Telecurso 2000 - matematica -volume 1, Notas de estudo de Teatro

Baixe Telecurso 2000 - matematica -volume 1 e outras Notas de estudo em PDF para Teatro, somente na Docsity! O Telecurso 2000 é uma proposta de educa- ção a distância para dar atendimento, prioritariamente, a jovens e adultos que desejam fazer o curso ou complementar sua escolaridade até o nível de 2º Grau, bem como adquirir competências básicas para o exercício de uma profissão. No Telecurso 2000, o participante tem a oportunidade de adquirir conheci- mentos gerais correspondentes ao ensino de 3ª à 8ª séries do 1º Grau, às três séries do 2º Grau e, ainda, conhecimentos específicos relativos aos Cursos Profis- sionalizantes. Constitui-se, também, numa possibilidade de reciclagem para os professo- res e num reforço à aprendizagem dos participantes de modo geral, dentro da perspectiva de um processo permanente de educação. Quais são as disciplinas No Telecurso 2000, as disciplinas curriculares apresentam esta estrutura: 1º GRAU 1ª FASE - LÍNGUA PORTUGUESA, MATEMÁTICA E HISTÓRIA 2ª FASE - LÍNGUA PORTUGUESA, MATEMÁTICA E CIÊNCIAS 3ª FASE - INGLÊS, MATEMÁTICA, CIÊNCIAS E GEOGRAFIA 2º GRAU 1ª FASE - LÍNGUA PORTUGUESA, MATEMÁTICA, FÍSICA E BIOLOGIA 2ª FASE - LÍNGUA PORTUGUESA, MATEMÁTICA, FÍSICA E QUÍMICA 3ª FASE - QUÍMICA, HISTÓRIA, INGLÊS E GEOGRAFIA CURSOS PROFISSIONALIZANTES 1ª FASE - UNIVERSO MECÂNICO, ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO, NORMALIZAÇÃO, MATERIAIS, LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE DESENHO MECÂNICO, ELEMENTOS DE MÁQUINAS, CÁLCULO TÉCNICO 2ª FASE - LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE DESENHO MECÂNICO, METROLOGIA, HIGIENE E SEGURANÇA DO TRABALHO, QUALIDADE, PROCESSOS DE FABRICAÇÃO, ENSAIOS DE MATERIAIS 3ª FASE - QUALIDADE AMBIENTAL, TRATAMENTO TÉRMICO, MANUTENÇÃO, PROCESSOS DE FABRICAÇÃO, TRATAMENTO DE SUPERFÍCIES, AUTOMATIZAÇÃO/AUTOMAÇÃO Cada fase tem a duração média de seis meses. O participante pode iniciar seus estudos na fase que for melhor para sua realidade, para seus interesses e para suas necessidades. Recursos de aprendizagem O Telecurso 2000 combina o uso de programas de TV (teleaulas) com materiais impressos próprios, referentes a cada disciplina, permitindo - além da aprendizagem dos conteúdos - a construção de novos conhecimentos e sua aplicação. - Cada aula na TV tem duração de 15 minutos. - Nos livros do Telecurso, o participante estuda, pesquisa e realiza exercícios. - É importante o uso de dicionários e de diferentes materiais de leitura: jornais, revistas, livros, entre outros, que enriqueçam a aprendizagem. O Telecurso 2000 Como participar O Telecurso 2000 é aberto a todos os interessados, e o participante pode trabalhar de várias formas, escolhendo a alternativa que lhe seja mais adequada e que se ajuste à sua possibilidade de participação. Alternativa 1 Freqüentando a telessala instalada numa instituição privada ou pública. Neste caso, o participante: ● faz sua inscrição; ● freqüenta o curso no local e nos horários estipulados pela instituição. Trata-se da recepção organizada, na qual os alunos se reúnem com a presença do Orientador de Aprendizagem e realizam atividades individuais ou em grupo. Alternativa 2 Assistindo às teleaulas, sozinho ou em pequenos grupos, em qualquer lugar em que haja um aparelho de TV disponível: em casa, na casa de um amigo, no sindicato, na igreja, no clube e até no trabalho, sem necessitar da presença do Orientador de Aprendizagem durante a veiculação dos programas. Essa alternativa atende aos que têm dificuldade de freqüentar diariamente uma sala de aula. Neste caso, o participante: ● faz sua inscrição num centro controlador; ● freqüenta o curso pelo menos uma vez por semana. Trata-se da recepção controlada, com a presença do Orientador de Apren- dizagem para tirar dúvidas, orientar, analisar exercícios, trocar idéias, fornecer leituras suplementares e avaliar o desempenho do aluno. Alternativa 3 Assistindo às teleaulas em qualquer lugar, sem nenhuma orientação ante- rior ou posterior e, portanto, sem freqüentar a telessala ou o centro controlador. Trata-se da recepção livre ou isolada, destinada aos participantes que tenham total impossibilidade de freqüentar uma telessala ou centro controlador. Como obter certificado de conclusão O participante poderá prestar os exames supletivos oficiais, oferecidos pelas Secretarias de Educação de cada Estado. Os procedimentos são os seguintes: ● informar-se sobre datas de inscrição, local e documentos necessários; ● inscrever-se; ● prestar os exames das matérias que desejar, não necessitando aguardar a con- clusão de todo o telecurso; ● pedir, no local em que realizou as provas, o atestado da matéria em que foi aprovado - quem é aprovado em determinada matéria não precisa mais prestar exame dessa disciplina; ● solicitar à Secretaria de Educação o certificado de conclusão, quando tiver sido aprovado em todas as matérias do currículo do Telecurso 2000. 1 A U L A Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é maior que o primeiro, o resultado é negativo. Veja: 9 - 5 = 4 5 - 9 = - 4 Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os núme- ros inteiros como pontos de uma reta. Na operação 9 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao número 14. Na operação 9 - 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos ao número 4. Na operação 5 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a direita e chegamos ao número 14. Na operação 5 - 9 = - 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos ao número - 4. Para resumir, as regras são as seguintes: l Escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa. l Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então: (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) (-) (-) = (+) Por exemplo: 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 5 + (+ 3) = 5 - 3 = 2 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8 Veja, a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de diversos números. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -5 +5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14-4 -3 -2 -1 -9 +9 1 A U L A DIA SALDO INICIAL DEPÓSITO RETIRADA 10 00,00 10 53,00 12 25,00 15 65,00 18 30,00 21 18,00 EXEMPLO 3 João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresen- tou o seguinte movimento: Qual será o saldo de João após essas operações? Vamos representar os depósitos por números positivos e as retiradas por números negativos. Devemos então fazer a seguinte conta: 53 - 25 + 65 - 30 - 18 O resultado dessa operação será a quantia que João ainda tem no banco. A melhor forma de fazer esse cálculo é somar os números positivos (os depósitos), somar os números negativos (as retiradas) e depois subtrair o segundo resul- tado do primeiro. Assim: 053 - 25 + 65 - 30 - 18 = = (53 + 65) - (25 + 30 + 18) = = 118 - 73 = = 45 Portanto, João ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancária. A multiplicação A multiplicação nada mais é que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 ́ 7 = 35 O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma forma: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 ́ 5 = 35 Agora, o número 5 apareceu 7 vezes. Então 5 vezes 7 dá 35. Você já sabe que, em uma multiplicação cada número chama-se fator. Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicação. 1 A U L A 1. Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado. Por isso: 5 ́ 7 = 7 ´ 5 2. Quando temos várias multiplicações seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo: 2 ´ 3 ´ 5 = (2 ́ 3) ́ 5 = 6 ´ 5 = 30 2 ´ 3 ´ 5 = 2 ´ (3 ´ 5) = 2 ́ 15= 30 2 ´ 3 ´ 5 = (2 ́ 5) ́ 3 = 10 ́ 3= 30 3. Quando um número multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo: 2 ́ (3 + 4 + 5) = 2 ́ 12 = 24 Ou, ainda: 2 ́ (3 + 4 + 5) = 2 ́ 3 + 2 ́ 4 + 2 ́ 5 = 6 + 8 + 10 = 24 Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações com números negativos. As regras são as seguintes: (+) ´ (-) = (-) (-) ´ (+) = (-) (-) ´ (-) = (+) Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras. l Para calcular 4 ́ (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3. Daí: 4 ́ (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3) 4 ´ (- 3) = - 3 - 3 - 3 - 3 4 ́ (- 3) = - 12 l Para entender que o produto de dois números negativos é positivo vamos lembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto: (- 3) ́ 0 = 0 Vamos então escrever essa igualdade assim: (- 3) ́ (- 2 + 2) = 0 É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja: (- 3) ´ (- 2) + (- 3) ´ 2 = 0 ? - 6 Ora, sabemos que (- 3) ́ 2 dá - 6. Logo, devemos ter (- 3) ́ (- 2) = 6 para que a soma seja zero. {{ 1 A U L AExercício 4 Um trabalhador recebe R$12 por dia de trabalho, mais uma gratificação de R$8 por semana. Sabendo que cada semana tem 6 dias de trabalho, quanto esse trabalhador deverá ter recebido após 4 semanas? Exercício 5 Descubra que números estão faltando nas operações abaixo: a) 12 ´ ........ =180 b) ........ 8 5 26 c) 148 = 6 ´ ........ + 4 Exercício 6 Certo automóvel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer uma viagem de 340 km, o proprietário colocou no tanque 30 litros de gasolina. Esse combustível será suficiente? Exercício 7 Em uma festa, as mesas do salão são quadradas e acomodam, no máximo, 4 pessoas. Para que 150 pessoas possam se sentar, quantas mesas serão necessárias? Exercício 8 Uma escola tem 4 salas e cada sala tem 30 carteiras. Na primeira sala existem 26 alunos, na segunda 24, na terceira, 23 e na quarta, 19. Quantos alunos ainda podem ser matriculados? Exercício 9 João tem um terreno retangular de 20m de frente por 30m de fundo, e deseja cercá-lo com uma cerca de arame com 5 fios. Quantos metros de arame ele deverá comprar? 2 A U L A Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 5 de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos duas dessas partes. Entretanto, se substituir- mos o “bolo” por uma unidade qualquer, a fração 2 5 é um número e, como tal, possui seu lugar na reta numérica. Para fazer a marcação na reta numérica, dividimos a unidade em 5 partes e tomamos duas Por outro lado, a fração é também o resultado da divisão de dois números; por exemplo, a fração 2 5 , que é o resultado da divisão de 2 por 5. Observe o desenho a seguir: Duas unidades foram divididas em 5 partes iguais. Nesta aula vamos estudar as frações, suas propriedades e a forma de representá-las por números decimais. A divisão prolongada Imagine que R$25,00 devam ser divididos igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma deverá receber? Sabemos que 25 não é múltiplo de 4, e portanto, a quantia que cada um deve receber não será um número inteiro. Para isso existem os centavos. Vamos então lembrar como fazemos a divisão de 25 por 4. //25 4 - 24 6 0.l Frações e números decimais 2 A U L Introdução Nossa aula 0 2 5 1 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 A U L AAté agora, nossa conta indica que cada pessoa receberá 6 reais; mas existe ainda um resto de 1 real. Para continuar, acrescente um zero ao resto e uma vírgula ao quociente. -.25 4 - 24 6,25 - 10 - -8 --20 -- 20 --0 O resultado da divisão de 25 por 4 é 6,25 ou seja, cada pessoa receberá 6 reais e 25 centavos. Utilizando uma fração para indicar a divisão, podemos representar a opera- ção que fizemos da seguinte forma: Todas as frações podem ser representadas por números decimais. Basta dividir o numerador pelo dominador prolongando a operação. A máquina de calcular faz muito bem esse trabalho. Observe os exemplos. O que aconteceu no último exemplo? A representação decimal da fração 2 3 tem infinitas casas decimais, ou seja, a quantidade de algarismos não acaba nunca. Esses números decimais que possu- em algarismos (ou grupos de algarismos) que se repetem eternamente são as dízimas periódicas. As dízimas periódicas são incômodas. Com elas, em geral não conseguimos fazer contas de somar, subtrair, multiplicar ou dividir. Por isso, preferimos representar esses números na forma de frações. Vamos então recordar as operações com frações. 25 4 = 6,25 2 5 4 = 32 = 1 2 6 1 5 = 25 4 126 15 2 3 2 A U L A O inverso de um número O inverso de um número é um outro que, multiplicado pelo primeiro, dá 1. Por exemplo: o inverso de 2 é 1 2 porque 2 ́ 1 2 = 2 2 = 1 o inverso de 3 5 é 5 3 porque 3 5 ´ 5 3 = 15 15 = 1 O zero é o único número que não possui inverso. Observe agora a igualdade abaixo: 2 3 = 2 ́ 1 3 Ela está correta, é claro. Mas, o que está mostrando? Que, do lado esquerdo, estamos dividindo 2 por 3 e, do lado direito, estamos multiplicando 2 pelo inverso de 3. Isso vale para qualquer número. A regra é a seguinte. Dividir um número por outro é o mesmo que multiplicar esse número pelo inverso do outro. Por exemplo, quanto dá 4 5 divididos por 2 3 ? Pense um pouco e acompanhe a solução. 4 5 ¸ 2 3 = 4 5 ´ 3 2 = 12 10 = 6 5 As porcentagens Uma porcentagem é uma fração de denominador 100. Por exemplo, 32% é igual à fração 32 100 que também é igual ao número decimal 0,32. Quando queremos calcular uma porcentagem de algum valor, multiplicamos a fração por esse valor. Veja: 32% de 650 laranjas = 0,32 ´ 650 = 208 laranjas 08% de R$140,00 = 0,08 ´ 140 = R$11,20 O que fazer para transformar uma fração qualquer em uma porcentagem? Se o denominador só possui múltiplos de 2 e de 5, é fácil encontrar uma fração equivalente com denominador 100. Por exemplo: 2 5 = 2´ 20 5 ´ 20 = 40 100 = 40% Mas como faríamos com a fração 4 7 ? O mais prático, em qualquer caso, é usar a máquina para dividir o numera- dor pelo denominador e depois deslocar a vírgula duas casas para a direita. Observe os exemplos: 2 A U L A 8 25 = 8 ¸ 25 = 0,32 = 32% 5 8 = 5 ¸ 8 = 0,625 = 62,5% 4 7 = 4 ¸ 7 @ 0,5714 = 57,14% Repare que nesse último exemplo fizemos uma aproximação. Na prática, usamos duas ou, no máximo, três casas decimais em nossas aproximações. Exercício 1 Simplifique as frações abaixo. Exemplo: 18 42 = 18¸ 2 42¸ 2 = 9 21 = 9¸ 3 21¸ 3 = 3 7 a) 20 32 c) 320 400 b) 24 36 d) 10 100 Exercício 2 Complete os espaços abaixo com os sinais de < (menor), > (maior) ou = (igual). Exemplo: 2 3 .... 5 8Solução: 2 3 = 2´ 8 3´ 8 = 16 24 16 24 > 15 24 ® 2 3 > 5 8}5 8 = 5´ 3 8´ 3 = 15 24 a) 5 8 .... 3 5 c) 5 6 .... 23 24 b) 2 3 .... 5 9 d) 8 10 .... 20 25 Exercício 3 Efetue: a) 3 8 + 1 6 c) 1 4 - 1 6 b) 3 10 - 4 15 d) 1 2 + 1 3 + 1 5 Exercícios 2 A U L A Exercício 4 Efetue: a) 2 5 ´ 3 7 c) 2 5 ¸ 3 7 b) 2 3 ´ 3 4 ´ 5 3 d) 1+ 2 4 Φ Η Ι Κ¸ 7 2 Exercício 5 Calcule as porcentagens: a) 10% de 120 b) 24% de 500 c) 5% de 60 d) 12,5% de 72 Exercício 6 Transforme as frações em números decimais aproximados. Dê as respostas com duas decimais. Entretanto, observe a terceira casa decimal. Se ela for menor que 5, mantenha o valor da segunda casa. Se ela for maior ou igual a 5, aumente de uma unidade a segunda casa. Exemplo: 1 7 = 0,142... @ 0,14 26 19 = 1,368... @ 1,36 a) 2 3 c) 4 11 b) 3 7 d) 29 13 Exercício 7 Escreva as frações abaixo como porcentagens. Não dê respostas com mais de duas decimais. Aproxime se necessário: a) 1 8 b) 5 6 c) 7 40 3 A U L APor exemplo, alguém poderia pensar assim: “Como não sei a idade procu- rada, deixo um espaço para ela dentro deste quadradinho, e então escrevo o que sei.” Ficaria assim: + ( + 7 ) = 79 Resolvendo esta equação (que é como chamamos em álgebra o procedimen- to de encontrar o número procurado), chegamos a: = 36, como antes. Ou seja, o símbolo que cada pessoa escolhe para ajudá-la a resolver o problema não é importante. Observe que o raciocínio é o mesmo. Sendo assim, podemos usar qualquer símbolo (lembre-se disso, pois às vezes os símbolos escolhidos podem ajudar bastante na resolução de problemas que encontramos na vida - e até nos motivar mais a enfrentar esses problemas). É comum, em Matemática, usarmos a letra “x” para designar o número que estamos procurando - a incógnita, como se diz. Também em outras ciências e na literatura em geral a letra “x” tem sido usada para designar algo desconhecido ou misterioso. Como exemplos, temos: o “raio x”, que assim foi chamado porque desco- nhecia-se o que ele era; uma certa “faculdade x”, relacionada com o desenvol- vimento da consciência do homem (segundo o escritor britânico Colin Wilson); o “cavalheiro x”, personagem misterioso de algum romance ou novela etc. No caso do problema anterior, então, sua equação fica assim, usando x: x + ( x + 7) = 79 Compare com as outras duas formas de escrevê-la. Não é a mesma coisa? E resolvendo a equação, obtemos x = 36 para a idade da mulher, como antes. Seguindo a tradição matemática, também adotaremos o x quando o símbolo for indiferente. Resumindo o raciocínio algébrico: outro problema João avalia que, de sua caixa d’água de 1000 litros, restavam apenas uns 100 litros. Para enchê-la de novo precisou fazer 45 viagens carregando uma lata cheia d’água. Qual a capacidade aproximada da lata? E quanto pesava a água na lata? As etapas importante do nosso raciocínio acima são as seguintes. Procure compreender a idéia geral do raciocínio: como vimos, ele é fruto do bom senso. ETAPA 1 - Dando nome aos “bois” O que precisamos saber para resolver o problema: isto será x. Neste exemplo, x = capacidade da lata. Em seguida, usamos x para escrever o que sabemos; quer dizer, montamos a equação do problema. 3 A U L A ETAPA 2 - Montando a equação Basta interpretar o que está escrito na nossa linguagem comum em termos matemáticos. Ou seja, escrever a equação. Reveja como fazemos: Capacidade da lata = x Capacidade de 45 latas = 45x O que sabemos: 45x + 100 = 1000 (litros) ETAPA 3 - Resolvendo a equação Esta etapa é mais automática: são as regras do cálculo. Aqui: 45x + 100 = 1000 45x = 900 x = 900 ¸ 45 x = 20 (litros) E a lata pesa 20 kg, pois 1 litro de água pesa 1 kg. Não estamos considerando o peso da lata vazia, neste problema. ETAPA 4 - Conferindo o resultado “Tudo isso?”, alguém poderia perguntar, espantado com o peso carregado por João em tantas viagens. Para não termos dúvida de que chegamos ao resultado certo, “checamos” se o número encontrado satisfaz de fato o que sabemos dos dados do problema. Quer dizer, se x for mesmo igual a 20, então deveremos ter 45x + 100 = 1000. Vejamos: 45 ´ (20) + 100 = 900 + 100 = 1000 (Confere !) x São só estas etapas? Não. É preciso ter o cuidado final de verificar se já respondemos à pergunta do problema. ETAPA 5 - Respondendo o que foi perguntado Por exemplo, poderia ter sido perguntado não quanto era a capacidade da lata, mas sim qual o seu peso em água. (A resposta não seria, é claro, 20 litros!) Ou seja: para completar a solução, você tem de responder exatamente o que o problema pede. 3 A U L AFoi uma boa aula. Concorda? O raciocínio algébrico é mesmo muito útil, poderoso e até mesmo muito atual em termos de pensamento matemático. Use- o nos próximos exercícios, não esquecendo de que o importante é a compreensão do que estamos estudando. Exercício 1 Para cercar todo o perímetro de seu terreno quadrado e ainda gastar 26 m no caminho que leva à estrada, Procópio precisou comprar 94 m de cerca. Qual a área de seu terreno? Exercício 2 Quando seu primogênito nasceu, Gustavo tinha 24 anos. Depois de quantos anos ele terá exatamente o dobro da idade de seu filho? E o triplo? Exercício 3 a) Qual o número cuja metade é igual à sexta parte de seu triplo? b) Qual o número cuja metade é igual à sexta parte de 21? c) Qual o número cuja metade é igual à sexta parte de 42? Exercício 4 Quinze anos depois do nascimento das trigêmeas Lia, Lina e Liana, quantos anos tem cada uma delas? Exercício 5 Quanto devo pedir por determinada mercadoria que pretendo vender para que, descontados 10%, eu fique ainda com R$100,00? (Verifique!) Exercício 6 Relacione cada número à esquerda com aquela expressão à direita que se torna verdadeira quando x é substituído pelo número: VALORES DE x EXPRESSÕES - 2 a) 5x = 6 - x2 - 0 b) 18 x + 5 = 2 + x - 3 c) x + x = 0 - 3 d) x3 + 2x = 12 - 1 e) x + 2x - 9 = 0 Exercícios 4 A U L A Sabemos que a diferença entre as idades é de 9 anos. Logo, (50 + x) - (10x +5) = 9 50 + x - 10x - 5 = 9 - 9x + 45 = 9 - 9x = 9 - 45 x = -36 -9 = 4 A idade de Paulo, então, é 54 anos (como encontramos antes). Que método é mais fácil? E mais rápido? No exemplo relativo à idade de Paulo, talvez você ache mais fácil aplicar o método aritmético. Basta organizar um pouco o raciocínio, fazendo uma tabela, e procurar o par de números “contrários” que satisfaça o que se pede. Já o método algébrico é mais rápido, e também mais geral: adapta-se imediatamente a vários problemas. (Veja os exercícios, depois.) Mas isso foi nesse exemplo. Em outros problemas, pode ser diferente. É isso que é bom, pois a própria escolha inicial do método a ser empregado já desenvolve nosso raciocínio e nossa criatividade. Veremos agora um problema que pode ser resolvido por, pelo menos, três métodos: um aritmético, um algébrico e um gráfico. Deixamos para você opinar, neste caso, sobre qual deles é o mais fácil, ou o mais rápido, ou o mais geral etc. Outro problema... e três métodos de resolução Estou com uns amigos numa mesa de bar. Tenho na carteira R$15,70. Quanto posso deixar minha despesa alcançar, se também pretendo deixar como gorjeta para o garçom 10% sobre essa despesa? Resolvendo pelo método aritmético Fazendo algumas tentativas com o valor da despesa, observo que, para cada 10 reais de despesa, deixarei mais 1 real para o garçom, totalizando esse gasto 11 reais, ou R$11,00. Para cada 1 real de despesa, deixarei 10 centavos, gastando assim R$1,10. Vamos, então, acrescentando novos gastos como esses, até a soma se aproximar do que tenho (R$15,70). Veja a tabela, com valores em R$: DESPESA GORJETA GASTO REAL SOMA 10 1 11 11 01 0,10 01,10 12,10 01 0,10 01,10 13,20 01 0,10 01,10 14,30 01 0,10 01,10 15,40 00,10 0,01 00,11 15,51 00,10 0,01 00,11 15,62 00,10 0,01 00,11 15,73 (mais do que tenho) 4 A U L AObserve que, após a quinta linha de despesa, não valeria a pena continuar somando 1 real, pois isso levaria o total do gasto a mais de 16 reais - quantia de que não disponho. Por isso, continuamos com valores simples menores, de R$0,10 de despesa. Sendo assim, a tabela mostra que, nesse caso, posso deixar minha despesa alcançar apenas o que consta da última linha. Ou seja: 10 + 4 + 0,20 = 14,20 reais Resolvendo pelo método algébrico Vamos dar nomes (ou símbolos) aos componentes do problema: l x - para o valor que a despesa pode alcançar l 0,1x - para a gorjeta = 10% de x = (10/100) · x l 1,1x - para o gasto = x + 0,1x Então, eu quero saber qual o valor de x para que o meu gasto no bar não ultrapasse R$15,70. 1,1x = 15,70 (ou menor que isso) x = 14,27 - um pouco mais que 14,20. Como antes. De fato, se a minha despesa for R$14,20, a gorjeta será de R$1,42 ao todo, e terei gasto R$14,20 + R$1,42 = R$15,62, como encontramos na solução aritmética. Resolvendo pelo método gráfico Podemos também nos assegurar dessa resposta visualizando o problema num gráfico. Por exemplo, marca-se no eixo horizontal a despesa e, no vertical, a despesa aumentada de 10%, quer dizer, o gasto real. E marcando neste gráfico alguns valores conhecidos, como aqueles da tabela do item Resolvendo pelo método aritmético. DESPESA GASTO REAL 10 11,00 01 11,10 04 04,40 Exercícios 1 4 10 11 4.40 1.10 Gasto real (y) Despesa (x) , 1, 4 A U L A 11 Gasto real (y) 10 Despesa (x) 4.4 4 15.70 14.20 y=1,1x 15,70 14,20 Despesa (x) É fácil notar que esses três pontos do tipo (x,y) = (despesa, gasto) que encontramos na tabela, bem como quaisquer outros que calculemos, formam uma reta que passa pela origem dos eixos. De fato, isso acontece porque o gasto é proporcional à despesa: ou seja, se a despesa for, por exemplo, 10 vezes maior, o gasto também será 10 vezes maior. Realmente, vimos que, de fato, um deles é múltiplo do outro: gasto = (1,1) ´ despesa. Aqui é bom fazer uma pequena pausa para tratarmos de sinais matemáticos. É que, em álgebra, convém trocar o sinal de vezes (´) pelo ponto (·), para não confundir com a letra x. Tradicionalmente, a matemática utiliza os seguintes sinais: ´ e · para a multiplicação e ¸ e : para a divisão. Por isso, se você encontrar: gasto = (1,1) · despesa é a mesma coisa que gasto = (1,1) ́ despesa Algumas vezes, você também vê uma multiplicação na qual o sinal não aparece. Podemos escrever, por exemplo, o produto de a por b de três formas: a ´ b, a · b ou simplesmente ab Assim, para sabermos que a despesa corresponde ao gasto de, no máximo, R$15,70, marcamos este número no eixo vertical e procuramos pela despesa no eixo horizontal: Fazendo isto com cuidado, vimos que a despesa pode ser de até R$14,20, ou um pouco mais alta - como concluímos pelos outros dois métodos. Aqui estão alguns exercícios para você praticar. A lição mais importante desta aula, entretanto, não foi dita até aqui. É esta: 4, 5 A U L AEquacionando o quebra-cabeça O que vemos na figura dada? Vemos 5 quadrados iguais. Eles estão unidos e são feitos com palitos de fósforo. O problema pede que os 5 quadrados se transformem em 4 quadrados iguais, só com o movimento de 2 palitos. Que figura formarão, então, os 4 quadrados? Se soubermos isso, será bem mais fácil formar a tal figura... e o problema estará resolvido. Dois quadrados juntos podem ser formados de um dos seguintes modos: a) os quadrados não têm lado (palito) comum; ou b) os quadrados têm um lado comum. Qual a diferença importante no caso de querermos formar uma ou outra destas figuras? Pense. 2 quadrados com lado comum 2 quadrados sem lado comum A diferença é numérica: em a), precisamos de 8 palitos; já em b), precisamos de apenas 7 - pois “economizamos” um palito quando os quadrados são vizinhos, tendo um lado comum. E no nosso caso? Queremos formar 4 quadrados, sem que sobrem palitos. Qual é a pergunta crucial aqui? Pense. Isso mesmo! A pergunta é: “Quantos palitos temos?” É só contar: temos 16 palitos. Se cada quadrado possui 4 palitos e queremos formar uma figura com 4 quadrados - desde que não permitamos que dois quadrados sejam vizinhos (“de parede”, isto é, de lado comum) - usaremos: 4 ́ 4 = 16 palitos. Exatamente o que temos! Algumas tentativas irão lhe mostrar que, desenhando ou fazendo 4 quadra- dos com 16 palitos, o desenho que devemos procurar formar é este: 5 A U L A Está resolvido. Não lhe parece mais fácil, agora? Pois então. Tudo teve uma seqüência muito natural, desde o momento em que equacionamos o problema, contando o número de palitos e tentando visualizar claramente o que havia sido pedido - neste caso, a forma da figura dos 4 quadrados. Equacionando um problema algébrico Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equa- ção (ou as equações) de modo que ela expresse em linguagem matemática o que foi dado no problema em linguagem comum. Vejamos, então, como fazer isso com problemas algébricos, ou melhor, com problemas que admitem solução algébrica. EXEMPLO 1 Qual é o número cujo dobro, mais 5, é igual a 17? Equacione o problema, chamando o número desconhecido de x. Vimos que não importa a letra que usamos para designar a incógnita, isto é, o número procurado - mas é universal o uso do x. O fato importante é que: 2x + 5 = 17 A partir daí, acharíamos x. (Você pode tentar, se quiser). Só que nesta aula estamos mais interessados no equacionamento dos problemas - que é a primeira etapa. Geralmente, essa é a etapa mais importante na resolução desses problemas. Vamos relembrar os momentos fundamentais desse equacionamento. l Quando encaramos o tal número procurado como a incógnita do problema, e o chamamos de x; l Quando traduzimos em “matematiquês” o que está dado em português, ou seja, quando escrevemos a equação matemática que é satisfeita por essa incógnita. Neste exemplo, faríamos assim: x = número O que sabemos: 2x + 5 = 17 Para reconhecer x, é só resolver a equação. Encontra-se x = 6. Verifique. Vamos ver outros exemplos de equacionamento de problemas. É interessan- te que você, em cada caso, experimente responder a estas duas perguntas do equacionamento, antes de continuar a leitura: a) O que é x, neste caso? (Qual é a incógnita?) b) O que sabemos sobre x? (Qual é a equação?) 5 A U L AEXEMPLO 2 Quanto deve medir de lado (em km) um terreno quadrado, para que o número que vai expressar seu perímetro (em km) seja o mesmo que o número que expressa sua área (em km²)? Procure a solução! Em primeiro lugar, vamos responder às duas perguntas principais do equacionamento: a) x = lado b) O que sabemos: 4x = x² perímetro área Aqui, vamos lembrar que um número (ou incógnita) ao quadrado é esse número (ou incógnita) multiplicado por ele mesmo. Então: 4 x = x · x E, logo, adivinhamos um número x que satisfaz esta equação. Qual é? Ora até visualmente fica claro que a expressão 4x = x², acima, é verdadeira quando substituímos x por 4, pois temos: 4 · 4 = 4 · 4 Portanto, se o lado do terreno quadrado for 4 quilômetros, satisfará o que é pedido. Uma observação importante: a equação 4 x = x ² é uma equação de 2º grau. Por isso, (como recordaremos) deve ter outra raiz, ou seja, outro número para substituir o x. A outra raiz é zero, pois zero vezes qualquer número é zero. Mas, neste caso, o terreno teria lado nulo, quer dizer, não existiria. (Dizemos que, neste caso, x = 0 é uma solução degenerada). EXEMPLO 3 l Qual o número cuja metade é a sexta parte de 42? E de 21? l E qual o número cuja metade é a sexta parte de seu triplo? A primeira pergunta é equacionada assim: x = número 7 O que sabemos: x 2 = 42 6 1 A partir daí fica fácil: multiplicando os dois lados por 2, teremos x = 14. 5 A U L A Exercício 2 a) Faça o mesmo com este problema, parecido com o Exemplo 2, visto na aula. Quanto deve medir a aresta (em m) de um cubo, para que o número que expressa a área (em m²) da superfície lateral total do cubo (formada pelos 6 quadrados que o limitam) seja um número igual ao de seu volume (em m³)? b) Olhando para sua equação, que palpite você arriscaria para o tamanho da aresta procurada? Exercício 3 a) Equacione o seguinte problema. A idade de um pai é o triplo da idade de seu filho e, ao mesmo tempo, o filho é 22 anos mais jovem que o pai. Quais as idades deles? Cuidado: há duas incógnitas! (Chame-as de x e y). E há também duas equações. b) Observando atentamente as suas duas equações, você consegue desco- brir x e y? (Pense na diferença entre as idades, vendo-a de dois modos.) Exercício 4 a) Resolva o item a) do exercício anterior chamando as incógnitas de p e f. Compare as equações com aquelas equações anteriores: o que podería- mos dizer dos valores dessas incógnitas? b) Que letras você prefere para as incógnitas, neste problema? Por quê? superfície lateral do cubo cubo arestas 5 A U L AExercício 5 Equacione este problema, que trata do famoso retângulo áureo. O lado menor de um retângulo mede 1 m, e o lado maior é desconhecido. Queremos que esse lado maior seja tal que, quando retirarmos um quadrado de lado 1 m do retângulo, sobre uma retângulo semelhante ao retângulo grande - isto é, do mesmo formato que o retângulo grande, com os lados respectivamente proporcionais aos dele. Sugestão: Chame de x a maior - ou a menor - das duas medidas desconhe- cidas, na figura. Agora interprete a proporcionalidade entre os lados do retângulo grande e do pequeno em termos de uma equação em x. Atenção: A equação é de 2º grau. Deixe a resolução para o momento em que estiver relembrado esse assunto, em aulas futuras. { { 1 ? ? 1 O retângulo áureo é igual a um quadrado unido a outro retângulo áureo menor (é importante na natureza, nas artes e na matemática).{ {{{{ { 6 A U L A À medida que os problemas se tornam mais complicados, o método algébrico vai se impondo naturalmente ao método aritmético. Resolver equações fará parte das nossas atividades diárias. Mas, o que significa resolver uma equação? Tomemos como exemplo esta equação: x + 4 2 = 2 x - 3α φ- 1 Não importa de que problema ela tenha vindo. Desejamos, antes de mais nada, responder à pergunta que fizemos. Resolver uma equação significa encontrar um número tal que, se for coloca- do no lugar da letra x, torna a igualdade correta. Veja o que acontece se substituímos x por 2. x + 4 2 = 2 2 - 3α φ- 1 3 = - 3 —> errado! Logo, x = 2 não é solução da nossa equação. Veja agora o que acontece se substituímos x por 6. 6 + 4 2 = 2 6- 3α φ- 1 5 = 5 —> certo! Portanto, x = 6 é solução da nossa equação. Dizemos também que x = 6 é raiz da equação dada. É importante saber que x = 6 é a única solução da equação do nosso exemplo. Você pode tentar substituir x por outros números; mas fique certo de que jamais encontrará outras igualdades corretas. Resolvendo equações 6 A U L Introdução 6 A U L AEXEMPLO 3 Um feirante levou 60 mamões para vender na feira. Começou vendendo cada um por 50 centavos. Depois, como a venda estava fraca, baixou o preço para 30 centavos e vendeu todos os outros. Sabendo que ele arrecadou R$ 22,80, quantos mamões ele vendeu pelo preço mais caro? Digamos que seja x o número de mamões que ele vendeu pelo preço mais caro. Como cada uma dessas frutas foi vendida por R$ 0,50 então, na primeira parte da venda ele arrecadou 0,50 · x. Quantos mamões sobraram? Se ele tinha inicialmente 60 mamões e vendeu x mamões, então sobraram 60 - x mamões. Como cada um deles foi vendido por R$ 0,30, então, na segunda parte da venda o feirante arrecadou 0,30 (60 - x). Se ele arrecadou no total R$ 22,80, nossa equação é: 0,50 · x + 0,30 (60 - x) = 22,80 Vamos agora resolver essa equação. Observe inicialmente que, na parte decimal de um número, o zero colocado à direita pode ser dispensado. Ficamos então com: 0,5 · x + 0,3 (60 - x) = 22,8 Para evitar trabalhar com decimais, multiplicamos todos os termos da equação por 10. 5x + 3 (60 - x) = 228 Agora fica fácil: 5x + 3 · 60 - 3x = 228 5x + 180 - 3 x = 228 5x - 3x = 228 = 180 2x = 48 2x 2 = 48 2 x = 24 Portanto, o feirante vendeu 24 mamões pelo preço mais caro. EXEMPLO 4 Uma caixa com 30 lápis custa R$ 4,80. Quanto deverá custar uma outra com 40 lápis? Este é um problema de regra de três. Problemas como esse são muito freqüentes em nossa vida. Observe como organizamos os dados no quadro montado abaixo. preço —> 4,80 x quantidade —> 0,30 40 6 A U L A Para resolver o problema, montamos a equação 4,80 30 = x 40 Por que fazemos isso? É simples. Vamos pensar no significado de cada fração. Repare que, dividindo o preço da caixa pela quantidade de lápis, estamos calculando quanto custa cada lápis. Se o preço de um lápis é o mesmo nas duas caixas, as duas frações devem ser iguais. Resolver essa equação é fácil. Basta multiplicar por 40 os dois lados. 40 · 4,80 30 = 40 · x 40 Daí, x = 40 · 4,80 30 = 6,4 Logo, a caixa maior deverá custar R$ 6,40. Comentário: freqüentemente, encontramos no mercado um mesmo produ- to em embalagens diferentes e com preços diferentes. Nesse caso, é preciso saber qual das embalagens é mais econômica. Por exemplo, se uma caixa com 30 lápis custa R$ 4,80 e outra com 40 lápis custa R$ 6,10, o problema que acabamos de resolver nos mostra que devemos preferir a segunda. Na caixa maior, o preço de cada lápis é certamente menor. EXEMPLO 5 João recebeu seu salário e verificou que: l a quarta parte do dinheiro ele gastou com aluguel e pagamento das contas; l a terça parte gastou no supermercado; l restaram-lhe R$ 100,00 para todas as outras despesas. Qual é o salário de João? Vamos chamar de x o salário de João. Agora, vamos somar o que ele pode gastar com outras despesas. Essa soma é o salário de João. Então: x 4 + x 3 + 100 = x Para resolver essa equação, vamos eliminar os denominadores, multiplican- do todos os termos por 12. 12· x 4 + 12· x 3 + 12· 100 = 12· x 6 A U L ASimplificando, temos: 3x + 4x + 1200 = 12x Passando todos os termos que contêm x para um mesmo lado, ficamos com: 1200 = 12x - 3x - 4x 1200 = 12x - 7x 1200 = 5x 5x = 1200 x = 240 Concluímos que o salário de João é de R$ 240,00. Observe agora o próximo exemplo para aprender algo diferente sobre as equações. EXEMPLO 6 Antônio, Bruno e Carlos são irmãos. Sabe-se que Bruno é dois anos mais velho que Antonio e que Carlos é três anos mais velho que Bruno. Se a soma das idades de Antonio e Carlos é o dobro da idade de Bruno, calcule as idades dos 3 irmãos. Vamos chamar de x a idade de Antônio. Como Bruno é 2 anos mais velho, a sua idade será x + 2. E já que Carlos é três anos mais velho que Bruno, a idade de Carlos será x + 2 + 3 = x + 5. Resumindo: Antônio0000000000 Bruno0000000000Carlos x x + 2 x + 5 Como a soma das idades de Antônio e Carlos é o dobro da idade de Bruno, temos a seguinte equação: x + x + 5 = 2 (x + 2) Vamos resolver como já aprendemos x + x + 5 = 2x + 4 5 - 4 = 2x - x - x 1 = 0 Mas isto é um absurdo! Certamente que 1 não é igual a zero. Qual é o significado do que aconteceu? Vamos explicar. Chegamos à equação: 5 - 4 = 2x - x - x que é equivalente a 1 = (2 - 1 - 1) x ou, ainda, 1 = 0 · x 5x 5 = 1200 5 7 A U L A Por exemplo, se uma criança tem 5 anos podemos calcular sua altura, substituindo o x da fórmula por 5. Veja: y = 5,7 · 5 + 81,5 y = 28,5 + 81,5 y = 110 cm O resultado indica que, em geral, as crianças de 5 anos devem estar medindo por volta de 110 cm de altura. Em geral, como o desenvolvimento da criança depende de outros fatores, como a altura dos pais, a alimentação etc., são consideradas crianças normais as que tiverem altura até 10 cm a mais ou a menos que o valor dado pela fórmula. Para você saber mais Cada criança tem seu jeito de crescer. Em geral, as meninas crescem de forma muito próxima aos valores dados pela fórmula. Já os meninos crescem um pouco menos dos 10 aos 12 anos e passam a crescer mais depois dos 12 anos. Com a fórmula que apresentamos, você pode fazer previsões Suponha que uma menina tenha 115 cm de altura aos 5 anos. Essa criança tem, portanto, 5 cm a mais que o valor dado pela fórmula. Se tudo correr normalmente, essa diferença deve se manter (ou até aumentar um pouco) ao longo dos anos. Assim, se você quiser saber que altura ela terá aos 10 anos, aplique a fórmula e acrescente esses 5 centímetros. A álgebra em uma pequena empresa Mesmo em pequenas empresas surgem freqüentemente problemas relacio- nados com a produção, com os custos, com os investimentos, com a divisão dos lucros etc. Vamos mostrar um deles e sua solução, com o auxílio da álgebra. EXEMPLO 2 Como fazer uma divisão proporcional? Em uma confecção trabalham 16 costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50% a mais que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento é colocada numa poupança para ser distribuída no fim do ano. É a “caixinha do Natal”. Pois bem, no fim do ano, essa poupança tinha R$ 1.440,00. Como deveremos fazer a distribuição dessa caixinha mantendo-se a mesma proporção dos salários? Temos aqui uma excelente oportunidade para usarmos a álgebra. Como já vimos nas aulas anteriores, é preciso escolher o significado da nossa incógnita. Vamos então representar com a letra x a quantia que cada costureira deverá receber. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada uma receberá: 7 A U L Ax + 25 % de x = x + 25 100 · x = x + 0,25 · x = (1 + 0,25) x = 1,25 x A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela receberá: x + 50 % de x = x + 50 100 · x = x + 0,5 · x = (1 + 0,5) x = 1,5 x Veja, então, o resumo no quadro abaixo. 16 costureiras ® 16 · x 02 supervisoras ® 2 · 1,25 · x 01 diretora ® 1,5 · x Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupança: 16 · x + 2 · 1,25 · x + 1,5x = 1440 Para encontrar o valor de x basta, então, resolver essa equação. Observe: 16x + 2,5x + 1,5x = 1440 (16 + 2,5 +1,5) x = 1440 (x em evidência) 20x = 1440 20x 20 = 1440 20 (dividindo por 20) x = 72 Portanto, cada costureira deverá receber R$ 72,00. O resto é fácil. 1,25 · x = 1,25 · 72 = 90 1, 5 · x = 1,5 · 72 = 108 Assim, cada supervisora deverá receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foi feita então a divisão proporcional da caixinha do Natal. A álgebra na carpintaria Será que a álgebra tem vez em uma simples carpintaria? Tem sim. Existem problemas que o marceneiro pode resolver de forma muito eficiente com auxílio da álgebra. Vamos ver um deles. 7 A U L A EXEMPLO 3 O corte está no lugar certo? Certo dia, um marceneiro recebeu a seguinte tarefa: cortar os cantos de uma mesa quadrada, que tinha 120 cm de lado, para transformá-la em uma outra com 8 lados iguais. Observe, nas figuras abaixo, o problema do marceneiro. Repare que o problema de transformar a mesa quadrada em outra, com 8 lados iguais, não é um problema fácil. Os cortes precisam ser feitos em lugares certos. Se não, o marceneiro corre o risco de estragar a mesa. Como fazer, então, os cortes perfeitos? Acompanhe o raciocínio do marceneiro e, mais uma vez, a utilidade da álgebra. As partes que serão eliminadas da mesa quadrada são triângulos retângulos com dois lados iguais. Eles se chamam catetos. O lado maior, onde será feito o corte, chama-se hipotenusa. Para observar direito esse triângulo, ele fez um desenho grande de um triângulo desse tipo, com catetos de 1 m de comprimento, e mediu a hipotenusa. mesa antiga nova mesa 120 cm ? hipotenusa Catetos (iguais) 1 m 1 m 1.41 m 7 A U L Aa) Quanto ganha cada operário? b) Quanto ganha cada diretor? Sugestão: Represente o salário de cada operário por x e complete o quadro abaixo: 1 operário ganha x 80 operários ganham .......... 1 técnico ganha .......... 20 técnicos ganham .......... 1 engenheiro ganha .......... 04 engenheiros ganham .......... 1 diretor ganha .......... 02 diretores ganham .......... Tente descobrir a equação que resolve o problema. Exercício 5 A cantina de uma escola fez um refresco para as crianças, diluindo 1 litro de suco concentrado de laranja em 9 litros de água. Foram produzidos 10 litros de refresco, no qual 10 % do total é de suco concentrado e 90 % é de água. Como o refresco não ficou bom, resolveu-se acrescentar mais suco concen- trado até que o total ficasse com 20 % de suco concentrado. Pergunta-se: Que quantidade de suco concentrado deve ser adicionada ao refresco? Sugestão: Observe o quadro abaixo. Agora escreva uma equação que represente o seguinte: Suco concentrado = 20% do total do refresco TOTAL DE REFRESCO LITROS DE SUCO CONCENTRADO LITROS DE ÁGUA 1º REFRESCO 2º REFRESCO 1 9 1 + x 9 10 10 + x 8 A U L A 8 A U L O subtítulo da aula de hoje poderia ser este: “Visualizando relações entre números”. E esse assunto nos faz lembrar o matemático francês René Descartes (1596-1650). Foi Descartes quem inventou um jeito de visualizar números e relações entre números, que ficou conhecido como plano cartesiano - um sistema de eixos coordenados. Os exemplos que aparecem nesta aula mostrarão como os gráficos no plano cartesiano são simples e naturais e, no entanto, profundos e esclarecedores. Por enquanto, basta que você se lembre dos gráficos de barras - como aquele que mostra a população do país a cada ano, o seu salário a cada mês, a temperatura de um local a cada hora etc. O plano cartesiano é igualmente fácil, e ainda mais claro visualmente. Vamos a ele! Para começar, vamos rever uma conhecida nossa do 1º grau - a reta numérica. Eis aqui a reta numérica, com alguns números representados nela. Observe as distâncias iguais entre números inteiros consecutivos, como: - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 etc. A reta numérica é completa: cada um dos seus infinitos pontos representa exatamente um número real, e todos os infinitos números reais têm lugar nela. Ela se estende indefinidamente (ou ilimitadamente) nos dois sentidos da horizontal. E é um eixo orientado: quanto mais à direita, maior o número (ex: 10, 100, 1.000, 10.000 etc.); quanto mais à esquerda, menor (ex: - 10, - 100, - 1000, - 10.000 etc.). Assim, por exemplo: -100 é menor do que -10. Escrevemos: - 100 < - 10 Então, - 100 fica à esquerda de - 10. Pode-se dizer também que - 10 é maior do que - 100 e escrever: - 10 > - 100 Nossa aula Coordenadas Introdução -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5.1 -2.5 -1/2 0 √2~1.41 π~3.14 4 28/5=5.6 (-) (+) - - , , - / Ö @ , p @ ,14 2 , 8 A U L AUm exemplo de reta numérica: a linha do tempo A reta numérica tem aplicações práticas muito importantes. Exemplo disso são as linhas do tempo utilizadas em História. Essa reta também pode ser interessante do ponto de vista de nossa própria vida, de nossa história pessoal. Aqui está um trecho dela, dividido em milênios e subdividido em séculos, com exemplos do ano em que nasceram alguns homens e mulheres que ficaram conhecidos, como líderes, cientistas e artistas, entre outros. A linha do tempo nos ajuda a compreender melhor há quanto tempo cada um deles nasceu. Veja: Vamos agora fazer um “zoom”, como se diz em linguagem de computador (ou um “close”, em linguagem de fotografia), na reta numérica. Assim podemos visualizar mais de perto (close, em inglês) o nosso próprio século XX subdividido em décadas e anos (e seus séculos vizinhos), com alguns acontecimentos: 56 3a .C .? - B ud a 19 03 - P or tin ar i 18 87 - V ill a- Lo bo s 18 77 - G .I. G ur dj ie ff 18 39 - M ac ha do d e A ss is 18 19 - A ni ta G ar ib al di 18 03 - A la n K ar de k 17 48 - T ira de nt es 16 42 - Is aa c N ew to n 15 15 - S . T er ez a d' A vi la 14 16 - S . F ra nc is co d e A ss is 14 12 - J oa na d 'A rc 56 9? - M ao m • ? - H ip ‡t ia 0 - Je su s C ris to 47 0a .C .? - S — cr at es 55 8a .C .? - P it‡ go ra s s• cu lo I a. C . s• cu lo II a .C . N os so s bi sa v— s na sc er am no s •c ul o X IX N os so s bi sn et os n as ce r‹ o no s •c ul o X X I N as ce m os n o s• cu lo X X 70 0a .C . 60 0a .C . 50 0a .C . 40 0a .C . 30 0a .C . 20 0a .C . 10 0a .C . 0 10 0d .C . 20 0d .C . 30 0d .C . 40 0d .C . 50 0d .C . 60 0d .C . 70 0d .C . 80 0d .C . 90 0d .C . 10 00 d. C . 11 00 d. C . 12 00 d. C . 13 00 d. C . 14 00 d. C . 15 00 d. C . 16 00 d. C . 17 00 d. C . 18 00 d. C . 19 00 d. C . 20 00 d. C . 21 00 d. C . 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 18 88 - A bo li• ‹o d a E sc ra va tu ra 18 89 - P ro cl am a• ‹o d a R ep œ bl ic a 19 05 - T eo ria d a R el at iv id ad e 19 06 - V ™ o de S an to s D um on t 19 18 - F im d a I G ue rr a M un di al 19 30 - R ev ol u• ‹o d e 30 19 45 - F im d a II G ue rr a M un di al 19 69 - H om en n a Lu a 19 89 - R et or no ˆ s el ei •› es p re si de nc ia is n o B ra si l Em que ano estamos? 8 A U L A Dois exemplos de gráficos de relações entre números Vamos marcar alguns pontos (x, y) no plano cartesiano, de maneira que x e y satisfaçam uma relação dada. Para isso, primeiro faremos uma tabela de valores de x e y, a partir de alguns exemplos. A primeira relação é esta: a) y = 2x + 1 00x y = 2x + 1 001 003 002 005 003 007 000 001 - 1 - 1 - 2,5 - 4 Quanto mais pontos assinalarmos, maior será nossa certeza: se marcásse- mos todos os pontos (x, y) = (x, 2x + 1) para todos os valores de x, então teríamos desenhado uma reta. Ela é o gráfico da relação y = 2x + 1, e é formada por todos os pontos (x, y) do plano, tais que y = 2x + 1. Por exemplo: o ponto (2, 5) está nesta reta, pois 5 = 2 · (2) + 1; já (2, 6) não está, pois 6 ¹ 1 · (2) + 1. Verifique. Outro exemplo: como será o gráfico dos pontos (x, y), tais que y seja o número que mede a área de um terreno quadrado de lado x, ou seja, tais que y = x2? b) y = x2 00x y = x2 002 004 001 001 000 000 - 1 001 - 2 004 003 009 - 3 009 004 016 002,5 006,25 Lembrete: em matemática, quando queremos escrever uma igualdade usamos o sinal de igual (=); quando queremos mostrar uma diferença, usamos o sinal de diferente (¹). 1 2 3 -1-2-3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 (3, 7) (2, 5) (1, 3) (0, 1) (-2.5; -4) gr‡fico de y=2x+1 (reta) y x 3-1-3 x4 51 1 2 3 4 5 6 7 y 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2-2 (0,0) gr‡fico de y=x (par‡bola) 2 8 A U L AO gráfico da relação y = x2 é uma curva importante na geometria e na física: uma parábola. A parábola é, por exemplo, a curva descrita no ar por uma bola chutada, ou qualquer objeto arremessado. Você também já deve ter ouvido falar em antena parabólica: sua forma é derivada da parábola. Calcule e marque outros pontos da parábola y = x2. Que tal usar números fracionários? Conclusão Esses exemplos são suficientes para nos convencer da importância do plano cartesiano: tanto na solução de problemas da vida prática (área de terrenos, salários, gastos etc), quanto no próprio desenvolvimento da matemática. Com o plano cartesiano, Descartes criou a ferramenta visual para o que veio logo depois: o cálculo diferencial e integral. Esse cálculo foi uma verdadeira revolução na matemática, do mesmo modo que foram revolucionárias as suas aplicações em outras ciências, a exemplo da física, da biologia e da astromonia, e também em várias áreas, como em economia e até em psicologia. Para nós, o plano cartesiano também será de grande auxílio. Vamos nos exercitar nele? Exercício 1 A figura mostra um joguinho muito popular: a Batalha Naval. Consiste em um tabuleiro quadriculado, no qual a posição de cada quadradinho é dada pelo eixo horizontal, com letras (A, B, C, ...) e, pelo eixo vertical, com números (1, 2, 3, ...). Aqui estão algumas das peças da Batalha Naval, dadas por seus quadradinhos. Preencha os quadradinhos no quadro à esquerda e veja como são essas peças: l submarino: E7 l destroyer: G4, G5 l hidroavião: L4, M3, N4 l cruzador: B11, C11, D11, E11 l couraçado: L9, L10, L11, L12, L13 Diga que quadradinhos do quadro à direita estão formando estas peças: l submarino: l destroyer: l hidroavião: l cruzador: l couraçado: Exercícios 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A B C D E F G I J K L M N OH A B C D E F G I J K L M N OH A B C D E F G I J K L M N OH A B C D E F G I J K L M N OH 8 A U L A Exercício 2 Use o plano cartesiano para comparar o tamanho e a forma de todos os terrenos retangulares que têm a mesma área - digamos, de 12 km2. Ou seja, use o gráfico de todos os pontos (x, y) tais que, se x e y forem lados de um desses retângulo, então x · y = 12. Ou, dividindo tudo por x (que não pode ser zero), então y = 12 X . Faça como nos exemplos vistos: tabela e gráfico em papel quadriculado. Exercício 3 Quais destes pontos devem pertencer ao gráfico de y = 2x + 1? Por quê? a) (5, 11) b) (4, 11) c) (- 11, - 20) d) (p, 2p + 1) e) (- 1 2 ; 0,1) f) (200, 401) Exercício 4 Quais destes pontos se encontram sobre a parábola y = x2? Por quê? a) (- 4, 16) b) (10, 102) c) (10, 100) d) ( 2 , 2) e) (7, - 49) f) (- 7, - 49) No Exercício 2, o gráfico é outra curva importante de geometria: uma hipérbole. Por exemplo, a trajetória que um corpo momentaneamente atraído pela Terra descreve no espaço pode ser uma hipérbole, ou mesmo uma parábola. Já a trajetória da Terra em volta do Sol é uma elipse, como descobriu Johannes Kepler (1571-1630). 9 A U L AO gráfico de y = ax: retas pela origem Observe os exemplos a seguir: a) y = x b) y = 3x 00x y 000 0 001 1 002 2 00 c) y = - 2x d) y = - 1 2 x x y 0 - 0 1 - 2 2 - 4 Exercíciosx y 0 0 1 3 2 6 x y 0 - 0 1 - 1 2 2 - 1 1 2 2 1 y x 3 4 5 6 1 2 2 1 y x y x - 1 - 2 - 3 - 4 1 2 y x - 1 1 2 - 1/2 9 A U L A Como você mesmo deve ter notado, o gráfico de y = ax (no qual a é uma constante) é sempre uma reta. Quando a é positivo, a reta está no 1º e no 3º quadrantes do plano cartesiano; quando a é nega- tivo, a reta está no 2º e no 4º quadrantes. Veja nos exemplos abaixo: Voltando ao exemplo da velocidade O gráfico da relação e = 25 t, que vimos no início da aula, mostra, para cada instante de tempo t, o espaço e percorrido pela bola de futebol, desde o início do movimento até o instante t. Você se lembra de que verificamos que: v = 25 m/s é equivalente a v = 90 km/h Imagine agora um carroque se desloca a uma velocidade de 90 km/h, ou seja, sua velocidade é de 25 m/s. Na figura abaixo, ilustramos isso, imaginando o eixo e como o próprio caminho do carro para ajudar na visualização. Desenha- mos no carrouma seta v, sempre do mesmo tamanho, para representar sua velocidade constante: 1 -1/3 -1 -2 y=-x (a=-1) y=-2x (a=-2) y x y=-1/3x (a=-1/3) 0 0 t in’cio do tempo depois de t segundos e=25t (metros) 0 e e (espa•o) v=25 v=25 ® y 2º q. 1º q. x 3º q. 4º q. 00 O S 4 QUADRANTES DO PLANO CARTESIANO ® )13 13 -=a(x -=y 1 1/2 1 3 2 x y y=3x (a=3) y=x (a=1) y=1/2 (a=1/2) 1 2 x=y a 1 2= v = 25 m/s v = 25 m/s 9 A U L AO gráfico da página 64 já falou tudo sobre este exemplo, não é mesmo? Vê- se logo que o carro tinha percorrido 25 metros após 1 segundo do início da contagem do tempo; 50 metros após 2 segundos, 75 metros após 3 segundos etc. Agora vamos mexer um pouco no exemplo. No total, quantos metros teria percorrido o carro se o cronômetro só tivesse sido disparado para começar a contagem do tempo depois de o carro já haver percorrido 40 metros? No total, o carro teria percorrido 25t (como antes) mais 40 metros. É fácil obter o novo gráfico do espaço percorrido em relação ao tempo, para e = 25t + 40. Acompanhe como o espaço inicial, que aqui é de 40 metros, aparece nas linhas da nova tabela e no gráfico, deslocando a reta anterior para cima em 40 unidades (40 metros). TABELA TABELA ANTERIOR: NOVA: t e = 25t t e = 25t + 40 0 000 0 000 + 40 = 40 1 025 1 025 + 40 = 65 2 050 2 050 + 40 = 90 4 100 4 100 + 40 = 140 6 150 6 150 + 40 = 190 0 0 t in’cio do tempo depois de t segundos 25t 0 e e (espa•o)40 40 v=25v=25v=25 1 2 3 4 5 6 25 50 75 100 125 150 40 65 90 t (s) e (m) e=25t+40 e=25t (2,50) (2,90) +40 +40 +40 +40 e v = 25 m/s v = 25 m/s v = 25 m/s 9 A U L A Conclusão: a relação x = c (onde c é uma constante) é representada no plano cartesiano por uma reta vertical: à direita da origem se c > 0, e à esquerda se c < 0. “E se c = 0?” A reta de x = 0 é o próprio eixo y. Além desta conclusão, os dois primeiros exemplos nos mostram claramente como é o gráfico da relação geral ax + by = c, quando a e b não são nulos: é uma reta inclinada que corta o eixo x no ponto ( c a , 0) e o eixo y em (0, c b ). Confirme isso nos exemplos. Sendo assim, já sabemos traçar o gráfico de qualquer reta, isto é, de qualquer relação entre x e y do tipo ax + by = c. Vamos praticar? Atenção: Para os exercícios desta aula, é interessante você trabalhar com papel quadriculado, pois ele ajuda no traçado de gráficos. Exercício 1 a) Para cada reta abaixo, faça uma tabela auxiliar e use-a para traçar o gráfico da reta. (Desenhe todas as retas num mesmo plano cartesiano). a1) y = 12 5 x a2) y = 12 5 x + 2 a3) y = 12 5 x - 2 5 a4) 12x - 5y = 7 b) Qual destas retas tem maior inclinação? c) Em termos geométricos, o que podemos dizer destas quatro retas? Exercício 2 a) Observando o gráfico de e = 25t + 40, do espaço total (em metros) per- corrido pelo automóvel até o instante t, responda: qual o espaço total percorrido até: a1) 2 segundos? a2) 4 segundos? a3) 3 segundos? a4) 1,5 segundo? b) Confirme suas respostas pela tabela. Exercícios 9 A U L AExercício 3 a) Com base no gráfico de e = 25t + 40, trace no mesmo plano cartesiano o gráfico de e = 25 t + 75. b) O que significa esse 75 no lugar de 40, no exemplo do automóvel? Exercício 4 a) Observe, a seguir, cada uma das relações que envolvem x e y, e faça o que se pede. Escreva ao lado de cada uma: (H) se o gráfico da relação for uma reta horizontal; (V) se for uma reta vertical; (I +) se for uma reta de inclinação positiva; e (I -) se for de inclinação negativa. a1) y = 2x - 1 a2) x = 5 a3) y = - 3 x a4) x = p a5) x = 5 - y a6) y = - 2 a7) 3y - 4x = 12 b) Usando uma tabela auxiliar, trace o gráfico de cada reta, e confirme sua resposta anterior. Exercício 5 Aqui estão algumas retas na forma ax + by = c. Use o último comentário da aula para responder o que se pede em seguida (ou use as sugestões). : reta 1: ® 7x + 2y = - 14 reta 2: ® x - 3y = 0 reta 3: ® - 12x - 31 y = 1 reta 4: ® - 7x - 2y = 14 reta 5: ® 3x + 5y = 8 a) Em que ponto a reta corta o eixo x? (Sugestão: Faça y = 0 e calcule x) b) E o eixo y? (Sugestão: Faça x = 0 e calcule y). c) Em que casos esses dois pontos bastam para traçar a reta? 10 A U L A 10 A U L Nas aulas anteriores aprendemos a resolver equações de 1º grau. Cada equação tinha uma incógnita, em geral representada pela letra x. Vimos também que qualquer equação com duas incógnitas (x e y) não pode ser resolvida porque, para cada valor de x, podemos calcular um valor diferente para y. Por exemplo, na equação 2x + y = 20, se fizermos x = 3 e x = 6 então teremos, respectivamente: 2 · 3 + y = 20 ® y = 20 - 6 = 14 2 · 6 + y = 20 ® y = 20 - 12 = 8 e assim por diante. Vemos então que, para saber os valores corretos de x e y precisamos de uma outra informação a respeito das nossas incógnitas. Se conseguimos obter duas equações a respeito das mesmas incógnitas, temos um sistema. Por exemplo: 2x + y = 20 3x - y = 10 é um sistema de duas equações nas incógnitas x e y. É possivel resolver esse sistema, ou seja, é possivel descobrir quais são os valores de x e y que satisfazem às duas equações simultaneamente. Você pode verificar que x = 6 e y = 8 é a solução do nosso sistema, substituindo esses valores nas duas equações, temos: 2 · 6 + 8 = 20 3 · 6 - 8 = 10 Nesta aula vamos aprender a resolver sistemas de duas equações com duas incógnitas. Mas, antes, vamos perceber que, para serem resolvidos, muitos problemas dependem dos sistemas. Introdução { { Resolvendo sistemas 10 A U L AJá temos o valor de x. Repare que logo no inicio da solução tínhamos concluido que y = - 11 + 4x. Então, para obter y, basta substituir x por 4. y = - 11 + 4x y = - 11 + 4 · 4 y = - 11 + 16 y = 5 A solução do nosso sistema é, portanto, x = 4 e y = 5. Observações - Ao resolver um sistema, é sempre aconselhável conferir a resposta encontrada para ver se não erramos na solução. Os valores de x e de y encontrados estarão certos se eles transformarem as duas equações em igualda- des verdadeiras. 3x + 2y = 22 4x - 0y = 11 x = 4, y = 5 3 · 4 + 2 · 5 = 22 ® certo 4 · 4 - 5 = 11 ® certo Tudo confere. Os valores encontrados estão corretos. Outra coisa que desejamos esclarecer é que isolamos a incógnita y na segunda equação porque isso nos pareceu mais simples. No método da substituição, você pode isolar qualquer uma das duas incógnitas em qualquer das equações e, depois, substituir a expressão encontra- da na outra equação. O método da adição Para compreender o método da adição, vamos recordar inicialmente o que significa somar duas igualdades membro a membro. Se temos: A = B e C = D podemos somar os dois lados esquerdos e os dois lados direitos, para concluir: A + C = B + D Considere agora o seguinte problema. “Encontrar 2 números, sabendo que sua soma é 27 e que sua diferença é 3.” Para resolvê-lo, vamos chamar nossos números desconhecidos de x e y. De acordo com o enunciado, temos as equações: x + y = 27 x - y = 3 { { 10 A U L A Veja o que acontece quando somamos membro a membro as duas equações: x + y = 27 x - y = 03 + x + x + y - y = 27 + 3 2x = 30 2x 2 = 30 2 x = 15 Encontramos o valor de x. Para encontrar o valor de y vamos substituir x por 15 em qualquer uma das equações. Por exemplo, na segunda: 15 - y = 3 - y = 3 - 15 - y = - 12 y = 12 A solução do nosso problema é, portanto, x = 15 e y = 12. O método da adição consiste em somar membro a membro as duas equa- ções, com o objetivo de eliminar uma das incógnitas. No sistema que resolve- mos, a incógnita y foi eliminada quando somamos membro a membro as duas equações. Mas isso freqüentemente não acontece dessa forma tão simples. Em geral, devemos ajeitar o sistema antes de somar. Vamos mostrar a técnica que usamos resolvendo o seguinte sistema: 8x + 3y = 21 5x + 2y = 13 Para começar, devemos escolher qual das duas incógnitas vamos eliminar. Por exemplo, o y será eliminado. Observe que, multiplicando toda a primeira equação por 2 e toda a segunda equação por 3, conseguimos tornar os coeficientes de y iguais. 8x + 3y = 2100000(´ 2)0000000l6x + 6y = 42 ®00 5x + 2y = 1300000(´ 3)000000015x + 6y = 39 Para que o y seja eliminado, devemos trocar os sinais de uma das equações e depois somá-las membro a membro. Veja: - 16x + 6y = 42 - 15x - 6y = - 39 + 16x - 15x + 6y - 6y = 42 - 39 x = 3 Em seguida, substituimos esse valor em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, na primeira. { {{ 10 A U L A8 · 3 + 3y = 21 24 + 3y = 21 3y = 21 - 24 3y = - 3 3y 3 = - 3 3 y = - 1 A solução do nosso sistema é, portanto, x = 3 e y = -1 Você agora deve praticar fazendo os exercícios propostos. Procure resolver cada sistema pelos dois métodos para que, depois, você possa decidir qual deles é o de sua preferência. Não se esqueça também de conferir as respostas. Exercício 1 x - 3y = 1 2x + 5y = 13 Exercício 2 2x + y = 10 x + 3y = 15 Exercício 3 3x + y = 13 2x - y = 12 Exercício 4 2x + 7y = 17 5x - y = - 13 Exercício 5 2x + y = 4 4x - 3y = 3 Exercício 6 x + y = 2 3x + 2y = 6 Exercício 7 x 2 + y 3 = 3 x - y = 1 Exercícios { { { { { { { 11 A U L A Orientações - A caloria é uma unidade de energia. Todos os alimentos nos fornecem energia em maior ou menor quantidade. Neste problema, vamos chamar de x a quantidade de calorias contida em um ovo. Para diversos alimentos, a quantidade de calorias é dada por grama. Isso ocorre porque um queijo pode ter diversos tamanhos, assim como uma abóbora pode também ter os mais variados pesos. Então, no nosso problema, vamos chamar de y a quantidade de calorias contidas em cada grama de queijo. l Se cada grama de queijo possui y calorias, quantas calorias estão contidas em 30 gramas de queijo? l Quantas calorias possuem dois ovos? l Escreva em linguagem matemática a frase: “dois ovos mais 30 gramas de queijo possuem 280 calorias”. l Escreva em linguagem matemática a outra informação contida no enunciado. Solução - Vamos novamente seguir as orientações para resolver o problema. Se as nossas incógnitas estão bem definidas, não teremos dificuldade em traduzir o enunciado do problema em linguagem matemática. Temos que: número de calorias contidas em um ovo = x número de calorias contidas em um grama de queijo = y Portanto, se dois ovos e 30 gramas de queijo possuem 280 calorias temos a equação: 2x + 30y = 280 Da mesma forma, se três ovos e 10 gramas de queijos possuem 280 calorias podemos escrever: 3x + 10 y = 280 O sistema que dará a solução do nosso problema é 2x + 30 y = 280 3x + 10 y = 280 Repare que o problema pergunta qual é o número de calorias contidas em um ovo. Portanto, se a resposta do problema é o valor de x, podemos usar o método da adição e eliminar a incógnita y. Observe que, multiplicando a segunda equação por 3, tornamos iguais os coeficientes de y. Se, em seguida, mudamos todos os sinais da primeira equação, estamos prontos para eliminar a incógnita y. 2x + 30y = 280 ´ (-1) - 2x - 30y = - 280 ® 3x + 10y = 280 ´ (3) o 9x + 30y = 840 + 9x - 2x = 840 - 280 { 11 A U L A7x = 560 7x 7 = 560 7 x = 80 Concluímos, então, que cada ovo contém 80 calorias. Para saber mais O corpo humano é uma máquina que necessita de combustível para fun- cionar bem. Quando comemos, a energia contida nos alimentos é transferida para nosso corpo. Muita energia é também gasta em todas as nossas atividades diárias, e o ideal é conseguir um equilíbrio entre o que comemos e o que gastamos. Há pessoas que comem demais. Comendo mais que o necessário, as pessoas acumulam energia em forma de gordura - o que não é bom para a saúde. Para as atividades normais, o homem necessita de cerca de 2.200 calorias por dia, ou um pouco mais, dependendo de sua atividade. Para que você tenha uma idéia da quantidade de calorias contidas nas coisas que comemos, saiba que um pão francês de 100 gramas contém 270 calorias; um prato de arroz, feijão, bife e batatas fritas contém 900 calorias e uma feijoada completa, mais duas cervejas e sobremesa de goiabada e queijo, contém o incrível número de 2.180 calorias. Procure, portanto, incluir sempre legumes e verduras nas refeições. Eles têm vitaminas, são bons para o processo digestivo e possuem poucas calorias. EXEMPLO 3 Para ir de sua casa na cidade até seu sítio, João percorre 105 km com seu automóvel. A primeira parte do percurso é feita em estrada asfaltada, com velocidade de 60 km por hora. A segunda parte é feita em estrada de terra, com velocidade de 30 km por hora. Se João leva duas horas para ir de sua casa até o sítio, quantos quilômetros possui a estrada de terra? Pense um pouco e leia as orientações a seguir. Orientações - A velocidade de um automóvel é o número de quilômetros que ele percorre em uma hora. De uma forma geral, a distância percorrida é igual ao produto da velocidade pelo tempo de percurso. distância = velocidade ´ tempo l Estabeleça as incógnitas: x = distância percorrida na estrada asfaltada y = distância percorrida na estrada de terra O esquema abaixo ajuda a compreender o problema. l sítiocasa x km y km 105 km asfalto terra 2 horas ll 11 A U L A l Escreva uma equação com as distâncias. l Procure escrever uma equação com o seguinte significado: “o tempo em que João andou na estrada asfaltada mais o tempo em que ele andou na de terra é igual a duas horas”. Solução - Mais uma vez, vamos resolver o problema seguindo as orienta- ções. Se João andou x km na estrada asfaltada e y km na estrada de terra, então a nossa primeira equação é x + y = 105. Observe novamente a relação: (distância) = (velocidade) ́ (tempo) Na primeira parte do percurso, a distância foi x, a velocidade foi 60 e o tempo gasto será chamado de t1. Temos, então: x = 60 · t1 ou x 60 = t1 Na segunda parte do percurso a distância foi y, a velocidade foi 30 e o tempo gasto será chamado de t2. Temos, então: y = 30 · t2 ou y 30 = t2 Como a soma dos dois tempos é igual a 2 horas, conseguimos a segunda equação: x 60 + y 30 = 2 Vamos melhorar o aspecto dessa equação antes de formarmos o sistema. Multiplicando todos os termos por 60, temos: 1 2 60 · x 60 + 60 · y 30 = 60 · 2 1 1 x + 2y = 120 Temos, agora, o sistema formado pelas duas equações: x + 0y = 105 x + 2y = 120{ 12 A U L AAí colocaremos os dados do problema. Quais são eles ? É simples. Queremos saber quanto cada mercearia estava cobrando (“on- tem”) pela mercadoria. Logo, vamos chamar assim: preço de ontem na Mercearia B = x (reais) preço de ontem na Mercearia A = y (reais) Com isso, a tabela fica deste jeito: MERCADORIA MERCEARIA B MERCEARIA A PREÇO ONTEM x y PREÇO HOJE x - 10 y - 10 pois cada mercearia passou a dar um desconto de 10 reais no preço que cobrava. Agora, vamos escrever as equações que relacionam esses dados. Temos um sistema de duas equações a duas incógnitas, x e y, já que, relendo o enunciado do problema, concluímos que: y = 2x y - 10 = 3 (x - 10) Para resolver o sistema, observamos que a incógnita y está isolada na primeira equação. Isso nos sugere fazer a substituição de y por 3x na segunda equação. Daí, temos: 2x - 10 = 3x - 30 2x - 3x = - 30 + 10 - x = - 20 x = 20; logo, y = 2 · (20) = 40 Então, a Mercearia B estava cobrando R$ 20,00 pela mercadoria, enquanto a Mercearia A cobrava R$ 40,00 (o dobro). Os preços caíram, hoje, para R$ 10,00 e R$ 30,00 (o triplo). Um fato curioso é que, a primeira vista, a diferença entre os preços parece agora maior. Mas não é. É a mesma de antes, pois as duas baixaram do preço o mesmo valor (R$ 10,00). O que muda de fato para os dois concorrentes é que, agora, os preços estão mais atrativos, e as vendas devem aumentar. E quanto ao que deve a Mercearia A fazer para conquistar uma fatia maior de consumidores? Fica para você refletir, se quiser aprofundar na questão. Uma das conclusões que podem ser tiradas da resolução do problema é que, para evitar que a concorrente continue anulando sempre seu desconto, a Mercearia A pode, por exemplo, aproximar seu preço do de seu concorrente. Isso evita que seu preço seja um múltiplo - como o dobro ou o triplo - do preço da concorrente. Será possível visualizarmos todas essas informações e confirmarmos nossas respostas? Claro que sim. As aulas anteriores mostraram como obter isso no plano cartesiano, quando se tratava de problemas de uma só incognita. Como será isso com duas incógnitas ? { 12 A U L A Visualizando o problema O plano cartesiano é usado em problemas que envolvem no máximo duas grandezas. Por exemplo: tempo e espaço, no caso do automóvel; ou aqui, reais e reais. Nele, essas grandezas podem ser interpretadas como duas variáveis, x e y, cada qual sendo representada em um dos eixos. O que fazemos, em cada problema, então, é representar graficamente as relações existentes entre x e y, para daí procurar no gráfico a solução que o problema pede. Vamos lá. No nosso problema, encontramos essas relações entre x e y, expressas num sistema de duas equações. y = 2x y - 10 = 3 (x - 10) O gráfico de y = 2x é uma reta. Nela estão contidos pontos (x, y) como os encontrados por esta tabela, e que estão assinalados no gráfico: x y = 2x 0 0 5 10 10 20 14 28 O gráfico, no nosso caso, é uma semi-reta, já que x e y representam preços de mercadoria e não podem ser negativos. Nessa semi-reta estão contidos não apenas os pontos encontrados pela tabela, mas todos os infinitos pontos (x, y) tais que a relação y = 2x é verdadeira. Assim, por exemplo: (14, 28) está na reta, pois 28 = 2 · (14); já (14, 25) não está, pois 25 ¹ 2 · (14). Confirme no gráfico. Portanto, se o valor de x e o valor de y que procuramos devem satisfazer primeiramente a y = 2x, então o ponto (x, y) que os representa no plano cartesiano é algum ponto dessa reta, com certeza. Mas esse mesmo x e esse mesmo y devem também satisfazer a outra condição do problema: y - 10 = 3 (x - 10). Simplificando, temos: y - 10 = 3 (x - 10) y - 10 = 3x - 30 y = 3x - 30 + 10 y = 3x - 20 ® que também representa uma reta Retomando nosso raciocínio para visualizar o problema, concluímos que o ponto (x, y), que representa o valor de nossas incógnitas x e y, deve também estar { 10 14 20 10 20 28 30 0 0 x y 5 y=2x 12 A U L Asobre a reta y = 3x - 20. Conclusão: o ponto (x, y) procurado deve estar sobre as duas retas. Logo, deve ser o ponto de interseção das retas! Veja no gráfico: O gráfico nos mostra claramente que só quando o valor de x é 20 o valor de y (40) satisfará tanto a y = 2x quanto a y = 3x - 20. Pois 40 = 2 · (20) e 40 = 3 · (20) - 20. Confira as contas. Qualquer outro valor de x produz resultado diferente em y = 2x e em y = 3x - 20. Por exemplo: x = 10 nos dá y = 2 · (10) = 20 e y = 3 · (10) - 20 = 10 ¹ 20. Confirme no gráfico. Tudo fica bem claro no gráfico, concorda? Visualizando o Exemplo 1 da aula 11 Agora, vamos voltar ao Exemplo 1 da aula 11. Numa festa havia 40 pessoas. Quando 7 homens saíram, o número de mulheres passou a ser o dobro do número de homens. Quantas mulheres estavam na festa? Na aula passada, o problema foi equacionado e resolvido. Vamos tentar confirmar graficamente o que foi encontrado. Chegou-se a um sistema de duas equações em duas incógnitas, x (o número de homens) e y (o número de mulheres) x + y = 40 y = 40 - x ou seja, y = 2 (x - 7) y = 2x - 14 Cada equação representa uma reta e nesta reta estão contidos todos os pontos (x, y) que satisfazem a equação. O único ponto que satisfaz as duas equações é, deste modo, o ponto procurado. Esse ponto é o ponto comum às duas retas, o seu ponto de interseção. {{ 10 20 10 20 30 40 -10 -20 solução: (20, 40) y=2xy=3x-20 x y 12 A U L A Exercício 2 Determine dois números, sabendo que sua soma é 43 e que sua diferença é 7. Incógnitas: um número = x outro número = y Sistema: x + y = 43 x - y = 7 Exercício 3 Em um estacionamento havia carros e motocicletas num total de 43 veículos e 150 rodas. Calcule o número de carros e de motocicletas estacionados. Incógnitas: número de carros = x número de motocicletas = y Sistema: x + y = 43 4x + 2y = 150 Exercício 4 Uma empresa deseja contratar técnicos e para isso aplicou uma prova com 50 perguntas a todos os candidatos. Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu 1 ponto para cada resposta errada. Se Marcelo fez 130 pontos, quantas perguntas ele acertou? Incógnitas: número de respostas certas = x número de respostas erradas = y Sistema: x + y = 50 4x - y = 130 Exercício 5 Pedro e Paulo têm juntos R$ 81,00. Se Pedro der 10% do seu dinheiro a Paulo, eles ficarão com quantias iguais. Quanto cada um deles tem? Incógnitas: quantia de Pedro = x quantia de Paulo = y Sistema: x + y = 81 0,9 x = y + 0,1x { { { { 13 A U L A Recordando produtos notáveis Desde a aula 3 estamos usando letras para representar números desconhecidos. Hoje você sabe, por exemplo, que a solução da equação 2x + 3 = 19 é x = 8, ou seja, o número 8 é o único valor que, colocado no lugar de x, torna a igualdade verdadeira. Vamos agora ampliar o uso das letras. Passaremos a empregar as letras a, b, c etc. para representar números quaisquer. Assim, a + b representa a soma de dois números quaisquer, ab representa o produto de dois números quais- quer, e assim por diante. A igualdade 2 + 5 = 5 + 2 é correta? É claro que sim. Mas o fato de que a ordem das parcelas não altera a soma não vale somente para os números 2 e 5. Isso vale para números quaisquer. É a propriedade comutativa da adição e escreve-se assim: a + b = b + a Temos aí um exemplo de uma identidade. Em matemática, uma identidade é uma igualdade que permanece verdadeira quaisquer que sejam os valores que sejam atribuídos às letras. Nesta aula, vamos rever algumas propriedades da aula 1 (agora usando letras) e também vamos conhecer algumas identidades muito famosas da matemática. Para ilustrar as propriedades que veremos é preciso recordar como se calcula a área de um retângulo. A área de uma figura é a medida de sua superfice. No caso do retângulo, a área é o produto de suas duas dimensões. Então, chamando de A a área de um retângulo de dimensões a e b, temos: Retângulo Área b A = ab a 13 A U L A Introdução Nossa aula Comutar quer dizer “trocar”. Uma propriedade se chama comutativa quando permite que dois números quaisquer troquem de posição. 13 A U L A Observe que ab representa o produto de dois números quaisquer. Entretan- to, quando as letras forem substituídas por números, é preciso colocar um ponto (ou sinal de ´) entre eles para evitar confusões. Assim, se as medidas de certo retângulo forem a = 5 e b = 2, sua área será: A = ab = 5 · 2 = 10 É claro que se as medidas a e b forem iguais, o retângulo transforma-se num quadrado, mas a forma de calcular sua área continua igual. O simbolo a² lê-se “a ao quadrado” e significa o produto de um número por ele mesmo. Por exemplo: 4² = 4 · 4 = 16. Por enquanto, necessitamos apenas disso. O conceito de área, as unidades e as fórmulas que calculam as áreas das diversas figuras serão vistas na aula 15. A multiplicação e a propriedade distributiva A figura a seguir mostra dois retângulos colados. Ambos têm base a e as alturas são b e c. O retângulo total tem base a e altura b + c. Então sua área é a(b + c). Por outro lado, a área do retângulo de baixo é ab e a área do de cima é ac. Somando essas duas áreas temos a área total. Logo: a(b + c) = ab + ac Esta é a propriedade distributiva da multiplicação. Ela tem esse nome por que a letra a foi distribuída pelas outras que estavam dentro do parênteses. Vamos agora calcular algo ligeiramente mais complicado. Quadrado a Área A = aa = a² a c b 13 A U L AA diferença de quadrados A terceira identidade que vamos aprender é a seguinte: a² - b² = (a + b)(a - b) (fórmula 3) Ela nos diz que a diferença entre os quadrados de dois números é igual ao produto da soma pela diferença desses números. Para demonstrar isso, basta desenvolver o lado direito da igualdade. Veja: (a + b)(a - b) = aa + ab - ba - bb = a² - b² Esta identidade nos será útil em diversos momentos do nosso curso. Por ora, veja como ela pode simplificar certos cálculos. EXEMPLO 3 Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 61 metros de lado. O autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra passou a ser um quadrado de 59 metros de lado. Que área os terrenos perderam? Pense um pouco antes de ver a solução. Uma forma simples de responder a esta questão é calcular a área antiga, a área nova e depois subtrair. Inicialmente a área da quadra era 61². Depois a área da quadra passou a ser 59². Então a área perdida foi 61² - 59² É claro que sabemos fazer estas contas. Mas, veja como fica simples o cálculo se utilizamos a fórmula 3. 61² - 59² = (61 + 59)(61 - 59) = 120 · 2 = 240 Os terrenos perderam, então, 240 metros quadrados. Exercício 1 Desenvolva: a) x (a + b - c) b) (x + a)(x + b) Exercício 2 Resolva a equação: 2(x-5) + 3(x + 1) = 23 Exercícios 13 A U L A Exercício 3 Desenvolva: (x + 3)² Exercício 4 Desenvolva: (x - 1)² Exercício 5 Resolva a equação: (x - 3)² = x² - 33 Exercício 6 Calcule: 173² - 172² Exercício 7 Simplifique a expressão: (a + 2)(a - 2) - (a - 3)² Exercício 8 Resolva a equação: (x - 5)(x + 5) = (x - 1)² Exercício 9 Calcule: a) 82² usando a fórmula 1 b) 99² usando a fórmula 2 c) 42 · 38 usando a fórmula 3 14 A U L A Operações com potências Quando um número é multiplicado por ele mesmo, dizemos que ele está elevado ao quadrado, e escrevemos assim: a · a = a² Se um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes, temos uma potência. a · a · a = a³ (a elevado a 3 ou a ao cubo) 3 fatores a · a · a · a = a4 (a elevado a 4) 4 fatores De uma forma geral, se o fator a aparece n vezes escrevemos an (a elevado a n). O número a é a base da potência e n é o expoente. Nas ciências, para escrever números muitos grandes ou muito pequenos usamos potências. Por exemplo, um bilhão é o número 1.000.000.000, que é igual a: 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 109 Os astrônomos medem as distâncias entre as estrelas em uma unidade chamada ano-luz, que é a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa imensa distância vale, aproximadamente, 9.500.000.000.000 km, ou seja, nove trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros. Para facilitar, escrevemos esse número assim: 1 ano-luz = 9,5 · 1012 km Acontece que essa distância é ainda pequena se olharmos para o universo conhecido. A estrela mais próxima de nós (que está na constelação do Centauro) fica a 4 anos-luz de distância. Mas, existem estrelas que estão a bilhões de anos- luz de distância de nós. Imagine que número gigantesco deve representar essa distância em quilômetros. Podemos então perceber que só é prático representar números desse tamanho usando potências e, além disso, é preciso saber fazer cálculos com elas. Introdução 14 A U L A { { 14 A U L A (a3)4 = a3 · a3 · a3 · a3 = a3 + 3 + 3 + 3 = a3 · 4 = a12 É claro que a letra a apareceu como fator 12 vezes, que é o produto dos expoentes. Concluimos então que quando uma potência está elevada a algum expoente, devemos manter a base e multiplicar os expoentes. (am)n = a mn Observação: O que acontece se o expoente for zero? Essa é uma pergunta freqüente, e a resposta é a seguinte. Quando definimos an, o expoente n é o número de vezes que a letra a aparece como fator. Então, n pode ser 1, 2, 3, 4 etc, e o caso n = 0 não está incluído na nossa definição. Portanto, a expressão a0 precisa ser definida, ou seja, precisamos dar um significado para ela. Definimos, então: a0 = 1 para todo a ¹ 0 Por que isso? Porque, com essa definição, as propriedades anteriores conti- nuam válidas. Observe. 1 = a a = a1 a1 = a1-1 = a0 Inicialmente os nossos expoentes eram inteiros positivos, e agora o zero foi incluído. O leitor curioso poderá então perguntar o que acontece se o expoente for negativo. Realmente, expoentes negativos existem; mas, como eles não estão incluídos na definição original de potência, precisamos criar um significado para eles. Isso é o que veremos a seguir. O expoente negativo Devemos definir potências de expoentes negativos, de forma que as propri- edades anteriores permaneçam válidas. A definição conveniente é a seguinte: a-n = 1 a Φ Η Ι Κ n = 1 an Observe que, com essa definição, as propriedades que vimos continuam a ser usadas. Veja: Nas ciências, potências de base 10 com expoente negativo são usadas para representar números muito pequenos. 1 an = a0 an = a0-n = a-n { a3 a5 = a×a×a a×a×a×a×a = 1 a2 a3 a5 = a3-5 = a-2 14 A U L AObserve: 0, 1 = 1 10 = 10-1 0, 01 = 1 100 = 10-2 0, 001 = 1 1000 = 10-3 0, 0001 = 1 10000 = 10-4 Então, para representar, por exemplo, o número 0,0003 na nossa já conhe- cida notação científica, fazemos assim: 0, 0003 = 0, 0003×104 104 = 3 104 = 3×10-4 EXEMPLO 2 Para tratar a água consumida pela população e diminuir a incidência de cáries dentárias, muitos países acrescentam flúor à água que será distribuida. A proporção recomendada é de 700g de flúor para 1 milhão de litros de àgua. Calcular: a) a quantidade de flúor em cada litro de água; b) se você tem uma cisterna com 12.000 litros de água não tratada, que quantidade de flúor você deve acrescentar? Pense um pouco antes de ver a solução. Este problema se resolve com regra de três mas, é conveniente escrever os números usando potências de 10. Isso vai facilitar os cálculos. Solução: a) Sabemos que 1 milhão é igual a 106. Se x é a quantidade de flúor contida em um litro de água, temos a regra de três abaixo: 700g 106 litros x g 1 litro Portanto, x = 1.700 106 = 7.102 106 = 7.102-6 = 7.10-4 Temos, então, em cada litro de água tratada, 7 · 10-4 gramas de flúor. b) Para saber a quantidade de flúor que deve ser colocada na cisternad e - vemos multiplicar 7 · 10-4 por 12.000 litros. Observe o cálculo: 7 · 10-4 · 12.000 = 7 · 10-4 · 1,2 · 104 = 7 · 1,2 · 10-4+4 = 7 · 1,2 = 8,4 Então, devemos acrescentar 8,4 gramas de flúor para tratar a água dessa cisterna. 14 A U L A Exercício 1 Escreva cada uma das expressões a seguir na forma de uma única potência de base 2. a) 25 · 23 b) 29 23 c) (23)5 d) 2×25 29 Exercício 2 Escreva os números a seguir utilizando um número decimal (ou inteiro) multiplicado por uma potência de 10. a) 23.000 b)2.000.000 c)0,04 d)0,000.015 Exercício 3 Simplifique 23 ×45 86 Atenção: observe que 4 = 22 e 8 = 23 Exercício 4 Simplifique 100 5 · 10007 · (1002)-4 · 10000-3 Exercício 5 Escreva cada uma das expressões a seguir usando uma única potência de base 3. a)3-2 · 3-5 b) 36 3-4 c) 1 3-2δ ι5 d) 3×95 276 Exercício 6 Calcule 2,4 · 10-6 · 5 · 10-3 Exercício 7 O planeta Plutão, o mais afastado do sistema solar, está a 5900 milhões de quilômetros de distância do Sol. Escreva essa distância: a) em quilômetros usando um número decimal com 1 dígito na parte inteira e uma potência de 10; b) em anos-luz. Exercício 8 Muitas fábricas lançam na atmosfera uma substância chamada dióxido de enxofre. A Organização Mundial de Saúde estabeleceu que a quantidade máxima dessa substância no ar que respiramos deve ser de 4 · 10-5 gramas em cada metro cúbico de ar. Acima desse valor o ar é considerado poluído. Certo dia, em uma amostra de 2,5m3 de ar de Sorocaba (SP) havia 0,135 · 10-3 gramas de dióxido de enxofre. O ar de Sorocaba estava poluído ou não? Exercícios