Aula 12 Cálculo I

Aula 12 Cálculo I

Aula 12 –Derivadas

Introdução a Derivada,

Propriedades, Regra da Cadeia e Derivação Implícita

Derivada a Linguagem do

Movimento

Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, mas particularmente do cálculo com derivadas.

A tentativa de Galileu dedemonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático -as derivadas.

Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?...

Derivada a Linguagem do

Movimento

Isaac Newton e W.G. Leibniz, iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusive sociais cumprem o sonho pitagórico: explicar o mundo com a Matemática.

Newton

(Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727)

Leibniz

(Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716)

A Derivada, tem sua origem em dois problemas históricos que conduzem a duas formas de interpretação: a gráfica e símbolica e a numérica/analítica. Graças a introdução das coordenadas cartesianas por Decartes e Fermat no séc. XVII.

•O problema da tangente (no estudo de máximos e mínimos de funções)

•A velocidade de um objeto num determinado momento (taxas de variação)

Derivada a Linguagem do Movimento

Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva.

A Primeira definiçãode reta tangente a uma curva: reta que encontrava a curva num único ponto

Esta definiçãoainda é útil para algumas curvas um pouco mais gerais que a circunferência

Derivada a Linguagem do

Movimento

Embora estas retas interceptem a curva, elas não correspondem a nossa noção intuitiva de tangente.

A reta tangente pode ser obtida por um processolimite. Quando o ponto Ase aproxima do ponto Ba reta secante tende a reta tangente.

Derivada a Linguagem do

Movimento

Fermat resolveu o problema da tangente de maneira muito simples como mostraremos abaixo.

Sejao gráfico de uma função.()yfx

y x

ConsideredoispontosPe Q doispontos sobreo gráficode ()yfx a f(a) f(b)

Considere a reta secante que passa pelos pontosPe Q

Derivada a Linguagem do

Movimento

Fermat resolveu o problema da tangente de maneira muito simples como mostraremos abaixo. y

x O coeficiente angular dessa reta é:

af(a) b f(b) P b-a f(b) –f(a)

MantemosP fixoe fazemoso ponto Q aproximarde P.

Derivada a Linguagem do

Movimento O PROBLEMA DA TANGENTE

af(a) b f(b) P

MantemosP fixoe fazemos o pontoQ aproximarde P.

Se o limiteexiste,
em P, eé o coeficiente

obtemos a reta tangente ao gráfico de angular desta reta lim ba f b f a m ba

Derivada a Linguagem do

Movimento A RETA TANGENTE A UM PONTO

f(x0+h) P

()yfxSejao gráfico de uma função, o ponto 0

lim h f x h f x m

O coeficiente angular da reta tangente no ponto

Sabendo quedefinimos

a equação da reta tangente a por:

y mx b

Determine o coefiente angular da reta tangente ao gráfico da função dada nos pontos dados.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função dada no ponto dado.

Derivada

A Derivada de uma funçãoem relação a variável é
a funçãocujo valor em é:

f x h f x fx

caso o limite exista.

Derivada

NOTAÇÕES A Derivada é representada de várias formas:

df d f x f x D f x D f x

Os símbolos :e indicam a operação de derivação e são

chamados operadores de derivação dx D

Derivada

Para indicar o valor de uma derivada em um número específico,

NOTAÇÕES usamos a notação. xa

() xa dy fa dx

gx x e)

3 3h t t t f) Determine as derivadas das funções.

Quando uma função não apresenta derivada em um ponto?

A funçãonão é derivável na origem.()fxx

Derivada à direita em zero:.

( ) lim lim lim lim1 1 h h h h h h fx h h h

MOTIVAÇÃO y

Quando uma função não apresenta derivada em um ponto?

Derivada à esquerda em zero:. 0 0 0 0

( ) lim lim lim lim 1 1 h h h h h h fx

Quando uma função não apresenta derivada em um ponto?

Quando as secantes não tem uma posição- limite ou se tornam verticais à medida que Q tende P, a derivada não existe.

Quando uma função não apresenta derivada em um ponto?

1. Um bico, onde as derivadas laterias são diferentes.

Quando uma função não apresenta derivada em um ponto?

2. Um ponto cuspidal, onde o coeficiente angular de PQ tende a infinito, de um lado, e a menos infinito, do outro.

Quando uma função não apresenta derivada em um ponto?

3. Uma tangente vertical, onde o coeficiente angular de PQ tende a mais infinito ou a menos infinito de ambos os lados.

Quando uma função não apresenta derivada em um ponto?

4. Uma descontinuidade

Sendo, temos que as funções:
,0niiifxxxse é par ese for
ímpar

São deriváveis valendo as fórmulas de derivação, a seguir:

Proposição

11n niii f x x f x x n

Proposição

0 lim h f x h f x fx x h x fx lim1

Caso , logo 1n

Proposição

Se, então logo: 2n2fxx

0 lim h f x h f x fx

0 lim h x h x fx

Proposição

tx fx

tx

2 parcelas

0 lim h x h x fx

Proposição

3fxxCaso, logo 3n

0 lim h f x h f x fx

0 lim h x h x

tx fx

tx

Proposição

0 lim h f x h f x fx

0 lim n nh x h x

lim nntx tx fx

tx

n parcelas

Proposição

lim nntx tx fx

tx

n parcelas

Proposição

11n niii f x x f x x n

Como consequência de i) temos:

Exemplos

Determine asa derivadas das funções abaixo.

Proposição

São válidas as seguintes fórmulas de derivação Para as funções abaixo:

Obrigado !

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