Baixe Apostila Completa Cálculo III Turmaweb Poli-USP e outras Notas de estudo em PDF para Automação, somente na Docsity! APOSTILA COMPLETA CÁLCULO HI ENGENHARIA POLI — USP PROF* CRISTINA CERRI COMPILAÇÃO NÃO-OFICIAL DO MATERIAL DISPONIBILIZADO À TURMA WEB !"#$ % &'(!) * !"#$%&' % +!) , -+!" ( ) ( . + $+ / -+ /0 1 ( / 23 /* $+ " /, -+!" (24 + $+ / + $+ 23 0 + $+ 21 5+!6( $+ 21 % $+ 123 * 5+!6( $+ 2# . 5+!6( $+ 23 0/ ' !) $+ 0 !"#$%$' % 4 0 -+!" )7 ( 0% " 0* + 0. + 2 " 5+!6( 0 4 78 4 7& , &23 ' !" 4 !"#$%($!)*+(! +( 9: % 9:73 ' !" . 6 %/ % %0 $( % 9: 6 % 9:238 %* ;4 # %. 4 #238 */ ((2$!) * ((2<!" *% ((238 *, 19/04/12 Ementa 1/1mac2166.ime.usp.br/pluginfile.php?file=%2F4788%2Fmod_resource%2F… Conteúdo e Bibliografia Objetivos da Disciplina: Estudar integrais de funções de duas e três variáveis, aplicações e interpretações na física e em outras áreas.. Conteúdo: Integrais duplas e triplas. Mudanças de variáveis em integrais (polares, cilindricas e esféricas). Integrais de linha - Teorema de Green. Integrais de superfícies.Teoremas de Gauss e Stokes. Aplicações. Bibliografia: [S] J. Stewart, "Calculo", Ed. Pioneira-Thomson Learning, São Paulo, 2001; [BCHS] J. Bouchara, V. Carrara, A.C. Hellmeister e R. Salvitti, "Cálculo Integral Avançado", Ed. Edusp, 1996. [G] H. Guidorizzi, "Um Curso de Cálculo", Vol. 3, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 5a edição, 2002. Software Gráfico Winplot http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Outros textos: APOSTOL, Tom M. Cálculo. Rio de Janeiro: Editora Reverté, 1979; BOULOS, Paulo. Introdução ao Cálculo. (vários volumes) São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974; BOYER, Carl B. Cálculo. São Paulo: Atual, 1996; CORANT, Richard. Differential and integral calculus. V. I. Translation E. J. McShane. New York: Nordeman Publishing Company, Inc., 1945. KAPLAN, W. "Cáculo Avançado", vol 1, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1972, LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Harbra, 1994. PISKUNOV, N. Differential and integral calculus. Moscou: Éditions de la Paix, s.d. SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução: Seiji Hariki. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução Alfredo Alves de Faria. São Paulo: Makron Books, 1994. THOMAS, George B. Cálculo - Volume 1. Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002. Textos sobre história da Matemática: EVES, Howard W. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 1995. BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução: Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974 Sites na Internet: The MacTutor History of Mathematics archive (http://www-groups.dcs.st- andrews.ac.uk/~history) , Cálculo - Thomas (http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/medialib/indexb.html), Visual Calculus (http://archives.math.utk.edu/visual.calculus) The Calculus Page (http://www.calculus.org), S.O.S. mathematics - Calculus (http://www.sosmath.com/calculus/calculus.html), Gacetilla Matemática (http://www.arrakis.es/~mcj ), Historia de Matemáticos Famosos (http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.html) History of Mathematics at the School of Mathematics (http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/RBallHist.html) 19/04/12 Informações Gerais 1 1/1mac2166.ime.usp.br/pluginfile.php?file=%2F5537%2Fmod_resource%2F… MAT 2455 Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III Turma Especial Ministrada à Distância pela WEB 1o semestre 2010 Caro(a) aluno(a). Uma das experiências pioneiras no ensino "não presencial" ou "a distância" na USP foi o oferecimento de turmas de MAT 2455 para alunos dependentes dessa disciplina da POLI. Desde o primeiro oferecimento, no 2o semestre de 2000, essa experiência vem sendo analisada e aprimorada. O(a) aluno(a) matriculado(a) nestas turmas tem a oportunidade de estudar o conteúdo destas disciplinas de forma autônoma, dentro do seu ritmo e da sua disponibilidade, com textos e atividades feitas especialmente para a turma. Somente para estes alunos estão à disposição ferramentas para comunicação (Forum e Chat) que propiciam um atendimento mais personalizado e frequente (mesmo a distância). Além disso, são disponibilizadas atividades periódicas para que cada aluno possa estudar e se preparar melhor para as avaliações. É importante que você saiba que nesta modalidade de oferecimento "a distância" não há pouco trabalho. Num curso desse tipo o aluno desempenha um papel ativo e sua participação é fundamental. Afinal "a aula" só acontece se o aluno tomar a decisão de entrar no site e participar. É importante que você se organize e tenha disciplina para estudar sozinho e com frequência, acessar o site regularmente e fazer as tarefas pedidas. Nesse semestre utilizaremos o ambiente Moodle. Na área da disciplina haverá textos com resumos dos diversos conteúdos tratados em Cálculo III, listas de exercícios, gabaritos etc. Mas atenção: os textos são apenas um resumo e um roteiro de estudo. Para que seu aproveitamento seja bom você deve completementar os estudos lendo os livros indicados na Bibliografia. Estarão também disponíveis Fóruns para discussão de temas relacionados a disciplina, como dúvidas da matéria ou de exercícios. Monitores darão atendimento diariamente na sala de monitoria do Biênio. Lembre-se que seu aproveitamento será avaliado periodicamente no decorrer do semestre, através de tarefas programadas, trabalhos, provas e de sua participação nas atividades propostas. Para maiores detalhes veja os Critério de Avaliação. Estamos empenhados em fazer o melhor, mas esta iniciativa só poderá ter êxito com seu envolvimento e participação. Temos certeza que você vai levar a sério esta proposta e colaborar para tudo dar certo. Um bom semestre a todos! Profa Cristina Cerri Ramal : 6278 e-mail: cerri@ime.usp.br 19/04/12 Criterio de Avaliacao 1/1mac2166.ime.usp.br/pluginfile.php?file=%2F5557%2Fmod_resource%2F… Critério de Avaliação A média final dos alunos desta Turma 13 - Web será calculada da seguinte forma: MF = K (P1 + P2 + P3 + T)/4 sendo que Pi são as notas das provas, i = 1,2,3; T é a média das nota dos trabalhos realizados durante o semestre que tiveram uma nota atribuída. Os trabalhos devem ser redigidos e entregues até a data limite estabelecida conforme cronograma. Serão propostos 9 trabalhos durante o semestre que somarão no máximo 30 pontos. Sendo S é a soma das notas dos trabalhos então T será igual a S/3. Ao longo do semestre serão propostas várias atividades dentro do ambiente Moodle. Cada uma dessas Atividade deverá ser feita on-line. Cada atividade realizada pelo aluno conta participação e não vale nota. Essas atividades terão prazos pré-estabelecidos conforme cronograma. K é o fator de participação que varia de 0 a 1, tendo em vista a participação do aluno, ou seja, a quantidade de atividades realizadas. Será atribuído K = 1 para o aluno que fizer 70% das atividades propostas (Atividades e Trabalhos). O fator K também fornecerá a porcentagem de frequência que será atribuída a cada aluno no final do semestre. Atenção: o aluno que só fizer as provas tradicionais terá K = 0 e assim estará automaticamente reprovado. Este é um ponto fundamental e o diferencial desta proposta, que teve o apoio total das Comissões de Graduação da POLI e do IME. Datas das Provas: todas às 13h10 P1: 06 de abril P2: 18 de maio P3: 22 de junho PSUB: 29 de junho - SEMI ABERTA ( a nota da PSUB entra obrigatoriamente no lugar da menor das Pi) Professora responsável pela Turma-Web: Profa.Cristina Cerri Coordenador da disciplina: Prof. Luiz Augusto Fernandez de Oliveira 20/04/12 Integrais Duplas - Como calcular? 2/4www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-intdupla-iterada-intro.htm Integrais Duplas - Como calcular? Cálculos de áreas e volumes de regiões são problemas antigos. A idéia de fazer aproximações por regiões com áreas e volumes conhecidos já era utilizada pelos gregos. Outra forma de tentar calcular volume de sólidos usa a idéia de "fatiar" o sólido. Por exemplo, fatiando um paralelepípedo ele pode ser visto como "uma pilha de retângulos"; um cilindro pode ser visto como um "monte de discos empilhados". Como cada fatia tem a mesma área, "somamos" as áreas e temos o volume. Então é razoável que o volume desses sólidos sejam Area da base x Altura. Tal argumento pode ser aplicado aos prismas também. A idéia de "fatiar" um sólido para obter seu volume, basea-se na sua teoria de que toda figura geométrica pode ser considerada como uma totalidade de elementos primordiais, chamados "indivisiveis". Um princípio bem natural baseado nessa idéia e que estabelece um fato útil sobre volumes foi estabelecido pelo matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), no século XVII. É conhecido como o Príncípio de Cavalieri. Vamos usar essa idéia de fatiar para chegar num resultado que permita calcular volume de certos sólidos. Considere uma função de duas variáveis f definida num retângulo fechado R=[a,b]x[c,d] e suponha que f(x,y) é positiva e contínua para (x,y) em R. O gráfico desta função é um subconjunto do R3 . Considere o sólido limitado pelo gráfico de f e o plano xy com (x,y) em R, isto é, Nosso objetivo é o de calcular o volume de S . Por exemplo tome a função f(x,y) = x (1-y4) e R = [0,2]x[0,1] . O gráfico de f está representado na figura abaixo. Poderiamos pensar em calcular o volume de S (sólido delimitado pelo gráfico de f) “fatiando” o sólido com planos paralelos ao plano yz. 20/04/12 Integrais Duplas - Como calcular? 3/4www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-intdupla-iterada-intro.htm Para cada x fixo entre 0 e 2 temos uma região onde a área se calcula facilmente usando integral de uma variável Vamos denotá-la por A(x). Então 20/04/12 Integrais Duplas - Como calcular? 4/4www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-intdupla-iterada-intro.htm Assim, como fizemos no caso do cilindro, o volume do sólido poderia ser definido como sendo a “soma” de todos os A(x). Somar em x é integrar. Então uma boa definição do volume de S parece ser Poderiamos ter feito outro tipo de “fatiamento”, por exemplo com planos paralelos ao plano xz. Teriamos obtido o mesmo valor? Podemos usar esta idéia para qualquer tipo de função? Leia Integrais Duplas Iteradas. Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Principio de Cavalieri - Fórmula do Volume da Esfera - aplicando principio… 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-1-intdupla-cavalieri.htm O Princípio de Cavalieri Bonaventura Cavalieri (1598-1647) Matemático italiano nascido em Milão e falecido em Bolonha. Foi discípulo de Galileo e escreveu sobre diversos temas como geometría, trigonometría, astronomia, óptica, etc. Foi o primeiro matemático italiano que apreciou em todo seu valor os logarítimos. Também figurou entre os primeiros que ensinaram a teoria copérrnica dos planetas. Outros trabalhos seus são o desenvolvimento dado a trigonometria esférica, assim como o descobrimento das fórmulas relativas aos focos dos espelhos e de las lentes. Mas sua obra fundamental é a "Geometría dos indivisiveis", pela qual é considerado como um dos precursores do cálculo infinitesimal. A base da nova teoria é que toda figura geométrica pode ser considerada como uma totalidade de elementos primordiais, chamados "indivisiveis". Deste modo, o cálculo de longitudes, áreas e volumes foi levado por Cavalieri ao cálculo da soma de infinitos indivisiveis". O Principio de Cavalieri nos diz que se dois corpos têm a mesma altura e os cortes por planos paralelos a suas bases são figuras com a mesma área, então eles têm o mesmo volume. Com esse princípio se pode obter o volume da esfera, por exemplo. A idéia é comparar o volume da esfera com os volumes do cilindro e do cone. Tome uma esfera de raio R. Considere o sólido X que é cone dentro de um cilindro de altura 2R e raio R, como mostra a figura. Corte por um plano horizontal B (perpendicular ao eixo do cilindro), que dista h do centro da esfera. Vamos calcular as áreas das secções planas. Na esfera a secção plana dá um cículo. Já no cilindro temos um anel. 20/04/12 Principio de Cavalieri - Fórmula do Volume da Esfera - aplicando principio… 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-1-intdupla-cavalieri.htm Aplicando o Principio de Cavalieri temos que o volume da esfera é igual ao volume do sólido X. Mas Vol(X) = Volume de cilindro - 2x Volume do cone = = pi R2 (2R) - 2 pi R2 (R)/3 = 4 pi R3 / 3 Portanto volume da esfera é 4 pi R3/3. Extraído de http://www.members.tripod.com/caraipora/cavprin.htm Outros sitios (mas só usar o "Google" e pesquisar) http://www.youtube.com/watch?v=vtsWUjk-CtY http://pt.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalieri http://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle 20/04/12 Integrais Iteradas - Exemplos 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-4-2-intdupla-exemploA1.html Integrais Iteradas - Exemplos Como já foi visto, o cálculo de integrais duplas pode ser feito utilizando a integração iterada. Veja esse exemplo Exemplo A1. Sejam f(x,y) = 2 – x2 + y2/3 e D = [-1,1] x [-1,2] (um retângulo). Então podemos calcular a integral dupla de duas maneiras, pois Então Nesse caso o valor da integral dupla é o volume do sólido que está abaixo do gráfico de f e acima do plano z = 0 (pois f é positiva). Clicando no ícone ao lado você poderá ver o gráfico dessa função e de outras do tipo f(x,y) = A – x2 + B y2 . Na animação você poderá interagir: variando x e y dentro do domínio você poderá visualizar o sólido sendo formado. Explore! Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Funções Integráveis - teoria 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-5-1-intdupla-integraveis.htm Funções Integráveis - teoria Já sabemos que temos funções que não são integráveis. Será que existe alguma caracterização das funções integráveis? Seja D um subconjunto limitado do plano. E seja o sólido . Como temos altura constante é razoável pensar que o volume de S é igual a área de D, pois espera-se que V(S) = 1.A(D). Mas a integral dupla de f(x,y) = 1 sobre D é, caso exista, o volume deste sólido. Dizemos que D tem área se f(x,y) = 1 é integrável em D e define-se a área de D por Lembre que para definir a integral de f sobre D defininimos uma função F como sendo f em D e 0 em R- D onde é um retângulo qualquer. Então nesse caso F é 1 em D e 0 em R-D. A descontinuidade de F ocorre na fronteira, ou bordo, de D. Para que tenhamos F integrável será preciso que o bordo de D não atrapalhe, seja "desprezível". O bordo ou fronteira de um subconjunto D, que é denotado por ∂D, é o conjuntos dos pontos (x,y) tais que qualquer retângulo (ou disco) centrada em (x,y) contém pontos de D e do complementar de D. As regiões que nos interessam são as regiões cujo bordo tem conteúdo nulo. Formalmente, um conjunto A tem conteúdo nulo se para todo ε > 0 εξιστεµ ρετνγυλοσ Ρ1, Ρ2,..., Rn cuja união contem A e que a soma das suas áreas é menor que ε.. As regiões que nos interessam são as regiões que tem área, As regiões que tem área são aquelas que o bordo tem conteúdo nulo. Note que felizmente os retângulos tem área. Pode parecer estranha mas existem regiões do plano que não tem área. Por exemplo, se D = Q x Q em [0,1]x[0,1] seu bordo é todo o quadrado [0,1]x[0,1]. Estranho, não é? Mas isso acontece pois perto de todo o par de números racionais tem sempre pares de racionais e de irracionais. Então a função constante 1 em D não é integrável. (Veja o texto Funções integráveis e não- integráveis.) O problema aqui é com o conjunto D . Queremos evitar isso e tratar de conjuntos D “bem comportados”, ou seja, que tenham área. Assim afirmamos que D tem área se, e somente se, ∂D tem conteúdo nulo. Conjuntos de área nula representam papel importante na Teoria de Integração. Esses são conjuntos que não interferem na integração. TEOREMA. Seja uma região D com área e limitada do plano e seja f uma função limitada em D. Se f é contínua, exceto num conjunto de área nula, então f é integrável em D. O resultado acima vale em contextos mais gerais e não apenas para funções de duas variáveis. Foi o matemático Henri Lebesgue (1875-1941) que estabeleceu a conexão entre a integrabilidade segundo Riemann e o conjunto dos pontos de descontinuidade da função. Resumidamente, Lebesgue provou que uma condição necessária e suficiente para que uma função seja Riemann integrável é que o conjunto dos pontos de descontinuidade tem área (ou medida) nula. Ele criou toda uma teoria nova para integração, que hoje leva seu nome: integral de Lebesgue. 20/04/12 Cálculo de Integrais Duplas 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-6-intdupla-calculo.htm Cálculo de Integrais Duplas Depois de definida a Integral Dupla sobre Regiões planas D temos que saber como calculá-la. Sabemos que se f é contínua em D e se o bordo da região D tem conteúdo nulo então f é integrável em D. Mas afinal quais regiões são desse tipo e como calcular a integral dupla nessas regiões? Vamos ver dois tipos de regiões cujo calculo da integral dupla pode ser feito. Região do Tipo I: região do plano entre gráficos de funções contínuas de x definidas num intervalo [a,b]. Mais explicitamente são regiões do tipo onde g1 e g2 são funções contínuas em [a,b]. Graficamente: Nesse caso D é limitada e se tomamos um retângulo R=[a,b]x[c,d] que contém D então Região do Tipo II: região plano entre gráficos de funções contínuas de y definidas em [c,d]. Mais explicitamente, são regiões do tipo onde h1 e h2 são funções contínuas em [c,d] 20/04/12 Cálculo de Integrais Duplas 3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-6-intdupla-calculo.htm Também podemos calcular a integral dupla fazendo Cristina Cerri - 2010. 20/04/12 Integrais Duplas - propriedades 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-8-intdupla-propriedades.html Integrais Duplas - Propriedades As seguintes propriedades básicas são válidas para integrais duplas. Proposição. Se f e g são funções integrais em D, região limitada do plano e com área, e c é constante então Uma outra propriedade muito útil para o cálculo de integrais duplas é a seguinte. Proposição. Suponha que f(x,y) seja integrável em D1 e em D2 , que são regiões limitadas do plano. Se D1 ∩ D2 tem área nula então f é integrável em D1 U D2 e vale Por exemplo, seja f(x,y) = 1, se (x,y) pertence a [0,3]x[0,1] e f(x,y) = 2, se (x,y) pertence a [3,5]x[0,1] . Claramente essa função não é contínua em R = [0,5]x[0,1], mas é descontínua apenas no conjunto {( 3,y ) : 0 ≤ y ≤ 1} que tem área nula no plano. Então f é integrável em R e Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-9-intdupla-mudapolares.html Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Coordenadas Polares Nas integrais de funções de uma variável real muitas vezes uma mudança de variável conveniente permite seu cálculo mais facilmente. A fórmula nesse caso é onde g (c) = a e g (d) = b , sendo g estritamente crescente. É comum escrevermos que “dx = g'(u) du”. Para integrais duplas também é possível fazer mudanças de variáveis. Nesse caso temos que fazer mudanças do sistema de coordenadas Oxy para outro sistemas de coordenadas Ouv. E como fica a integral dupla quando mudamos de coordenadas? O que irá substituir o fator “g'(u) du” nesse caso? Antes de tratar do caso geral veremos como fica a integral dupla quando mudamos do sistema de coordenadas cartesianos Oxy para o sistemas de coordenadas polares Orθ. Sabemos que x = x(r,θ) = r cos(θ) e y = y(r,θ) = r sen(θ), onde r representa a distância do ponto P de coordenadas (x,y) e θ é o ângulo formado pelo segmento OP e o eixo Ox no sentido anti-horário. Suponha que f(x,y) é integrável numa região D do plano Oxy. Como a integral dupla é o limite das somas de Riemann vamos avaliar a soma para uma partição qualquer de D. Para cada retângulo da partição sua área é aproximadamente a área de um setor circular. Mas a área de um setor circular pode ser calculada usando as variações de r e de θ . (Veja o texto sobre Coordenadas Polares ) Logo Fazendo o limite temos que onde Dxy denota a região D descrita em coordenadas cartesianas Oxy e Drθ denota a região descrita em coordenadas polares. Atenção: nunca se esqueça de multiplicar pelo fator r ! Para ver mais exemplos clique aqui! Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Integral Dupla em Coordenadas Polares - Exemplos 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-9-2-intdupla-mudapolar-ex.html Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Coordenadas Polares - Exemplos Exemplo 1. Queremos calcular o volume do sólido que está sob o parabolóide z = x2 + y2 , acima do plano xy e dentro do cilindro x2 + y2 = 2x. Então onde E então nas coordenadas cartesianas Não é uma integral muito simples. Mudando para coordenadas polares a região D passa a ser pois substituindo x(r,θ) = r cos(θ) e y(r,θ) = r sen(θ) na equação x2 + y2 = 2x temos que r2= 2 r cos(θ), logo na circunferência r = 2cos(θ). Como θ é o ângulo entre o segmento do ponto a origem e o eixo x, a variação do ângulo é de −π/2 a π/2. Região em coordenadas cartesianas Região em coordenadas polares 20/04/12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-10-intdupla-mudavar.html Mas esse foi um caso muito particular. Em geral dada uma mudança de variáveis o fator de correção da área não é constante. Esse fator é o Jacobiano da transformação. Em geral, dada uma transformação ϕ(u,v) = (x(u,v),y(u,v)) do plano o Jacobiano é O que vale é o seguinte resultado: TEOREMA. Seja ϕ uma transformação de uma aberto Ω de R2 em R2 de classe C1 onde ϕ(u,v) = (x(u,v),y(u,v)). Seja Duv subconjunto de Ω limitado, com bordo de conteúdo nulo também em Ω, e Dxy = ϕ(Duv). Suponha que ϕ é injetora e Jϕ(u,v) não é nulo o interior de Duv. Se f é contínua em Dxy então Note que na fórmula aparece o módulo do Jacobiano! Voltando ao exemplo e calculando o Jacobiano temos Jϕ(u,v)= 1/2 . Logo Agora é com você: calcule a integral! Mais exemplos e muito mais você verá em Mudança de Variáveis em Integrais Duplas - Exemplos Como você deve se lembrar, as coordenadas polares x(r,θ) = r cos(θ) e y(r,θ) = r sen(θ) são úteis e de grande importância. Várias integrais duplas ficam mais fáceis de serem calculadas se usamos a mudança de coordenadas polares, cujo Jacobiano é r. Referências: 15.9 de [S] e III.5 e IV.5 de [BCHS] ou 4,2 de [G]. Cristina Cerri -2010 20/04/12 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas - Exemplos 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-10-1-intdupla-mudavar-ex.html Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Exemplos Vimos que nas condições do enunciado do Teorema a fórmula de mudança de variáveis é Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1. Para calcular uma integral sobre uma região D = { (x,y) : (x-p)2 + (y-q)2 ≤ a2 }, com a > 0, que é a região interior a circunferência de raio a, podemos, para facilitar, fazer uma mudança de variável do tipo polar, tal que x-p = r cos(θ) e y-q = r sen(θ), ou seja, x(r,θ) = r cos(θ) + p e y(r,θ) = r sen(θ) + q . Verifique que nesse caso o Jacobiano é também r. Exemplo 2. Para calcular uma integral sobre uma região D = { (x,y) : x2/a2 + y2 /b2 ≤ 1 }, com a, b > 0, que é a região interior a uma elipse, podemos, para facilitar, fazer uma mudança de variável do tipo polar, tal que x/a = r cos(θ) e y/b = r sen(θ), ou seja, x(r,θ) = a r cos(θ) e y(r,θ) = b r sen(θ) . Verifique que nesse caso o Jacobiano é abr. Compondo essas transformações podemos resolver o seguinte exercício (extraído da prova de 1999). Exemplo 3. Determine o volume do sólido limitada pelas superfícies: ; z = x2 + y2 e z = 0. Solução. Note que desejamos calcular o volume do sólido dado por Mas isso pode ser feito com integrais duplas. onde D é a região interior a elipse . Portanto fazendo a mudança de variável Então e o Jacobiano é , não nulo no interior. Portanto . Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Aplicações da Integral Dupla 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/1-intdupla/1-11-intdupla-aplica.html Aplicações da Integral Dupla Algumas aplicações das Integrais Duplas já foram discutidas. O cálculo de volume, por exemplo, foi inclusive motivação para a definição dessas integrais. Algumas outras aplicações apresentamos aqui, porém ainda mais podem ser encontradas em física, biologia, ecomonia etc. 1. Cálculo de volume. Dada f e g são contínuas em D, região limitada do plano Oxy com área, e então o volume da região entre os gráficos de f e g é dado por 2. Área de uma região plana Seja D uma região limitada do plano Oxy, com área. Se criamos um "prisma" B de base D e altura 1 é esperado que o volume de B seja area da base vezes a altura, que é 1. Logo devemos ter Vol(B) = Area (D) x 1. Então 3. Massa e Centro de Massa Recordamos que a massa total de um sistema de k partículas cuja massa de cada partícula é mi , i = 1,...,k, é a soma m = m1+m2+...+mk . Considere uma lâmina ou placa fina plana (sem volume) cujo formato é uma região D, região limitada do plano Oxy, com bordo de conteúdo nulo. Se ρ(x,y) é uma função contínua positiva em D que representa a densidade superficial de massa, então a massa total de D deve ser “a soma das massas em cada ponto (x,y) de D”. Pensando assim faz sentido definir a massa de D como sendo já que ρ(x,y) dA pode ser interpretado como a massa do elemento de área dA. Fazendo também a analogia com um sistema finito de partículas temos que o centro de massa da lâmina é o ponto onde 2. Momento de inércia O momento de inércia de uma partícula de massa m com relação a uma reta é dado por md2 onde d é a distância da partícula a esta reta. Estendendo esse conceito a uma placa de formato D, região limitada do plano Oxy, com bordo de conteúdo nulo, com densidade pontual de massa dada por uma funçao contínua positiva ρ(x,y), temos as seguintes definições: O momento de inércia com relação ao eixo x é 20/04/12 Integrais Triplas 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-1-inttripla-def.html f é integrável em P. As mesmas propriedades operatórias que valem para integrais duplas valem para integrais triplas. Propriedades: Se f e g são funções integráveis em P então sempre que Como no caso de integrais duplas, existem funções que não são integráveis. Contudo as funções "bem comportadas" são integráveis. Temos que TEOREMA Se f é contínua em P então f é integrável em P. Portanto, se f(x,y,z) for uma função contínua e positiva e representar a densidade de massa de cada ponto (x,y,z) de P, a massa total de P deverá ser a integral tripla acima (caso existir). Como no caso de integrais duplas existem funções que não são integráveis. Veja aqui um exemplo. Mas como calcular integrais triplas? Usaremos também as integrais iteradas, que podem ser feitas em qualquer ordem. Veja como nos próximos textos da disciplina. É claro que os domínios das funções não são sempre paralelepípedos. Também veremos como definir e calcular a integral tripla em diferentes regiões do espaço. Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Funções Integráveis e Não Integráveis 1/1www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-1-1-inttripla-naointegra.html Exemplos de funções não-integráveis Existem funções de três variáveis que não são integráveis. Um exemplo de função não integrável: Considere a função f definida em R=[0,1]x[0,1]x[0,1] (cubo de lado 1) da seguinte forma: f(x,y,z) = 1, se x, y e z são racionais e 0 caso contrário. Basta calcular a soma de Riemann para convenientes escolhas de (xi , yi, zi ) que teremos somas com valor 1 e outras que valem 0. Portanto o limite não existe. (Lembre-se do exemplo que demos para integrais duplas.) Um resultado útil: Usando a definição pode-se mostrar que se ! é uma função integrável em " então ! é limitada em " , isto é, existe M > 0 tal que |! (# $ % $ & )| < M, para todo (# $ % $ & ) em " . Para a demonstração veja Teorema IV.1.4 de [BCHS]. Como para funções de duas variáveis o resultado acima é útil para encontrar exemplos. Se uma função não é limitada em " então ela não é integrável em " . Desafio: encontre um exemplo de função não é limitada em [0,1]x[0,1]X[0,1], e assim você terá um exemplo de função não integrável. Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Integrais triplas sobre regiões 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-2-inttripla-regiao.html Integrais Triplas sobre Regiões Considere uma região limitada S do R3, isto é, S está contida num paralelepípedo P, e seja f(x,y,z) uma função definida em S. Como fizemos para integrais duplas vamos definir a integral tripla de f em S usando a integral tripla de uma função auxiliar F(x,y,z) em P. Defina F(x,y,z) = f(x,y,z) em S e F(x,y,z) = 0 nos pontos que estão em P, mas não em S. Dizemos que f é integrável em S, se F é integrável em P e definimos a integral tripla de f(x,y,z) sobre S como sendo . Como no caso das integrais duplas, como F é nula nos pontos de P-S, a definição acima não depende da escolha do paralelepípedo P. As mesmas propriedades válidas para integrais duplas são também válidas para integrais triplas (veja Integrais Duplas sobre Regiões). Como você sabe existem funções que não são integráveis. Contudo, assim como para funções de duas variáveis, a integrabilidade da f pode ser garantida quando f é contínua em S e a região S é de um tipo especial. Note que se f é contínua em S a função F definida acima será descontínua num conjunto que contém o bordo de S. Logo para existir a integral esse bordo deve ser "magrinho", ou seja, não pode ter volume em R3. Estes são os tais conjuntos de conteúdo nulo. Por exemplo, um segmento de reta ou um pedaço de plano são conjuntos com volume nulo. Formalmente um conjunto A tem conteúdo nulo, se dado ε > 0 arbitrário, existem paralelepípedos P1 , P2 , ... Pn , de arestas paralelas aos planos coordenados, tais que A está contido na união P1 U P2 U ...U Pn e a soma dos volumes . Temos então o seguinte resultado. TEOREMA. O próximo resultado nos dá varios exemplos de conjuntos desse tipo. PROPOSIÇÃO. Seja D um subconjunto limitado do plano, com bordo de conteúdo nulo. Se g é uma função contínua e limitada em D, então seu gráfico é um subconjunto de conteúdo nulo no R3. Superfícies parametrizadas também são exemplos de conjuntos de volume nulo. Por isso trabalharemos com regiões S cujo bordo é formado por gráficos de funções contínuas. Vamos destacar alguns tipos dessas regiões que aparecem com mais frequência. 20/04/12 Cálculo de Integrais Triplas sobre Regiões 1/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-1-inttripla-calculo-regiao.html Cálculo de Integrais Triplas sobre Regiões Como no caso de integrias duplas para calcular integrais triplas usamos as integrais iteradas e o Teorema de Fubini. Vamos ver como fica a integral tripla no caso de S ser do tipo I, II ou III. 1. Região Tipo I. Seja S do tipo onde u1 e u2 são funções contínuas em D (D é a projeção de S no plano xy), e D é como as regiões vistas anteriormente em Integrais Duplas. Então Assim usando integração iterada, dependendo da região D podemos ter ou 2. Regiões Tipo II. Seja S do tipo onde v1 e v2 são funções contínuas em D ( D é a projeção de S no plano yz) e D é como as regiões vistas anteriormente em Integrais Duplas. Então Da mesma forma que antes, podemos ter dois tipos de integração, dependendo da forma da região D. ou 3. Regiões Tipo III. Seja S do tipo onde w1e w2 são funções contínuas em D onde D é a projeção de S no plano xz. Também nesse caso E pode-se ter dois tipos de integração, dependendo da forma da região D. 20/04/12 Cálculo de Integrais Triplas sobre Regiões 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-1-inttripla-calculo-regiao.html ou Melhor mesmo é ver um exemplo. Exemplo. Calcule onde S é a região limitada pela parábola y = x2 + z2 e pelo plano y = 4. Lembre sempre que S é o sólido “cheio”. Pode-se descrever esta região de várias formas. Projetando S no plano xy temos a região D limitada pela parábola y = x2 (z = 0) e a reta y = 4. E se (x,y) está nesta região D então E assim Entretanto a integral que temos que calcular é um pouco complicada (vai ter que fazer mudança de variável). Vamos tentar escapar disto vendo S de outra maneira. Projetando S no plano xz temos um disco D de raio 2 e centro na origem (pois encontramos a intersecção fazendo x2 + z2 = 4). Para (x,z) em D temos que y varia entre v1(x,z) = x 2 + z2 e v2(x,z) = 4. 20/04/12 Cálculo de Integrais Triplas sobre Regiões 3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-3-1-inttripla-calculo-regiao.html Então fazendo a mudança para coordenadas polares temos Importante: Na integração dupla ou tripla cada vez que se integra com relação a uma determinada variável ela deve "desaparecer", pois estamos fazendo uma integral definida, e o que sobra é apenas função das variáveis restantes. O resultado de integração dupla ou tripla é sempre um número. Crisitna Cerri-2010 20/04/12 Integrais Tripla - Coordenadas Cilindricas 1/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-5-inttripla-cilindrica.html Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Coordenadas Cilíndricas Um ponto P do espaço pode ser descrito em coordenadas cartesianas (x,y,z), mas também pode ser descrito com coordenadas chamadas cilíndricas. Dado um sistema de coordenadas cartesiano e um ponto P de coordenadas (x,y,z) , podemos descrever (x,y) em coordenadas polares, no plano Oxy. Então temos uma terna (r, θ, z) onde x = r cos θ e y = r sen θ e z = z. Para obter todos os ponto do espaço basta variar θ entre 0 e 2π, tomar r real positivo e z qualquer número real. Nesse caso, se fazemos essa mudança de variáveis, como Jϕ (r,θ, z) = r (verifique! ) então da fórmula geral de mudança de variável em integral tripla temos Exemplo 1: Calcule onde S é a região interior ao cone z2 = x2 + y2 para z entre 0 e 2. Note que 20/04/12 Integrais Tripla - Coordenadas Cilindricas 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-5-inttripla-cilindrica.html onde D é o disco de centro 0 e raio 2. Em coordenadas cilíndricas temos Exemplo 2 (questão da 1ª prova de 2000). Seja D a região do espaço interior ao cilindro x2 + y2 = 16 e exterior ao cilindro x2 + y2 - 4x = 0 , compreendida entre os planos z = 0 e z = y + 6. Calcule Solução: A região D é Para calcular a integral percebemos que a região D é mais facilmente descrita em coordenadas cilindricas. Contudo temos que separá-la em duas regiões. Considere D1 a região compreendida entre os planos e interior ao cilindro maior e D2 a região compreendida entre os planos e interior ao cilindro menor. Usando coordenadas cilíndricas temos as seguintes parametrizações (em r, θ , z) Então = 0 20/04/12 Integrais Tripla - Coordenadas Cilindricas 3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-5-inttripla-cilindrica.html Portanto OBS: O nome coordenadas cilindricas vem do fato de que um retângulo em 0rθ z é transformado em um setor de cilindro. Verifique que se 0 < r < a, 0 < θ < 2π e 0 < z < b , então temos um cilindro de raio a e altura h. Não esqueça: na mudança de coordenadas cilíndricas o Jacobiano é r. Cristina Cerri-2010 20/04/12 Coordenadas Esfericas - Exemplos 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/…/2-6-inttripla-esferica-exemplos.html Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Exemplos Exemplo 1. Calcule sendo S a região interior ao cone 2 = 2 + 2 , com positivo, e limitada pela esfera 2 + 2 + 2 = 2 (esfera de centro (0,0,1) e raio 1). Solução: A equação 2 + 2 + 2 = 2 em polares fica ρ= 2cosφ. A intersecção do cone com a esfera é quando z = 1 e x2 + y2 = 1. O ângulo φ varia de 0 até o encontro da esfera com o cone que é quando z = 1 e daí temos que o ângulo φ é π/4. Então nossa região que é o interior do “sorvete” é Logo Exemplo 2. (questão da 1ª prova de 2000) Seja a região do primeiro octante limitada pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 e pelos planos y = 0 e . Calcule Solução: 20/04/12 Coordenadas Esfericas - Exemplos 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/…/2-6-inttripla-esferica-exemplos.html Em coordenadas esféricas a parametrização de é Portanto Não se esqueça o Jacobiano é ρ2senφ nas mudança para coordenadas esféricas. - 2010 20/04/12 Aplicações de Integrais Triplas 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/2-inttripla/2-7-inttripla-aplica.html Aplicações de Integrais Triplas 1. Massa e Volume De forma análoga ao que fizemos para lâminas planas podemos calcular a massa de sólidos usando integrais triplas. Considere um sólido S que pode ser descrito como uma região S limitada do R3 cujo bordo tem conteúdo nulo (do Tipo I, II ou III, por exemplo), e tal que a densidade de massa do material é uma função ρ(x,y,z) positiva e contínua em S. Então a massa de S é definida por Se a densidade é constantemente 1, então a massa coincide com o volume de S, que é definido por Note que em particular se D é uma região plana com bordo de conteúdo nulo e se f (x,y) é uma funçào contínua e positiva em D, e se então ou seja como já tinhamos anteriormente. 2. Centro de Massa De forma análoga ao que fizemos para lâminas planas podemos calcular o centro de massa de sólidos usando integrais triplas. Se S é como antes e ρ(x,y,z) é uma função positiva e contínua em S que representa a densidade do material então o centro de massa de S é um ponto de coordenadas onde 3. Momento de Inércia Também podemos definir os momentos de inércia de um sólido S com relação aos eixos coordenados. As fórmulas de cada momento de inércia em relação aos eixos x, y e z , respectivamente são Exercício: Seja S o sólido limitado pela "calha" x = y2 e pelos planos x = z, z = 0 e x = 1. 20/04/12 Curvas www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-1-intlinha-curva.html Cristina Cerri - 2010 212 20/04/12 Integral de Linha de Campo Escalar 1/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-2-intlinha-escalar.html Integral de Linha de Campo Escalar Definiremos aqui a chamada Integral de Linha de uma função f a valores reais. Esta integral é semelhante a integral de Riemann de funções que foi vista no Cálculo 1. A diferença é que em vez de fazermos a integração sobre um intervalo faremos a integração sobre uma curva γ . Este tipo de integral foi desenvolvida no início do século 19 para resolver problemas envolvendo escoamento de fluidos, eletricidade, magnetismo etc. Vamos começar tomando uma curva γ(t) = (x(t),y(t)) onde t pertence ao intervalo [a,b]. Vamos assumir que a curva é “lisa”, isto é, que γ' é contínua e que γ'(t) é diferente do vetor nulo. Particionando o intervalo [a,b] em k subintervalos [ti -1 , ti] temos os correspondentes pontos na curva Pi = γ (x(ti),y(ti)). A imagem do intervalo [ti -1 , ti] é o pedaço da curva (arco) que vai de Pi-1 a Pi . Vamos denotar por ∆si o comprimento de cada um desses arcos. A curva γ fica dividida em sub-arcos de comprimentos ∆s1, ∆s2, ... ∆sn . Mas com arcos bem pequenos podemos dizer que . Portanto para obter o comprimento da curva basta somar todos os comprimentos dos arcos. fazendo o limite para ∆ti vai a zero temos uma integral. O comprimento da curva é então dado por Vamos generalizar. Suponha que γ representa um arame fino com densidade de massa variável dada por uma função f positiva e contínua definida num aberto que contem o traço de γ . Desejamos calcular a massa total do arame. Considere a função , n = 2 ou 3, isto é, o domínio D de f é um subconjunto do plano ou do espaço e a imagem de f é um subconjunto da reta real. Suponha que o domínio D contém a curva γ (lembre que isto quer dizer que a imagem γ(t)=(x(t),y(t)) está contido em D, para todo t em [a,b]). 20/04/12 Integral de Linha de Campo Escalar 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-2-intlinha-escalar.html Calculando f em Pi , multiplicando pelos comprimentos do arco ∆si e somando tudo temos uma aproximação da massa total. Fazendo o limite para partições de forma que os intervalos [ti -1 , ti] sejam de tamanho cada vez menores devemos melhorar a aproximação. Note que a soma acima é tipo uma Soma de Riemann. Então a massa procurada deve ser esse limite (quando existir). Temos então a seguinte definição. Definição: A integral de linha de ao longo de γ é quando tal limite existe. Chamada de integral de linha de um campo escalar (que é a função ). Mas o comprimento de um pequeno arco da curva é aproximadamente o tamanho do vetor tangente, assim lembrando que ou Se f for uma função contínua o limite acima sempre existe. Então a integral de linha de sobre γ é Se f representa a densidade de massa, a integral acima nos dá a massa total do arame. Exercício importante: Aparentemente a definição acima depende da particular parametrização da curva. Mas seria estranho já que a massa total não deve depender na parametrização, mas apenas do formato da curva. Prove que a integral de linha não depende da parametrização de γ . 20/04/12 Integral de Linha - Exemplos e Aplicações 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-2-1-intlinha-escalar-ex.html Por simetria temos que a coordenada y do cntro de massa é 0 (verifique!). Portanto o centro de massa é, (π/4, 0). OBS: Como a densidade é constante e a curva é simétrica com relação ao eixo x nem pecisariamos calcular para saber que o centro de massa do cabo estaria do eixo x. Mas cuidado: se a densidade não for constante isto pode não ocorrer. ATENÇÃO: Para aprender bem estes conceitos e obter um bom aproveitamento os textos na WEB acima não é suficiente. Apresentamos aqui apenas um resumo da teoria com alguns exercícios. Você deve estudar pelo livro ( por exemplo [S] ) e fazer os exercícios da Lista 2. Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Campos Vetoriais 1/1www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-3-campos.html Campos Vetoriais O "vento" possui uma direção, um sentido e uma intensidade. Assim uma boa representação do "vento" em cada instante e em cada ponto do espaço é um vetor. Este é um típico exemplo de um campo de vetores. Outro exemplo é um campo de força: a cada ponto associa-se um vetor "força", que tem intensidade, direção e sentido. Em linguagem matemática um campo de vetores do R2 , ou do R3, é uma função que associa a cada ponto (x,y), ou (x,y,z), de uma região D , um vetor do R2, ou do R3 . Podemos escrever onde P e Q são funções de D no conjunto dos numeros reais R. Ou escrevemos onde P, Q e R são funções de D em no conjunto dos numeros reais R. Um campo é dito contínuo se as funções P, Q e R são contínuas. E de classe C1 se P, Q e R são C1. São muitos os exemplos de campos vetoriais, principalmente em Física. Um tipo importante de campo é o campo gradiente e os campos conservativos. Associado a um campo temos outro campo chamado de rotacional.Também pode-se calcular o divergente de um campo, obtendo-se uma função. Clique em cada link e recorde. Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Campos gradientes 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-3-1-gradiente.html O Campo Gradiente - Campos Conservativos Dada uma função f de D subconjunto do R2 (ou R3) a valores em R (conjunto dos números reais) com derivadas parciais, o campo gradiente de f é o campo que a cada ponto (x,y) (ou (x,y,z)) de D associa-se o vetor ou . Obs: É comum e prática a notação com versão análoga para o caso R2 . Um campo de vetores é chamado campo conservativo se ele é um campo gradiente de alguma função f, isto é, se existe uma função f tal que . Nesta situação chamamos de f potencial de . Um exemplo: Da Lei de Gravitação de Newton a intensidade da força gravitacional entre dois objetos de massa M e m é F = mMg/r2, onde r é a distância entre os objetos e g é a constante gravitacional. Vamos assumir que um objeto de massa M está localizado na origem de R3 (por exemplo M pode ser a massa da Terra e a origem seu centro). Se o objeto de massa m está no ponto (x,y,z) então a força gravitacional que está agindo em m é Temos aqui um exemplo importante de campo vetorial, chamado de campo gravitacional. Este é um exemplo de campo conservativo pois é um potencial para . ( verifique !) Para pensar: Todo campo é conservativo? Quando o campo é conservativo só existe um potencial para este campo? Como são todos os pontenciais de um campo conservativo? 20/04/12 Integrais de Linha de Campos Vetoriais 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-4-intlinha-vetorial.htm Integrais de Linha de Campos Vetoriais Considere uma partícula que se move no plano ao longo da curva γ(t) = (x(t),y(t)), onde t pertence ao intervalo [a,b], isto é, em cada instante t a partícula encontra-se na posição γ(t). Suponha que ela está sob a ação de um campo de forças Queremos calcular o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de γ(a) até γ(b). Se fosse uma força constante e se a partícula se deslocasse sob um segmento de reta AB então o trabalho W é dado pelo produto escalar . Dividindo o intervalo [a,b] em pequenos subintervalos [ti-1 , ti] criamos pequenos arcos na curva γ(t): γ([ti-1 ,ti]) . Se estamos com intervalos pequenos o deslocamento de Ai-1 = γ(ti-1) a Ai = γ(ti) é aproximadamente um deslocamento ao longo do segmento Ai-1Ai . Se também a variação de ao longo do arco γ([ti-1 , ti]) for muito pequena podemos pensar que é quase constante. Assim o trabalho neste trecho será aproximadamente onde ∆xi = x(ti) - x(ti-1) e ∆yi = y(ti) - y(ti-1) . Aplicando o TVM podemos dizer que o trabalho total é Assim uma definição razoável de trabalho é Pode-se fazer raciocínio análogo para o caso de R3. Definição: Sejam γ(t) = (x(t),y(t)) (ou γ(t) = (x(t),y(t),z(t)) ) curva lisa por partes e campo contínuo cujo domínio contém a curva. A integral de linha de ao longo de γ é dt 20/04/12 Integrais de Linha de Campos Vetoriais 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-4-intlinha-vetorial.htm dt No caso R2 fica No caso R3 fica Usando a notação dx = x '(t)dt , dy = y'(t)dt e dz = z'(t)dt podemos escrever que ou Importante: Não é difícil provar que a integral de linha não depende da particular parametrização da curva, desde que não se inverta a orientação da curva. Veja alguns exercícios resolvidos, clicando aqui. Cristina Cerri- 2010. 20/04/12 Integrais de Linha - Exercicios 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/…/3-4-1-intlinha-vetorial-exemplos.htm Integrais de Linha de Campos Vetoriais Exemplos 1. Calcule sendo e a curva é a hélice γ( ) = (cos ,sin , ), para entre 0 e 2π . Solução: 2. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força quando uma partícula se move ao longo da curva γ( ) = (cos ,sin ), para entre 0 e π/2 (a quarta parte da circunferência 2 + 2 = 1, partindo de (1,0) até (0,1)) . Solução: 3. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força quando uma partícula se move ao longo da curva γ( ) = (sin( ),cos( )), para t entre 0 e π/2 (a quarta parte da circunferência 2 + 2 = 1, partindo de (0,1) até (1,0)). Solução: Neste caso 20/04/12 O Teorema de Green 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-5-intlinha-teogreen.html ou pode-se escrever onde a integral de linha é a soma de integrais sobre as curvas componentes da fronteira (ou bordo) de , isto é, δ = γ1 + γ2 + ... + γn. Atenção. A orientação das curvas que compoem a fronteira de para o Teorema acima seja válido é aquela que deixa a região à esquerda. Ou seja, ao caminharmos sobre a curva a região fica sempre à esquerda. Esta orientação definimos como positiva. Na região ao lado o bordo de é formado por 4 curvas e a orientação do bordo para que o Teorema seja verdadeira é a indicada na figura. A prova deste Teorema é bem complicada, mas no caso de regiões simples é mais fácil e pode ser encontrada em [BCHS] (veja página 230), em [S] ou em muitos outros livros. Vale a pena ler estas demostrações para compreender por que o resultado vale. Vamos ver nos próximos textos algumas aplicações do Teorema de Green. Obs: Alguns textos usam a notação quando se trata de integrais de linha de curvas fechadas. Exercícios: Clique aqui é veja alguns exercícios resolvidos. Faça também os exercícios da Lista 2. 20/04/12 Teorema de Green - Exercícios 1/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-5-1-intlinha-teogreen-ex.html O Teorema de Green - Exercícios Resolvidos Exercício 1. Calcule para γ o bordo do quadrado de vértices (0,0) , (1,0), (1,1) e (0,1) orientado positivamente (anti-horário) . Obs: Alguns textos usam a notação quando se trata de integrais de linha de curvas fechadas. Solução: Claramente poderíamos calcular diretamente esta integral: Usando o Teorema de Green: seja o quadrado de vértices (0,0) , (1,0), (1,1) e (0,1). Note que o campo F( ) = ( 2 3 ) = ( ( ), ( )) está definida em D. As funções e tem derivada parciais contínuas em e a curva está orientada de forma a deixar a região D a esquerda. Então aplicando o Teorema de Green vale que É claro que o Teorema é mais útil quando alguma das integrais envolvidas é muito difícil de calcular. Exercício 2. Calcule onde γ é o círculo de raio 3 centrado na origem orientado no sentido anti-horário. Solução: Ao se tentar calcular diretamente a integral de linha acima logo se chega a integrais complicadas (verifique isso!). Uma saída é tentar usar o Teorema de Green. Tome o disco de raio 3 centrado na origem (interior do círculo). O campo ( ) = (3 + sin , 7 + ( 4 + 1)1/2 ) está definido em e as funções e tem derivadas parciais contínuas. Portanto usando o Teorema de Green temos que O Teorema de Green nos permite passar de integrais de linha complicadas para integrais de linha mais simples de se calcular. Exercício 3. Calcule onde onde γ é o gráfico de y = cos x percorrido de (-π/2, 0) a (π/2,0). Solução: Tentado calcular diretamente a integral de linha iremos encontrar funções cujas integrais não são simples. Assim vamos usar o Teorema de Green. Para isso temos que criar uma região cujo bordo (ou fronteira) contenha a γ. Uma idéia é obter uma curva fechada usando o segmento [ -π/2, π/2]. Com isso criamos uma região D do plano (a região amarela) que tem como bordo (ou fronteira) a curva γ e o 20/04/12 Teorema de Green - Exercícios 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-5-1-intlinha-teogreen-ex.html segmento [ -π/2, π/2]. Orientando as curvas de forma que a região fica a esquerda (no desenho indicamos a orientação) podemos usar o Teorema de Green. E assim temos que Note que a orientação da curva γ dada não é a que deve ser usada no Teorema de Green. Por isso aparece o sinal "-" na frente da integral de linha de γ. Muito cuidado ao se usar o Teorema de Green. Todas as hipóteses devem ser verificadas. É comum os alunos se esquecerem de verificar se a região D está contida no domínio do campo. Exercício 4. Calcule a integral de linha de sobre γ uma curva fechada, simples, lisa por partes qualquer que contem a origem no seu interior, percorrida uma vez no sentido anti- horário. Solução: Temos que (verifique!!). O aluno apressado vai concluir que a integral de linha é zero, usando o Teorema. Errado!!!!! O aluno deve ter pensado em usar como região a região interior a curva γ. Mas o campo em questão não está definido na origem! E (0,0) pertence a onde o campo não está definido!!!! Não podemos usar o Teorema de Green para esta região. Note, entretanto que podemos pegar outra região que "isola" o ponto (0,0). 20/04/12 Campos Conservativos 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-6-intlinha-conservativo.html Então Como os valores são diferentes concluimos que o campo não é conservativo. Mas e se temos um campo cujas integrais ao longo de qualquer curva são iguais podemos concluir que o campo é conservativo? Vamos estudar esta questão. Clique aqui e leia sobre isso. Cristina Cerri - 2010. 20/04/12 Campos Conservativos - Caracterizações 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-6-1-intlinha-conservativo-car.html Campos Conservativos - Caracterizações Tome um campo definido em Ω subconjunto do R2 que tem a seguinte propriedade: dados dois pontos A e B do domínio Ω , o valor das integrais de linha do campo sobre curvas ligando A a B em Ω não dependem da curva, ou seja, só dependem dos pontos finais e iniciais. Será que o campo é conservativo? Queremos encontrar uma função potencial f tal que , Para funções reais sabemos do TFC que . Usando essa idéia vamos definir f da seguinte forma: se X = (x,y) e γ uma curva qualquer ligando A a X tome Note que por hipótese a integral não depende da particular curva o valor não depende de γ. De fato, resumidamente teriamos e analogamente podemos mostrar que . ( para uma prova mais detalhada veja [BCHS] VI.4 ou em [S] ou em [G]). Portanto parece que a resposta é sim. Mas para provar usamos que existe uma curva γ ligando A a X em D. Mas será que sempre existe uma curva ligando A a X em D ? Veja a seguinte região D: Para esta região não existe uma curva ligando A a X toda contida em Ω . Assim o que fizemos funciona em certas regiões que são chamadas de conexas. Um conjunto Ω é dito conexo se para dois pontos quaisquer de Ω existe uma curva curva lisa por partes contida em Ω ligando esses pontos . Lembramos que um subconjunto Ω do R2 ou R3 é dito aberto se para todo ponto P de Ω existe uma “bola” (disco ou esfera) de centro P contida em Ω . Desta forma o que vimos acima é um esboço da prova do seguinte Teorema, importante e útil. Se é um campo contínuo num domínio aberto conexo Ω do R2 ou R3 tal que para cada 20/04/12 Campos Conservativos - Caracterizações 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/3-intlinha/3-6-1-intlinha-conservativo-car.html par de pontos (A,B) a integral de linha de é a mesma ao longo de qualquer curva lisa contida em Ω ligando A e B, entao o campo é conservativo. Juntando os resultados temos que Se é um campo contínuo num domínio aberto conexo Ω , entao é conservativo se, e somente se, para cada par de pontos (A,B) em Ω a integral de linha de é a mesma ao longo de qualquer curva lisa ligando A e B contida em Ω . Como já vimos, para um campo contínuo num domínio aberto conexo e conservativo então para qualquer curva lisa por partes fechada em Ω . Será que vale a recíproca? Vamos tentar responder. Sejam β e α curvas lisas p.p. ligando dois pontos A e B do domínio Ω. A união das duas curvas β e −α , que denotaremos por γ , forma uma curva fechada lisa p.p.. Portanto , . Logo a integral de linha sobre β é igual a integral de linha sobre α , o que prova que a integral de linha não depende do caminho que liga A a B. Porém um resultado mais forte também vale. Se é um campo contínuo num domínio aberto conexo Ω , entao é conservativo se, e somente se, para toda curva fechada SIMPLES lisa por partes em Ω a integral de linha de é ugual a 0. Clique aqui e veja alguns exercícios e problemas. Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Superfícies Parametrizadas 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-1-intsuper-param.html Observação: num programa gráfico, como o Winplot, para se desenhar superfícies é preciso conhecer suas parametrizações. No Winplot as variáveis estão sempre dentro de intervalos, isto é D é sempre retângulo. Podemos desenhar a superfície esférica usando cada uma das parametrizações acima. Note a diferença. usando coordenadas cartesianas Pode-se perceber que esses programas desenham as superfícies usando curvas. São as chamados curvas coordenadas. fixe uo e faça variar o v; temos a curva γ(v) = (x(uo,v), y(uo,v), z(uo,v)) fixe vo e faça variar o u: temos a curva α(u) = (x(u,vo),(u,vo), z(u,vo)). Veja os desenhos acima. Um uma parametrização as curvas coordenadas são os meridianos e os paralelos. Já na outra as curvas coordenadas são cortes por planos paralelos aos planos x = 0 e y = 0. Exemplo 2. Gráficos de funções de duas variáveis são sempre superfícies parametrizadas. De fato, se z = f(x,y) onde (x,y) pertence a D que é o domínio de f (D é uma região do plano xy) uma parametrização do gráfico de f (que está no R3) é x = u, y = v e z = f(u,v) para (u,v) em D. Como no caso das curvas, podemos escrever a parametrização de uma superfície na forma vetorial. Temos então sua equação vetorial. Exemplo 3. A equação vetorial com (u,v) em D = R2 descreve o cilindro infinito de raio 2 com eixo no y. Se mudamos a região D e tomamos D = [-1,1]x[0,4] temos outra superfície, que é uma parte da anterior. 20/04/12 Superfícies Parametrizadas 3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-1-intsuper-param.html As equações x = x(u,v) = 2cos(u) , y = y(u,v) = v e z = z(u,v) = 2sin(v) são equações paramétricas de S, ou, uma parametrização de S. Note que para essa parametrização deixando u = uo constante e fazendo v variar na superfícies uma curva, γ(v) = X(uo,v) , que é uma reta (ou segmento de reta). Analogamente se fixamos v = vo temos, variando u, temos a curva α(u) = X(u,vo) que é uma circunferência. Estas curvas são as curvas coordenadas nessa superfície. Exemplo 4. Usando o Winplot desenhamos a superfície parametrizada dada por X(u,v) = ((2 +sin v) cos u, (2+sin v) sin u, u+cos v) para (u,v) em [0,4π]x[0,2π]. Observe as curvas coordenadas. Exercício: Use o Winplot (ou outro programa gráfico) para desenhar as seguintes superfícies parametrizadas e identifique as curvas coordenadas. Quais destas superfícies são gráficos de funções de duas variáveis f(x,y)? Quais são superfícies conhecidas? (a) x(u,v) = u cos v, y(u,v) = u sen v , z(u,v) = u2 , com (u,v) em [0,4]x[0,π] (b) x(u,v) = 1+2u , y(u,v) = -u + 3v , z(u,v) = 2+4u+5v , com (u,v) em [-3,4]x[0,7] (c) x(u,v) = sen u cos v, y(u,v) = sen u sen v , z(u,v) = cos u + ln(tg(v/2)) , com (u,v) em [0,2π]x[1, 6.2] (d) x(u,v) = cos3 u cos3 v, y(u,v) = sen3 u cos3 v , z(u,v) = sin3 v , com (u,v) em [0,π]x[0,2π] (e) x(u,v) = u sen u cos v, y(u,v) = u cos u cos v , z(u,v) = u sen v , com (u,v) em [0,2π]x[0,2π] (f) x(u,v) = u , y(u,v) = u cos v , z(u,v) = u sen v, com (u,v) em [0,π]x[0,π] Exercício: Recorde que no Cáculo 1 e 2 você viu suoerfícies de revolução. Obtem-se essas superfícies "rodando" o gráfico de uma função f(x) em torno do eixo z. Dê uma parametrização desse tipo de superfícies. Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Área de uma Superfície 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-2-intsuper-area.html Área de uma Superfície Parametrizada Como calcular a área de uma superfície? Para algumas superfícies conhecemos uma fórmula, como é o caso das superfície de um cilindro, de um cone e de uma esfera. No caso do cilindro ou do cone uma "planificação" justifica a fórmula. Mas e a área da superfície da esfera, como justificar a fórmula? Poderiamos usar a idéia de planificação? E para uma superfície qualquer? O procedimento para obter uma forma de calcular (e definir) área de uma superfície é semelhante ao que já fizemos antes para área de regiões planas, volume de sólidos e comprimento de curva. Vejamos um exemplo. O telhado de uma estrutura tem o formato da superfície S dada por = 2- 2/4 para ( ) em [0,5]x[0,2]. Tomemos uma parametrização de S : X( ) = ( ( ), ( ), ( )) onde ( ) = , ( ) = e ( ) = 2 – 2/4 para ( ) em D = [0,5]x[0,2] . A fim de calcular a área do telhado podemos dividi-lo em pequenos pedaços Si tão pequenos que são quase planos. Cada pedaço Si é proveniente de um pequeno retângulo em D obtido de partições: [ +1 ] x [ +1 ]. Para cada fixado temos uma curva coordenada e para cada outra curva coordenada na superfície. Cada curva tem seus vetores tangentes (são curvas no espaço). Sendo cada Si bem pequeno sua área é aproximadamente a área de paralelogramos Pi sobre Si como na figura. Como calcular a área de cada um desses paralelogramos? Temos dois vetores que extraímos de cada curva coordenada e que são tangentes a estas curvas. São os vetores no ponto ( , ). Sabemos que a área do paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial. O tamanho de cada um deses vetores pode não ser apropriado para o calculo da área de Pi . Mas uma aplicação do TVM nos permite afirmar que a área de cada Si é aproximadamente onde ∆ e ∆ são as dimensões do retângulo [ +1 ] x [ +1 ]. E assim a área do telhado é aproximadamente a soma das áreas de cada pequeno paralelogramo: 20/04/12 Exemplos de Calculo de Area de Superfícies 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-2-1-intsuper-area-ex.html Note que para obter todo o toro devemos varia u e v de 0 a 2π. Para o cálculo da área da superfície vamos calcular Então Exemplo 3. (questão de prova) Calcule a área da parte da superfície z = 4 - x2 - y2 limitada por . Atenção: um erro comum é não ler com cuidado o enunciado e tomar outra superfície. Aqui queremos a PARTE DO PARABOLÓIDE z = 4 - x2 - y2 e as outras equações são para limitar a superfície. 20/04/12 Exemplos de Calculo de Area de Superfícies 3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-2-1-intsuper-area-ex.html Uma parametrização é dada por Então a área da superfície é Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Integrais de Superfícies de Campo Escalar 1/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-3-intsuper-escalar.html Integrais de Superfície de Campos Escalar Desejamos calcular a massa de uma placa fina cujo formato é dado por uma superfície parametrizada S e cuja densidade pontual de massa é dada por uma função f(x,y,z) contínua definida em S. Fazemos uma aproximação: dividindo S em pequenos pedaços Si a massa total é a soma das massas de cada pedaço. Mas a massa de Si é aproximadamente f(xi ,yi ,zi )Area(Si) , onde (xi ,yi ,zi ) é um ponto qualquer de Si . Assim, Note que acima temos uma soma de Riemann. Fazendo o limite temos uma integral dupla. Como a função é contínua, a integral existe. Portanto temos a seguinte definição geral. Definição. Seja S um superfície parametrizada lisa com domínio D. Seja f(x,y,z) uma função real contínua, definida em S. A integral de superfície de f em S é a integral dupla que é denotada por Para definir a integral acima usamos uma parametrização de S, porém seu valor não depende da particular parametrização. Existe um modo prático de calcular . Um cálculo simples mostra que conhecido como “elemento de área” de S. De fato quando f(x,y,z) = 1 a área de S é dada pela integral dupla da função . Exemplo 1. Calcule onde a superfície S que é a fronteira da região limitada pelo cilindro x2 + z2 = 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2, sendo f(x,y,z) = xy. A superfície S é a união de 3 superfícies: o cilindro e as duas “tampas”, que chamaremos de S2 , S1 e S3 respectivamente (veja o desenho). Então a massa procurada é Calcularemos cada integral separadamente S1 : x = u , y = 0 , z = v para (u,v) no disco de raio 1 e centro 0 D1 . 20/04/12 Superfícies Orientáveis 1/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-4-super-orientavel.html Superfícies Orientáveis A integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva orientada γ e é dada por que pode significar o trabalho de um campo de forças ao longo da curva γ. Um outro problema físico motiva a definição de integral de superfífice de um campo vetorial. Considere um fluido com densidade ρ(x,y,z)e cujo campo dos vetores velocidade é através de S. Pense numa superfície que não impede a passagem do fluxo do fluido tipo uma rede de pesca. O problema é como calcular o volume (massa) de fluido que atravessa S. O primeiro problema que aparece é o de definir qual a direção e o sentido que nos interessa. Afinal “atravessar” significa passar de um lado para outro de S. Assim a nossa superfície deve ter dois lados apenas. Pode parecer estranho mas algumas superfícies não tem "dois lados". A faixa de Möbius é um exemplo deste tipo de superfície (ela é assim chamada em homenagem ao geômetra alemão August Möbius (1790- 1868)). Veja a figura abaixo. Pegue uma tira de papel torça e cole. Você terá uma faixa que não tem lado de fora ou lado de dentro. Esta é uma superfície dita não orientável. Queremos só considerar superfícies orientáveis, isto é, superfícies que "tem dois lados". Vamos formalizar matematicamentente este conceito. Considere uma superfície S que em cada ponto tem um plano tangente. Logo em cada ponto tem-se 20/04/12 Superfícies Orientáveis 2/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-4-super-orientavel.html dois vetores normais unitários: e . Se for possível definir um campo de vetores normais que varia continuamente sobre S, então S é chamada de superfície orientável. Para uma superfície deste tipo só temos duas orientações possíveis. As superfícies mais comuns, que usamos neste curso, são orientáveis. Mais detalhes sobre este assunto veja em [BCHS]. Exemplo 1. Encontrar um campo de vetores normais a superfície z = x2 + y2. e assim mostrar que esta é uma superfície orientável. Solução. Uma parametrização de S : x = rcosθ , y = rsenθ , z = r2 . Dada a parametrização acima em cada ponto o vetor é normal a superfície. Podemos também escolher Assim temos duas orientações para S. Escolhemos conforme o caso. Atenção: em geral nos exercícios a orientação de S é fixada (é dada no enunciado) e daí você depois de parametrizar S deve escolher qual das duas possíveis é para ser usada. Não se 20/04/12 Superfícies Orientáveis 3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-4-super-orientavel.html desoriente: nos próximos textos você verá isto com mais detalhes. Cristina Cerri- 2010 20/04/12 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais 3/3www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-5-intsuper-campo.html Exemplo. Calcule sendo S a parte do plano z = 5 - y, limitada pelo cilindro x2 + y2 = 4, orientada com o campo tal que . Solução. Considere a seguinte parametrização de S: x = u cos v ; y = u sen v ; z = 5-u sen v para u em [0,2] e v em [0,2π]. A componente k do vetor é que é positiva. Então Vale a pena lembrar novamente: cuidado com a orientação da superfície. Faça uma parametrização e depois verifique se ela fornece a orientação pedida. Se você não observar isto a integral pode ficar com o sinal trocado! Complemente seus estudos com a leitura de [S] ou [BCHS] e veja os exercícios resolvidos dos livros. Faça os exercícios da lista e discuta-os com os monitores. É necessário fazer muitos exercicios para dominar esta matéria. Dica: use o Winplot para visualizar as superfícies e compreender melhor as parametrizações. Cristina Cerri - 2010 20/04/12 Teorema de Gauss 1/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-6-gauss.html O Teorema de Gauss O Teorema de Green nos fornece uma relação entre integral dupla de uma região fechada plana com a integral de linha do bordo dessa região. O Teorema de Gauss é uma generalização no sentido que nos dá uma relação entre integral tripla de uma região fechada do espaço com a integral de superfície do seu bordo. Mas a principal motivação do resultado vem da Física e o resultado é um modelo matemático para alguns fenômenos físicos, como o cálculo do fluxo de um fluido através de S. Teorema de Gauss. Seja A um aberto conexo de R3 e seja a um campo de classe C1 em A. Seja R é uma região fechada simples contida em A e cujo bordo (ou fronteira) S =δR é composta de um número finito de superfícies lisas por partes. Se é a normal de S exterior a R (aponando para fora de R) então Pensando em um fluido em movimento com velocidade em cada ponto (x,y,z) o Teorema de Gauss nos diz que a taxa de variação do volume de fluido que ocupa o sólido R é igual ao volume de fluido que atravessa seu bordo, a superfície S. Exemplo 1. Encontre o fluxo de sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1, orientada com a normal exterior. Solução. Queremos calcular onde S é a esfera. Podemos calcular diretamente, mas aplicando o Teorema de Gauss passamos para uma integral tripla na esfera cheia R (um sólido) de 1, pois o divergente do campo é 1. Então Exemplo 2. Calcule onde e S esfera de raio 1 orientada com a normal exterior. Solução. Pelo Teorema de Gauss se R é o interior da esfera de raio 1 Exemplo 3. Calcule onde é a superfície do cilindro x2 + y2 = 1 entre os planos z=0 e z=x+2 (incluindo as tampas) , orientada com a normal exterior. Solução. É complicado calcular diretamente esta integral (tente!). Vamos aplicar o teorema de Gauss. Pars tal temos que ter uma região fechada do espaço. Tome R o cilindro x2 + y2 = 1 entre os planos z = 0 e z = x+2 com as duas tampas e orientado com a normal exterior. Então 20/04/12 Teorema de Gauss 2/2www.ime.usp.br/mat/mat2455/4-intsuper/4-6-gauss.html Para ver mais exercícios resolvidos clique aqui Cristina Cerri - 2010