Baixe Variaveis de Estado e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Áudio, somente na Docsity! Representação em espaço de estado de sistemas de enésima ordem Função de perturbação sem termos derivativos. Considere um sistema de ordem n cuja função de perturbação u (função excitadora), não envolve termos derivativos. O sistema de enésima ordem é descrito pela seguinte equação: y a y a y a y un n n n ( ) ( ) + + + + =− −1 1 1 (1) onde y yn , são as derivadas de y. Para este sistema o conhecimento das condições iniciais y y y n( ), ( ), , ( )( )0 0 01 − , conjuntamente com a entrada u t( ) para t ≥ 0, são suficientes para determinar o comportamento futuro do sistema. Portanto, um conjunto possível de variáveis de estado é y t y t y tn( ), ( ), , ( )( ) −1 . x y x y x yn n 1 2 1 = = = − ( ) (2) Portanto a equação (1) pode ser escrita como : x x x x x x x a x a x u 1 2 3 n 1 n n n 1 1 n = = = = − − − + − (3) ou, na forma matricial, como: x Ax B= + u (4) com x A B= = − − − − = − − x x x a a a an n n n 1 2 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 , , (5) E a resposta do sistema (equação de saída) é: [ ]y x x x xn = 1 0 0 0 1 2 3 (6) ou em forma vetorial y = Cx (7) onde [ ]C = 1 0 0 0 (8) Exemplo: Dado o sistema y y y y u+ + + =6 11 6 6 (9) obter uma representação do sistema no espaço de estado. Escolhendo as variáveis de estado como x y x y x y 1 2 3 = = = (10) pode-se escrever x x x x a a a a x x x x u n n n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 − − − − − = − − − − + β β β β (21) E a equação de saída é: [ ]y = +1 0 0 0 1 2 3 0 x x x x u n β (22) ou x Ax B= + u (23) y Du= +Cx (24) onde x A B= = − − − − = − − − x x x a a a an n n n n n 1 2 1 2 1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , , β β β β (25) [ ]C = = =1 0 0 0 0 0 , D bβ Utilizando transformada de Laplace, a representação em forma de função de transferencia do sistema dado pela equação (18) é: Y s U s b s b s b s b s a s a s a n n n n n n n n ( ) ( ) = + + + + + + + + − − − − 0 1 1 1 1 1 1 (26) Resolução da equação de estado invariante no tempo A solução de uma equação diferencial escalar de primeira ordem x ax= (27) pode ser dada através de : x t b b t b t b tk k( ) = + + + + +0 1 2 2 (28) Substituindo (28) em (27) tem-se: ( )b b t b t kb t a b b t b t b tk k k k1 2 3 2 1 0 1 2 22 3+ + + + = + + + + +− (29) Igualando coeficientes: b ab b ab a b b ab a b b a b x k k k 1 0 2 1 2 1 1 2 2 0 3 1 3 2 1 3 2 3 0 1 0 = = = = = = ! (30) Substituindo t=0 na equação (28) determina-se o valor de b0 : x b( )0 0= Portanto, a solução pode ser escrita como: ( )x t at a t a t x e xk k k at( ) ( ) ( )! != + + + + + =1 0 012 2 2 1 (31) Para a equação diferencial vetorial - matricial x Ax= (32) por analogia com o caso monovariável a solução proposta é: x b b b b( )t t t tk k= + + + + +0 1 2 2 (33) Substituindo (33) em (32) ( )b b b b A b b b b1 2 3 2 1 0 1 2 22 3+ + + + = + + + + +−t t k t t t tk k k k (34) Igualando coeficientes tem-se: b Ab b Ab A b b Ab A b b A b 1 0 2 1 2 1 1 2 2 0 3 1 3 2 1 3 2 3 0 1 0 = = = = = = x k k k ! (35) Substituindo t=0 na equação (34) obtém-se: x b( )0 0= Portanto, a solução pode ser escrita como: ( )x I A A A x( ) ( )! !t t t tk k k= + + + + +12 2 2 1 0 (36) a expressão entre parêntesis é uma matriz nxn e, devido a sua semelhança com uma série infinita de potências, denomina-se matriz exponencial. EXEMPLO: Tanque de aquecimento Para um tanque de aquecimento, o modelo dinâmico não-linear é: As equações do modelo não-linear são linearizadas para obter a forma em espaço de estados onde o os vetores de estado, entrada e saída, em variáveis desvio, são:
