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Volume 06 MATEMÁTICA

2Coleção Estudo Sumário - Matemática

Frente A

113 Probabilidades I Autor: Luiz Paulo

1211 Probabilidades I Autor: Luiz Paulo

Frente B

Frente C

Frente D

Frente E

2481 Binômio de Newton Autor: Luiz Paulo

3Editora Bernoulli

Há dois tipos de fenômenos que são objeto de estudo científico: os fenômenos determinísticos e os fenômenos aleatórios.

Em um fenômeno determinístico, os resultados dos experimentos correspondentes podem ser determinados de antemão. Conhecemos as leis que os governam a ponto de afirmarmos que tais experimentos, repetidos nas mesmas condições, irão produzir resultados idênticos. Como exemplo, podemos descrever o movimento de um corpo em queda livre, determinando o tempo gasto para atingir o solo.

Já em um fenômeno aleatório, os experimentos correspondentes, repetidos nas mesmas condições, não necessariamente produzem os mesmos resultados. Apesar de não sabermos com exatidão qual resultado será obtido, geralmente somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis para esses experimentos. A seguir, dizemos que um desses possíveis resultados possui uma determinada “chance” de ocorrer. Essa “chance” é denominada probabilidade de ocorrência de um evento. Como exemplo, temos o experimento “lançar uma moeda e observar a face superior”. A probabilidade de obtermos

“cara” na face superior é igual a 12 , ou seja, 50%.

É todo experimento que depende exclusivamente do acaso. Chamamos de acaso aos múltiplos fatores que atuam no fenômeno e cuja consideração nos cálculos é inviável dada a impossibilidade de controlarmos as suas causas.

Exemplos

1°) Lançar um dado e observar o número obtido na face superior.

2°) Sortear uma das bolas numeradas de uma urna.

3°) Retirar duas cartas de um baralho e observar os seus naipes.

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, que será indicado por E. Denotamos por n(E) o número de elementos do espaço amostral.

Exemplos

1°) Experimento: lançar uma moeda e observar a face superior.

E = {cara, coroa} e n(E) = 2

2°) Experimento: lançar simultaneamente duas moedas e observar as faces superiores obtidas.

Indicamos cara por C e coroa por K.

Assim, temos E = {(C,C), (C,K), (K,C),(K,K)} e n(E) = 4.

Podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem na obtenção de n(E), como segue:

Moeda 1e Moeda 2
↓ ↓

n(E) = 2 possibilidades x 2 possibilidades ⇒ n(E) = 4 resultados possíveis

3°) Experimento: lançar simultaneamente dois dados e observar as faces superiores obtidas.

Seja cada parênteses um experimento, no qual o primeiro valor foi obtido no primeiro dado, e o segundo valor, obtido no segundo dado. Assim, temos:

n(E) = 36

Dado 1e Dado 2

Utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, temos: n(E) = 6 possibilidades x 6 possibilidades ⇒ n(E) = 36 resultados possíveis

4Coleção Estudo

4°) Experimento: sortear uma comissão de 3 alunos entre 10 alunos de uma turma.

Descrever tal espaço amostral é trabalhoso. Portanto, vamos determinar apenas n(E). Temos que o total de comissões de 3 alunos é dado por:

n(E) = C =

= 120 comissões

Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral.

Exemplos

1°) Evento A: No lançamento de um dado, obter um número ímpar.

A = {1; 3; 5} n(A) = 3

2°) Evento B: No lançamento simultâneo de dois dados distinguíveis, obter soma das faces igual a 7.

B = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} n(B) = 6

Sejam E um espaço amostral finito e não vazio e A um evento de E. Chama-se de evento complementar do evento A aquele formado pelos resultados que não fazem parte do evento A (indicamos por A).

Como exemplo, sendo A = {1; 3; 5} o evento “sair um número ímpar no lançamento de um dado”, temos:

A= {2; 4; 6} Esquematicamente:

n(A) + n(A) = n(E)

Chamamos de espaço amostral equiprovável aquele cujos resultados possuem a mesma chance de ocorrerem. Em termos de frequências relativas, supomos que, ao aumentarmos indefinidamente o número de experimentos, os diferentes resultados tendem a aparecer na mesma frequência.

Consideremos um experimento aleatório com espaço amostral equiprovável E, com n(E) elementos. Seja A um determinado evento de E com n(A) elementos. A probabilidade de ocorrência do evento A é dada por:

PA nA

Exemplo

No lançamento simultâneo de dois dados distinguíveis, qual é a probabilidade de obtermos uma soma das faces igual a 10?

Resolução: Temos n(E) = 6 x 6 = 36. Seja A o evento de E “obter uma soma igual a 10”. A = {(4, 6), (6, 4), (5, 5)} e n(A) = 3 nAnE() ()

= ou, aproximadamente, 8,3%.

Propriedades

P(U) = 1 P(∅) = 0 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) + P(A) = 1

Frente AMódulo 1

MATEMÁTICA 5Editora Bernoulli

Sendo A e B dois eventos de um espaço amostral E, conforme o esquema a seguir:

Sabemos que o número de elementos da união de dois conjuntos A e B é dado por:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Dividindo os dois membros por n(E), temos:

Ou seja: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Se A ∩ B = ∅, dizemos que A e B são mutuamente exclusivos.

Assim, P(A ∩ B) = 0. Logo, para eventos mutuamente exclusivos, temos:

01. (FUVEST-SP–2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de

02. (UFMG–2007) Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é

03. (UFTM-MG–2010) Um saco continha 20 bolas, entre brancas e azuis. Desse modo, havia uma probabilidade p de se retirar ao acaso 1 bola azul. Foram retiradas 2 bolas ao acaso e verificou-se que uma era azul e a outra, branca. A probabilidade de se tirar ao acaso 1 bola azul passou a ser de p – 1

36 . O número inicial de bolas azuis no saco era

A) 15D) 5
B) 12E) 2

04. (PUC-SP) Joel e Jane fazem parte de um grupo de dez atores: 4 mulheres e 6 homens. Se duas mulheres e três homens forem escolhidos para compor o elenco de uma peça teatral, a probabilidade de que Joel e Jane, juntos, estejam entre eles é

05. (Unicamp-SP) Uma urna contém 50 bolas que se distinguem apenas pelas seguintes características:

I) x delas são brancas e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x.

I) x + 1 delas são azuis e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x + 1.

I) x + 2 delas são amarelas e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x + 2.

IV) x + 3 delas são verdes e numeradas sequencialmente de 1 a x + 3.

A) Qual é o valor numérico de x?

B) Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, uma bola azul ou uma bola com o número 12?

Probabilidades I

6Coleção Estudo

01. (UFPE–2009) Escolhendo aleatoriamente um dos anagramas da palavra COVEST, qual a probabilidade de suas primeira e última letras serem consoantes?

02. (Fatec-SP) Numa eleição para prefeito de uma certa cidade, concorreram somente os candidatos A e B. Em uma seção eleitoral, votaram 250 eleitores. Do número total de votos dessa seção, 42% foram para o candidato A, 34% foram para o candidato B, 18% foram anulados e os restantes estavam em branco. Tirando-se, ao acaso, um voto dessa urna, a probabilidade de que seja um voto em branco é

03. (UFU-MG–2006) Numa classe com 50 alunos, 8 serão escolhidos, aleatoriamente, para formar uma comissão eleitoral. A probabilidade de Lourenço, Paulo e Larissa, alunos da classe, fazerem parte desta comissão é igual a

04. (Mackenzie-SP) Escolhe-se, ao acaso, um número de três algarismos distintos tomados do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. A probabilidade de, nesse número, aparecer o algarismo 2 e não aparecer o algarismo 4 é

05. (UNIFESP) Um engradado, como o da figura a seguir, tem capacidade para 25 garrafas. Se, de forma aleatória, forem colocadas 5 garrafas no engradado, a probabilidade de que quaisquer duas delas não recaiam numa mesma fila horizontal, nem numa mesma fila vertical, é

06. (UFU-MG–2008) Lança-se um dado não viciado e se observa o número correspondente à face que caiu voltada para cima. Sejam a, b e c, respectivamente, os valores observados em três lançamentos sucessivos. Se x = a.10 + b.10 + c, então a probabilidade de esse número x de três algarismos ser divisível por 2 ou por 5 é igual a

07. (Mackenzie-SP) Num grupo de 12 professores, somente 5 são de Matemática. Escolhidos ao acaso 3 professores do grupo, a probabilidade de, no MÁXIMO, um deles ser de Matemática é

08. (UFG–2007) Um grupo de 150 pessoas é formado por 28% de crianças, enquanto o restante é composto de adultos. Classificando esse grupo por sexo, sabe-se que

3 entre os de sexo masculino é formado por crianças e que 1

5 entre os de sexo feminino também é formado por crianças. Escolhendo ao acaso uma pessoa nesse grupo,

CALCULE a probabilidade de essa pessoa ser uma criança do sexo feminino.

Frente AMódulo 1

MATEMÁTICA 7Editora Bernoulli

09. (UNESP–2007) Dado um poliedro com 5 vértices e 6 faces triangulares, escolhem-se ao acaso três de seus vértices. A probabilidade de que os três vértices escolhidos pertençam à mesma face do poliedro é V

10. (FUVEST-SP) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro de frequência da face 1, e que as outras faces saíam com a frequência esperada em um dado não viciado. Qual a frequência de uma face 1?

1. (CEFET-MG–2008) A Coordenação de Matemática de uma escola promoveu uma gincana, na qual uma das tarefas era resolver o seguinte problema:

“As faces de uma moeda são denominadas cara (K) e coroa (C). Se essa moeda for lançada 6 vezes, qual é a probabilidade de se obter 4 caras e 2 coroas?” A equipe marcaria ponto, nessa tarefa, se encontrasse

12. (UFU-MG–2007) De uma urna que contém bolas numeradas de 1 a 100 será retirada uma bola. Sabendo-se que qualquer uma das bolas tem a mesma chance de ser retirada, qual é a probabilidade de se retirar uma bola cujo número é um quadrado perfeito ou um cubo perfeito?

A) 0,14C) 0,12
B) 0,1D) 0,16

13. (UFU-MG–2007) Se no conjunto dos divisores positivos de 1 440 escolhermos aleatoriamente um número, a probabilidade de o número escolhido ser múltiplo de 16 é igual a

14. (FEI-SP) Em uma pesquisa realizada em uma faculdade, foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam “sim” a ambas; 300 responderam “sim” à primeira; 250 responderam “sim” à segunda e 200 responderam “não” a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido “não” à primeira pergunta?

15. (VUNESP) Um baralho consiste em 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se dois cartões ao acaso (sem reposição). A probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100 é

16. (FEI-SP) Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada urna, a probabilidade de a soma dos pontos ser maior do que 4 é

17. (Mackenzie-SP) Uma pessoa A concorre com você neste

Concurso Vestibular com 40% de chance de ser aprovada. A probabilidade de que pelo menos um de vocês dois seja aprovado é 64%. Então, relativamente à pessoa A, a probabilidade de você ser aprovado é

A) a mesmaD) a metade.
B) o dobroE) um quarto.

C) o triplo.

18. (FUVEST-SP) Escolhe-se ao acaso três vértices distintos de um cubo. A probabilidade de que esses vértices pertençam a uma mesma face é

19. (UFOP-MG–2008) Em um laboratório, existem n substâncias. Sabe-se que exatamente duas dessas substâncias não podem estar simultaneamente em qualquer mistura, porque provocam explosão. Um aluno que desconhece esse fato resolve misturar 6 das n substâncias. Sendo a probabilidade de explosão na mistura feita pelo aluno de 1 para 14, DETERMINE o número n de substâncias existentes no laboratório.

Probabilidades I

8Coleção Estudo

01. (Enem–2009) Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas

Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada duas horas, aproximadamente.

Disponível em: <http://w.ipea.gov.br>. Acesso em: 6 jan. 2009.

De acordo com os dados, se for escolhido aleatoriamente para investigação mais detalhada um dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte é

Instrução: Texto para as questões 02 e 03.

Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 20,0.

02. (Enem–1998) A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a

A) 0D)

03. (Enem–1998) A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$ 40,0 é igual a

A) 0D)

04. (Enem–2001) Um município de 628 km é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura.

10 km

Município 10 km

10 km 10 km

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente,

A) 20%
B) 25%

C) 30%. D) 35%. E) 40%.

05. (Enem–2006) A tabela a seguir indica a posição relativa de quatro times de futebol na classificação geral de um torneio, em dois anos consecutivos. O símbolo ● significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2004, à frente do indicado na coluna. O símbolo * significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2005, à frente do indicado na coluna.

A probabilidade de que um desses quatro times, escolhido ao acaso, tenha obtido a mesma classificação no torneio, em 2004 e 2005, é igual a

A) 0,0
B) 0,25

Frente AMódulo 1

MATEMÁTICA 9Editora Bernoulli

Tadeu, camisa 2: — Não sei nãoPedro sempre foi muito
espertoAcho que ele está levando alguma vantagem
nessa propostaRicardo, camisa 12: — Pensando bem...
juntosDesse diálogo, conclui-se que

06. (Enem–2006) Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer um campeonato. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça em suas casas. Na discussão para se decidir com quem ficaria o troféu, travou-se o seguinte diálogo: Pedro, camisa 6: — Tive uma ideia. Nós somos 1 jogadores e nossas camisas estão numeradas de 2 a 12. Tenho dois dados com as faces numeradas de 1 a 6. Se eu jogar os dois dados, a soma dos números das faces que ficarem para cima pode variar de 2 (1 + 1) até 12 (6 + 6). Vamos jogar os dados, e quem tiver a camisa com o número do resultado vai guardar a taça. Você pode estar certo, pois, conhecendo o Pedro, é capaz que ele tenha mais chances de ganhar que nós dois

A) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidade de ganhar a guarda da taça era a mesma para todos.

B) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham mais chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro.

C) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham a mesma chance que Pedro de ganhar a guarda da taça.

D) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro.

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