Análise combinatória

Análise combinatória

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

  1. Introdução

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda o número de maneiras que um acontecimento pode ocorrer, sem que haja a necessidade de desenvolvermos todas as possibilidades.

As técnicas de contagem permitem resolver problemas de genética, loteria esportiva e em muita das outras áreas da ciência aplicada, como a medicina, a engenharia e a estatística.

  1. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

O princípio fundamental da contagem é uma regra que nos permite determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento.

A regra que utilizamos para chegar a esse resultado é enunciada da seguinte maneira:

Se um ACONTECIMENTO pode ser analisado em etapas sucessivas e INDEPENDENTES de modo que:

… nº de possibilidades na 1ª etapa

… nº de possibilidades na 2ª etapa

… nº de possibilidades na 3ª etapa

:

… nº de possibilidades na k – ésima etapa

então é o número de possibilidades de ocorrência do ACONTECIMENTO.

Exercícios de Aula

  1. Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que existem 5 roteiros diferentes entre São Paulo e Recife e 4 roteiros entre Porto Alegre e São Paulo. De quantas maneiras diferentes essa pessoa pode fazer a sua viagem?

  1. Uma pessoa lança uma moeda e um dado simultaneamente. Quantas combinações distintas de resultados existem?

  1. Mariana tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas?

  1. Com os algarismos 1, 2, 5, 6, 7 e 9:

  1. Quantos números de três algarismos podem-se formar?

  1. Quantos números de três algarismos distintos podem-se formar?

  2. Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?

  1. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 5 e 8:

  1. Quantos números de 3 algarismos distintos podem-se formar?

  1. Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?

  1. Quantos números maiores que 300 e menores que 1000, com algarismos distintos, podem-se ser formados

  1. (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si; todas elas devem ser usadas para pintar as letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso?

  1. As placas de automóveis são compostas de três letras e quatro algarismos. Quantas placas podemos formar utilizando apenas as cinco vogais (A, E, I, O e U) e os algarismos pares (0, 2, 4, 6 e 8), sendo que as letras devem ser distintas?

Desafios

  1. (ITA – SP) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham apenas 2 das letras a, b e c?

  1. (ESPM – SP) No teto de um salão há 6 lâmpadas que são comandadas por 6 interruptores independentes uns dos outros. Existem N maneiras diferentes desse salão estar iluminado por essas lâmpadas. Qual o valor de N?

  1. Uma senha de computador é composta de duas etapas: na primeira etapa o usuário deve digitar duas letras entre as 26 do alfabeto. Caso obtenha êxito no acerto da senha ele deverá passar para segunda etapa onde deve digitar três algarismos distintos. Qual o numero máximo de tentativas diferentes que o usuário deve fazer para descobrir a senha?

  1. Permutação

Permutação é o tipo de agrupamento ordenado em que entram todos os elementos em cada grupo.

Se não existirem elementos repetidos na permutação teremos que a permutação (Pn) de n elementos será:

Exercícios de Aula

  1. De quantas formas diferentes cinco pessoas podem formar uma fila indiana?

  1. Quantos são os anagramas da palavra ANEL?

  1. Sejam os anagramas da palavra BONECA.

  1. Quantos são ao total?

  1. Quantos começam por uma consoante?

  1. Quantos possuem uma seqüência alternada de vogais e consoantes?

  1. Quantos possuem as letras B e N juntas e nessa ordem?

  1. Quantos possuem as letras B e N juntas e em qualquer ordem?

  1. Quantos possuem as letras N, E e C juntas e nessa ordem?

  1. Quantos possuem as letras N, E e C juntas e em qualquer ordem?

  1. Quantos possuem as vogais em ordem alfabética?

  1. Qual a posição ocupada pelo anagrama CBOENA, se colocados todos eles em ordem alfabética?

  1. Colocados em ordem crescente todos os números de 4 algarismos distintos formados utilizando-se dos algarismos 3, 5, 6 e 9. Qual a posição ocupada pelo número 6935?

  1. (PUC-SP) Quantos anagramas da palavra ALUNO têm as vogais em ordem alfabética é?

  • Permutação com elementos repetidos

Caso existam elementos repetidos entre aqueles a serem permutados, devemos excluir aquelas permutas iguais dividindo pelo número de vezes fatorial de cada elemento repetido. Assim teremos:

= número total de elementos

, , , … = número de vezes que aparece cada elemento

Exercício de Aula

  1. Considere os anagramas da palavra ALAGOAS:

  1. Quantos são ao total?

  1. Quantos começam por vogal e terminam por consoante?

  1. Quantos começam e terminam com a letra A

  1. Quantos possuem as três letras A juntas?

  1. Quantos possuem as vogais juntas?

  • Permutação Cíclica (ou circular)

Forma de permutar os elementos formando um círculo.

Exercício de Aula

  1. De quantas formas quatro amigos podem se sentar ao redor de uma mesa redonda?

  1. De quantas maneiras 12 crianças podem formar uma roda?

  1. De quantas maneiras 12 crianças (6 meninos e 6 meninas) podem dar as mãos para abrir uma roda de brincadeiras, sendo que nenhum criança pode dar as mãos a uma pessoa do mesmo sexo?

  1. Quantos colares distintos podemos formar usando 4 miçangas vermelhas e 4 miçangas brancas, sendo que não podemos colocar juntas miçangas de uma mesma cor?

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