Baixe Apostila de Cálculo II - Parte 1 - Função de Várias Variáveis, Limite e Continuidade e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity! NB002 - Parte I 2 OTAS DE AULA - I 1 Introdução Esta nota de aula tem como objetivo familiarizar o aluno no entendimento das funções reais de variáveis reais. Tais funções são importantes pois aprecem em muitos problemas práticos, a seguir são apresentados alguns destes problemas : a )Um cilindro circular reto, fechado nas extremidades, com base de raio r a altura h, tem a área da superfície S dada por: 222 rrhS ππ += Cada par de valores (r,h), corresponde um valor finito para a área S, dizemos então que a variável S (dependente) é uma função de duas variáveis r e h (independentes), e representamos simbolicamente por: ),( hrfS = b )O volume V de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y, z é dado por: xyzV = V é função das três variáveis independentes x, y, z e representamos simbolicamente por: xyzV = ),,( zyxfV = c)A potência elétrica instantânea P de um sinal: 2RiP = Onde: R - resistência elétrica. i - corrente elétrica. Logo a potência P é função de R e i, e representamos simbolicamente por : ),( iRfP = 5 y x 0 (x,y) (a,b) A f z = f(x,y) f(a,b) w 0 DOMÍNIO (A) CONTRA-DOMÍNIO (CD) Figura 1 – Domínio e contra domínio da função z = f(x,y). Exemplos: 1 ) Seja RRf →2: tal que 1),( 22 ++= yxyxf , temos então uma função real no plano, qualquer que seja (x,y) e R2, o valor 1),( 22 ++= yxyxf é um número real perfeitamente definido. Podemos verificar facilmente que a função f somente assume valores pertencentes ao intervalo [ )+∞,1 . Eis alguns valores particulares da função f: f(0,0) = 1, f(0,2) = 5, f(-1,1) = 3, 6)3,2( =−f , f(-1,-1) = 3, 2),1( += ππf Utilizando o MATLAB substitua os valores acima em f(x,y) e construa o gráfico no plano de todos os pontos da função. 2)Seja RAg →: tal que 224),( yxyxg −−= Sendo ( ){ }1111, 2 ≤≤−≤≤− yexRyxA ε .Se (x,y) ε A , é claro que 11 22 ≤≤ yex ; portanto, 2 22 ≤+ yx e daí resulta que: 2)(44 2222 ≥+−=−− yxyx Logo, g(x,y) é um número real perfeitamente determinado. Eis alguns valores da função g: 2g(1,-1) , 3g(0,-1) , 3g(1,0) , 2)0,0( ====g 4 39 ) 4 3 ,1( =g 6 3)Seja RBh →: definida por yx yx yxh −+− = 21 ),( Sendo ( ){ }2010, 2 ≤≤≤≤= yexRyxB ε Para todo par (x,y) e B, h(x,y) é um número real bem definido. Temos, por exemplo: 3 )53(2 ) 4 3 , 4 1 (,0)2,1(,1)1,1( + === hhh Observação : Freqüentemente, uma função f de duas variáveis é dada pela expressão de f(x,y), sem especificação do seu domínio. Pode-se então considerar como domínio da função o mais amplo subconjunto 2RA⊂ em cujos pontos a função assume valores reais bem definidos. 4) Seja a função 1),( 2 +−= xyxyxf . Podemos considerar como domínio de f o plano R2. 5) Consideremos a seguinte função definida por: yx yx yxg − + =),( Este quociente só não é definido quando x - y = 0, quando y = x. O domínio de g é o conjunto { }yxRyxD ≠2),( ε Geometricamente, D é o conjunto dos pontos do plano que não pertencem à reta y = x. 6) Considere a função: 221 72 ),( yx yx yxh −− −+ = O numerador é um polinômio do 1o grau nas variáveis x e y, e, como tal, é definido em R2. Para que o denominador seja real e não nulo, devemos ter: 101 2222 <+>−− yxouyx Segue-se que o domínio da função h é: 7 { }1),( 222 <+ yxRyxD ε Sabemos da Geometria Analítica que D é o disco aberto de centro na origem e raio 1. 7) Seja agora a função: )326ln(),( yxyxF −−= Onde ln indica o logaritmo natural. Para que exista o número real F(x,y), devemos ter: 0632,0326 <−+>−− yxouyx Sabemos que esta desigualdade tem por solução os pontos (x,y) do plano situado abaixo da reta r da equação: 0632 =−+ yx 2 r x y 0 3 Figura 2 – Gráfico da função 2x+3y-6=0. Tais pontos constituem o semi plano que aparece hachurado na figura acima. O domínio da função F é, um semi plano aberto(a reta r está excluída desse domínio). 8) Examinaremos a seguinte função encontrando o domínio D da função G, o gráfico e os valores de x e y : 34107),( 22 −+−+−+−= yyxxyxG 10 6.2 Definição I – Função de duas variáveis Uma função real f a duas variáveis reais é uma relação que transforma em um único real z a cada para ordenado (x,y) de números reais de um certo conjunto D, chamado domínio da função. Se a relação f transforma no número real z o par ordenado (x,y) em D, então simbolicamente escrevemos z = f(x,y). Na equação z = f(x,y), chamamos z de variável dependente e nos referimos a x e y como variáveis independentes. O conjunto de todos os valores possíveis de z, que pode ser obtido aplicando a relação f aos pares ordenados (x,y) em D., é denominado imagem da função f. Definimos o gráfico de uma função f a duas variáveis como sendo o conjunto de todos os pontos (x,y,z) no espaço cartesiano tridimensional, tal que (x,y) pertence ao domínio D de f e z = f(x,y). O domínio D pode ser representado através de um conjunto de pontos no plano xy e o gráfico de f como superfície cuja projeção perpendicular ao plano xy é D (Figura 5), o ponto indicado como (x,y) é na verdade (x,y,0); o contudo a terceira coordenada foi propositadamente omitida. Observe que o ponto (x,y) varia em D, o ponto correspondente (x,y,z) = (x,y,f(x,y)) varia sobre a superfície. z=f(x,y) (x,y,z) z y x 0 (x,y) Domínio D Figura 5 – Gráfico de z = f(x,y). 6.3 Definição II – Função de várias variáveis Uma função real f a n variáveis reais é uma relação que transforma em número real w cada n-upla ordenada (x1,x2,x3,....xn) de números reais de um certo conjunto D, chamado de domínio da função f. Se a relação f transforma no número w a n-upla ordenada (x1,x2,x3,.....xn) então escrevemos w = f(x1,x2,x3,........xn). 11 6.4 Valor numérico Chamamos de valor numérico de uma função w = f(x1,x2,x3,.....xn), o valor que obtemos quando substituímos as variáveis independentes por valores dados e efetuamos as operações algébricas indicadas. Exemplos: 1) Se f está definida por f(x,y)=2x+y para todos valores de x e y, encontre. a)f(1,-2) b) ), 2 1 ( y x f Solução a) 0)2(12)2,1( =−+×=−f b) y yx y x y x y x f + =+=+×= 1 2 1 2), 2 1 ( 2) Se zyx yx zyxg −+ = 22 ),,( para todos os valores de x, y e z exceto aqueles que anulam o denominador, encontre. a) )2,1,2( −g b) ),,( 2aaag − Solução a) 7 2 )2(12 12 )2,1,2( 22 = −−+ × =−g b) 3 1 3)( ),,( 2 2 222 2 == −−+ × =− a a aaa aa aaag 6.5 Gráfico de uma função A noção gráfica estende-se às funções reais de mais de uma variável, como já observado na definição prévia inserida na seção 6.2. Seja RAF →: , onde 2RA⊂ uma função real qualquer de duas variáveis. O gráfico de F é, por definição, o conjunto: { }),(),(),,( 3 yxFzeAyxRzyx =εε Trata-se como se vê, um conjunto do espaço tridimensional R3. A esse gráfico costumamos chamar superfície representativa da função. Na figura abaixo está indicado o gráfico de uma função F de duas variáveis. 12 P M S y x X Z A z=F(x,y) 0 Figura 6 – Gráfico de uma função. O gráfico é o conjunto S dos pontos M(x,y,z) do espaço R3. A projeção ortogonal da superfície S sobre o plano xy é precisamente o domínio A da função. Exemplos: 1) Seja z = 2x – 3y + 5. Esta função é definida no plano R2 . O seu gráfico é o conjunto dos pontos M = (x,y, 2x – 3y + 5) do espaço R3. Sabemos que tal conjunto é um plano do espaço. Observe que a equação z = 2x – 3y +5 é equivalente à equação 2x – 3y +5 = 0, a qual, como ensina a geometria analítica, representa um plano do espaço. De modo geral, toda função do 1o grau nas variáveis x e y, tem por gráfico um plano do espaço R3. cbyaxz ++= 2) Consideremos a função: 221),( yxyxfz −−== cujo domínio é o disco fechado de centro na origem e raio 1. { }1),( 222 ≤+ yxRyx ε O gráfico de f é o conjunto dos pontos )1,,( 22 yxyxM −−= de R3 tais que (x,y) ε D. É fácil mostrar que esse gráfico é hemisférico de centro na origem e raio 1 situado acima do plano xy. De fato a distância da origem ao ponto genérico M do gráfico de f é: 1)1( 2222 =−−++= yxyxOM Portanto, M pertence à esfera de centro O e raio 1. Considerando que a cota de M é ≥ 0, segue-se que M está no hemisfério referido. 15 Exemplos: 1. Achar as linhas de contorno das funções: a) yxz 2= Solução Façamos z = constante 2 2 x C yyxC =∴= (equação das linhas de contorno). *Como exercício adicional, esboce esta função utilizando o recurso gráfico do Matlab. 2. )arcsen(xyz = Façamos : )arcsen(Cz = , logo : xyCxyC =∴= )arcsen()arcsen( x C y = , família de hipérboles equiláteras. Sendo czc ,sen= admitirá valores no campo de existência .11 ≤≤− C *Como exercício adicional, esboce esta função utilizando o recurso gráfico do Matlab. 3. Achar a superfície de nível da função 222 zyxu ++= , façamos : 222222222222 yxczyxczzyxccu −−=∴−−=∴++=∴= família de esferas concêntricas de centro na origem e raio igual a C. *Como exercício adicional, esboce esta’ função utilizando o recurso gráfico do Matlab. 6.8 Domínio ou região de definição 6.8.1. Definição: Por domínio ou região de definição de uma função ),( yxfz = , se entende um conjunto de pontos (x,y) do plano xoy, para o qual a função é definida. Exemplo: Seja uma superfície esférica representada na figura abaixo. 16 z x y L R(D) Figura 9 – Região de domínio Notemos no gráfico que a região ou domínio é uma circunferência. Observações: 1. A linha que limita a região de definição é chamada fronteira L. 2. Um domínio que possui somente interiores é chamado domínio aberto. 3. Um domínio cujos pontos sobre a fronteira são incluídos, é denominado domínio fechado. 17 7 Limites O conceito de limite de uma função para funções de uma variável estende-se para funções de duas ou mais variáveis. Consideremos uma função: 2,: RABAf ⊂→ de duas variáveis, e um ponto (a;b) do plano, tal que f seja definida em pontos (x,y) arbitrariamente próximos de (a,b). Não é necessário que f seja definida no ponto (a,b). Intuitivamente, diremos que o limite da função f, quando o ponto variável (x,y) ∈ A tende para o ponto (a,b), é um número real L, se e somente se, o valor f(x,y) da função está próximo de L quando (x,y) está próximo de (a,b). Para exprimir essa situação, escreveremos: ( ) ( ) LyxfouLyxf by axbayx == → →→ ,lim,,lim ),(),( Para dar precisão a esse conceito, é necessário definir a idéia de proximidade, e para isso, podemos usar a noção de distância, já introduzida no plano. É natural dizer que o ponto (x,y) está próximo do ponto (a,b) quando a distância entre esses pontos é pequena. Assim todos os pontos (x,y) ∈ R2 cuja distância ao ponto (a,b) é menor que um número 0>δ verificam a desigualdade. ( ) ( ) 222 δ<−+− byax O conjunto de todos esses pontos constitui, o disco aberto de centro (a,b) e raio δ . Esse disco aberto é uma vizinhança do ponto (a,b) no plano; precisamente, é a vizinhança do ponto (a,b) de raio δ . Designando tal vizinhança por V, podemos escrever. ( ) ( ) ( ){ }2222, δ<−+−∈= byaxRyxV A vizinhança V está ilustrada na figura 10. Cada ponto (a,b) ∈ R2 tem uma infinidade de vizinhanças, e podemos imaginar tais vizinhanças arbitrariamente pequenas, bastando para isso o raio δ suficientemente pequeno. 0 Y X (a,b) δ (x,y) V Figura 10 – Disco aberto de centro (a,b) e raio δ . 20 (iii) Sobre a reta y = x, ( ) ( ) 36 2 33 2 ,, 2 3 22 2 x x x xx xx xxfyxf == + == para .0≠x Assim:, ( ) 0 3 lim,lim 0 0 == → → x x x xxf (iv) Sobre a parábola y = x2, ( ) ( ) 2 2 42 22 2 33 2 33 2 ,, x x xx xx xxfyxf + = + == para .0≠x Assim: ( ) 0,lim 0 2 = →x xxf Verificamos, assim que ao longo de todos os caminhos o valor de f se conserva constante. Então teremos: ( ) 0 33 2 lim,lim 22 2 0 0 0 0 = + = → → → → yx yx yxf y x y x Observação: No estudo do limite de uma função f de uma variável, observamos que o ( ) ax xf → lim existe, se e somente se, os limites laterais ( ) +→ax xflim e ( ) −→ax xflim , existem e são iguais. Tratando com limite de uma função f a duas variáveis, isto é, ( ) by ax yxf → → ,lim , devemos supor que o ponto (x,y) se aproxime do ponto (a,b) não apenas pela direita ou pela esquerda, mas também por qualquer outra direção. Podemos ainda supor que (x,y) se aproxima de (a,b) ao longo de uma curva. (x,y) (a,b) X Y Y 0 0 X (x,y) (a,b) Figura 12 – Curvas de aproximação de (x,y) em relação a (a,b). Dizer que: ( ) Lyxf by ax = → → ,lim Significa que quando (x,y) tende a (a,b) por qualquer direção f(x,y) tende ao mesmo limite L. Portanto, um meio conveniente de mostrar que um particular limite ( ) by ax yxf → → ,lim 21 não existe é mostrar que f(x,y) tende a dois limites diferentes quando(x,y) tende a (a,b) por duas direções diferentes. 8 Continuidade Seja ,,: 2RARAf ⊂→ uma função de duas variáveis, e seja (a,b) ∈ A Diremos que f é contínua no ponto (a,b), quando forem verificadas as seguintes condições: (i) Exista f(a,b), isto é exista o valor numérico da função para x = a e y = b. (ii) ( ) ( ) finito seja lim exista , ,lim by ax by ax ,x,y f yxf → → → → (iii) e: ( ) ( )a,bfyxf by ax ,lim = → → Observação: Quando uma destas condições não for satisfeita a função é descontínua no ponto. Uma função é contínua em uma região, quando for contínua em todos os pontos da região. Exemplos: 1) Seja a função f(x,y) = x2 +y2 que é contínua no ponto (a,b). (i) f(a,b) = a2 + b2 (ii) ( ) 2222lim bayxf by ax +=+ → → (iii) ( ) ( )bafyxf by ax ,lim 22 =+ → → 1) Seja a função ( ) xy yx yxf − + =, descontínua no ponto (0,0). Tomando ( ) nado)(indetermi 0 0 00 00 0,0 = − + =f Vemos que uma das condições não é satisfeita, portanto, função descontínua em (0,0). 22 3) Seja a função ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = ≠ += 0,0yx,se0 0,0, 4 , 22 yxse yx xy yxf descontínua no ponto (0,0). (i) Estudando o limite ao longo do eixo x, temos: ( ) ( )    = ≠ == 0se0 0se0 0,, x x xfyxf ( ) 00,lim 0 = → xf x (ii) Estudando o limite ao longo da reta y = x. ( ) ( )    = ≠ == 0se0 0se2 ,, x x xxfyxf ( ) 2,lim 0 = → xxf x Assim deste modo, ( )xf y x 0 0 lim → → não existe e, por conseguinte, f não é contínua em (0,0). 9 Alguns limites fundamentais 1 )sen( lim 0 = → x x x e 1 1 lim x =      += ∞→ xx k x e 1 lim =      += ∞→ x k x ( ) e 1 lim x 1 =+= ∞→ x x