Mecanica - Calor - Ondas, Notas de estudo de Física

Baixe Mecanica - Calor - Ondas e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! i 1. Um pouco de cálculo 1.1 Introdução aos vetores................................................................................1 1.2 Introdução às derivadas..............................................................................9 1.3 Integração ...............................................................................................15 1.4 Interpretação cinemática das derivadas e integrais...................................19 Exercícios................................................................................................21 2. Movimento unidimensional 2.1 Introdução..................................................................................................25 2.2 Classificação dos movimentos unidimensionais.......................................30 2.3 Determinação de x(t) a partir de v(t) e de v(t) a partir de a(t)...................30 2.4 Aceleração constante.................................................................................32 Exercícios................................................................................................34 3. Movimentos bi e tridimensional 3.1 Introdução..................................................................................................35 3.2 Decomposição de movimentos..................................................................37 3.3 O movimento acelerado.............................................................................38 3.4 Movimentos planos descritos por coordenadas polares............................43 Exercícios................................................................................................45 4. As leis de Newton 4.1 Introdução..................................................................................................49 4.2 Referenciais...............................................................................................53 4.3 Aplicações das leis de Newton..................................................................54 4.4 Movimento circular...................................................................................63 4.5 Força retardada proporcional à velocidade...............................................67 4.6 Forças observadas na natureza..................................................................69 4.7 Forças inerciais..........................................................................................75 Exercícios................................................................................................79 Índice ii 5. Trabalho e energia 5.1 Trabalho e energia cinética.......................................................................85 5.2 Potência.................................................................................................... 90 5.3 Energia potencial.......................................................................................90 5.4 Forças conservativas..................................................................................92 5.5 Determinação da força a partir da energia potencial.................................94 5.6 Forças dissipativas.....................................................................................95 5.7 Conservação de energia.............................................................................96 5.8 Corpo são sob a ação de um potencial arbitrário.....................................100 Exercícios..............................................................................................101 6. Sistema de partículas. Conservação de momentum 6.1 Centro de massa ......................................................................................107 6.2 Movimento do centro de massa...............................................................109 6.3 Sistemas onde a massa varia....................................................................112 Exercícios..............................................................................................116 7. Colisões 7.1 Impulso....................................................................................................119 7.2 Transporte de momentum para uma superfície. Pressão de um gás........121 7.3 Colisão e conservação de momentum.....................................................123 Exercícios..............................................................................................127 8. Dinâmica do corpo rígido 8.1 Introdução ...............................................................................................131 8.2 Rotação em torno de um eixo fixo...........................................................131 8.3 Energia rotacional e momento de inércia................................................134 8.4 Dinâmica da rotação em torno de um eixo fixo.......................................142 8.5 Equilíbrio estático de um corpo rígido....................................................145 8.6 Aceleração constante...............................................................................147 8.7 Momentum angular..................................................................................152 8.8 Torque e momentum angular de um sistema de partículas.....................154 8.9 Relação trabalho-energia rotacional........................................................158 8.10 Conservação do momentum angular.....................................................159 8.11 Combinação de translação e rotação.....................................................162 Exercícios..............................................................................................167 9. Oscilações 9.1 O movimento harmônico simples............................................................175 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Um pouco de cálculo 1 1.1 Introdução aos vetores Existem grandezas físicas que podem ser especificadas fornecendo-se apenas um número. Assim, por exemplo, quando dizemos que a temperatura de uma sala é de 20 0C temos a informação completa, não sendo necessário nenhum dado adicional. Grandezas deste tipo são conhecidas como escalares. Por outro lado, se estivermos discutindo o deslocamento de um corpo, é necessário indicar a distância percorrida entre dois pontos, a direção e o sentido do deslocamento. A grandeza que descreve este movimento é denominada de vetor e será o objeto de estudo desta seção. Existem ainda grandezas chamadas tensores que necessitam de um número maior de informações, em geral dadas na forma de matrizes, que fogem à abrangência deste texto. Geometricamente, os vetores são representados por uma seta, cujo comprimento é chamado de módulo (escolhendo-se uma determinada escala). A direção e o sentido da seta fornecem a direção e sentido do vetor. Usualmente, ele é representado por uma letra em negrito (a, AB, etc.) ou com uma seta sobre a letra ( a r ,AB → , etc.). Por outro lado, o módulo do vetor é representado apenas por uma letra ou com o vetor colocado entre barras (a, a r , AB → , etc.) Consideremos uma partícula deslocando-se de A para B. Este deslocamento é representado por uma seta indo de A até B, como a mostrada na Fig. 1.1(a). O caminho efetivamente seguido pela partícula pode não coincidir com o seu deslocamento (vetor), conforme ilustra a Fig. 1.1(b). Se considerarmos pontos intermediários (P), tais como o mostrado na Fig. 1.1(c), 1 UM POUCO DE CÁLCULO S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 2 Um pouco de cálculo poderemos eventualmente mapear o trajeto, porém a soma resultante será sempre o vetor AB → , caracterizado pelo seu módulo (comprimento), direção e sentido. As grandezas vetoriais combinam-se segundo determinadas regras. Assim, no deslocamento da Fig. 1.1 definimos a operação soma de vetores, ABPBAP →→→ =+ , que veremos com mais detalhes a seguir. Fig. 1.1 - (a) Vetor descrevendo o deslocamento de uma partícula entre os pontos A e B, (b) trajetória real da partícula e (c) soma de deslocamentos. Consideremos os vetores a r e b r mostrados na Fig. 1.2. O resultado da adição destes dois vetores é a resultante r r , denotada por bar rrr += . O procedimento empregado para efetuar a adição geométrica de vetores pode ser intuído a partir da Fig. 1.1 e é o seguinte: traça-se (em escala) o vetor a r e em seguida o vetor b r com a origem na extremidade de a r . Une-se a extremidade final de b r com a origem de a r e assim temos o vetor soma r r , como ilustrado na Fig. 1.2. Fig. 1.2 - Adição geométrica dos vetores a r e b r . Usando este procedimento geométrico para a adição de vetores, vemos que esta satisfaz as propriedades comutativa: abba rrrr +=+ e associativa: )cb(ac)ba( rrrrrr ++=++ , como indicado na Fig. 1.3. A B B A B A P (a) (b) (c) a r b r r r S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Um pouco de cálculo 3 A subtração de vetores é facilmente introduzida definindo-se o “negativo” de um vetor como sendo o vetor com sentido oposto ao original. Assim, )b(aba rrrr −+=− , como ilustrado na Fig. 1.4. Note que tanto a adição como a subtração podem ser representadas simultaneamente pela construção do paralelogramo representado na Fig. 1.5. (a) (b) Fig. 1.3 - Propriedades (a) comutativa e (b) associativa. Fig. 1.4 - Subtração geométrica dos vetores a r e b r . Fig. 1.5 - Regra do paralelogramo para a adição e subtração geométrica dos vetores a r e b r . A adição geométrica de vetores tridimensionais é muito mais difícil e para evitá-la costuma-se utilizar o método analítico, que consiste na decomposição espacial dos vetores e na manipulação individual de seus componentes. A decomposição de um vetor só pode ser efetuada com relação a um sistema de a r b r c r ba rr + cba rrr ++ cb rr + a r b r r r a r b r a r b r b r − a r ba rr − b r − a r ba rr − a r b r a r b r ba rr + S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 6 Um pouco de cálculo a) Multiplicação de um vetor por um escalar - resulta num outro vetor paralelo ao primeiro, porém com o módulo multiplicado por uma constante. Se esta constante for negativa existe a inversão do sentido do vetor. b) Produto escalar - o produto escalar entre a r e b r resulta num número (e não num vetor) que é definido como φcosabb.a = rr , onde ϕ é o ângulo entre eles. Geometricamente, temos o produto do módulo de um vetor pela projeção do outro sobre si. Este tipo de produto aparece no cálculo do trabalho mecânico, potência de uma força, etc. Fig. 1.8 - Produto escalar entre dois vetores a r e b r . c) Produto vetorial – É representado por b ac rrr ×= . O vetor resultante tem o módulo dado por c = ab senϕ, e direção perpendicular ao plano que contém a r e b r . Novamente, ϕ é o ângulo entre a r e b r . O sentido de c r pode ser determinado pela regra da mão direita, ilustrada na Fig. 1.9. Usa-se a seguinte receita: “Empurre com as pontas dos dedos o vetor a r no sentido de superpô- lo ao vetor b r . O polegar indicará o sentido do vetor c r ”. Fig. 1.9 - Regra da mão direita para a realização do produto vetorial. φ a r b r c r b r a r S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Um pouco de cálculo 7 Ao contrário do produto escalar, o produto vetorial não é comutativo, isto é, ele muda de sinal ao mudarmos a ordem dos vetores, isto é, a b b a rrrr ×−=× . Este fato pode ser comprovado pela regra da mão direita. Algumas propriedades interessantes dos produtos escalar e vetorial são: 1. distributiva (escalar): c.a b.a )cb.( a rrrrrrr +=+ 2. distributiva (vetorial): c a b a )cb( x a rrrrrrr ×+×=+ 3. produto misto: )b a.(c ) a c( .b )c b( . a rrrrrrrrr ×=×=× 4. duplo produto vetorial: c)b. a( b) c . a( )c b( x a rrrrrrrrr −=× Para o cálculo do produto vetorial, notamos que: ĵ ĵ î î =×=× 0 k̂ k̂ =×= , pois o ângulo entre dois vetores iguais é nulo e î k̂ ĵ ,k̂ ĵ î =×=× e ĵ î k̂ =× , como pode ser visto pela regra da mão direita. Vejamos a seguir alguns exemplos de multiplicação vetorial. (i) k̂8ba ĵ2b e î4a =×⇒== rrrr (ii) ĵ- îb e ĵ3î2a 2 1=+= rr =×⇒ ba rr ( ) =      −×+ ĵîĵ3î2 2 1 k̂-ĵĵ3 - î ĵ ĵ î2 - î î 2 7 2 3 =××+××= . Uma outra maneira de se fazer o produto vetorial é pelo uso de matrizes. Considere k̂ĵ3î2a −+= r e k̂2ĵîb +−= r . Podemos calcular o vetor resultante pela co-fatora da matriz: ( ) ( ) ( ) )k̂ĵî5(k̂ 32ĵ 14î 16 2 1- 1 1- 3 2 k̂ ĵ î ba −−=−−++−−==× rr Este mesmo resultado pode ser encontrado utilizando-se a propriedade distributiva (vetorial). A variação dos vetores é um fato extremamente importante. Vamos analisar, por exemplo, o movimento circular uniforme, esquematizado na Fig. 1.10. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 8 Um pouco de cálculo Fig. 1.10 - Representação do movimento circular. Durante um intervalo de tempo ∆t extremamente curto (infinitesimal), a distância percorrida é ∆s = ωr ∆t. O vetor velocidade é dado por: t∆/s∆v rr = e para calculá-lo tomamos, de acordo com a Fig. 1.10: ( ) ( ) ĵttsenrîttcosrrrs 12 ∆ω+ω+∆ω+ω=−=∆ rrr [ ] îtsentsentcostcosrĵtsenrîtcosr ∆ωω−∆ωω=ω−ω− [ ] ĵtsenrîtcosrĵtsentcostcostsenr ω−ω−∆ωω+∆ωω+ Para ∆t muito pequeno ( 0t→∆ ) temos 1tcos ≈∆ω e ttsen ∆ω≈∆ω , e assim, ĵtcostrîtsentrs ω∆ω+ω∆ω−=∆ r ĵtcosrîtsenrv ωω+ωω−=⇒ r Desta forma, a variação temporal do vetor posição r r nos leva a um vetor velocidade v r que é tangencial à órbita do movimento circular. Note que se definirmos um vetor k̂ω=ω r , podemos escrever ĵtcosrîtsenr 0t rsen t rcos 0 0 k̂ ĵ î v ωω+ωω−= ωω ω= r ωt r r x y s r ∆ s r 1 ω∆t r 2 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Um pouco de cálculo 11 ∞=→ x 1lim 0x ( ) 1x/11limx =+∞→ Para funções polinomiais, isto é, funções que tenham dependência do tipo xn, vale a seguinte propriedade: ( ) ( )cfxflim cx =→ Existem outros limites que são um pouco mais difíceis de serem demonstrados e que são melhor discutidos nos livros de Cálculo. Por exemplo temos: 1 x xsen lim 0x =      → ( ) ...718.2ex/11lim xx ==+∞→ Vamos a seguir usar o conceito de limite para introduzir a operação de diferenciação (derivadas). Seja a função f(x) definida num intervalo do eixo x, no qual o ponto x0 está contido, como mostra a Fig. 1.13. Chamaremos de razão incremental da função f(x) relativa ao ponto x0, a quantidade: ( ) ( ) 0 0 xx xfxf − − Fig. 1.13 - Definição da razão incremental. x f(x) x0 x f(x)-f(x0) S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 12 Um pouco de cálculo A razão incremental da função f(x) representa o quanto a função é incrementada quando x é variado de x0 a x. Esta razão pode ser positiva, negativa ou nula dependendo se a função é crescente, decrescente ou constante no intervalo considerado. A derivada de uma função é definida como: ( ) ( )     − − = → 0 0 xx0 xx xfxf lim)x('f 0 É também comum escrevermos dx/df)x('f 0 = . Fazendo x = x0 + ,x∆ temos: ( ) ( )     ∆ −∆+ = →∆ x xfxxf lim)x('f 00ox0 A derivada da função num ponto representa a taxa de variação da função ao nos afastarmos deste ponto. Vamos, a seguir, obter a derivada de algumas funções. 1) f(x) = x2 + 3x ⇒ ( ) ( ) ( ) x x3xxx3xx x )x(fxxf 22 ∆ −−∆++∆+ = ∆ −∆+ x3x2 x x3xx3x3xxx2x 222 ∆++= ∆ −−∆++∆+∆+ = Logo: ( ) ( ) 3x2x3x2limx'f 0x +=∆++= →∆ 2) ( ) ( ) ( ) x xxx x xfxxf xxf ∆ −∆+ = ∆ −∆+ ⇒= ( ) ( ) ( ) ( ) xxx 1 xxxx xxx xxx xxx x xxx +∆+ = +∆+∆ −∆+ = +∆+ +∆+ ∆ −∆+ = E assim, x2 1 xxx 1 lim)x('f ox = +∆+ = →∆ S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Um pouco de cálculo 13 3) ( ) ( ) ( ) x xcosxxcos x xfxxf xcos)x(f ∆ −∆+ = ∆ −∆+ ⇒= ( ) ( )2 2 x x 2 x senxsen ∆ ∆∆       +−= onde utilizamos cos(a+b) - cos(a-b) = -2 sena senb, com a = x + ∆x/2 e b = ∆x/2. Desta forma temos: ( ) ( ) xsen sen xsenlim)x(f 2 2 x x 2 x 0x ' −=          +−= ∆ ∆∆ →∆ Geometricamente, podemos verificar que a derivada da função f(x) num determinado ponto x0 representa a tangente do ângulo formado pela reta tangente à curva em x0 com o eixo das abcissas (x). Este fato está ilustrado na Fig. 1.14. É fácil verificar quando fazemos x tender a x0, a reta que passa por estes dois pontos confunde-se cada vez mais com a tangente à curva no ponto x0. Logo: ( ) ( ) α= − − = →∆ tgxx )x(fxf limx'f 0 0 0x0 Fig. 1.14 – Interpretação geométrica da derivada. Uma vez visto o significado matemático da derivada, passemos a apresentação de certas regras que facilitam bastante os cálculos: 1) função constante: ( ) 0 dx df cxf =⇒= x f(x) f(x) f(x0) x0 x tangente α S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 16 Um pouco de cálculo Fig. 1.15 – Função f(x) usada para a demonstração da operação inversa da derivada. 1taxa xx )x(f)x(f 01 01 = − − tal que f(x1) = f(x0) + taxa 1.(x1 – x0). Assim, conhecendo-se a taxa de variação e a função no ponto x0, temos condições de determinar a função no ponto x1. Da mesma forma, conhecendo-se a função no ponto x1 e a taxa 2, que é a taxa entre x1 e x2, podemos determinar a função em x2. Se dividirmos o eixo x em vários intervalos sucessivos nos quais conhecemos a taxa de variação da função f(x), podemos mostrar que: f(xn) = f(x0) + taxa 1.(x1 – x0) + taxa 2.(x2 – x1) + ... taxa n.(xn – xn-1) de forma que podemos encontrar a função f(x) e sabermos as várias taxas de variação ao longo do eixo x. Vamos, a seguir, tomar todos os intervalos com o mesmo tamanho, ou seja: x1 – x0 = x2 – x1 = ... = xn – xn-1 = ∆x de modo que: f(xn) = f(x0) + (taxa1 + taxa 2 + ... + taxa n). ∆x Tomando o limite em que ∆x tende a zero, as várias taxas de variação transformam-se nas derivadas, de modo que: x f(x) x1 x2 x3 x0 = 0 taxa 1 taxa 3 taxa 2 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Um pouco de cálculo 17 ( ) ( ) ( ) x dx dfxfxf s'stodos 0n ∆+= ∑ ∆ Como fizemos ∆x → 0, temos agora um número infinito de intervalos e, consequentemente, infinitos termos na somatória. Além disto, estamos somando números df/dx que variam continuamente. Neste caso, ao invés de usarmos a soma ∑ de números discretos, introduzimos a operação ∫ , denominada integração, que representa uma soma contínua. A partir desta definição, podemos escrever: ( )∫+= n 0 x x 0n dxdx df)x(f)x(f onde usamos dx ≡ ∆x como notação no caso em que ∆x → 0. Como vemos, esta operação permite encontrar-se f(x) a partir de f’(x) e por isso dizemos que a integração é a operação inversa da diferenciação. Se quisermos, por exemplo, calcular a integral: ( ) ( )∫ ∫ ++=+== + + C 1m xdxx dx d 1m 1dxxI 1m 1mm onde a constante C está representando f(x0), que deve ser conhecido. A regra acima é bastante importante na integração de polinômios. Alguns exemplos simples são: ∫ += C3 x dxx 3 2 ( )∫ +++=++ Cx2 x 3 xdx1xx 23 2 ( )∫ ++=+ Cx4x8 5dxx8x5 287 A integral de uma determinada função também possui uma interpretação geométrica como no caso da derivada. Para vermos tal S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 18 Um pouco de cálculo interpretação, vamos considerar ∫ n 0 x x .dx)x(g Para cada ponto x, multiplicamos o valor da função g(x) por uma largura dx mostrada na Fig. 1.16 (infinitesimalmente pequena) e somamos todos os produtos. Em cada ponto temos a área de um retângulo infinitesimal de base dx e altura g(x). Baseados neste fato, podemos interpretar geometricamente a integral de uma função g(x) como sendo a área sob a curva, isto é, ( )∫ = n 0 x x dxxg área sob a função g(x) entre os pontos x0 e xn. Fig. 1.16 - Interpretação geométrica da integral. Podemos verificar este fato calculando a integral de g(x) = 4x entre 0 e 1, e comparando o valor obtido com a área da função neste intervalo. Temos: ( )∫ ∫ =−=== 1 0 1 0 1 0 2 201.2 2 x4dxx4dxx4 Nesta última passagem introduzimos os limites de integração, substituindo a constante de integração C. ( )∫ −== b a b a )a(F)b(FxFdx)x(g Calculando a área do triângulo sombreado da Fig. 1.17 obtemos: área = ½ .4.1 = 2, que coincide com o resultado obtido por integração. g(x) dx xn x0 g(x) x S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Um pouco de cálculo 21 Exercícios 1 – Uma sala tem dimensões 3 x 4 x 5 m3. Uma mosca parte de um de seus cantos e voa para o canto diametralmente oposto. Qual é o módulo do deslocamento? Poderia sua trajetória ser menor do que este deslocamento? Escolha um sistema de coordenadas convenientes e escreva este deslocamento na forma vetorial. 2 – Considere os vetores .k̂bĵbîbb e k̂aĵaîaa zyxzyx ++=++= rr Mostre que zzyyxx bababab.a ++= rr e que ( ) îbababa yzzy −=× rr ( ) ( ) k̂babaĵbaba xyyxzxz x −+−+ . 3 – Podemos combinar dois vetores de módulos diferentes e ter resultante nula? E no caso de 3 vetores? 4 – Considere um corpo em movimento cujo vetor posição é dado (em cm) por .ĵtsen4îtcos3r ω+ω= r Usando procedimento semelhante ao utilizado no texto para o movimento circular, a) mostre num gráfico em escala o vetor r r num determinado instante t; b) após um intervalo de tempo ∆t pequeno, mostre no mesmo gráfico o novo vetor r r ; c) calcule o deslocamento )t(r)tt(rs rrr −∆+=∆ sofrido pelo corpo no intervalo ∆t; d) calcule t/sv ∆∆= rr e verifique sua orientação para ωt = 0, π/2, π e 3π/2; e) calcule v . r rr e discuta o resultado; f) calcule v r rr × e discuta o resultado. 5 – Considere os vetores .k̂3ĵ2îb e k̂4ĵ3î2a +−−=++= rr a) determine: .ba e ba,ba,b.a rrrrrrrr ×−+ b) qual é a componente de a r paralela a b r ? c) qual é a componente de a r perpendicular a b r ? 6 – Considere o vetor a r do problema anterior. a) faça um gráfico em escala mostrando o vetor e os ângulos θ e φ, definidos na Fig. 1.19. b) calcule o módulo do vetor e os valores de θ e φ. c) calcule a componente de a r paralela ao versor ( ) 3/k̂ĵîê ++= . d) calcule a componente perpendicular a este vetor. S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 22 Um pouco de cálculo Fig. 1.18 7 – Faça a adição e subtração geométrica dos seguintes vetores: ĵî3b e ĵî2a 2 3 2 1 +−=−= r . 8 – Faça os produtos escalar e vetorial dos vetores: k̂3ĵ2îa ++= r e k̂2ĵ4î2b +−= r . 9 – Encontre a projeção do vetor k̂3ĵ2îa ++= r na direção paralela ao versor ( ) .3/k̂2ĵ2îê +−= Faça o mesmo para a projeção perpendicular. 10 – Mostre que o produto vetorial rv rr × é um vetor constante quando o movimento é circular. 11 – Mostre que 0r.v = rr para o movimento circular. O que isto significa? 12 – Calcule a derivada das seguintes funções: a) f(x) = 3x2 + 1 b) f(x) = senx/x2 c) f(x) = ex (1+ x2 + x3) d) f(x) = (x2 + 2)/(x3 + 3) 13 – Calcule a derivada das funções acima nos pontos: a) x = 0 b) x = π c) x = 0 d) x = 1 θ y y z z a r r x x φ P S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Um pouco de cálculo 23 14 – Procure num “handbook” de matemática: a) a derivada de f(x) = lnx b) a integral de f(x) = 1/x 15 – Determinar a derivada das seguintes funções: a) y = 4x5 b) y = 2x3 + 4x2 – 5x –2 c) y = sen x + cos x d) y = x2 + 1 e) y = x sen x f) y = 1/x2 g) y = ( )1x/x2 2 + h) y = x ex i) y = cotg x j) y = x k) y = x/1 16 – Calcule as derivadas das funções: a) f(x) = tgx b) f(x) = eax (no ponto x = 0) c) f(x) = sen2x (no ponto x = π) d) f(x) = xn + cosx e) f(x) = sen (cosx) f) f(x) = esenx (no ponto x = 0) 17 – Calcule ∫ + 1 0 2x1 dx . Sugestão: Faça x = tgθ ⇒ 1 + x2 = 1 + tg2θ = sec2θ. Por outro lado, dx/dθ = sec2θ ⇒ dx = sec2θ dθ. Como x = tgθ, os limites de integração ficam: quando x = 0 ⇒ θ = 0 e quando x = 1 ⇒ θ = 4 π . 18 – Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) I = ∫ dxx3 b) I = ( )∫ −+ dx2x4x7 32 Movimento unidimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 26 Quanto menor for o intervalo de tempo considerado, isto é, quanto mais próximos estiverem os pontos x1 e x2, mais fielmente v representará a velocidade real do corpo naquele intervalo de tempo. Logo, a velocidade instantânea (real) é definida como: ( ) dt dx t x limtv 0t =∆ ∆ = →∆ que nada mais é do que a derivada da posição com relação ao tempo. Geometricamente, se tivermos um gráfico de posição contra tempo, a velocidade instantânea corresponde à inclinação da reta tangente à curva num determinado instante de tempo, como ilustra a Fig. 2.2. tgα1 = v(t1) tgα2 = v(t2) Fig. 2.2 - Interpretação geométrica da velocidade instantânea. Quando a velocidade instantânea é constante num determinado intervalo de tempo, dizemos que o movimento é uniforme e que v)t(v = . Por outro lado, quando a velocidade não é constante no tempo, o movimento é chamado de acelerado. Neste caso, a variação da velocidade com o tempo é caracterizada por uma grandeza denominada aceleração. Se a velocidade do corpo no instante t1 é 1v e no instante t2 é 2v , a aceleração média é definida como: t v tt vv a 12 12 ∆ ∆ = − − = e no gráfico de velocidade contra tempo ela corresponde à inclinação da reta que passa pelos pontos v1 e v2. Quando consideramos o limite em que ∆t tende x t α1 α2 t1 t2 Movimento unidimensional 27 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas a zero, surge a idéia de aceleração instantânea, grandeza esta que caracteriza localmente a variação da velocidade do corpo. Logo: ( ) dt dv t v limta 0t =∆ ∆ = →∆ Geometricamente, a aceleração é a inclinação da reta tangente à curva no gráfico de velocidade, como mostra a Fig. 2.3. tgα = a(t) Fig. 2.3 – Interpretação geométrica da aceleração instantânea. O movimento do corpo pode ser classificado de acordo com a maneira em que a aceleração se comporta no tempo. Quando a aceleração é constante, o movimento é chamado de uniformemente acelerado e se constitui numa classe importante de situações que analisaremos. Antes de prosseguirmos, vamos mostrar alguns exemplos dos conceitos que acabamos de ver. Exemplo 1 : Seja um corpo deslocando-se de tal forma que sua posição é dada por x(t) = 4t 2 , com t dado em s e x em cm. Na Fig. 2.4(a) vemos o gráfico desta função. A velocidade do corpo em cada instante de tempo pode ser encontrada tomando-se a derivada de x(t) e assim, Fig. 2.4 - Posição (a) e velocidade (b) de um corpo como função do tempo. α t t v(t) t (s) x(t) 36 27 18 4 3 2 1 9 0 (cm) t (s) v(t) 32 24 16 4 3 2 1 8 0 (cm/s) 0 0 Movimento unidimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 28 ( ) t8 dt dx tv == (em cm/s) que é a equação da linha reta mostrada na Fig. 2.4(b). Se quisermos calcular a aceleração como função do tempo, devemos tomar a derivada de v(t) que é obviamente uma constante. ( ) 2s/cm8 dt dv ta == A velocidade média do corpo entre os instantes t = 1s e t = 3s pode ser calculada através da expressão: ( ) ( ) s/cm16 2 436 13 1x3x t x v =−= − − = ∆ ∆= Este mesmo resultado poderia ser obtido da seguinte forma: ( ) ( ) s/cm16 2 824 2 1v3v v =+= + = ou seja: “A velocidade média é a média das velocidades nos instantes considerados”. Este é um resultado que só vale para um movimento cuja aceleração é constante. Exemplo 2: O movimento de um corpo é descrito por x(t) = 3t 2 + 4t + 1, sendo esta função mostrada na Fig. 2.5. A posição inicial do corpo é x0 = 1 cm e pelo gráfico vemos que nos instantes iniciais do movimento, o deslocamento se dá no sentido positivo do eixo x, até atingir um ponto máximo a partir do qual o movimento se inverte, ocorrendo a partir daí no sentido negativo do eixo x. Queremos responder à seguinte pergunta: quanto tempo o corpo leva para voltar à posição inicial? Para isto fazemos x(t) = 1, isto é, -3t 2 + 4t + 1 = 1 ⇒ -3t2 + 4t = 0 ⇒ t (-3t + 4) = 0 de onde tiramos que o corpo está na posição x = 1 nos instantes t = 0 (posição inicial) é t = 4/3 s, que corresponde ao tempo necessário para a partícula voltar à posição inicial. Movimento unidimensional 31 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Fig. 2.7 - Cálculo da posição a partir da velocidade de um corpo. Exemplo 1: A velocidade de um corpo é dada por: v(t) = 3t + 4 e sabemos que para t = 0 ele localiza-se em x0 = 1. Vamos calcular x(t). Assim, ( ) ( ) 1t4tdt4t31tx 2 t 0 2 3 ++=++= ∫ Exemplo 2: Dado a(t) = 3t, calcular v(t) e x(t) ( ) 2 t 0 00 tvdtt3vtv 2 3+=+= ∫ Vemos que para conhecer v(t) precisamos saber a velocidade inicial. Para achar x(t) fazemos: ( ) ( ) ( ) 22 3 3 00 t 0 2 00 t 0 0 ttvxdttvxdttvxtx ++=++=+= ∫∫ Deste exemplo podemos concluir que para a determinação de v(t) a partir de a(t) é necessário o conhecimento do valor inicial v0 da velocidade. A determinação precisa de x(t) a partir de v(t) implica no conhecimento da posição x0 inicial. x0 e v0 são denominados de condições iniciais do movimento. t v(t) t0 t área = x(t) Movimento unidimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 32 2.4 Aceleração constante Este caso envolve um número grande de problemas e, assim, devemos trata-lo em particular. Sendo a aceleração constante, podemos calcular a velocidade como: ( ) atvdtavdtavtv t 0 0 t 0 00 +=+=+= ∫ ∫ e o deslocamento através de outra integração: ( ) ( ) ( )∫∫ ++=++=+= t 0 2 0000 t 0 0 at 1tvxdtatvxdttvxtx 2 Podemos eliminar t da primeira equação: ( ) a/vvt 0−= e substituí- lo na segunda: ( ) ( ) ( ) ⇒−+−+= 2 2 0 0 0 0 a vv a 2 1 vv a v xtx ( ) ( ) 2 v 2 v vv2vv 2 1 vvvxxa 2 0 2 0 2 0 22 000 −=−++−=− Logo: ( )0202 xxa2vv −+= , que é conhecida como equação de Torricelli, válida apenas quando a aceleração é constante. Um caso especial do movimento uniformemente acelerado ocorre para a = 9.81 m/s 2 = g, que corresponde ao movimento vertical de corpos sujeitos ao campo gravitacional da Terra, próximos à superfície. Neste caso, é comum tratar o deslocamento como altura (h) e adotar o sentido positivo de h como sendo oposto ao de g. Exemplo: Uma bola é lançada para cima, com velocidade inicial v0 como mostra a Fig. 2.8. Assim, usando a equação de Torricelli temos: ( ) ( ) gh2vhvgh2vhv 20202 −±=⇒−= Para um determinado h, existem duas soluções para v. A positiva representa o corpo em ascensão e a negativa o corpo está na descendente. Vemos também que o ponto de retorno (v = 0) ocorre para uma altura máxima Movimento unidimensional 33 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas hmax = g2/v20 mostrada na Fig. 2.9. Por outro lado, a dependência temporal é dada por v(t) = v0 – gt e h(t) = ½ gt 2 Fig. 2.8 – Lançamento vertical de uma bola. Ao atingir o ponto máximo da trajetória, v = 0 e tmax = v0/g. Logo: hmax = g2/v20 como obtido anteriormente. Para a obtenção do tempo total da trajetória fazemos h(tf) = 0 ⇒ 0 = t (v0 - gt2 1 ) que nos dá duas soluções: ti = 0 (início do movimento) e tf = 2v0 2 /g que é o dobro do tempo gasto para que a bola atinja hmax. Fig. 2.9 – Dependência da velocidade com a altura no lançamento vertical. v(h) v0 2 2g h +h v0 g r Movimentos bi e tridimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 36 Para movimentos planos e espaciais, as grandezas cinemáticas ( aev,r rrr ) não são necessariamente paralelas como acontece no movimento unidimensional. Desta forma, é de importância fundamental tratar estas grandezas vetorialmente. Se no tempo t1 a posição do corpo for descrita pelo vetor posição 1r r e no tempo t2, pelo vetor posição 2r r , podemos dizer que o deslocamento sofrido pelo corpo é dado por 12 rrr rrr −=∆ onde r r ∆ não é necessariamente a distância percorrida pelo corpo. Havendo um deslocamento r r ∆ num intervalo de tempo ∆t = t2 – t1, podemos definir as velocidades média ( )mv r e instantânea ( )vr da forma: t r vm ∆ ∆ = r r dt rd t r limv 0t rr r = ∆ ∆ = →∆ Vemos que a velocidade sempre existirá quando houver mudanças no módulo e/ou direção do vetor posição. A variação temporal de um vetor pode ser analisada através da variação temporal de suas componentes, da forma: k̂ dt dz ĵ dt dy î dt dx vk̂zîyîxr ++=⇒++= rr e isto pode ser feito porque os versores k̂ e ĵ,î não variam com o tempo. Exemplo: Vamos determinar a velocidade de um corpo cujo vetor posição é dado por: ĵt3ît4r 2 += r . Tomando-se as derivadas temporais das componentes de r r temos: ĵ3ît8dt/rdv +== rr Vamos usar este exemplo para demonstrar uma relação importante. Podemos escrever: Movimentos bi e tridimensional 37 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas ( ) ( ) ( ) ( ) ît4ĵt3îtt8ĵt3ît4ĵtt3îtt4ttr 222 ∆+∆+∆++=∆++∆+=∆+ r No caso em que ∆t é muito pequeno, (∆t)2 << ∆t e o termo (∆t)2 pode ser desprezado. Assim, ( ) ( ) ( ) tvtrrtrttr ∆+=∆+=∆+ rrrrr e dizemos que esta é uma aproximação de primeira ordem em ∆t, já que o termo (∆t)2 foi desprezado. A aceleração do corpo é definida como: dt vd t v lima 0t rr r = ∆ ∆ = →∆ e, portanto, sempre haverá aceleração quando houver mudanças do vetor velocidade, seja em módulo, direção ou sentido. Exemplo: A velocidade de um corpo é dada por ( ) k̂tĵtît3tv 32 ++=r . Logo, a aceleração é dada por ( ) k̂t3ĵît6ta 2++=r 3.2 Decomposição de movimentos Do fato que k̂ dt dz ĵ dt dy î dt dx v ++= r tiramos que dt/dxv x = , vy = dy/dt e dt/dzv z = , de modo que se olharmos para cada componente, o movimento do corpo pode ser analisado independentemente, ou seja, a velocidade na direção x só depende da variação da coordenada x com o tempo, etc. Este resultado pode ser generalizado e o movimento espacial de um corpo pode ser tratado independentemente em cada uma das três direções. Resumindo, temos o chamado princípio da independência dos movimentos ou princípio de Galileu: “Quando um corpo se encontra sob a ação simultânea de dois ou mais movimentos, cada um se processa como se os demais não existissem”. Em outras palavras, a posição do móvel depois de um intervalo de tempo sob a ação do movimento composto é a mesma que resultaria se o móvel se deslocasse por etapas em cada direção. Como um exemplo típico, Movimentos bi e tridimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 38 consideremos o caso de um barco com velocidade vb atravessando um rio cuja correnteza tem velocidade vr. O barco percorrerá uma trajetória que consiste em deslocar-se vrt na direção do rio e vbt na direção perpendicular, como mostra a Fig. 3.3. Assim, ĵvîvv e ĵtvîtvr brbr +=+= r . Fig. 3.3 - Movimento de um barco num rio com correnteza. 3.3 Movimento acelerado Podemos generalizar o que vimos para o movimento unidimensional escrevendo: ( ) dttvrr t 0 0 ∫+= rrr ( ) ( ) dttavtv t 0 0 ∫+= rrr A integração de vetores pode ser executada componente a componente, como no caso da derivação. Portanto, ( )dttvrr t 0 z 0 zz ∫+= e assim por diante. No caso da aceleração ser constante temos: tavv 0 rrr += e 200 tatvrr 2 1 rrrr ++= î vr vr t vb t ĵ Movimentos bi e tridimensional 41 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas Descartando a solução R = 0, que corresponde ao início do movimento, temos R = g/vv2 0x0y , e usando-se θ=θ= cosvv e senvv 00x00y obtemos: ( ) g 2senv R 2 0 θ= de onde concluímos que o ângulo que apresenta o maior alcance é θ = 45o b) Movimento circular Este deslocamento é caracterizado pelo fato de que o módulo do deslocamento permanece constante. Assim, imaginamos o raio vetor que descreve o movimento entre t e t + ∆t. O ângulo ∆θ varrido pelo raio vetor durante o intervalo de tempo ∆t permite o cálculo da velocidade angular como ilustrado na Fig. 3.6. t lim dt d 0t ∆ θ∆ = θ =ω →∆ Fig. 3.6 – Movimento circular. Quando ω é constante, temos ∫ ω=ω=θ t 0 tdt e assim podemos escrever: x = r cosωt e y = r senωt, ou em notação vetorial: rĵtsenrîtcosr dt vda ĵtcosrîtsenr dt rdv ĵtrsenîtcosrr 222 r r r r r r ω−=ωω−ωω−== ωω+ωω−== ω+ω= θ t t+∆t ∆θ x y Movimentos bi e tridimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 42 que é sempre oposta a direção radial. Portanto, r/vraa 22 =ω== r visto que ω= rv r e esta aceleração é conhecida como “centrípeta” por estar dirigida ao ponto central do movimento e é uma característica importante do movimento circular uniforme. c) Movimento ciclóide É o movimento de um ponto da borda de um disco rodando, conforme mostra a Fig. 3.7. Considerando um sistema de eixos no qual x é paralelo ao chão, temos a combinação de um movimento translacional uniforme com um movimento circular uniforme. Para o movimento translacional, xt = x0 + vxt e, para o movimento circular, x0 = r cosωt e y0 = r senωt. Fig. 3.7 - Movimento ciclóide. Desta forma, tsenryy tcosrtvxx 0 x0 ω+= ω++= Ao utilizarmos a notação vetorial e fazendo x0 = y0 = 0, ( ) ĵtsenrîtcosrtvr x ω+ω+= r r x Movimentos bi e tridimensional 43 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas ( ) c 222 x rĵtsenrîtcosr dt vda ĵtcosrîtsenrv dt rdv r r r r r ω−=ωω−ωω−== ωω+ωω−== Exemplo: Considere um disco descendo um plano inclinado, formando um ângulo θ com a horizontal, como mostrado na Fig. 3.8. Vamos determinar x(t) e y(t) de um ponto localizado na borda do disco. Escolhendo o eixo x da maneira indicada na figura, temos ax = g senθ e ay = 0. Então, x = xt + xc, y = yt + yc β+θ+=⇒ cosrtseng 2 1 tvx 20x e β+= senrtvy 0 y , onde β ≠ ωt (movimento acelerado) é o ângulo que o disco rodou. Fig. 3.8 – Disco descendo um plano inclinado 3.4 Movimentos planos descritos por coordenadas polares Vamos considerar um movimento circular no qual o corpo percorre um comprimento de arco s, que está associado a um ângulo θ de acordo com: s = rθ, sendo r o raio da trajetória. A velocidade tangencial é: ω= θ == r dt d r dt ds v θ r P x Movimentos bi e tridimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 46 Para o caso que estamos tratando, vx = v e vy = 0. Portanto, vr = v cosθ e vθ = v senθ, ou seja: θθ−θ= ˆsenvr̂cosvv r Exercícios 1 – Considere um cilindro de raio R rolando sem deslizar num plano horizontal. O centro de massa do cilindro possui aceleração a. Qual é a aceleração angular do cilindro? Qual é o ângulo β que o cilindro roda como função do tempo? 2 – Dois corpos A e B estão em movimentos circular uniformes de trajetórias concêntricas com raios ra e rb e velocidades angulares ωa e ωb. Determine a velocidade relativa entre os dois corpos. 3 – Determinar a aceleração de um corpo que desliza pela rosca de um parafuso com passo h e raio R. Despreze o atrito e considere que o corpo partiu do repouso. 4 – É necessário lançar da terra uma bola por cima de uma parede de altura H que se encontra a uma distância S (Fig. 3.11). Qual é a menor velocidade inicial com que a bola pode ser lançada? Fig. 3.11 – Lançamento de projétil sobre uma parede de altura H. 0 v r H S Movimentos bi e tridimensional 47 S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 5 – Uma bala é disparada de um canhão com velocidade v0. Determine a região geométrica onde a bala certamente não cairá. 6 – Um plano inclinado forma um ângulo α com o plano xy, conforme mostra a Fig. 3.12. Um corpo é lançado com velocidade v0, formando um ângulo θ com o eixo y. Desprezando o atrito calcule: xmax, zmax e o tempo que o projétil demora para retornar ao eixo y. 7 – Uma pedra é lançada com velocidade inicial de 20 m/s. Sabendo-se que ela ficou 2 s no ar, calcule: a) o ângulo de lançamento (com a horizontal) b) a altura máxima atingida c) o alcance d) outro ângulo de lançamento para o qual a pedra terá o mesmo alcance. (Neste caso o tempo será diferente de 2 s). Fig. 3.12 – Lançamento oblíquo num plano inclinado. 8 – Um corpo translada com velocidade v = 5 m/s sobre um plano horizontal sem atrito. Subitamente ele encontra pela frente um plano inclinado (também sem atrito) de ângulo θ = 300 e altura H = 0,8 m, conforme mostra a Fig. 3.13. Tomando-se g = 10 m/s, pergunta-se: a) a que distância d do final do plano inclinado o corpo cairá? b) qual é a altura máxima que o corpo atingirá? 0 v r θ α y x z Movimentos bi e tridimensional S. C. Zilio e V. S. Bagnato Física Básica – Mecânica, calor e ondas 48 Fig. 3.13 - Lançamento oblíquo de um corpo por meio de uma rampa. 9 – Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade v0 = 100/ 3 m/s formando um ângulo θ = 600 com a horizontal. Outro corpo é lançado 1 segundo depois, com a mesma velocidade v0, porém na horizontal e de uma altura H, como mostra a Fig. 3.14. Suponha que haja uma colisão entre os dois corpos e que g = 10 m/s2. a) Em que instante de tempo ocorre a colisão? b) Qual deve ser o valor de H para que a colisão ocorra? c) Quais as coordenadas x e y da colisão? 3.10 – Um pequeno corpo é lançado da origem com velocidade v0 segundo um ângulo θ com a horizontal. Outro corpo é lançado com a mesma velocidade v0, porém na horizontal e de uma altura H, como mostra a Fig. 3.14. Qual deve ser o valor de H tal que eles atinjam o mesmo ponto no eixo Ox? Fig. 3.14 - Lançamento de dois corpos. x H θ ymax d v r v0 H v0 O x θ As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 49 4.1 Introdução Até o momento estudamos vários tipos de movimento sem no entanto nos preocuparmos com suas causas. Já sabíamos intuitivamente que para se modificar o movimento de um corpo é necessária a ação de um agente externo. De fato, na ausência completa de ação externa, o corpo permanece num estado de movimento constante. A maneira pela qual o agente externo age sobre o corpo é através da atuação de uma força. Portanto, a força nada mais é do que a quantificação da ação de um corpo sobre outro. A força pode ser definida como uma grandeza física capaz de alterar o estado de movimento de um corpo ou a forma deste corpo. O estado de movimento de um corpo é caracterizado pelo seu momentum linear, que é definido como: vmp rr = de forma que a existência de uma força produz alterações em p r . O comportamento de um corpo quando sujeito a forças externas é regido pelas leis de Newton, expressas como: Lei I - “Todo corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que seja obrigado a modificar seu estado de movimento pela ação de forças externas”. Lei II - “A modificação do movimento é proporcional à força atuante, ou seja, dt/pdF rr = ”. Lei III - “A toda ação corresponde uma reação igual e oposta ou, as ações mútuas de dois corpos são sempre dirigidas em sentidos opostos”. 4 AS LEIS DE NEWTON As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 50 A primeira lei estabelece justamente o que havíamos dito anteriormente, isto é, para modificarmos p r (grandeza que quantifica o estado de movimento do corpo) é necessário um agente externo exercendo uma força sobre o corpo. Suponha por exemplo, um cometa movendo-se em movimento retilíneo uniforme. Ele continuará neste estado até chegar nas proximidades de um planeta, que através da força gravitacional, modificará seu estado de movimento fazendo com que o momentum p r mude em módulo e direção. Esta idéia que acabamos de apresentar, embora bastante lógica, não o era na época de Galileu, pois se acreditava que para manter um corpo em movimento retilíneo uniforme era necessária a ação de agentes externos. O único estado natural e espontâneo para um corpo era o repouso! A força também é necessária para alterar a forma de um corpo. Durante a deformação as partículas deste corpo são aceleradas até atingirem uma nova situação de equilíbrio. O equilíbrio de um corpo pode ser de tipos diferentes. Inicialmente, um corpo só estará em equilíbrio quando a resultante das forças agindo sobre ele for nula. O equilíbrio é dito estável quando uma pequena perturbação tira o sistema de equilíbrio, mas a vizinhança do corpo age de forma a restaurar o equilíbrio. O equilíbrio é dito instável quando uma pequena perturbação tira o sistema do equilíbrio e a vizinhança age no sentido de amplificar este efeito. Vamos considerar que a quantidade de matéria num determinado corpo não se modifica. Neste caso, a ação de uma ou mais forças leva a uma aceleração: amdt/vdmF rrr ==∑ e a constante de proporcionalidade entre força e aceleração é denominada massa do corpo. A unidade de massa é Kg (SI) ou g (CGS) enquanto que a da aceleração é m/s2 (MKSÁ) ou cm/s2 (CGS). Portanto, a unidade de força é definida como: [F] = 1 N = 1 Kg.m/s2 no Sistema Internacional (SI) ou [F] = 1 dyn = 1 g.cm/s2 no sistema CGS, sendo portanto, 1 dyn = 10-5 N. As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 51 Quando a massa de um corpo varia, como por exemplo, durante a exaustão de combustível num foguete, a forma mais geral da segunda lei de Newton fica: ( ) dt dm v dt vd mvm dt d dt pd F r r r r r +=== A expressão vmp rr = para o momentum de um corpo é válida quando este tem velocidade bem menor que a velocidade da luz, c, que é de aproximadamente 300.000 km/s. Para velocidades altas (v ≈ c), v)v(mv c/v1 m p 22 0 rrr = − = onde m0 é chamado de massa de repouso e m(v) varia de uma maneira que corpo torna-se cada vez mais pesado quanto mais se aumenta sua velocidade. Porém, se v/c << 1, a aproximação m ≈ m0 é bastante boa. Quando um corpo encontra-se próximo à superfície da Terra, esta exerce sobre ele uma força que é denominada peso, dada por: w = mg e que está dirigida para o centro da Terra. A massa de um corpo, como vimos, é quantificada através da razão entre a força e a aceleração, Associado à massa, há uma propriedade importante que é denominada inércia. Imagine uma locomotiva e um carrinho de bebê sobre o chão sem atrito, completamente livres para se moverem. Ao exercermos uma ação sobre cada um deles (por exemplo, um empurrão), o carrinho começa a andar enquanto que o trem oferecerá forte resistência à mudança de movimento por possuir uma inércia maior. Corpos com maiores massas apresentam maior inércia e, conseqüentemente, maior resistência a mudanças no seu estado de movimento. Todos os corpos apresentam a tendência de permanecer no seu estado original de movimento quando acionados subitamente por um agente externo. Uma ilustração deste fato é o que ocorre com os passageiros no interior de um automóvel em movimento retilíneo uniforme que é freado ou faz uma curva acentuada. No primeiro caso, a tendência do passageiro é chocar-se contra o As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 54 Fig. 4.2 - Referenciais em movimento relativo. 2 R00 tatvR)t(R 2 1 rrrr +′+= Por outro lado, olhando para a figura vemos que a adição geométrica dos vetores nos fornece: Rrrou rRr rrrrrr −=′′+= , onde r ′ r descreve a posição do corpo visto por um observador solidário ao referencial móvel. Este observador verá a velocidade do corpo dada por: tavvRrrv R0 rrr&r&r&rr −′−=−=′=′ que é a velocidade que o corpo possui no sistema de coordenadas O menos a velocidade de O’ com relação a O. A aceleração por sua vez é: Raaa rrr −=′ que é a aceleração no sistema fixo menos a aceleração relativa entro os dois referenciais. No caso particular em que o sistema móvel O' não está acelerado ( 0a R rr = ) temos aa rr =′ , isto é, a aceleração é a mesma nos dois referenciais. Referenciais deste. tipo, onde a lei de Newton tem a mesma forma ( amamF rrr =′= ) são chamados de referenciais inerciais. 4.3 Aplicações das leis de Newton Como vimos, as leis de Newton são as leis básicas da Mecânica Clássica. Em principio, qualquer problema de dinâmica pode ser resolvido x y z x´ y´ z´ R r r r ´r r 'v r O O’ As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 55 através de sua aplicação. Passaremos agora a analisar uma série de exemplos que ilustram tais leis. De modo geral, os problemas envolvendo forças podem ser classificados em duas categorias. Na primeira, conhecemos as forças que agem sobre o corpo e queremos encontrar seu efeito, expresso através de mudanças na velocidade e posição. Na segunda categoria, conhecemos o movimento do corpo e a partir disto queremos determinar o conjunto de forças agindo sobre ele. A solução de um problema pode ser encontrada através de urna sequência natural de análises. Primeiramente, o problema deve estar claramente colocado e se ele apresentar várias partes, cada uma delas deve ser analisada antes de se considerar o sistema como um todo. Sempre que houver contato entre corpos, lembre-se que ação e reação agem em corpos diferentes. a) Plano inclinado sem atrito Queremos encontrar o movimento de um corpo colocado sobre um plano com ângulo de inclinação θ como mostrado na Fig. 4.3. As forças agindo sobre ele são: o peso w r , que é dirigido para baixo e a força de reação N r , que é normal à superfície. Fig. 4.3 - Plano inclinado sem atrito. Como o corpo não pode penetrar no plano inclinado, concluímos que o movimento só deve ocorrer na direção paralela a ele. Isto implica em que a força resultante na direção perpendicular ao plano é nula e assim: θ θ x y N r W r As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 56 ∑ ∑ = = xx y MaF 0F de onde obtemos: θ=⇒=+θ− cosMgN0NcosMg θ=⇒=θ sengaMasenMg xx e como ax é constante, o movimento paralelo ao plano é do tipo uniformemente acelerado já visto anteriormente. b) Corpo suspenso por cordas Imagine um corpo suspenso por duas cordas conforme mostra a Fig. 4.4. As cordas ficarão sujeitas às tensões 21 T e T rr dirigidas ao longo de seu comprimento e, portanto, agindo sobre o corpo. Como este está em equilíbrio, a soma total das forças agindo sobre ele é nula, de forma que: ⇒==∑ ∑ 0FF yx 0cosTcosT 2211 =θ−θ 0MgsenTsenT 2211 =−θ+θ Fig. 4.4 - Corpo suspenso por cordas. Destas duas equações tiramos 21 T e T rr : θ1 θ1 θ2 θ2 M T1 T2 Mg x y As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 59 Voltamos agora a analisar o corpo 2. Chamando T a força que 1 faz sobre 2, temos: 21 2 2 MM FM aMT + == e assim vemos que este resultado é similar ao do caso em que os dois corpos estão ligados pela corda. Fig. 4.7 - Corpos em contato. e) n corpos conectados por cordas Temos n corpos conectados por cordas conforme mostra a Fig. 4.8 e queremos calcular a tensão na corda que conecta um par qualquer destes corpos. Como os corpos possuem mesma massa M e se deslocam juntos quando submetidos à ação da força F, podemos escrever que a aceleração do sistema é a força dividida pela massa total, isto é, a = F/(nM). A força Ti por sua vez movimenta todos os corpos a sua esquerda, desde i até n. O número destes corpos é n - i +1 e portanto: ( ) ( ) ( )F n 1in n MF 1inMa1inTi +− =      Μ +−=+−= Fig. 4.8 - Corpos conectados por cordas. f) Sistema com polias: máquina de Atwood Vamos considerar inicialmente uma corda ao redor de uma polia sem atrito e sem massa como indica a Fig. 4.9(a). Como a corda possui massa desprezível, ela simplesmente transmite a tensão e portanto, F1 = F2 = F. M1 M2 F r F r n n-1 n-2 3 2 1 As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 60 Fig. 4.9 - Corda ao redor de uma polia (a) e pequena porção da corda (b). Desta forma, é como se a polia simplesmente mudasse a direção da força. Podemos calcular a força normal à polia da seguinte maneira. Tomemos uma pequena porção de corda definida pelo ângulo ∆θ, como mostra a Fig. 4.9(b). Projetando as forças F na direção radial temos: ( )2senF2dN θ∆= ≅ F ∆θ enquanto que a componente tangencial se anula. Para encontrarmos a força normal total (somada em módulo) devemos integrar no ângulo: ∫ α α=θ= 0 FdFN (em módulo) A máquina de Atwood é um dos exemplos mais simples envolvendo polias, onde duas massas, M1 e M2 são interligadas através de uma corda sem massa, como mostrado na Fig. 4.10. Chamando a tensão na corda de T, temos: T - M1 g = M2 a -T+M2 g = M2 a de onde tiramos ( ) ( ) g MM MM a 12 12 + − = A tensão T é dada por: ( ) ( ) g MM MM MgMaMgMT 12 12 1111 + − +=+= 2π−α ∆θ F r F r N r 1F r 2 θ∆ F r F r 2 θ∆2 F r (a) (b) As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 61 e a força exercida sobre o suporte da polia é: ( )21 21 MM gMM4 T2 + + = Fig. 4.10 - Máquina de Atwood. g) Bloco sobre a mesa puxado por corpo na vertical A Fig. 4.11 mostra um bloco de massa M1 sobre uma mesa sem atrito, puxado por outro bloco de massa M2 sob a ação da gravidade. Isolando o bloco 1 temos: aMT 1= enquanto que ao isolar o bloco 2 obtemos: aMTgM 22 =− Combinando estas duas equações obtemos a aceleração do sistema como: 21 2 MM gM a + = M2g M1g M1 M2 2T a r T T T T As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 64 b) Movimento circular vertical Considere um corpo de massa M preso a uma corda de comprimento R sem massa, posto para rodar em movimento circular no plano vertical, como mostrado na Fig. 4.14. A posição do corpo é especificada pelo ângulo θ e tal que no ponto máximo (1) θ = 0 e no ponto mínimo (2) θ = π. Inicialmente estamos interessados em determinar a tensão na corda quando o corpo se movimenta com velocidade constante. Na direção radial temos: T + Mg cosθ = Mv2/R ⇒ T = θ− cosMg R Mv 2 Fig. 4.14 - Movimento circular vertical. Deste resultado vemos que T = Mv2/R - Mg é a tensão mínima para θ = 0o e T = Mv2/R + Mg é a tensão máxima para θ = π. A Fig. 4.15 mostra um gráfico completo de T contra θ. A velocidade mínima capaz de manter o movimento circular ocorre quando T = 0 e vale gRvmin = . Para velocidades inferiores a esta, não é possível haver movimento circular na vertical. Fig. 4.15 - Tensão na corda em função do ângulo θ. θ T(θ) π 2π Mg R Mv2 + Mg R Mv2 − M θ Mg T R 1 2 As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 65 c) Pêndulo simples O movimento pendular é um dos movimentos mais estudados em Mecânica Clássica, ao lado do movimento harmónico do sistema massa-mola. Considere o pêndulo da Fig. 4.16 deslocado de um certo ângulo θ. Usando a 2a lei de Newton nas direções radial e tangencial temos respectivamente: t 2 MasenMg L/MvcosMgT =θ− =θ− Fig. 4.16 - Pêndulo simples. Vamos supor que a condição inicial do movimento seja θ = θ0 e v = 0, de forma que T0 = Mg cosθ0. Como ( )( )dt/dd/dvdt/dva t θθ== ( ) L/vd/dv θ= temos para a direção tangencial: dvvdsengL L v d dvMsenMg −=θθ⇒ θ =θ− que pode ser integrado, resultando em: 2 v 0 vdvvdsengL 0 2 1∫ ∫ θ θ −=−=θθ A realização desta integral é simples e leva a: ( ) 20 vcoscosgL 2 1=θ−θ− L Mg θ T θ As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 66 Logo: v2/L = - 2g(cosθ0 - cosθ) e assim, a tensão no fio varia com θ de acordo com: T = Mg(3cosθ - 2cosθ0) d) Corda girante Imagine uma corda de massa M e comprimento L colocada para girar num plano horizontal (sobre uma mesa sem atrito) com velocidade angular ω, conforme mostra a Fig. 4.17. Queremos encontrar a tensão na corda a uma distância r do ponto de fixação. Para isto vamos considerar um elemento de comprimento ∆r, como mostrado na figura, cuja massa é ( ) rL/Mm ∆=∆ . Este elemento está sujeito às tensões T(r) e T(r +∆r). Pela 2a lei de Newton temos: ( ) ( ) rrrmrrTrT 22 L M ∆ω=ω∆=∆+− Fig. 4.17 - Corda girando sobre uma mesa sem atrito. Podemos re-escrever esta expressão como: ( ) ( ) L rM r rTrrT 2ω −= ∆ −∆+ No limite em que ∆r tende a zero ficamos com: ( ) ( ) L rM dr dT r rTrrT lim 2 0r ω −==    ∆ −∆+ →∆ A seguir, vamos integrar entre os pontos 0 e r: ∆r ω r T(r) T(r+∆r) ∆r ∆m As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 69 Para resolvermos a equação de movimento vamos supor que o corpo partiu do repouso. Isolando v e t temos: ∫∫ = − ⇒= − t 0 v 0 dt m bvg dvdt m bvg dv Fazendo a substituição: du b mdvu m bvg −=⇒=− ∫∫ =− − t 0 m/bvg g dt u du b m { }m/btexp g m/bvg t m b g m/bvg n −= − ⇒−=      − l A velocidade do corpo cresce como mostra a Fig. 4.20. Fig. 4.20 - Velocidade de um corpo acelerado num meio viscoso. 4.6 Forças observadas na natureza As forças existentes entre as partes de um sistema são oriundas de interações fundamentais tais como: forças gravitacionais, forças eletromagnéticas e forças nucleares (fortes e fracas). Estas forças, responsáveis pela existência da matéria, serão vistas em vários cursos futuros. Nós vamos aqui abordar apenas os efeitos macroscópicos destas forças. a) Forcas elásticas: lei de Hooke Denominamos de elásticos aqueles corpos que ao sofrerem deformações quando sujeitos a esforços, têm a propriedade de recuperarem t v(t) vt As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 70 sua forma original quando tais esforços são removidos. Vamos imaginar a seguinte experiência: consideremos uma mola com uma das extremidades fixa na parede e com uma força F aplicada na outra, como ilustra a Fig. 4.21. Fig. 4.21 - Mola tracionada. Antes da aplicação da força F, a mola tem um comprimento livre x0. Após a aplicação desta, ela distende-se para um novo comprimento x, tal que a deformação é dada por 0xxx −=∆ . Se formos aumentando gradativamente a força F e medindo a deformação ∆x associada, verificaremos a existência de dois tipos de comportamento. Inicialmente, a força e a deformação são diretamente proporcionais, mas conforme F aumenta isto deixa de ser verdade. Num gráfico de F contra ∆x, mostrado na Fig. 4.22, a região de linearidade vai do ponto 0 até o ponto 1. Neste regime, denominado de elástico, vale a relação: F = k ∆x onde k (inclinação da reta) é chamada de constante de mola e a expressão acima, conhecida como lei de Hooke. Se olharmos microscopicamente para o material, neste regime os vários planos de átomos sofrem deslocamento relativo entre si, mas um determinado átomo permanece sempre ligado à sua posição original. Fig. 4.22 - Deformação de uma mola real sujeita a uma força F. F k ∆x F 1 2 0 As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 71 O regime que vai de 1 a 2 é denominado plástico e a deformação causada nesta região é permanente. Microscopicamente, os planos atômicos pulam de uma posição para a seguinte, gerando deformações permanentes no material. Ao atingir o ponto 2, o material não resiste mais ao esforço e rompe- se. Fig. 4.23 - Descrição microscópica dos regimes elástico e plástico. b) Forcas de contato e atrito Quando duas superfícies sólidas são colocadas em contato, existe uma resistência ao deslocamento relativo destas superfícies que é denominada de atrito. O atrito tem sua origem no fato de que as superfícies não são microscopicamente perfeitas, de maneira a se estabelecerem vários pontos de contato que dificultam o movimento relativo entre as superfícies, como mostra a Fig. 4.24. Fig. 4.24 - Superfícies reais em contato. Devido a esta natureza da força de atrito, esperamos que quanto mais forte uma superfície for pressionada contra a outra, maior deve ser a resistência ao deslizamento, ou seja, maior é o atrito. Logo, a força de atrito é elástico plástico As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 74 θ 2F 2 θ∆ 2 θ∆ T T+∆T N µN R g RMNMg e min 2 ee µ =ω⇒ωµ=µ= Fig. 4.28 - Rotor com atrito num parque de diversões. Como exemplo final desta seção, vamos tratar o caso de uma polia com atrito. Como já discutimos anteriormente, uma polia ideal (sem atrito) apenas modifica a direção de uma força sem modificar seu valor. Queremos agora analisar como a presença do atrito modifica F1 comparada com F2. Para isto, vamos tomar um elemento da polia mostrada na Fig. 4.29 e verificar as forças sobre ele. Fig. 4.29 - Corda em polia com atrito. Na direção x: ( )     +    ∆+= θ∆θ∆ 22 senTsenTTN NF eat µ= N = Mω2R Mg ω 1F As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 75 Como ∆θ é pequeno, 1cos esen 222 ≈≈ θ∆θ∆θ∆ e assim, ( ) θ∆≅θ∆∆+    =    +    ∆+= θ∆θ∆θ∆ T 2 TT2TTTN 222 Na direção y: ( ) NcosTcosTT 22 µ+    =    ∆+ θ∆θ∆ T T TNT µ= θ∆ ∆ ⇒θ∆µ=µ=∆⇒ no limite em que ∆θ → 0, temos lim∆θ→0 ( ) Td/dT/T µ=θ=θ∆∆ e portanto: ∫∫ θ θµ=⇒θµ= 0 F F d T dTd T dT 1 2 { }µθ=⇒µθ=      expFF F F n 21 2 1 l 4.7 Forças inerciais Quando a observação de um movimento é feita de um referencial não inercial (acelerado), as leis de Newton deixam de ser válidas, isto é, a força sobre o corpo não obedece a relação dt/vmdF rr = . Como a lei de força neste caso fica bastante difícil de ser escrita, principalmente porque ela depende da posição momentânea do corpo, nós introduziremos uma força extra no problema, que é equivalente ao efeito produzido pelo fato do referencial ser não inercial. Com a adição destas forças fictícias, chamadas de forças inerciais, a lei de Newton passa a ser novamente válida. Note que as forças inerciais simulam o efeito de uma força real, porém elas não são exercidas por nenhum elemento do sistema. Vamos ilustrar o uso das forças inerciais através dos vários exemplos que seguem. a) Vagão acelerado As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 76 Vamos considerar um vagão acelerado como mostrado na Fig. 4.30 dentro do qual encontra-se um observador. Se deixarmos um corpo cair a partir do repouso, para um observador externo, a trajetória é tal que a única força agindo sobre o corpo é gM r . Para um observador no interior do vagão acelerado, a trajetória do corpo é tal que indica a existência de uma força aM r − , de forma que a força total vista por ele é: aMgMF rrr −= onde o termo entre aM r − é a força inercial. Fig. 4.30 - Corpo em queda livre visto por um observador acelerado. Por outro lado, se o corpo estiver preso por uma corda no teto do vagão, um observador externo verá o corpo acelerado tal que: aMgMT rrr =+ (observador em repouso) Para um observador no interior do vagão, o corpo não está acelerado e, portanto, para ele, a equação de forças é: 0aMgMT rrrr =−+ (observador acelerado) b) Força centrífuga Consideremos uma plataforma girando com velocidade angular ω e sobre ela um corpo preso ao centro por uma haste sem massa, como mostrado na Fig. 4.31. Para um observador externo à plataforma, a única força agindo aM r − gM r a r As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 79 ⇒ω==⇒ω== 2c c c tgdt dxvtg2 dt dv a 2gtx 3 1ω= Como o tempo de queda é g h2t = temos 2 3 g h2 3 g x      ω= . Usando s rad10 3.7 3600 24 2 5×= × π=ω e h = 100 m obtemos x ≈ 2 cm. Exercícios 1 - Encontre o ângulo θ da Fig. 4.33 tal que o sistema permaneça em repouso. Despreze o atrito. 2 - Encontre a razão entre as massas M1 e M2 tal que o sistema permaneça em repouso na Fig. 4.34. Despreze o atrito. Fig. 4.33 Fig. 4.34 3 - Encontre a aceleração do corpo de 2 Kg da Fig. 4.35. 4 - Encontre a massa do corpo A tal que a aceleração do corpo B da Fig. 4.36 é nula. Fig. 4.35 Fig. 4.36 θ 2 Kg 1 Kg 30o M1 M2 1 Kg 2 Kg 5 Kg A 2 Kg B 16 Kg fixo 60o As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 80 5 - No sistema da Fig. 4.37 o corpo A desliza sobre uma superfície com coeficiente de atrito µ. As cordas e polias não têm massa. a) encontre as acelerações dos blocos A e B; b) encontre a tensão na corda ligada ao corpo A. Fig. 4.37 6 - Dado o ângulo θ de um plano inclinado sem atrito, qual deve ser a aceleração aR tal que o bloco de massa m mostrado na Fig. 4.38 não deslize? Fig. 4.38 7 - Se o plano inclinado do problema anterior tiver um coeficiente de atrito µ, qual são as acelerações máxima e mínima tal que o bloco não deslize? 8 - Uma corda de comprimento L e densidade linear de massa λ passa por uma polia sem atrito. Ela é solta do repouso, estando um comprimento x pendente de um lado e L-x do outro. A B M1 M2 µ θ m Ra r As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 81 a) determine a aceleração como função de x; b) para que situação a aceleração é nula? 9 - a) O sistema da Fig. 4.39 é livre de atrito. Determine o valor da força F tal que o corpo A não desça nem suba. b) Se houver um atrito estático µ entre as superfícies dos blocos, quais os valores de forças máxima e mínima tal que o corpo A não desça nem suba? Fig. 4.39 10 - Um corpo com velocidade inicial v0 penetra num meio que produz uma força viscosa vbF −= . Determine a máxima distância que o corpo penetra neste meio. 11 - No sistema mostrado na Fig. 4.40 encontre: a) a aceleração do conjunto e b) a força na corda, no ponto A. 12 - O sistema mostrado na Fig. 4.41 usa polias sem massa. Encontre as acelerações de cada bloco e a tensão na corda. Fig. 4.40 Fig. 4.41 M M M A F r 1 1 Kg polia sem atrito A 3 Kg M1 M M2 As leis de Newwton S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 84 20 - Um corpo de massa m encontra-se sobre um bloco triangular de ângulo θ e massa M, conforme mostra a Fig. 4.48. Não existe atrito entre o bloco triangular e o chão, e o atrito estático entre os dois blocos é µ. Pergunta-se: a) qual a força horizontal máxima F que pode ser aplicada ao bloco m tal que ele não deslize sobre a cunha? b) qual é o valor da normal nesta situação? Fig. 4.48 M F θ m Trabalho e energia S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 85 5.1 Trabalho e energia cinética O conceito de energia é um dos mais importantes em Física. De uma forma geral, dizemos que um corpo contém uma determinada quantidade de energia quando ele tem capacidade de exercer força e realizar trabalho sobre um segundo corpo. Para estabelecermos o conceito de energia, vamos inicialmente definir trabalho em uma dimensão como: ( ) dxxFW 2 1 x x x∫= que nada mais é do que a área da curva Fx (x) entre os pontos x1 e x2. Esta força é a força total agindo sobre o corpo, isto é, ( ) ( )∑ = = N 1i xx xFxF i Vemos que só há realização de trabalho quando a força e o deslocamento forem não nulos. Podemos ainda definir um trabalho infinitesimal como sendo: ( ) dxxFdW x= onde dx é um deslocamento infinitesimal no qual Fx (x) pode ser considerada constante. A unidade de trabalho é N.m ≡ J ou dyn.cm ≡ erg (1J = 107 erg). A partir da definição de trabalho dada acima, podemos usar a 2 a Lei de Newton para definir o que é energia cinética. dx dt dx dx dvmdx dt dvmdxFW 2 1 2 1 2 1 x x x x x x ∫∫ ∫ === 5 TRABALHO E ENERGIA S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 86 Trabalho e energia ( ) ( ) ( )1222 x x 2 x x xvmxvmdx dx vdmdx dx dvvmW 222 2 1 2 1 −=== ∫∫ A quantidade K = m/pmv 2 2 12 2 1 = é denominada de energia cinética. O resultado mostrado acima, chamado de teorema do trabalho-energia, estabelece que o trabalho realizado por um sistema de forças é igual à variação da energia cinética do corpo no intervalo considerado. Matematicamente, W = K(x2) - K(x1) Exemplo: Vamos considerar um corpo movendo-se sobre um plano com coeficiente atrito dinâmico µ. Queremos determinar, usando trabalho e energia, qual é a variação da velocidade do corpo com a distância e qual é a distância percorrida até ele parar. A condição inicial para este exemplo é que na origem (x = 0) a velocidade é v0. A força agindo sobre o corpo é Fat = - µN = - µMg de forma que o trabalho é W = -µMgx. Quando o trabalho é negativo significa que estamos retirando energia cinética do corpo. Pelo teorema trabalho-energia, temos: 2 0 2 MvMvMgxW 2 1 2 1 −=µ−= de onde encontramos: ( ) gx2vxv 20 µ−= A posição para a qual o corpo pára é dada pela condição v(x) = 0, isto é, ( )g2/vx 20 µ= . O enfoque que demos ao trabalho até este ponto foi baseado no caso unidimensional. Podemos generalizar a definição de trabalho para o caso tridimensional esquematizado na Fig. 5.1 como: ( ) ( )12 S S SKSKsd.FW 2 1 −== ∫ rr Trabalho e energia S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 89 Fig. 5.3 - Parametrização de uma trajetória S. No exemplo do plano inclinado que estamos tratando, θ−=⇒θ−= tg dx dy xtgyy 0 θ =θ=θ+=     +⇒ cos 1 sectg1 dx dy 1 2 2 ( )dx cos senmgWsenmgF z 0 s ∫ θ θ=⇒θ= 2mv 2 1 x cos sen mgW =     θ θ=⇒ Como x = s cosθ ⇒ v = θsengs2 , como já havíamos encontrado. Resumindo, vimos três maneiras de se calcular W. No caso 1), escolhemos uma coordenada natural para o problema e a solução foi simples. No caso 2), escolhemos coordenadas cartesianas e a solução já foi mais complicada. No caso 3), a trajetória foi parametrizada por y = y(x), mas este método só é conveniente quando a trajetória for complicada, como por exemplo, y = x 3 /3, etc. Uma outra situação que consideraremos a seguir é a de um corpo vinculado a mover-se sobre um cilindro sem atrito e que é solto de um ângulo θ0 com velocidade nula, como indica a Fig. 5.4. Uma análise rápida das forças agindo sobre o corpo indica que apenas a componente tangencial mg cosθ é capaz de realizar trabalho. N e mg senθ são perpendiculares à trajetória. Neste S1 S2 sd r dx dy trajetória S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 90 Trabalho e energia problema, a coordenada natural é o ângulo θ. Vemos que: FS = mg cosθ e ds = - Rdθ, já que s e θ aumentam em sentidos opostos. Assim, Fig. 5.4 - Corpo vinculado a mover-se sobre um cilindro sem atrito. ( ) ( ) ( )θ−θ=θ⇒ =θ−θ⇒∆= θ−θ−=θθ−= ∫ θ θ sensengR2v mvsensenmgRKW )sen(senmgRRdcosmgW 0 2 0 0 2 1 0 5.2 Potência Quando um agente externo realiza trabalho sobre um corpo, podemos definir potência como sendo a taxa temporal de energia que ele é capaz de fornecer ao corpo. Assim, no caso de uma força constante, sd.FdW rr = e v.F dt sd.Fdt/dWP rr rr === . A unidade de potência é energia/tempo: [ ] ( )WWatts/JP ≈= . 5.3 Energia potencial Nem sempre o trabalho realizado sobre um corpo por um agente externo é convertido totalmente em energia cinética. Muitas vezes o trabalho dá origem a um outro tipo de energia, chamada energia potencial. Analogamente à energia cinética, um corpo com energia potencial tem a θ S R x y M Mg cosθ Trabalho e energia S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 91 capacidade de realizar trabalho. Em geral, nesta situação existe um agente externo realizando trabalho sobre o sistema de interesse. Através da realização deste trabalho, o agente externo transfere energia para o sistema, que a armazena de alguma forma. Quando o agente externo é retirado, o sistema libera a energia armazenada (energia potencial) através da realização de trabalho e converte esta energia em energia cinética. Dentre os vários tipos de energia potencial, os mais comuns são a gravitacional, elástica (mola) e elétrica (Coulombiano). Como exemplo de energia potencial gravitacional, vamos considerar um corpo que se desloca uma altura ∆h = h2 – h1. Para isto é necessário um agente externo trabalhando contra a força peso, como indicado na Fig. 5.5. Neste caso, Fext = mg e o trabalho realizado é: 12extext UUhmghFW −=∆=∆= onde U = mgh é definido como energia potencial gravitacional. O trabalho feito pela força peso é ( )12p UUhmgW −−=∆−= Se soltarmos o corpo, a energia potencial ∆U = mg∆h se transformará em energia cinética. Na verdade, o que fazemos é dar condições para a força peso realizar trabalho: hg2vmv 2 1 hmgW 2 ∆=⇒=∆= Fig. 5.5 - Corpo sob a ação da força gravitacional. mg Fext ∆h h2 h1