Variaveis Complexas - Geraldo Ávila, Notas de estudo de Matemática

Baixe Variaveis Complexas - Geraldo Ávila e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! GERALDO ÁVILA VARIÁVEIS Complexas e aplicações Eu a Ultado & | ETC   Varidveis Complexas e Aplica{:oes ."t.. -.-- ;(j .. R."$~e .. II,", .. I~hnl Para rneu filho Geraldo, rninha nora Regina e rneus netos Felipe e Carnila Prefacio Muitas das aluais leorias matemriticas surgirom do CiiJncia, Aplicada, e s6 depois adqui,"iram aqll.ele aspecto axiomdtico e abstrato que tanto dijicuUa 0 seu apnm.dizado. V. I. Arnold A teona das funr.;6es de uma variavel complexa e wna extensao natural da teona das fuw;:oes reais, e e de importiincia fundamental, tanto em matematica pura como nas aplicar,;oes. Teata-se, pois, de disciplina mandat6ria nos curriculos de matematica, fisica e diversos call1OS da engenharia, sobretudo eletronica e aeronautica. o presente Livro roi escrito com vistas a atender ~ necessidades dos estudantes desses v3rlos cursos. Os pre-requisitos sao minimos: apenas tun curso de catculo, cobrindo derivadas e integrais, seqtiencias e series infinitas. 0 POllCO que se requer de derivadas parciais, integrais de linha e integrais duplas pade sec suprido num curso concomitante de caJ.culo de v3rias variaveis. A enCase da exposir.;ao esta no desenvolvimento dos metodos e tecni- cas da teoria. 0 fomlalismo e 0 rigor sao reduzidos a urn minimo, como convem num primeiro curso, para facilitar 0 aprendizado. decOrTenda natural do que diz Arnold, eminente matematico russo da atualidade. lnsistimos em que 0 texto e apropriado tanto a matematicos aplicados. fisicos e engenheiros, como a estudantes que pretendam se dedicar a matematica enl si, como carreira de ensino ou pesquisa. De fato, as ne- cessidades de todos esses alunos sao as mesmas: eles precisam adquirir familiaridade com a f6mlUia de Cauchy e suas conseqtiencias, com as series de Taylor e de Laurent, com 0 c8.lculo de residuos e aplica<;6es. 56 depois e que est.arli.o preparados para apreciar devidamente urn tratamen- to rigoroso do teorema de Cauchy-Goursat ou estudar t6picos especiais da teoria. Os cineo primeiros capftulos cabem muito bern num curso de unl se- mestre. 0 Capitula 5, sabre singularidades isoJadas e cAlcuJa de residuos, completa 0 Que pade ser considerado conteudo minima de unl curso introdut6rio. o Capitulo 7 versa sobre dinamica dos fluidos e aerodinarnica, e e in- dependente do Capitulo 6, sobre continua<;ao analitiea. Sem nos esten- dennos muito nurn assunto que pode rapidamente tomar-se bastante tecnieo, logramos, todavia, chegar ~ ideias centrais da teoria de Kutta-           viii / Pr(ffido Joukovski, apresentando, inclusive, 0 cAlculo da for~a de levantamento que se exerce numa asa de aviao. 0 tratanlento que fazemos ~ dlreto e completo, abordwldo uma aplica~ao de largo aJcance e que certamente hA de interessar ao leitor curioso. No Capitulo 6 apresentamos os resultados mais importantes sobre continuacao analftica, n~Oes elementares das superficies de Riemwm e propnedades da fWl~ao gama 0 Capitulo 8 ~ dedicado a represent.a- cAo confonne. com algumas aplica~Oes a teona do potencial e a eletros- tiitica. Aqui 0 lei tor vern que v<irias passagens do Capitulo 7 sao excm- plos de representacao confonl1e; e que esses t6picos puderam ser apre- sentados nesse capitulo sem necessidade de desenvolver toda a leona da representa~a.o confonne. Escnto pnmeiramente em 1974, 0 livro teve uma segunda edi~30 em 1990, e agora esta terceira edi~3o, com a maior revisao feita. 0 maior acr~scimo de ma~na nova, tanto exemplos e exerdcios como os t6pi- cos dos Capitu]os 6 e 8. Queremos, por f1m, agradecer aos dirigentes e aos dedicados fWlcio- nanos da LTC Edilora pelo continuado interesse e apoioao nosso trabalho. Geraldo Avila Brasilia, janei1u de 2000 fi dci (: t . wn U\ . m r e i ica<; lc wl tinua<;A i o<;Oes ann un<; e ent <;30 rm , ica<; es ri a a A l e ~ nn t e a<;A rm ri t;ao Lercei <;ao, t , r~im ~ri cl f J i un Ari itor.:! l n f ia i'ITJ xii I Sumdrio SugestOes e solu~Oes .................................................................................. 48 Fun~l!.o analitica .............................................................................................. 49 Regras de deriva~o ............................................... ... ................................. 51 Exercfcios ................................................................................................... 52 SugestOes .................................................................................................... 53 As equa~Oes de Cauchy·Rielnann ..................................... .. ........................... 53 Condi~no necess!iria e suficiente .............................................................. 55 Cauchy· Riemann em coordenadas polares ............................................... 57 Int.erpretacAo geom~trica ..................... .................................................... 59 A fun~Ao exponenclal................................................................................. 61 Excrcfcios ................................................................................................... 62 As funt;Oes trigonom~tricas e hiperb6licas ........................................ ..... 63 Exercfcios .................................... ... ............................................................ 64 o logaritmo ........ ..................... ........................................................................ 65 o logariuno como transfonna~o e sua inversa ........................................ 67 Propriedades do logariuno ........................................................................ 69 DefiniCAo de Z" ........................................................................................... 70 As funCOes trigonom~tricas inversas ...... ..................... ..... ..... .... ..... ..... ...... 72 Exercfcios ................................................................................................... 73 ResposlaS e sugestOes . .............................................................................. 74 CAPiTULO 3 TEORLA DA INTEGRAL Arcos e contornos ........... ............................................................................... 75 Teorema de Jordan e coneclividade simples ...................................... ...... 77 Arco regular e contornos ............................................... ............ ................ 78 Exercfcios .............. ............. ........................................................................ 79 lntegral de conLOnlO ....................................................................................... 79 Integral cwvillnea ou de contonlO ................................... ........................ 81 InvariAncia da integral................................................................................ 81 Propriedades da integral ............................................................................ 82 Exerdcios ....................................................................... .... .... _............. 86 Respostas e sugestOes ........ .. . ............................................................ 88 Teorenla de Cauchy ........................................................................................ 89 Teorema de Green ............................. ............... ................. ..... ................... 89 T eoren13 de Cauchy ....... ............................................................................ 91 Integrais de contomo e prirnitivas ............................................................ 93 Exercfcios ................................................................................................... 99 SugestOes ....... ..................................................... ........................................ 101 F6rmula integral de Cauchy ........................................................................... 101 Derivadas de toclas as ordens .................................................................... 103 Exercfcios ...................................................... ........... ......................... ......... 107 Respostas e sugestOes ... ..... ..... ................................................................... 109 FuncOes hannOrticas............... ................................................ .......... . .. 109 Fun~llo hannOnica detennina funCAo anal1tica ........................................ III RegiOes mult.lplamente conexas ................................................................ 112 Principlo do m6dulo maximo ............................. ..... ..... ... ........................... 113 Problemas de Dirichlet e de Neumann ....................... ... .............. ...... ....... 114 Exercfcios ........... ... .. .... ... .. ............ ... .... ...... ......... ...... .................................. 116 Respostas .................................................................................................... 117   Sumdrio I xiii CAPiTULO 4 SERIES DE POT~NCIAS Series de fun~(\es complexas.. . ................................ 118 Convergl!:ncia simples ou pontual ................ 119 Convergencia unifonne .... ......................................... 120 Exerdcios ........ ............. .. ... 125 SugestCles ......... ........ ... 127 Series de potl!:ncias.. .................. 127 Exercicios .... ............. .. ... 132 Respostas e sugestoes .................. .. .............................. 132 Series de potl!:ncias, sene de Taylor... ............... .............. ..133 Exemplos de series de potl!:ncias ....................... 136 Produto e qu ociente de series de poti!:ncias ..................... 138 Exercfcios .... ......................... ............. ................142 Sugestoes ................................. ................. 144 Serle de Laurent ......... .. ................. 144 ReguJaridade no inJInito....... ................ ..147 Zeros de fun~(\es analfLicas .. 147 Exerdcios ............... ...................... .. ................. 149 CAPiTULO 5 SINGULARIDADES E RESIDUOS SinguJaridades isolad as .................... . SinguJaridades removfveis .. . SinguJaridades do tipo p610 .. .. Singularidades essenciais ........ . Exercicios ... .. Respostas ............................. . Teorema do residua ........ . Exercfcios ... .. .............................. .. Respostas e sugestOes ..... . lntegrais impr6pnas de func;Oes racionaJ.s Exercfcios .......................................... . Respostas e sugestl"les .................. . Lema de Jordan ......... . Exerdcios Respostas e sugestoes ................................... . lntegrandos muJtivalentes ................... . Exerdcios. ............. ................ .. ......... .. lntegrais envolvendo fun~Oes trigonometricas ....... . Exercicios ... .. ......... .. Residuos logaril.micos e prindpio do argumento Exercfcios ........................ . CAPiTULO 6 CONTINUAQAO ANALfTICA Primeiras conseqUencias ........ Permanencia das relac;oes funcionais .. .. 151 .. ......... 152 .. ........... 153 .. ............... 154 .. .. 156 .. .. 157 .. .. 157 .. .. 160 .. .................... 161 .......................... 161 .. ......... 163 .. .... 164 .. .. 164 .... 168 .... 169 .. ...... 169 . .................. 173 .. ...... 173 .. ............... 174 ... 175 ........... 178 .. .. 181 ~a ....... ........................... ................. . . j:! .................... . wtiforITl .................... ... .. ... ... ... .. .. ... ... .. .. cfci ..... . ........................................................... . esto ............ ............................... tencias . .... .. ....................................................... f . ..... ............................ tO ... ................. ... .... .. ......... ten ci ri ............. . tenci ......... .. ............... ten . .............. ........... ...... ......... .. ... ... .. 14 tO . ............................................. i ................................................................ l fi .. .. .......... . 1 ~O lfti .... ................ . ................... ci ................................. ....... l i ................. . .......... .. ............. . l .......................................................... ... l ............................................................ .. ............................. f ..... ................................................................................... ......... ........... ............. ........ .. ........................ . ........................................... . ...................... i ........ ............... ................. . .................. .... .................................................. ........... ri run~ e i ru l .......... ........................................... .... esto .. ............................................. . ............... .................... ................ .. .... clci ......................... .................. . . ... .. ..................... I i i . ........... . ....................... cl .. ..... ......... ......................... . ................ I .. . ......................... l .................. ....... .......................... . ... l f ci ............................. .. l ... . .............. _ ....................................... v O ...................... . .................................. a~O   xiv / Suma1'io Continuac;ao analit ica par reflexao ........ ... ... .. . ..... . ..................... .... ........... 183 Exercfcios . .. ... . .. ........ ..... .... .......... .... ........ ... ............. . . . ........ 185 Respostas e sugestoes .................. .. ... .. ...... ... . ................. ... .... ....... ... .. 186 Continuar;a.o analitica e singularidades . 187 Singularidades .... ....... .... .. .. ...... ... .. .. .............................................. ....... .... .. 189 Continuac;ao analHica por cadeias ................... ....... ... ........... .. .................. 192 Superficies de Riemann .. ... ................. ...................... ..... ....... .. ... .. ......... .. .. 193 Exercfcios ...... ..... .................. .... ........................................... .... ........... .... .. 197 Funr;oes analiticas d efinidas pOl' integrais .... ........... .................. , ................ 198 A fW19ao garna ..... ........................ ... .. .... ..... ..... ............... .. ........ ... . 200 Continua<;ao a nalitica a todo 0 p lano ...................... ............. ................... 201 Exercicios ........ .. ...... ................... . .. ................................ .. ........... ..... . 202 CAPiTULO 7 APLICAQOES A DINAMICA DOS FLUIDOS Os movimentos fluidos a considera r ..... .. .................... .. .......... .... ........... ... .. 204 Conservac;ao cla massa .. ... ..................................................... .... ... ....... .. ... 205 Escoamentos irrotacionais ............. ............... .. .. .. ......... .. ....... ... .. . .. .. 209 As fun<yoes po tenciais .......................... ........... .. ..... .... ................ ... ...... .... . 210 Exemplos basicos ............. .. ...................... ........ ........ .......... ... .......... .. ......... 212 Exercicios ...................................... . ....... ........... .... . .... 215 Fontes, surn..idouros e v6rtices ........................... ........ ........ ..... ....... .... .... ..... . 215 Exercfcios ....................................... . ........ .... ... .......... .. ... ..... ........ . 220 Escoamento em volta de lUll cilindro circular ......................... .... ... ... .......... 221 Exerclcios ............................ ,. .... ... . ... ...... ..... ...... .... ....... ... . 225 Escoarnento em volta de urn c jlindro qualquer .. .... ................... ...... .... ........ . 225 A dinamica do movirnento ................. .................. ....... ........ .......... .. ... ....... .. .. . 226 FOf<ya sobre urn c ilindro e f6rmula de Blasius .... .... .... ... ............ .. ....... ..... . 229 F6rmula de Kutta-Joukovski ......... ... ....... ..... ...... .. ... 231 A transformac;ao d e Mdbius ... ....... .. ..... ...... ................. .... ..... ...... ... . 232 Exercfcios ........ ..... .... ........... .... ... ...................... .. ... .... ............ .. ...... ...... ... . 234 Sugest6es ......... ...... .... .......... ........ ............... .. ...... ... .... .. .......... ... ... .. ......... .. .. 235 A tl'ansformac;ao de Joukovski ............................. ..... ......... ....... .... .. ........ ... .. 235 o potencial complexo apropdado ao perfIl de Joukovski .. ....... .. ... 238 Os paradoxos da leona .... ....... .................. ................... ...... ................ ........ ... .. 242 CAPiTULO 8 REPRESENTAQAo CONFORME E A.PLICAc;:OES Considerac;:oes preliminares....... ..... .... .. ...... ...... ........ . .. .. ... .. .... .. ... 245 Representac;ao conforme ......................................................... ... ... ...... ... .. 245 hwariancia da equac;:ao de Laplace ..... ..... . ................................. .. 248 Exerc lcios ....... .... ............................ .......... .... ................. ....... ...... ... .. ...... .... . 248 Inversao local e invers:ao global .. .................................. .................... ............. 249 lnversao global ... .................................................................... .... ............ ..... 251 Exercfcios , ..................................... .... ............ , ....... .......... .... .. . .... ......... ..... 253 A transformac;:ao de Mobius ... ...... ........... ..... .. .................. ......... ...... . ..253 A razao Cf1.1Zada .... ........... ... .................. . .............. . ..... ... ........... ..... ....... . . .... . 256 Exercfcios ................................................................. .. ............ .... ................ 259 2 Capitulo 1: Numeros complexos que nao represent a numero real algum. No entanto, se operarmos formal- mente, como se A fosse urn numero, obteremos: x = 6 ± J I6(-I) = 6±4A = 3±2H 22 · , ou seja, Xl = 3 + 2A e x" = 3 - 2A. Vamos substituir esses "numeros" na equac;ao original para verificar se eles sao realmente raizes. Ao fazermos isto, devemos tratar 0 simbolo A como se ele fosse mesmo urn numero; em particular , seu quadrado deve ser - 1: (A)2 = - 1. Teremos: (xl)2 - 6Xl + 13 = (3 + 2H)2 - 6(3 + 2H) + 13 = 9 + 12H + 4( - 1) - 18 - 12H + 13 = 0. Do mesmo modo, verificamos que x" tambem e raiz. N umeros complexos Dessas considerac;oes segue-se que e possivel resolver a equac;ao do 22 grau mesmo no caso em que b2 - 4ac < 0, se operarmos com 0 simbolo i = A como se fosse urn numerol. Ele deve ter a propriedade de que i 2 = - 1 e deve operar ao lado dos numeros reais com as mesmas leis formais que regem estes numeros. Somos assim levados a introduzir os numeros complexos como sendo os numeros da forma a + bi, como 3 + 5i , 2 . - - 22 3 ' o novo elemento i = A e chamado unidade imaginaria; a e chamado de parte real e b de parte imaginaria do numero complexo a + bi. INa verdade, a motiva<;ao maior para a aceita<;ao dos numeros complexos ocorreu no seculo XVI, quando os matematicos descobriram a formula geral de resolu<;ao de equa<;6es do 32 grau. Aplicada a equa<;ao x 3 - 15x - 4 = 0, essa formula se reduz a Sabendo que x = 4 e raiz , percebeu-se que as raizes cubicas ai indicadas devem ser (2 + A ) e (-2 + A), respectivamente , 0 que se comprova elevando-as ao cuba e operando formalmente. Como tal procedimentos permitia obter a raiz x = 4 pela formula, ficou evidente que tal interpreta<;ao deveria ser aceita. Portanto, os numeros complexos entraram na Matematica pela equa<;ao do 32 grau, nao do 22. Capitulo 1: Numeros complexos 3 Vemos assim que, ao introduzirmos os mimeros complexos, devemos definir adi<;;ao e multiplica<;;ao de maneira que permane<;;am vaIidas as pro- priedades associativa, comutativa e distributiva que essas opera<;;oes pos- suem quando referidas aos mimeros reais. Assim, os mimeros complexos ficam determinados pelas seguintes regras: az = W; a + bi = e + di significa a = e, b = d; (a + bi) + (e + di) = (a + e) + (b + d)i ; (a + bi)(e + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . o leitor deve notar que a defini<;;ao de multiplica<;;ao e motivada pelo que obteriamos operando formalmente, assim: (a + bi)(e + di) = ae + adi + bie + bidi = (ae - bd) + (ad + bc)i . Vejamos alguns exemplos de opera<;;6es com mimeros complexos: (-5 + 7i) + (3 - 12i) = -2 - 5i; (1 - 5i)(3 + 2i) = (3 + 10) + (2 - 15)i = 13 - 13i = 13(1 - i); vI2(_l_ - iJ50) = ! - iv'loO = ! - Wi. v'I8 3 3 A subtra9ao de mimeros complexos e definida em termos da adi<;;ao e do oposto de urn mimero. Ooposto de z = x+iy e 0 mimero - z = (- x)+i( - V). Dados entao Zl = Xl + iYI e Z2 = x2 + iY2, definimos: Os reais como subcorpo dos complexos Observe que os mimeros complexos da forma a + iO se comportam, com rela<;;ao a adi<;;ao e a multiplica<;;ao, do mesmo modo que os mimeros reais a; em outras palavras, fazendo corresponder 0 mimero complexo a + iO ao mimero real a, entao a soma a+b correspondeni (a+b) +iO, que e 0 mesmo que (a + iO) + (b + iO); e ao produto ab correspondeni ab + iO, que e 0 4 Capitulo 1: Numeros complexos mesmo que (a+iO)(b+iO). Isso quer dizer que somar e multiplicar numeros reais equivale, pela correspondencia a I--------t a + iO, a somar e multiplicar, respectivamente, os numeros complexos correspondentes, 0 que nos permite identificar 0 numero real a com 0 numero complexo a + iO, ja que, do ponto de vista da adi<;ao e da multiplica<;ao, seu comportamento e 0 mesmo. Deste modo, os numeros complexos se apresentam como uma extensao natural dos numeros reais. o plano complexo Dado 0 numero complexo z = x + iy, sua parte real x e denotada por Re z, e sua parte imaginaria y, por 1m z. 0 plano complexo e 0 conjunto das representa<;oes de todos os numeros complexos z = x + iy pelos pontos p = (x , y) do plano. E conveniente identificar 0 numero complexo z = x+iy com 0 ponto P = (x , y), 0 que e possivel atraves das seguintes defini<;oes: (a , b) = (c, d) significa a = c, b = d; (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc). E facil ver entao que a = (a, 0) e i = (0, 1). z = x + iy 2 - 2i Fig. 1.1 Capitulo 1: Numeros complexos 7 (~~) = ;~ Esta ultima segue da pen ultima e da definic;ao de quociente: _ Zl ZZ2 = Zl; logo, Z Z2 = Zl, don de Z = - . Z2 EXERCICIOS Reduza a forma a + bi cada uma das expressoes dadas nos Exercs. 1 a 11. 1. (3+5i)+(- 2+i). 2. (- 3 + 4i) - (1 - 2i) . 3. (v'3 - 2i) - i[2 - i( v'3 + 4)]. 4. (3 - 5i)( -2 - 4i). 5. (1 + ~)( - ~ + 3i). 6. (3i - 1)(~+~) . 7. . (2 2i) 7 - 22 -"5' 8. (2 + 3i)2. 9. (4 - 2i)2. 10. (1 + i)3 11. 1 + 2i + 3i2 + 4i3 + 5i4 + 6i5 . N 12. Mostre que Lin = 1, 1 + i, i ou zero, con forme 0 resto da divisao de N por 4 seja n=O zero, 1, 2 ou 3, respectivamente. 13. Mostre que (x + iy)2 = x2 _ y2 + 2ixy. 14. Mostre que (x - iy)2 = x2 _ y2 - 2ixy. 15. Mostre que (X+iy)2(X - iy)2 = (x2 +y2)2. 16. Mostre que (x+iyt(x - iy)" = (X2 +y2t· Reduza a forma a + bi cada uma das expressoes dadas nos Exercs. 17 a 27. 17. 1 18. 1 19. l+i 20. 3 - i 2 + 3i 4 - 3i 3 - 2i ' 2i - 1 21. 1 - i 22. 1 + i 23. 4 - 3i 24. 1 - i l+i 1 - i i-I v'2 - i 25. 1 26. e+it· 27. (1 - i)(v'3 + i). (1 + iF . 1 - 2 8 Capitulo 1: Numeros complexos Nos Exercs. 28 a 32, represente graficamente os numeros complexos Zj, Z2, Z j Z2 e ZI/ Z2 ' 28. Zj = 3 + 4i, 1 - i 29. Z2 = 5V2' 30. l + i Z2 = 1 + iV3. 31. Zj= - - , 2V2 32. Zj = 3 - i, Z2 = 3 - i/2. 33. Mostre que Re[-i(2 - 3i)2] = -12. 1- iV2 . 34. Mostre que = -2 V2+i . 35. Mostre que 1m [ (1 -. iV3)2] 2 - 2 2(1 + 2V3) 5 1 + i tg9 . 36. Mostre que 9 = cos 29 + 2 sen 29. 1 - itg 1 + iV3 Zj = 2 Z j = 1 + 2i , 37. Dados do is numeros complexos a e {3, prove que V3+i , Z2 = - -2-' Z2 = 2 - i. Fa<;a um grafico e obtenha a seguinte interpreta<;ao geometrica: a soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo e igual a soma dos quadrados das diagonais. 38. Dados tres vertices de um paralelogramo pelos numeros complexos Zj, Z2 e Z3, deter- mine 0 vertice Z4 oposto a Z2 . Fa<;a um grafico. 39. Prove que 0 produto de do is numeros complexos e zero se e somente se um dos fat ores se anula. 40. 0 Teorema Fundamental da Algebra afirma que todo polin6mio com coeficientes com- plexos possui uma raiz (real ou complexa). Prove, como corolario, que todo polin6mio P(x) de grau n possui n raizes , contadas as multiplicidades; e sendo aj , ... ,an essas raizes , entao P(x) se escreve P(x) = a(x - aj) .. . (x - an). Prove tambem que se 0 polin6mio tem coeficientes reais , e se a e uma raiz complexa, entao a tambem e raiz. REPRESENTAQAO POLAR Considerando a representa<;ao geometric a de um numero complexo z i= 0, chama-se argumento de z 0 angulo e formado pelo eixo Ox e 0 vetor Oz (Fig. Capitulo 1: Numeros complexos 9 1.5). Como em Trigonometria, os angulos sao aqui orientados: consideramos positivo 0 sentido de percurso oposto ao dos ponteiros do relogio. o argumento de z so pode ser definido quando z i 0; mesmo nesta hipotese, 0 argumento so fica determinado a menos de multiplos inteiros de 27r. Como x = Izl cos () e y = Izl sen (), temos a seguinte representa<;ao de z, conhecida como representac;ao polar ou representac;ao trigonometrica: z = r(cos() + isen()), l' = Izl; l' e () sao designados as coordenadas polares de z. z Fig. 1.5 Formulas do produto e do quociente De posse da representa<;ao polar, vamos deduzir uma regra muito conve- niente para a multiplica<;ao. Sejam dois numeros complexos quaisquer. Entao, Zl Z2 1'11'2 (cos ()1 + i sen ()1) (cos ()2 + i sen ()2) 1'11'2 [( cos ()1 cos ()2 - sen ()1 sen ()2) + i (sen ()1 cos ()2 + cos ()1 sen ()2) l, isto e, Vemos assim que 0 produto de do is numeros complexos e 0 numero cujo m6dulo e 0 produto dos m6dulos dos fatoroes e cujo argumento e a soma dos 12 Capitulo 1: Nlimeros complexos 1. Z = -2 + 2i. 2. Z = 1 +iJ3. 3. Z = -J3+i. 4. ( i ) 5 z - - -- 1 +i . 5. 1 6. Z = -1 - i. z = - 1 - iJ3' -3+3i 8. - 4 9. Z = 1 + 2i. 7. z = 1 +iJ3' z = - - - . J3 - i 10. Z = -1 + 3i. 11. Z = - 3 - 2i. 12. Z = 4 - i. Nos Exercs. 13 a 18, reduza os numeros Zl e Z2 a forma polar e determine as formas polares de ZlZ2 e Zl/Z2. Represente esses quatro numeros num gnifico. M' 3 - iJ3 13. Zl = v 3 + 3z, Z2 = 2 . 14. Zl = 1 + i, Z2 = J3 + i. 15. Zl = 1 - i, Z2 = -1 + iJ3. 16. Zl = -1 - i, Z2 = -1 - iJ3. 18. Zl = 1 - i, Z2 = -1 + 2i. 19. Prove que se IZII = IZ21 = IZ31 = 1 e Zl + Z2 + Z3 = 0, entao Zl, Z2 e Z3 sao os vertices de urn triiingulo equilatero inscrito no clrculo unitario de centro na origem. Fa<;a urn grafico. 20. Prove que cos 3B = cos3 B- 3 cos B sen2 B e sen 3B = -sen3 B + 3 cos2 BsenB. 21. Obtenha formulas anruogas as do exercicio anterior para cos 4B e sen 4B. 22. Prove, de urn modo geral, que cosnB n D n(n - 1) n - 2 D 2 D cos u- 2 cos usen u + ... P(cos B, sen B), sennB n-11l D n(n-1)(n-2) n-3 3D ncos usenu - 6 cos sen u + ... Q(cosB, sen B), onde P e Q sao polin6mios convenientes, homogeneos e de grau n nas duas variaveis cosB e senB. RESPOSTAS E SUGESTOES 2. Z = 2 (cos i + isen i)' Capitulo 1: Numeros complexos 13 ( 57r . 57r) 3. z = 2 cos 6 + ~ sen 6 . 1 ( 57r . 57r) 4. Z = In cos - + ~sen -4 . 4v2 4 9. Z = v'5( cos 8 + i sen 8), onde 8 = arc cos(1/ v'5) , 0 < 8 < 7r / 2. 12. z =V17(cos8 +isen8), onde 8=arccos(4/ V17) , -7r/ 2<8<O. 20. Desenvolva (cos 8 + isen 8)3 pela formula do binomio e pela formula de De Moivre. PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO As seguintes propriedades sao de verificac;ao imediata: /Z/ 2 0, /z/ = 0 {::} z = 0; /z/ = / - z/; /Rez/:s: /z/, /Imz/:S: /4 A propriedade segue da seguinte observac;ao: /ZlZ2/2 = (ZlZ2)(ZlZ2) /Zl/2/Z2 /2. Menos trivial e a desigualdade do triangulo, (1.1) assim chamada por exprimir propriedade geometric a bern conhecida: a soma dos comprimentos de dois lados de um triangulo e maior ou igual ao com- primento do terceiro lado (Fig. 1.8). Para demonstra-la, observemos que /Zl + Z2/ 2 (Zl + Z2)(Zl + Z2) = ZlZl + Z2Z2 + (ZlZ2 + ZlZ2) /Zl/2 + /Z2/ 2 + ZlZ2 + ZlZ2 = /Zl/2 + /Z2/2 + 2Re(zlz2) < /Zl/2 + /Z2 /2 + 2/Z1Z2/ /Zl/2 + /Z2/ 2 + 2/Z1 I/z2/ (/Zl/ + /Z2/)2. 14 Capitulo 1: Numeros complexos Daqui segue a desigualdade desejada por uma simples extrac;iio de raiz. / Fig. 1.8 Como I - z2 1 = I z21 , vale tambem a desigualdade pois Uma terceira desigualdade muito importante e a seguinte: (1.2) Para demonstni-la, basta observar que Obtem-se daqui 0 resultado desejado subtraindo IZ21 do primeiro e ultimo membros. Trocando Zl com Z2 em (1.2) , obtemos tambem a desigualdade (1.3) Pondo agora IZII-lz21 = a, as desigualdades (1.2) e (1.3) podem ser escritas, respectivamente, a :s: IZI + z21 e - a:S: IZI + z21, donde segue-se que lal :s: IZI + z21 , ou seja, Capitulo 1: NTimeros complexos 17 Observe que, representadas no plano complexo, essas raizes sao os vertices de urn poHgono regular de n lados. A Fig. 1.10 ilustra as raizes da unidade no caso n = 6. Aqui , 'IT . 'IT 1 . .J3 w = cos - + '/, sen - = - + '/, - 3 3 2 2 ' Fig. 1.10 A formula (1.4) pode ser escrita assim: ( () ()) (2k'IT 2k'IT) Z = '\IT ;;;: + i sen ;;;: cos --:;;: + i sen --:;;: , ou seja, a = '\IT(Cos~+isen~) ·wk, k = O, l , . .. ,n-1. Esta expressao nos diz que as razzes n -esimas de um numero complexo nao nulo podem ser obtidas como 0 produto de uma de suas razzes particu- lares, pelas razzes n-esimas da unidade, 1, w, .. . , wn - 1 . 18 Capitulo 1: Numeros complexos Como exemplo, seja determinar as raizes cubic as do numero a = 8. Uma delas e Zo = 2. As raizes cubicas da unidade sao dadas por 1, w, w2 , sendo que agora 27f . 27f 1 . .J3 w = cos - +1,sen - = - - +1, - . 3 3 2 2 Logo, as raizes cubicas de 8 sao (Fig. 1.11): ( 1 . .J3) . Zo = 2; Zl = 2 - "2 + 1,2 = - 1 + 1,.j3, Fig. 1.11 Raizes primitivas Chama-se raiz n -esima primitiva da unidade qualquer raiz n-esima z =F 1 tal que n e 0 menor inteiro positivo tal que zn = 1. E claro que, qualquer que seja n , 27f . 27f W = cos - +1,sen - n n e raiz primitiva. Ela e a primeira raiz primitiva que ocorre quando percorre- mos 0 Clrculo unitario no sentido anti-horario a partir da unidade real. Mas pode nao ser a unica raiz primitiva; por exemplo, no caso das raizes triplas da unidade, como vimos ha pouco, w e raiz primitiva, mas w2 tambem e. J a no caso das rafzes sextuplas, w e w5 sao raizes primitivas, enquanto w2 , Capitulo 1: Numeros complexos 19 w3 e w4 nao 0 sao. Veja 0 Exerc. 22 adiante para uma caracteriza~ao das raizes primitivas. Observa<;iio. 0 processo de calculo de raizes, utilizando a repre- senta~ao trigonometrica, e de carater geral; mas nem sempre e 0 mais con- veniente. Por exemplo, no cruculo da raiz quadrada do nlimero - 7 - 24i , e mais flicil proceder assim: J - 7 - 24i = x + iy, donde x2 - y2 + 2ixy = -7 - 24i. Mas isto equivale a x2 _y2 = _ 7, xy=-12. Resolvendo esta ultima equa~ao em rela~ao a x e substituindo na primeira, obtemos uma equa~ao quadratica para y2 , cuja solu~ao e y2 = 16 (como y e real, y2 > 0). Logo, y = ±4 e x = =r=3. Finalmente, J-7 - 24i - ±(3 - 4i) . EXERCicIOS Calcule as raizes dos numeros complexos clados nos Exercs. 1 a 8 e fac;a a representa<;B.o gnifica correspondente. 1. vcr. 3. -/2i. 4. F2I. 5. w. 6. M. 7. (- 1 + iV3)1 /4. 8. (- 1 - iV3)1 / 2. Usanda 0 procedimento descrito na Observac;ao acima, calcule as raizes indicadas nos Exercs. 9 a 11. 9. ';-5 - 12i. 10. ';3 + 4i. 11. J 1+ 2iv'6 12. Decomponha 0 polinomio P(x) = x" + 1 em fatores do 2Q. grau com coeficientes reais. 13. Pac;a 0 mesma com 0 polinomio P (x) = X4 + 9. Nos Exercs. 14 a 21 , decomponha cada. polinomio dado em urn produto de fatores do 12 grau. 22 Capitulo 1: Nllineros complexos ou seja, em vista de (1.6) e (1.7), e iy = cosy + iseny. (1.8) Essas considera~6es, que sao puramente formais, nao estabelecem a rela~iio (1.8) , mas servem como motiva~ao para definirmos a fun~ao ex- ponencial. Fazemos isso tomando a re la~ao (1.8) como ponto de partida; ela e aqui usada para definir a exponencial no caso de expoente puramente imagimirio iy. Por Dutro lado, a defini~ao da exponencial no caso de urn expoente qualquer z = x + iy e feita de maneira a manter a propriedade aditiva da exponencial real: Definimos, entaD, a exponencial eZ , para urn numero complexo qualquer z = x + iy , mediante a expressao e' = ex +i y = eX (cos y + iseny). (1.9) Propriedades da exponencial Da defini~ao que acabamos de dar da exponencial, e das propriedades das fun~6es reais sen x, cos x e eX , decorrem as seguintes propriedades da expo- nencial complexa: (eZ)U = enz , n inteiro; eZ # 0 para todD z; lexi = eRex ; e X = 1 ¢} Z = 2k1ri, k inteiro. Demonstra9iio de (1.10). Com a nota~ao usual, (110) (1.11) (112) (113) (114) (115) Capitulo 1: Numeros complexos 23 obtemos, em vista da defini~iio (1.9), eX! (COSYI + i sen yJ) . eX' (cos Y2 + i sen Y2 ) eX! +x, [(cos Yl cos Y2 - sen Yl sen Y2) +i (senYl COSY2 + cosy] senY2)] eX! +x, [COS(YI + Y2) + i sen (Yl + Y2)]. Daqui e da defini~ao (1.9) concluimos que o que completa a demonstra~iio. Demonstra9G.o de (1. ll ). Temos, com z = x + iy, . 1 e- xe- 'Y = -[(cos(- y) +isen(-y)] = eX 1 ( .) 1 - cosy-zseny = eX eX(cosy+iseny) 1 1 eZ Demonstra9G.o de (1.12). A formula (1.12) e imediata nos casos n = 0 e n = 1. Para n = 2, ela segue facilmente de (1.10); e em geral, para n > 0, ela e estabelecida par indu~ao. Para isso, como ela e valida para n = 0, basta mostrar que do fato de ser valida para n = k segue-se que e vaJida tambem para n = k + 1, k;:>: O. Supomos, entao, que Em conseqiiencia, o caso n < 0 reduz-se facilmente ao caso n > O. De fato , supondo n < 0, temos 1 (eZ)n _ --' - (ez) - n' mas -n > 0, logo (e Z)-n = e- nz, portanto, 24 Capitulo 1: Numeros complexos Isto completa a demonstra~ao de (l.12) . Deixamos ao leitor a tarefa de demonstrar as propriedades (l.13), (l.14) e (1.15). Com a nota~ao exponencial, a representa~ao polar de um mimero com- plexo assume a forma compacta z = reiO , onde r = Izl e () = arg z; por exemplo, i = ei~ / 2 , -2 = 2ei~ , -4i = 4e~i~/2 etc. A mesma nota~ao per- mite escrever a formula de De Moivre assim: Observamos tambem que e costume usar a nota<;ao exp z em lugar de eZ , principalrnente quando 0 expoente e muito carregado. Por exemplo, cost uma-se escrever exp [Ht -D] em vez de eHt~ t) EXERCicIOS Reduza it. forma rete cada urn dos numeros complexos clados nos Exercs. 1 a 6 e facta os gnificos corresponcientes . l. 1 +i. 2. 1 - i. 3. ~ 1 + i. 4. -I-i. 5. 1 + i V3. 6. 1 ~ iV3. 7. ,13 + i . 8. ,13 ~ i . 9. - ,13 - i. 10. ~ 1 ~ i V3 1l. 12. 1 + iV3 l+ i ,13 - i Volte it p. 12 e refa<;a os Exercs. 1 a 12 Ii propostos, utilizando agora a nota<;ao exponencial. Voce ha de ver que) juntamente com sua represcntar;ao geometrica, essa nota<;ao facilita muito 0 trabalho de extrair raizes. 13. Mostre que exp(3 + h i) = ~e3 . M 3 - hi Je(l - i V3) 14. ostre que exp --6- = 2 . 15. Estabele<;a as formulas de Euler: ei 9 _e- iO e senB= 2i . Capitulo 1: Numeros complexos 27 urn disco D.(w) contido em DT(zo) (Fig. 1.13). Seja 8 = Iw - zol; entao, 8 < r . Seja c: < r - 8 e z urn ponto qualquer de D. (w). Pela desigualdade do triangulo, Iz - zol = I(z - w) + (w - zo)1 :0; Iz - wi + Iw - zol· Como Iz - wi < c: < r - 8 e Iw - zol = 8, obtemos Iz - zol < (r - 8) + 8 = r. Logo, z E DT(ZO)' Mas z e arbitrario em D.(w), 0 que nos leva a concluir que D,(w) C DT(ZO) , e isto completa a demonstra<;ao. Dizemos que urn conjunto F e fechado quando 0 seu complementar e aberto. Lembrarnos que 0 compiementar de urn conjunto Ceo conjunto C' dos ponto que nao pertencem a C . E claro que 0 complementar do complementar de Ceo proprio C. Fig. 1.13 Chama-se fronteira de urn conjunto C ao conjunto dos pontos z tais que qualquer vizinhan<;a de z contem pontos de C e pontos do seu complementar C' (Fig. 1.14) . Desta defini<;ao segue-se que a fronteira de C e tarnbem a fronteira de C'- Urn ponto da fronteira pode ou nao pertencer ao conjunto em questao. Por exemplo, no conjunto A = {z: 3:0; Izl < 5} , a fronteira e a uniao do conjunto dos pontos z tais que Izl = 3 (que per- tencem ao conjunto) com 0 conjunto dos pontos z tais que Izl = 5 (que nao 28 Capitulo 1: Numeros complexos pertencem ao conjunto). Esse conjunto nao e aberto nem fechado. fronteira Fig. 1.14 E facil veT que nenbum ponto interior a um conjunto pode ser ponto de sua fronteira , e nenhum ponto da fronteira pode ser ponto interior. Em conseqiiemcia, um conjunto Ii aberto se e somente se ele niio contem pontos de sua jronteira. Daqui e da defini~ao de conjunto fechado segue-se que um conjunto Ii fechado se e somente se ele contem todos os pontos de sua jronteira. Dizemos que Zo e ponto de acumula9iio de urn conjunto C se qualquer vizinhan~a de Zo contem infinitos pontos de C. E facil ver que urn ponto interior a urn conjunto, bern como todo ponto da fronteira que nao per- tence ao conjunto, sao pontos de acumula~ao do conjunto; todo ponto de acumulagao que nao pertence ao conjunto e ponto da fronteira; em con- seqiiencia, um conjunto Ii fechado se e somente se ele contem todos os seus pontos de acumula9iio. Dizemos que urn conjunto aberto e conexo se quaisquer dais de seus pontos podem ser ligados par urn arco todo contido no conjunto. (Veja a defini~ao de arco no inicio do Capitulo 3.) Chama-se regiiio a todo conjunto aberto e conexo. E freqiiente , na literatura, a usa do vocabulo "dominio" corn a mesmo significado de "regiiio", caso em que se deve tamar cuidado para mio confundir "dominio" com "dominio de fun~aolJ; par isso mesma usarernos sempre a vocabulo "regiao" com a significado que the damos aqui, e naD "dominio". Diz-se que urn conjunto C e limitado se existe urn numero positivo K tal que Izl ::; K para todo z em C. Chama-se conjunto compacta a todo conjunto limitado e fechado. Chama-se ponto isolado de urn conjunto C a todo ponto de C que nao e ponto de acumulagao desse conjunto. Par exemplo, todos as pontos do Capitulo 1: Numeros complexos 29 conjunto infinito C = {O, 1/2, 2/3, 3/4, ... , n/(n + 1), ... } sao pontos isolados; 1 e 0 unico ponto de acumula~ao desse conjunto e nao pertence a ele. Todas essas no~6es sao as mesmas do plano euclidiano. Elas se baseiam apenas na no~ao de distiincia de dais pontos Zl e Z2, dada por d( Zl, Z2) = IZI -Z2 1, que e 0 mesmo que a distancia euclidiana J(XI - X2)2 + (Yl - Y2J2, onde Zl = Xl +iYI e Z2 = X2 +iY2. Alias, mesmo do ponto de vista algebrico, o plano complexo e 0 plano euclidiano so diferem urn do outro devido ao fato de termos definido a multiplica~ao de numeros (ou pontos) complexos, enquanto no plano euclidiano nao temos tal opera~iio. Muitas vezes e conveniente considerar vizinhan~as do infinito , assim de- nominados os conjuntos da forma VI( = {z : Izl > K}. Isto corresponde a incorporar ao plano complexo urn novo elemento - 0 ponto no infinito, como costumamos dizer - para 0 qual usamos a conhecida nota~ao 00 . Deve ficar bem claro que essa adjun~ao do infinito ao plano complexo niio tern caniter algebrico. Sao bern conhecidas as dificuldades que surgem quando procu- ramos envolver 0 infinito na estrutura algebrica por meio das opera~6es de adi~ao e multiplica~ao. A adjun~iio do infinito ao plano complexo resulta no plano estendido, que e formado por todos os pontos finitos, juntamente com 0 ponto infinito. Este ponto e unico, em contraste com areta, onde temos dois infinitos, +00 e - 00 . No plano estendido, qualquer semi-reta de origem z liga z ao ponto infinito. Vejamos alguns exemplos de conjuntos de pontos no plano complexo. Faremos a descri~iio deles, deixando ao lei tor a tarefa de fazer os respectivos grificos. 0 conjunto dos pontos z tais que Iz - 3i l < 5 e 0 disco de centro Zo = 3i e raio 5; Iz + 31 > 7 e 0 complementar, ou exterior , do disco fechado Iz - (-3)1 :S 7 de centro -3 e raio 7; 0 conjunto dos pontos Z tais que Iz - 1/ 2 + il :S 2 e 0 disco fechado de centro Zo = 1/ 2 - i e raio 2; 12z + 4 - 3i l 2': 5 e 0 mesmo que Iz + 2 - 3i/21 2': 5/ 2, que e 0 exterior do disco de centro zo = -2 + 3i/ 2 e raio 5/ 2. A equa~ao Z = Q + reiB descreve 0 disco de centro Q e raio r, e variando 32 Capitulo 1: Numeros complexos 2. Prove que 0 conjunto vazio e aberto. (Portanto, 0 seu complemental', que e 0 plano todo, e fechado.) 3. Prove que qualquer uniao de conjuntos abertos e urn conjunto aberto. 4. De urn contra-exemplo para mostrar que uma uniao de conjuntos fechados pode nao ser urn conjunto fechado. -- 5. Prove que a interse<;ao de um numero finita de conjuntos abertos e um conjunto aberto. 6. Verifique que y > 2x - 3 e urn semiplano aberto; e que x ::::: 3y/ 2 + 1 e urn semiplano fechado. Represellte graficamente os conjuntos dados nos Exercs. 7 a 20. 7. Re z < - 3. 8. 1m z 2": 1. 9. Iz - 2i l > 2. 10. Iz + 11 S; 2. 11. Iz - 1 + il < 3. 12. z t 0 , 0 S; argz < 7f/3. 13. Iz l > 2, l argz l <7f. 14. 1 < Iz + 1 - 2il < 2. 15. Re(~) <~. 16. 13z - 2il S; 5. 17. Im z2 <0. 18. Re'z2 > O. 19. z t 0, I arg z3 1 < 27f/ 3. 20. Im z3 <0. Mostre que cada urn dos conjuntos dadus nos Exercs. 21 a 26 e uma reta. Fa~a os respectivos gnificos. 21. Iz - 21 = Iz - 3il · 24. Iz + 3 - il = Iz - 4il· 26. I(z - i)( l - i v'3J I = 12zl· 22. Iz + 51 = Iz - 1 - i l· 23. Iz - 1 + i l = 13 + i - zI. 25. Iz - 1 + il = 11 - iv'3 + zl· Identifique cada urn dos conjuntos de pontos dados nos Exercs. 27 a 30. Fa~ os respectivos gr81icos. 27. Iz - il + Iz + 21 = 3. 28. Iz - 2 + il + Izl S; 4. 29. Iz - 21 = 2Iz + 2i l· 30. Re (1 - zJ = 121.   Capitulo 1: Numeros complexos 33 RESPOSTAS E SUGESTOES 2. Observe que a proposic;ao x E ¢ ::::} x e ponto interior do conjunto ¢ equivale a x nao e ponto interior do conjunto ¢ ::::} x ¢ ¢ 4. Observe que a uniao dos discos fechados Izi ::;: 1 - l i n e 0 disco aberto Izi < L 15. Observe que Re(1/z) ~ Re(E/lzl ' ). 22. Mediatriz do segmento [- 5, 1 + i] . 26. Mediatriz do segmento [0, i ]. 27. Elipse de faeas i e - 2, excentricidade V5/ 3. .: : rt I 1. l z I l' . ]. c .../ Capitulo 2 FUNQOES ANALITICAS FUNQOES DE VARIA VEL COMPLEXA Vamos considerar fun~6es definidas em conjuntos complexos, assumindo valores complexos. Mais precisamente, seja D urn conjunto de ntimeros complexos e seja J uma lei que faz corresponder, a cada elemento z do conjunto D, um tinico ntimero complexo, que denotamos por J(z). Nestas condi~6es, diz-se que J e uma fun~ao com dominio D. 0 conjunto I dos valores w = J(z), correspondentes a todos os valores de z em D, e chamado a imagem de D pela fun~ao J (Fig. 2.1); z e chamada variavel independente, e w , a variavel dependente. Fig. 2.1 o leitor deve notar que para caracterizar uma fun~ao nao basta dar a lei de correspond en cia J; e preciso especificar tambem 0 dominio de defini~ao D. Entretanto, freqiientemente consideramos fun~6es dadas em termos de rela~6es analiticas bern definidas w = J (z) , sem especificar 0 dominio de defini~iio. Nestes casos, fica entao subentendido que 0 dominio da fun~ao e 0 conjunto de todos os valores z para os quais faz sentido a expressao Capitulo 2: Funqi5es analfticas 37 a definigao que damos a seguir. (Veja a Fig. 2.3.) Fig. 2.3 2.1. Defini<;iio. Seja Zo um ponto de acumulaqiio do dominio D de uma lunqiio I· Diz-se que 1 tem limite L com z tendendo a Zo se dado qualquer € > 0 existe 8 > 0 tal que ZED, 0 < Iz - zol < 8 =0> I/(z) - L I < 1':; ou ainda, de maneira equivalente: zE D n vt(zo) =0> I(z) E Vc(L). Escreve-se: lim I(z) = L. Z-Zo Sendo essa definigao formalmente a mesma que damos para fungoes reais, ela se reduz a este caso quando todos os nfuneros envolvidos sao reais . Por exemplo, a fungao I(x) = (senx)/x esta definida para todo numero real x # 0; e, como 0 lei tor deve se lembrar do seu curso de Calculo, lim senx = 1. x_Q X Este e urn exemplo tipico de fungao que tern limite num ponto sem estar definida neste ponto; ele evidencia bern 0 fato de que 0 limite L nada tern a ver com 0 valor da fun gao no ponto zo. Quando 0 ponto Zo pertence ao dominio de 1 e L = 1 (zo), dizemos que 1 e continua no ponto Zo e escrevemos: lim I(z) = I(zo)· z-tzo 38 Capitulo 2: Func;oes analiticas Neste caso nao h6. por que excluir 0 ponto z = Zo na defini~ao de limite. Com essa defini~ao de continuidade, a fun~ao que consideramos ha pOlleo} I(x) = senx x ' seria continua no ponto x = 0 se ela Fosse definida nesse ponto com valor 1(0) = 1. E por isso que se costuma estender a fun<;ao 1 aqui considerada, atribuindo-Ihe 0 valor 1 na origem. 2.2. Exemplos. Usando a Defini~ao 2.1, vamos mostrar que a fun<;ao I(z) = z + 3i 2 e continua no ponto Zo = 2 - i. Temos: I/(z) - l(zo)1 = Iz ~ 3i _ (1+ ill = Iz - ~ - i)l. Daqui segue-se que, dado qualquer ~ > 0, basta tomar 8 = 2~ para termos Iz - (2 - i)1 < 8 => I/(z) - l(zo)1 < c. (Observe que esta implica<;ao vale tambem no sentido inverso, mas nem sempre e assim, como veremos no Exemplo 2.3 adiante.) Se, ao inves da fun~ao 1 anterior, considerarmos a fun<;ao _ { 0 para z = 2 - i, g(z) - z + 3i -2- para z # 2 - i, o limite com z ..... 2 - i sera 0 mesmo que no caso da fun<;ao I, porem difer- ente do valor de 9 no ponto 2 - i. 2.3. Exemplo. Ainda usando a Defini~ao 2.1, vamos mostrar que lim (z2 + 3z) = -4 + 6i. Z_21 Capitulo 2: Funqoes analiticas 39 De fato , temos: I(Z2 + 3z) - (-4 + 6i)1 I(Z2 + 4) + 3(z - 2i)1 I(z - 2i )(z + 2i) + 3(z - 2i)1 Iz - 2illz + 3 + 2il ::; Iz - 2il(lzl + 131 + 12i l) Iz - 2il (lz l + 5). Como z £leani restrito a uma vizinhan~a de 2i, podemos, desde agora, supor Izl < 3, portanto, I(Z2 + 3z) - (-4 + 6i)1 ::; 81z - 2i l. Esta ultima expressao sera menor do que c, desde que Iz - 2i l < c/8. Isto parece indicar que, dado qualquer c > 0, basta tomar {; = 0/8; mas nao podemos nos esquecer de que z deve satisfazer a restri<;ao Izl < 3. Obser- vando a Fig. 2.4, vemos que esta condi<;ao £lcara satisfeita se tomarmos {; < 1. Para provar isto, usamos a desigualdade do triangulo, assim: Izl = I(z - 2i) + 2i l ::; Iz - 2il + 2::; {; + 2 < 1 + 2 = 3. Fig. 2.4 Concluimos que {; deve ser 0 menor dos numeros 1 e c/8, garantindo-nos o resultado desejado: Iz - 2il < {; "* l(z2 +3z) - (-4 + 6i)1 < c. 42 Capitulo 2: Func;i5es analiticas Poderiamos tambem ter simplificado urn pouco mrus, tomando Izl > 1, donde 21z1 - 1 > Izl; portanto, I ~ I 7 7 I (z ) - 2 :S 2(21zl - 1) < 21zl ' que e < c '* Izl > 7/ 20, de forma que, pondo M teriamos , como antes, Izl > M =? \t(z ) - ~i l < c. 2.7. Exemplo. Vamos provar agora que Z 2 - i I (z ) = ~- ---> 00 com z ---> 00. 3z +5 Com a restri"ao Izl > 5, teremos: max(l , 7/ 2c} , I/(z)1 = Iz2 - il > Izl2 - 1 > Izl2 - 1 > Izl2 - lzl2 /2 = l:.l 13z + 51 - 31z1 + 5 41z1 41z1 8 Dado K > 0, basta entao fazer Izl > 8K e Izl > 5 para termos I/ (z)1 > K , isto e, sendo M 0 maior dos numeros 5 e 8K, teremos: Izl > M =? I/ (z)1 > K. Como ilustram esses exemplos, para demonstrar , diretamente da defini- "ao de limite, que I (z) ---> L com z ---> zo, temos de obter uma desigualdade do tipo lJ (z ) -LI < K lz - zol. Conseguimos isto por meio de simplifica,,6es, a custa de desigualdades triangulares do tipo la + bl :S lal + Ibl em nume- radores , e do t ipo la + bl ~ lal - Ibl em denominadores. Evidentemente, neste ultimo caso e preciso que lal seja maior do que Ibl. Para obter uma desigualdade do tipo I/(z)1 > K , devemos inverter 0 usa das desigurudades triangulares. EXERCicIOS Estabelec;a, diretamente da definic;ao , os limites indicados nos Exercs. 1 a 9. Ca.pitulo 2: Punc;i5es ana.liticas 43 l. lim (z' - 5z) = -9 + 15i. 2. lim (2x + y') = 4. 3. lim4z + i =~ . :--3i z - 21 z-i z+ 1 l + t 4. r 7 z2 - 1 lim 6z + 7 = 3. lm-,- - = 00. 5. lim - - = 00. 6. z-i Z + 1 : - 00 z -3 :_00 2z -3 7. lim z + 1 = O. 8. lim Z3 - 3z 2 + 1 9. lim 6z + 7 = 3. z2+ 5z -3 = 00. :-00 z2- 7 ' - 00 :-i 2z -3 10. Senda a c b m'lmeros complexos constantes, prove que lim (az+ b) =azo +b e lim (az' +bz+c) = az5+ bzo +c. :-:0 :-:0 11. Prove que limz_zo az" = azo 1 aude a e uma constante complexa e n urn inteiro posit ivo. 12. Prove que urn polinomio de grau n, P (z) = anz" + a,,_l z ,,-l + ... + ao, a n =F 0, tende a 00 corn z -+ 00. 13. Prove que 0 quociente de dais polinomios t m m- I J(z) - amZ + am-lz ···+ ao b 4 - , am II ;- 0, b"zn + bn_ 1z,,-1 + .. . + bo tende a zero , a am I bn ou a 00, com z --+ 00, conforme seja m < n, m = n ou m > n , respectivamente. 14. Prove que a fun~ao w = Vz e continua em todo ponto z . 15. Prove que a func;ao w = lim l / z e continua em todo ponto z ¥- O. 16. Prove que a fun~ao w = lim l /{z - Cl:') e continua em todo ponto z I- Cl:'. 17. Prove que lim,_" J(z) = L => lim,_" IJ (z)1 = IL l. SUGESTOES 2. Lembre-se de que IRezl S Izi e IIm zl S Izl. Supondo, de inicio, Iz - zol < 1, prove que Ix l < 1 e Iyl < 3. Ent iio, 1(2x + y') - 41 12x + (y - 2)(y + 2)1 S 21xl + Iy - 21(lyl + 2) S 51x l + 51Y - 21 S 10 lz - 2il · 8. Observe que, sendo, digamos, Izl 2:: 5, entao, z 3 _ 3z' + 1 Izl3 - 13z' + 11 Izl3 - 31zl ' - 1 > Izl 3 - 31z13 / 5 - Iz13 / 5 = . I z, + 5z - 3 I 2: Izl' + 51z1 + 3 2: Izl' + 51z1 + 3 - Izl' + 51z l' + Iz l' 44 Capitulo 2: Fum;bes analiticas 11. Lembre-se de que z" - z{j = (z - zo)(zn-l + zn-2 Zo + ... + Z~-l). 12. Observe: Fa~a 0 ultimo parentese menor do que Ian 1/2. 14. Sendo Zo = roeiBo =/:- 0 e z = rei8 , as funlt0es Vz e Fo devem ser entendidas como () variando numa vizinhanc;a de 80 ; par exemplo, 18 - 00 1 < 7r/2. Observe que I JZ + v'Zol' = (JZ - v'Zo)( JZ - v'Zo) = T + TO + 2vrro cos[(9 - 90 )/2[ > TO , desde que se tome Iz - zol < 5 = TO. Fac:;a uma figura para entender 0 que se passa. 15. Observe que I ~ - ~ I - Iz - zo 1 < 21z - Zo 1 z zo - [zzol Izol" desde que Izl > [ZoI/2. Prove que isto acontece tomando Iz - zol < 6 = IZoI/2. PROPRIEDADES DO LIMITE As propriedades do limite, relativas aos limites da soma, do produto, do quo- ciente etc ., ja conhecidas no caso de fun<;6es de variaveis reais, permanecem vruidas para fun<;6es de variavel complexa, e sao estabelecidas como no caso de variavel real. E 0 que veremos agora. 2.8. Teor ema. Se J e g tem limites jinitos com z -> ZO (digamos, limJ = Fe limg = G), entiio lim IJ(z) + g(z)] = lim J(z) + lim g(z); z-- zo z~zo Z~Zo (2.1) lim [J(z)g(z)] = lim J(z) lim g(z); 2:-+%0 2:----Zo %-Zo (2.2) I· () ...L 0 t - Ii J(z) limz~zo J(z) se Im gz I ,enao m - -= . z~ zo z~zo g(z) limz~ zo g(z) (2.3) Capitulo 2: Fun~oes anaJiticas 47 Como u- U = Re(f -L) e v- V =Im(f -L), temos: lu - UI :s If - LI e Iv - VI :s If - L I Daqui e de (2.6) segue-se que zE D n V6(ZO) implica lu(x,y) - UI < 10 e Iv(x,y) - VI < 10, o que estabelece a condigii.o (2.5). Reciprocamente, supondo satisfeita a condigao (2.5), dado 10 > 0, existe 8 > 0 tal que zE D n V6(ZO) implica lu(x, y) - UI < 10/2 e Iv(x, y) - V I < 10/2. (2 .7) Combinando estas desigualdades com a desiguaJdade do triangulo, obtemos: If- LI = I(u - U) +i(v- V)I:s lu - UI + Iv - VI Daqui e de (2 .7) segue-se que zE D n V,(zo) implica 10 10 If(z) - LI < "2 + "2 = 10, que e a condigao (2.4). Isto completa a demonstragao. 2.13. Corolario. Uma fun~iio fez) = u(x, y) + iv(x, y) e continua num ponto Zo = xo + iyo se e somente se suas partes real e imagintiria forem continuas nesse ponto. EXERCICIOS 1. Prove que se as func;6es fez) e g(z) tern limites finitos com z -----+ 20 (OU Z ---t 00), entaD lim]/ (z) - g(z)] = lim/(z) -limg(z). 2. Prove que se fez) tem limite finito corn z ---+ Zo (ou Z ---t 00), entaD lim cf(z) = clim I(z), qualquer que seja a constante c. 3. Prove, por indu<;ao , que ,l~o L Cj!;(z) = L Cj ,~o /;(z), j=l j = i oude as coeficientes Cj sao constantes quaisquer. 48 Capitulo 2: Fuw;:oes ana1iticas 4. Prove a propriedade (2.2) do Teorema 2.8. 5. P r:ove a propriedade (2.3) do Teorema 2.8. 6. Prove que se fez) ---t 0 com z -----t Zo e g(z) e limitada Duma vizinhan<;a de Zo, entaD J (z) g(z) ---t 0 com z -----t Zo_ Enuncie e prove proposi<;ao analoga no caso z -----+ 00 em vez de z --+ Zo - 7. Prove que se fez) --+ 00 com z -----t Zo e Ig(z)1 > c> 0 Duma vizinhauc;a de 20, entao J(z)g(z) ---+ 00 com z --+ Zo _ Enuncie e prove proposi<;ao amiloga no caso z ---t 00 em vez de z -----jo zo o 8. Construa dois contra-exemplos, em ambos dos quais fez) ---+ 00 e /(z)g(z) ---+ 00 com z ---t zo , porem Dum dos quais g(z ) ---t 0 e no outro g(z) mio tern limite com z -----t Zoo Fac;a 0 mesma com z ---t 00 em vez de z --+ Zo . 9. Prove que urn polinomio e uma func;ao continua em todos os pontos; e que uma fUll(;ao racional (quociente de dois polinomios) tambem e continua, exceto nos zeros do denominador. Calcule os limites indicados nos Exercs. 10 a 14. 10. lim z3 - 27. z - i Z - 3 . (I+ Z)I /4_ 1 13. hm . .;:- 0 Z 15. Prove 0 Teorema 2.11. 3 8' 11. lim ~ z- -2 i z +2z ,. v'f+h - 1 12. h~ h . lim (1 + Z)I / 3 - (1 - Z)I / 3 . 14 . .;: .... 0 Z 16. Prove 0 Teorema 2.8, valendo-se de propriedades analogas para fum;oes reais de duas variaveis reais e do Teorema 2.12. SUGESTOES E SOLU<;OES 4. Observe que I/(z) g(z) - FGI I/ (z)(g(z) - G) + G(f(z) - F) I 'S I/(z)ll g(z) - GI + IGII/(z) - Fl. Seja D 0 dominio comum de f e 9 , ou D = D / n Dg . Existem numeros positiv~s M , 01, 02 e 63 t ais que zE D n viI (Zo) =? I/ (z)1 < M; zED n Vi, (zo) =? I/ (z) - F I < €/2IGI; zE D n Vi, (zo) =c} Ig(z) - GI < €/ 2M. Tome fJ = min {01 , 62 , 03} para obter: zED n vi (zo) =? I/ (z) + g(z) - (F + G)I < e. Capitulo 2: FUngoes analiticas 49 5. Considere primeiro 0 caso f Cz) == 1. Observe que 1 1 1 I Ig(·) - GI g(.) - G = IGlIg(z)1 e que numa vizinhan~a v", (' 0), Ig(')1 > IGII2. 12. Use a' - b' = (a + b)(a - b) com a = vT+/l, b = 1. 13. Use a" -b' = (a-b)(a3 +a'b+ab' +b3 ) coma = (l+z)" ', b= 1. 16. Escreva f = u + iv, 9 = U + iY, F = Uo + ivo e G = Uo + iVo. Entao, J + 9 - (F + G) = u + U - (UD + Uo) + i ]v + V - (vo + Vol], Jg - FG = etc. FUNQAO ANALITICA A defini~ao de derivada de uma fun~ao de variavel complexa e formalmente a mesma que no caso de fun~ao de variavel real. Seja I uma fun~ao cujo dominio e uma regiao R (conjunto aberto e conexo) e seja z urn ponto de R. Diz-se que I e derivavel no ponto z se existe 0 limite I . I(z + tl.z ) - I(z) 1m , Az~O tl.z ou, 0 que e equivalente, se existe lim I(w) - I (z). w _ z w - z Quando esse limite existe, ele define uma nova fun~ao de z, a derivada ou fun,iio derivada da fun~ao I , denotada por I'. Assim, j'(z) = lim I(z + tl.z) - I(z) . 6 2--t0 tl.z Observe que, para a existencia da derivada, 0 limite acima nao pode depender do modo como tl.z tende a zero ou w tende a z. Em particular, W pode tender a z ao longo de diferentes raios, todos com origem no ponto z (Fig. 2.6) e 0 limite deve ser 0 mesmo. 52 Capitulo 2: Fun,i5es anaiiticas fun~ao composta ou deriva~ao em cadeia: se 9 e derivavel no ponto z e J e derivavel no ponto g(z), entao J(g(z)) e derivavel no ponto z e :zJ(g(z)) = J'(g(z))g'(z). Todos esses teoremas e outros mais se demonstram como no caso de variaveis reais. A titulo de ilustra~ao , vamos demonstrar que se uma fun,iio J e derivavel num ponto zo, entiio J e continua nesse ponto. Como J e derivavel no ponto zo, a expressao J(z) - J(zo) _ J'(zo) = 9 z -Zo tende a zero com z ~ zo . Em conseqiiencia, 0 ultimo termo da expressao J(z) = J(ZO) + (z - zo)J'(zo) + (z - zo)g tende a zero com z ~ zoo Como 0 penultimo termo tambem tende a zero, passando ao limite obtemos 0 resultado desejado: limz~ zo J(z) = J(zo) . Chama-se fun,iio inteira a toda fun~ao que e analit ica em todo 0 plano. Os polin6mios sao os exemplos mais simples de fun~i5es analiticas. Eles sao fun~iies inteiras. A seguir vern as fun~iies racionais, definidas como 0 quociente de dois polin6mios. Estas sao analit icas em todos os pontos que nao anulam 0 denominador. Por exemplo , a fun~ao J(z) = (z + 2)(3z - 1)2 z(z - 3)(z + i)2 e analitica em todo 0 plano, excetuados os zeros do denominador, isto e, z = 0, 3, - i. EXERCICIOS 1. Prove que a soma de urn numero finito de fun<;oes analiticas e analitica e a derivada cia soma e a soma das derivadas das parcelas. 2. Prove que 0 produto de dUM funr;oes analiticas f e 9 e funr;ao analitica, com derivada (f g)' = l' 9 + f g'. Prove, pOl' indu<,;ao, a regra de derivalf8.0 de Leibniz: (fg) {n) = /n )g+nf{n- I)g' + n(n 2 -1) f {n - 2)g" + ... +fg{n) = t (n)t'n - i) g(j) ;=0 J Capitulo 2: Full/toes analiticas 53 3. Prove que 0 quociente de duas fun~Oes analiticas f e 9 num ponto z, cude g(z) =F 0, e fun~ii.o analftica e (f / g)' ~ (gI' - fg'} /9'. 4. Estabelec;a a regra de derivac;ao da func;ao composta, ou regra da cadeia: se 9 e derivave.l no ponto z e f e derivavel no ponto 9 (Z), entao / (g(z» e derivavel no ponto z e :J(9(Z}} ~ /(9(Z}}9'(z). Calcule as derivadas das fum;6es dadas DOS Exercs. 5 a 7. 5. f(z} ~ 1- z, + 4iz'; 6. f(z} ~ (z' - i}'(iz + I)'; 7. f(z} ~ z - 3i. z + 3t 8. Prove, por induc;ao, que (zn), = nzn - l, para todo inteiro positivQ n. 9. Prove que (Zll), = nz"-l vale tambem para os inteiros negativQs n. 10. Sendo z'" 0, prove que (l/z), ~ -l/z' . 11. Prove, por induc,;ao, que ~2c ~ (-Ifn! dz n z zn+l SUGESTOES 10. E preciso provar que a expressao 1 (1 1) 1 h h z + h - ~ + z, ~ z, (z + h) \.enc.e a'Lel:\;) CCt\\ h. ---'t \J. \)aQ.() E. ""> \), ~ \)!e6~o e:m:.on\'ro.t & '> \) e\.c. \)\)<&e!,\,e ~'\le Iz + hi ::>: Izl - Ihl > Izl/2, desde que se tome Ihl < Izl/2. AS EQUAQOES DE CAUCHY-RIEMANN Seja f = u + iv urna fun~ao derivavel num ponto z = x + iy. Entao, 0 quociente fez + ~z) - fez) ~z tern limite f'(z) com ~z --> 0, independentemente do modo como ~z tende a zero. Em particular, podemos fazer ~z tender a zero por valores reais ~z = k e, separadamente, por valores imaginarios ~z = it (Fig. 2.8). Obtemos, respectivamente, j'(z) = lim u(x + k, y) - u(x, y) + i[v(x + k, y) - vex, y)] k~O k 54 Capitulo 2: Fun<;oes anaJiticas e J'(z) = lim u(x, y + t) - u(x, y) + i[v(x, y + t) - v(x , y)]. t-O zt (x, y + t) . I I I I I I (x, y)----- (~:.. k, y) Fig. 2.8 De acordo com 0 Teorema 2.9 (p. 45) , a existencia desses limites im- plica a existencia, separadamente, dos limites das partes reais e das partes imagimirias das expressoes sob jimites, isto e, f '() l' u(x + k, y) - u(x, y) 'j' _v('-x--'+_k-'-,-.e,y):-------'v('-x'-', y,-,-) z = 1m + % 1m k~O k k~O k e f '() l' v(x, Y + t) - v(x , y) 'j' u(x, y + t) - u(x, y) Z=lffi -'l I m . t~O t t~O t Em conseqiiencia, as fun~6es u e v possuem derivadas parciais no ponto (x, y), e valem nesse ponto as seguintes rela<;6es: !'(z) = ov _ i OU oy oy 19ualando as partes reais e as partes imaginarias , obtemos daqui as chama- das eJIua<;oes de Cauchy-Riemann: au ox av oy e ou oy ov ox' (2 .8) A analise acima mostra que as equa.;6es de Cauchy-Riemann sao uma condi<;iio necessaria para a existencia da derivada de uma fun<;ao f. Mas Capitulo 2: Fun(oes anaiiticas 57 onde 03 e 04 tendem a zero com k2 + t 2 -+ O. Introduzindo a nota~ao tl.z = h = k + it e usando (2.10) e (2.11) , obtemos: f(z + tl.z) - j(z) tl.u + itl.v (kux + itvy) + i (kvx - ituy) tl.z h - h k t + -,;,(01 + i(3) + -,;, (02 + i(4 ) . Usamos agora as equa~iies de Cauchy-Riemann para substituir Vy e u y par U x e VX1 respectivamente. Assim , (2.12) Finalmente, observamos que Ik/hl ::; 1 e It/hi ::; 1, enquanto 01, 02 , 03 e 04 tendem a zero com tl.z = h -+ 0, de forma que, passando ao limite em (2.12) com h -+ 0, conciuimos que a derivada f'( z) existe e e dada por U x + ivx. lsto completa a demonstra~ao. Deixamos para os exercicios a tarefa de demonstrar 0 corolario seguinte. (Exerc. 1 adiante.) 2.16. Corohirio. Uma jun~iio com derivada zero em toda uma regiiio e constante; e e tambem constante uma funriio que s6 assume valores reais em toda uma regiiio; ou ainda, uma funriio cujo m6dulo seja constante numa regiiio. Cauchy-Riemann em coordenadas polares Veremos agora que as equa~iies de Cauchy-Riemann, quando escritas ern coordenadas polares , assumem a seguinte forma: au ar 1 av r ao e av ar 1 au r ao ' que e uma forma muito util em varias aplica~iies . (2.13) Urn modo de justificar essa forma das equa~iies de Cauchy-Riemann baseia-se no fato seguinte: em cada ponto P = (x, y) de coordenadas polares 58 Capitulo 2: Fun~oes analiticas (r, !J ) introduzimos urn sistema cartesiano P XY, de eixos P X e PY como indica a Fig. 2.10. Neste novo sistema, as equa~oes de Cauchy-Riemann assim se escrevem: au ax av ay e au ay av -ax' Como se vii, ax = ar e ay = ra!J. Substituindo acima, vern: au ar 1 av r a!J e y 1 au r a!J Fig. 2.10 x Para a demonstra~ao analitica das equa~6es (2.13), utilizamos as formulas de transforma~ao , x = rcos!J e y = rsen!J, (2.14) que definem implicitamente r e !J como fun~6es de x e y. Derivando-as com rela~ao a x , a btemos: - Daqui segue-se que ar a!J 1 = - cosO - rsen!J-ax ax ar ao 0= ax sen 0 + r cos I} ax' ar ao ax = cosO e ax sen I} r Capitulo 2: Fun,oes analiticas 59 De modo anaJogo, derivando (2 .14) em rela~ao a y, e resolvendo em rela~ao a Or / oy e 00/ oy, encontramos: or 00 cos e oy = sen 0 e oy r de sorte que o ora aoa a sene a Ox = ax ar + ax ao = cose or - -r-ao ' a aro aoo a coso a oy = ay ar + ay 00 = sen 0 ar + -r- ao . Substituindo em (2.8), obtemos: cos 0 ou _ sen 0 ou = sen e ov + cos 0 ov ~ r 00 ~ r 00 e sen Oau + cos e ou = _ cosOav + sen 0 av ar r ao ar r ae Multiplicando a primeira destas equa~6es por cos e e a segunda par sen e e somanda-as, obtemos a primeira equa~ao em (2.13). Analogamente, mul- tiplicando a primeira equa~ao acima par sen 0 e a segunda par - cos 0, e somando-as, obtemos a segunda equa~ao em (2.13). Interpreta~ao geornetrica As equa~6es de Cauchy-Riemann tern urn significado geometrico interes- sante, expresso no tearema seguinte. 2.17. Teorerna. Se f=u+iv e analitica numa regiao R , entao as CUTVas das fam.?ias U(x, y) = const . e v(x, y) = const. se crvzam em angulo reto em todo ponto Zo = xo + iyo onde !,(zo) # o. Demonstm,ao. De fato, como 0 vetor grad u = (ux, uy ) e normal it curva u(x, y) = u(xo, YO) no ponto (xo, yo), 0 vetar (u y , -ux) e tangente, pois esses dois vetores sao ortogonais (Fig. 2.11): (ux , uy ) . (u y , - u x ) = uxuy - Uyux = o. 62 Capitulo 2: Fun,oes analiticas [0, 27r). Entao, p permanecera fixo e 0 ponto w descrevera um circulo de raio p, centrado na origem. Para x = 0 esse drculo tem raio unitario; para x > 0, ele e exterior ao clrculo unitario, e para x < 0, ele e interior. Essas observa~6es comprovam, no caso da fun~ao exponencial, 0 que dis- semos ao final da subse~ao anterior (veja 0 Exerc. 13 adiante): as irnagens das farnilias de retas coordenadas x = const . e y = const. sao ortogonais. Vemos tambem que toda a faixa do plano complexo z, dada por 0 :0; y < 27r, e levada, de maneira biunfvoca (Exerc. 14 adiante) sobre 0 plano complexo w, excIuida a origem deste plano. Como eZ e peri6dica de periodo 27ri, qualquer outra faixa 2k7r <::: y < 2(k + 1)7r e transformada exatamente como a faixa 0 :0; y < 27r, no plano w com a origem excluida. EXERCicIOS 1. 2. Prove 0 Corohirio 2.16. Mostre que as equac;oes de Cauchy-Riemann sao equivalentes a carla uma das fafmas seguintes: af .af -= -1.- e Bx By Use as equac;oes de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de eada uma das func;oes dadas nos Exercs. 3 a 10, qual e analitica e em que dominio. Ern caso positivo, calcule a derivada l' (z). (Observe que esta derivada, quando existe, e dada por 8J /ax.) 3. w = z3. 4. W = eZ 5. w=z 6. w = l i z 7. W= (eV +e- il )senx+(eY -e- lI ) cosx. 8. w = eY(cosx + isenx). 9. w = e- lI (cosx + isenx). 10. w =.fi = vr[(cos(8/ 2) +isen(8/ 2)J. 0 < 8 < h. 11. Dada a fuo.;ao w = Z2 = U + iv, fac;a 0 grafico das curvas das 'famflias u(x, y) = Cl e vex , y) = C2 , para diferentes valores das constantes Cl e C2, e observe que essas curvas se cruzam em cingulo reto. 12. Fac;a 0 mesmo para w = l i z. 13. Dada uma fun~ao w = fez ), analitica numa regiao R, considere as seguintes famflias Fl e F2 de curvas do plano W J parametrizadas par x e por y , respectivamente: PI: U = u(x , yo) , v = v(x. yo) e p,: U = u(xo . y) . v = v(xo. y). Prove que ern cada ponto f(zo), onde t(zo) :f:. 0, essas curvas se cruzam ortogonal- mente. Fa~a urn grafico. Capitulo 2: Fun9i5es analiticas 63 14. Mostre que a funr.;ao eO: e injetiva em qualquer faixa horizontal do plano, dada por a$y<o:+27r. 15. Vimos que a exponencial e uma func;ao w = fez) = u+it" analitica em todo 0 plano e tal que!, (z) = I(z) e 1(0) = 1. Prove que existe uma e uma so fun~iio satisfazendo estas condic;6es, de forma que a func;ao exponencial pode ser por elas definida. (Su- gestiio: U x = 1£ e Vx = v sao equac;6es dife renciais ordinarias de I!!: ordem em x, cujas solu<;Oes sao u = geX e v = he%: I code 9 e h sao constantes em relac;ao a XI portanto, pod em depender de y. Use as equac;oes de Cauchy-Riemann e obtenha gil + 9 = 0 e h" + h = O. Daqui e de 1(0) = 1, segue-se que g(y) = cosy e h(y) = seny.) AS FUNQOES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS Vamos introduzir agora as fun~6es trigonometricas e hiperbolicas. Come~a­ mos observando que das rela~6es eiy = cosy + iseny e e-iy = cosy - iseny decorrem as seguintes f6rmulas de Euler: seny = e cosy = Elas sao usadas para estender as fun~6es trigonometricas a todo 0 plano complexo. Assim, definimos: sen z = senz tgz = - -, cosz 2i CDSZ cotz= - - , senz As conhecidas formulas de deriva~ao, cosz = 2 1 1 secz = --, cscz = - -. cosz senz (sen z)' = cosz, (cosz)' = -sen z etc., seguem das defini~6es acima e de (ez )' = eZ • As identidades trigonometricas familiares permanecem todas vaJidas no campo complexo. Assim, sen (- z) = -sen z, cos( -z) = cos z, 64 Capitulo 2: Fun~oes analiticas sen2z + cos2 z = 1, sen(zl + zz) = sen Zl cos Zz + COSZl sen Zz, COS(ZI + Z2) = COSZl COSZ2 - sen Zl senZ2, senz=cos(~-z) e cosz=sen (~-z). As duas primeiras dessas identidades sao conseqiiencias imediatas das defini~oes de seno e co-seno, e as demais seguem dessas defini~oes e das propriedades da fun~ao exponencial (Exercs. 4 a 7 adiante). As fun~oes hiperb6licas, seno e co-seno, sao definidas, como no caso de variaveis reais, pelas seguintes expressoes: eZ _ e- z senhz = 2 ' COll10 se Ve , seus valores sao reais para valores reais de z . Elos surgcm natu- ralmente quando se procura separar as partes real e imaginaria das fun~6es senz e cosz (Exercs. 9 e 10 adiante). It faeil ver que (senhz)' = coshz e (cosh z)' = senhz. EXERCicIOS 1. Mostre que os zeros de sen z e cos z sao clados, respectivamente, pelas express6es Z = n7r e z = (n + 1/ 2)1l", n inteiro. Determine os dominios maxirnos de defini't3.o das fuoc;oes tgz, cotz, secz e cscz. 2. Mostre que sen z e cos z sao func;oes peri6dicas de perfodo 211 , como no caso reaL 3. Prove que cosh z e senh z sao fuw;oes peri6dkas de perfodo 21Ti. Estabelec;a as identidades dadas nos Exercs. 4 a 16. 4. sen2 z + cos2 Z = 1. 5. sen(zl + Z2) = sen 2, cos 22 + COS ZI sen 22. Sugestiio: comece peiD 22. membra. 6. cos( Zl + Z2) = cos Z\ cos Z:z - sen Zl sen Z2. 7. senz=cos(i--z) e cosz = sen(i--z). Capitulo 2: Fum,i5es analiticas 67 Fig. 2.14 Usando as equa~6es de Cauchy-Riemann na forma polar, e facil verificar que qualquer ramo do logaritmo e urna fun~ao analitica em seu dominio (do qual se exclui 0 raio que produz 0 corte, para que 0 dominio seja urn conjunto aberto). Vamos calcular sua derivada: d log z 8 . (8T 8 8e 8 ) . ---;J;- = 8x (log r + ,e) = 8x 8r + 8x 8e (log r + ,e). Substituindo os valores 8r/ 8x = cose e 8e/ 8x = - sene/ r (ja obtidos na p . 58), efetuando os calculos e simplificando, obtemos: dlog z 1 dz z o logaritmo como transforma~iio e sua inversa E facil ver que qualquer ramo do logaritmo e uma fun~ao univalente e inje- tiva, definida em todo 0 plano z, exceto z = 0, e tendo como imagem toda uma faixa horizontal do plano w ; e a totalidade dos ramos, z = re iO , w = u + iv = log z = log r + i(} , cobre todo 0 plano w. Os raios e =const . do plano z vao nas retas. hori- zontais v =const. do plano w; e os circulos r =const. sao levados nas retas verticais u = const. (Fig. 2.15) . (Compare esta figura com a Fig. 2.13, p. 61.) 0 circulo r = 1 tern por imagem 0 eixo imaginario u = 0; os circulos com r < 1 vao nas verticais it esquerda desse eixo, e os circulos com r > 1 vao nas verticais it direita do mesmo eixo. Note que a ortogonalidade das 68 Capitulo 2: Funqoes analiticas curvas u(x , y) =const. e v(x , y) =const. era de se esperar , de acordo com a interpreta~ao geometrica das equa~oes de Cauchy-Riemann (p. 59). y v .T o u Fig. 2.15 Observe que a ramo principal leva 0 plano complexo z Ie 0 na faixa o :S v < 27r do plano w ; e, em geral, 0 ramo k-esimo leva 0 plano z Ie 0 na faixa 2k7r :S v < 2(k + 1)7r do plano w. Assim, qualquer ramo do logaritmo e uma fungao univalente e injetiva, definida em todo a plano, exceto z = 0, e tendo como imagem uma faixa horizontal do plano w . Mostremos, finahnente, que a fun~ao exponencial e qualquer ramo do logaritmo sao fungoes inversas uma da outra, desde que 0 dominio da ex- ponencial seja a faixa horizontal de largura 27r que e imagem do logaritmo. (Veja 0 que dissernos na p. 62 e a Fig. 2.13. ) Para isso , consideremos a ramo w = logk Z = logr + i(1I + 2k7r ), O:S II < 27r. Pondo z = reiB , teremos: e logk exp[log r + i(1I + 2k7r) ] logk(rei6) = logk z = logr + i(1I + 2k7r) = w. Capitulo 2: Fuu90es auaiiticas 69 Isso prava 0 resultado desejado. Propriedades do logaritmo A formula (2.15) permanece valida, desde que corretamente interpretada. Com efeito , sendo ZJ = rl ei fh e Z2 = r2eiB2, temos: log Zj + log Z2 [Iogr\ + i (lI\ + 2k\7f) + logr2 + i(1I2 + 2k27f)] log(rJr2) + i[(I1\ + 112) + 2(k\ + k2)7f], (2.16) oude kj e k2 sao inteiras arbitrarios. Esta ultima expressao e a forma geral de log(zj z2), se kj e k2 forem independentes um do outro. Neste caso, a Eq. 2.15 e valida com 0 seguinte significado: a canjunto dos valores passiveis de log(zjz2) coincide com a conjunto dos valores possiveis de log Zl + log Z2. Se k\ e k2 niio forem independentes, como e 0 caso em que Z\ = Z2 = Z = rei B e a (2.15) se reduz a log z2 = 2log z, (2.17) entao 0 segundo membra de (2.17) se reduz a logr2 + i[(211) + 2(2k)7fJ onde k e arbitrario. Neste caBO, qualquer valor do segundo membra de (2.17) e urn valor do primeiro membro, mas naG reciprocamente, como e facil ver. Observa<;6es analogas se aplicam nos casos IOg(Zl ... zn) = log Z\ + ... + log Zn e log zn = n log z, cujas demonstra<;6es ficam a cargo do lei tor nos exercfcios. Esta ultima rela<;ao, por exemplo, significa que todo valor de n log Z e urn valor possivel de log zn , mas nao recipracamente. 72 Capitulo 2: Flmqi5es ana1iticas As fungoes trigonometricas inversas As fun~6es inversas das fun~6es trigonometricas exprimem-se facilmente em termos do logaritmo. Consideremos, por exemplo, a fun~ao w = arc cos z , definida por z = cos w, ou seja z= 2 Multiplicando por eiw , reduzimos esta equa~ao it forma donde e, finalmente, w = arccosz = -ilog(z + i~). Temos aqui uma fun~ao multivalente, cujos ramos particulares sao obti- dos considerando ramos particulares de ~ e do logaritmo que ai aparece. A derivada da fun~ao arc cos z pode ser ca1culada facilmente a partir da expressao acima, com a ajuda da regra da cadeia. Temos: ( ) ,. (z + i/f=Z2), arccosz = -, ~ z + iy 1 - z2 -1 /f=Z2' As demais fun~6es inversas, trigonometricas e hiperb6licas, sao obtidas de maneira analoga. Observamos que as nota~6es COS- I z, sen- 1 z etc. sao freqiientemente usadas em lugar de arc cos z, arc sen z etc. Elas nao devem ser confundidas com (cos z)-l, (sen Z) - l etc. Capitulo 2: Func;i5es analiticas 73 EXERCicIOS 1. Demonstre que log .:!. = log 21 - log Z2 , DO sentido de igualdade de conjuntos de va-z, lares, como em (2.15). 2. Defina os [amos do iogaritmo a partir de urn corte ao longo do sem i-eixo real negativo, - 'If ~ () < II I e identifique as imagens do plano z pelos varios ramos obtidos. 3. Mostre que log( -1 ) = (2k + 1)".i e logi = 4k: l 1ri, k = 0, ± 1, ±2, . 4. Mostre que, seuda x =I 0, log(x + iy ) = ~ log(x' + y') + (90 + 2krr)i, aode Bo e uma das determina<;Oes de arctg(yJx). Se x = 0, entao y '" 0 e (Jo pade ser tornado igual a ±7T / 2, con forme seja y > 0 ou y < 0, respectivamente. Determine tadas as raizes das equac;oes dadas nos Exercs. 5 ala. 5. e. z = -1; 6. e2:. = -e. 7. e' = - V3 + 3i. 9. e3 z - 4 = - 1. 10. log z = ".i/ 2. 11. Mostre que, uma vez fixado 0 argumento da constante c i=- 0, a func;ao w CZ e analit ica, com derivada (CZ y = CZ log c. 12. Estabelec;a as seguintes propriedades das potencias: onde z #- 0 e a e b sao numeros complexos quaisquer. 13. Demonstre que Iz"l = Iz!,", oude z ::j:. 0 ere urn mlmero real qualquer. 14. Mostre que todas as determinac;oes de ii sao reais e dadas por .1 -(4k + l)rr t=exp 2 ,k = O, ±l, ±2, ld 15. Calcule todas as determinat;Oes das seguintes potencias: (1+ i)I; (1 - i) '; (v'3 + i) ' ; (I - iV3)' . 1 16. Mostre que arcsen z = -i log(iz + J'l="ZZ), e que (arcsenz)' = "==i' Jf"=Z'. 17. 18. i i+z f 1 Mostre que arctgz = -2Iog-.-- , e que (arc tg z) = -1--'. t - z + z Determine todas as raizes da equac;ao cos z = 3. 19. Determine todas as raizes da equac;ao sen z = 3.   74 Capitulo 2: Fun<;oes ana1iticas RESPOSTAS E SUGESTOES 1. Z = Zl/Z2 <=> Zl = ZZ2. 8. Equa~ao do 2Q grau para eZ • 18. z = 2k7r - ilog(3 ± 2v2), onde k = 0, ±1, ±2 , . " lft z t/ I · c;:a 2 ::. 1 l ' l .. Capitulo 3: Teoria da Integral 77 Fig. 3.3 Teorema de Jordan e conectividade simples De acordo com 0 chamado teorema de Jordan, toda curva fechada sim- ples C divide 0 plano em duas regi6es, tendo C como fronteira comum, uma das quais , chamada 0 interior de C, e lirnitada. 0 teorema afirma tamb€m que 0 interior de C possui uma propriedade adicional, chamada conectividade simples. Intuitivamente, diz-se que uma regiao R e simples- mente conexa se qualquer curva fechada simples contida em R po de ser deformada continuamente ate reduzir-se a urn ponto, sem sair de R. A Fig. 3.4 ilustra duas regi6es conexas A e B, das quais A e simplesmente conexa, mas nao B; esta possui urn "buraco" que destroi a conectividade simples. Chamaremos de multiplamente conexa toda regiiio conexa que nao for simplesmente conexa. Fig. 3.4 o teorema de Jordan e de facil compreensao, mas seu tratamento rigo- roso e delicado e esta fora de nossos objetivos. 78 Capitulo 3: Teoria da Integral Areo regular e eontornos o conceito de arco continuo e muito geral e inclui objetos complicados, que em nada se parecem com figuras geometricas simples, como urn arco de cfjrculo, uma parabola, uma senoide etc. Em nossas considera<;oes, nao necessitamos senao da ideia de arco regular, assim entendido 0 arco cuja representa<;ao (3.1 ) e tal que a derivada z' (t) = x' (t)+iy' (t ) existe, e continua e nao se anula. Tal arco possui tangente em cada ponto, cujo lingulo com o eixo Ox e dado por arg z'(t ), 0 qual varia continuamente com t. Mesmo urn arco regular pode exibir comportamento surpreendente; consideremos, como exemplo, 0 arco regular dado por z(O) = 0, Este arco secciona 0 eixo Ox numa infinidade de pontos tendo a origem como ponto de acumula<;ao (Fig. 3.5). , , Fig. 3.5 Chamaremos contomo ou caminho a todo arco continuo formado por urn numero finito de arcos regulares. Mais precisamente, urn contorno C tern representa<;ao parametrica dada por uma fun<;ao z = z(t ), continua num intervalo [a, b]' uniao finita de subintervalos [aj, bj]' j = 1, ... , n , tais que al = a, bl = a2, b2 = a3,"" bn- l = an, bn = b (Fig. 3.6a); e em cada urn dos intervalos abertos (aj, bj) a derivada z' (t) e continua, diferente de zero e tern Iimites laterais finitos e diferentes de zero com t tendendo aos Capitulo 3: Teoria da Integral 79 extremos de cada intervalo por valores interiores a ele, !imites esses que co- incidem com z' (aj +) e z' (bj - ), respectivamente. Isto significa que z' (t) e func;ao seccionalmente continua no intervalo [a, bJ (Fig. 3.6b). a, b, a3 a" b" I I I I a a 2 b2 b b zeal "-, z(b) (a) (b) Fig. 3.6 EXERCfcIOS Identifique as curvas ou arcos de equ~oes dadas nos exercicios seguintes. 1. z = 3t + it2 , -00 < t < 00. 2. z = 3t2 + 5it , - 00 < t < 00. 3. z=r(cost+isent) -~:St ::;7r ' r>O. 4. z=t+ it , l::;:t <oo. 2i 5. z = t + t ' -00 < t < O. 6. z =t+iv'T"=!', - 1 0' to' 1. 7. z = t - iv'T"=!', - 1 St 0' 1. 8. z = t + iv' l + t' , - 00 < t 0' O. 9. z = v'f+t'I + t, 0 0' t < 00 . INTEGRAL DE CONTORNO Seja F(t) = U(t) + iV(t) uma func;ao continua da variavel real t nUID inter- valo [a, bJ. Sua integral e definida em terIDOS das integrais das func;6es reais U e V, mediante a expressao l F (t)dt = l U(t)dt + i l V(t)dt. (3.2) 82 Capitulo 3: Teoria da Integral E devido a essa invariancia que se toma desnecessario explicitar a repre- senta~ao parametrica do contomo C: a nota~ao do primeiro membro de (3.7) tem significado unico e preciso. Convem observar tambem que as integrais curvilineas tratadas na teoria . das fun~6es reais das variaveis reais x e y podem ser definidas de modo analogo a (3.7). Assim, temos: 8 , em geral , k P (x , y )dx = l P (x(t ), y (t)) x'(t)dt , k Q(x, y )dy = l Q(x(t ), y (tll y'(t)dt, k Pdx + Qdy = l rp (x(t)) , y (t ))x'(t ) + Q(x( t l, y(t))y'(t)Jdt, Vemos entao que a integral definida em (3.7) pode ser escrita em termos de integrais curvilineas, assim: r J( zldz = r udx - vdy + i r vdx + udy. lc lc .k Propriedades da integral A linearidade da integral, expressa por k rJt (zl + h(z)Jdz = k Jt(z)dz + k h(zldz, (3.9) e k cJ(z) dz = C k J(z)dz, (3.10) onde c e uma constante (complexa, em geral), e de facil veri.fica~ao e fica a cargo do lei tor. E facil verificar tambem que se um contomo C e formado por um con- tomo C1 seguido de um contorno C2 - escrevemos C = C1 U C2 -, entao a integral sobre C e a soma das integrais sobre C1 e C2 . Esta propriedade se generaliza facilmente para um nUm.ero finito de contornos: klU.UC, J(z)dz = kl J (z) dz + ... + k, J (zldz. (3.11) Capitulo 3: Teoria da Integral 83 Daqui segue-se que a integral ao longo de urn contorno fechado e in- variante por t ranslac;ao do parametro. De fato , uma tal translac;ao apenas muda 0 ponto inicial (e final ) de urna posic;ao ZI para uma posic;ao Z2, como se ve na Fig. 3.7; designando por CI 0 trecho de C que vai de ZI a Z2 e por C2 0 trecho restante, teremos: { J(z)dz = { J(z)dz = { J(z)dz, JCIUC2 lc } C2UC1 que prova a invariancia da integral. c, c, Fig. 3.7 A propriedade j J(z)dz = - { J (z) dz -c Jc e dernonstrada assirn: comec;amos observando que - C = {z = Zl (t ) = z( - t) : -b <:: t <:: - a} , donde obtemos: z; (t ) = - z'( - t); portanto, j . J(z)dz = j-a J (zl(t))z;( t )dt = _j-a J( z(-t))z'(-t )dt. -c -b - b Finalmente, pondo T = - t, teremos: j J(z) dz = {a J (z( r ))z'(T)dr = _ {b J (Z(T))z'(T)dr = - { J(z )dz , -c Jb Ja Jc 84 Capitulo 3: Teoria da Integral que e 0 resultado desejado. Outra propriedade de importancia fundamental e a desigualdade lfa f(z)dz l ::; fa If(z)lldzl, (3.12) onde a integral do segundo membro significa 1b If (z(t ))llz'(t)ldt. (Note que a < b.) Essa propriedade segue de (3.6) , pois lfa f(z)dz l = Il f(Z(t))Z'(t)dt l ::; llf(z(t))z'(t)ldt = llf(z(t))llz'(t)ldt = llf(z)lldzl. Uma importante propriedade das fungoes continuas, cuja demonstragao depende de urn argumento de compacidade, e que e feita em cursos de Analise, afirma que se f Ii umafun9ao continua sabre um area C, entao exis- te uma constante M tal que If(z)1 ::; M para todo z E C. Daqui e de (3.12) obtemos a seguinte desigualdade, de grande importancia nas aplicagoes: lfa f (z) dz l ::; M J Idzl = ML, onde L e o comprimento do contorno C, isto e, 3.1. Exemplo. Vamos calcular a integral de f (z) = z ao longo dos tres contornos indicados na Fig. 3.8: OC, OAC e OBC, on de 0 = (0, 0) , A = (1, 0) , B = (0, m), C = (1, m), e meum numero real qualquer, digamos, m > O. 0 contorno OC e dado por z(t ) = t + imt, 0 ::; t ::; 1, de forma que r zdz = r1 (t _ imt)( 1 + im)dt = 1 + m 2 Joe Jo 2 o contorno OAC pode ser representado por z(t) = t , com 0 ::; t ::; 1 e z(t) = 1 + im(t - 1), com 1 :S t ::; 2; ou , ainda, podemos considerar OAC