Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 25 - capacitancia

Halliday - Alguns Exercícios Resolvidos - 25 - capacitancia

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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/1/2006 14:52 H

20 - Capacitância

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003

Cap. 27 - CapacitânciaCap. 31 - Capacitores e

Dielétricos Cap. 30 - Capacitância

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3 CAPÍTULO 27 - CAPACITÂNCIA

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]

Halliday, Resnick, Walker - Física 3 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 27 – Capacitância 2

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3 CAPÍTULO 31 - CAPACITORES E DIELÉTRICOS

6162

0102 03 0405 06 07 08 09 10 1 12 1314 15 16 1718 19 20 21 2 23 2425 262728 29 30 31 3233 3435 36 37 3839 40 41 42 43 4445 4647 4849 50 5152 53 54555657 58 5960 [Início documento]

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01. Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida é colocada nas armaduras de um capacitor e após isto medimos a diferença de potencial entre elas. Qual é a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância vale 50 pF e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V?

Solução.

A carga a ser medida pelo eletrômetro é acumulada num capacitor, de capacitância C, do instrumento e deve satisfazer à relação fundamental de capacitância:

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 92)

04. Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio 8,2 cm e 1,31 m de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que aparecerá nas armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas? Solução.

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(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas, não importando a forma geométrica de suas placas, é dada por:

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ArC d

143 pFC≈ (b) A carga q vale:

[Início seção] [Início documento]

13. Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. 25. Suponha que C1 = 10,3 μF, C2 = 4,80 μF e C3 = 3,90 μF.

(Pág. 93)

Solução.

Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em série de C1 e C2, cuja capacitância equivalente chamaremos de C12 e, em seguida, resolveremos a associação em paralelo entre C12 e C3, cuja capacitância equivalente chamaremos de C123.

A capacitância equivalente final vale:

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 93)

17. (a) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A, com espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras placas de um único capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua capacitância seja igual à da associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série.

Solução.

(a) A capacitância da associação em paralelo (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol).

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CA, d

CA, l

Logo: assoc isolCC =

(b) A capacitância da associação em série (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol).

CA, d

CA, d

CA, d CA, l

Logo:

assoc isolCC =

[Início seção] [Início documento]

20. Imagine que você disponha de vários capacitores de 2,0 μF, capazes de suportar, sem ruptura dielétrica, 200 V. Como seria possível combinar esses capacitores, de modo a obter um sistema capaz de resistir à diferença de potencial de 1.0 V e com uma capacitância de (a) 0,40 μF e

(Pág. 93)

(b) 1,2 μF?

Solução.

(a) É possível satisfazer a condição do enunciado por meio de uma associação em série de cinco capacitores de C1 = 2,0 μF.

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Associando-se em série cinco capacitores que suportam individualmente uma tensão de 200 V, a tensão total que a associação poderá suportar é:

(b) No item anterior, a associação em série de cinco capacitores de 2,0 μF produziu uma capacitância equivalente de 0,40 μF. Para produzir uma capacitância equivalente de 1,2 μF seria necessário associar em série cinco capacitores de:

215 eqCC

É possível construir um capacitor equivalente a 6,0 μF associando-se três capacitores de 2,0 μF em paralelo.

C1V V

É preciso lembrar que todos os capacitores que participam de uma associação em paralelo estão sujeitos à mesma diferença de potencial do capacitor equivalente. Isto faz com que a limitação da voltagem total também seja satisfeita. A associação total é representada no esquema abaixo, onde todos os quinze capacitores têm capacitância C1 = 2,0 μF:

[Início seção] [Início documento]

24. Quando giramos a chave S da Fig. 30 para a esquerda, as armaduras do capacitor de capacitância C1 adquirem uma diferença de potencial V0. Inicialmente, C2 e C3 estão descarregados. A chave S é agora girada para a direita. Quais os valores das cargas finais q1, q2, e q3 sobre os capacitores correspondentes?

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Solução. Considere a seqüência de operações no circuito mostradas no esquema abaixo:

No circuito B, a chave S é girada para a esquerda. O capacitor C1 adquire diferençca de potencial igual à da bateria (V0) e carga q0 igual a:

(1) 01qCV=0

No circuito D, a chave S é girada para a direita. A carga q0 é distribuída entre os três capacitores. A diferença de potencial de C1 ,V1, diminui enquanto que a de C23 (capacitor equivalente a C2 e C3), ,V23, aumenta até ficarem iguais. Podemos desenvolver o seguinte cálculo:

(2)

Como C23 é uma associação em série de capacitores, teremos:

C=+(3)
(4) 232qqq==3
(5) 20qqq=−

Portanto, a distribuição de carga entre os capacitores fica da seguinte forma: 01 21qq q q q=+ =+ Substituindo-se (4) em (2):

23 Cqq C

=(6)

Substituindo-se (5) em (6):

Cq q Cq Cqq

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1 CqCq

1Cq CqC q

⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜++⎝⎠⎝⎠⎟(7)

C C C C Substituindo-se (3) em (7):

1 CqC q CqC C C C C

(8)

Substituindo-se (1) em (8):

C CqC V

Da Eq. (5), temos:

1C C C CqC V CV CV

C C C C C CqC V

CCqC V

Como q2 = q3:

CCqC V

[Início seção] [Início documento]

26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas que formam entre si um ângulo θ, conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre que a capacitância deste capacitor, para valores de θ muito pequenos, é

(Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em paralelo.)

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Solução. Considere o esquema abaixo:

θ dx d y

Tomando-se dois elementos de placas de comprimento dx e largura a, o conjunto representa um capacitor de placas paralelas de capacitância dC que possui área dA e distância de separação entre as placas l. Capacitância dC:

tan dA adx adxdC ld y d x εεεθ===++

O capacitor da figura pode ser considerado como sendo uma associação em paralelo de capacitores dC e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias:

0 tan aadxCdCdxεθ==+∫∫

tan a aC d

εθθ⎛=+⎜⎝⎠⎞⎟(1)

No Apêndice H deste livro vê-se que a função ln (1+x) pode ser expandida em série de Taylor, sendo o resultado:

Considerando-se tanax d θ= e tomando-se apenas os dois primeiros termos da série:

d d d d

Considerando-se θ ≈ 0, isto implica em tan θ ≈ θ. Logo:

θθθ⎛⎞⎛+≈−⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠(2)

tanln 1 1 2aadd ad Substituindo-se (2) em (1):

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27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 3 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga em cada capacitor após ter sido fechada a chave S1. (b) Idem, quando também estiver fechada a chave S2. Suponha que C1 = 1 μF, C2 = 2 μF, C3 = 3 μF e C4 = 4 μF.

(Pág. 94)

Solução.

(a) Considere o esquema a seguir: C1 C3

V= Os capacitores C1 e C3 estão associados em série. Isto significa que:

13qq= O mesmo é verdadeiro para os capacitores C2 e C4:

24qq= Como a ddp entre as placas de C13 e C24 é igual a V, temos:

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11Vq

139 μCqq== De forma semelhante:

(b) Considere o esquema a seguir: C1 C3

Onde, por se tratar de uma associação de capacitores em série:

11Vq

C C C q V

De forma semelhante:

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[Início seção] [Início documento]

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30. As tentativas de construção de um reator de fusão termonuclear controlada que, se bemsucedidas, poderiam fornecer uma enorme quantidade de energia a partir do hidrogênio pesado existente na água do mar, envolvem usualmente a passagem de correntes elétricas muito intensas por pequenos períodos de tempo em bobinas que produzem campos magnéticos. Por exemplo, o reator ZT-40, do Laboratório Nacional de Los Alamos (EUA), tem salas cheias de capacitores. Um dos bancos de capacitores tem capacitância de 61,0 mF a 10,0 kV. Calcular a energia armazenada, (a) em joules e (b) em kW.h.

Solução.

(a) A energia potencial acumulada num capacitor carregado, de capacitância C sujeito à uma diferença de potencial V, é dada por:

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 95)

32. Dois capacitores, um de 2,12 μF e outro de 3,8 μF são ligados em série, com uma diferença de potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcular a energia total armazenada nos capacitores.

Solução. Podemos representar a associação em série dos capacitores C1 e C2 pelo capacitor equivalente C12:

A energia potencial acumulada no capacitor C12 sujeito à diferença de potencial V vale:

Logo:

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[Início seção] [Início documento]

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34. Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de 5,0 μF cada, é usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco até a diferença de potencial nos terminais da associação atingir 5 kV, supondo um custo de 3 centavos por kW.h?

Solução. Considere o seguinte esquema:

A tarifa total T a ser paga pelo carregamento dos N capacitores é o produto da tarifa t pela energia acumulada nos N capacitores (CN).

NTt U NtU=⋅ = Na expressão acima, U é a energia acumulada em cada um dos capacitores da associação.

13 centsT≈

[Início]

36. Na Fig. 24 calcule (a) a carga, (b) a diferença de potencial e (c) a energia armazenada em cada capacitor. Suponha os mesmos valores numéricos do Problema 12, com V = 112 V.

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Solução.

[Início seção] [Início documento]

38. Seja um capacitor cilíndrico de raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4.

Mostre que a metade da sua energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro de raio igual a ra=b.

(Pág. 95)

Solução. Considere o esquema a seguir:

a b

Capacitância de um capacitor cilíndrico:

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Energia potencial elétrica acumulada num capacitor cilíndrico:

qbaqUCLπε==(1)

dUu dV =

(2012 .2
dUudVELrdrεπ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠)(2)

Campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico:

qELrπε=(3)

Substituindo-se (3) em (2): 2

qdrdULrπε=(4)
UdU=∫(5)

2ra Substituindo-se (1) e (4) em (5):

ln1 42 4ra qb aqd r dr

1ln ln2rbaa =

rbaa = ra=b

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40. Mostre que as armaduras de um capacitor plano de placas se atraem mutuamente com uma força igual a

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Obtenha este resultado calculando o trabalho necessário para aumentar a separação entre as armaduras x para x + dx.

Solução.

Considere o seguinte esquema, em que temos um capacitor de placas planas e paralelas, separadas por uma distância x e carregado com carga q.

F ds

A placa da direita é movida para a direita através de uma distância dx. O trabalho W realizado pela força −F pode ser calculado da seguinte forma:

cosdWdFdxπ=⋅=Fs

(1) WFd=−x

O mesmo trabalho é equivalente à variação de energia potencial do sistema:

q qdW dU U U U U

qx x dx qdW x x dx

qdxdWAε=−(2)

Comparando-se (1) e (2): 2

[Início seção] [Início documento]

4. É dado um capacitor de 7,40 pF com ar entre as armaduras. Você é solicitado a projetar um

(Pág. 95)

capacitor que armazene até 6,61 μJ com uma diferença de potencial máxima de 630 V. Qual dos dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o espaço entre as armaduras do capacitor, supondo que todos os dados são exatos, isto é, a margem de erro é zero? Solução.

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Se a capacitância do capacitor com vácuo entre as placas for C0, com ar entre as placas for C1 e com outro dielétrico for C2, valem as seguintes relações:

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Cκκ=1C(1)
UCV=2(2)

2 12 Substituindo-se (1) em (2):

De acordo com a Tabela 1 (Pág. 86), o material com κ = 4,5 corresponde ao ÓLEO DE TRANSFORMADOR.

[Início seção] [Início documento]

(Pág. 95)

46. Um capacitor de armaduras, cujo dielétrico é o ar, tem capacitância igual a 51,3 pF. (a) Se as armaduras têm área de 0,350 m2, qual é a sua separação? (b) Se a região entre as armaduras for preenchida agora com material de constante dielétrica igual a 5,60, qual é a nova capacitância?

Solução.

(a) Um capacitor com placas planas e paralelas de área A e separação d possui capacitância C0 dada por:

Logo:

6,04 cmd≈ (b) Preenchendo-se o espaço entre as placas com dielétrico κ, a nova capacitância C será:

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48. Uma certa substância tem constante dielétrica 2,80 e sua rigidez dielétrica é 18,2 MV/m. Se é usada como dielétrico em um capacitor de armaduras paralelas, qual a área mínima das armaduras para que a capacitância seja 68,4 nF e o capacitor possa resistir a uma diferença de potencial de 4,13 kV?

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