Baixe 01. Matrizes II Seme 2013 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Universidade de Taubaté – UNITAU Álgebra Linear -- Prof. Armando Aulas II Semestre 2013 Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes 1 MATRIZES Definição: Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n toda tabela A, formada por números reais distribuídos em linhas e colunas. Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes na forma genérica e letras minúsculas para indicar seus elementos. 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Como a forma genérica é bastante extensa, a matriz será representada abreviadamente por: mxn ( )ij mxnA a= Os elementos da matriz A são indicados por , onde: ija { } { }nj mi ,...,3,2,1 ,...,3,2,1 ∈ ∈ O elemento é representado por dois índices, onde o primeiro, i, representa a linha, e o segundo, j, indica a coluna às quais o elemento pertence. Assim temos: ija ija 11a (lê-se: a um um) elemento localizado na 1ª linha e 1ª coluna → 32a (lê-se: a três dois) elemento localizado na 3ª linha e 2ª coluna → Representamos uma matriz colocando os números entre parênteses, colchetes, ou barras duplas. A ordem ou tipo da matriz é determinado pelo número de linhas e pelo número de colunas. Exemplo: 2 3 3 5 1 7 1 0 x −⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ , 2 3 3 5 1 7 1 0 x A −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ou 320 1 17 53 x A − − = Matriz Quadrada Chama-se matriz quadrada aquela em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplo: 2275 62 x B − − = matriz quadrada de ordem 2 matriz quadrada de ordem 3 33591 340 2111 x C ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− = Os elementos de uma matriz quadrada, em que iija j= , formam uma diagonal, denominada diagonal principal. A outra diagonal será chamada de diagonal secundária. (os elementos são tais que: ). ija 1i j n+ = + Universidade de Taubaté – UNITAU Álgebra Linear -- Prof. Armando Aulas II Semestre 2013 Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes 2 Veja: Dada a matriz A, de ordem 3, , devemos saber que: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 675 303 5 21 A3 • O subscrito 3 indica a ordem da matriz; • A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6; • A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5; • Observe que: 11a = – 1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1; • Observe que: 31a = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1. Matriz Linha É aquela que possui somente uma linha. Exemplo: ( ) 31512 xD −= Matriz Coluna É aquela que possui somente uma coluna. Exemplo: 140 1 2 3 x E = Matriz Nula É aquela em que todos os seus elementos são iguais a zero. Exemplo: 2200 00 x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Matriz Identidade É uma matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 (um) e os demais elementos são iguais a 0 (zero). Representa-se a matriz identidade por . nI Exemplo: matriz identidade de ordem 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 10 01 2I 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I = matriz identidade de ordem 3 Universidade de Taubaté – UNITAU Álgebra Linear -- Prof. Armando Aulas II Semestre 2013 Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes 5 Assim: ( ) ( ) ijijmxnijmxnij baba =⇔= Exemplo: 9) Dadas as matrizes e , calcular x e y para que ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 110 52 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+ = 15 3 yxyx B tBA = . OPERAÇÕES COM MATRIZES 1. Adição e Subtração A adição ou a subtração de duas matrizes A e B, do mesmo tipo, é efetuada somando-se ou subtraindo-se seus respectivos elementos. Exemplo: 10) Sendo 12 34 − =A e 75 21 − =B , calcule: a) A + B b) A – B • Matriz Oposta Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz –A cujos elementos são os simétricos (opostos) dos elementos correspondentes de A. Exemplo: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − =−⇒⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 76 52 76 52 AA 2. Multiplicação de um número real por uma matriz Para multiplicar uma matriz por um número real, basta multiplicar todos os elementos da matriz pelo número, e o resultado é uma matriz de mesma ordem. Dada uma matriz ( )ijaA = e um número real , chama-se produto de por A a matriz k k ( )ijbB = , onde . . ij ijb k a= Exemplo: 11) Calcular: 4 10 8 1 . 20 6 6 2 2 0 20 −⎡ ⎤ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ EXERCÍCIOS 12) Calcule x e , sabendo que . y ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + 16 7 3 32 yx yx Universidade de Taubaté – UNITAU Álgebra Linear -- Prof. Armando Aulas II Semestre 2013 Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes 6 Dadas as matrizes , e , calcule: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 52 30 A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 10 42 B ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 06 24 C 13) A + B 14) A – C 15) B + C + A 16) Dada a matriz , obtenha a matriz ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 210 432 011 A X tal que tAAX += . 17) Ache m, n, p e q, de modo que: . ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 51 87 3 2 qq nn pp mm 18) Dadas as matrizes e , calcular a matriz X, tal que ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 5 2 3 A ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 2 4 1 B 0=+− BAX . 19) Sejam ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 81 1log27 16 1 3 2a A e . Determine a,b e c para que ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ca B b 3 92 BA = . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Dada uma matriz ( ) mxnij aA = e uma matriz ( ) nxpij bB = , denomina-se produto de A por B a matriz ( ) mxpij cC = tal que o elemento é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j- ésima coluna de B. ijc A operação de multiplicação é efetuada multiplicando-se linha por coluna, isto é, cada elemento de uma linha é multiplicado pelo elemento correspondente de uma coluna e, em seguida, os produtos são adicionados. Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B, e o produto AB tem o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B. mxnA . = nxpB ( ) . mxpA B Exemplos: Determinar o produto entre as matrizes dadas abaixo: 20) 9 7 1 2 3 . 0 8 4 5 6 ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ Universidade de Taubaté – UNITAU Álgebra Linear -- Prof. Armando Aulas II Semestre 2013 Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes 7 21 22) Resolver a equação matricial: ) ( ) 0 1 2 3 . 2 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ [ ] 2 4 6. 1 2 3 1 2 3 X ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ EXERCÍCIOS Dadas as matrizes abaixo, encontre a matriz resultante do pr duto entre elas: 23 ⎞ ⎟ ⎠ 24 25 26 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 27) Dadas as matrizes e , calcule o ) 5 3 3 . 1 4 2 −⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ ) ( ) 2 1 3 5 . 0 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ) ( ) 3 2 . 0 3 2 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ) 1 0 0 2 2 1 1 1 0 . 1 2 2 0 1 1 2 1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= 43 11 02 A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− = 010 321 B ( ) ( )BABA ttt −+ . 8) Considere as matrizes e ( )ijbB =( )ijaA =2 , quadradas de ordem 2, com e . , determ 29) Resolva a equação ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . MATRIZ INVERSA jiaij 43 += jibij 34 −−= Sabendo que BAC += ine 2C . 1 0 0 3 2 1 0 . 8 1 3 2 11 X ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜=⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝