Cinética com catálize enzimática e o método de adams-bashford com dois passos, Notas de estudo de Engenharia Militar

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ACADEMIA MILITAR Direcção de Ensino Trabalho de Investigação Individual (TII) realizado no âmbito da Unidade Curricular N126 — Matemática Computacional CINÉTICA COM CATÁLISE ENZIMÁTICA E O MÉTODO DE ADAMS-BASHFORTH COM DOIS PASSOS AUTOR: Cadete-Aluno Engenharias nº339 André Gonçalves Gomes PROFESSOR: (Doutor) Cezar Fernández LISBOA, JUNHO DE 2013 ACADEMIA MILITAR Direcção de Ensino Trabalho de Investigação Individual (TIN) realizado no âmbito da Unidade Curricular N126 — Matemática Computacional CINÉTICA COM CATÁLISE ENZIMÁTICA E O MÉTODO DE ADAMS-BASHFORTH COM DOIS PASSOS AUTOR: Cadete-Aluno Engenharias nº339 André Gonçalves Gomes PROFESSOR: (Doutor) Cezar Fernández LISBOA, JUNHO DE 2013 LISTA DE ABREVIATURAS, ACRÓNIMOS E SIGLAS P PVI- Problemas de Valor Inicial Q R RNA - Ribonucleic acid TI. — Trabalho de Investigação Individual Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos iii Índice geral EPÍGRAFE... LISTA DE ABREVIATURAS, ACRÓNIMOS E SIGLAS.... ÍNDICE GERAL... ÍNDICE DE ILUSTRAÇÕES RESUMO... ABSTRACT... CAPÍTULO 1 — ENQUADRAMENTO TEÓRICO....... 1.1 INTRODUÇÃO . 1.2 DELIMITAÇÃO DE ABORDAGEM. 1.3 PERGUNTA DE PARTIDA, PERGUNTAS DERIVADAS E HIPÓTESES DE INVESTIGAÇÃO 1.4 REVISÃO DE LITERATURA E QUADRO DE REFERÊNCIA... CAPÍTULO 2 - COMPREENSÃO DO PROBLEMA... 2.1 CONTEXTUALIZAÇÃO 2.2 CINÉTICA DA CATÁLISE ENZIMÁTICA... 221 Enzima. 2.2.2 Catálise Enzimátic 2.2.3 Cinética Enzimátic 2.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 2.3.1 Origem. 2.3.2 Dedução... vLvovoNEWw wi NHhHR Rh n S n = CAPÍTULO 3 - SOLUÇÃO NUMÉRICA .... HR 8 CAPÍTULO 4 - APRESENTAÇÃO, ESTUDO E DISCUSSÃO DE RESULTADOS... u B 4.1 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES... BIBLIOGRAFIA .... APÊNDICES... APÊNDICE À .. APÊNDICE B... Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos iv Índice de Ilustrações Ilustração 1 — A Comparação das Enzimas com os Catalisadores Químicos. 5 Ilustração 2 — A AG e E, de (a) uma reacção não enzimática; (b) uma reacção enzimática... cerne eeremereremeerererererereneerereareaeecerearearescasenes cases caseneneareseneneneanes 6 Ilustração 3 — Diagrama da energia livre para uma reacção química... 6 Ilustração 4 — Esquema ilustrativo do modelo de chave-fechadura das interacções enzima-substrato ...........ccremeremerereereremeeeereeeerereerereeerareeceeeeaesceeseaae nene reseaeseasereneanes 7 Ilustração 5 — Modelo do encaixe induzido (a) substrato aproxima-se do sítio activo; (b) a ligação do substrato induz o alinhamento dos grupos catalíticos A e B............e 8 Ilustração 6 — A equação da Catálise Enzimática..............eeeeeeeeeeeeeaeereneerereneerenereress 10 Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos v Capítulo 1 — Enquadramento Teórico 1.1 Introdução Dentro do âmbito da disciplina de Matemática Computacional, foi atribuído a cada aluno um trabalho de investigação individual, cujo tema foi previamente atribuído pelo docente. A abordagem do tema tem como objectivo apresentar o problema da catálise enzimática e os objectos que nela aparecem, ilustrando assim o tipo de aplicações, tal como as equações diferenciais associadas. Desta forma, com o decorrer do trabalho, será abordado inicialmente o tema da cinética com catálise enzimática. Começando por uma breve contextualização até ao surgir das equações diferenciais, que queremos resolver. Posteriormente, falar-se-á sobre a forma como devemos transformar e: s equações, por forma a conseguir-mos resolve-las através do método numérico de passos múltiplos, neste caso Adams- Bashforth de 2 passos. Para finalizar, produziremos um código em linguagem de programação C++, que execute o método de Adams-Bashforth. Temos assim como finalidade dar a conhecer este tema, a sua solução através do método de Adams-Bashforth, tal como código de programação que execute esse método. 1.2 Delimitação de Abordagem Esta investigação abordou o tema da cinética química e o das equações diferenciais ordinárias. Delimitamos esse estudo ao caso particular da catálise enzimática, as E.D.O associadas e a sua resolução numérica através do método de Adams-Bashforth de 2 passos. 1.3 Pergunta de Partida, Perguntas Derivadas e Hipóteses de investigação Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 1 CAPÍTULO 1 - ENQUADRAMENTO TEÓRICO Este trabalho de investigação procurou responder à seguinte pergunta de partida: “ Qual a relevância das E.D.O em problemas envolvendo a cinética da catálise enzimática?” Esta questão levanta outras inúmeras perguntas, porém incidiu-se apenas em cinco, enunciadas posteriormente: PD 1 — Em que consiste a catálise enzimática? PD 2 — Quais são as variáveis que afectam as reacções de catálise enzimática? PD 3 — Como é que as equações diferenciais se associam à cinética da catálise enzimática? PD 4 — Que métodos se podem utilizar para resolver essas equações diferenciais. Tendo em conta as perguntas derivadas levantadas, seguem agora as hipóteses: Hipótese | — A catálise enzimática consiste na acção de enzimas para aumentar ou diminuir a velocidade de uma reacção química; Hipótese 2 — As variáveis que afectam a catálise enzimática são a temperatura, pH da solução e a concentração da enzima; Hipótese 3 — As variáveis da catálise enzimática vão ser rearranjadas em variáveis de uma equação diferencial; Hipótese 4 — Podemos utilizar métodos de integração para simplificar as expressões; 1.4 Revisão de Literatura e Quadro de Referência Com o intuito de enriquecer o trabalho foram consultados alguns livros, teses, publicações e até sebentas universitárias, sobre os temas de química e matemática. Por falta informação especifica disponível em português sobre este tema em concreto, apoiamo-nos em livros e publicações em inglês, que serviram de backround ao trabalho, pelo que ocasionalmente são citadas frases desses mesmos livros e publicações. Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 2 Capítulo 2 - Compreensão do Problema “Life depends on a well-orchestrated series of chemical reactions. Many of these reactions, however, proceed too slowly on their own to sustain life.” (Copeland, 2000, p. 1) 2.1 Contextualização Pelo decorrer da história, o Homem tem descoberto, aos poucos, as pequenas peças do puzzle que é a Vida! Passo a passo, e com a ajuda da inovação tecnológica, o Homem tem descoberto os porquês de muitas questões que atormentavam a mente humana. Desde condições meteorológicas, a astronomia, a doenças, à evolução das espécies, ou até à constituição da luz. Pelo que, é natural que, eventualmente, explorássemos a essência do nosso próprio corpo, tal como a de outros seres vivos. Toda a vida depende das mais variadas reacções químicas para existir, porém algumas destas são demasiado lentas, o que levou a que naturalmente surg catalisadores, por nós denominados de enzimas. As enzimas catalisam as reacções bioquímicas nas células de todos os organismos. A maior parte das enzimas são proteínas, pudendo também ser ácidos ribonucleicos (RNA) ou ribonucleoproteínas. Não se pense porém que a sua descoberta é recente, antes pelo contrário, há séculos que as enzimas têm um papel principal no processo de manufacturação de produtos como o vinho, o pão e até o queijo. Só por volta da década de 70 é que despertou na comunidade científica um grande interesse, não só, pelo estudo bioquímico das enzimas, mas também pela sua reprodução e clonagem. Apenas mais recentemente, surgiu a curiosidade no estudo das reacções das enzimas com outras macromoléculas, im como a cinética e mecânica do processo de catálise enzimática. Deste modo, surge assim o nosso foco de investigação. Contudo, antes de aprofundarmos o assunto, vejamos sucintamente as várias formas que existem de abordar este tema. As reacções catalisadas por enzimas podem ser estudadas numa variedade de formas, com vista a explorar diferentes aspectos da catálise. Estes podem ser enzima-substrato e complexos de enzima-inibidor, pois podem ser rapidamente Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 3 CAPÍTULO 2 — COMPREENSÃO DO PROBLEMA As enzimas, devido às suas características, baixam consideravelmente o custo energético de activação? nas reacções químicas, como podemos verificar (Ilustração 2). (SesP)” Nível de energia Nível de energia (a) (0) Fonte: Júnior e Pereira (2001, p. 10) Hustração 2 — A AGº e E, de (a) uma reacção não enzimática; (b) uma reacção enzimática. No entanto, e apesar de ilustrativo da realidade, estes gráficos não estão completamente correctos, pois são genéricos. Isto deve-se ao facto de poucas reacções enzimáticas envolverem um único evento químico, tal como um único estado de transição. A maioria procede em passos múltiplos, que envolvem uma formação transitória de intermédios reactivos. Transition State F r e e Intermediate State E n e Reactant r State 9 y Product State Fonte; Copeland (2000, p. 29) Hustração 3 — Diagrama da energia livre para uma reacção química. 5 A energia de activação é a energia mínima necessária para que uma molécula de reagente ou de substrato alcance o estado de transição e daí se tornar uma molécula de produto (Júnior e Pereira, 2001, .7) Energia livre de Gibbs ? Energia de activação Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 6 CAPÍTULO 2 — COMPREENSÃO DO PROBLEMA A elevada especificidade das enzimas com o substrato é justificada através de dois modelos de especificidade, sendo estes o modelo de chave-fechadura e o de ajuste induzido. Á priori foram descritas as propriedades das enzimas, pelo que sabemos que o papel essencial das enzimas reside na sua propriedade aceleradora nas reacções químicas, assim como na sua especificidade com o substrato, para produzir produtos específicos. Estas propriedades levaram à conclusão que existe uma estrutura tridimensional de substrato que se liga com a enzima, denominado de sítio activo. Para um maior esclarecimento, vejamos a definição. Um sítio activo de uma enzima pode ser definido como a região que liga o substrato(s), mediando a catálise e liberta o produto(s). Deste modo, o modelo de chave-fechadura considera que existe um encaixe perfeito do substrato com a enzima, no sítio activo. [= E s ES Fonte: Copeland (2000, p. 149) Hustração 4 — Esquema ilustrativo do modelo de chave-fechadura das interacções enzima-substrato O modelo de encaixe induzido considera que o sitio activo não está preformado, mas sim que é flexível e moldável ao substrato, ou seja, ajusta-se ao substrato na sua presença. [a] [e] (a) «by Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 7 CAPÍTULO 2 — COMPREENSÃO DO PROBLEMA Fonte; Júnior e Pereira (2001, p. 10) Tustração 5 - Modelo do encaixe induzido (a) substrato aproxima-se do sítio activo; (b) a ligação do substrato induz o alinhamento dos grupos catalíticos A e B. 2.22 Catálise Enzimática Uma vez exposto o conceito de enzima, para a compreensão plena da catálise enzimática, teremos forçosamente de abordar o conceito de catalisador. Os catalisadores proporcionam um ambiente que acelera uma reacção diminuindo a energia de activação. Diferentes reacções são aceleradas por catalisadores distintos, porém, todos os catalisadores têm em comum várias características. Primeiro, todos os catalisadores aumentam a taxa de reacção, diminuindo a energia de activação. Em segundo lugar, todos os catalisadores formam complexos com os reagentes transitórios mas nunca são consumidos ou são permanentemente alterados por meio da reacção, por conseguinte, são necessárias em pequenas quantidades. Terceiros, os catalisadores não alteram o equilíbrio de uma reacção, por consequência, não têm efeito sobre a espontaneidade termodinâmica de uma reacção. Como era de esperar, as enzimas têm todas estas propriedades, pelo que o catalisadores. é confirmamos, mais uma vez, que es Desta forma, a catálise enzimática vai assim estar sujeita à influência de alguns factores, entre estes a concentração da enzima, do substrato, da temperatura e do pH. 2.2.3 Cinética Enzimática Como já referido a cinética é uma forma de estudar este complexo processo que é o da catálise enzimática. Porém, poderemos perguntar o que é? Em que cons abordagem a que chamamos de cinética? Numa aprendizagem rudimentar à temática das ciências, ministrada ao longo dos nossos primeiros anos de escolaridade, aprendemos e associamos o termo “cinética” ao “movimento”. Entretanto, nas reacções químicas, como sabemos e vimos, não há movimento, contudo, existem sim mudan intrínsecas na composição do meio, ao longo de toda a reacção. Vejamos assim a definição de Cinética Química. A cinética química é um ramo da química que estuda quantitativamente a velocidade de uma Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 8 CAPÍTULO 2 — COMPREENSÃO DO PROBLEMA Porém temos de dividir a concentração da enzima em duas componentes num factor [E,] e num factor [EC], pois a concentração da enzima livre não vai ser igual à concentração total, mas sim a [E,], concentr: ão total, ou inicial, menos [EC] a concentração das enzimas ligadas ao substrato. [E] = [Ed — [EC] O mesmo raciocínio poderia ser feito para o substrato, porém, como a quantidade de substrato é significativamente superior à da enzima (propriedade que identificamos ao longo da investigação), vamos desprezar a quantidade de substrato que se liga à enzima. Ficamos assim com a velocidade de formação do complexo enzima substrato: d uso = ARE = 4, + [8] + (16) [EC) Ainda considerando apenas esta parcela da reacção química, analisemos agora a velocidade de decomposição do complexo enzima-substrato. Sabemos que vai ser uma equação que relacione a concentração do complexo com a constante de velocidade inversa k.,. Pelo que: d[EC] dt Vec = — =k*[EC] Feita esta primeira análise, vamos considerar agora a situação seguinte, na qual consideramos a formação dos produtos. ky E+SSECSE+P Agora vamos ver com que velocidades é que se vão formar os produtos. Pela lei da velocidade: “MEC AP jo, (go) “r="Ca dr Por fim já sabemos as todas velocidades associadas a esta reacção. Tentemos assim encontrar alguma E.D.O que sintetize a reacção na sua totalidade, e que vá de encontro com as equações dadas pelo docente: Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos N CAPÍTULO 2 — COMPREENSÃO DO PROBLEMA s(D=-k+s(D+(e0—c(D))+ ka +c(t) (OD = ks +s(t) + (e0 — lt) — (os + ko) + c(t) Fazendo uma abordagem ao substrato, sabemos que: dis) dlEc] fas) =—-50 = 52 = ks + [8] + ([Ed] — [EC]) Porém temos de ter em conta o que acontece na reacção inversa, pelo que: d d fútsp == MEO ye] Assim a função da concentração do substrato vai ser dada por (a soma das funções nos dois sentidos): FG [s]) = —ky * [S] + ([E.] — [EC] + ko4 * [EC] Alterando a nomenclatura verificamos que [E,] = eo, que [S] = s(t), que [Ec] = c(t), e que por sua vez f(t, [s]) = a =s(t) Seguindo a mesma analogia de pensamento, vejamos uma abordagem agora ao complexo, pois já sabemos que [EC] = c(t). dlEC] fe EC) = = key + [8] + (Er) = [EC]) Porém temos de ter em conta o que acontece na reacção inversa, e o que se transforma em produtos pelo que: vp = tic] A, * [EC] d v= SEI ps qEC] Assim a função da concentração do complexo vai ser dada por (a soma da velocidade de formação e a respectivas decomposições): Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 12 CAPÍTULO 2 — COMPREENSÃO DO PROBLEMA fl [EC] = ky + [S] + ([E,] — [EC] — ko, + [EC] — ko + [EC] = = ky + [S] + ([E.] — [EC]) — (ko, + ko) * [EC] Alterando a nomenclatura verificamos que [E,] = eo, que [S] = s(t), que [Ec] = c(t), e que por sua vez f(t, [EC]) = did =c'(t) Desta forma, deduzimos assim as E.D.O para a resolução do problema de cinética com catálise enzimática. Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 13 CAPÍTULO 3 - SOLUÇÃO NUMÉRICA h Xi —Xo bj= Substituindo este polinómio na equação que obtivemos por definição, e relembrando que x, —Xo = h então: fo pia f qm Ya = Yj— 2 poldx + | pilxe)dx *j *j Integrando esta equação e rearranjando os termos, o resultado fica: h Yj+1 =); 2" (3% — fi-a) Porém o termo y; deve ser calculado através do método de Euler ou Runge-Kutta. Para facilitar os cálculos utilizamos o método de Euler explicíto para obter o 1º termo. Ya =) +h+ fl ylo),h) Pelo que: Sj+1 = So +h+(-k*so*(eo—co)+k*co) Cj =Coth+(ki*so*(eo—co)— (ks + k2) + Co) Após isto já podemos aplicar o nosso método, pelo que: h Sm = s+ z* (3 + (-kss;(eo — c;) + kac;) — (-kisa(eo — Cj) + koac;-1)) h Ga = +35 *(3* (lysj(eo — cj) — (kost+ko)c;) — (kysj-a (eo — Cjo1) — (kostko)c;-a)) Aplicando estas fórmulas num programa em C++, em anexo, vamos obter o seguinte resultado: Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 16 CAPÍTULO 3 - SOLUÇÃO NUMÉRICA Caliserândré GomesDocumentsWisual Studio 2OMNProjectaNSiS = Top. = E, Es Insira os valores das concentracoes iniciais: a é os valores para as constantes de velocidade: Insira o comprimento, h, do intervalo de integracao: 0.01 Insixa o numexo de vezes que aplicaremos o metodo! 1 oncentracao de $ passados t segundos: [51 s(t) LHS] 18 [E] ERR [Es qualquer tecla para continuar . . E para mais casos: André GomesiDocumentsWisual Studio 2010WrojectsWN313 - TopografiaWDebuglN313 - Topografia.exe Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 17 CAPÍTULO 3 - SOLUÇÃO NUMÉRICA A convergência dos métodos numéricos é verificada quando h puder ser escolhido de forma arbitrária e seja pequeno. Este facto pode levar a que, especialmente se os intervalos de integração forem muito grandes, o método numérico dê uma solução que em nada corresponda à solução exacta do problema. Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 18 BIBLIOGRAFIA ANGELUCCI, Camilo Andrea e GODOI, Glauber Silva (2010). Cinética Enzimática, São Cristóvão, Universidade Federal de Sergipe MARRIOTTO, Juliana Ribeiro (2006). Estágio de Docência — Cinética Enzimática CAMPAGNOLO, Jorge Mário, revisão FONSECA, David Sérgio Baptista. Apontamentos para a Solução de Equações Diferenciais Ordinárias, Universidade da Beira Interior PEDROSA, Diogo Pinheiro Fernandes. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias, Universidade Federal do Rio Grande do Norte Sites consultados: http://www leffa.pro.br/textos/abnt.htm http://www .ebooks-bar.com/ http://www .marco.eng.br/cinetica/notasdeaula/capitulo-1.pdf http://kalilbn .wordpress.com/cinetica-quimica-i-introducao-e-reacoes-de-primeira- ordem/ http://pt.wikibooks.org/wiki/Bioqu%C3 % ADmica/Cin%C3% AStica enzimCI%A Iti ca http://docentes.esalg usp.br/luagallo/Enzimas2.htm https://wikispaces.psu.edu/display/Biol230W Fall09/Enzyme+Kinetics+and+Catalysis http://www .eq.ufrj.br/biose/nukleo/aulas/Enzimol%20Grad/aula2 pdf http://pt.scribd.com/doc/23929448/35/Metodos-de-Adams-Bashforth-A Bépage=45 http://pt.scribd.com/doc/128281726/Catalise-enzimatica Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos u Apêndices Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 22 APÊNDICES Apêndice A include <iostream> include <iomanip> include <cmath> using namespace std; int main()( double h,S0,S1,S2,C1,C2, E0,CO, k1, k2,k3, t; int n; cout << "Insira os valores das concentracoes iniciais: inS0="; cin >> SO; cout << "IE0="; cin >> EO; cout << "InInsira os valores para as constantes de velocidade: Ank1="; cin >> kl; cout << "nk-1="; cin >> k3; cout << "Ink2="; cin >> k2; cout << "MInsira o comprimento, h, do intervalo de integracao: "; cin >> h; cout << "nInsira o numero de vezes que aplicaremos o metodo: "; cin >> n; co=o; cout << "inConcentracao de S passados t segundos: An"; co=o; cout << "tempo [s]MES(L)MEMEC(T) MEME An"; cout<<setw(5) << O << setw(18) << SO << setw(15) << CO << setw(16) << endl; S1=S0+h*(-k1*SO*(EO-CO)+Kk3*C0); C1=CO+h*(K1*SO*(EO-CO)-(k3+K2)*C0); cout<<setw(5) << h << setw(18) << S1 << setw(15) << C1 << setw(16) << endl; for (int i=1;i<n;i++)( double f0,f1,5j0,j1; fo=k3*Co-k1*s0* (EB-CB); f1=kK3*C1-k1*S1*(EB-C1); j9=k1*S0* (EO-CB) - (k3+k2) *CO; j1=k1*S1*(E0-C1)-(Kk3+k2)*C1; S2=(S1+(h/2)*(3*f1-10)); C2=(C1+(h/2)*(3*j1-50)); cout << setw(5) << (i+1)*h << setw(18) << S2 << setw(15) << C2 «<< setw(16) << endl; S0=S1; S1=S2; co=c1; C1=C2;) system("PAUSE");) Cinética com catálise enzimática e o método de adams-bashforth com dois passos 23