Baixe CP2VEST92quest Geom Espac e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity! Resolução das atividades complementares Matemática M17 — Sólidos Geométricos p. 80 1 (MACK-SP) Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais. 2 (UnB-DF) Qual o número de lados das faces de um poliedro regular com 20 vértices e 30 arestas? Em questões como a 3, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 3 (UFSC) Dado o poliedro regular, é correto afirmar: (01) É um tetraedro. (08) Obedece à relação de Euler. (02) É um octaedro. (16) Suas faces são triângulos eqüiláteros. (04) Todas as arestas são iguais. (32) Tem 12 arestas. 4 (Faap-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. Resolução: F 5 1 1 1 5 5 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 1 1 2 7 3 3 1 4 1 5 2 6 2  F A A⇒ 5 5 2 1 5 2 1 5 5 30 2 15 2 15 7 2 10   A V A F V V⇒ Resolução: V 30 2 1 5 2 1 5 5 5 ? 5 A F F F A F n 2 20 30 2 12 2 1 ⇒ ⇒  2 2 ? 5 n n 5 lados Resolução: (01) Falsa, pois o poliedro tem oito faces. São corretas as afirmativas 2, 4, 8, 16 e 32, somando 62. Resolução: V 2 A 1 F 5 2 A 5 V 1 6 V 2 (V 1 6) 1 F 5 2 ⇒ V 2 V 2 6 1 F 5 2 ⇒ F 5 8 O poliedro possui 8 faces. 10 5 lados Resposta: 62 8 faces 6 Numa publicação científica de 1985, foi divulgada a descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares, como numa bola de futebol. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckminster Fuller, a molécula foi denominada fulereno. Determine o número de átomos de carbono nessa molécula e o número de ligações entre eles. 5 (PUC-RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas e o número de vértices desse poliedro são, respectivamente: a) 30 e 40 c) 30 e 8 e) 15 e 9 b) 30 e 24 d) 15 e 25 7 (UFPel-RS) Quando João entrou na sala do professor, fez uma observação sobre a beleza do objeto de vidro que estava sobre os papéis do mestre. Este, não resistindo à tentação de propor um problema, característica do matemático, apresentou ao aluno a seguinte questão: — Calcule o número de arestas e de vértices deste peso de papel, que é um poliedro convexo de 6 (seis) faces quadrangulares e 2 (duas) hexagonais. Responda à questão proposta no texto acima. Resolução: 5 faces triangulares 3 faces pentagonais F    5 1 5 5 ? 1 ? 5 2 1 5 2 5 3 8 5 3 3 5 2 15 2 15 A V A F V⇒ 1 5 58 2 9⇒ V 18 arestas e 12 vértices Resolução: Sendo V o número de átomos e A o número de ligações entre eles: face pentagonal: 12 ? 5 5 60 ligações face hexagonal: 20 ? 6 5 120 ligações Como cada aresta (ligação) foi contada duas vezes: 2A 5 60 1 120  A 5 90 O número de átomos (vértices) pode ser obtido pela relação de Euler. V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 90 1 32 5 2  V 5 60 A molécula possui 60 átomos e 90 ligações. A molécula possui 60 átomos e 90 ligações. Resolução: F 5 1 5 5 ? 1 ? 5 2 1 5 2 6 2 8 6 4 2 6 2 18 2 18 A V A F V⇒ 1 5 58 2 12⇒ V O poliedro tem 18 arestas e 12 vértices. 15 (UFC) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 3, 5 e 7. Sabendo que a diagonal mede 4 83 cm, calcule o volume do paralelepípedo. 16 (FGV-SP) Um arquiteto tem dois projetos para construção de uma piscina retangular com 1 m de profundidade: Projeto 1: dimensões do retângulo: 16 m 3 25 m Projeto 2: dimensões do retângulo: 10 m 3 40 m Sabendo que as paredes laterais e o fundo são revestidos de azulejos cujo preço é R$ 10,00 o metro quadrado: a) qual a despesa com azulejos em cada projeto? b) se a área do retângulo for de 400 m2 e x uma de suas dimensões, expresse o custo dos azulejos em função de x. p. 95 17 Uma barra de chocolate tem o formato da figura ao lado. Calcule o volume de chocolate contido nessa barra. Use 3 1,73.5( ) 4 cm 4 cm 4 cm 12 cm 1: R$ 4 820,00 e 2: R$ 5 000,00 83,04 cm3 6 720 cm3 Resolução: V a b c a b c k a 5 ? ? 5 5 5 5 5 5 3 5 7 ⇒ 3k; b 5k e c 7k D a b c (3k) (5k) (7k) 83k 2 2 2 2 2 2 2 5 1 1 5 1 1 54 83 4 83⇒ ⇒ ⇒4 83 83 4 12 5 5 5 5 5 5 k k a 12 cm; b 20 cm e c 28 cm V ? ? 520 28 ⇒ V 6 720 cm3 c 5 1 14 000 20x 8 000 x Resolução: a) projeto 1: 2(16 ? 1 1 25 ? 1) 1 16 ? 25 5 482 m2 despesa 1 5 482 ? 10  despesa 1 5 R$ 4 820,00 projeto 2: 2(10 ? 1 1 40 ? 1) 1 10 ? 40 5 500 m2 despesa 2 5 500 ? 10  despesa 2 5 R$ 5 000,00 b x y y x S x xt ) ? 5 5 5 1 ? 1 ? 5 1 400 400 400 1 400 1 ⇒ 2 400 2x( ) 1 5 1 1 ? 5 1 1 800 x 2x 4 000 20x 8 000 x custo x 400 800 10( ) Resolução: V S h S S b b b 5 ? 5 ? ? 5 5 ? 1 2 4 4 3 2 4 3 1  cm V 4 3 2 2  V 83,04 cm35 19 (Unesp-SP) A área da superfície da Terra é estimada em 510 000 000 km2. Por outro lado, estima- se que, se todo o vapor de água da atmosfera terrestre fosse condensado, o volume de líquido resultante seria de 13 000 km3. Imaginando que toda essa água fosse colocada no interior de um paralelepípedo retângulo, cuja área da base fosse a mesma da superfície da Terra, a medida que mais se aproxima da altura que o nível da água alcançaria é: a) 2,54 mm c) 25,4 cm e) 0,254 km b) 2,54 cm d) 2,54 m 20 (UnB-DF) A figura ao lado ilustra alguns degraus de uma escada de concreto. Cada degrau é um prisma triangular reto de dimensões 15 cm, 30 cm e 60 cm. Se a escada tem 20 degraus, qual o volume (em decímetros cúbicos) do concreto usado para construir a escada? 21 (UFPel-RS) De um reservatório de forma cúbica cheio de água foram retirados 2  dessa água. Verificando-se que houve uma variação de 5 cm no nível do líquido, calcule quanto mede a aresta interna da caixa-reservatório. 18 (UEPG-PR) As medidas internas de uma caixa-d’água em forma de paralelepípedo retângulo são: 1,2 m, 1 m e 0,7 m. Sua capacidade é de: a) 8 400  c) 840  e) n.d.a. b) 84  d) 8,4  30 cm 15 cm 60 cm 20 cm Resolução: 1,2 m 5 12 dm V 5 a ? b ? c 5 12 ? 10 ? 7 5 840 1 m 5 10 dm V 5 840 dm3 5 840  0,7 m 5 7 dm Resolução: S 5 510 000 000 km2 V 5 13 000 km3 V 5 Sb ? h 13 000 5 510 000 000 ? h ⇒ h  0,0000254 km ⇒ h  2,54 cm Resolução: 5 cm 5 0,5 dm V 5 x ? x ? 0,5 5 2 ⇒ x2 5 4  x 5 2 dm x 5 20 cm Resolução: Volume de cada degrau 5 V1 V1 5 Sb ? h S Sb b5 ? 5 30 15 2  225 cm2 V1 5 225 ? 60  V1 5 13 500 cm 3 5 13,5 dm3 Volume de concreto usado 5 V V 5 20 ? 13,5  V 5 270 dm3 270 dm3 22 (FCMSC-SP) Dispondo de uma folha de cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha (ver figura ao lado). Qual será o volume dessa caixa, em centímetros cúbicos? 24 (UENF-RJ) Na construção de um hangar, com a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas abaixo. 23 (Vunesp-SP) Calcule o volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura. 3 m 5 m 12 m 8 m 50 cm 8 cm 30 cm Calcule o volume mínimo desse hangar. ENVERGADURA 79,8 metros 73 metros 24,1 metros Airbus A3XX-100 COMPRIMENTO E ALTURA TOTAL (Adaptado de Veja, 14/6/2000) 140 392,14 m3 3 808 cm3 50 � 16 30 � 16 8 8 2 3 Resolução: O volume da caixa V 5 34 ? 14 ? 8 V 5 3 808 cm3 384 m3 Resolução: S S 32 m V S h V b b 2 b 5 ? 1 ? 5 5 ? 5 ? 5 3 8 8 2 2 32 12 384 m3 Resolução: a 5 79,8 m b 5 73 m c 5 24,1 m Vmín 5 a ? b ? c Vmín 5 79,8 ? 73 ? 24,1  Vmín 5 140 392,14 m 3 0 30 (UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida de aresta da base? a) cm c) cm e) cm b) cm d) cm 2 2 2 3 3 3 3 31 (UFRN) Uma pirâmide regular tem base quadrada inscrita em um círculo de raio 8 cm e seu apótema é igual ao semiperímetro da base. Calcular o volume da pirâmide. 32 (MACK-SP) Uma pirâmide, cuja base é um quadrado de lado 2a, tem o mesmo volume que um prisma, cuja base é um quadrado de lado a. Determine a razão entre as alturas da pirâmide e do prisma. h a Resolução: V 9 5 ? 5 ? 5 5 1 3 1 3 4 3 9 3 4 2 S h S S S b b b b ⇒ cm2  3 4 92 5 5⇒ 3 cm 512 30 3 cm3 O h a r � 8 8 2 cm Resolução:    2 16 8 2 4 8 2 2 16 2 5 5 5 ? 5 5 1 a a cm a h 2 2 2 ( )2 2 2 2 16 2 4 2 4 30 1 3 1 3 2 ( ) ( ) ( ) 5 1 5 5 ? 5 h S 8 2 b  h cm V h V⇒ ? 54 30 ⇒ V 512 30 3 cm3 3 4 Resolução: V 1 3 S h V pirâmide b pirâmidepirâmide 5 ? pirâmide 2 pirâmide pirâmide 21 3 (2a) h V 4a h5 ? 5 3 pirâmide prisma b prisma prism (I) V S h V prisma 5 ? ⇒ a 2 prisma 2 pirâmide 2 a h (II) (I) (II): 4 3 a h a 5 5 ? ⇒ ? 5h h h 3 prisma pirâmide prisma  4 33 (Unicamp-SP) Dado um cubo de aresta , qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo? 34 (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao retirar as 8 pirâmides é igual a: a V c V e V b V d V ) ) ) ) ) 1 2 2 3 3 8 3 4 5 6 M N A P 3 6 Resolução: Sejam: a 5 medida da aresta do octaedro Vo 5 volume do octaedro Vp 5 volume da pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede a � 2 � 2 M C h a E a 2 a 2 a 2 O EMC é retângulo: (EC) (ME) (MC) a 2 2 2 2 2  5 1 5  4 1 5 5 5 ? 5 5 5 ?      2 o p o 2 h 2 2 V 2V V 2 1 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ ⇒ a a ( )2 2 6? 5 ⇒ Vo 3 Resolução: V a a V5 53 3⇒ (I) Cada pirâmide retirada tem S a e S b 2 b 5 ? ? 5 5 5 ? 5 1 2 2 2 8 2 1 3 1 3 a a h a V hpir a a 48 (II) Substituindo (I) em (II), t 2 3 8 2 ? 5 a emos: Como o volume do cubo V V Vpir 5 5 3 3 48 48 ( ) é , e o volume de cada pirâmide é V 48 , oV volume do poliedro será: 8VpirV V V V pol 5 2 5 2 ?8 48 5 6 5 V 35 (PUC-RS) Em uma pirâmide quadrangular regular, a secção feita a 3 dm do vértice tem área igual a 45 dm2. Calcular o volume da pirâmide, sabendo que a sua altura é de 6 dm. 36 (PUC-SP) Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 2 814 cm3 de volume. A altura do tronco mede 18 cm e o lado do quadrado da base maior mede 20 cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede: a) 8 cm c) 3 cm e) 14 cm b) 6 cm d) 12 cm 37 Uma fôrma de gelo, como a da figura abaixo, tem a forma de tronco de pirâmide, de bases retangulares, com as medidas indicadas. 3 cm 1,8 cm 4,5 cm 3 cm 3, 2 cm a) Qual a quantidade de água, em mililitros, necessária para encher completamente essa fôrma de gelo? b) Sabendo-se que, ao congelar, o volume de água aumenta em 8%, qual o volume de gelo que teremos após o congelamento? 360 dm3 28,62 m 30,91 cm3 Resolução: b B B B V B 5 5 5 5 ? ? d h 3 6 180 dm 2 2 2 2 2⇒ 45 1 3  h V V⇒ 5 ? ? 51 3 180 6  360 dm3 Resolução: V b B T 5 1 1 5 5 5 k 3 B Bb B 20 400 cm b 2 2 [ ] 400  5 5 1 1 5 1 2 5        2 2 2 2 2 814 18 3 3 69 0 400 400 20      5 2 5 23 (não convém) Portanto, 3 cm. Resolução: a V b B B ) 5 1 ? 1 5 5 ? 5 h 3 B B b h 3 cm 4,5 3,2 [ ]  14,4 cm 3 1,8 5,4 cm 3 3 14,4 14,4 5,4 2 2b b V 5 ? 5 5 1 ?  1 5 5  5  5 5 4, ) [ ] V b V V 28,62 cm 28,62 m 1,08 V 1 3  ⇒ ,08 28,62 30,91 cm3?  5⇒ V 45 Duzentos litros de um líquido serão armazenados em latas cilíndricas de raio 5 cm e altura 13 cm. Cada lata deverá ser preenchida em até 80% do seu volume. Quantas latas, no mínimo, serão necessárias? 44 Atira-se uma pedra em um vaso cilíndrico de 1,2 m de diâmetro da base, parcialmente cheio de água. Determine o volume da pedra se, em conseqüência da imersão, a água elevou-se 0,54 m. 46 Uma fábrica de sopa em lata decidiu aumentar em 20% a altura de suas latas cilíndricas, mas mantendo o mesmo volume. Qual deverá ser a diminuição, em porcentagem, do raio da lata para que o volume permaneça constante? 0,61 m3 245 latas Resolução: r r5 5 51,2 2 0,6 m; h 0,54 m O volume da pedra é igual ao volume de água deslocada. Logo: V 5 p ? r2 ? h V 5 p ? (0,6)2 ? 0,54  V  0,61 m3 Resolução: 1  5 1 dm3 Vlata 5 pr 2h Vlata 5 p ? 5 2 ? 13  Vlata  1 021 cm 3 V 5 0,8Vlata V 5 0,8 ? 1 021  V  817 cm3 ou 0,817 dm3 1 lata 0,817 dm latas 200 dm 200 0,81 3 3   ⇒ n n 5 7 244,8 245 latas  8,71% Resolução: lata 1 lata 2 raio da base altura r h 1 1 2 1 r h h 1,2h V V r (1,2 h ) r r r 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 5 5 ? ? 5 5 p p 2 1 2 1 1 1 1,2 r 1,2 r 0,91287r r 0,91287r 0,08 ⇒ r2 5 2 5  712r diminuição do raio 8,71% 1  47 (UFPE) Interceptando-se um cilindro reto com raio da base igual a 2 cm e altura 5 cm com dois planos que passam pelo eixo do cilindro e formam um ângulo de 36° entre eles, obtém-se o sólido ilustrado ao lado. Indique o inteiro mais próximo do volume desse sólido, em centímetros cúbicos. 48 (Unicamp-SP) Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à sua base, resultando no sólido ilustrado na figura. Calcule o volume desse sólido em termos do raio da base r, da altura máxima AB 5 a e da altura mínima CD 5 b. Justifique seu raciocínio. 36o A B a C D b r 49 (UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, a área total, em metros quadrados, vale: a) 52p c) 20p e) 12p b) 36p d) 16p 6 a � b b b r r Resolução: Se °, o volume do sólido é 1 1  5 36 0 do volume do cilindro. V r 2 20c 2 25 5 ? ? 5p p ph 5   V V c s 5 5 5 20 cm V 20 10 2 6,28 cm O inteir 3 s 3 p p p  o mais próximo é o 6. 1 2 pr2( )a b1 Resolução: O volume do sólido é a soma do volume do cilindro de raio r e altura b, com a metade do volume do cilindro de raio r e altura a 2 b. V b a b V b 5 1 2 5 1 p p p r r r (a 2 2 2 ( ) ) 2 1 2 Resolução: g2 5 h2 1 r2 ⇒ g2 5 32 1 42  g 5 5 m S  5 prg 5 p ? 4 ? 5  S  5 20p m2 Sb 5 pr 2 5 p ? 42  Sb 5 16p m 2 St 5 S 1 Sb 5 20p 1 16p  St 5 36p m 2 h g r 50 (UFES) Com um setor circular, cujo ângulo central mede 120°, constrói-se um cone circular reto de raio igual a 3 cm. Determine o volume do cone assim obtido. 51 Na figura, a base do cone reto está inscrita numa face do cubo e seu vértice está no centro da face oposta. Se a área total do cubo é 54 m2, determine o volume do cone. 52 (UniSantos-SP) Com um semicírculo de papel, com raio igual a 20 cm, um pipoqueiro faz saquinhos para vender pipocas, com a forma de cone circular reto. O volume desses saquinhos, usando p  3, é mais próximo de: a) 1 100 cm3 c) 1 500 cm3 e) 1 900 cm 3 b) 1 300 cm3 d) 1 700 cm 3 2,25π m3 V a A a 2 18 2 cm3p Resolução:  5 5 5  ? ? 5 ? 120 3 ° 2 3 2 r 2 2 3 p p ⇒ p p rad g g g 5 5 1 5 1 5 5 5 9 cm g h r 9 h 3 r h 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ p ⇒  h cm V V 6 2 1 3 1 3 p p? ? 53 V 18 2 cm2 36 2  Resolução: S a t 5 5 5 5 5 6a 6a 54 a 9 3 m V a 2 2 2 2 ⇒ p  1 3 2( ) ? 5 ? 5 5 a V 3 2 3 V 2,25 m 2 3 1 3 9 4 p p p ( ) Resolução: O desenvolvimento de um cone eqüilátero é um semicírculo. 2 g 2 r g 2 r 10 cm h 20 3 2 h p p p 5 5 5 5 5 5 5 5 2 20 2 10 3 10 3  cm V 1 3 r h 10 10 3 1 700 1 700 cm2 2 3p p5 51 3   V g � 20 20 20 h 20 r 0 58 (UnB-DF) A figura ao lado representa um coador de café (em forma de um tronco de cone) apoiado sobre um vaso cilíndrico com perímetro da base igual ao perímetro da boca do coador. Calcule r, de acordo com os dados da figura e sabendo que a capacidade do coador é um quarto da capacidade do vaso. 59 (UFPR) Um sólido tem o formato de um tronco de cone circular reto com uma cavidade na forma de cone com a mesma altura do tronco e com base igual à base menor do tronco, conforme a figura. Calcule o volume do sólido, sabendo que as medidas do tronco são: 16 cm de altura, 250 cm2 de área da base maior e 40 cm2 de área da base menor. 2r h 28� r45° 2r r r 5 12 45° r r 1 h � 28 h1 2 Resolução: tg 45° h r h (I) V 1 4 V V V h 1 1 1 2 1 T 1 5 5 5 5 ⇒ ⇒ r ? 1 ? 1 5 5 5 p p p 3 [(2r) 2r r ] V 7 3 r V V (2r) h 2 2 1 3 2 ci 2 r   V 112 r 3 1 4 112 r 2 2 2 5 5 5 p p p ⇒7 123r r 5 600 3 cm3 Resolução: b r r B 250 R 2 25 5 5 5 ? 5 p ⇒ p p p ⇒ p 40 40 2  r cm R 2 tronco 2 2V k 3 (R Rr r ) 16 3  R cm5 5 1 1 5 ? 1 250 250 p p p p 100 40 1 p p p 1 5 5 ? ? ? 5 ( ) V 2 080 cm V 3 r k tronco 3 cone 2 1 3 40 16p p ? ? 5 5 2  V V cone 640 3 cm V V 3 sólido tronco cone 5 2 5 2 080 640 3 V 5 600 3 cmsólido 3 60 Na figura ao lado tem-se um recipiente com a forma de um cone circular reto, com um líquido que atinge metade de sua altura. Se V é a capacidade do cone, qual o volume do líquido? 61 Uma taça em forma de cone tem raio da base igual a 5 cm e altura 10 cm. Coloca-se champanhe em seu interior até que atinja, a partir do vértice da taça, 5 cm de altura, conforme mostra a figura 1. Vedando a taça e virando-a para baixo, conforme mostra a figura 2, pergunta-se: em que altura (h), a partir da base do cone, ficará o nível do champanhe nessa nova posição? (Considere 7 1,91.)3 5 h h 2 5 10 5 10 h Figura 1 Figura 2 0,45 cm Figura 1 25 10 5 5 10 5 r h Figura 2 r 10 5 h V 8 Resolução: d h V V h V V h V V5  5  5  5 2 2 8 3 d h 3 3 3⇒ ( )  Resolução: Vchamp 5 ? 1 3 (2,5)2p 5 Daí resulta: h (25 5r r ) 5 3 (2,5) (25 5r r 2 2p p 3 1 1 5 1 1 2)h 31,25 (I) 10 10 2r (II) 5 2 5 5 2 h r h 10 5  Vchamp 5 1 1 ph 3 (5 5r r )2 2 Substituindo (II) em (I): (25 5r r ) 2r)21 1 2 5(10 31,25 Desenvolvendo e simplificando: 8r3 5 875 ⇒ r 5 3 5 2 Voltando em (II): h 3 3 5 5 5 5 875 8 7 7 1 3( )  r 0 2 7 10 7 10 5 3 32 ? ? 5 2 5 2 ? 5 5 2 5 h 1,91 h 0,45 cm p. 114 62 (Fuvest-SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência, em centímetros, é: a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 63 Sabendo que a área de uma superfície esférica é 8p cm2, calcule o raio da esfera. 64 Uma esfera cuja superfície tem área igual a 676p cm2 é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do seu centro, determinando um círculo. Nessas condições, determine: a) a área desse círculo; b) o comprimento da circunferência máxima dessa esfera; c) o volume do cone reto cujo vértice é o centro da esfera e a base é o círculo determinado pela intersecção do plano com a esfera. (Faça um desenho representativo dessa situação.) 100p cm3 26p cm 25p cm2 Resolução: 132 5 122 1 r2 r2 5 169 2 144 r 5 5 cm r 12 13 12 O r 13 2 cm Resolução: S r5 5 ? 54 r 8 4 r cm2 2p ⇒ p p  2 b C C) 5 5 ? 5 5 5 ? 2 r 2 13 26 cm c) V r h V 5 2 2 p p ⇒ p p p 1 3 1 3 12  V 5 100 cm3p Resolução: a) Sesfera 5 4pr 2 5 676p R2 5 169  R 5 13 cm r2 1 122 5 132 r2 5 25  r 5 5 cm Scírculo 5 pr 2 5 p52  Scírculo 5 25p cm 2 70 (UnB-DF) Um sorveteiro vende sorvetes em casquinhas de biscoito que têm a forma de cone de 3 cm de diâmetro e 6 cm de profundidade. As casquinhas são totalmente preenchidas de sorvete e, ainda, nelas é superposta uma meia bola de sorvete de mesmo diâmetro do cone. Os recipientes onde é armazenado o sorvete têm forma cilíndrica de 18 cm de diâmetro e 5 cm de profundidade. Determine o número de casquinhas que podem ser servidas com o sorvete armazenado em um recipiente cheio. 71 (UFPE) A figura ilustra a esfera de maior raio contida no cone reto de raio da base igual a 6 e altura igual a 8, tangente ao plano da base do cone. Qual o inteiro mais próximo da metade do volume da região do cone exterior à esfera? Sorvete Recipiente 60 casquinhas A B V C O D r r 94 Resolução: r 3 2 cm; 9 cm V 1 3 rcone 2 5 5 5 5 R R18 2  p h Vcone⇒ p ⇒ pV 1 3 9 cm V cone 3 semi-esf 5 ? ? 53 2 6 2 2( ) era 3 semi-esfera semi-e 1 2 3 r V 2 3 5 ? 54 3 2 3 p ⇒ p ⇒( ) V sfera 3 casquinha cone semi-esfera 9 cm V V 5 5 1 p 4 V ⇒ p p ⇒ pV 9 9 V 27 cm V casquinha casquinha 3 ci 5 1 5 2 4 4 lindro 2 cilindro 2R V 9 405 ? 5 ? ? 5p ⇒ p ⇒H Vcilindro5 5 cm Seja o número de casquinhas. Logo: 3p n n V V 405 27 4 60 casqcilindro casquinha 5 5 5⇒ p p n n uinhas Resolução:   VOB: VB VO OB g 8 g 10 VDC 2 2 2 2 2 5 1 5 1 5 62    VOB VB OB VC CD 10 6 8 r 5 5 2 5 5 2 r r V V Vcone esfera 3 ⇒ V h r V V 5 ? ? 2 5 ? ? 2 ? 5 1 3 4 3 1 3 8 4 3 3p p p p p ⇒ R 6 3 60 V 2 2 2 3  5 30 94,25 Logo, o inteiro mais próximo é 9 p  4. 72 (PUC-PR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água subirá cerca de 1,2 cm. Sabe-se, então, que o raio da bolinha vale, aproximadamente: a) 1 cm c) 2 cm e) 3 cm b) 1,5 cm d) 2,5 cm 73 (UFMG) Observe esta figura: Nessa figura, ABC é um quadrante de círculo de raio 3 cm e ADEF é um quadrado, cujo lado mede 1 cm. Considere o sólido gerado pela rotação de 360°, em torno da reta AB, da região colorida na figura. Sabe-se que o volume de uma esfera de raio r é igual a 4pr 3 3 . Assim sendo, esse sólido tem um volume de: a) 14p cm3 b) 15p cm3 c) 16p cm3 d) 17p cm3 p. 115 B D E A F C Resolução: V r h V 3 1,2 10,8 cm V 2 2 3 boli 5 5 ? ? 5 p p p V nha 3 3 3 4 3 r 4 3 r 10,8 r 8,1 8,1 2 cm 5 5 5 5 p p p ⇒ ⇒r r3  Resolução: Volume da semi-esfera: V r 1 3 5 5 2 3 21p p p? 53 V 18 cm Volume do cilindro gerado 3 1 3 3  por ADEF: V r 1 V cm Volume do 2 2 2 2 2 35 5 ? ? 5p p ph 1  sólido: V V V 18 17 cm1 2 35 2 5 2 5p p p V B D E A F 3 1 C 74 (PUC-SP) Um cone circular reto, cujo raio da base é 3 cm, está inscrito em uma esfera de raio 5 cm, conforme mostra a figura. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera? a) 26,4% c) 19,5% e) 16,2% b) 21,4% d) 18,6% 75 Uma esfera está inscrita num octaedro regular de aresta 12 cm. Calcule: a) o raio da esfera; b) o volume da esfera. 5 cm 3 cm R R r A OM H r A OM 6 H r 6 2 6 3 Resolução: R2 5 d2 1 r2 d2 5 52 2 32 d 5 4 cm h 5 R 1 d h 5 5 1 4  h 5 9 cm V V Vc c e5 5 ? ? 5 5 5 ? 1 3 1 3 3 9 4 3 4 3 5p p p p pr h 27 cm R2 2 3 3 3 3500 3 cm 27 500 0,162 16,2%  V V V e c e 5 5 5 5 p p p 3 2 6 cm 64 cm3p 6 V V esfera esfera 5 5 5 4 3 64 3 p p p r 4 3 2 6 6 cm 3 3 ( )   AOM: AM OH OA OM 3 6 2 6 r 2 6 cm ? 5 ? ? 5 ? 56 r Resolução: a) b) 0 82 (Unitau-SP) Aumentando em 10% o raio de uma esfera, a sua superfície aumentará: a) 11% c) 21% e) 30% b) 24% d) 31% 83 (MACK-SP) Um tanque de gás tem a forma de um cilindro de 4 m de comprimento, acrescido de duas semi-esferas, de raio 2 m, uma em cada extremidade, como mostra a figura. 84 (MACK-SP) Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de 4 cm, contém perfume em 1 4 de seu volume total. Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2 m do perfume, das alternativas abaixo, a que indicará o maior período de tempo de duração do perfume será: a) 16 dias c) 26 dias e) 43 dias b) 31 dias d) 54 dias Adotando p 5 3, a capacidade total do tanque, em m3, é: a) 80 c) 60 e) 50 b) 70 d) 55 85 (UFPA) Um cone reto tem raio de base R e altura H. Se uma esfera tem raio R e volume igual ao dobro do volume desse cone, podemos afirmar que: a H R c H R e H R b H R d H R ) ) ) ) ) 5 5 5 5 5 3 2 2 3 p. 116 Resolução: Se o raio for r, a superfície será S 5 4 ? p ? r2. Aumentando o raio em 10%, o novo raio será 1,1r e a superfície S 5 4 ? p ? (1 ? 1)2 r2 5 4 ? p ? 1,21 5 4,84pr2. O aumento da superfície foi de 0,84pr2, então: 4 100 4 p  p  ⇒ p p ⇒ r 0,84 r x r 0,84 r 100 84 2 2 2 2% x x5 ? 5 p p r 4 r 21% 2 2 5 Resolução: A capacidade do tanque corresponde à soma dos volumes de um cilindro de raio da base 2 m e altura 4 m com duas semi-esferas de raio 2 m, logo: V h V5 ? ? 1 ? ? ? 5 ? ? 1 ? ? 5 1 5p p ⇒r r 2 2 3 2 4 3 3 2 4 4 3 3 2 48 322 3 80 m3 Resolução: O volume do frasco é V 4 2535 ? ? 54 3 p 6 3 cm 256 3 m . O volume do perfume é 3p p5  1 4 do total, ou seja, 64 3 m . Utilizando 2 m p   por dia, terá perfume para 64 3 2 dias , oup seja, 64 6 33 dias.p  Resolução: V H V V cone esfera es 5 ? ? ? 5 ? ?1 3 4 3 p pR R2 3 fera coneV H H5 ? ? ? 5 ? ? ? ? 52 4 3 1 3 ⇒ p p ⇒R 2 R 2R3 2 86 (MACK-SP) Um recipiente cilíndrico reto, com raio da base igual a 4 cm, contém água até a metade de sua altura. Uma esfera maciça, colocada no seu interior, fica totalmente submersa, elevando a altura da água em 2 cm. O raio da esfera é: a c e b d ) ) ) ) ) 2 3 3 2 2 4 5 2 3 3 3 87 (UERJ) Uma cuba de superfície semi-esférica, com diâmetro de 8 cm, está fixada sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esférica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba. Desprezando-se a espessura do material usado para fabricar a cuba, determine: a) a maior área, em cm2, pela qual a bola de gude poderá se deslocar na superfície da mesa; b) o volume, em cm3, da maior esfera que poderia ser colocada embaixo dessa cuba. Resolução: Pelo Princípio de Arquimedes, o volume da esfera corresponde ao volume de água deslocado. Este volume corresponde ao volume de um cilindro reto, de raio da base igual a 4 cm e altura 2 cm. Chamando de R o raio da esfera, temos: V V cilindro esfera 5 ? ? 5 5 ? ? p p p 4 cm 4 3 R 2 2 3 2 32     Como V V , teremos: 32 4 3 cilindro esfera5 5 ?p p R R 96 R 24 24 cm. 3 3 3 3 3 ⇒ p 4p ⇒ ⇒ ⇒ 5 5 5 5R 2 3 8p cm2 32 3 cm3p Resolução: a) Considerando a bola de gude junto à cuba temos, representado na figura abaixo: Por Pitágoras: 3 R R R cm 2 2 2 2 5 1 5 2 5 5 1 9 1 8 2 2 2 R Esse valor corresponde ao raio da maior área que a bola de gude poderá se deslocar sobre a mesa, como mostra (em vista superior) a figura abaixo: A A 5 ? 5 ? 5 p p p R 2 2 8 cm 2 2 ( )2 3 cm 1 cm 1 cm R R 4 cm 2 cm 2 cm b) A maior esfera que pode ser colocada embaixo da cuba deve ter raio igual à metade do raio da cuba, ou seja, o raio deve ser 2 cm. Portanto: V 2 32 3 cm3 35 ? ? 54 3 p p 88 (ITA-SP) Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm. O raio da esfera inscrita nesse cone mede, em centímetros: a c e b d ) ) ) ) ) 2 12 5 10 3 3 7 4 89 (UFG) Considere um cone circular reto de altura h e raio r, h . r, inscrito em uma esfera de raio R. Determine a altura do cone quando r 5 3 5 R. 5 cm 12 cm A D O r r C T B O B5 12 13 D T Cr 12 � r D Resolução: Considerando a situação sugerida e fazendo um corte (passando pelo centro da base e o vértice do cone) teremos, como mostra a figura ao lado: 13 5 12 60 60 60 18 5 2 5 2 5 5 5 r r r ⇒ 13r 5r 18r 10 3 cm Sendo BD a geratriz do cone, temos: BD2 5 52 1 122 ⇒ BD2 5 169 ⇒ BD 5 13 cm Da semelhança entre os triângulos BOD e CTD concluímos que: h 5 9 5 R Resolução: No triângulo BCD, temos: D r BA E C h g D Br gh C g2 5 h2 1 r2 I