Cálculo I aula 1

Cálculo I aula 1

Aula 01 - Conjuntos

, operações, intervalos e desigualdades. , , , ,ZN Q I R

Definição de conjuntos

Trata-se de uma noção primitiva, sem definição própria, podendo o conjunto ser considerado qualquer coleção de objetos ou entidades.

Os objetos que compõem a coleção são os elementos do conjunto.

Os conjuntos normalmente são representados por letras maiúsculas enquanto seus elementos são representados por letras minúsculas.

Para indicarmos que um objetoé
elemento do conjunto , escrevemos

Relação de pertinência (lê-se: pertence a ).

Se o objetonão for elemento do conjunto
, escrevemos(lê-se: não pertence a

A x A∈x x A

A x A∉x x A

Representação:1ª Enumeração

Quando escrevemos entre chaves, e separados por vírgula, os seus elementos formadores do conjunto.

Exemplos:

b) c)

Representação: 2ª Compreensão

Quando escrevemos, entre chaves, uma característica comum a todos os elementos formadores do conjunto.

Exemplos: a)

b)

Conjunto unitário

É o conjunto que possui apenas um elemento.

Exemplos: a) b)

{}/911Axx= é par e compreendido entre e { }10A =

{}/Bxx= é o satélite natural da terra { }B = Lua

Conjunto vazio

denota-seou .

É o conjunto que não possui elementos e

Exemplos: a)

b)

{}/9Axx== é par=∅ {}/Bxx= é ímpar e múltiplo de 2

Se todo elemento de um conjuntotambém for

Subconjuntos-Relação de inclusão um elemento de um conjunto

, então dizemos queé um subconjunto
de
Para indicarmos queé um subconjunto de ,

escrevemos:

(lê-se está contido em );
(lê-se contém );
• é parte de

Observações importantes

•Todo conjunto é subconjunto dele mesmo ( ).

().

• é subconjunto de qualquer conjunto

formar a partir de um conjuntocom
elementos é dado por, e denota-se por
().

•O total de subconjuntos que podemos

A n 2n

e .
• é subconjunto próprio dese, e somente
se,e .

Observações importantes

conjuntoo conjunto formado por
todos os subconjuntos de
Exemplo: SejaEntão:

•Denominamos o conjunto das partes de um

O conjuntoé a união dos conjuntos
e, se todos os elementos de e , e
apenas estes, estiverem presentes em

União de conjuntos

a)See , então
b)See , então
c)See , então

Exemplos (União)

é o conjunto interseção dee , se ele

Interseção de conjuntos

comuns ae , ao mesmo tempo.

for composto por todos os elementos

a)See , então
b)See , então
c)See , então

Exemplos (Interseção)

é o conjunto diferença de e, se for
composto pelos elementos deque não são
elementos de

Diferença entre conjuntos

a)See , então{}1,2,3,4A={}2,4,6B=

Conjunto universo

É um conjunto especificado que contém todos os elementos de interesse para um determinado problema.

•Se, então o complementar de com
relação a , denotado por

Conjunto complementar Exemplo:

See , então
Dados dois conjuntose , chamamos
diferença simétrica entree o conjunto
denotado pore definido por

Diferença simétrica .

See , então
Sua notação é

Números Naturais

Quando não se considera o elemento zero, a notação utilizada é

Números Inteiros

A notação utilizada para representar os números inteiros é

Quando o elemento zero não pertence ao conjunto, denotamos:

Outras notações

(inteiros não negativos)

(inteiros positivos)

(inteiros não positivos) (inteiros negativos)

Alguns números racionais a) 2

g)1,123123123

Exemplo

Soma de frações

Soma de frações

Sejame duas frações quaisquer.

Operações

A soma e o produto destas frações são obtidos da seguinte forma:

ab c d a c ad bc

b d bd a c ac

Números racionais

São todos os números que podem ser escritos sob forma de fração de números inteiros.

Têm representação decimal finita ou periódica.

Números irracionais

São os números cuja representação decimal não é exata nem periódica, consequentemente não pode ser escrita sob a forma de fração de inteiros.

Exemplos:

b) c)

Números reais , onde

Adição e multiplicação

A operação que a cada par de números associa sua soma denomina-se adição, e a que associa a o produto denomina-se multiplicação.

Um número racionalse diz positivo se
See , então se diz estritamente

; positivo.

Propriedades

Seentão e .

• Fechamento

• Comutativa

• Associativa

e • distributiva

Propriedades •Elemento neutro da adição

•Elemento neutro da multiplicação

•Existência do simétrico ou oposto

•Existência do inverso ou recíproco

Subtração e divisão • Subtração

ondeé o simétrico de .
ondeé o inverso de .

• Divisão

Ordenação dos reais

No conjunto dos números reais, existe um subconjunto denominado números positivos, tal que:

•Se a for um número real, então exatamente uma das três afirmativas será verdadeira.

;

•a é positivo;

é positivo;

Definições

•O número real a é negativo se, e somente se, for positivo.

•O símbolo < significa é menor que.

se, e somente se, for positivo.

•O símbolo > significa é maior que.

se, e somente se, for positivo.

•O símbolo significa é menor ou igual a.

se, e somente se, ou .

Intervalos numéricos

Existe uma correspondência biunívoca (um a um entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos pontos da reta numerada.

Algumas propriedades

Algumas propriedades

São subconjuntos de, determinados por

Intervalos desigualdades.

•Intervalo aberto de a a b denotado por

números reais, tais que

é o conjunto de todos os

Intervalos fechados

poré o conjunto de todos os
números reais, tais que

•Intervalo fechado de a a b denotado

Intervalos semi-abertos

b denotado poré o conjunto de
todos os números reais, tais que

•Intervalo semi-aberto à esquerda de a a

Intervalos semi-abertos

denotado poré o conjunto de todos
os números reais, tais que

•Intervalo semi-aberto à direita de a a b

Outros intervalos

Outros intervalos

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