Movimento Ondulatório - Apostilas - Engenharia Física, Notas de estudo de Engenharia Física

Baixe Movimento Ondulatório - Apostilas - Engenharia Física e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Física, somente na Docsity! Capítulo 1 MOVIMENTO ONDULATÓRIO Notas de aula de PFTO/ECT – Prof. André Bessa e Ronai Lisbôa Foto da capa: www.nativeamericanencyclopedia.com. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 5 Assim, não apenas a rapidez da onda e da perturbação poderão serão diferen- tes, mas também suas direções! Isso nos leva a classificar as ondas com respeito às direções de propagação da onda e da perturbação local:  onda longitudinal: perturbação ao longo da direção de propagação da onda (ex. som, mola). (Ver vídeo.)  onda transversal: perturbação perpendicular à direção de propagação da onda (ex. pulso em uma corda, luz). (Ver vídeo 1 e vídeo 2) Em geral, as ondas não serão nem transversais e nem longitudinais. Isso ocorre porque a oscilação local pode ser um movimento complicado, como o movi- mento de uma bóia em alto mar. (Ver vídeo 1 e vídeo 2) Falamos até agora das ondas mecânicas. A luz, por outro lado, é uma onda que se propaga também no vácuo! Diferentemente das ondas mecânicas, a luz não é o resultado coletivo de perturbações locais da matéria (veja esta animação). Apesar dessa diferença, a descrição de ondas luminosas segue o mesmo arcabouço teórico da descrição das ondas mecânicas. Assim, podemos estudar ondas em uma corda e inferir, a partir desse estudo, as propriedades de outros tipos de onda. Existe um significado matemático preciso para o conceito de onda, de modo que, nem tudo o que denominamos informalmente de onda será considerado onda em nosso estudo. Antes de vermos essa caracterização matemática, precisaremos definir as quantidades cinemáticas de interesse em nossa análise. Para isso, explo- raremos o caso simplificado de ondas transversais unidimensionais em uma corda esticada. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 6 1.2 Cinemática da corda esticada Idéias-chave: função de onda; perfis da onda; derivadas parciais da função de onda. Pense em uma corda do violão. Aplica-se um pulso à corda. Como caracterizar o efeito deste pulso? Podemos, é claro, estudar a frequência do som gerado (quão Para uma demonstração interes- sante do que se pode fazer com um violão e um bandolim, veja este vídeo. grave ou agudo ele é). Porém, inspirados no que fizemos na Mecânica, tentaremos descrever o movimento subsequente de cada trecho da corda. Esse será nosso obje- tivo no estudo do movimento ondulatório. Se soubermos como cada ponto da corda se move em um onda, podermos obter todas as informações sobre a onda. Em par- ticular, poderemos dizer se essa onda terá alta ou baixa frequência, ou dizer quanta energia ela carrega. Figura 1.6: Como descrever o movimento de uma corda de violão? Foto: www.ecommunity.pwsd76.ab.ca Como caracterizar o movimento da corda em uma onda? Se tirarmos uma foto da onda, veremos a confirguração da corda em um certo instante de tempo. Nos referiremos a uma configuração instantânea da corda pelo termo perfil. Para começar nossa análise, vamos considerar a situação na qual a corda está toda na horizontal. Vamos colocar uma régua paralelamente à corda e associar a cada ponto da corda uma coordenada x. Na figura, o ponto P tem coordenada x = 2 cm. Considere, agora, um certo perfil da corda em um certo instante t do movi- mento: Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 7 Figura 1.7: Com uma régua, associamos a qualquer ponto da corda uma coordenada x. No caso, o ponto P indicado tem coordenada x = 2 cm. Arte sobre ilustração de www.makeuseof.com Figura 1.8: Esta figura exibe o perfil da corda em um certo instante t. Note que o ponto P (de coordenada x = 2 cm) se moveu verticalmente para cima.Arte sobre ilustração de www.makeuseof.com Agora cada ponto da corda tem uma altura diferente. Podemos colocar uma régua vertical e associar a cada ponto uma coordenada vertical y. Indicaremos a altura do ponto x pelo símbolo y(x). Considere, agora, um certo perfil da corda em um certo instante t do movimento: Figura 1.9: Nesta figura foi colocada uma régua vertical. A altura y do ponto P neste instante de tempo é 0, 6 cm. Como o ponto P tem coordenada x = 2 cm, indicamos y(2) = 0, 6 (em centímetros). Arte sobre ilustração de www.makeuseof.com Portanto, um perfil fica completamente caracterizado por uma função y(x). A coordenada y do ponto P é geralmente chamada de amplitude da onda no ponto P . Note que se um ponto tem coordenada y negativa é porque ele está abaixo da altura convencionda como zero. Ora, a cada instante a corda terá um perfil distinto. Assim, teremos uma função y(x) para o tempo t = 0 s, outra função y(x) para t = 1 s, etc. A notação mais adequada para o perfil tem que indicar também a que tempo ele corresponde. Para isso, utiliza-se o símbolo y(x, t). Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 10 Se quisermos o ângulo θ(x, t) que a corda faz no ponto x e no instante t, temos que obter o arco cuja tangente é ∂y(x, t)/∂x. Lembramos que uma inclinação positiva indica uma função crescente, enquanto que a inclinação negativa indica uma função decrescente. Finalmente, obtemos que ∂y2(x, t) ∂x2 é a derivada da tangente à corda no ponto x e no instante t . (1.7) Revisão 1. (Variação e derivada). Como toda derivada, ∂2y(x, t)/∂x2 ex- pressa a idéia de variação. Considere a definição de derivada: df(x) dx = lim ∆x→0 f(x+ ∆x) f(x) ∆x . (1.8) Para ∆x pequeno, teremos df(x) dx  f(x+ ∆x) f(x) ∆x . (1.9) Isso nos permite escrever f(x+ ∆x) f(x)  df(x) dx ∆x . (1.10) Portanto, para sabermos como varia o valor da função quando mudamos ligeira- mente o argumento, basta multiplicarmos o valor da função no ponto pela variação ∆x do argumento. No caso, a derivada segunda ∂y2(x, t)/∂x2 indica o quanto varia a tangente (derivada primeira) à corda no entorno do ponto x, para um dado instante t. Pode- mos escrever (para t fixo): tan[θ(x+ ∆x)] tan[θ(x)]  ∂ tan(x) ∂x ∆x (1.11) = ∂y2(x, t) ∂x2 ∆x . (1.12) Exercícios Esse questionário faz referência a esta animação. Considere apenas o movimento entre os tempos t = 0 s e t = 12, 2 s. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 11 Problema 1. Qual a informação contida na função de onda ψ? (a) A amplitude do trecho da corda com coordenada x no instante de tempo t. (b) O movimento do trecho da corda com coordenada x. (c) O perfil da corda no instante t. (d) O movimento completo da corda. Problema 2. A respeito do trecho da corda com coordenada x = 1, 0 m, indique a opção verdadeira: (a) Durante todo o movimento da corda, ele se move apenas na direção vertical. Trata-se, portanto, de uma onda transversal. (b) Durante todo o movimento da corda, ele se move apenas na direção vertical. Trata-se, portanto, de uma onda longitudinal. (c) Durante todo o movimento da corda, ele se move apenas na horizontal. Trata-se, portanto, de uma onda longi- tudinal. (d) Durante o movimento da corda, ele se move na vertical e na horizontal. Problema 3. Novamente com respeito do trecho da corda com coordenada x = 1, 0 m, indique a opção verdadeira: (a) Durante o movimento da corda, sua velocidade é sempre positiva. (b) Durante o movimento da corda, sua velocidade é sempre negativa. (c) Durante o movimento da corda, sua velocidade muda de sinal uma única vez. (d) Durante o movimento da corda, sua velocidade muda de sinal 2 vezes. Problema 4. Indique um instante no qual o trecho com coordenada x = 1, 0m tenha amplitude negativa. Problema 5. Qual o significado de ∂2t ψ(1, t)? Nos próximos exercícios,considere a figura ilustrada a seguir: Problema 6. Confira no vídeo que o perfil ilustrado na Figura 1 corresponde (aproximadamente) ao tempo t = 3 s. Problema 7. Novamente com relação à Figura 1, qual a representação da amplitude do trecho vermelho da corda? (a) ψ(1, 0m; 3s). (b) ψ(0, 9m; t). (c) ψ(0, 9m; 3s). (d) ∂xψ(1, 0m; 3s). Problema 8. Ainda com relação à Figura 1, indique quais afirmações são verdadeiras: (a) A velocidade do trecho com coordenada x = 1, 0m é negativa. (b) A quantidade ∂xψ(x, 3s) é negativa para x = 1, 0 m. (c) ψ(1, 0m, 3s) > ψ(0, 9m, 3s). (d) ∂xψ(x, 3s) em x = 1, 0m é maior que em x = 0, 9 m. (e) ∂2xψ(x, 3s) > 0 em x = 1, 0 m. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 12 1.3 A equação de onda em uma corda Idéias-chave: 2a Lei de Newton para a corda; discussão das aproximações. Até aqui, ainda não exibimos as condições que a física impõe sobre o movimento de ondas em uma corda. Assim como nem toda curva pode descrever o movimento de uma pedra sob a ação da gravidade, nem toda função y(x, t) corresponderá a um movimento possível de uma corda esticada. Haverá um critério para selecionar quais funções y(x, t) serão fisicamente verdadeiras ondas. Esse critério corresponde a uma equação. No caso, uma equação diferencial de 2a ordem. Consideremos uma corda distendida de modo que a tensão ao longo de toda corda tem o mesmo valor FT . Podemos medir a tensão em uma corda utilizando dinamômetros. Vamos imaginar a situação idealizada de uma corda inextensível sujeita a pequenas deformações (deformações rasas). Nestas condições, o ângulo formado pelas retas tangentes à corda e o eixo x, ou seja, o ângulo θ na figura é muito pequeno. Figura 1.10: Diagrama de forças sobre o trecho da corda com coordenada x. Na análise de forças, o tempo t é mantido fixo. Vamos congelar o movimento da corda em um certo instante t. Na figura acima, estamos considerando um grande zoom na corda no instante t, de forma que um pequeno pedaço dela (de tamanho ∆x igual a alguns milímetros, por exemplo) está sob análise (trecho azul escuro). A força resultante (na direção y) que atua Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 15 1.4 A velocidade das ondas progressivas Vimos que o pulso do Exemplo 1.2.1 se move como um todo para a direita. O mesmo se dará com qualquer função de onda da forma y1(x, t) = f(x vt) , (1.26) sendo v a velocidade de propagação do pulso. Analogamente, ondas da forma y2(x, t) = g(x+ vt) (1.27) se movem como um todo para a esquerda com rapidez v. Dizemos se tratar de ondas progressivas. Como foi dito na seção anterior, há um critério claro para saber se uma função y(x, t) pode representar um movimento ondulatório possível ou não. Temos que verificar se ondas da forma (1.26) e (1.27) satisfazem a equação de onda na corda, ∂2y ∂x2 µ FT ∂2y ∂t2 = 0 . (1.28) Observe que, para derivar f(x vt) com relação a t ou a x temos que aplicar a regra da cadeia. Revisão 2. (Regra da cadeia). Sejam F : R! R (1.29) : z ! F (z) e u : R! R (1.30) : t! u(t) duas funções diferenciáveis. A derivada da função composta F (z(t)) é dada por dF dt = dF (z(t)) dz dz(t) dt . (1.31) Em palavras: derivamos F com relação ao seu argumento (z) e, em seguida, multi- plicamos o resultado pela derivada do argumento em relação a t. Em geral, denota- se a derivada de uma função F com relação ao seu argumento pelo símbolo F ′. Portanto, podemos reescrever (1.31) como dF dt = F ′(z) dz dt . (1.32) Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 16 Vamos definir z = xvt. Usando (1.32), a derivada de f(xvt) com relação a t é dada por df dt = f ′(z) dz dt = f ′(z) (v) , (1.33) pois dz/dt = d(x vt)/dt = v. Analogamente, temos: df dx = f ′(z) dz dx = f ′(z) , (1.34) uma vez que dz/dx = d(x vt)/dx = 1. As derivadas segundas são calculadas da mesma maneira usando a regra da cadeia: d2f dt2 = d dt (vf ′(z)) = v2 f ′′(z) . (1.35) enquanto que d2f dx2 = d dx f ′(z) = f ′′(z) , (1.36) Substituindo (1.36) e (1.35) na equação de ondas (1.28), somos levados a f ′′(z) µ FT v2 f ′′(z) = 0 , (1.37) e isso só será satisfeito para todo z se µ FT v2 = 1 . (1.38) Obtemos que f(x vt) é solução se v = √ FT µ (velocidade das ondas progressivas na corda) . (1.39) O mesmo vale para g(x+ vt) (verifique!). Obtemos que a velocidade de propagação das ondas progressivas em uma corda depende apenas da força de tensão FT e da densidade linear de massa da corda, µ. É importante notar que a velocidade de todas as ondas progressivas na corda (sob a mesma tensão) é a mesma! Não importa se produzimos uma onda de grande amplitude ou com alta ou baixa frequência, sua velocidade será a mesma. Essa é uma informação importante e tem validade ampla. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 17 Usando (1.39), podemos reescrever a equação de onda como ∂2y ∂x2 1 v2 ∂2y ∂t2 = 0 . (1.40) Para outros tipos de onda (sonora, luminosa, etc) pode-se mostrar que vale uma equação idêntica a (1.40), com a única diferença que a velocidade v terá dife- rentes expressões em cada caso. Por exemplo, a velocidade das ondas sonoras em um gás é v = √ γP ρ (ondas sonoras) , (1.41) onde γ é a constante adiabática do gás, P é a pressão e ρ é a densidade. Tal como no caso da corda, para condições atmosféricas fixas, a velocidade do som é constante: não conseguimos fazer nossa voz viajar mais rápido gritando mais alto, por exemplo! A velocidade de propagação de ondas elásticas em uma haste é v = √ Y ρ (ondas em uma haste) , (1.42) onde Y é o chamado módulo de Young e ρ é a densidade da haste. A rapidez de propagação de ondas elásticas numa mola é v = √ κ(L L0) m (ondas em uma mola) , (1.43) onde κ é a constante elástica, L é o comprimento da mola, L0 é o comprimento de equilíbrio e m é a massa da mola. A rapidez de propagação na superfície de um líquido é Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 20 Como o período da função cosseno é 2π, devemos ter kλ = 2π, ou seja, λ = 2π k (comprimento de onda). (1.51) A quantidade k é denominada número de onda.  Analisando apenas um trecho pequeno da corda (pintando um pedaço da corda com uma certa coordenada x), vemos que esse trecho tem um movi- mento periódico na direção vertical. O período desse movimento é denomi- nado período da onda e denotado pela letra T . Para obter uma expressão para o período, seguimos o mesmo raciocínio que utiliza- mos para determinar o comprimento de onda. Impomos que y(x, t + T ) = y(x, t), levando a y(x, t+ T ) = A cos[kx ω(t+ T ) + δ] = A cos[kx ωt+ δ] = y(x, t) . (1.52) O período é tal que ωT = 2π, isto é, T = 2π ω , (1.53) A quantidade ω é denominada frequência angular da onda. Outras relações importantes para as ondas harmônicas são: v = ω k = λ T = λν , (1.54) onde ν é a frequência da onda (o inverso do período). Finalmente, a quantidade: kx ωt+ δ (1.55) é a fase da onda, sendo δ a constante de fase. A figura abaixo mostra o efeito de se variar a constante de fase δ: obtemos uma onda idêntica, porém defasada como um todo em relação à onda original. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 21 Exemplo 1.4.2. (Outro exemplo de onda harmônica). y(x, t) = sin(2x t), (1.56) onde x e y estão em centímetros e t em segundos. Essa onda é harmônica porque podemos expressá-la como um cosseno usando a identidade: sin(a π/2) = cos(a) (1.57) No caso, temos: y(x, t) = sin(2x t) = sin(2x t+ π/2 π/2) = cos(2x t+ π/2) . (1.58) A constante de fase é π/2. De fato, a diferença entre as funções seno e cosseno é uma defasagem constante de π/2, como indica a identidade. Por isso alguns livros definem ondas harmônicas com seno no lugar de cosseno. Exercícios Problema 9. Com relação às ondas dos Exemplos 1.4.1 e 1.4.2: (a) Desenhe o perfil em t = 0 s e t = 0, 25 s no trecho entre x = 6π e x = 6π. (b) Obtenha o valor das quantidades: k, ω, v, λ, T, ν e δ. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 22 Problema 10. Mostre que numa onda harmônica um ponto da corda realiza um movimento harmônico simples na vertical. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 25 Exemplo 1.5.3. (Interferência construtiva). Pulso A se propagando para a esquerda Pulso B se propagando para a direita Superposição dos pulsos A e B (interferência construtiva) Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 26 Exemplo 1.5.4. (Interferência destrutiva). Superposição de dois pulsos (interferência destrutiva) Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 27 1.6 Energia transportada por uma onda Idéias-chave: potência instantânea; potência média; energia média; intensidade de uma onda em uma corda. Na introdução ao estudo do movimento ondulatório foi dito que as ondas trans- portam energia. Nesta parte vamos mostrar como calcular a energia transportada a partir da expressão da função de onda y(x, t). Pensemos em uma onda viajando para a direita. Analisando a Fig. 1.2.1, vimos que a força que o pedaço vizinho à direita exerce sobre o trecho marcado é dada por FR = FT ∂y ∂x . (1.64) Como vimos, toda a dinâmica se passa na vertical. A força resultante e o desloca- mento para cada trecho da corda são na direção y. Como medir o trabalho que um trecho da corda realiza sobre o trecho vizinho? Antes de responder a essa pergunta, vamos relembrar o conceito de potência. Revisão 3. (Potência instantânea e potência média). Suponha que uma força resultante ~FR atue sobre uma partícula durante um pequeno intervalo de tempo dt. Vamos denotar o deslocamento da partícula neste intervalo de tempo pelo vetor d~r, de modo que d~r = ~v dt, sendo ~v a velocidade instantânea da partícula. O trabalho dW da força resultante será dado por dW = ~FR
d~r = ~FR
~v dt . (1.65) A grandeza que mede o trabalho realizado sobre uma partícula por unidade de tempo é a potência: Pot(t) = dW dt = ~FR
~v. (1.66) Podemos saber o quanto de energia foi transferido para a partícula entre o instante t e o instante t + ∆t a partir da potência. Se a potência é constante, a energia é simplesmente Pot  ∆t. Se a potência variar de um instante a outro, temos que integrar a potência: E = ∫ t+∆t t Pot(t) dt (energia transferida entre t e t+ ∆t). (1.67) Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 30 1.7 Condições de contorno simples De posse da solução geral de d’Alembert podemos tentar resolver a equação de ondas sujeita a condições de contorno. Antes, vamos entender como é a análise de forças quando uma extremidade da corda está em contato com outro meio. Quando analisamos na Seção 1.3 as forças que atuam em um trecho da corda, consideramos apenas o caso em que o trecho considerado era interno à corda. Quando, por exemplo, a corda está presa a uma parede, uma de suas extremida- des sofre forças externas (as forças de interação com a parede). É importante olhar com cuidado o que acontece em casos como esse. Vamos considerar que a extremidade da corda é representada por um pedaço de tamanho ∆x e que o meio externo (parede, outra corda, etc) está à esquerda da extremidade. Como estamos considerando que não há movimento na horizontal (a onda é transversal), o meio deve exercer uma força horizontal para cancelar a tensão FT da corda. A parte mais interessante envolve a componente vertical. Já vimos que a força que o trecho da corda à direita do trecho considerado exerce é uma força na direção y dada por Fcorda = FT tan θ(x). Pelo lado esquerdo temos Fext, a componente y da força externa. Portanto, podemos escrever a compo- nente y da força resultante como FR = FT tan θ(x) + Fext . (1.75) A 2a Lei de Newton fica, então: FT ∂y ∂x + Fext = ∆may = (µ∆x) ∂2y ∂t2 , (1.76) onde usamos que tan θ(x) = ∂xy(x, t). Observe que a força resultante tem que ir a zero no limite em que ∆x vai a zero. Consideraremos nestas notas três casos: extremidade fixa, extremidade solta e ponto de junção. Vamos começar com a condição de extremidade fixa, como no caso de cordas de um violão. Figura 1.12: Corda com extremidade presa em x = 0. Extremidade fixa – Que ocorre com um pulso se propagando quando ele encontra uma extremidade fixa da corda? Para ilustrar, considere uma corda com uma extremidade presa a uma parede, como indica a Figura 1.12. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 31 Pela relação (1.76), como a força resultante deve ser nula (extremidade fixa, em repouso) devemos ter Fext = −Fcorda . (1.77) Na prática, é preciso que a parede seja capaz de realizar uma força oposta à força da corda para que a extremidade permaneça fixa. Podemos sentir o efeito dessa força quando, no lugar da parede, usamos nossa mão para manter a extremidade de uma corda fixa enquanto que, na outra extremidade, alguém produz pulsos. Vamos analisar em detalhe o que ocorre. Aplica-se um pulso g em um ponto distante da extremidade fixa. Como indica a Figura 1.13, esse pulso inicial viaja para a esquerda. Figura 1.13: Um pulso incide da direita pra esquerda. O que ocorre quando ele atinge a extremidade presa? Vamos admitir que a extremidade presa da corda tem coordenada x = 0. Como o ponto x = 0 não se move, temos a condição: y(0, t) = 0 para todo tempo t (extremidade presa em x = 0). (1.78) Usando a solução geral (1.63), isso implica em: f(−vt) + g(vt) = 0 . (1.79) Note bem o tipo de relação que é a Eq. (1.79). Ela nos diz que, não importa o valor de v e de t, teremos sempre a relação f(−vt) = −g(vt) válida. Assim, se u é o argumento da função f , então f(u) = −g(−u), qualquer que seja o valor de u. Em particular, se aplicarmos a relação para u = x− vt, teremos: f(x− vt) = −g(−(x− vt)) = −g(−x+ vt) . (1.80) Substituindo isso na solução geral, obtemos a solução em função de g. A solução que satisfaz (1.78) é y(x, t) = g(x+ vt)− g(−x+ vt) . (1.81) Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 32 Quem não entendeu o que foi feito para chegar à Eq.(1.81) pode, ao menos, verificar que essa relação implementa a condição de con- torno desejada: o ponto com x = 0 está fixo na altura y = 0, isto é, y(0, t) = 0. Questão: a onda g(−x + vt) se move para a direita ou para a esquerda? Se move para a direita, pois g(−x+ vt) = g(−(x− vt)). Por hipótese, conhecemos a forma do pulso progressivo que originalmente (antes de atingir a extremidade) se movia para a esquerda, ou seja, conheciamos a função g. Portanto, a solução (1.81) é conhecida. Ela representa dois pulsos (um invertido com relação ao outro) se propagando em sentidos opostos. Isso inclui um pulso vindo da esquerda para a direita, na região x < 0, antes da chegada em x = 0. Em x = 0, os pulsos se cancelam, mantendo y(0, t) = 0. Posteriormente, o pulso da direita para a esquerda “continua” se propagando para a região x < 0 e o pulso da esquerda para a direita continua seu trajeto para a direita. Naturalmente, a região x < 0 não existe fisicamente. Para ter uma demonstração prática do que deduzimos aqui, veja este vídeo e esta outra animação. Extremidade livre -– Que ocorre agora com um pulso se propagando quando ele encontra uma extremidade livre da corda (como um chicote)? Para ilustrar, con- sidere a Figura 1.14 A extremidade livre termina em um anel de massa desprezível Figura 1.14: Corda com extremidade livre em x = 0. que pode deslizar verticalmente preso a uma haste. Esse movimento é sem atrito. O papel do anel e da haste é manter a corda tensionada. Em x = 0 não forças na vertical (haste sem atrito): Fext = 0. Tomando o limite da relação (1.76) quando ∆x vai a zero, obtemos que a força exercida pela corda no trecho da extremidade se anula durante todo o movimento. Obtemos a seguinte condição de contorno: ∂y ∂x (x, t) ∣∣∣∣ x=0 = 0 para todo t (extremidade livre em x = 0). (1.82) Isso significa que a extremidade livre tem inclinação zero, isto é, fica a todo instante na horizontal. Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 35 Dizemos se tratar de uma condição de continuidade na corda. Outra con- dição vem da relação (1.76): o fato de que a força sobre um pequeno trecho de corda de tamanho ∆x em cima da junção deve ir a zero quando ∆x vai a zero. Essa condição implica que: ∂ye ∂x (x, t) ∣∣∣∣ x=0 = ∂yd ∂x (x, t) ∣∣∣∣ x=0 para todo t (ponto de junção em x = 0). (1.92) A função f representa o pulso incidente, que é conhecido. Queremos escrever g e h em função de f . Para isso, usaremos as duas condições acimas para obter duas equações e resolver o problema. Da condição (1.91) decorre que f(v1t) + g(v1t) = q(v2t), (1.93) enquanto que, de (1.92), vem f ′(v1t) + g′(v1t) = q′(v2t). (1.94) As equações (1.93) e (1.94) são essas duas equações que precisamos. No entanto, a Eq. (1.94) não está numa forma interessante, uma vez que envolve as derivadas das funções de onda. Podemos reescrevê-la da seguinte maneira (verifique!): 1 v1 d dt [f(v1t) g(v1t)] = 1 v2 dq dt (v2t) , (1.95) ou ainda, d dt [ f(v1t) g(v1t) v1 v2 q(v2t) ] = 0 . (1.96) Como a derivada da função entre colchetes se anula, essa função deve independer do tempo: f(v1t) g(v1t) v1 v2 q(v2t) = constante . (1.97) Agora vamos mostrar que essa constante dever ser zero. Para ver isso, observe que yi(x = 0, t = 0) (a altura do pulso incidente no instante inicial e no ponto de junção) deve ser zero, pois, por hipótese, em t = 0 o pulso incidente não havia atingido o ponto de junção. Obviamente, teremos também yr(x = 0, t = 0) = 0 e yt(x = 0, t = 0) = 0, pois não havia ainda os pulsos refletido e transmitido. Assim, obtemos que f(0) = 0, g(0) = 0 e q(0) = 0. Aplicando a relação (1.97) em t = 0 deduzimos que a constante do lado direito deve se anular. Assim, temos f(v1t) g(v1t) = v1 v2 q(v2t) . (1.98) Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 36 Somando a equação (1.93) e (1.98) membro a membro, obtemos 2f(v1t) = ( 1 + v1 v2 ) q(v2t) , (1.99) de forma que q(v2t) = 2v2 v1 + v2 f(v1t) . (1.100) Substituindo essa relação de volta na Eq. (1.93), obtemos g(v1t) = v2 v1 v1 + v2 f(v1t) (1.101) Fazendo u = v2t, podemos reescrever a relação (1.100) como q(u) = 2v2 v1 + v2 f(u v1/v2) . (1.102) Analogamente, fazendo u = v1t, podemos reescrever a relação (1.103) e g(u) = v2 v1 v1 + v2 f(u) . (1.103) Assim, conseguimos expressar as ondas refletida e transmitida em termos da onda incidente. Como a onda incidente é conhecida (foi o pulso que produzimos inicial- mente), o problema está resolvido. Sejam hi, hr e ht as amplitudes das ondas incidente, refletida e transmitida, respectivamente. As razões r = hr hi (1.104) e τ = ht hi (1.105) são denominadas coeficiente de reexão e coeficiente de transmissão, respectiva- mente. As relações obtidas acima mostram que r = v2 v1 v2 + v1 (1.106) e Capítulo 1 – MOVIMENTO ONDULATÓRIO 37 τ = 2v2 v2 + v1 . (1.107) É interessante analisar o sinal de r e τ . Como v1 e v2 são ambos números positivos, τ também é positivo. Portanto, a onda transmitida não é invertida com relação à onda incidente. Já o sinal de r depende do sinal de v2 v1. Se v2 > v1 (ou seja, µ1 < µ2), então a onda refletida não se inverte; caso v1 > v2(µ1 < µ2), a onda refletida será invertida em relação à onda incidente. Vejamos agora o caso especial em que a onda incidente é harmônica (consi- derando, por simplicidade, δ = 0): f(x v1t) = A cos(k1x ωt) (onda incidente harmônica) . (1.108) Portanto, f(v1t) = A cos(ωt) e obtemos: g(v1t) = ρA cos(ωt) e q(v2t) = τA cos(ωt). Substituindo t por x/v1 + t na expressão (1.103) para g e substituindo t por x/v2 + t na expressão (1.100) para h, obtemos: g(x+ v1t) = rA cos(k1x+ ωt) (1.109) q(x v2t) = τA cos(k2x+ ωt) . (1.110) Usando a Eq. (1.74) e levando em conta as expressões (1.108), (1.109) e (1.110), podemos escrever para as potências médias incidente (Ii), refletida (Ir) e transmitida (It): Ii = 1 2 µ1v1ω 2A2 , (1.111) Ir = 1 2 µ1v1ω 2 (rA)2 (1.112) e It = 1 2 µ2v2ω 2 (τA)2 . (1.113)