, a superfície superior move-se com uma velocidade du maior que a inferior. Fluidos comuns como água, óleo e ar apresentam uma relação linear entre a tensão de cisalha- mento aplicada e a taxa de deformação resultante: t ∝ du dt (1.20) 1.9 Viscosidade e outras propriedades secundárias Viscosidade (b) (a) qd du dt dq dt t µ du = u u = 0 dx t u(y) y t = du dy du dy Sem deslizamento na parede Perfil de velocidades d y 0 mqd 1.9 Viscosidade e outras propriedades secundárias 37 40 Capítulo 1 Introdução em que V e L são escalas de velocidade e de comprimento características do escoamen- to. A segunda forma de Re ilustra que a razão entre m e r tem seu próprio nome, que é a viscosidade cinemática: v = m r (1.25) Ela é chamada de cinemática porque a unidade de massa não aparece, ficando somente as dimensões {L2/T}. Geralmente, a primeira coisa que um engenheiro da área de fluidos deve fazer é estimar o intervalo do número de Reynolds do escoamento em estudo. Número de Reynolds Re muito baixo indica movimento viscoso muito lento, no qual os efeitos da inércia são desprezíveis. Número de Reynolds Re moderado implica escoamento laminar com variação suave. Número de Reynolds Re alto provavelmente indica escoamento turbulento, que pode variar lentamente no tempo, mas impõe fortes flutuações randô- micas de alta frequência. Não é possível definir aqui valores numéricos explícitos para números de Reynolds baixo, moderado e alto. Eles dependem da geometria do escoa- mento e serão discutidos nos Capítulos 5 a 7. A Tabela 1.4 também lista valores de ν para os mesmos oito fluidos. A ordem de grandeza muda consideravelmente, e o mercúrio, o mais pesado, tem a menor viscosi- dade em relação ao seu próprio peso. Todos os gases têm alta ν em relação aos líquidos pouco viscosos, como a gasolina, a água e o álcool. O óleo e a glicerina ainda têm a ν mais alta, mas a relação é menor. Para dados valores de V e L em um escoamento, esses fluidos apresentam uma variação de quatro ordens de grandeza no número de Reynolds. Um problema clássico é o escoamento induzido entre uma placa inferior fixa e uma placa superior, que se move uniformemente à velocidade V, como mostra a Figura 1.8. O espaçamento entre as placas é h, e o fluido é newtoniano e não apresenta escorrega- mento com relação às placas. Se as placas são largas, esse movimento cisalhado per- manente terá uma distribuição de velocidades u(y), como mostra a figura, com ν 5 w 5 0. A aceleração do fluido é zero em todo o escoamento. Com aceleração zero e supondo que não haja variação de pressão na direção do escoamento, podemos mostrar que um balanço de forças sobre um pequeno elemento de fluido resulta em que a tensão de cisalhamento é constante através do fluido. Então a Equação (1.23) torna-se du dy = =t m constante Escoamento entre placas Figura 1.8 Escoamento viscoso induzido pelo movimento relativo entre duas placas paralelas. y x h u(y) V Placa móvel: u = V Fluido viscoso u = V u = 0 Placa fixa que podemos integrar para obter u 5 a 1 by A distribuição de velocidade é linear, como representa a Figura 1.8, e as constantes a e b podem ser calculadas com base na condição de não escorregamento nas paredes su- perior e inferior: u a b y V a b h y h = + + Ï Ì Ó 0 0 0= = = = ( ) ( ) em em Portanto, a 5 0 e b 5 V/h. Assim, o perfil de velocidade entre as placas é dado por u V y h = (1.26) como indica a Figura 1.8. O escoamento turbulento (Capítulo 6) não apresenta essa forma. Embora a viscosidade tenha um forte efeito sobre o movimento do fluido, as ten- sões viscosas reais são muito pequenas numericamente, mesmo para óleos, como mos- tra o exemplo a seguir. EXEMPLO 1.7 Suponha que o fluido que está sendo cisalhado na Figura 1.8 seja o óleo SAE 30 a 20 °C. Cal- cule a tensão de cisalhamento no óleo se V 5 3 m/s e h 5 2 cm. Solução Esboço do sistema:• Foi mostrado anteriormente na Figura 1.8. Hipóteses:• Perfil de velocidade linear, fluido newtoniano laminar, não há escorregamento com relação às superfícies das placas. Abordagem:• A análise da Figura 1.8 conduz à Equação (1.26) para escoamento laminar. Valores das propriedades:• Da Tabela 1.4 para o óleo SAE 30, a viscosidade do óleo é m 5 0,29 kg/(m.s). Passos da solução:• Na Equação (1.26), a única incógnita é a tensão de cisalhamento do fluido: t m= = = = V h 0 29 0 02 43 5 43 5 44 2 2 2, , , / ,kg m s m◊ Ê Ë ˆ ¯ (3 m/s) ( ) ◊kg m s m N m P� a Resposta Comentários:• Note a identidade das unidades, 1 kg·m/s2  1 N e 1 N/m2  1 Pa. Embora o óleo seja muito viscoso, o valor da tensão de cisalhamento é modesto, cerca de 2.400 vezes menor que a pressão atmosférica. As tensões viscosas em gases e líquidos pouco viscosos (aquosos) são ainda menores. A temperatura tem um forte efeito e a pressão um efeito moderado sobre a visco- sidade. A viscosidade dos gases e da maioria dos líquidos aumenta lentamente com a pressão. A água tem um comportamento anormal, apresentando um decréscimo muito suave abaixo de 30 °C. Como a variação na viscosidade é muito pequena para pressões de até 100 atm, vamos desprezar os efeitos da pressão neste livro. A viscosidade dos gases aumenta com a temperatura. Duas aproximações frequen- tes são a lei de potência e a lei de Sutherland: m m0 0 0 3 2 0  T T T T T S T S nÊ ËÁ ˆ ¯̃ + + lei de potência lei de Sutherla ( / ) ( )/ nd Ï Ì ÔÔ Ó Ô Ô (1.27) Variação da viscosidade com a temperatura 1.9 Viscosidade e outras propriedades secundárias 41 42 Capítulo 1 Introdução em que m0 é uma viscosidade conhecida a uma temperatura absoluta T0 conhecida (usualmente 273 K). As constantes n e S são ajustadas aos dados, e ambas as fórmulas são adequadas a uma ampla gama de temperaturas. Para o ar, n < 0,7 e S < 110 K. Outros valores são dados na Referência 26. A viscosidade dos líquidos diminui com a temperatura e é aproximadamente expo- nencial, m < ae–bT; mas um ajuste melhor é o resultado empírico em que ln m é quadrá- tico em 1/T, em que T é a temperatura absoluta: ln m m0 0 0 2  a b T T c T T + ÊË ˆ ¯ + Ê Ë ˆ ¯ (1.28) Para a água, com T0 5 273,16 K, m0 5 0,001792 kg/(m · s), os valores sugeridos são a 5 21,94, b 5 24,80 e c 5 6,74, com precisão de  1%. A viscosidade da água está representada na Tabela A.1. As fórmulas de ajuste da curva de viscosidade para 355 líquidos orgânicos são dadas por Yaws et al. [27]. Para dados adicionais de viscosida- de, veja as Referências 28 e 29. Assim como a viscosidade relaciona a tensão aplicada com a taxa de deformação resultante, há uma propriedade chamada de condutividade térmica k que relaciona o vetor taxa de fluxo de calor por unidade de área q ao vetor gradiente de temperatura T. Essa proporcionalidade, observada experimentalmente para fluidos e sólidos, é conhecida como lei de Fourier da condução de calor: q = - k T (1.29a) que pode também ser escrita na forma de três equações escalares: q k Tx q k T y q k T zx y z = - = - = -∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.29b) O sinal de menos satisfaz a convenção de que o fluxo de calor é positivo na direção da temperatura decrescente. A lei de Fourier é dimensionalmente consistente, e k tem unidades no SI de joules por segundo-metro-kelvin. A condutividade térmica k é uma propriedade termodinâmica e varia com a temperatura e a pressão de forma muito se- melhante à viscosidade. A relação k/k0 pode ser correlacionada com T/T0 da mesma maneira que as Equações (1.27) e (1.28) para gases e líquidos, respectivamente. Dados adicionais sobre as variações da viscosidade e da condutividade térmica podem ser encontrados na Referência 21. Os fluidos que não seguem a lei linear da Equação (1.23) são chamados de não newtonianos e são tratados em livros sobre reologia [16]. A Figura 1.9a compara al- guns exemplos com um fluido newtoniano. Dilatante. No fluido dilatante a resistência aumenta com o aumento da tensão aplicada. Exemplos são suspensões de amido ou água com areia. O caso clássico é a areia mo- vediça, que tende a endurecer quando a agitamos. Pseudoplástico. Um fluido pseudoplástico diminui a resistência com o aumento da tensão aplicada. Um fluido fortemente pseudoplástico é chamado de plástico. Alguns exemplos são soluções de polímeros, suspensões coloidais, polpa de papel em água, tinta latex, Condutividade térmica Fluidos não newtonianos Não consideramos o peso do líquido nesse cálculo. Na Figura 1.11b, o aumento de pressão no interior de uma gota esférica equilibra um anel de força devido à tensão superficial: ou p pR p R p R 2 2 2 D Y D Y = = (1.32) Podemos usar esse resultado para prever o aumento de pressão no interior de uma bo- lha de sabão, que tem duas interfaces com o ar, uma superfície interna e outra externa de aproximadamente o mesmo raio R: D D Yp p Rbolha gota  2 4= (1.33) A Figura 1.11c mostra o caso geral de uma interface arbitrariamente curvada cujos raios principais de curvatura são R1 e R2. Um balanço de forças normais à superfície mostrará que o aumento de pressão sobre o lado côncavo é � �p R R= +- -( )1 1 2 1 (1.34) As Equações (1.31) a (1.33) podem ser deduzidas dessa relação geral; por exemplo, na Equação (1.31), R1 5 R e R2 5 ∞. Um segundo efeito de superfície importante é o ângulo de contato u, que aparece quando uma interface líquida tem contato com uma superfície sólida, como na Figura 1.12. O balanço de forças envolveria então Y e u. Se o ângulo de contato é menor que 90°, diz-se que o líquido molha o sólido; se u . 90°, diz-se que o líquido não molha o sólido. Por exemplo, a água molha o sabão, mas não molha a cera. A água molha bas- tante uma superfície limpa de vidro, com u < 0°. Assim como Y, o ângulo de contato u é sensível às condições físico-químicas reais da interface sólido-líquido. Para uma interface limpa mercúrio-ar-vidro, u 5 130°. O Exemplo 1.8 ilustra como a tensão superficial faz uma interface de fluido subir ou descer em um tubo capilar. Figura 1.12 Efeitos do ângulo de contato na interface líquido-gás-sólido. Se u < 90°, o líquido “molha” o sólido; se u . 90°, o líquido “não molha” o sólido. Não molha Sólido Líquido Gás q q EXEMPLO 1.8 Deduza uma expressão para a variação na altura h em um tubo circular de um líquido com tensão superficial Y e ângulo de contato u, como na Figura E1.8. 1.9 Viscosidade e outras propriedades secundárias 45 46 Capítulo 1 Introdução Solução O componente vertical do anel de força devido à tensão superficial nas interfaces no tubo deve equilibrar o peso da coluna de fluido de altura h: 2 2p u gpR R h� cos = Resolvendo para h, temos o resultado desejado: h R = 2� cosu g Resposta Assim a altura capilar aumenta inversamente com o raio R do tubo e é positiva se u < 90° (o líquido molha o tubo) e negativa (depressão capilar) se u . 90°. Suponha que R 5 1 mm. Então a elevação capilar para uma interface água-ar-vidro, u < 0°, Y 5 0,073 N/m e r 5 1.000 kg/m3, é h = =2(0,073 N / m)(cos 0 �) 0,015 (N ◊ s2) / kg = 0,015 m = 1,5 cm (1.000 kg /m3)(9,81 m /s2)(0,001 m) Para uma interface mercúrio-ar-vidro, com u 5 130°, Y 5 0,48 N/m e r 5 13.600 kg/m3, a elevação capilar é h = = 2 0 48 130 13 600 9 81 0 001 -0,0046 m = -0,46 cm( , )(cos ) . ( , )( , ) � Quando um tubo de pequeno diâmetro é usado para fazer medidas de pressão (Capítulo 2), esses efeitos de capilaridade devem ser levados em consideração. E1.8 q 2R h A pressão de vapor é a pressão na qual um líquido vaporiza e está em equilíbrio com seu próprio vapor. Por exemplo, a pressão de vapor da água a 20 oC é 2.346 Pa, enquanto a do mercúrio é somente 0,1676 Pa. Se a pressão do líquido é maior do que a pressão de vapor, a única troca entre líquido e vapor é a evaporação na interface. Po- rém, se a pressão do líquido cai abaixo da pressão de vapor, começam a aparecer bo- lhas de vapor no líquido. Se a água é aquecida a 100 oC, sua pressão de vapor sobe para 101,3 kPa, e assim a água na pressão atmosférica normal vaporizará. Quando a pressão do líquido cai abaixo da pressão de vapor devido a um fenômeno de escoamento, cha- mamos o processo de cavitação. Se a água é acelerada do repouso até aproximadamen- te 15 m/s, sua pressão cai aproximadamente 1 atm. Isso pode causar cavitação [31]. O parâmetro adimensional que descreve a vaporização induzida pelo escoamento é o número de cavitação. Ca = p pa v- 1 2 2rV (1.35) em que pa 5 pressão ambiente pv 5 pressão de vapor V 5 velocidade característica do escoamento r 5 massa específica do fluido Dependendo da geometria, determinado escoamento tem um valor crítico de Ca abaixo do qual o escoamento começará a cavitar. A Tabela A.5 fornece valores de tensão su- perficial e pressão de vapor para a água. A pressão de vapor da água está representada no gráfico da Figura 1.13. Pressão de vapor A Figura 1.14a mostra as bolhas de cavitação sendo formadas sobre as superfícies de baixas pressões de uma hélice marítima. Quando essas bolhas se movem para uma região de alta pressão, elas entram em colapso de forma implosiva. O colapso por ca- vitação pode rapidamente provocar erosão em superfícies metálicas e finalmente des- truí-las, como mostra a Figura 1.14b. Figura 1.13 Pressão de vapor da água. Dados da Tabela A.5. 100 80 60 40 20 0 p v , k Pa 0 20 40 60 80 100 T, ∞C EXEMPLO 1.9 Um certo torpedo, movendo-se na água doce a 10 °C, tem um ponto de pressão mínima dado pela fórmula pmín 5 p0 2 0,35 rV 2 (1) em que p0 5 115 kPa, r é a massa específica da água e V é a velocidade do torpedo. Calcule a velocidade na qual bolhas de cavitação se formarão sobre o torpedo. A constante 0,35 é adi- mensional. Solução Hipótese:• As bolhas de cavitação se formam quando a pressão mínima se iguala à pressão de vapor pv. Abordagem:• Resolva a Equação (1) acima, que está relacionada com a equação de Bernoulli do Exemplo 1.3, para a velocidade quando pmín 5 pv. Use unidades no SI (m, N, kg, s). Valores das propriedades:• A 10 °C, leia na Tabela A.1 que r 5 1.000 kg/m3 e na Tabela A.5 que pv 5 1,227 kPa. Passos da solução:• Insira os dados conhecidos na Equação (1) e resolva para a velocidade, usando unidades no SI: pmin 5 pv 5 1.227 Pa 5 115.000 Pa 2 0,35 1.000 3 2kg m VÊËÁ ˆ ¯̃ , com V em m/s Resolva V V2 2 2 115 000 1 227 0 35 1 000 325 325 18 0= = =( . . ) , ( . ) ,- m s ou m s� / Resposta Comentários:• Note que o uso das unidades no SI não requer fatores de conversão, como foi discutido no Exemplo 1.3b. As pressões devem ser fornecidas em pascals, não em quilopascals. 1.9 Viscosidade e outras propriedades secundárias 47 50 Capítulo 1 Introdução enquanto a velocidade tangencial Vt é admitida independentemente da parede. A análi- se é muito mais simples, mas o modelo de escoamento é altamente idealizado. Para fluidos newtonianos de alta viscosidade, a hipótese de velocidade linear e a condição de não escorregamento podem resultar em algumas análises aproximadas sofisticadas para escoamentos viscosos bidimensionais e tridimensionais. Isso será ilustrado no próximo exemplo, um tipo de viscosímetro de disco rotativo. EXEMPLO 1.10 Um filme de óleo de viscosidade m e espessura h << R está entre uma parede sólida e um disco circular, como mostra a Figura E1.10. O disco gira com uma velocidade angular constante . Observa-se que tanto a velocidade quanto a tensão de cisalhamento variam com o raio r; dedu- za uma fórmula para o torque M necessário para girar o disco. Despreze o arrasto do ar. Solução Esboço do sistema:• A Figura E1.10 mostra uma vista lateral (a) e uma vista superior (b) do sistema. W r r = R r = REspessura do filme de óleo h Parede fixa r dM = (t dA)r dA = 2pr dr (b)(a) dr Hipóteses:• Perfil de velocidade linear, escoamento laminar, condição de não escorrega- mento, tensão de cisalhamento local dada pela Equação (1.23). Abordagem:• Calcule a tensão de cisalhamento sobre uma faixa circular de largura dr e área dA 5 2πr dr na Figura E1.10b, depois encontre o momento dM em relação à origem causado pela tensão de cisalhamento. Integre sobre todo o disco e ache o momento total M. Valores das propriedades:• Viscosidade m do óleo constante. Nesse escoamento permanen- te, a massa específica do óleo não é relevante. Passos da solução:• No raio r, a velocidade no óleo é tangencial, variando desde zero na parede fixa (não escorregamento) até u 5 Ωr na superfície do disco (também não escorrega- mento). A tensão de cisalhamento nessa posição é então t m= du dy r h < m Essa tensão de cisalhamento é perpendicular, em todos os pontos, ao raio a partir da origem (veja a Figura 1.10b). Então o momento total em relação à origem do disco, causado pelo cisa- lhamento dessa faixa circular, pode ser calculado e integrado: E1.10 dM dA r r h r dr r M dM h r dr R h = = Ê ËÁ ˆ ¯̃ = = =( )( ) ( ) ,t m p p� � � �2 2 2 3 4m m Resposta Comentários:• Esta é uma análise de engenharia simplificada, que despreza os possíveis efei- tos de borda, arrasto do ar sobre o disco, e a turbulência que pode aparecer se o disco girar muito rápido.   R 0 No escoamento de um gás, deve-se estar atento aos efeitos da compressibilidade (variações significativas da massa específica causadas pelo escoamento). Veremos na Seção 4.2 e no Capítulo 9 que a compressibilidade se torna importante quando a velo- cidade de escoamento atinge uma fração significativa da velocidade do som no fluido. A velocidade do som a no fluido é a taxa de propagação dos pulsos de pressão de pe- quenas perturbações (“ondas de som”) através do fluido. No Capítulo 9 mostraremos, por meio de argumentos sobre quantidade de movimento e termodinâmicos, que a ve- locidade do som é definida por a p k p k c cs T p v 2 = Ê ËÁ ˆ ¯̃ = Ê ËÁ ˆ ¯̃ =∂ ∂ ∂ ∂r r (1.38) Isso é verdadeiro para um líquido ou para um gás, mas é nos gases que ocorre o pro- blema de compressibilidade. Para um gás ideal, Equação (1.10), obtemos a fórmula simples agás ideal 5 (kRT) 1/2 (1.39) em que R é a constante do gás, Equação (1.11), e T a temperatura absoluta. Por exem- plo, para o ar a 20 °C, a 5 {(1,40)[287 m2/(s2 · K)](293 K)}1/2 < 343 m/s. Se, nesse caso, a velocidade do ar atinge uma fração significativa de a, digamos 100 m/s, deve- mos considerar os efeitos da compressibilidade (Capítulo 9). Uma outra maneira de enunciar isso é levar em conta a compressibilidade quando o número de Mach Ma 5 V/a do escoamento alcança aproximadamente 0,3. A velocidade do som na água é dada na Tabela A.5. A velocidade do som no ar (ou qualquer gás aproximadamente perfeito) é simplesmente calculada pela Equação (1.39). Velocidade do som EXEMPLO 1.11 Um avião comercial voa a 864 km/h a uma altitude padrão de 9.000 m. Qual é o seu número de Mach? Solução Abordagem:• Determine a velocidade “padrão” do som; divida-a pela velocidade, usando as unidades apropriadas. Valores das propriedades:• Da Tabela A.6, a 9.000 m, a < 303 m/s. Verifique isso em rela- ção à temperatura padrão, estimada com base na tabela como sendo 229 K. Da Equação (1.39) para o ar, a 5 [kRarT] 1/2 5 [1,4(287)(229)]1/2 < 303 m/s. 1.9 Viscosidade e outras propriedades secundárias 51 52 Capítulo 1 Introdução Passos da solução:• Converta a velocidade do avião em m/s: V 5 (864 km/h)[0,2778 m/s/(km/h)] < 240 m/s Então o número de Mach é dado por Ma 5 V/a 5 (240 m/s)/(303 m/s) 5 0,80 Resposta Comentários:• Este valor, Ma 5 0,80, é típico dos aviões comerciais de hoje. Há três modos básicos de abordar um problema de escoamento de um fluido. Eles são igualmente importantes para um estudante que aprende o assunto, e este livro tenta dar uma cobertura adequada a cada método: 1. Volume de controle ou análise integral (Capítulo 3). 2. Sistema infinitesimal ou análise diferencial (Capítulo 4). 3. Estudo experimental ou análise dimensional (Capítulo 5). Em todos os casos, o escoamento deve satisfazer as três leis básicas da mecânica mais uma relação de estado termodinâmico e as condições de contorno associadas: 1. Conservação de massa (continuidade). 2. Quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton). 3. Primeira lei da termodinâmica (conservação da energia). 4. Uma relação de estado como r 5 r (p, T). 5. Condições de contorno apropriadas nas superfícies sólidas, nas interfaces, nas en- tradas e nas saídas. Nas análises integral e diferencial, essas cinco relações são modeladas matemati- camente e solucionadas por métodos computacionais. Em um estudo experimental, o próprio fluido desempenha essa tarefa sem o uso de nenhuma matemática. Em outras palavras, acredita-se que essas leis sejam fundamentais para a física, e não se conhece nenhum escoamento de fluido que as possa violar. A mecânica dos fluidos é um tema altamente visual. Os campos de escoamento podem ser visualizados de muitos modos diferentes, e você pode visualizá-los em es- boços ou fotografias e aprender muito qualitativamente e muitas vezes quantitativa- mente sobre o escoamento. Quatro tipos básicos de linhas são usados para visualizar os escoamentos: 1. Linha de corrente é uma linha tangente em todos os pontos ao vetor velocidade em um dado instante. 2. Linha de trajetória é o caminho real percorrido por uma determinada partícula de fluido. 3. Linha de emissão é a linha formada por todas as partículas que passaram anterior- mente por um ponto prescrito. 4. Linha de filete é um conjunto de partículas de fluido que formam uma linha em um dado instante. A linha de corrente é conveniente para calcular matematicamente, enquanto as outras três são mais fáceis de gerar experimentalmente. Observe que uma linha de corrente e uma linha de filete são linhas instantâneas, enquanto a linha de trajetória e a linha de 1.10 Técnicas básicas de análise de escoamento 1.11 Campos de escoamento: linhas de corrente, linhas de emissão e linhas de trajetória 0 0 C = –3 –2 –1 C = 0 0 +1 +2 C = +3 –3 –2 –1 x C = 0 +1 +2 +3 y ladamente, o quadrante superior direito é semelhante ao escoamento em um canto a 90°. Sem dúvida, isso é um campo de escoamento realístico e será discutido novamente no Capítulo 8. Finalmente observe a peculiaridade de que as duas linhas de corrente (C 5 0) têm direções opostas e se entrecortam. Isso só é possível em um ponto em que u 5 v 5 w 5 0, que neste caso ocorre na origem. Um ponto como esse, de velocidade zero, é chamado de ponto de estagnação. Figura E1.12 Linhas de corrente para a distribuição de velocidades dada pela Equação (1), para K . 0. Um experimento adequado pode produzir imagens reveladoras do campo de es- coamento de um fluido, como foi mostrado anteriormente nas Figuras 1.14a e 1.15. Por exemplo, linhas de emissão são produzidas pela liberação contínua de partículas marcadas (corante, fumaça ou bolhas) a partir de um dado ponto. Se o escoamento for permanente, as linhas de emissão serão idênticas às linhas de corrente e de traje- tória do escoamento. Veja a seguir alguns métodos de visualização [34-36]: 1. Descargas de corante, fumaça ou bolhas. 2. Pó ou flocos na superfície em escoamentos de líquidos. 3. Partículas flutuantes ou de densidade neutra. 4. Técnicas ópticas que detectam mudanças de densidade em escoamentos de gases: gráfico de sombras, difração de luz (schlieren) e interferômetro. 5. Tufos de fios colados nas superfícies-limite. 6. Revestimentos evaporativos sobre as superfícies-limite. 7. Fluidos luminescentes, aditivos ou bioluminescência. 8. Velocimetria por imagens de partículas (PIV). As Figuras 1.14a e 1.15 foram ambas visualizadas por descarga de bolhas. Um outro exemplo é o uso de partículas na Figura 1.18 para visualizar um escoamento fazendo uma curva de 180° em um canal de serpentina [42]. Visualização do escoamento 1.11 Campos de escoamento: linhas de corrente, linhas de emissão e linhas de trajetória 55 56 Capítulo 1 Introdução Figura 1.18 Duas visualizações do escoamento que fazem uma curva de 180° em um canal de serpentina: (a) linhas de emissão de partículas a um número de Reynolds de 1.000; (b) velocimetria média-temporal por imagens de partículas (PIV) a um número de Reynolds turbulento de 30.000. [Da Referência 42, com permissão da American Society of Mechanical Engineers.] (a) (b) A Figura 1.18a é de um escoamento laminar a um número de Reynolds baixo, de valor igual a 1.000. O escoamento é permanente, e as partículas formam linhas de emissão mostrando que o escoamento não pode fazer uma curva fechada sem separação da parede inferior. A Figura 1.18b é de um escoamento turbulento, a um número de Reynolds mais alto, de valor igual a 30.000. O escoamento é não permanente, e as linhas de emissão seriam caóticas e espalhadas, inadequadas para visualização. A imagem foi, então, produzida pela nova técnica de velocimetria por imagens de partículas [37]. No PIV, centenas de partículas são identificadas e fotografadas em dois intervalos de tempo muito próximos. Os movimentos das partículas indicam, portanto, vetores de velocidades locais. Essas centenas de vetores são, então, suavizados por repetidas operações no computador até ser obtido o campo de escoamento médio no tempo da Figura 1.18b. Os experimentos modernos de escoamento e os modelos numéricos usam computadores de forma inten- siva para criar suas visualizações, conforme descrito no texto por Yang [38]. Os detalhes matemáticos das análises linha de corrente/linha de emissão/linha de trajetória são dados na Referência 33. As Referências 39-41 são belos álbuns de fo- tografias de escoamentos. As Referências 34-36 são monografias sobre técnicas de visualização de escoamento. A mecânica dos fluidos é um assunto maravilhoso para visualização, não apenas para campos estáticos (permanentes), mas também para estudos de movimentos va- riados (não permanentes). Uma lista de filmes e animações de escoamentos é dada por Carr e Young [43]. A maioria dos exemplos e exercícios deste livro é apropriada para cálculos diretos sem estimativas iniciais, iterações ou voltas. Até recentemente, somente as tarefas que envolvessem problemas diretos, fossem de solução imediata ou mais elaborados, eram apropriadas para os cursos de graduação em engenharia. Entretanto, a recente introdução de softwares para solução faz com que quase qualquer conjunto de relações algébricas seja viável para análise. O software de solução recomendado aqui é o Engineering Equa- tion Solver (EES) desenvolvido por Klein e Beckman [44] e descrito no Apêndice E. Qualquer software de solução deve ser capaz de tratar com um conjunto de rela- ções puramente matemáticas, como aquele apresentado na Referência 44: X ln (X) 5 Y 3, X 1/2 5 1/Y. Submeta esse par de equações a qualquer software comercial e você irá, sem dúvida, obter a resposta: X 5 1,467, Y 5 0,826. No entanto, para os engenheiros, na opinião do autor, o EES é superior à maioria dos softwares porque (1) as equações podem ser fornecidas em qualquer ordem; (2) numerosas fórmulas matemáticas já es- tão inseridas, como as funções de Bessel; e (3) propriedades termofísicas de muitos fluidos estão também inseridas, como as tabelas de vapor [23]. São aceitas unidades dos sistemas métrico e inglês. As equações não precisam ser escritas no estilo tradicio- nal do BASIC ou do FORTRAN. Por exemplo, X – Y 1 1 5 0 é perfeitamente satisfa- tório; não há necessidade de reescrevê-la como X 5 Y 2 1. Reconsidere o Exemplo 1.6 como um exercício para o EES. Primeiro fornece- ríamos as propriedades de referência p0 e r0, mais as constantes de ajuste da curva B e n: Pz 5 1,0 Rhoz =2,0 B 5 3000 N 5 7 1.12 O Engineering Equation Solver EES 1.12 O Engineering Equation Solver 57 60 Capítulo 1 Introdução Para os 60 problemas da seção vespertina de quatro horas, você pode escolher um dos sete módulos: engenharias química, civil, elétrica, ambiental, industrial, mecânica e outras/geral. Observe que a mecânica dos fluidos é um tópico integral do exame. Por- tanto, para a prática, esse livro inclui um conjunto de problemas no final dos capítulos, quando for apropriado. O formato das questões do Exame FE é do tipo múltipla escolha, em geral com cinco opções de resposta, formuladas cuidadosamente para conduzi-lo a respostas plausíveis se você usou unidades incorretas, esqueceu de multiplicar ou dividir por dois ou esqueceu um fator π, entre outras coisas semelhantes. Em alguns casos, as opções de resposta são ambíguas não intencionalmente, como o exemplo a seguir, tira- do de um dos exames: A transição do escoamento laminar para turbulento ocorre a um número de Reynolds de (A) 900 (B) 1.200 (C) 1.500 (D) 2.100 (E) 3.000 A resposta “correta” era (D), Re 5 2.100. Está claro que o examinador estava pen- sando, mas se esqueceu de especificar Red para escoamento em um tubo circular liso, pois (veja os Capítulos 6 e 7) a transição é altamente dependente da geometria, rugo- sidade da superfície, e da grandeza representativa do comprimento usada na defini- ção de Re. A dica é não perder o bom humor por causa do exame e simplesmente seguir o fluxo e decidir qual resposta melhor se adapta a uma situação de treinamen- to de engenharia. Procurou-se eliminar ambiguidades das questões do Exame FE neste livro. Problemas A maioria dos problemas a seguir é de resolução relativamente direta. Os problemas mais difíceis ou abertos estão marcados com um asterisco, como o Problema 1.18. Problemas marcados com o ícone EES (por exemplo, o Problema 1.61) poderão ser resolvidos usando o Engineering Equation Solver (EES), e os marcados com um disquete podem requerer o uso de um compu- tador. Os problemas típicos de fim de capítulo 1.1 a 1.90 (classi- ficados na lista abaixo) são seguidos dos problemas para o Exame FE, FE1.1 a FE1.10, e dos problemas abrangentes, C1.1 a C1.11. Distribuição dos Problemas Seção Tópico Problemas 1.1, 1.4, 1.5 Conceito de fluido como meio contínuo 1.1–1.3 1.6 Dimensões e unidades 1.4 – 1.23 1.8 Propriedades termodinâmicas 1.24 – 1.37 1.9 Viscosidade, condição de não escorregamento 1.38 – 1.61 1.9 Tensão superficial 1.62 – 1.71 1.9 Pressão de vapor; cavitação 1.72 – 1.74 1.9 Velocidade do som, número de Mach 1.75 – 1.79 1.11 Linhas de corrente e linhas de trajetória 1.80 – 1.84 1.2 História da mecânica dos fluidos 1.85a–n 1.13 Incerteza experimental 1.86 – 1.90 P1.1 Um gás a 20 °C pode ser considerado rarefeito, des- viando do conceito de meio contínuo, quando contém menos de 1012 moléculas por milímetro cúbico. Se o nú- mero de Avogadro é 6,023 E23 moléculas por mol, que pressão absoluta (em Pa) para o ar isso representa? P1.2 A Tabela A.6 lista a massa específica da atmosfera pa- drão como uma função da altitude. Utilize esses valo- res para estimar grosseiramente — digamos, dentro de um fator de 2 — o número de moléculas de ar em toda a atmosfera da terra. P1.3 Para o elemento triangular na Figura P1.3, mostre que a superfície livre inclinada de um líquido, em contato com uma atmosfera à pressão pa, deve estar sujeita à tensão de cisalhamento e por isso começa a escoar. Su- gestão: considere o peso do fluido e mostre que uma condição de cisalhamento nulo causará forças horizon- tais desbalanceadas. P.1.3 pa Massa específica r q P1.4 O Viscosímetro Saybolt Universal, hoje não mais usual, mas ainda oferecido em catálogos científicos, mede a viscosidade cinemática dos lubrificantes [Referência 49, p. 40]. Um recipiente especial, mantido a tempera- tura constante, é preenchido com o fluido de teste. Meça o tempo t necessário para que 60 ml do fluido escoe através de um pequeno furo ou de um tubo curto na parte inferior. Essa unidade de tempo, chamada de segundos Saybolt universal, ou SUS, do inglês, está correlacionada com a viscosidade cinemática ν, em centistokes (1 stoke 5 1 cm2/s) pela seguinte fórmula de ajuste de curva: v t t t= - < <0 215 145 40 100, para SUS (a) Faça um comentário sobre a dimensionalidade des- sa equação. (b) A fórmula está fisicamente correta? (c) Uma vez que ν varia fortemente com a temperatura, como então a temperatura entra na fórmula? (d) Podemos facilmen- te converter ν de centistokes em mm2/s? P1.5 O caminho livre médio de um gás, l, é definido como a distância média percorrida por moléculas entre coli- sões. Uma fórmula proposta para calcular l de um gás ideal é l RT = 1 26, m r Quais são as dimensões da constante 1,26? Use a fór- mula para calcular o caminho livre médio do ar a 20 °C e 7 kPa. Você consideraria o ar rarefeito nessa condição? P1.6 Com base na teoria (correta) do Problema P1.5, calcule a pressão, em pascals, do dióxido de carbono a 20 °C para a qual o caminho livre médio é (a) 1 mícron (mm) e (b) 43,3 mm. P1.7 Para determinar a vazão da água a 20 °C por uma man- gueira, um estudante constata que a mangueira enche um tambor de 208 litros em 2 minutos e 37 segundos. Calcule (a) a vazão em volume em m3/s e (b) a vazão em peso em N/s. P1.8 Suponha que saibamos pouco sobre a resistência dos materiais, mas nos informaram que a tensão de flexão σ em uma viga é proporcional à metade da espessura y da viga e também depende do momento de fletor M e do momento de inércia de área da viga I. Aprendemos tam- bém que, para o caso particular M 5 328 N.m, y 5 38 mm e I 5 16,7 cm4, a tensão calculada é 75 MPa. Usando apenas essas informações e a argumentação di- mensional, encontre, com três dígitos significativos, a única fórmula dimensionalmente homogênea possível σ 5 y f (M, I). P1.9 Um fluido é pesado em um laboratório. Sabe-se que 5,7 litros do fluido pesa 37,9 N. (a) Qual é a densidade do fluido em kg/m3? (b) Que fluido poderia ser esse? Supo- nha que a gravidade padrão seja g 5 9,807 m/s2. P1.10 A fórmula Stokes-Oseen [33] para a força de arrasto F sobre uma esfera de diâmetro D em uma corrente de fluido de baixa velocidade V, massa específica r e vis- cosidade m é F DV V D= +3 9 16 2 2pm p r Essa fórmula é dimensionalmente homogênea? P1.11 Em 1851, Sir George Stokes formulou a teoria de que a força de arrasto F sobre uma partícula em um escoa- mento de alta viscosidade (número de Reynolds baixo) depende somente da viscosidade m, da velocidade V da partícula e do tamanho D da partícula. Use o conceito de homogeneidade dimensional para deduzir uma fór- mula possível para a força. P1.12 Para o escoamento permanente a baixa velocidade (la- minar) através de um tubo circular, como representa a Figura P1.12, a velocidade u varia com o raio e assume a forma u B p r r= -D m ( )0 2 2 em que m é a viscosidade do fluido e Dp é a queda de pressão da entrada até a saída. Quais são as dimensões da constante B? r = 0 r u (r) Parede do tubo r = r0 P1.12 P1.13 A eficiência de uma bomba é definida como a relação (adimencional) entre a potência desenvolvida pelo es- coamento e a potência requerida para acionar a bomba: h = Q pD potência de entrada em que Q é a vazão em volume do escoamento e ∆p é a elevação de pressão produzida pela bomba. Suponha que uma certa bomba desenvolva uma elevação de pressão de 241,3 kPa quando a vazão do escoamento é 40 L/s. Se a potência de entrada for 16 hp, qual é a efi- ciência? P1.14 A Figura P1.14 mostra o escoamento da água sobre uma barragem. Sabe-se que a vazão em volume Q depende so- mente da largura da soleira B, da aceleração da gravidade g e da altura da lâmina d’água a montante H, acima da soleira da barragem. Sabe-se também que Q é proporcio- nal a B. Qual é a forma da única relação dimensionalmen- te homogênea possível para essa vazão? * Problemas 61 62 Capítulo 1 Introdução P1.14 H B Q Nível da água Barragem P1.15 Mott [49] recomenda a seguinte fórmula, no sistema in- glês, para a perda de carga por atrito hp , em ft, para um escoamento através de um tubo de comprimento L e diâ- metro D (ambas as medidas devem estar em ft): hp L Q AC Dh = Ê ËÁ ˆ ¯̃0 551 0 63 1 852 , , , na qual Q é a vazão em volume do escoamento em ft3/s, A é a área da seção transversal do tubo em ft2 e Ch é um co- eficiente adimensional cujo valor é aproximadamente 100. Determine as dimensões da constante 0,551. P1.16 Equações algébricas como a relação de Bernoulli, Equação (1) do Exemplo 1.3, são dimensionalmente consistentes, mas e as equações diferenciais? Conside- re, por exemplo, a equação da quantidade de movimen- to em x para a camada-limite, deduzida pela primeira vez por Ludwig Prandtl em 1904: r r r tu u x v u x p x g yx         + - + += na qual τ é a tensão de cisalhamento da camada-limite e gx é a componente da gravidade na direção x. Essa equação é dimensionalmente consistente? Você pode tirar uma conclusão geral? P1.17 A fórmula de Hazen-Williams da hidráulica para a va- zão em volume Q em um tubo de diâmetro D e compri- mento L é dada por Q D p L  61 9 2 63 0 54 , , , DÊ ËÁ ˆ ¯̃ em que Dp é a queda de pressão requerida para manter o escoamento. Quais são as dimensões da constante 61,9? Essa fórmula pode ser usada com confiança para vários líquidos e gases? P1.18 Para partículas pequenas a baixas velocidades, o pri- meiro termo na lei do arrasto de Stokes-Oseen, Proble- ma 1.10, é dominante; portanto, F < KV, em que K é uma constante. Suponha que uma partícula de massa m seja obrigada a se mover horizontalmente da posição inicial x 5 0 com velocidade inicial V0. Mostre (a) que sua velocidade decrescerá exponencialmente com o tempo e (b) que ela irá parar após percorrer uma distân- cia x 5 mV0/K. P1.19 A convecção de Marangoni ocorre quando uma superfície tiver uma variação na tensão superficial ao longo de seu comprimento. O número adimensional de Marangoni M é uma combinação da difusividade térmica α 5 k/(rcp) (em que k é a condutividade térmica), da escala de compri- mento L, da viscosidade m e da variação dY da tensão su- perficial. Se M é proporcional a L, encontre sua forma. P1.20 Uma bola de beisebol, com m 5 145 g, é lançada direta- mente para cima a partir de sua posição inicial z 5 0 e V0 5 45 m/s. O arrasto do ar sobre a bola é CV 2, em que C 5 0,0013 N · s2/m2. Encontre uma equação diferencial para o movimento da bola e resolva-a para a velocidade instantânea V(t) e a posição z(t). Encontre a altura máxima zmáx alcançada pela bola e compare o seu resultado com o caso clássico do arrasto do ar igual a zero. P1.21 Em 1908, um estudante de Prandtl, Heinrich Blasius, propôs a seguinte fórmula para a tensão de cisalhamen- to na parede τp em uma posição x no escoamento visco- so à velocidade V sobre uma superfície plana: (tp 5 0,332 r 1/2 m1/2 V3/2 x –1/2) Determine as dimensões da constante 0,332. P1.22 O número de Richardson, Ri, que correlaciona a produ- ção de turbulência pela flutuabilidade, é uma combinação adimensional da aceleração da gravidade g, da tempera- tura do fluido T0, do gradiente local de temperatura ∂T/∂z e do gradiente local de velocidade ∂u/∂z. Determine uma forma aceitável para o número de Richardson (muitos colocam ∂T/∂z no numerador). P1.23 Durante a II Guerra Mundial, Sir Geoffrey Taylor, um estudioso britânico da dinâmica dos fluidos, usou a aná- lise dimensional para calcular a energia liberada pela explosão de uma bomba atômica. Ele supôs que a ener- gia liberada E era uma função do raio R da onda de pres- são, da massa específica do ar r e do tempo t. Organize essas variáveis em um único grupo adimensional, que podemos chamar de número de onda de explosão. P1.24 Considere o dióxido de carbono a 10 atm e 400 °C. Calcule r e cp neste estado e depois calcule a nova pres- são quando o gás é resfriado isentropicamente a 100 °C. Use dois métodos: (a) um gás ideal e (b) as tabelas de gás ou o EES. P1.25 Um tanque contém 0,9 m3 de hélio a 200 kPa e 20 °C. Calcule a massa total desse gás, em kg, (a) na Terra e (b) na Lua. Além disso, responda (c) qual a transferência de calor, em MJ, requerida para expandir esse gás à tempe- ratura constante para um novo volume de 1,5 m3? P1.26 No Brasil, quando dizemos que o pneu de um automó- vel “está com 32 lb”, nós queremos dizer que a pressão interna do pneu é de 32 lbf/in2 acima da pressão atmos- férica local. Esse valor equivale a 220.632 N/m2 em unidades do SI. Considerando que o pneu está ao nível do mar, tem um volume de 85 litros e está à temperatu- ra de 24 °C, calcule o peso total de ar, em N, no interior do pneu. * EES sa específica 2.700 kg/m3) caindo em um óleo de mas- sa específica 875 kg/m3. Se o tempo para cair 50 cm é 32 s, calcule a viscosidade do óleo e verifique se a ine- quação é válida. P1.51 Uma aproximação para a forma da camada-limite nas Figuras 1.6b e P1.51 é a fórmula u y U y y( ) , sen p d d 2 0Ê ËÁ ˆ ¯̃   em que U é a velocidade da corrente longe da parede e d é a espessura da camada-limite, como na Figura P1.51. Se o fluido for o hélio a 20 °C e 1 atm, e se U 5 10,8 m/s e d 5 3 cm, use a fórmula para (a) calcular a tensão de cisalhamento τp na parede em Pa e (b) encontre a posição na camada-limite em que τ é metade de τp. P1.51 U y 0 u(y) y 5 d P1.52 A correia na Figura P1.52 move-se a uma velocidade constante V e desliza na parte superior de um tanque de óleo de viscosidade m, como mostra a figura. Conside- rando um perfil linear de velocidade no óleo, desenvol- va uma fórmula simples para a potência P necessária para o acionamento da correia em função de (h, L, V, b, m). Qual é a potência P necessária para o acionamento da correia se ela se move a 2,5 m/s em óleo SAE 30W a 20 °C, com L 5 2 m, b 5 60 cm e h 5 3 cm? L V Óleo, profundidade h Correia móvel, largura b P1.52 P1.53 Um cone sólido de ângulo 2u, base r0 e massa específica rc está girando com velocidade angular ω0 em um assen- to cônico, como mostra a Figura P1.53. A folga h é preen- chida com óleo de viscosidade m. Desprezando o arrasto do ar, deduza uma expressão analítica para a velocidade angular ω(t) do cone se não há torque aplicado. Óleo h Raio da base r0 w (t) 2q P1.53 P1.54 Um disco de raio R gira a uma velocidade angular  no interior de um reservatório em forma de disco cheio com óleo de viscosidade m, como mostra a Figura P1.54. Considerando um perfil linear de velocidade e desprezando a tensão de cisalhamento nas bordas ex- ternas do disco, deduza uma fórmula para o torque vis- coso no disco. R R Folga h Óleo W P1.54 P1.55 Um bloco de peso P está sendo puxado sobre uma mesa por um outro peso P0, como mostra a Figura P1.55. Encontre uma fórmula algébrica para a veloci- dade constante U do bloco se ele desliza sobre um fil- me de óleo de espessura h e viscosidade m. A área A inferior do bloco está em contato com o óleo. Despreze o peso da corda e o atrito na polia. Considere um perfil linear de velocidade no filme de óleo. U P Po h P1.55 P1.56 O dispositivo na Figura P1.56 é chamado de viscosí- metro cone-placa [29]. O ângulo do cone é muito pe- queno, de forma que sen u < u, e a folga é preenchida com o líquido de teste. O torque M necessário para gi- * * * Problemas 65 66 Capítulo 1 Introdução rar o cone a uma velocidade angular Ω é medido. Con- siderando um perfil linear de velocidade no filme de fluido, deduza uma expressão para a viscosidade m do fluido em função de (M, R, , u). W Fluido R q q P1.56 P1.57 Para a geometria do Problema P1.55, (a) resolva o pro- blema transitório U(t), em que o movimento do bloco começa a partir do repouso e acelera até a velocidade constante final U0 do Problema P1.55. (b) Consideran- do como um outro problema, se a mesa fosse inclinada com um ângulo u em direção à polia, estabeleça o cri- tério para determinar se o bloco se move para cima ou para baixo na mesa. P1.58 O exemplo do escoamento laminar em tubo do Proble- ma 1.12 pode ser usado para projetar um viscosímetro capilar [29]. Se Q é a vazão em volume, L é o compri- mento do tubo e Dp é a queda de pressão da entrada até a saída, a teoria do Capítulo 6 fornece uma fórmula para a viscosidade: m p = r p LQ 0 4 8 D Os efeitos devidos às extremidades do tubo são despre- zados [29]. Considere que nosso tubo capilar tenha r0 5 2 mm e L 5 25 cm. Para um certo fluido, foram obtidos os dados a seguir, de vazão e queda de pressão: Q, m3/h 0,36 0,72 1,08 1,44 1,80 Dp, kPa 159 318 477 1.274 1.851 Qual é a viscosidade do fluido? Nota: somente os três primeiros pontos fornecem a viscosidade correta. Qual é a peculiaridade dos últimos dois pontos, que foram medidos com precisão? P1.59 Um cilindro sólido de diâmetro D, comprimento L e massa específica rs cai pelo efeito da gravidade no in- terior de um tubo de diâmetro D0. A folga, D0 2 D << D, é preenchida com um fluido de massa específica r e viscosidade m. Despreze os efeitos do ar acima e abai- xo do cilindro. Deduza uma fórmula para a velocidade terminal de queda do cilindro. Aplique a sua fórmula ao caso de um cilindro de aço com D 5 2 cm, D0 5 2,04 cm, L 5 15cm, com um filme de óleo SAE 30 a 20 °C. P1.60 Os dutos são limpos passando-se por dentro deles um cilindro de diâmetro justo chamado de pig. O nome pig (porco, em inglês) vem do ruído agudo que ele faz quando percorre o interior do duto. A Referência 50 des- creve um novo pig, não tóxico, conduzido por ar com- primido, para limpar dutos industriais de cosméticos e bebidas. Considere que o diâmetro do pig seja 15,08 cm e seu comprimento seja 66 cm. Ele limpa um tubo de 15, 24 cm (6 pol) de diâmetro à velocidade de 1,2 m/s. Se a folga for preenchida com glicerina a 20 °C, qual a di- ferença de pressão, em pascals, que será necessária para movimentar o pig? Suponha um perfil de velocidade li- near no óleo e despreze o arrasto do ar. P1.61 Um disco de hóquei de mesa tem uma massa de 50 g e diâmetro de 9 cm. Quando colocado sobre a mesa de ar, um filme de ar a 20 °C de 0,12 mm de espessura se forma sob o disco. O disco é lançado a uma velocidade inicial de 10 m/s. Considerando uma distribuição line- ar de velocidade no filme de ar, quanto tempo levará para o disco (a) atingir a velocidade de 1 m/s e (b) pa- rar completamente? Além disso, (c) que distância, ao longo dessa mesa extremamente longa, o disco terá percorrido para a condição (a)? P1.62 As bolhas de hidrogênio que produziram os perfis de velocidade na Figura 1.15 são muito pequenas, D < 0,01 mm. Se a interface hidrogênio-água é comparável à interface ar-água e a temperatura da água é 30 °C, calcule o excesso de pressão dentro da bolha. P1.63 Deduza a Equação (1.34) fazendo um balanço de for- ças na interface do fluido na Figura 1.11c. P1.64 Uma ducha emite um jato cilíndrico de água limpa a 20 °C no ar. A pressão no interior do jato é aproxima- damente 200 Pa maior do que a pressão do ar. Calcule o diâmetro do jato em mm. P1.65 O sistema na Figura P1.65 é usado para calcular a pres- são em p1 no tanque medindo-se a altura de líquido de 15 cm no tubo de 1 mm de diâmetro. O fluido está a 60 °C. Calcule a verdadeira altura do fluido no tubo e o erro percentual devido à capilaridade se o fluido é (a) água ou (b) mercúrio. P1.65 15 cm p1 P1.66 Um anel de arame fino, com 3 cm de diâmetro, é erguido da superfície da água a 20 °C. Desprezando o peso do arame, qual é a força necessária para erguer o anel? Seria essa uma boa maneira de medir a tensão superficial? O arame deveria ser feito de algum material em particular? * * EES P1.67 Um anular concêntrico vertical, com raio externo r0 e raio interno ri, é introduzido em um fluido com tensão superficial Y e ângulo de contato u < 90°. Deduza uma expressão para a elevação h da capilaridade na folga anular se a folga for muito pequena. P1.68 Faça uma análise da forma (x) da interface água-ar próxima de uma parede plana, como na Figura P1.68, considerando que a inclinação seja pequena, R –1 < d 2/dx2. Considere também que a diferença de pressão através da interface seja equilibrada pelo peso específico e pela altura da interface, Dp < rg. As condições de contorno são um ângulo de contato mo- lhado u em x 5 0 e uma superfície horizontal  5 0 quando x  . Qual é a altura máxima h na parede? P1.68 (x) q x = 0 y = h y x h P1.69 Uma agulha cilíndrica sólida de diâmetro d, compri- mento L e massa específica ra pode flutuar em um lí- quido de tensão superficial Y. Despreze o empuxo e considere um ângulo de contato de 0°. Deduza uma fórmula para o diâmetro máximo dmáx capaz de flutuar no líquido. Calcule dmáx para uma agulha de aço (d 5 7,84) em água a 20 °C. P1.70 Deduza uma expressão para a variação da altura capi- lar h para um fluido de tensão superficial Y e ângulo de contato u entre duas placas verticais paralelas separa- das por uma distância L, como na Figura P1.70. Qual será o h para a água a 20 °C se L 5 0,5 mm? P1.70 L h q P1.71 Uma bolha de sabão de diâmetro D1 funde-se com ou- tra bolha de diâmetro D2 para formar uma única bolha de diâmetro D3 com a mesma quantidade de ar. Consi- derando um processo isotérmico, deduza uma expres- são para encontrar D3 em função de D1, D2, patm e Y. P1.72 Antigamente, os alpinistas ferviam água para obter uma estimativa da altitude. Se um alpinista chegar ao topo da montanha e observar que a água ferve a 84 °C, qual é, aproximadamente, a altura da montanha? P1.73 Um pequeno submersível move-se à velocidade V, na água doce a 20 °C, a 2 m de profundidade, onde a pres- são ambiente é 131 kPa. Sabe-se que seu número de cavitação crítico é Ca 5 0,25. A que velocidade as bo- lhas de cavitação começam a se formar no corpo do submersível? Haverá cavitação no corpo se V 5 30 m/s e a água estiver fria (5 °C)? P1.74 Óleo, com uma pressão de vapor de 20 kPa, é entregue por um oleoduto, com bombas igualmente espaçadas; cada uma delas aumenta a pressão do óleo em 1,3 MPa. As perdas por atrito na tubulação são 150 Pa por metro de tubo. Qual é o espaçamento máximo possível entre as bombas para evitar a cavitação do óleo? P1.75 Uma aeronave voa a 893 km/h. A que altitude, na at- mosfera padrão, a aeronave estará quando o número de Mach do avião for exatamente 0,8? P1.76 Calcule a velocidade do som no vapor a 200 °C e 400 kPa (a) pela aproximação de gás ideal (Tabela A.4) e (b) usando o sofware EES (ou as tabelas de vapor) e fa- zendo pequenas alterações isentrópicas na pressão e mas- sa específica e aproximando a Equação (1.38). P1.77 A massa específica da gasolina a 20 °C varia com a pressão aproximadamente da seguinte forma: p, atm 1 500 1.000 1.500 r, kg/m3 680,0 718,5 746,5 768,6 Use esses dados para calcular (a) a velocidade do som (m/s) e (b) o módulo de elasticidade volumétrica (MPa) da gasolina a 1 atm. P1.78 Sir Isaac Newton mediu a velocidade do som crono- metrando a diferença de tempo entre o instante em que via a fumaça saindo do canhão e o instante em que ouvia o som. Se o canhão estiver em uma montanha à distân- cia de 8.369 m, calcule a temperatura do ar em graus Celsius se a diferença de tempo medida for (a) 24,2 s e (b) 25,1 s. P1.79 Mesmo uma pequena quantidade de gás dissolvido pode mudar drasticamente a velocidade do som de uma mistura gás-líquido. Estimando a mudança pres- são-volume da mistura, Olson [51] fornece a seguinte fórmula aproximada: a p K x g x xK x p g l l l g mistura [ ( ) ] [ ( ) ]r r+ - + -1 1 na qual x é a fração em volume do gás, K é o módulo de elasticidade volumétrica e os subscritos l e g repre- * * EES * EES Problemas 67 70 Capítulo 1 Introdução (a) Qual é a força ascendente total (na direção z), de- vida à tensão superficial, agindo na coluna de lí- quido entre as placas? (b) Se a massa específica do líquido for r, encontre uma expressão para a tensão superficial Y em fun- ção das outras variáveis. A1.3 h z g L q   q A1.4 Um óleo de viscosidade m e massa específica r escoa continuamente para baixo ao longo de uma placa verti- cal longa e larga, como mostra a Figura A1.4. Na região mostrada, as condições de escoamento estão plena- mente desenvolvidas; isto é, a forma do perfil de velo- cidade e a espessura do filme d são independentes da distância z ao longo da placa. A velocidade vertical w torna-se uma função somente de x, e a resistência ao cisalhamento da atmosfera é desprezível. A1.4 z d x g Filme de óleo Filme de óleo Ar Placa (a) Esboce a forma aproximada do perfil de velocida- de w(x), considerando as condições de contorno na parede e na superfície livre do filme. (b) Considere que a espessura d do filme e a inclina- ção do perfil de velocidade na parede, (dw/dx)parede, sejam medidos por um anemômetro a laser Dop- pler (a ser discutido no Capítulo 6). Encontre uma expressão para a viscosidade do óleo em função de r, d, (dw/dx)parede e da aceleração da gravidade g. Observe que, para o sistema de coordenadas dado, tanto w quanto (dw/dx)parede são negativos. A1.5 A viscosidade pode ser medida pelo escoamento atra- vés de um tubo de diâmetro pequeno ou de um tubo capilar, se a vazão for baixa. Para um comprimento L, (pequeno) diâmetro D << L, queda de pressão ∆p e (baixa) vazão em volume Q, a fórmula para a viscosi- dade é m 5 D4 ∆p/(CLQ), na qual C é uma constante. (a) Verifique se C é adimensional. Os dados a seguir são para a água escoando através de um tubo de 2 mm de diâmetro com 1 metro de comprimento. A queda de pressão é mantida constante em ∆p 5 5 kPa. T, ºC 10,0 40,0 70,0 Q, L/min 0,091 0,179 0,292 (b) Usando unidades no SI adequadas, determine um valor médio de C levando em conta a variação com a temperatura da viscosidade da água. A1.6 O viscosímetro de cilindro rotativo na Figura A1.6 pro- voca cisalhamento no fluido em uma folga pequena ∆r, como mostra a figura. Considerando uma distribuição linear de velocidade nas folgas e medindo-se o torque de acionamento M, encontre uma expressão para m (a) desprezando e (b) incluindo o atrito no fundo. A1.6 L W R Fluido viscoso m Cilindro sólido Dr << R A1.7 Óleo SAE 10W a 20 °C escoa ao longo de uma super- fície plana, como mostrado na Figura 1.6b. O perfil de velocidade u(y) é medido, obtendo-se os seguintes resultados: y, m 0,0 0,003 0,006 0,009 0,012 0,015 u, m/s 0,0 1,99 3,94 5,75 7,29 8,46 Usando as suas melhores habilidades de interpolação, calcule a tensão de cisalhamento no óleo (a) na parede e (b) em y 5 15 mm. A1.8 Um dispositivo mecânico que usa o cilindro rotativo da Figura A1.6 é o viscosímetro Stormer [29]. Em vez de ser acionado a uma velocidade angular constante Ω, uma corda é enrolada ao redor do eixo e presa a um peso P que cai verticalmente. É medido o tempo t ne- cessário para girar o eixo um dado número de voltas (usualmente cinco) e estabelecida uma correlação com a viscosidade. A fórmula é t A P B  m - na qual A e B são constantes determinadas calibrando- se o dispositivo com um fluido conhecido. A seguir estão os dados de calibração para o viscosímetro Stor- mer testado em glicerol, usando um peso de 50 N: m, kg/m-s 0,23 0,34 0,57 0,84 1,15 t, s 15 23 38 56 77 (a) Encontre valores razoáveis de A e B para ajustar esses dados de calibração. [Dica: Os dados não são muito sensíveis ao valor de B.] (b) Um fluido mais viscoso é testado com um peso de 100 N e o tempo medido é 44 s. Calcule a viscosidade do fluido. A1.9 A alavanca da Figura A1.9 tem um peso P em uma das extremidades e está presa a um cilindro na outra extre- midade. O cilindro tem peso e empuxo desprezíveis e desliza para cima em um filme de óleo pesado de vis- cosidade m. (a) Se não houver aceleração (rotação uni- forme da alavanca), deduza uma fórmula para a velocidade de queda V2 do peso. Despreze o peso da alavanca. Considere um perfil de velocidade linear no filme de óleo. (b) Calcule a velocidade de queda do peso se P 5 20 N, L1 5 75 cm, L2 5 50 cm, D 5 10 cm, L 5 22 cm, ∆R 5 1 mm e o óleo é glicerina a 20 °C. L1 L2 V1 V2? Cilindro, diâmetro D, comprimento L, em um filme de óleo de espessura DR. pivô P A1.9 A1.10 Um instrumento popular acionado por gravidade é o viscosímetro Cannon-Ubbelohde, mostrado na Figura A1.10. O líquido de teste é succionado para cima do bulbo no lado direito e deixado drenar por gravidade através do tubo capilar abaixo do bulbo. É registrado o tempo t necessário para o menisco passar da marca su- perior para a inferior. A viscosidade cinemática é cal- culada pela fórmula simples: v 5 Ct na qual C é uma constante de calibração. Para ν no inter- valo de 100 mm2/s a 500 mm2/s, a constante recomendada é C 5 0,50 mm2/s2, com uma precisão menor que 0,5%. A1.10 O viscosíme- tro Cannon-Ubbeloh- de. [Cortesia da Cannon Instrument Company.] Marca superior do tempo Marca inferior do tempo Tubo capilar (a) Quais os líquidos da Tabela A.3 que estão neste in- tervalo de viscosidade? (b) A fórmula de calibração é dimensionalmente consistente? (c) De quais pro- priedades do sistema pode depender a constante C? (d) Qual o problema deste capítulo que traz uma fórmula para cálculo da viscosidade? A1.11 Mott [Referência 49, p. 38] apresenta um viscosíme- tro simples de queda de esfera, que podemos analisar mais tarde no Capítulo 7. Uma pequena esfera de diâmetro D e massa específica re cai através de um líquido (r, m) no tubo de teste. A velocidade V de queda é calculada pelo tempo que leva para a esfera cair uma distância medida. A fórmula para calcular a viscosidade do fluido é m r r= -( )e D V 2 18 g Esse resultado é limitado pelo requisito de que o número de Reynolds (rVD/m) seja menor do que 1,0. Considere que uma esfera de aço (d 5 7,87) de diâmetro 2,2 mm caia em óleo SAE 25W (d 5 0,88) a 20 °C. A velocidade de queda medida é 8,4 cm/s. (a) Qual é a viscosidade do óleo em kg/m.s? (b) O número de Reynolds é baixo o bastante para que a estimativa seja válida? Problemas abrangentes 71 72 Capítulo 1 Introdução Referências 1. 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Muitos problemas de mecânica dos fluidos não envolvem movimen- tos. Eles tratam da distribuição de pressão em um fluido estático e seus efeitos sobre as superfícies sólidas e sobre corpos flutuantes e submersos. Quando a velocidade do fluido é nula, na chamada condição hidrostática, a varia- ção de pressão deve-se apenas ao peso do fluido. Admitindo-se um fluido conhecido em um dado campo gravitacional, a pressão pode ser facilmente calculada por integra- ção. As aplicações importantes deste capítulo são (1) distribuição de pressão na atmos- fera e nos oceanos, (2) projeto de instrumentos de medida de pressão (manômetros), (3) forças sobre superfícies submersas, planas e curvas, (4) empuxo sobre corpos sub- mersos e (5) comportamento de corpos flutuantes. As últimas duas resultam nos prin- cípios de Arquimedes. Se o fluido está se movendo em movimento de corpo rígido, tal como em um tan- que de líquido que está girando por um longo tempo, a pressão também pode ser facil- mente calculada porque o fluido está isento de tensão de cisalhamento. Aplicamos essa ideia de acelerações de corpos rígidos na Seção 2.9. Os instrumentos de medida de pressão são discutidos na Seção 2.10. Na realidade, a pressão também pode ser anali- sada em movimentos arbitrários (de corpos não rígidos) V(x, y, z, t), mas deixamos esse assunto para o Capítulo 4. Na Figura 1.1 vimos que um fluido em repouso não pode suportar tensão de cisa- lhamento e, portanto, o círculo de Mohr se reduz a um ponto. Em outras palavras, a tensão normal em qualquer plano por meio de um elemento de fluido em repouso é uma propriedade de ponto chamada de pressão p do fluido, considerada positiva para compressão por convenção usual. Este é um conceito importante que iremos rever com uma outra abordagem. A Figura 2.1 mostra uma pequena cunha de fluido em repouso de tamanho Dx por Dz por Ds e profundidade b normal ao papel. Por definição, não há cisalhamento, mas postulamos que as pressões px, pz e pn podem ser diferentes em cada face. O peso do elemento também pode ser importante. Consideramos que o elemento seja pequeno, 2.1 Pressão e gradiente de pressão 76 Capítulo 2 Distribuição de pressão em um fluido assim a pressão será constante em cada face. A resultante das forças deve ser igual a zero (sem aceleração) nas direções x e z Fz 0 pzb x pnb s cos 1 2 gb x z � � Fx 0 pxb z pnb s sen (2.1) mas a geometria da cunha é tal que s sen z s cos x (2.2) Substituindo na Equação (2.1) e rearranjando, temos px pn pz pn 12 g z (2.3) Essas relações ilustram dois princípios importantes da condição hidrostática, ou li- vre de cisalhamento: (1) não há variação de pressão na direção horizontal e (2) há uma variação de pressão na direção proporcional à massa específica, à gravidade e à variação de profundidade. Exploraremos esses resultados ao máximo na Seção 2.3. No limite, como a cunha de fluido tende a um “ponto”, Dz → 0 e as Equações (2.3) se tornam px 5 pz 5 pn 5 p (2.4) Como u é arbitrário, concluímos que a pressão p em um fluido estático é uma proprie- dade de ponto, independentemente da orientação. A pressão (ou qualquer outra tensão, neste contexto) causa uma força líquida em um elemento de fluido quando ela varia espacialmente1. Para ver isso, considere a pressão agindo sobre as duas faces x na Figura 2.2. Admita que ela varie arbitrariamente p 5 p(x, y, z, t) A força líquida na direção x sobre o elemento na Figura 2.2 é dada por dFx p dy dz p p x dx dy dz p x dx dy dz Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ 1 Uma aplicação interessante para um elemento grande está na Figura 3.6. Força de pressão em um elemento de fluido �s �z O u �x u px pz x z (para cima) Peso do elemento: dW = g ( b �x �z)12 Largura b normal ao papel pn r Figura 2.1 Equilíbrio de uma pequena cunha de fluido em repouso. 2.2 Equilíbrio de um elemento de fluido 77 De maneira semelhante, a força líquida dFy envolve 2p/y, e a força líquida dFz envol- ve 2p/z. O vetor força líquida total sobre o elemento em decorrência da pressão é dFpress i p x j p y k p z dx dy dz Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ (2.5) Identificamos o termo entre parênteses como o negativo do vetor gradiente de p. Re- presentando por f a força líquida por unidade de volume do elemento, reescrevemos a Equação (2.5) como (2.6)fpress p (2.6) Logo, não é a pressão, mas sim o gradiente de pressão que causa uma força líquida a ser equilibrada pela gravidade ou aceleração ou algum outro efeito no fluido. O gradiente de pressão representa uma força de superfície que atua sobre os lados do elemento. Pode haver também uma força de campo, decorrente dos potenciais ele- tromagnético ou gravitacional, agindo sobre toda a massa do elemento. Aqui, conside- ramos somente a força da gravidade ou o peso do elemento: ou or (2.7) fgrav g dFgrav g dx dy dz (2.7) Além da gravidade, um fluido em movimento terá forças de superfície em virtude das tensões viscosas. Pela lei de Newton, Equação (1.2), a soma dessas forças por uni- dade de volume é igual à massa por unidade de volume (massa específica) vezes a aceleração a do elemento de fluido: (2.8)a f fpress fgrav fvisc p g fvisc a (2.8) Essa equação geral será estudada em detalhes no Capítulo 4. Observe que a Equação (2.8) é uma relação vetorial, e a aceleração pode não estar na mesma direção vetorial da velocidade. Para nosso tópico atual, hidrostática, as tensões viscosas e a aceleração são nulas. 2.2 Equilíbrio de um elemento de fluido ( p + dx) dy dz �p �x x dy dx z p dy dz y dz Figura 2.2 Força líquida x sobre um elemento em decorrência da variação de pressão. 80 Capítulo 2 Distribuição de pressão em um fluido em que r0 é o raio do planeta e g0 é o valor de g na superfície. Para a Terra, r0 < 6.400 km. Em problemas típicos de engenharia, o desvio de r0 varia desde a maior profundi- dade no oceano, aproximadamente 11 km, até a altura atmosférica onde operam os aviões supersônicos, aproximadamente 20 km. Isso dá uma variação máxima de g de (6.400/6.420)2 ou 0,6%. Portanto, não consideraremos a variação de g na maioria dos problemas. Os líquidos são aproximadamente incompressíveis, de modo que podemos despre- zar suas variações de densidade em hidrostática. No Exemplo 1.6 vimos que a densi- dade da água aumenta apenas 4,6% no local mais profundo do oceano. Seu efeito na hidrostática seria metade disso, ou 2,3%. Portanto, assumimos que a densidade dos lí- quidos é constante nos cálculos em hidrostática, de modo que a integração na Equação (2.12) fornece Líquidos: ou z1 z2 p2 p1 p2 p1 (z2 z1) (2.14) Usamos a primeira forma na maioria dos problemas. A grandeza g é denominada peso específico do fluido, com dimensões de peso por unidade de volume; alguns valores estão tabulados na Tabela 2.1. A grandeza p/g é um comprimento chamado de carga de pressão do fluido. Fluido Peso específico g a 20 C (N/m3) Ar (a 1 atm) 11,8 Álcool etílico 7.733 Óleo SAE 30 8.720 Água 9.790 Água do mar 10.050 Glicerina 12.360 Tetracloreto de carbono 15.570 Mercúrio 133.100 Pressão hidrostática nos líquidos Pressão atmosférica: Profundidade 1 Profundidade 2 Água Mercúrio Superfície livre a b c d A B C D Figura 2.4 Distribuição da pressão hidrostática. Os pontos a, b, c e d estão em profundidades iguais na água e, portanto, têm pressões idênticas. Os pontos A, B e C também estão em profundidades iguais na água e têm pressões idênticas maiores que em a, b, c e d. O ponto D tem uma pressão diferente de A, B e C porque ele não está conectado aos outros por uma trajetória somente na água. Tabela 2.1 Peso específico de alguns fluidos comuns Para os lagos e oceanos, o sistema de coordenadas usualmente é escolhido como na Figura 2.5, com z 5 0 na superfície livre, em que p é igual à pressão atmosférica da superfície pa. Quando introduzimos o valor de referência (p1, z1) 5 (pa, 0), a Equação (2.14) torna-se, para p a qualquer profundidade (negativa) z, Lagos e oceanos: p 5 pa – gz (2.15) em que g é o peso específico médio do lago ou oceano. Como veremos, a Equação (2.15) também vale na atmosfera com uma precisão de 2% para alturas z até 1.000 m. g 0 +b – h Z p � pa – bgar Superfície livre: Z = 0, p = pa Ar Água p � pa + hgágua Figura 2.5 Distribuição de pressão hidrostática nos oceanos e atmosferas. EXEMPLO 2.1 O Newfound Lake, um lago de água doce perto de Bristol, New Hampshire, tem uma profun- didade máxima de 60 m, e a pressão atmosférica média é de 91 kPa. Calcule a pressão absolu- ta em kPa nessa profundidade máxima. Solução Esboço do sistema:• Imagine que a Figura 2.5 é o Newfound Lake, com h 5 60 m e z 5 0 na superfície. Valores de propriedades:• Da Tabela 2.1, gágua 5 9.790 N/m 3. Sabemos que patm 5 91 kPa. Passos da solução• : Aplique a Equação (2.15) ao ponto mais profundo. Use unidades do SI, pascals, não quilopascals: pmáx pa z 91,000 Pa (9.790 N m3 )( 60 m) 678.400 Pa 678 kPa Resposta Comentários:• quilopascals é uma unidade inconveniente. Use pascals na fórmula, depois converta a resposta. A aplicação mais simples da fórmula hidrostática (2.14) é o barômetro (Figura 2.6), que mede a pressão atmosférica. Um tubo é cheio com mercúrio e invertido quan- do submerso em um reservatório. Isso causa a formação de vácuo na extremidade su- perior fechada porque o mercúrio tem uma pressão de vapor extremamente pequena à O barômetro de mercúrio 2.3 Distribuições de pressão hidrostática 81 82 Capítulo 2 Distribuição de pressão em um fluido temperatura ambiente (0,16 Pa a 20 C). Como a pressão atmosférica força a coluna de mercúrio a subir uma distância h no tubo, a superfície superior do mercúrio está à pres- são zero. Da Figura 2.6, a Equação (2.20) é aplicada com p1 5 0 em z1 5 h e p2 5 pa em z2 5 0: pa 2 5 2 gM (0 2 h) ou h pa M (2.16) Ao nível do mar, com pa 5 101.350 Pa e gM 5 133.100 N/m 3 da Tabela 2.1, a altura barométrica é h 5 101.350/133.100 5 0,761 m ou 761 mm. Nos Estados Unidos, o serviço de meteorologia diz que essa é uma “pressão” atmosférica de 29,96 inHg (po- legadas de mercúrio). É usado o mercúrio porque ele é o líquido comum mais pesado. Um barômetro de água teria um pouco mais de 10 m de altura. Os gases são compressíveis, com a densidade aproximadamente proporcional à pressão. Assim, a massa específica deve ser considerada uma variável na Equação (2.12) se a integração abranger grandes variações de pressão. É suficientemente preci- so introduzir a lei dos gases perfeitos p 5 rRT na Equação (2.12): dp dz g p RT g Pressão hidrostática nos gases p1 � 0 (O mercúrio tem uma pressão de vapor muito baixa.) z1 � h h � pa z Mercúrio z2 � 0 p2 � pa (O mercúrio está em contato com a atmosfera.) pa M g pM (a) (b) Figura 2.6 Um barômetro mede a pressão atmosférica absoluta local: (a) a altura de uma coluna de mercúrio é proporcional a patm; (b) um barômetro portátil moderno, com leitura digital, emprega o elemento ressonante de silício da Figura 2.28c. (Cortesia de Paul Lupke, Druck Inc.) Pela fórmula hidrostática (2.14), uma variação na elevação z2 2 z1 de um líquido é equivalente a uma variação de pressão (p2 2 p1)/g. Dessa maneira, uma coluna estática de um ou mais líquidos ou gases pode ser usada para medir diferenças de pressão entre dois pontos. Tal dispositivo é chamado de manômetro. Se forem usados múltiplos flui- dos, devemos alterar a massa específica na fórmula à medida que nos movemos de um líquido para outro. A Figura 2.8 ilustra o uso da fórmula com uma coluna de múltiplos fluidos. A variação de pressão em cada fluido é calculada separadamente. Se quisermos saber a variação total p5 2 p1, somamos as sucessivas variações p2 2 p1, p3 2 p2, p4 2 p3 e p5 2 p4. Os valores intermediários de p se cancelam, e temos, para o exemplo da Figura 2.8, (2.22)p5 p1 0 (z2 z1) A (z3 z2) G (z4 z3) M (z5 z4) ( .22) Não é possível nenhuma simplificação adicional no lado direito por causa dos diferen- tes pesos específicos. Observe que colocamos os fluidos em ordem, com os mais leves em cima e os mais pesados em baixo. Essa é a única configuração estável. Se tentarmos uma outra ordem de camadas, os fluidos irão movimentar-se e procurarão o arranjo estável. A relação hidrostática básica, Equação (2.14), é matematicamente correta, mas incômoda para os engenheiros, pois combina dois sinais negativos para fornecer um aumento de pressão para baixo. Ao calcularem as variações de pressão hidrostática, os engenheiros trabalham instintivamente, considerando apenas que a pressão aumenta para baixo e diminui para cima. Se o ponto 2 estiver a uma distância h abaixo do ponto 1 em um líquido uniforme, p2 5 p1 1 rgh. Ao mesmo tempo, a Equação (2.14) perma- nece precisa e segura se for usada corretamente. Por exemplo, a Equação (2.22) é correta como foi mostrado, ou ela poderia ser reescrita do seguinte modo com “múlti- plos incrementos para baixo”: p5 p1 0 0 z1 z2 0 A 0 z2 z3 0 G 0 z3 z4 0 M 0 z4 z5 0 Ou seja, mantenha a adição de incrementos de pressão à medida que você se desloca para baixo pelas camadas de fluidos. Um manômetro é uma aplicação diferente, que envolve cálculos tanto para “cima” quanto para “baixo”. 2.4 Aplicação à manometria A pressão cresce para baixo Pressão conhecida p1 Óleo, o r Água, A r Glicerina, G r Mercúrio, rM z = z1 z2 z3 z4 z5 z p2 – p1 = – og(z2 – z1)r p3 – p2 = – Ag(z3 – z2)r p4 – p3 = – Gg(z4 – z3)r p5 – p4 = – Mg(z5 – z4)r Soma = p5 – p1 Figura 2.8 Avaliação das variações de pressão por uma coluna com múltiplos fluidos. 2.4 Aplicação à manometria 85 86 Capítulo 2 Distribuição de pressão em um fluido A Figura 2.9 mostra um manômetro aberto simples composto por um tubo em U que mede a pressão manométrica pA em relação à atmosfera, pa. A câmara de fluido r1 está separada da atmosfera por um segundo fluido r2, mais pesado, talvez porque o fluido A seja corrosivo, ou mais provavelmente porque um fluido mais pesado r2 man- terá z2 pequeno e o tubo aberto pode ser mais curto. Primeiro aplicamos a fórmula hidrostática (2.14) de A descendo até z1. Observe que podemos, então, descer até o fundo do tubo em U e subir novamente no lado direi- to até z1, e a pressão será a mesma, p 5 p1. Logo, podemos “saltar pelo fluido” e subir até o nível z2: (2.23)pA 1 0 zA z1 0 2 0 z1 z2 0 p2 patm (2.23) Uma outra razão física para podermos “saltar pelo fluido” na seção 1 é que há um ca- minho contínuo do mesmo fluido conectando essas duas elevações iguais. A relação hidrostática (2.14) requer essa igualdade como uma forma de lei de Pascal: Dois pontos quaisquer à mesma elevação, em uma massa contínua do mesmo flui- do estático, estarão à mesma pressão. Essa ideia de saltar pelo fluido para pressões iguais facilita a solução dos problemas de múltiplos fluidos. Porém, ela será imprecisa se houver bolhas no fluido. Aplicação: um manômetro simples zA, pA A r2 r1 z1, p1 Salto pelo fluido Aberto, pa p = p1 em z = z1 no fluido 2Figura 2.9 Manômetro aberto simples para medida de pA em relação à pressão atmosférica. EXEMPLO 2.3 O uso clássico de um manômetro ocorre quando os dois ramos do tubo em U são de mesmo comprimento, como na Figura E2.3, e a medida envolve uma diferença de pressão entre dois pontos na horizontal. A aplicação típica é a medida da diferença de pressão por meio de um medidor de vazão, como mostra a figura. Deduza uma fórmula para a diferença de pressão pa – pb em termos dos parâmetros do sistema da Figura E2.3. Medidor de vazão r1 r2 (a) (b) L h E2.3 Solução Usando a Equação (2.14), comece em (a), calcule as variações de pressão pelo tubo em U e termine em (b): ou ou pa pb ( 2 1)gh pa 1gL 1gh 2gh 1gL pb Resposta A medida inclui somente h, a leitura do manômetro. Os termos que envolvem L são cance- lados. Observe o aparecimento da diferença entre as massas específicas do fluido mano- métrico e do fluido de trabalho. É um erro comum dos estudantes esquecer de subtrair a massa específica do fluido de trabalho r1 — um erro sério se ambos os fluidos forem líqui- dos e menos desastroso numericamente se o fluido 1 for um gás. No ambiente acadêmico, naturalmente, um erro desses é sempre considerado grave pelos professores de mecânica dos fluidos. Embora a resposta do Exemplo 2.3, por causa de sua popularidade em experimen- tos de engenharia, seja às vezes considerada a “fórmula do manômetro”, é melhor não memorizá-la, mas, em vez disso, adaptar a Equação (2.14) a cada novo problema de hidrostática de múltiplos fluidos. Por exemplo, a Figura 2.10 ilustra um problema de manômetro com múltiplos fluidos para medir a diferença de pressão entre duas câ- maras A e B. Aplicamos repetidamente a Equação (2.14), saltando por meio das pres- sões iguais ao atingirmos uma massa contínua do mesmo fluido. Logo, na Figura 2.10, calculamos quatro diferenças de pressão enquanto fazemos três saltos: (2.24) 1(zA z1) 2(z1 z2) 3(z2 z3) 4(z3 zB) pA pB ( pA p1) ( p1 p2) ( p2 p3) ( p3 pB) (2.24) As pressões intermediárias p1,2,3 se cancelam. Parece complicado, mas na realidade é meramente sequencial. Iniciamos em A, descemos até 1, saltamos pelo fluido e subi- mos até 2, saltamos pelo fluido e descemos até 3, saltamos pelo fluido e finalmente subimos até B. zA, pA z1, p1 z1, p1 Salto pelo fluido Salto pelo fluido Salto pelo fluido A r1 r2 z2, p2 z2, p2 r3 z3, p3 z3, p3 r4 B zB, pB Figura 2.10 Um manômetro complicado, com múltiplos fluidos, para relacionar pA com pB. Este sistema não é especialmente prático, mas constitui um bom exercício de casa ou problema para a prova. 2.4 Aplicação à manometria 87 90 Capítulo 2 Distribuição de pressão em um fluido Portanto, como u é constante ao longo da placa, a Equação (2.25) torna-se F pa A sen dA paA sen CGA Finalmente, interpretamos essa equação observando que jCG sen u 5 hCG é a profun- didade do centroide da placa em relação à superfície livre. Assim, (2.26)F paA hCGA (pa hCG)A pCGA (2.26) A força sobre um dos lados de qualquer superfície plana submersa em um fluido uni- forme é igual ao produto da pressão no centroide da placa pela área da placa, indepen- dentemente do formato da placa ou do seu ângulo de inclinação u. A Equação (2.26) pode ser visualizada fisicamente na Figura 2.12 como a resultan- te de uma distribuição linear de tensão sobre a área da placa. Isso simula a condição combinada de compressão e flexão de uma viga com a mesma seção transversal. Con- clui-se que a parte de “flexão” da tensão não causa nenhuma força se sua “linha neutra” passar pelo centroide da área. Dessa maneira, a parte remanescente de “compressão” deve ser igual ao produto da tensão no centroide pela área da seção. Esse é o resultado da Equação (2.26). No entanto, para equilibrar a porção do momento de flexão da tensão, a força re- sultante F não atua pelo centroide, mas abaixo dele, na parte de maiores pressões. Sua linha de ação passa pelo centro de pressão CP da placa, como está representado na Figura 2.11. Para encontrarmos as coordenadas (xCP , yCP), integramos os momentos da força elementar p dA em relação ao centroide e igualamos o resultado ao momen- toda resultante F. Para o cálculo de yCP , escrevemos FyCP yp dA y( pa sen ) dA sen y dA Distribuição de pressão p (x, y) Centroide da superfície plana Superfície plana arbitrária de área A pméd = pCG Figura 2.12 A força de pressão hidrostática sobre uma superfície plana, independentemente de seu formato, é igual à resultante da distribuição linear tridimensional de pressão naquela superfície F 5 pCGA. O termo  pay dA é nulo, pela definição de centroide. Introduzindo j 5 jCG – y, obtemos Fy CP sen CG y dA y 2 dA sen Ixx Ê Ë Á Ê Ë Á em que novamente  y dA 5 0 e Ixx é o momento de inércia de área da placa em relação ao seu eixo x do centroide, calculado no plano da placa. Substituindo F, obtém-se o resultado yCP sen Ixx pCGA (2.27) O sinal negativo na Equação (2.27) mostra que yCP está abaixo do centroide em um nível mais profundo e, diferentemente de F, depende do ângulo u. Se deslocarmos a placa mais para o fundo, yCP se aproxima do centroide porque cada termo na Equação (2.27) permanece constante, exceto pCG, que aumenta. A determinação de xCP é exatamente similar: sen xy dA sen Ixy FxCP xp dA x pa ( CG y) sen dA�� em que Ixy é o produto de inércia da placa, novamente calculado no plano da placa. Substituindo F, resulta xCP sen Ixy pCGA (2.28) Para Ixy positivo, xCP é negativo, pois a força de pressão dominante atua no terceiro quadrante, ou quadrante esquerdo inferior do painel. Se Ixy 5 0, usualmente implican- do simetria, xCP 5 0 e o centro de pressão fica diretamente abaixo do centroide sobre o eixo y. Em muitos casos, a pressão ambiente pa é desconsiderada porque ela age em am- bos os lados da placa; por exemplo, o outro lado da placa pode ser a parte interna do casco de um navio ou o lado seco de uma comporta ou barragem. Neste caso pCG 5 ghCG, e o centro de pressão se torna independente do peso específico: F hCGA yCP Ixx sen hCGA xCP Ixy sen hCGA (2.29) A Figura 2.13 fornece a área e os momentos de inércia de várias seções transversais comuns para a aplicação dessas fórmulas. Note que u é o ângulo entre a placa e a hori- zontal. Fórmulas para pressão manométrica 2.5 Forças hidrostáticas em superfícies planas 91 92 Capítulo 2 Distribuição de pressão em um fluido EXEMPLO 2.5 A comporta na Figura E2.5a tem 1,5 m de largura, está articulada no ponto B e se apoia sobre uma parede lisa no ponto A. Calcule (a) a força na comporta decorrente da pressão da água do mar, (b) a força horizontal P exercida pela parede no ponto A e (c) as reações na articulação B. 4,5 m Parede 1,8 m 2,4 m u Comporta Articulação B A Água do mar: 10.054 N/m3 pa pa Figura E2.5a Figura 2.13 Momentos e produtos de inércia para várias seções transversais, em relação ao centroide: (a) retângulo, (b) círculo, (c) triângulo e (d) semicírculo. x y b 2 b 2 L 2 L 2 (a) A = bL Ixx = bL3 12 Ixy = 0 x y R R A = R2 Ixx = R4 4 Ixy = 0 p p (b) x y Ixx = bL3 36 A = 2 Ixy = b(b – 2s)L2 72 b 2 b 2 L 3 2L 3 (c) x y R R A = Ixx = 0,10976R 4 Ixy = 0 p 2 4R 3 p (d) s bL R2 EXEMPLO 2.7 Um tanque de óleo tem um painel em forma de triângulo retângulo próximo ao fundo, como na Figura E2.7. Omitindo pa, encontre (a) a força hidrostática e (b) o CP sobre o painel. pa 5 m 11 m30� 6 m 4 m Óleo: = 800 kg/m3r pa CG CP 4 m 2 m 8 m 4 m Solução O triângulo tem as propriedades dadas na Figura 2.13c. O centroide está um terço acima (4 m) e um terço para a direita (2 m) em relação ao canto inferior esquerdo, como mostra a figura. A área é 1 2(6 m)(12 m) 36 m 2 Os momentos de inércia são Ixx bL3 36 (6 m)(12 m)3 36 288 m4 e Ixy b(b 2s)L2 72 (6 m) 6 m 2(6 m) (12 m)2 72 72 m4 �� A profundidade do centroide é hCG 5 5 1 4 5 9 m; portanto, pela Equação (2.26), a força hi- drostática é 2,54 106 (kg # m)/s2 2,54 106 N 2,54 MN F ghCG A (800 kg /m 3)(9,807 m /s2)(9 m)(36 m2) Resposta (a) A posição do CP é dada pelas Equações (2.29): xCP Ixy sen hCG A ( 72 m4)(sen 30 ) (9 m)(36 m2) 0,111 m yCP Ixx sen hCG A (288 m4)(sen 30 ) (9 m)(36 m2) 0,444 m Resposta (b) A força resultante F 5 2,54 MN atua por este ponto, que está abaixo e à direita do centroide, como mostra a Figura E2.7. E2.7 Parte (a) Parte (b) 2.5 Forças hidrostáticas em superfícies planas 95 96 Capítulo 2 Distribuição de pressão em um fluido A força de pressão resultante sobre uma superfície curva é calculada mais facil- mente separando-a em seus componentes horizontal e vertical. Considere a superfície curva arbitrária representada na Figura 2.14a. As forças de pressão incrementais, sendo normais ao elemento de área local, variam em direção ao longo da superfície e, portan- to, não podem ser adicionadas numericamente. Poderíamos integrar separadamente os três componentes dessas forças elementares de pressão, mas é possível verificar que não será necessário executar essas três integrações trabalhosas. A Figura 2.14b mostra um diagrama de corpo livre da coluna de fluido contido na projeção vertical acima da superfície curva. As forças desejadas FH e FV são exercidas pela superfície sobre a coluna de fluido. As outras forças mostradas de- vem-se ao peso do fluido e à pressão horizontal sobre as verticais desta coluna de fluido. A coluna de fluido deve estar em equilíbrio estático. Na parte superior da coluna bcde, os componentes horizontais F1 estão equilibrados mutuamente e não são relevantes para essa discussão. Na parte inferior do fluido abc limitada pela superfície irregular, o somatório dos componentes das forças horizontais mos- tra que a força desejada FH, exercida pela superfície curva, é exatamente igual à força FH sobre a lateral vertical, à esquerda da coluna de fluido. Esse componente pode ser calculado pela fórmula da superfície plana, Equação (2.26), com base em uma projeção vertical da área da superfície curva. Essa é uma regra geral, que sim- plifica a análise: O componente horizontal da força decorrente da pressão sobre uma superfície cur- va é igual à força sobre a área plana formada pela projeção da superfície curva sobre um plano vertical normal ao componente. Se houver dois componentes horizontais, ambos podem ser calculados por esse esquema. O somatório das forças verticais sobre o corpo livre (fluido) mostra, en- tão, que (2.30)FV W1 W2 War (2.30) Podemos enunciar esse resultado como nossa segunda regra geral: O componente vertical da força decorrente da pressão sobre uma superfície curva é igual em intensidade e direção ao peso da coluna total de fluido, tanto do líquido como da atmosfera, acima da superfície curva. 2.6 Forças hidrostáticas em superfícies curvas Projeção da superfície curva sobre um plano verticalFV FH FH (a) F1F1 FHFH FV (b) d c a b e War W2 W1 Figura 2.14 Cálculo da força hidrostática sobre uma superfície curva: (a) superfície curva submersa; (b) diagrama de corpo livre do fluido acima da superfície curva. Dessa maneira, o cálculo de FV envolve algo mais do que determinar os centros de massa de uma coluna de fluido – talvez uma pequena integração se a parte inferior abc na Figura 2.14b tiver uma forma particularmente complicada. EXEMPLO 2.8 Uma barragem tem uma forma parabólica z/z0 5 (x/x0) 2, como mostra a Figura E2.8a, com x0 5 3 m e z0 5 7,2 m. O fluido é a água, γ 5 9.802 N/m 3 e a pressão atmosférica pode ser omitida. Calcule as forças FH e FV sobre a barragem e sua linha de ação. A largura da barragem é de 15 m. z = z0 ( xx0 ( 2 pa = 0 N/m2 manométrica FV FH z x0 x z0 Solução Esboço do sistema:• A Figura E2.8b mostra as várias dimensões. A largura da barragem é b 5 15 m. Abordagem:• Calcule FH e sua linha de ação pelas Equações (2.26) e (2.29). Calcule FV e sua linha de ação determinando o peso do fluido acima da parábola e o seu centroide. Passos da solução para o componente horizontal:• A projeção vertical da parábola está sobre o eixo z na Figura E2.8b e é um retângulo com 7,2 m de altura e 15 m de largura. Seu cen- troide está a meia distância abaixo, ou hCG 5 7,2/2 5 3,6 m. Sua área é Aproj 5 (7,2 m)(15 m) 5 108 m2. Então, da Equação (2.26), FH hCG Aproj 9.802 N m3 (3,6 m)(7,2 m)(15 m) 3.811018 N 3,81 MN Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ A linha de ação de FH está abaixo do centroide da Aproj, sendo dada pela Equação (2.29): yCP, proj Ixx sen hCG Aproj (15 m)(7,2 m) (3 sen 90 (3,6 m)(7,2 m)(15 m2) 1,2 m )12 Dessa maneira, FH está aplicada 3,6 1 1,2 5 4,8 m, ou dois terços abaixo da superfície livre (2,4 m do fundo). Comentários:• Observe que você calcula FH e sua linha de ação com base na projeção vertical da parábola, não na própria parábola. Como a projeção é vertical, seu ângulo u 5 90. Passos da solução para o componente vertical:• A força vertical FV é igual ao peso da água acima da parábola. Inclusive, a seção parabólica não é dada na Figura 2.13, portanto, tivemos E2.8a 2.6 Forças hidrostáticas em superfícies curvas 97