Baixe apendice, relaciones matematicas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! APÊNDICE RELACIONES MATEMATICAS Este apéndice, en el que presentamos ciertas fórmulas matemáticas de uso fre- cuente en el texto, tiene por finalidad presentar al estudiante una referencia rápi- damente accesible, En algunos casos hemos incluido en el texto mismo algunas notas matemáticas. Se puede encontrar la demostración y una discusión de la mayoria de las fórmulas en cualquier texto de análisis matemático, tal como Cálculo infinitesimal y geometria analítica, tercera edición, por G. B. Thomas (Aguilar, Madrid, 1964). En Quick Calculus: A Short Manual of Self Instruction, por D, Kelp- ner y N. Ramsey (John Wiley & Sons, New York, 1963) se puede encontrar, en forma programada, una corta introducción a los conceptos básicos del análisis matemático. El estudiante deberá también consultar diversas tablas en forma de libro. Entre éstas están las C.R.C. Standard Mathematical Tables (Chemical Rub- ber Company, Cleveland, Ohio, 1963), y Tables of Integrais and Other Mathemati- cal Data, cuarta edición, por H. B. Dwight (Macmillan Company, New York, 1961). Recomendamos que el estudiante tenga a su disposición el Handbook of Chemistry and Physics, del cual la Chemical Rubber Company, Cleveland, Ohio, publica ediciones anuales. Este manual contiene también una gran cantidad de datos sobre matemática, química y física, 1. Relaciones trigonométricas Haciendo referencia a la Fig. M-1, podemos definir las siguientes relaciones: sena =yjr, cosa=t/r, tga=gyjr; (M.1) coseca =r/y, seca=r/t, cotga=x/y; (M.2) tga = sen «/cos «; (M.3) senta + costa =1, secta—l =tgta; (M.4) sen (x + 8) = sena cos + cosa sen f; (M.5) cos (x 1: A) = cosa cos B 7 sena sen E; (M.6) sena sen =2senkl« + p)cosHa TF p); (M.7) cosa + cosB =2 cosa + p) cosa — B): (M.8) A-4 | Apêndice: Relaciones matemáticas 38. Desarrollos en serie de potencias (D) Desarrollo binomial: (a+br=a + nah + Mah 1 (n—D(n—3 3! tr D)(n—B..(n—p+1) p! an-2h2 + ars 4, + arepr 4... (M.21) Cuando n es un entero positivo, el desarrollo tiene n + 1 términos. En todos los otros casos el desarrollo tiene un número infinito de términos. El caso en que a es 1 y des una cantidad x se usa muchas veces en el texto. El desarrollo binomial de (I+o es drap=rinep ED a, Me OD 5, (ii) Otros desarrollos en serie útiles: (M.22) e-itarlgs Los (423) o 2! 31 o ia 2 ntsy=-a- EL... (M.24) 2 3 sens=2— Lgs4 Lp (M.25) a 5 o . cost Les lar (M.26) cd 4 o . t ecotlps + (M.27) se=2 ts Et i Para x 4 1 son satisfactorias las siguientes aproximaciones: Atorzl+n, : (M.28) exito In(itaoxa, (M.29) senrsxz coszrl, tgrxz. (M.30) Obsérvese que en las ecs. (M.25), (M.26), (M.27) y (M.30), x se debe expresar en radianes. Apêndice: Relaciones matemáticas A-S (iii) Desarrollos en serie de Taylor: fo=fe0+ em (T) tata (E det mar (+ Sir-— x < 1, una aproximación útil es ro = fe) + em (4). o 4. Números complejos Con la definiciôn 2 =—1 6 i=— y— Í, eê = cos 6 + isen 6, cos 6 = Je? + eis), 1 sen O = — (e — 19, ai 5. Funciones hiperbólicas Para visualizar las relaciones siguientes, referirse a la Fig. M-5. cosh 9 = He + e), senh 6 = KH — e, cosh? 6 -— senh? = 1, ) (4.31) (M.32) (M.33) (M.34) (M.35) Figura M-5 (M.36) (M.37) (M.38) A-6 | Apéndice: Relaciones matemáticas senh 6 = —isen(i0), cosh0 =cos (10), (M,39) seng =—-isenh (io), cos 6 = cosh (16). (M.40) 6. Derivadas e integrales básicas Fu) dfida Jrcu) du ur nur dujde uma + D+A+C(nA—l) ua — (1/uê) dufda Inu+C nu (1/u) dujdr unhu—-u+C er e! dujdz enc sen u cosu duldz — cosu 4 O cos u — sen u dujdz senu + € tgu sec? u dujdx —Incosu + € cotg u — cosec? u dujdx Insenu + € aresen u (dujda)/ 1 — u? uarcsenu + Ã — wu +C senh u cosh u du/dr coshu + € cosh u senh u dujdz senh u + € Una regla útil para integrar, Ilamda integración por partes, es fu do =up— fo du. (MA) La mayoría de las veces, este método se usa para calcular la integral del segundo miembro usando la integral del primero. 7. Valor medio de una función El valor medio o promedio de una función y = f(x) en el intervalo (a, b) se define por . 1 b p=-——— | ydz. (M.42) —a Ja Análogamente, el valor medio de yº se define por 9) = » Í vi dz, (M.43) b—a La cantidad Vê se denomina valor medio cuadrático de y = f(x) en el intervalo (a, b) y en general es diferente de y, Se designa con Yme. Apéndice: Relaciones matemáticas A-9 LOGARITMOS COMUNES (continuación ) N| o 1 2 3 |4 5 6 | 9 50 | 6990 | 6998 | 7007 | 7016 | 7024 | 7033 | 7042 | 7050 | 7059 | 7067 51 | 7076 | 7084 | 7093 | 7101 | 7110 | 7118 | 7126 | 7135 | 7143 | 7152 s2 | 7160 | 7168 | 7177 | 7185 | 7193 | 7202 | 7210 | 7218 | 7226 | 7235 53 | 7243 | 7251 | 7259 | 7267 | 7275 | 7284 | 7292 | 7300 | 7308 | 7316 54 | 7324 | 7332 | 7340 | 7348 | 7356 | 7364 | 7372 | 7380 | 7388 | 7396 55 | 7404 | 7412 | 7419 | 7427 | 7435 | 7443 | 7451 | 7459 | 7466 | 7474 56 | 7482 | 7490 | 7497 | 7505 | 7513 | 7520 | 7528 | 7536 | 7543 | 7551 57) 7559 | 7586 | 7574 | 7582 | 7589 | 7597 | 7604 | 7612 | 7619 | 7627 58 | 7694 | 7642 | 7649 | 7657 | 7664 | 7672 | 7679 | 7686 | 7694 | 7701 59 | 7709 | 7716 | 7723 | 7731 | 7738 | 7745 | 7752 | 7760 | 7767 | 7774 60 | 7782 | 7789 | 7796 | 7803 | 7810 | 7818 | 7825 | 7832 | 7839 | 7846 61 | 7853 | 7860 | 7868 | 7875 | 7882 | 7889 | 7896 | 7903 | 7910 | 7917 62 | 7924 | 7931 | 7988 | 7945 | 7952 | 7959 | 7966 | 7973 | 7980 | 7987 63 | 7993 | 8000 | 8007 | 8014 | 8021 | 8028 | 8035 | 8041 | 8048 | 8055 64 | 8062 | 8069 | 8075 | 8082 | 8089 | 8096 | 8102 | 8109 | 8116 | 8122 65 | 8129 | 8136 | 8142 | 8149 | 8156 | 8162 | 8169 | 8176 | 8182 | 8189 66 | 8195 | 8202 | 8209 | 8215 | 8222 | 8228 | 8235 | 8241 : 8248 | 8254 67 | 8261 | 8267 | 8274 | 8280 | 8287 | 8293 | 8299 | 8306 | 8312 | 8319 68 | 8325 | 8331 | 8338 | 8344 | 8351 | 8357 | 8363 . 8370 | 8376 | 8382 69 | 8388 | 8395 | 8401 | 8407 | 8414 | 8420 | 8426 | 8432 | 8439 | 8445 0 | 8451 | 8457 | 8463 | 8470 | 8476 | 8482 | 8488 | 8494 | 8500 | 8506 7 | 8513 | 8519.) 8525 | 8531 | 8537 | 8543 | 8549 | 8555 | 8561 | 8567 72 | 8573 | 8579 | 8585 | 8591 | 8597 | 8603 | 8609 | 8615 | 8621 | 8627 73] 8633 | 8639 | 8645 | 8651 | 8657 | 8663 | 8669 | 8675 | 8681 | 8686 74 | 8692 | 8698 | 8704 | 8710 | 8716 | 8722 | 8727 | 8733 | 8739 | 8745 75 | 8751 | 8756 | 8762 | 8768 | 8774 | 8779 | 8785 | 8791 | 8797 | 8802 76 | 8808 | 8814 | 8820 | 8825 | 8831 | 8837 , 8842 | 8848 | 8854 | 8859 77 | 8865 | 8871 | 8876 | 8882 | 8887 | 8803 | 8899 | 8904 | 8910 | 8915 78 | 8921 | 8927 | 8932 | 8938 | 8943 | 8949 : 8954 | 8960 | 8965 | 8971 79 | 8975 | 8982 | 8987 | 8993 | 8998 | 9004 : 9009 | 9015 | 9020 | 9025 80 | 9031 | 9036 | 9042 | 9047 | 9053 | 9058 | 9063 | 9069 | 9074 | 9079 81 | 9085 | 9090 | 9096 | 9101 | 9106 | 9112 | 9117 | 9122 | 9128 | 9133 82 | 9138 | 9143 | 9149 | 9154 | 9159 | 9165 | 9170 | 9175 | 9180 | 9186 83 | 9191 | 9196 | 9201 | 9206 | 9212 | 9217 | 9222 | 9227 | 9232 | 9238 84 | 9243 | 9248 | 9253 | 9258 - 9263 | 9269 | 9274 | 9279 | 9284 | 9289 85 | 9294 | 9299 | 9304 | 9309 | 9315 | 9320 | 9325 | 9330 | 9335 | 9340 86 | 9345 | 9350 | 9355 | 9360 | 9365 | 9370 | 9375 | 9380 | 9385 | 9390 87 | 9395 | 9400 | 9405 | 9410 | 9415 | 9420 | 9425 | 9430 | 9435 | 9440 88 | 9445 | 9450 | 9455 | 9460 | 9465 | 9469 | 9474 | 9479 | 9484 | 9489 89 | 9494 | 9499 | 0504 | 0509 | 9513 | 9518 | 9523 | 9528 | 9533 | 9538 90 | 9542 | 9547 | 9552 | 9557 | 9562 | 9566 | 9571 | 9576 | 9581 | 9586 91 | 9590 | 9595 | 9600 | 9605 | 9609 | 9614 | 9619 | 9624 | D628 | 9633 92 | 2638 | 9643 | 9647 | 9652 | 9657 | 9661 | 9666 | 9671 | 9675 | 9680 93 | 9685 | 8689 | 9694 | 9699 | 9703 | 9708 | 9713 | 9717 | 9722 | 9727 94 | 9731 | 9736 | 9741 | 9745 | 9750 | 9754 | 9759 | 9763 | 9768 | 9773 95 | 9777 | 9782 | 9786 | 9791 | 9795 | 9800 | 9805 | 9809 | 9814 | 9818 96 | 9823 | 9827 | 9832 | 9836 | 9841 | 9845 | 9850 | 9854 | 9859 | 9863 97 | 9868 | 9872 | 9877 | 9881 | 9886 | 9890 | 9894 | 9899 | 9903 | 9908 98 | 9912 | 9917 | 9921 | 9926 | 9930 | 9934 | 9939 | 9943 | 9948 | 9952 99 | 9956 | 9961 | 9965 | 9969 | 9974 | 9978 | 9983 | 9987 | 9991 | 9996 100 | 0000 | 0004 | 0009 | 0013 | 0017 | 0022 | 0026 | 0030 | 0035 | 0039 A-10 Apéndice: Relaciones matemáticas FUNCIONES EXPONENCIALES z e er z e er 0,00 1,0000 1,0000 2,5 12,182 0,0821 0,05 1,0513 0,9512 2,6 13,464 0,0743 0,10 1,1052 0,9048 2,7 14,880 0,0672 0,15 1,1618 0,8607 2,8 16,445 0,0608 0,20 1,2214 0,8187 2,9 18,174 0,0550 0,25 1,2840 0,7788 3,0 20,086 0,0498 0,30 1,3499 0,7408 3,1 22,198 0,0450 0,35 1,4191 0,7047 32 24,533 0,0408 0,40 1,4918 0,6703 3,3 27,113 0,0369 0,45 1,5683 0,6376 3,4 29,964 0,0334 0,50 1,6487 0,6065 3,5 33,115 0,0302 0,55 1,7333 0,5769 3,6 36,598 0,0273 0,60 1,8221 0,5488 37 40,447 0,0247 0,65 1,9155 0,5220 3,8 44,701 0,0224 0,70 2,0138 0,4966 3,9 49,402 0,0202 0,75 21170 0,4724 40 54,598 0,0183 0,80 2,2255 0,4493 41 60,340 0,0166 0,85 2,3396 0,4274 4,2 66,686 0,0150 0,90 2,4596 0,4066 4,3 73,700 0,0136 0,95 2,5857 0,3867 4,4 81,451 0,0123 1,0 2,7183 0,3679 4,5 90,017 0,0111 1,1 3,0042 0,3329 4,6 99,484 0,0101 1,2 3,3201 09,3012 4,7 109,95 0,0091 1,3 3,6693 0,2725 4,8 121,51 0,0082 1,4 4,0552 0,2466 4,9 134,29 0,0074 1,5 4,4817 0,2231 5 148,41 0,0067 1,6 4,9530 0,2019 6 403,43 0,0025 1,7 5,4739 0,1827 7 1.096,6 0,0009 1,8 6,0496 0,1653 8 2.981,0 0,0003 1,9 6,6859 0,1496 9 8.103,1 0,0001 2,0 7,3891 0,1353 10 22.026 0,00005 2,1 8,1662 0,1225 2,2 9,0250 0,1108 2,8 9,9742 0,1003 2,4 11,023 0,0907