Introdução a Analise Real, Notas de estudo de Matemática

Baixe Introdução a Analise Real e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! ANÁLISE REAL (MA0062) Adriano Pedreira Cattai http://cattai.mat.br Universidade do Estado da Bahia — UNEB Semestre 2009.2 UNEB ★ 2009.2 Sumário Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Teorema e Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Números Naturais e Números Inteiros 8 1.1 Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Fundamentação Axiomática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Subtração em N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Fundamentação Axiomática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Subtração em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Princípio da Boa Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 O Princípio da Indução Completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Método da Recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis 21 2.1 Conjuntos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Conjuntos Enumeráveis e Conjuntos Não-Enumeráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Números Reais 27 3.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Corpos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2 Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Módulo ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.3 A polêmica Descoberta dos Incomensuráveis: os Números Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.4 O Conjunto dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Noções Topológicas da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.1 Conjuntos Abertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.2 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.3 Pontos de Acumulação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.4 Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.5 Conjuntos Densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Sequências e Séries 43 4.1 Sequências e Subsequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2 Sequências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Sequencias Monótonas e Sequencias Limitadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 Sequências de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5 Limites Infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.6 Operações com Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7 Limite Superior e Limite Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.8 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.9 A Série dos Inversos dos Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5 Limites de Funções 57 5.1 Limites Laterais, Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6 Funções Contínuas 63 6.1 O Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real evidente”. Um Teorema é uma proposição glorificada. Ou seja, é um resultado importante que se destaca. Usualmente deixa-se o termo “teorema” para as afirmações que podem ser provadas de grande “importância matemática”. São dados outros nomes para os outros tipos dessas afirmações (proposições): Lema: é um “pré-teorema”. Um teorema que serve para ajudar na prova de outro teorema maior. A distinção entre teoremas e lemas é um tanto quanto arbitrária, uma vez que grandes resultados são usados para provar outros. Por exemplo, o Lema de Gauss e o Lema de Zorn são muito interessantes, e muitos autores os denominam de Lemas, mesmo que não os usem para provar alguma outra coisa. Corolário: é uma consequência direta de outro teorema ou de uma definição, muitas vezes tendo suas demon- strações omitidas, por serem simples; Escólio: é uma consequência direta da demonstração (ou parte da demonstração) de um teorema. Provar teoremas é a principal atividade dos matemáticos. Teoremas A generalidade dos resultados matemáticos assumem a seguinte forma: admitindo a validade de uma ou mais premissas , decorre(m) obrigatoriamente uma ou mais conclusões, ou consequências. Um tal enunciado de resultados tem o nome de Teorema. A validade de um teorema tem de ser provada, ou demonstrada. A sucessão finita de argumentos lógicos mostrando que determinada afirmação é necessáriamente verdadeira quando se assumem certas premissas, damos o nome de prova ou demonstração. Num teorema, ao conjunto de premissas dá-se o nome de hipótese, e ao conjunto de conclusões dá-se o nome de tese. Esquematicamente, podemos representar um teorema da seguinte forma: Teorema: Hipótese =⇒ Tese. Observação: Quando num teorema é válido também a recíproca, isto é, “se P, então Q” e “se Q, então P”, escrevemos P ⇔ Q, ao invés de escrever P ⇒ Q e Q ⇒ P. O correspondente símbolo lógico é ⇔ é o “se e somente se”. A forma de expressão para um teorema “se P então Q, e se Q então P” é “P se e somente se Q”. Por exemplo, para o teorema “se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x + 1 é ímpar, então x é par”, escrevemos “um inteiro x é par se, e somente se, x + 1 é ímpar”. Em símbolos: x é par ⇔ x + 1 é ímpar. Outras maneiras de usar o símbolo ⇔ são: (i) P sse Q (abreviada); (ii) P é necessário e suficiente para Q. Ao final de uma demonstração matemática, é usual aperecer Q.E.D (ou QED) que é uma abreviatura para Quod erat demonstrandum, uma expressão em Latim que significa “como se queria demonstrar”. Na versão portuguesa C.Q.D. (ou CQD). Frequentemente é substituido por um dos símbolos ■ ou □. Técnicas de Demonstração A demonstração da validade de um teorema pode ser feita de várias maneiras, das quais salientamos as seguintes, por serem as mais frequentes. A fim de simplificar a notação, admitimos no que se segue que a http://cattai.mat.br ∣ ∣ 5 UNEB ★ 2009.2 hipótese é constituída por uma única expressão proposicional P(x) e que a tese é igualmente constituída por uma única condição Q(x). Assim, o teorema assume a seguinte forma: Teorema: P(x) =⇒ Q(x). Prova Direta A conclusão é estabelecida através da combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas já existentes. Constrói-se uma cadeia de condições intermediárias (R1, R2, . . . , Rn) que decorrem umas das outras, de tal forma que a transitividade da implicação lógica nos permite chegar à validade de Q, admitindo a validade de P: P(x) ⇒ R1(x) ⇒ R2(x) ⇒ . . . ⇒ Rn(x) ⇒ Q(x). Vejamos um exemplo. Teorema A. A soma de dois números pares é um número par. Prova: Seja a e b dos números pares. Assim, dados m, n ∈ Z, podemos escrever a = 2m e b = 2n. Deste modo temos: a + b = 2m + 2n ⇒ a + b = 2(m + n) ⇒ a + b = 2p, p = m + n ∈ Z ⇒ a + b é par. □ Este teorema pode ser assim reescrito: Se a, b ∈ R são pares ︸ ︷︷ ︸ P(x) , então a + b é par ︸ ︷︷ ︸ Q(x) . Prova Contra-Recíproco Da lógica, temos que a implicação P ⇒ Q é logicamente equivalente ao seu contra-recíproco, isto é, à afir- mação ∼ Q ⇒∼ P. Assim, uma forma possível de demonstrar uma implicação consiste em demonstrar o seu contra-recíproco. Vamos a um exemplo. Teorema B. Para números naturais, se p2 é par ︸ ︷︷ ︸ P(x) , então p é par ︸ ︷︷ ︸ Q(x) . Prova: Devemos ter que, para números naturais, “se p é ímpar ︸ ︷︷ ︸ ∼Q(x) , então p2 é ímpar ︸ ︷︷ ︸ ∼P(x) ”. De fato, p é ímpar ⇒ p = 2n + 1, n ∈ N ⇒ p2 = 4n2 + 4n + 1 ⇒ p2 = 2q + 1, q = 2n2 + 2n ∈ N ⇒ p2 é ímpar. □ Prova por Contradição (ou redução ao absurdo) Consiste em provar que admitir P em conjunto com ∼ Q gera uma contradição, ou impossibilidade, desig- nada de absurdo. Vejamos como isso ocorre na prática. 6 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real Teorema C. dado um número real a. Se a > 0 ︸ ︷︷ ︸ P(x) , então 1 a > 0 ︸ ︷︷ ︸ Q(x) . Prova: A negação da consequência 1 a > 0 é 1 a < 0 (ignoramos a igualdade a zero, por não ser possível para qualquer a ∈ R). Mostraremos que não é possível verificar-se esta condição em simultâneo com a premissa a > 0. Ora, a > 0 1 a < 0 ⇒ a ⋅ 1 a < 0 ⇒ 1 < 0, o que é, certamente, uma afirmação falsa. Aqui está o absurdo e, portanto, a > 0 ⇒ 1 a > 0. □ Prova por Indução Um caso “base” é provado e uma regra de indução é usada para provar uma série de outros casos. Precisa- mente: Seja P(n) uma condição com uma variável n ∈ N, tal que: 1. condição inicial: o número n = 1 verifica a condição P(n); e 2. hipótese de indução: sempre que o número natural n verifica a condição P(n), então o número n+ 1 também a verifica: P(n) ⇒ P(n + 1). Então, a condição P(n) verifica-se para todo o número natural, n ∈ N. Na seção “O Princípio da Indução Completa”, página 16, veremos maiores detalhes e exemplos. Prova por Construção Consiste em construir um exemplo concreto com determinada propriedade para mostrar que existe algo com tal propriedade. Prova por Exaustão A conclusão é estabelecida dividindo o problema em um número finito de casos e provando cada um sepa- radamente. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 7 UNEB ★ 2009.2 (ii) A multiplicação é compatível e cancelativa com respeito à igualdade: ∀a, b, c ∈ N, a = b ⇔ a ⋅ c = b ⋅ c. Prova: (i) A implicação a = b ⇒ a + c = b+ c é consequência do fato da adição ser bem definida (propriedade (N1)). Supondo agora que a + c = b + c. Pela tricotomia, temos três possibilidades: 1. a < b. Isto levaria a a + c < b + c, absurdo! 2. b < a. Pelo mesmo argumento acima, teríamos b + c < a + c, também absurdo! 3. a = b. Esta é a única possibilidade que resta. (ii) A implicação a = b ⇒ a ⋅ c = b ⋅ c decorre do fato da multiplicação ser bem definida. Suponha agora que a ⋅ c = b ⋅ c. Assim, pela tricotomia, temos três possibilidades: 1. a < b. Isto levaria a a ⋅ c < b ⋅ c, absurdo! 2. b < a. Pelo mesmo argumento acima, teríamos b ⋅ c < a ⋅ c, também absurdo! 3. a = b. Esta é a única possibilidade que resta. 1.3 Proposição. (i) A relação menor do que é transitiva: ∀a, b, c ∈ N, a < b ∧ b < c ⇒ a < c. (ii) A adição é compatível e cancelativa com respeito à relação “ menor do que”: ∀a, b ∈ N, a < b ⇔ a + c < b + c. (iii) A multiplicação é compatível e cancelativa com respeito à relação “ menor do que”: ∀a, b ∈ N, a < b ⇔ a ⋅ c < b ⋅ c. Prova: (i) Supondo a < b e b < c, temos que existem d1, d2 ∈ N tais que b = a + d1 e c = b + d2. Logo, usando a associatividade da adição, temos que: c = b + d2 = (a + d1) + d2 = a + (d1 + d2), em que d1 + d2 ∈ N, o que implica a < c. (ii) Supondo que a < b, existe d ∈ N, tal que b = a + d. Somando c a ambos os lados desta igualdade, pela comutatividade e associatividade da adição, temos b + c = c + b = c + (a + d) = (c + a) + d = (a + c) + d, o que mostra que a + c < b + c. Reciprocamente, supondo a + c < b + c, pela tricotomia, temos três possibilidades: 10 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 1. a = b. Isto levaria a a + c = b + c, absurdo! 2. b < a. Pela primeira parte da demonstração, teríamos b + c < a + c, também absurdo! 3. a < b. Esta é a única possibilidade que resta. (iii) Supondo a < b, existe d ∈ N tal que b = a + d. Multiplicando ambos os lados desta igualdade por c, pelas propriedades comutativa e distributiva da multiplicação, tem-se b ⋅ c = c ⋅ b = c ⋅ (a + d) = c ⋅ a + c ⋅ d = a ⋅ c + c ⋅ d, o que mostra que a ⋅ c < b ⋅ c, pois, pela integridade c cotg d ∈ N. Reciprocamente, supondo que a ⋅ c < b ⋅ c, pela tricotomia, temos três possibilidades: 1. a = b. Isto levaria a a ⋅ c = b ⋅ c, absurdo! 2. b < a. Pela primeira parte da demonstração, teríamos b ⋅ c < a ⋅ c, também absurdo! 3. a < b. Esta é a única possibilidade que resta. Subtração em N Dados dois números naturais a e b, com a < b, sabemos que existe um número natural c tal que b = a + c. Neste caso, definimos o número b menos a, denotado por b − a, como sendo o número c. Em símbolos, temos: c = b − a ⇔ b = a + c. Dizemos que c é o resultado da subtração de a de b. Assim − : N × N → N (b, a) 7→ c := b − a ⇔ b = a + c Muito cuidado! No universo dos números naturais nem sempre existe a subtração de dois números; só existe b − a quando a < b, e que por definição (b − a) + a = b. Nota 2. A subtração não é uma operação associativa, de fato: (9 − 4)− 3 = 5 − 3 = 2 e 9 − (4 − 3) = 9 − 1 = 8 1.4 Proposição. Sejam a, b, c ∈ N. Se a < b, então c ⋅ (b − a) = c ⋅ b − c ⋅ a. Prova: Note que, se b > a, então c ⋅ b > c ⋅ a, e assim c ⋅ b − c ⋅ a está bem definido. Supondo, então, b − a = d, temos b = a + d. Multiplicando por c ambos os membros desta última igualdade, obtemos c ⋅ b = c ⋅ (a + d) = c ⋅ a + c ⋅ d, o que nos dá c ⋅ d = c ⋅ b − c ⋅ a. Substituindo d por b − a na igualdade acima, obtemos c ⋅ (b − a) = c ⋅ b − c ⋅ a. Como queríamos. 1.1.2 Exercícios Propostos EP 1.1. Sejam a, b, c, d ∈ N tais que a < b e c < d. Mostre que b − a < d − c ⇔ b + c < a + d. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 11 UNEB ★ 2009.2 EP 1.2. Sejam a, b, c ∈ N tais que a − (b − c) esteja bem definido. Mostre que (a + c) − b está bem definido e que a − (b − c) = (a + c)− b. EP 1.3. Sejam a, b, c ∈ N tais que a < c e b < c. Mostre que, se c − a < c − b, então a > b. EP 1.4. Sejam a, b, c ∈ N tais que b + c < a. Mostre que a − (b + c) e (a − b)− c estão bem definidos e que vale a igualdade a − (b + c) = (a − b)− c. EP 1.5. Sejam a, b, c ∈ N tais que c < b < a. Mostre que b − c < a − c < a. 1.2 Números Inteiros A noção de número natural, como vimos, desenvolveu-se gradativamente a partir da experiência cotidiana. Seu emprego foi-se generalizando aos poucos e as propriedades das operações foram admitidas como um fato experimental. O mesmo não aconteceu com os números negativos. O primeiro uso conhecido desses números encontra-se numa obra indiana, atribuída a Brahmagupta (628d.C. aproximadamente), na qual são interpretados como dívidas. Foi preciso a possibilidade de dar diversas interpretações aos números negativos que fez com que eles fossem aceitos aos poucos na coletividade matemática. Porém, desde seu aparecimento, esses números sucitaram dúvidas quanto à sua legitimidade. Em 1543 Stieffel ainda os chamava de números absurdos, e Cardano, contemporâneo de Stieffel, denominava-os soluções falsas de uma equação. A noção de número natural (a partir da qual se pode explicitar a noção dos inteiros) foi fundamentada com precisão, pela primeira vez, pelo matemático italiano Giuseppe Peano, em 1889 na sua Arithmetica Principia Nova Methodo Exposita. O Método de Peano, com leves variantes, é usado até hoje por numerosos textos, mas tem o inconveniente de ser longo e demorado. Segundo esta teoria, a definição de número natural é estabelecida a partir de três conceitos primitivos e cinco axiomas. O leitor interessado nesse ponto de vista poderá consultar o último capítulo do livro Números uma introdução à Matemática, de César P. Milies e Sônia P Coelho, editora EDUSP. Preferimos dar diretamente uma fundamentação axiomática dos números inteiros semelhante a que empreg- amos no capítulo anterior, dos Números Naturais, permitindo chegar mais rapidamente a resultados significa- tivos. Mas, afinal, o que são os números inteiros? 1.2.1 Fundamentação Axiomática Os números inteiros formam um conjunto, que denotaremos por Z, assim definido: Z = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N}, no qual estão definidas duas operações, a adição e a multiplicação, que definimos para os números Naturais. Enunciamos um grupo de 6 axiomas (propriedades) em N que também são válidas para Z, além das que seguem: (Z1) A existência do Elemento Neutro: ∀a ∈ Z, a + 0 = a e a ⋅ 1 = a. (Z2) A existência do Oposto: para cada a ∈ Z existe um único oposto aditivo, denotado por −a, tal que a + (−a) = 0. 12 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real Dizemos que c é o resultado da subtração de a de b. Assim − : Z × Z → Z (b, a) 7→ c := b − a ⇔ b = a + c De outro modo, pela existência do simétrico aditivo, podemos definir em Z a subtração, estabelecendo que a − b := a + (−b), para todos a e b pertencentes a Z. − : Z × Z → Z (a, b) 7→ a − b := a + (−b) Fique Atento! Vimos que no universo dos números naturais, nem sempre existe a subtração de dois números, só existe b − a quando a < b. Em Z não existe esta preocupação. 1.2.2 Princípio da Boa Ordem Para apresentar nosso último axioma, introduziremos alguns conceitos. 1.11 Definição. Seja X um subconjunto de Z. Diz-se que X é limitado inferiormente se existe algum inteiro m tal que, para todo a ∈ X, tem-se que m ≤ a. Um elemento m0 ∈ X diz-se elemento mínimo de X se, para todo a ∈ X, tem-se que m0 ≤ a (verifique, se existe um elemento mínimo de X ele é único!). De modo análogo, define-se conjunto limitador superiormente e elemento máximo. Usaremos a notação min(X) e max(X) para indicar o mínimo e o máximo de um conjunto X, quando existirem. Axioma 1 (Princípio da Boa Ordem). Todo conjunto não vazio de inteiros não-negativos contém um elemento mínimo. Até aqui sabemos, obviamente, que 0 < 1, no entanto não tínhamos provado que não existem inteiros entre 0 e 1. Esse é o conteúdo do nosso próximo corolário. 1.12 Corolário. Seja a um inteiro tal que 0 ≤ a ≤ 1. Então, a = 0 ou a = 1. Prova: Suponhamos, por absurdo, que exista um inteiro a diferente de 0 e de 1 nessas condições. Assim, o conjunto S = {a ∈ Z; 0 < a < 1} seria não-vazio e pelo Princípio da Boa Ordem existiria m = min(S). Como m ∈ S temos m > 0 e m < 1. Multiplicando por m a segunda desigualdade, obtemos m2 < m. Assim, também m2 > 0 e, como m < 1, da transitividade temos m2 < 1. Logo m2 ∈ S e é menor que seu elemento mínimo, uma contradição. 1.13 Corolário. Dado um número inteiro n qualquer, não existe nenhum número inteiro m tal que n < m < n + 1. Prova: Suponha, por absurdo, que exista um número inteiro m com n < m < n + 1. Logo, existiria um número inteiro positivo k tal que n + k = m < n + 1, que, pela propriedade cancelativa da adição, implicaria 0 < k < 1, o que é um absurdo, tendo em vista o corolário acima. 1.14 Corolário. Sejam a e b dois inteiros não negativos. Se ab = 1, então a = 1 e b = 1. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 15 UNEB ★ 2009.2 Prova: Inicialmente, note que a ∕= 0 e b ∕= 0, pois caso contrário ab = 0. Agora, se a ∕= 1 e b ∕= 1, então devemos ter a > 1 e b > 1. Logo, ab > b > 1, uma contradição. Portanto a = 1 ou b = 1. Qualquer uma dessas possibilidades implica a = b = 1. 1.2.3 Exercícios Propostos EP 1.6. Sejam a, b ∈ Z, mostre que: (a) (−1) ⋅ a = −a; (b) Se a2 = 0, então a = 0; (c) Se a2 = a, então a = 0 ou a = 1; (d) A equação a + x = b tem uma única solução. EP 1.7. Mostre que a relação menor do que ou igual a (≤) é uma relação de ordem, ou seja, é reflexiva, anti- simétrica e transitiva. EP 1.8. Seja a ∈ Z, mostre que: (a) Se a ≤ 0, então −a ≥ 0; (b) Se a ≥ 0, então −a ≤ 0; (c) a2 ≥ 0 (terminologia usual: todo quadrado é não negativo); (d) 1 > 0; (e) Se a < b, então −a > −b. EP 1.9. Sejam a, b, c, d ∈ Z, prove que: (a) Se a ≥ b e c ≥ 0, então ac ≥ bc; (b) Se c > 0 e ac < bc, então a < b; (c) Se a ≥ b e c ≤ 0, então ac ≤ bc; (d) Se c < 0 e ac > bc, então a < b; (e) a2 − ab + b2 ≥ 0 (dica: separar em casos, por exemplo: a, b ≥ 0); (f) Se ab > 0, então a > 0 e b > 0 ou a < 0 e b < 0; (g) Se 0 ≤ a ≤ b e 0 ≤ c ≤ d, então ac < bd; (h) Se 0 ≤ a < b e 0 < c ≤ d, então ac < bd; (i) Se a < b, então a2 < b3. É verdade que, se a < b, então a2 < b2? EP 1.10. Mostre que a equação x2 + 1 = 0 não tem solução em Z. 1.3 O Princípio da Indução Completa As ciências naturais utilizam o método chamado indução empírica para formular leis que devem reger deter- minados fenômenos a partir de um grande número de observações particulares, selecionadas adequadamente. Esse tipo de procedimento, embora não seja uma demonstração de que um dado fato é logicamente verdadeiro, é frequentemente satisfatório. A validade de um teorema matemático se estabelece de forma totalmente difer- ente. Verificar que uma certa afirmação é verdadeira num grande número de casos particulares não permitirá concluir que ela é válida. Por exemplo, considere a expressão p(n) = n2 − n + 41 e considere a seguinte afir- mação: para cada inteiro positivo n o valor p(n) é um número primo. Para n = 1 temos p(1) = 41, da mesma forma p(2) = 43 e p(3) = 47, são números primos, e que, com um pouco de paciência, poderá verificar que a afirmação é verdadeira para os primeiros 40 valores de n, pois p(41) = 41 ⋅ 41, que não é um número primo. 16 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real Se nos deparássemos com a fórmula 1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n + 1) 2 , como verificar sua validade? Evidentemente, é impossível demonstrá-la em todos os casos particulares. Para demonstrar a verdade desse tipo de proposição, que na realidade é uma sequencia infinita de proposições, uma para cada inteiro positivo, introduziremos o chamado método de recorrência ou da indução completa. Nota 4. Conta a história sobre Carl Friederich Gauss quando ainda garoto. Na escola, o professor, para aquietar a turma de Gauss, mandou os alunos calcularem a soma de todos os números naturais de 1 a 100. Qual não foi a surpresa quando, logo em seguida, o menino deu a resposta 5.050. Indagado como tinha descoberto tão rapidamente o resultado, Gauss, então com nove anos de idade, descreveu o método, como segue: Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n. Somando a igualdade acima, membro e membro, com ela mesma, porém com as parcelas do segundo membro em ordem invertida, temos que Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n Sn = n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 1 2Sn = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) Daí segue que 2Sn = n(n + 1), e, portanto Sn = n(n + 1) 2 . 1.15 Teorema. Sejam a um inteiro dado e S um conjunto de inteiros maiores ou iguais a a, que tem as seguintes propriedades: (i) a ∈ S; (ii) Se um inteiro k ≥ a pertence a S, então k + 1 também pertence a s. Então S é o conjunto de todos os inteiros maiores ou iguais a a. Prova: Suponhamos que a afirmação seja falsa. Então, o conjunto S′ dos inteiros maiores ou iguais a a que não pertencem a S seria não-vazio (e limitado inferiormente por a). Como todo conjunto limitado inferiormente tem mínimo, existe um m que é p mínimo de S′. Como a ∈ S, certamente a < m, logo a ≤ m − 1 < m. Temos ainda que m − 1 < m = min(S′), logo m − 1 ∕∈ S′, isto é, m − 1 ∈ S. Conforme (ii), teremos então que m = (m − 1) + 1 ∈ S, uma contradição, já que m ∈ S′. 1.16 Corolário (Princípio da Indução Completa). Seja a um inteiro dado. Suponhamos que para cada inteiro n ≥ a está dada uma afirmação P(n) de forma que: (i) P(a) é verdadeira; (ii) Se, para um inteiro k ≥ a, P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira. Então a afirmação P(n) é verdadeira para todo inteiro n ≥ a. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 17 UNEB ★ 2009.2 (ii) Para cada inteiro positivo n ≥ 2, definimos n! = n ⋅ (n − 1)!. Assim, temos n! como o produto de todos os fatores positivos menores ou iguais a n. Define-se, 0! = 1. 1.17 Proposição. Sejam a e b dois inteiros. Para quaisquer m e n inteiros não negativos, temos que: (i) am ⋅ an = am+n; (ii) (am)n = am⋅n; (iii) (a ⋅ b)n = an ⋅ bn. Prova: Provaremos apenas (i). Fixemos a e m arbitrariamente e demonstraremos a relação por indução sobre n. Temos claramente, pelas definições, que am ⋅ a1 = am ⋅ a = am+1. Por outro lado, supondo que am ⋅ an = am+n, temos que am ⋅ an+1 = am ⋅ (an ⋅ a) = (am ⋅ an) ⋅ a = am+n ⋅ a = am+n+1. Isto, pelo princípio de Indução Matemática, prova a nossa propriedade. 1.3.2 Exercícios Propostos EP 1.11. Mostre as seguintes fórmulas por indução: (a) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 ; (b) 13 + 23 + . . . + n3 = ( n(n + 1) 2 )2 ; (c) 13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2; (d) 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + . . . + 1 n(n + 1) = n n + 1 ; (e) 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + . . . + 1 n(n + 1)(n + 2) = n(n + 3) 4(n + 1)(n + 2) . EP 1.12. Ache uma fórmula para cada uma das somas seguintes: (a) 2 + 4 + . . . + 2n; (b) 2 + 5 + 8 + . . . + (3n − 1); (c) 2 + 4 + 8 + . . . + 2n; (d) 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . + 1 2n . EP 1.13. Mostre por indução que: (a) 2n > n, para todo n ∈ N; (b) n! > 2n, para todo n ∈ N − {1, 2, 3}; (c) n! > n2, para todo n ∈ N − {1, 2, 3}; (d) n! > n3, para todo n ∈ N − {1, 2, 3, 4, 5}; (e) n! > 3n, para todo n ∈ N − {1, 2, 3, 4, 5, 6}; (f) n < 2n, para todo n ∈ N; (g) 1 − xn+1 1 − x = 1 + x + . . . + x n se x ∕= 1; (h) (1 + x)n ≥ 1 + nx + n(n − 1) 2 x2 se x ≥ 0; (i) (1 + x)2n > 1 + 2nx se x ∕= 0. EP 1.14. Sejam m, n ∈ Z. Decidir se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas: (a) (mn)! = m!n!, para todo m, n ≥ 1; (b) (m + n)! = m! + n!, para todo m, n ≥ 1. EP 1.15. Sejam a e b inteiros e n um natural. Provar que: (a) Se n é ímpar e an = bn, então a = b; (b) Se n é par e an = bn, então a = ±b; 20 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real (c) Se a e b são positivos e an < bn, então a < b. EP 1.16. Seja x um número natural. Demonstrar que (1 + x)n > 1 + nx, para todo n ≥ 2. EP 1.17. Prove que, traçando n retas num plano, não se pode dividi-lo em mais de 2n partes. Capítulo 2 Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis 2.1 Conjuntos Finitos Para o nosso propósito, quanto ao número de elementos de um conjunto, é necessário apenas distinguir três tipos de conjuntos: os finitos, os enumeráveis e os não-enumeráveis. A noção de conjunto enumerável está es- treitamente ligada ao conjunto N dos números naturais, em que os empregamos para a contagem dos conjuntos finitos, mostrando como eles podem ser considerados como números cardinais e completando, portanto, sua descrição. Como vimos no início, o conjunto N é o conjunto usado para contagens. Quando queremos contar, por exemplo, o número de integrantes do grupo Os Três Mosqueteiros procedemos da seguinte maneira. A cada integrante associamos um elemento do conjunto N, seguindo a sua ordem usual: D’Artagnan 1, Athos 2, Porthos 3, Aramis 4. Acabamos de definir uma função injetiva ϕ do conjunto A = { Os Três Mosqueteiros } no conjunto N, de modo que ϕ(D’Artagnan) = 1, ϕ(Athos) = 2, ϕ(Porthos) = 3 e ϕ(Aramis) = 4. Bastava tomar o conjunto I4 = {1, 2, 3, 4} como contra-domínio que f ainda seria injetiva. Porém, isto não seria possível se I4 fosse {1, 2, 3} pois, neste caso, pelo menos um elemento de I4 estaria associado a mais de um músico (e portanto f não seria injetiva). De fato, 4 é o menor número n tal que o conjunto {1, . . . , n} possa ser contra-domínio sem que ϕ deixe de ser injetiva. Vejamos outro exemplo de contagem. Um professor vai aplicar uma prova e não tem certeza se a sala desti- nada a este feito tem um número suficiente de cadeiras para acomodar os alunos. Ele pode contar as cadeiras e os alunos e comparar os resultados para obter a resposta. Uma alternativa óbvia a este método é pedir aos alunos que se acomodem e três coisas podem acontecer ao final do processo: (i) existem alunos de pé e todas as cadeiras estão ocupadas; (ii) existem cadeiras livres e todos os alunos estão sentados; (iii) todos os alunos estão sentados e todas as cadeiras estão ocupadas. No primeiro, caso temos que o número de alunos é maior que o de cadeiras; no segundo caso, ocorre o con- trário e, finalmente, no terceiro eles são iguais. Obtemos, assim, a resposta à pergunta “qual conjunto tem mais elementos?” sem necessariamente conhecer os números de elementos dos conjuntos envolvidos. Estas considerações motivam a seguinte definição. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 21 UNEB ★ 2009.2 Notação! Indicaremos pelo símbolo In o conjunto {1, 2, . . . , n} dos números naturais, desde 1 até n. Mais precisamente, dado n ∈ N, temos In = {p ∈ N; 1 ≤ p ≤ n}. Estas considerações nos levam às seguintes definições. 2.1 Definição. Seja A um conjunto não-vazio. Se existe n ∈ N e uma função injetiva ϕ : A → In diremos que A é finito; caso contrário, A é infinito. O menor número n que verifica esta propriedade é dito número de elementos de A e escrevemos #A = n. Diremos também que o conjunto vazio é finito e que seu número de elementos é zero. 2.2 Definição. Sejam A e B dois conjuntos não-vazios. Dizemos que A e B têm a mesma cardinalidade ou que a cardinalidade de A é igual à de B e escrevemos #A = #B, se existe uma bijeção ϕ : A → B. Caso contrário dizemos que eles não têm a mesma cardinalidade ou que suas cardinalidades são diferentes e escrevemos #A ∕= #B. 2.3 Definição. Sejam A e B conjuntos não-vazios. Se existe função injetiva ϕ : A → B, então dizemos que a cardinalidade de A é menor ou igual à de B e escrevemos #A ≤ #B. Se existe uma função sobrejetiva ψ : A → B, então dizemos que a cardinalidade de A é maior ou igual à de B e escrevemos #A ≥ #B. Observamos que o número de elementos de um conjunto finito A não vazio é bem definido graças ao Princí- pio da Boa Ordem. De fato, o conjunto dos números n ∈ N que verificam a propriedade “existe função injetiva ϕ : A → In” é um subconjunto não vazio (pois A é finito) de N e, portanto, possui um elemento mínimo. Os seguintes fatos decorrem imediatamente das definições: (i) Cada conjunto In é finito e possui n elementos, ou seja #In = n; (ii) Se ϕ : A → B é uma bijeção, um desses conjuntos é finito se, e somente se, o outro é. Intuitivamente, uma bijeção ϕ : In → A significa uma contagem dos elementos de A. Pondo ϕ(1) = a1, ϕ(2) = a2, . . . , ϕ(n) = an, temos A = {a1, a2, . . . , an}. Esta é a representação ordinária de um conjunto finito. Para que o número de elementos de um conjunto não seja uma noção ambígua devemos provar que, se existem duas bijeções ϕ : In → A e ψ : Im → A, então m = n. Considerando a função composta ξ = ψ−1 ∘ ϕ : In → Im, basta então provar que, se existe uma bijeção ξ : In → Im, então m = n. Para fixar idéias, suponhamos m ≤ n. Daí, Im ⊂ In. A unicidade do número de elementos de um conjunto finito será, portanto, uma consequência da proposição mais geral seguinte. 2.4 Teorema. Seja A ⊂ In. Se existir uma bijeção ϕ : In → A, então A = In. Prova: Veja, por exemplo, em Elon volume 01. Como consequência desta, temos: 2.5 Corolário. Não pode existir uma bijeção ϕ : A → B de um conjunto finito A sobre uma parte própria B ⊂ A. 2.6 Teorema. Se A é um conjunto finito então todo subconjunto B ⊂ A é finito. O número de elementos de B não excede o de A e só é igual quando B = A. 22 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 2.2 Conjuntos Enumeráveis e Conjuntos Não-Enumeráveis 2.14 Definição. Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção ϕ : A → N (ou ϕ : N → A). No segundo caso, A diz-se infinito enumerável e, pondo-se a1 = ϕ(1), a2 = ϕ(2), . . . , an = ϕ(n), . . ., tem-se A = {a1, a2, . . . , an, . . .}. Cada bijeção ϕ : N → A chama-se uma enumeração (dos elementos) de A. Nota 6. Temos que A ∕= ∅ é enumerável se, e somente se, #A ≤ #N. Exemplo 2.4. A bijeção ϕ : N → P, definida por ϕ(n) = 2n, mostra que o conjunto P dos números pares é infinito enumerável. Analogamente, ψ : n 7→ 2n − 1 define uma bijeção de N sobre o conjunto dos números naturais ímpares, o qual é, portanto, infinito enumerável. Exemplo 2.5. O conjunto Z dos números inteiros é infinito enumerável. Basta notar que a função ξ : Z → N, definida por ξ(n) = ⎧ ⎨ ⎩ 2n, se n > 0 −2n + 1, se n ≤ 0 é uma bijeção. Logo, ξ−1 : N → Z é uma enumeração para Z. O exemplo 2.2 é outra maneira, na verdade equivalente a esta, de mostrar que Z é enumerável. Exemplo 2.6. Q é enumerável. Veremos uma demonstração deste resultado, mais adiante na seção de corpos ordenados, quando estabelecermos que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ K. Por hora, apresentamos uma figura (abaixo) ilus- trando uma contagem para Q, de uma lista de dupla entrada onde as primeiras coordenadas representam os numeradores e as segundas coordenadas os denominadores. (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) ⋅ ⋅ ⋅ (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) . . . (3, 1) (3, 2) (3, 3) . . . (4, 1) (4, 2) . . . (5, 1) . . . ... 2.15 Proposição. Se A e B são enumeráveis, então A ∪ B é enumerável. Prova: Se A = ∅ ou B = ∅, então a proposição é imediata. Suponhamos que ambos sejam não-vazios. Então, existem funções injetivas ϕ : A → N e ψ : B → N. Definimos ξ : A ∪ B → N da seguinte maneira: ξ(x) = ⎧ ⎨ ⎩ 2ϕ(x), se x ∈ A, 2ψ(x) + 1, se x ∈ B∖A. Temos que ξ é bem definida e é, claramente, injetiva (observe que ξ(A) ∩ ξ(B) = ∅ pois os elementos de ξ(A) são números pares, enquanto que os de ξ(B∖A) são ímpares). http://cattai.mat.br ∣ ∣ 25 UNEB ★ 2009.2 Mais geralmente, temos: 2.16 Proposição. Se, para cada n ∈ N, An é enumerável, então ∞ ∪ n=1 An é enumerável. Prova: Sem perda de generalidade, podemos supor que An ∕= ∅ para todo n ∈ N. Seja A = ∞∪ n=1 An. Por hipótese, para cada n ∈ N temos que An é enumerável, logo, existe ϕn : N → An sobrejetiva. Vamos mostrar que a função ϕ : N × N → A (n, m) 7→ ϕn(m) é sobrejetiva. De fato, se x ∈ A, então existe n ∈ N tal que x ∈ An. Como ϕn é sobrejetiva, existe m ∈ N tal que ϕn(m) = x. Segue que ϕ(n, m) = ϕn(m) = x. No exemplo 2.3 vimos que #N = #N2. Portanto, existe ψ : N → N2 sobrejetiva. Segue que ϕ ∘ ψ : N → A é sobrejetiva. Em outras palavras, o teorema acima diz que: uma reunião enumerável de conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. 2.17 Teorema. Todo subconjunto A ⊂ N é enumerável. Prova: Se A for finito, é enumerável. Se for infinito, definiremos indutivamente uma bijeção ϕ : N → A. Poremos ϕ(1) como o menor elemento de A. Suponhamos ϕ(1), . . . , ϕ(n) definidos de modo a satisfazerem as seguintes condições: (a) ϕ(1) < ϕ(2) < . . . < ϕ(n); (b) pondo Bn = A − {ϕ(1), . . . , ϕ(n)}, tem-se ϕ(n) < x para todo x ∈ Bn Em seguida, notando que Bn ∕= ∅ (pois A é infinito) definimos ϕ(n + 1) como o menor elemento de Bn. Isto completa a definição de ϕ : N → A, de modo a serem mantidas as condições (a) e (b) para todo n ∈ N. Segue- se de (a) que ϕ é injetiva. Por outro lado, (b) implica que ϕ é sobrejetiva pois, se existisse algum x ∈ A − ϕ(N), teríamos x ∈ Bn para todo n e, portanto, x > ϕ(n), qualquer que fosse n ∈ N. Então o conjunto infinito ϕ(N) ⊂ N seria limitado, uma contradição, em vista do Teorema 2.10. 2.18 Corolário. Um subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável. Ou, se ϕ : A → B é injetiva e B é enumerável, então A é enumerável. 2.19 Proposição. Sejam A e B conjuntos enumeráveis. Então o produto cartesiano A × B é enumerável. Prova: Por hipótese existem funções ϕ : A → N e ψ : B → N. Logo ξ : A × B → N × N, dada por ξ(a, b) = (ϕ(a), ψ(b)) é injetiva. Assim sendo, pelo fato que N × N é enumerável (consequência do Exemplo 2.3). Segue pelo Corolário 2.18 que A × B é enumerável. 2.20 Proposição. Sejam A1, . . . , An conjuntos enumeráveis, então A1 × . . . × An é enumerável. Prova: Deixamos como exercício a verificação deste resultado, que pode ser obtida por indução. 26 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real Nota 7. O principal exemplo de conjunto não enumerável que veremos é o conjunto dos números reais R, como veremos mais adiante. Cantor mostrou que existem conjuntos não enumeráveis, mais geralmente, dado um conjunto A, sempre existe um conjunto cujo número cardinal é maior do que o de A. Um exemplo de conjunto não enumerável é considerar o produto cartesiano A1 × A2 × . . . × An × . . . de conjuntos A1, A2, . . . , An, . . . infinitos enumeráveis. Capítulo 3 Números Reais Tudo quanto vai ser dito no decorrer deste material se referirá a conjuntos de números reais: funções definidas e tomando valores nesses conjuntos, limites, continuidade, derivadas e integrais dessas funções. Por isso, vamos estabelecer neste capítulo os fundamentos da teoria dos números reais, o conjunto R, como um corpo ordenado completo. Enunciaremos os axiomas de corpo para que possamos estabelecer as propriedades dos números reais, que são decorrentes logicamente dos axiomas de corpo, que enunciaremos. Estes axiomas apresentam o conjunto R como um corpo ordenado completo. Veremos, aqui, que este conjunto não é enumerável. Vejamos o que é um corpo. 3.1 Corpos Um corpo é um conjunto K munido de duas operações, chamadas adição e multiplicação, que satisfazem a certas condições, chamadas os axiomas de corpo, abaixo especificadas. A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ K sua soma x + y ∈ K, enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto x ⋅ y ∈ K. Os axiomas de corpo são os seguintes: (A) Axiomas da Adição (A1) A soma é associativa: ∀x, y, z ∈ K; (x + y) + z = x + (y + z). (A2) A soma é comutativa: ∀x, y ∈ K; x + y = y + x. (A3) A soma tem elemento neutro, designado por 0, isto é, ∀x ∈ K; x + 0 = 0 + x = x. (A4) Qualquer número real tem simétrico, isto é, ∀x ∈ K, ∃y ∈ K; x + y = y + x = 0. O simétrico do número real x designar-se-á −x. 3.1 Observação. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 27 UNEB ★ 2009.2 3.1.1 Corpos Ordenados Um corpo ordenado é um corpo K, no qual se destacou um subconjunto P ⊂ K, chamado o conjunto dos elementos positivos de K, tal que as seguintes condições são satisfeitas: (P1) A soma e o produto de elementos positivos são positivos. Ou seja, x, y ∈ P ⇒ x + y ∈ P e x ⋅ y ∈ P; (P2) Dado x ∈ K, exatamente uma das três alternativas ocorre: x = 0, ou x ∈ P ou − x ∈ P. Indicamos por −P o conjunto dos elementos −x, tal que x ∈ P. Assim, K = P ⊔ {0} ⊔ (−P), em que ⊔ significa união disjunta. Os elementos de −P chamam-se negativos. Note que, num corpo ordenado, se a ∕= 0, então a2 ∈ P. De fato, sendo a ∕= 0, temos a ∈ P ou −a ∈ P. No primeiro caso, a2 = a ⋅ a ∈ P e, no segundo, a2 = (−a) ⋅ (−a) ∈ P. Em particular, num corpo ordenado K, 1 ⋅ 1 = 1 é sempre positivo e −1 não é quadrado de elemento algum. Exemplo 3.4. (a) Q é um corpo ordenado, no qual o conjunto P é formado pelos números racionais p q tais que p ⋅ q ∈ N. Intuitivamente, p e q têm o mesmo sinal. (b) O corpo Q(t) pode ser ordenado chamando-se uma fração r(t) = p(t) q(t) positiva quando, no polinômio p ⋅ q, o coeficiente do termo de mais alto grau for positivo. O conjunto P das frações positivas, segundo esta definição, cumpre as condições (P1) e (P2). Nota 8. O corpo Z2 não pode ser ordenado, pois 1 + 1 = 0 enquanto num corpo ordenado 1 deve ser sempre positivo e a soma 1 + 1, de dois elementos positivos deveria ser ainda positiva. 3.1.2 Relação de Ordem Num corpo ordenado K, escrevemos x < y, e diremos que x é menor do que y, para significar que y − x ∈ P, ou seja, que y = x + z, onde z ∈ P. Do mesmo, escreve-se também y > x e diz-se que y é maior do que x. Em particular x > 0 significa que x ∈ P, isto é, x é positivo, enquanto que x < 0 quer dizer que x é negativo, ou seja, −x ∈ P. Se x ∈ P e y ∈ −P, tem-se sempre que x > y. 3.4 Proposição. Seja K um corpo ordenado. Então, a relação < goza das seguintes propriedades: (i) Transitividade: se x < y e y < z, então x < z; (ii) Tricotomia: dados x, y ∈ K, ocorre exatamente uma das alternativas: x = y, ou x < y, ou y < x (iii) Monotonicidade da Adição: se x < y, então x + z < y + z, ∀ z ∈ K; (iv) Monotonicidade da Multiplicação: se x < y, então x ⋅ z < y ⋅ z quando z > 0 e x ⋅ z > yż quando z < 0. 30 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real Prova: Elon p. 13 ed 10 Num corpo ordenado K, escreve-se x ≤ y para significar x < y ou x = y, em que lê-se: “x é menor do que ou igual a y”. Do mesmo modo, escreve-se y ≥ x. Isto quer dizer efetivamente que y − x ∈ P ∪ {0}. Os elementos de P ∪ {0} chamam-se não-negativos e são caracterizados pela relação x ≥ 0. 3.5 Definição. Uma relação ⪯ num corpo (K,+, ⋅) é dita relação de ordem total ou, simplesmente, relação de ordem se valem as seguintes propriedades. (i) Ela é transitiva: se x ⪯ y e y ⪯ z, então x ⪯ z; (ii) Ela é anti-simétrica: se x ⪯ y e y ⪯ x, então x = y; (iii) Ela é completa: ∀ x, y ∈ K temos x ⪯ y ou y ⪯ x; (iv) A adição é monótona: se x ⪯ y, então x + z ⪯ y + z, ∀ z ∈ K; (v) A multiplicação é monótona: se x ⪯ y, então x ⋅ z ⪯ y ⋅ z quando z ર 0 e x ⋅ z ર yż quando z ⪯ 0. 3.6 Proposição. Seja K um corpo ordenado. Então, a relação ≤ é uma relação de ordem. Prova: Deixamos como exercício. Importante! Num corpo ordenado K, como 1 > 0, temos 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < . . . e o subconjunto de K formado por estes elementos é, portanto, infinito. Assim, podemos ver que o conjunto dos números naturais N está imerso em K, isto é N ⊂ K. Como estamos fazendo, os simétricos −n dos elementos n ∈ N e mais o zero (0 ∈ K) con- stituem o conjunto Z. Assim temos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ K. Assim, podemos provar a seguinte proposição. 3.7 Proposição. Q é enumerável. Prova: Mostraremos que #N = #Q. Como N ⊂ Z ⊂ Q, temos que #N ≤ #Q. Assim, precisamos mostrar que #N ≥ #Q. A definição de número racional diz que a função ϕ : Z × N → Q dada por ϕ(m, n) = m n é sobrejetiva. Pelo exemplo 2.5, temos que Z é enumerável, e a Proposição 2.19 diz que Z × N também é enumerável. Logo, existe ψ : N → Z × N sobrejetiva. Terminamos a demonstração observando que ϕ ∘ ψ : N → Q é sobrejetiva. Módulo ou Valor Absoluto A relação de ordem em K permite-nos definir o valor absoluto, ou módulo, de um número x ∈ K, vejamos. 3.8 Definição (Módulo ou Valor Absoluto). O módulo ou valor absoluto de um número x ∈ K é definido por: ∣x∣ = ⎧ ⎨ ⎩ x, se x ≥ 0; −x, se x < 0. A noção de valor absoluto é de muita importância em Análise. Por isso, é preciso ter em mente algumas de suas propriedades e a sua definição. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 31 UNEB ★ 2009.2 Fique atento! O valor absoluto de x é o maior dos números x e −x. Assim, outra maneira de se definir o valor absoluto consiste em pôr: ∣x∣ = max{x,−x}. Quando x = 0 tem-se, é claro, x = −x = ∣x∣ = 0. Temos, portanto, que ∣x∣ ≥ 0 e − ∣x∣ ≤ x ≤ ∣x∣. Mais geralmente, temos: 3.9 Teorema. Sejam x e a ≥ 0 elementos de um corpo ordenado K. São equivalentes: (i) −a ≤ x ≤ a; (ii) x ≤ a e −x ≤ a; (iii) ∣x∣ ≤ a. 3.10 Corolário. Dados a, b, x ∈ K, tem-se ∣x − a∣ ≤ b se, e somente se, a − b ≤ x ≤ a + b. Em particular, temos as seguintes equivalências, que serão utilizadas amplamente no estudo dos limites e das funções contínuas: x ∈ (a − ε, a + ε) ⇔ a − ε < x < a + ε ⇔ ∣x − a∣ < ε. Se representarmos geometricamente os elementos de um corpo ordenado como pontos de uma reta, o valor absoluto ∣x − a∣ significa a distância do ponto x ao ponto a. As equivalências acima exprimem o fato de que o intervalo aberto (a − ε, a + ε), de centro a e raio ε, é formado pelos pontos x cuja distância a a é menor do que ε. K ( )∣∣ aa − ε a + ε x 3.11 Teorema. Para elementos arbitrários de um corpo ordenado K, valem: (i) ∣x ⋅ y∣ = ∣x∣ ⋅ ∣y∣; (ii) ∣x + y∣ ≤ ∣x∣+ ∣y∣; (iii) ∣x∣ − ∣y∣ ≤ ∣∣x∣ − ∣y∣∣ ≤ ∣x − y∣; (iv) ∣x − z∣ ≤ ∣x − y∣+ ∣y − z∣. Prova: (i) Note que, seja qual for x ∈ K, temos x2 = ∣x∣2, pois ∣x∣ é um dos elementos −x ou x e vale x2 = (−x)2. Logo ∣x ⋅ y∣2 = (x ⋅ y)2 = x2 ⋅ y2 = ∣x∣2 ⋅ ∣y∣2 = (∣x∣ ⋅ ∣y∣)2. Segue-se daí que ∣x ⋅ y∣ = ±∣x∣ ⋅ ∣y∣. Como ∣x ⋅ y∣ e ∣x∣ ⋅ ∣y∣ são ambos positivos, concluímos que ∣x ⋅ y∣ = ∣x∣ ⋅ ∣y∣. (ii) Temos que, −∣x∣ ≤ x ≤ ∣x∣ e −∣y∣ ≤ y ≤ ∣y∣, donde, por adição, −(∣x∣+ ∣y∣) ≤ x + y ≤ ∣x∣+ ∣y∣. Ou seja, ∣x + y∣ ≤ ∣x∣+ ∣y∣. (iii) Por (ii), temos ∣x∣ = ∣(x − y) + y∣ ≤ ∣x − y∣+ ∣y∣, o que dá ∣x∣ − ∣y∣ ≤ ∣x − y∣. Analogamente, ∣y∣ − ∣x∣ ≤ ∣y− x∣. Claro que ∣y− x∣ = ∣x − y∣. Concluímos que ∣y∣ − ∣x∣ ≤ ∣x − y∣. Assim, valem, simultaneamente, 32 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 3.19 Proposição. (i) Se p > 1 é um inteiro primo, então √ p é irracional; (ii) Se p1, . . . , pn são inteiros primos distintos, então √ p1 ⋅ . . . ⋅ pn é irracional; (iii) A soma (ou diferença) entre um número racional e um número irracional é irracional; (iv) O produto entre um número irracional e um número racional diferente de zero é irracional. Cuidado! A soma entre dois números irracionais não é necessariamente um irracional. De fato, os número a = 1 − √ 2 e b = √ 2 são irracionais, no entanto a + b = 1 é racional. 3.1.4 O Conjunto dos Números Reais Podemos definir número real do seguinte modo: 3.20 Definição (Número Real). Número Real é todo número que é racional ou irracional. A totalidade dos números racionais, juntamente com os irracionais, é o conjunto R dos números reais. Observe que os números naturais e os números inteiros são casos particulares de números racionais, de forma que, quando dizemos que um número é racional, fica aberta a possibilidade dele ser um número inteiro ou simplesmente um natural. 3.21 Definição (Corpo Ordenado Completo). Um corpo ordenado K chama-se completo quando todo subcon- junto não-vazio, limitado superiormente, X ⊂ K, possui supremo em K. Da definição que acabamos de enunciar segue, imediatamente, que num corpo ordenado completo todo conjunto não-vazio, limitado inferiormente, Y ⊂ K, possui ínfimo em K. Prova-se também que todo corpo ordenado completo é arquimediano. A seguir, o axioma fundamental da Análise. Axioma 2. Existe um corpo ordenado completo, R, chamado o corpo dos números reais. Em todo o restante deste material as únicas propriedades dos números reais que usaremos são aquelas que decorrem de ser R um corpo ordenado completo. Isto inclui, evidentemente, todas as proposições enunciadas até aqui sobre corpos e corpos ordenados. Veremos, agora, que os números irracionais se acham espalhados por toda parte entre os números reais. Em seguida, veremos que há mais números irracionais do que racionais. Para entendermos o significado de “espalhados por toda parte”, considere a seguinte definição. 3.22 Definição (Conjunto Denso). Um conjunto X ⊂ R chama-se denso em R quando todo intervalo aberto (a, b) contém algum ponto de X. Em outras palavras, diremos que o conjunto X de números reais é denso em R quando, dados arbitrariamente a < b em R, for possível encontrar x ∈ X tal que a < x < b. Exemplo 3.6. Seja X = ∁Z o conjunto dos números reais que não são inteiros é denso em R, pois todo intervalo (a, b) é um conjunto infinito, enquanto existe no máximo um número finito de inteiros n tais que a < n < b. Logo, qualquer intervalo (a, b) contém elementos de X. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 35 UNEB ★ 2009.2 3.23 Teorema. O conjunto Q e o conjunto I = R − Q são ambos densos em R. O teorema abaixo, às vezes chamado “Princípio dos Intervalos Encaixados”, é usado por alguns autores na definição dos números reais. 3.24 Teorema (dos Intervalos Encaixantes). Seja I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . . uma sequencia decrescente de intervalos limitados e fechados In = [an, bn]. A interseção ∞∩ n=1 In não é vazia. Isto é, existe pelo menos um número real x tal que x ∈ In para todo n ∈ N. Mais precisamente, temos ∩ In = [a, b], onde a = sup an e b = inf bn. Prova: De [an, bn] ⊃ [an+1, bn+1] obtemos que an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn. Seja A = {an; n ∈ N} e B = {bn; n ∈ N}. A é limitado, a1 é uma cota inferior e cada bn é uma cota superior de A. Analogamente, B é também limitado. Sejam a = sup A e b = inf B. Como cada bn é cota superior de A, temos a ≤ bn para cada n. Assim, a é cota inferior de B e, portanto, a ≤ b. Podemos então escrever: a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ a ≤ b ≤ . . . ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1. Concluímos que a e b pertencem a todos intervalos In, donde [a, b] ⊂ In, para cada n. Logo [a, b] ⊂ ∩∞ n=1 In. Nenhum x < a e y > b pode pertencer a todos os In. De fato, sendo x < a = sup A, existe algum an ∈ A tal que x < an, ou seja, x ∕∈ In. Do mesmo modo, y > b implica y > bm, para algum m, donde y ∕∈ Im. Concluímos então que ∩∞ n=1 In = [a, b]. Já vimos que √ 2 é um número irracional. Vamos mostrar agora que na verdade “existem mais números irracionais do que racionais”. Mais precisamente na próxima proposição mostraremos que #N ≤ #R. Como consequência, obtemos #Q < #(R∖Q). De fato, se fosse #(R∖Q) ≤ #Q = #N, então, como R = Q ∪ (R∖Q), teríamos #R ≤ #N, impossível! 3.25 Teorema. O conjunto dos números reais R não é enumerável, ou seja, #N < #R. Prova: Devemos mostrar que não existe função sobrejetiva de N em R ou, de maneira equivalente, que qualquer função ϕ : N → R não é sobrejetiva. Seja ϕ : N → R e seja I1 = [a1, d1] um intervalo fechado tal que ϕ(1) ∕∈ I1. Dividimos este intervalo em três partes, da seguinte maneira: tomamos b1, c1 ∈ I1 tais que a1 < b1 < c1 < d1 e assim obtemos I1 = [a1, b1] ∪ [b1, c1] ∪ [c1, d1]. Certamente ϕ(2) não pertence a algum destes três intervalos que denotaremos I2. Repetimos o processo com o intervalo I2: o dividimos em três partes e definimos I3 como sendo uma destas partes tal que ϕ(3) ∕∈ I3. Continuando indefinidamente este processo, construímos uma família (In)n∈N de intervalos fechados tais que In ⊃ In+1 e ϕ(n) ∕∈ In qualquer que seja n ∈ N. Pelo teorema anterior existe s tal que s ∈ In para todo n ∈ N. Segue imediatamente que s ∕= ϕ(n) qualquer que seja n ∈ N e portanto ϕ não é sobrejetiva. 3.26 Corolário. Todo intervalo não-degenerado de números reais é não enumerável. 3.27 Corolário. O conjunto dos números irracionais não é enumerável. 36 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 3.2 Noções Topológicas da Reta A Topologia é o ramo da Matemática que trata das questóes de limite (e/ou proximidade). A Topologia da Reta, isto é, a Topologia de R, é bem simples, para não dizer pobre. Nela, os abstratos conceitos da Topologia Geral ganham formas mais concretas e compreensíveis. Poderíamos usar estas formas simplificadas em nossa exposição, porém, preferimos argumentos mais gerais para facilitar a (futura) passagem do leitor ao estudo da Topologia em contextos mais gerais. Mesmo que o leitor não venha a se especializar em Topologia, para se aprofundar em Análise ou Geometria serão necessários outros conhecimentos que ultrapassam os da Topologia da Reta. 3.2.1 Conjuntos Abertos 3.28 Definição. Dado um conjunto X ⊂ R, um ponto x ∈ X chama-se ponto interior de X quando existe um intervalo aberto (a, b) tal que x ∈ (a, b) ⊂ X 3.29 Definição. Dados X ⊂ R, o conjunto dos pontos x ∈ X que são interiores a X será representado por int X. Quando a ∈ int X diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a. É fácil ver que na definição anterior podemos substituir, sem perda de generalidade, o intervalo aberto arbitrário por um intervalo da forma (x − ε, x + ε) com ε > 0. Ou, em outros termos, x ∈ int X se, e somente se, ∃ ε > 0 tal que ∣y − x∣ < ε ⇒ y ∈ X. Atenção! (i) Temos sempre que int X ⊂ X. Porém a inclusão inversa não é necessariamente verdadeira. Tomemos, por exemplo, X = [0, 1]. Temos que 1 ∕∈ int X pois todo intervalo aberto que contém 1 tem elementos maiores do que 1 e portanto não está contido em X. (ii) Se X ⊂ Y então int X ⊂ int Y. É trivial que todo ponto de um intervalo aberto pertence ao interior do intervalo. Ou seja, se X é um intervalo aberto e não vazio, então int X = X. De maneira geral, temos a seguinte definição. 3.30 Definição. Um subconjunto A ⊂ R chama-se um conjunto aberto quando todos os seus pontos são interiores, isto é, quando int A = A. Conforme esta definição, temos que X é aberto se, e somente se, ∀ x ∈ X, ∃ ε > 0 tal que ∣y − x∣ < ε ⇒ y ∈ X. Para um conjunto ser aberto precisa necessariamente ser um intervalo. Conjuntos que não possuem interva- los não podem ter conjuntos abertos. Todo conjunto aberto é não-enumerável. Exemplo 3.7. Os conjuntos Q, Z, N não possuem pontos interiores, ou seja, int Q = int Z = int N = ∅. Por- tanto, não possuem intervalos e nem conjuntos abertos. Atenção! O conjunto vazio é aberto. De fato, negar esta afirmação significa admitir que int∅ ⊊ ∅ e, em particular, admitir que existe x ∈ ∅. Exemplo 3.8. O intervalo (a, b) é aberto, pois todo ponto c deste intervalo (a, b) é um ponto interior. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 37 UNEB ★ 2009.2 (ii) Se (Fλ)λ∈L é uma família de conjuntos fechados, então a intersecção F = ∩ λ∈L Fλ é um conjunto fechado. Prova: (i) Os conjuntos A1 = R − F1 e A2 = R − F2 são abertos. Logo, temos que A1 ∩ A2 = R − (F1 ∪ F2) é aberto, pois é intersecção finita de abertos. E assim, como o complementar de F1 ∪ F2 é aberto, este conjunto é fechado. (ii) Para cada λ ∈ L, o conjunto Aλ = R − Fλ é aberto. Temos que A = ∪ λ∈L Aλ é aberto. Mas A = R − F. Logo, F é fechado. Exemplo 3.15. Todo conjunto finito F = {x1, x2, . . . , xn} é fechado. Exemplo 3.16. Z é um conjunto fechado. Exemplo 3.17. Existem conjuntos que não são fechados nem abertos, como [a, b) e (a, b]. Exemplo 3.18. Os conjuntos ∅ e R são abertos e fechados ao mesmo tempo. Pratique! Prove que, para todo X ⊂ R, vale X = X ∪ ∂X. Conclua que X é fechado se, e somente se, X ⊃ ∂X. 3.2.3 Pontos de Acumulação 3.40 Definição. Seja X ⊂ R e a ∈ R, diz-se que a é um ponto de acumulação de X quando todo intervalo aberto de centro a, isto é, todo intervalo da forma (a − ε, a + ε), com ε > 0, contém uma infinidade de pontos de X. Em particular, se X tem ponto de acumulação, então X é infinito, ou seja, conjuntos finitos não possuem pontos de acumulação. Notação: Indica-se por X′ o conjunto dos pontos de acumulação de X. 3.41 Teorema. Sejam X ⊆ R e a ∈ R. São equivalentes: (i) a é ponto de acumulação de X; (ii) a = lim xn; xn ∈ X − {a}. Exemplo 3.19. X = { 1 n ; n ∈ N } ⇒ X′ = {0} 3.42 Definição. Um ponto a ∈ X que não é ponto de acumulação de X, é um ponto isolado de X, isto é, existe ε > 0 tal que X ∩ (a − ε, a + ε) = {a}. 3.43 Definição. Um conjunto X, no qual todos os seus pontos são isolados, é chamado de conjunto discreto. Exemplo 3.20. Os conjuntos N e Z são discretos. 40 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 3.2.4 Conjuntos Compactos 3.44 Definição (Cobertura). Uma cobertura de um conjunto X é uma família C de conjuntos Cλ tais que X ⊂ ∪ λ∈L Cλ. Quando todos os conjuntos Cλ são abertos, diz-se que C é uma cobertura aberta. Quando L = {λ1, . . . , λn} é um conjunto finito, diz-se que Cλ1 ∪ . . . ∪ Cλn é uma cobertura finita. Se L′ ⊂ L é tal que ainda se tem X ⊂ ∪ λ′∈L′ Cλ′ , diz-se que C ′ = (Cλ′)λ′∈L′ é uma subcobertura de C . Exemplo 3.21. (a) Os intervalos C1 = ( 0, 23 ) , C2 = ( 1 3 , 1 ) e C3 = ( 1 2 , 9 10 ) constituem uma cobertura aberta para o intervalo X = [ 1 4 , 3 4 ] , com L = {1, 2, 3}, pois X = [ 1 4 , 3 4 ] ⊂ C1 ∪ C2 ∪ C3 = (0, 1). Tomando L′ = {1, 2}, temos a subcobertura C ′ = {C1, C2} para X, pois X = [ 1 4 , 3 4 ] ⊂ C1 ∪ C2 = (0, 1). (b) Como (0, 1) ⊂ ∪∞n=1 ( 1 n , 1 ) , então C = {( 1 n , 1 )}∞ n=1 é uma cobertura aberta de (0, 1). (c) Se para x ∈ R, temos Cx = (x − 1, x + 1), então C = {Cx}x∈R é uma cobertura aberta de R. 3.45 Teorema (Borel-Lebesgue). Toda cobertura aberta de um conjunto limitado e fechado possui uma subcober- tura finita. Prova: Ver (por exemplo) [2], página 54. Exemplo 3.22. (a) A reta R, sendo um conjunto fechado, mas ilimitado, possui cobertura aberta {(−n, n)}n∈N, a qual não admite subcobertura finita. De fato, a reunião de um número finito de intervalos (−n, n) é igual ao maior deles e, portanto, não pode ser R. (b) O intervalo (0, 1], sendo um conjunto limitado, mas não fechado, possui a cobertura aberta {( 1 n , 2 )} n∈N , da qual não se pode extrair uma subcobertura finita porque areunião de um número finito de intervalos da forma ( 1 n , 2 ) é o maior deles e, portanto, não pode conter (0, 1]. 3.46 Teorema. As seguintes afirmações a respeito de um conjunto K ⊂ R são equivalentes: (1) K é limitado e fechado; (2) Toda cobertura aberta de K possui subcobertura finita; (3) Todo subconjunto infinito de K possui ponto de acumulação pertencente a K; (4) Toda sequência de pontos de K possui uma subsequência que converge para um ponto de K. Prova: Ver (por exemplo) [3], página 144. 3.47 Corolário (Bolzano-Weierstrass). Todo conjunto infinito limitado X ⊂ R possui algum ponto de acumu- lação. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 41 UNEB ★ 2009.2 3.48 Definição (Conjunto Compacto). Um conjunto K ⊂ R que cumpre umas das (e portanto todas as) condições do Teorema 3.46 é dito compacto. Note que! Para mostrar que um determinado conjunto é compacto precisamos provar que para toda cobertura aberta existe subcobertura finita. Para mostar que não é compacto basta achar uma cobertura que não possui subcobertura finita. Exemplo 3.23. (a) O conjunto (0, 1) não é compacto. De fato, (0, 1) ⊂ ∪∞n=1 ( 1 n , 1 ) , mas se existisse {Cn1 , . . . , Cnp} tal que (0, 1) ⊂ ∪pi=1 ( 1 ni , 1 ) , então (0, 1) ⊂ ( 1 M , 1 ) , em que M = max{n1, . . . , np} > 0, um absurdo. (b) Seja K = {x1, x2, . . . , xn} um conjunto finito em R e seus pontos todos isolados (i.é., K é discreto) e seja C = {Cλ}λ∈L uma cobertura aberta de K. Para i = 1, 2, . . . , n, seja Ci ∈ C tal que xi ∈ Ci (tal conjunto sempre existe, pois C é uma cobertura de K). Então C1, . . . , Cn geram uma subcobertura finita para K. Logo K é compacto e, concluímos que todo subconjunto finito é compacto; família de intervalos abertos Cxi , de centro xi, tal que Cxi ∩ K = {xi}. Esta família é uma cobertura aberta de K, pois casa xi ∈ K pertence a Cxi . Assim K é compacto, e concluímos que todo conjunto finito é compacto; (c) Para a < b, os conjuntos (a, b), (a, b] e [a, b) não compactos por não serem fechados. Além dos conjuntos (−∞, c] e [c,+∞), para algum c ∈ R. Precisamente, todo conjunto [a, b] é compacto; (d) O conjunto Z não é compacto, embora seja fechado, pois é ilimitado; (e) O conjunto R não é compacto, conforme exemplo 3.22 (a), ou também por não ser limitado. Nota 12. Se X ⊂ R é compacto, então a = inf X e b = sup X pertencem a X. Assim, todo conjunto compacto possui um elemento máximo e um elemento mínimo. Exemplo 3.24 (O conjunto de Cantor). Este conjunto possui as seguintes propriedades: 1. É compacto; 2. Tem interior vazio (não contém intervalos); 3. Não contém pontos isolados (todos seus pontos são pontos de acumulação); 4. É não-enumerável. ... detalhes (por exemplo) [2], página 55. 3.2.5 Conjuntos Densos 3.49 Definição. Sejam A, B ⊂ R com A ⊂ B. Dizemos que A é denso em B se B ⊂ A. Em outros termos, se A ⊂ B, então A é denso em B se, e somente se, para todo x ∈ B, existe (xn)n∈N ⊂ A tal que xn → x. A próxima proposição nos fornece uma condição necessária e suficiente para a densidade. 42 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real Neste caso, escrevemos xn → x e dizemos que x é limite da sequência (xn)n∈N ou que xn converge para (ou tende a) x quando n tende a mais infinito (n → +∞). Se (xn)n∈N não é convergente, então dizemos que ela é divergente. Exemplo 4.5. Seja x ∈ R e considere a sequência dada por xn = x para todo n ∈ N. Temos que xn → x. De fato, ∣xn − x∣ = 0 para todo n ∈ N. Portanto, podemos escrever ∀ ε > 0, n ≥ 1 ⇒ ∣xn − x∣ < ε. Exemplo 4.6. Considere a sequência xn = 1 n para todo n ∈ N. Vamos mostrar que xn → 0. Dado ε > 0, tomemos N ∈ N tal que N > 1 ε . Temos então 0 < 1 N < ε. Mas se n ∈ N e n ≥ N, então xn = 1 n ≤ 1 N = xN . Logo, podemos escrever ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ ∣xn − 0∣ < ε. Talvez você conheça a notação lim n→+∞ xn = x para xn → x. Vamos refletir sobre ela. Por enquanto, façamos de conta que não conhecemos a definição de limite. Suponhamos que ao abrir um livro de Análise, pela primeira vez, encontremos as seguintes inscrições: xn → 0 e xn → 1. Não ficaríamos chocados. Porém, se estivesse escrito lim n→+∞ xn = 0 e lim n→+∞ xn = 1, seríamos levados a concluir que 0 = 1. Ora, é o sinal de igual “ =′′ que nos leva a esta confusão. Se não tivermos a unicidade do limite, então a notação lim n→+∞ xn = x é fortemente enganosa. A próxima proposição nos dará direito ao uso da notação lim n→+∞ xn = x. 4.4 Proposição. Sejam (xn)n∈N uma sequência e x, y ∈ R tais que xn → x e xn → y. Então x = y. Prova: Suponhamos, por absurdo, que x ∕= y. Seja ε = ∣x − y∣ 2 > 0. Como xn → x, existe N ∈ N tal que n ≥ N ⇒ ∣xn − x∣ < ε. Também temos xn → y. Logo, existe N′ ∈ N tal que n ≥ N′ ⇒ ∣xn − y∣ < ε. Seja n o maior dos números N e N′. Para tal n as duas conclusões anteriores são válidas. Temos então ∣x − y∣ ≤ ∣x − xn∣+ ∣xn − y∣ < ε + ε = 2ε = ∣x − y∣. Concluímos que ∣x − y∣ < ∣x − y∣, o que é absurdo. 4.5 Proposição. Uma sequência (xn)n∈N tende a x se, e somente se, toda subsequência de (xn)n∈N tende a x. Prova: Suponhamos que exista x ∈ R tal que xn → x. Seja (yk)k∈N uma subsequência de (xn)n∈N, isto é, yk = xnk(∀ k ∈ N) para alguma sequência (nk)k∈N ⊂ N crescente. Mostremos que yk → x. Seja ε > 0. Como xn → x, existe N ∈ N tal que se n ≥ N, então ∣xn − x∣ < ε. Como (nk)k∈N ⊂ N é crescente, existe K ∈ N tal que se k ≥ K, então nk ≥ N. Segue que k ≥ K ⇒ ∣yk − x∣ < ε. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 45 UNEB ★ 2009.2 Portanto (yk)k∈N converge para x. A recíproca é imediata (basta observar que (xn)n∈N é subsequência de si mesma). Exemplo 4.7. A sequência (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .) é divergente. De fato, se ela fosse convergente, então pela proposição anterior todas as suas subsequências seriam convergentes para o mesmo limite. Porém, (1, 1, 1, . . .) e (0, 0, 0, . . .) são duas de suas subsequências sendo que a primeira converge para 1 enquanto que a segunda converge para 0. Como corolário da proposição anterior, obtemos que se xn tende a x, então xn+2007 tende a x. Não há nada de especial com o número 2.007. Mais geralmente, fixado p ∈ N, temos que se xn tende a x, então xn+p tende a x. É fácil perceber que a recíproca também é verdadeira, ou seja, se para algum p ∈ N temos que xn+p tende a x, então é porque xn tende a x. Verifique! A importância deste fato é a seguinte. Se conhecermos alguma propriedade que garanta a convergência de uma sequência e soubermos que tal propriedade só é valida a partir do seu p-ésimo termo então, ainda sim, podemos concluir que a sequência é convergente. Vejamos um exemplo esclarecedor. Exemplo 4.8. Sabemos que sequências constantes são convergentes. Considere a sequência (não constante) dada por xn = ⌊ 1000 n ⌋ , sendo ⌊x⌋ a função Parte Inteira de x, definida abaixo: ⌊x⌋ = m se m ∈ Z e m ≤ x < m + 1. É fácil ver que xn = 0 para todo n > 1000. Ou seja, (xn)n∈N é constante a partir do seu milésimo-primeiro termo. Concluímos que ela é convergente. 4.6 Teorema. Toda sequência convergente é limitada. Prova: Seja (xn)n∈N uma sequência convergente para x ∈ R. Tomando ε = 1 na definição de sequência convergente, concluímos que existe N ∈ N tal que se n ≥ N, então ∣xn − x∣ < 1, isto é , xn ∈ (x − 1, x + 1). Tomando a = min {x1, . . . , xN , x − 1} e b = max {x1, . . . , xN , x + 1} temos imediatamente que xn ∈ [a, b] para todo n ∈ N. Portanto (xn)n∈N é limitada. 4.3 Sequencias Monótonas e Sequencias Limitadas. A recíproca do Teorema 4.6 é falsa como mostra o Exemplo 4.7. Porém, existem algumas recíprocas parciais que veremos nesta seção. 4.7 Proposição. Se (xn)n∈N é crescente e limitada superiormente, então xn → sup {xn; n ∈ N}. Da mesma forma, se (xn)n∈N é decrescente e limitada inferiormente, então xn → inf {xn; n ∈ N}. Prova: Vamos provar apenas a primeira parte da proposição já que a segunda se demonstra de modo análogo. Seja s = sup {xn; n ∈ N}. Dado ε > 0, tome N ∈ N tal que x − ε < xN ≤ s. Logo, para n ≥ N, temos x − ε < xN ≤ xn ≤ s. Concluímos daí que ∣xn − s∣ < ε. 46 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 4.8 Teorema (Bolzano-Weierstrass). Toda sequência limitada possui subsequência convergente. Prova: Sejam (xn)n∈N uma sequência limitada. Considere o seguinte conjunto: N = {n ∈ N; xn > xm, ∀m > n} . Existem duas possibilidades: N é infinito ou N é finito. 1o caso: N é infinito. Escrevamos N = {n1, n2, n3, . . .} com n1 < n2 < n3 < . . . Assim, se i < j então ni < nj e, como ni ∈ N, obtemos que xni > xnj . Concluímos que a subsequência (xnk)k∈∈N é decrescente. Sendo ela limitada obtemos, finalmente, que ela é convergente. 2o caso: N é finito. Como N é finito, existe n1 ∈ N − N cota superior de N. Ora, n1 ∕∈ N logo, existe n2 > n1 (e portanto n2 ∕∈ N) tal que xn1 ≤ xn2 . Mas de n2 ∕∈ N segue que existe n3 > n2 (e portanto n3 ∕∈ N) tal que xn2 ≤ xn3 . Por indução, definimos uma subsequência (xnk)k∈N que é crescente e, portanto, convergente (pois ela é limitada). 4.4 Sequências de Cauchy 4.9 Definição. Uma sequência (xn)n∈N é dita de Cauchy se ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N tal que n, m ≥ N ⇒ ∣xn − xm∣ < ε. Uma sequência é de Cauchy se seus termos se aproximam uns dos outros. Repare que não apenas termos consecutivos mas sim todos eles. É natural acreditar que qualquer sequência convergente é de Cauchy e vice- versa. Vamos admitir, por hora, que sequências convergentes são de Cauchy (este fato será demonstrado a seguir). Façamos alguns comentários sobre a recíproca. Considere uma sequência (xn)n∈N de números racionais convergente para, por exemplo, √ 2? (existe tal sequência?). Sendo convergente ela é de Cauchy. Como a definição de sequência de Cauchy não faz menção ao limite, mesmo se só conhecêssemos números racionais ainda estaríamos de acordo que (xn)n∈N é de Cauchy. Porém, neste caso, não seríamos capazes de mostrar a existência do limite. Ou seja, se considerássemos apenas números racionais, não seria possível mostrar que toda sequência de Cauchy é convergente. Já que sequências de Cauchy são convergentes em R mas não em Q, isto deve estar relacionado à “com- pleteza”. De fato, alguns autores usam sequências de Cauchy de números racionais para construir R. A van- tagem desta construção é que ela pode ser empregada para “completar” outros conjuntos (ou melhor, espaços métricos) que não sejam corpos ordenados. 4.10 Teorema. Uma sequência é convergente se, e somente se, ela é de Cauchy. Prova: Seja (xn)n∈N uma sequência convergente para o limite x. Dado ε > 0, existe N ∈ N tal que se n ≥ N, então ∣xn − x∣ < ε 2 . Portanto, se m, n ≥ N temos ∣xn − xm∣ ≤ ∣xn − x∣+ ∣x − xm∣ < ε 2 + ε 2 = ε. Concluímos que (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 47 UNEB ★ 2009.2 (iv) x−1n → 0. Prova: (i) Seja a ∈ R tal que a ≤ yn para todo n ∈ N. Dado M ∈ R, como xn → +∞, existe N ∈ N tal que se n ≥ N, então xn > M − a. Segue que se n ≥ N, então xn + yn ≥ xn + a > M. Concluímos que xn + yn → +∞. (ii) Dado M ∈ R, podemos tomar N ∈ N tal que se n ≥ N, então xn > ∣M∣ c . Desta forma, se n ≥ N, então xn ⋅ yn ≥ xn ⋅ c > ∣M∣ ≥ M. Portanto xn ⋅ yn → +∞. (iii) É consequência do item anterior, tomando yn = c para todo n ∈ N. (iv) Dado ε > 0, tomemos N ∈ N tal que se n ≥ N, então xn > ε−1. Segue que se n ≥ N, então ∣x−1n − 0∣ = x−1n < ε. Concluímos que x −1 n → 0. 4.7 Limite Superior e Limite Inferior No estudo de limites de subsequências é conveniente fazer a seguinte definição. 4.15 Definição. Dizemos que x ∈ R é valor de aderência de (xn)n∈N se existe subsequência de (xn)n∈N conver- gente para x. O Teorema de Bolzano-Weierstrass diz que toda sequência limitada possui valor de aderência. Observe que se (xn)n∈N é limitada superiormente, então o conjunto dos seus valores de aderência também é limitado superiormente. Analogamente, se (xn)n∈N é limitada inferiormente, então o conjunto de seus valores de aderência também é. 4.16 Definição. Seja A o conjunto dos valores de aderência de (xn)n∈N. O limite superior de (xn)n∈N é definido por lim sup n→+∞ xn = ⎧ ⎨  ⎩ +∞ se (xn)n∈N é ilimitada superiormente; sup A se (xn)n∈N é limitada superiormente e A ∕= ∅; −∞ se (xn)n∈N é limitada superiormente e A = ∅. O limite inferior de (xn)n∈N é definido por lim inf n→+∞ xn = ⎧ ⎨ ⎩ −∞ se (xn)n∈N é ilimitada inferiormente; inf A se (xn)n∈N é limitada inferiormente e A ∕= ∅; +∞ se (xn)n∈N é limitada inferiormente e A = ∅. Essencialmente, o limite superior de uma sequência é o seu maior valor de aderência, enquanto que o limite inferior é seu menor valor de aderência, veja a Proposição 4.18. A Proposição 4.5 diz que (xn)n∈N converge para x se, e somente se, x é o único valor de aderência de (xn)n∈N. Isto também pode ser expresso por lim n→+∞ xn = x ⇔ lim inf n→+∞ xn = lim sup n→+∞ xn = x. Pode parecer estranho tomar −∞ como definição de limite superior de uma sequência limitada superior- mente e sem valor de aderência. A razão é que, nestas condições, a sequência tende a −∞. Desta forma, o resultado do parágrafo anterior também é válido para limites infinitos. 50 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 4.17 Proposição. Seja (xn)n∈N uma sequência limitada superiormente e que não tem valor de aderência. Então xn → −∞. De fato, da definição, lim sup xn = −∞. Pela proposição 4.5, ∄(xn)n∈N convergente, logo (xn)n∈N também não converge, assim xn → −∞. 4.18 Proposição. Existe subsequência (xnk)k∈N de (xn)n∈N tal que lim k→+∞ xnk = lim sup n→+∞ xn. Em particular, se lim sup n→+∞ xn ∈ R, então este é o maior valor de aderência de (xn)n∈N. Prova: Seja A o conjunto dos valores de aderência de xn. Suponhamos inicialmente que (xn)n∈N seja ilimitada superiormente e, portanto, lim sup n→+∞ xn = +∞. Neste caso, é imediato que (xn)n∈N tem subsequência que tende a + ∞. Suponhamos, agora, que (xn)n∈N seja limitada superiormente e A = ∅. Portanto, lim sup n→+∞ xn = −∞. Se (xn)n∈N for limitada inferiormente, então (xn)n∈N será limitada e, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, teremos A ∕= ∅. Logo, (xn)n∈N é ilimitada inferiormente e, portanto, tem subsequência tendendo a −∞. Finalmente, suponhamos que (xn)n∈N seja limitada superiormente e A ∕= ∅. Como já observado antes, A é limitado superiormente e, portanto, seu supremo s é finito. Vamos mostrar que s ∈ A. Aplicando sucessiva- mente o resultado da observação abaixo, obtemos: ∃ a1 ∈ A tal que s ≥ a1 > s − 1; ∃ a2 ∈ A tal que s ≥ a2 > s − 1/2; ∃ a3 ∈ A tal que s ≥ a3 > s − 1/3; . . . Como a1 é valor de aderência de (xn)n∈N e s + 1 > a1 > s − 1, existe n1 ∈ N tal que s + 1 > xn1 > s − 1. Também temos a2 ∈ A, logo, existe n2 > n1 tal que s + 1 2 > xn2 > s − 1 2 . Prosseguindo deste forma, construímos uma subsequência (xnk)k∈N convergente para s. Segue que s ∈ A. 4.19 Observação. Seja A ⊂ R, não vazio e limitado superiormente. Então s = sup A se, e somente se: (i) s é cota superior de A; (ii) se r < s então existe x ∈ A tal que r < x ≤ s. 4.8 Séries 4.20 Definição. Considere uma sequência (xn)n∈N. Para cada n ∈ N definimos Sn = n ∑ i=1 xi = x1 + . . . + xn. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 51 UNEB ★ 2009.2 A sequência (Sn)n∈N é dita das somas parciais da série ∑ xn e xn é o n-ésimo termo ou termo geral da série. Escrevemos +∞ ∑ n=1 xn = lim n→+∞ Sn quando o limite acima existe e, neste caso, ele é dito limite da série. Dizemos que ∑ xn é convergente ou diver- gente se (Sn)n∈N é convergente ou divergente, respectivamente. Finalmente, dizemos que ∑ xn é absolutamente convergente se a série ∑ ∣xn∣ é convergente. Exemplo 4.10. Considere a Série Geométrica de termo geral xn = r(n−1). Temos Sn = 1 + r + r2 + . . . + rn−2 + rn−1. Se r = 1, então é imediato que Sn = n. Segue que (Sn)n∈N diverge e, portanto, ∑ xn diverge. Suponhamos r ∕= 1. Multiplicando Sn por r obtemos rSn = r + r2 + r3 + . . . + rn−1 + rn = 1 + r + r2 + r3 + . . . + rn−1 + rn − 1 = Sn + rn − 1. Portanto, Sn = rn − 1 r − 1 . Assim, ∑ xn converge se, e somente se, ∣r∣ < 1 e, neste caso, +∞ ∑ n=1 xn = 1 1 − r . A próxima proposição é uma versão da Proposição 4.13 para séries. 4.21 Proposição. Sejam ∑ xn e ∑ yn duas séries convergentes e c ∈ R. Temos que (i) ∑(xn + yn) é convergente para ∑ xn + ∑ yn; (ii) ∑(c ⋅ xn) é convergente para c ⋅∑ xn. Prova: A demonstração é consequência da Proposição 4.13. Basta aplicá-la para as sequências das somas parciais de ∑ xn e de ∑ yn. Fique Atento! Observamos que, em geral, +∞ ∑ n=1 (xn ⋅ yn) ∕= +∞ ∑ n=1 xn ⋅ +∞ ∑ n=1 yn. Passamos ao estudo da natureza de séries, ou seja, estamos interessados em critérios que determinem se uma série é convergente ou divergente. 4.22 Teorema. (i) ∑ xn converge se, e somente se, ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N tal que n ≥ m ≥ N ⇒ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ n ∑ i=m xi ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ < ε. (ii) Se ∑ xn converge, então xn → 0. 52 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 4.26 Teorema (Teste da Razão, ou de d’Alembert). Seja (xn)n∈N uma sequência de números positivos. (i) Se lim n→+∞ xn+1 xn < 1, então ∑ xn é convergente. (ii) Se lim n→+∞ xn+1 xn > 1, então ∑ xn é divergente. Prova: (i) Tomemos r ∈ R tal que lim n→+∞ xn+1 xn < r < 1. O resultado da proposição 4.25 garante que existe N ∈ N tal que xn+1 xn < r para todo n ≥ N. Temos então: xN+1 < rxN ; xN+2 < rxN+1 < r 2xN ; xN+3 < rxN+2 < r 3xN ; ... De maneira geral, xn < rn−N ⋅ xN , para todo n ≥ N. Tomando yn = rn−N ⋅ xN (para todo n ∈ N) temos que xn ≤ yn para todo n ≥ N. Como ∑ yn é uma Série Geométrica de razão r ∈ (0, 1), ela é convergente. O resultado segue do Critério de Comparação. (ii) Usando o resultado da proposição 4.25 concluímos que existe N ∈ N tal que xn+1 xn ≥ 1 para todo n ≥ N. Portanto, xn+1 ≥ xn para todo n ≥ N. Segue que a sequência dos termos gerais da série é crescente a partir do N-ésimo termo e, portanto, não converge para zero. Logo, a série é divergente. Exemplo 4.13. A série ∑ 1 n! é convergente pois lim n→+∞ 1 (n+1)! 1 n! = lim n→+∞ n! (n + 1)! = lim n→+∞ 1 n + 1 = 0. Analogamente, dado x ∈ R, mostra-se que ∑ xn n! é (absolutamente) convergente e, em particular, xn n! → 0. Nota 14. Quando lim n→+∞ xn+1 xn = 1, o Teste da Razão nada permite concluir (nem convergência nem di- vergência). Há outras versões do Teste da Razão. A aqui apresentada não é a mais geral delas. Por exemplo, em (i), pode- mos substituir o símbolo de limite pelo símbolo de limite superior que a afirmação continua válida. Analoga- mente, a conclusão de (ii) permanece válida ao substituirmos o símbolo de limite pelo de limite inferior. Exemplo 4.14. Vejamos exemplos para os quais o Teste da Razão não é conclusivo. Considere as séries ∑ 1 n e ∑ 1 n2 . Já vimos que a primeira é divergente enquanto que a segunda é convergente. Porém, para ambas temos que lim n→+∞ xn+1 xn = 1. De fato, lim n→+∞ 1 n+1 1 n = lim n→+∞ n n + 1 = 1 e lim n→+∞ 1 (n+1)2 1 n2 = lim n→+∞ n2 (n + 1)2 = 1. 4.27 Teorema (Teste da Raiz, ou de Cauchy). Seja (xn)n∈N uma sequência de números positivos. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 55 UNEB ★ 2009.2 (i) Se lim n→+∞ n √ xn < 1, então ∑ xn é convergente. (ii) Se lim n→+∞ n √ xn > 1, então ∑ xn é divergente. Prova: (i) Seja r ∈ R tal que lim n→+∞ n √ xn < r < 1. Da Proposição 4.25(a) obtemos que existe N ∈ N tal que n √ xn < r, ou seja, xn < rn para todo n ≥ N. O resultado segue por comparação com a Série Geométrica ∑ rn. (i) Análogo ao item anterior. Nota 15. Quando lim n→+∞ n √ xn = 1, o Teste da Raiz nada permite concluir (nem convergência nem divergên- cia). Também há outras versões do Teste da Raiz. A apresentada acima não é a mais geral de todas. Por exemplo, (i) se generaliza ao substituirmos o símbolo de limite pelo símbolo de limite superior. Analogamente, em (ii), podemos substituirmos o símbolo de limite pelo de limite inferior. O Teste da Raiz é mais eficiente que o da Razão. Mais precisamente, em todos os casos nos quais o Teste da Razão permite concluir (seja por convergência ou por divergência) o Teste da Raiz também será concludente. Entretanto, o Teste da Razão é, em geral, mais fácil de ser aplicado. 4.9 A Série dos Inversos dos Primos Veremos um interessante resultado sobre a série dos inversos dos primos. O primeiro a demonstrá-lo foi Euler. A demonstração que apresentaremos aqui é mais uma das preciosidades de Erdös. O argumento é do tipo combinatório. Antes de apresentá-lo façamos uma definição. 4.28 Definição. A função Parte Inteira é definida, para todo x ∈ R, por ⌊x⌋ = n se n ∈ Z e n ≤ x < n + 1. Exemplo 4.15. Temos ⌊1⌋ = 1, ⌊1.4⌋ = 1 e ⌊−1.5⌋ = −2. 4.29 Proposição. Seja (pn)n∈N a sequência estritamente crescentes dos números primos (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . .). A série ∑ 1 pn diverge. Prova: Suponhamos por absurdo que ∑ 1 pn converge. Portanto existe N ∈ N tal que +∞ ∑ n=N 1 pn < 1 2 . Seja M = 22N. Temos que M = #A + #B, sendo A = {m ∈ {1, . . . , M} ; m é múltiplo de algum dos primos pN, pN+1, . . .} , B = {m ∈ {1, . . . , M} ; m não é múltiplo de nenhum dos primos pN, pN+1 . . .} . Vamos mostrar que #A < M 2 e #B ≤ M 2 chegando assim a uma contradição. 56 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real O número de múltiplos do primo p que são menores que M é ⌊ M p ⌋ . Segue que #A ≤ +∞ ∑ n=N ⌊ M pn ⌋ ≤ +∞ ∑ n=N M pn < M 2 . Também é fácil ver que todo m ∈ B pode ser escrito como m = a ⋅ b2 sendo a um produto de primos distintos, todos menores que pN, e b2 um produto de quadrados de primos, também menores que pN. Existem exatamente 2N−1 números nas condições de a. Temos ainda que b2 ≤ m ≤ M e portanto b ≤ √ M = 2N . Segue que existem, no máximo, 2N números nas condições de b. Portanto #B ≤ 2N−1 ⋅ 2N = 22N−1 = M 2 . Capítulo 5 Limites de Funções Dada uma função real f estamos interessados em saber o que acontece com o valor de f (x) quando x se aproxima de um ponto x0 sem, entretanto, assumir este valor. Este é o assunto desta seção. Muitas vezes f (x) se aproximará de f (x0), porém, isto só ocorre para uma classe de funções, ditas contínuas. Trataremos desta questão posteriormente. Iniciamos nossa discussão precisando o que quisemos dizer, com “x se aproxima de um ponto x0 sem, entre- tanto, assumir este valor”. Ora, se estamos interessados no valor de f (x) é preciso que x esteja no domínio de f mas, como x não assume o valor x0, não é necessário que f (x0) esteja definido. Ou seja, não é necessário que x0 pertença ao domínio de f . Porém, é preciso que seja possível “se aproximar de x0” por pontos do domínio de f . Rigorosamente falando, se A é o domínio de f , então a noção de limite de funções terá sentido se, e somente, x0 é ponto de acumulação de A. Lembramos que esta condição significa que x0 ∈ A ∖ {x0}, isto é, existe uma sequência (xn)n∈N ⊂ A ∖ {x0} convergente para x0. Sejam f : A ⊂ R → R e x0 um ponto de acumulação de A. Como expressar de maneira rigorosa que f (x) se aproxima de L ∈ R quando x se aproxima de x0? A experiência com limite de sequências nos indica que deve ser errado pensar que a distância de f (x) a L decresce junto com a distância de x a x0. A idéia intuitiva correta é dizer que f (x) é tão próximo de L quanto quisermos, bastando para isto tomar x suficientemente próximo de x0. Vejamos a definição rigorosa. 5.1 Definição. Sejam f : A ⊂ R → R e x0 um ponto de acumulação de A. Dizemos que existe o limite de f (x) quando x tende a x0 ∈ R e ele vale L ∈ R se ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ A, 0 < ∣x − x0∣ < δ ⇒ ∣ f (x)− L∣ < ε. Neste caso, escrevemos lim x→x0 f (x) = L. De outro modo, seja f : A ⊂ R → R e L ∈ R. Dizemos que f assume valores arbitrariamente próximos de L, se todo intervalo aberto contendo L contém um valor f (x) para algum x ∈ A. Cuidado! Só faz sentido considerar o limite de f (x) quando x tende a x0 quando x0 é ponto de acumu- lação do domínio de f . Daqui por diante, esta condição ficará subentendida quando estivermos considerando limites. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 57 UNEB ★ 2009.2 Prova: Suponhamos que lim x→x0 f (x) = L e mostremos que se (xn)n∈N ⊂ A ∖ {x0} e xn → x0, então f (xn) → L. Seja ǫ > 0. Por hipótese, existe δ > 0 tal que x ∈ A, 0 < ∣x − x0∣ < δ ⇒ ∣ f (x)− L∣ < ǫ. (5.1) Ora, xn → x0, logo, existe N ∈ N tal que se n ≥ N, então ∣xn − x0∣ < δ. Assim, para n ≥ N, ao tomar x = xn em (5.1) obtemos ∣ f (xn)− L∣ < ǫ. Concluímos que f (xn) → L. Reciprocamente, suponhamos que seja falso que lim x→x0 f (x) = L. Isto significa que existe ǫ > 0 tal que ∀ δ > 0, ∃ x ∈ A tal que 0 < ∣x − x0∣ < δ e ∣ f (x)− L∣ ≥ ǫ. (5.2) Para cada n ∈ N, ao tomar δ = 1 n em (5.2) obtemos xn ∈ A tal que 0 < ∣xn − x0∣ < 1 n e ∣ f (xn)− L∣ ≥ ǫ. Constrói-se desta maneira uma sequência (xn)n∈N ⊂ A ∖ {x0} convergente para x0 sem que f (xn) → L. Absurdo! Vejamos como esta proposição facilita o cálculo de limites. Exemplo 5.6. Sejam f : R → R, dada por f (x) = x2 para todo x ∈ R, a ∈ R e (xn)n∈N ⊂ R ∖ {a} convergente para a. Temos então que f (xn) = x2n → a2. Como a sequência (xn)n∈N é arbitrária, concluímos que limx→a f (x) = a2. 5.4 Teorema. Seja f : A ⊂ R → R. Se lim x→x0 f (x) = L < M, então existe δ > 0 tal que f (x) < M para todo x ∈ A tal que 0 < ∣x − x0∣ < δ. Uma conclusão análoga vale quando L > M. Prova: Tomando ǫ = M − L > 0, na definição de limite, obtemos δ > 0 tal que ∣ f (x)− L∣ < M − L se x ∈ A e 0 < ∣x − x0∣ < δ. Ora f (x)− L ≤ ∣ f (x)− L∣ < M − L ⇒ f (x) < M. 5.5 Corolário. Se lim x→x0 f (x) = L > 0 então existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x ∈ A tal que 0 < ∣x − x0∣ < δ. 5.6 Corolário. Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ A ∖ {x0} e lim x→x0 f (x) = L e lim x→x0 g(x) = M, então L ≤ M. 5.7 Teorema (Operações com limites). Sejam f , g : A → R, x0 ∈ A′ com lim x→x0 f (x) = L e lim x→x0 g(x) = M. Então: (i) lim x→x0 [ f (x)± g(x)] = L ± M; (ii) lim x→x0 [ f (x) ⋅ g(x)] = L ⋅ M; (iii) lim x→x0 f (x) g(x) = L M se M ∕= 0; (iv) Se lim x→x0 f (x) = 0 e g é uma função limitada numa vizinhança de x0, então lim x→x0 f (x) ⋅ g(x) = 0. Prova: (i) Dado arbitrariamente ǫ > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que para 0 < ∣x − x0∣ < δ1 temos ∣ f (x)− L∣ < ǫ 2 60 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real e para 0 < ∣x − x0∣ < δ2 temos ∣g(x)− M∣ < ǫ 2 . Seja δ = min{δ1, δ2}. Assim, se 0 < ∣x − x0∣ < δ temos ∣ f (x)− L∣ < ǫ 2 e ∣g(x)− M∣ < ǫ 2 . Logo, ∣[ f (x) + g(x)]− [L + M]∣ ≤ ∣ f (x)− L∣+ ∣g(x)− M∣ ≤ ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ. Portanto lim x→x0 [ f (x) + g(x)] = L + M. (ii) Sejam dadas duas sequências reais (xn) e (yn), n ∈ N com lim xn = x0 e lim yn = y0. Considerando (yn) uma sequência limitada por uma constante positiva k temos: ∣xn ⋅ yn − x0 ⋅ y0∣ = ∣(xn − x0)yn + x0(yn − y0)∣ ≤ ∣(xn − x0)∣∣yn∣+ ∣x0∣∣(yn − y0)∣ ≤ k ⋅ ∣(xn − x0)∣+ ∣x0∣∣(yn − y0)∣ Tanto ∣xn − x0∣ como ∣yn − y0∣ podem ser tomados arbitrariamente pequenos, desde que n seja sufi- cientemente grande. Assim dado ǫ > 0 podemos considerar ∣xn − x0∣ < ǫ 2k a partir de um certo n1 e ∣yn − y0∣ < ǫ 2∣x0∣ a partir de um certo n2. Sendo n = max{n1, n2} teremos: ∣xn ⋅ yn − x0 ⋅ y0∣ ≤ k∣xn − x0∣+ ∣x0∣∣yn − y0∣ < k ⋅ ǫ 2k + ∣x0∣ ǫ 2∣x0∣ = ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ. Logo, ∣xn ⋅ yn − x0 ⋅ y0∣ < ǫ e então lim xn ⋅ yn = x0 ⋅ y0, isto é, pelo teorema 5.3 temos lim x→x0 [ f (x) ⋅ g(x)] = L ⋅ M. (iii) Como temos a igualdade xn yn = xn ⋅ 1 yn e já mostramos que o limite do produto é o produto dos limites, basta mostrar que se lim yn = y0 então lim 1 yn = 1 y0 com y0 ∕= 0. Observe que ∣ ∣ ∣ ∣ 1 yn − 1 y0 ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣yn − y0∣ yn ⋅ y0 ; como y0 ∕= 0, a partir de um certo n1 temos ∣yn∣ > ∣y0∣ 2 ; e dado ǫ > 0, a partir de um certo n2, podemos ter ∣yn − y0∣ menor que ∣y0∣2ǫ 2 . Considerando n = max{n1, n2} teremos que ∣ ∣ ∣ ∣ 1 yn − 1 y0 ∣ ∣ ∣ ∣ < ∣y0∣2ǫ/2 y20/2 = ǫ. E assim temos lim 1 yn = 1 y0 . (iv) Temos que, se lim xn = 0 e (yn) é uma sequência limitada, então existe c > 0 tal que ∣yn∣ ≤ c para todo n ∈ N. Dado arbitrariamente ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal que para n > n0 temos ∣xn∣ < ǫ c . Então para n > n0 temos ∣xn ⋅ yn∣ = ∣xn∣ ⋅ ∣yn∣ < ǫ c ⋅ c = ǫ. Logo lim xn ⋅ yn = 0 e portanto lim x→x0 f (x) ⋅ g(x) = 0. Perceba! No item (ii) da proposição acima, se f (x) = c ∈ R, então lim x→x0 [c ⋅ g(x)] = c ⋅ lim x→x0 g(x). Pratique! Usando as propriedades operatórias de limites calcule o valor de lim x→2 x3 − 8 x2 − 4 . 5.8 Teorema (Teorema do Sanduíche). Sejam f , g, h : A → R, a ∈ A′ e lim x→x0 f (x) = lim x→x0 g(x) = L. Se f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X = A∖{x0}, então lim x→x0 h(x) = L. Prova: Dado arbitrariamente ǫ > 0, existe δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que para x ∈ X temos L − ǫ ≤ f (x) ≤ L + ǫ sempre que 0 < ∣x − x0∣ < δ1 e L − ǫ ≤ g(x) ≤ L + ǫ sempre que 0 < ∣x − x0∣ < δ2. Seja δ = min{δ1, δ2}. Então para x ∈ X e 0 < ∣x − x0∣ < δ temos L − ǫ ≤ f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) ≤ L + ǫ. Logo, L − ǫ ≤ h(x) ≤ L + ǫ http://cattai.mat.br ∣ ∣ 61 UNEB ★ 2009.2 e então lim x→x0 h(x) = L. Exemplo 5.7. Se g : A → R é definida por g(x) = x ⋅ sen(x), então tem-se que lim x→0 g(x) = 0. Exemplo 5.8. Para todo polinômio p : R → R dado por p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn tem-se lim x→x0 p(x) = p(x0) para todo a ∈ R. Também para toda função racional f (x) = p(x) q(x) , quociente de dois polinômios, tem-se lim x→x0 f (x) = f (x0) desde que q(x0) ∕= 0. 5.1 Limites Laterais, Infinitos e no Infinito 5.9 Definição. Seja f : A ⊂ R → R e agora x0 ponto de acumulação de A ∩ (x0,+∞). Dizemos que L é limite à direita de f em x0 se para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ A, 0 < x − x0 < δ ⇒ ∣ f (x)− L∣ < ǫ. Neste caso escrevemos lim x→x+0 f (x) = L. Similarmente, definimos: 5.10 Definição. Seja f : A ⊂ R → R e agora x0 ponto de acumulação de A ∩ (−∞, x0). Dizemos que L é limite à esquerda de f em x0 se para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que x ∈ A, 0 < x0 − x < δ ⇒ ∣ f (x)− L∣ < ǫ. Neste caso escrevemos lim x→x−0 f (x) = L. Nota 17. É possível mostrar que se x0 é ponto de acumulação tanto de A∩ (x0,+∞) como de A∩ (−∞, x0), então lim x→x0 f (x) = L ⇔ lim x→x+0 f (x) = lim x→x−0 f (x) = L Exemplo 5.9. Seja f (x) = ⎧ ⎨ ⎩ 1, se x > 0 0, se x = 0 −1, se x < 0 Como lim x→0+ f (x) = 1 e lim x→0− f (x) = −1, então não existe limite de f no zero. Outra definição importante é a de limite infinito. 5.11 Definição. Dizemos que f tende a +∞ em x0 se para todo M ∈ R+ existe δ > 0 tal que x ∈ A, 0 < ∣x − x0∣ < δ ⇒ f (x) > M. Escrevemos então que lim x→x0 f (x) = +∞. Similarmente definimos: 62 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 6.2 Definição. Uma função f : A → R é dita descontínua no ponto x0 ∈ A se existe ǫ > 0 tal que para todo δ > 0 pode-se achar xδ ∈ A tal que ∣xδ − x0∣ < δ e ∣ f (x)− f (x0)∣ ≥ ǫ. Passemos às proposições que nos poupam, em muitos casos, o trabalho com ǫ’s e δ’s. Todas elas têm demon- strações análogas a aquelas encontradas na seção de limites. Por esta razão omitiremos algumas de suas provas. 6.3 Teorema. Sejam f : A ⊂ R → R e x0 ∈ A. A função f é contínua em x0 se, e somente se, lim n→+∞ f (xn) = f (x0) para toda sequência (xn)n∈N ⊂ A convergente para x0. Perceba com este teorema que, essencialmente, funções contínuas são aquelas que comutam com o símbolo de limite, ou seja, f é contínua se, e somente se, lim n→+∞ f (xn) = f ( lim n→+∞ xn ) , desde que a sequência (xn)n∈N esteja contida no domínio de f e seja convergente para um ponto deste conjunto. Exemplo 6.7. Seja f : R → R, dada por f (x) = ⎧ ⎨ ⎩ 1, se x ∈ Q 0, se x ∕∈ Q Dado x0 ∈ R arbitrário, tomando sequências (xn)n∈N ⊂ Q e (yn)n∈N ⊂ Q∁ convergentes para x0, obtemos que f (xn) → 1 e f (yn) → 0. Concluímos assim que f é descontínua em qualquer ponto. 6.4 Corolário. Dadas as funções f , g : A → R contínuas no ponto x0 ∈ A, então f + g, f − g, f ⋅ g são contínuas neste mesmo ponto. Se g(x0) ∕= 0, então f g também é contínua no ponto x0. 6.5 Proposição. Sejam f : A ⊂ R → R e g : B ⊂ R → A tais que f (A) ⊂ B. Se f é contínua em x0 e g é contínua em y0 = f (x0), então g ∘ f é contínua em x0. Segue que se f e g são contínuas, então g ∘ f é contínua. Prova: Seja (xn)n∈N ⊂ A convergente para x0. Como f é contínua temos que f (xn) → f (x0) = y0, e como g é contínua em y0 temos que g ( f (xn)) → g(y0) = g ( f (x0)). Segue que g ∘ f é contínua em x0. 6.6 Proposição. Seja f : A ⊂ R → R contínua em x0 ∈ A. Se f (x0) < L ∈ R, então existe δ > 0 tal que f (x) < L para todo x ∈ A tal que ∣x − x0∣ < δ. Temos uma conclusão análoga se f (x0) > L. 6.1 O Teorema do Valor Intermediário 6.7 Teorema (do Valor Intermediário). Se f ∈ C ([a, b]) e f (a) < L < f (b) então existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = L. A mesma conclusão vale quando f (a) > L > f (b). Prova: Seja S = {x ∈ [a, b]; f (x) = L}. É imediato que S é não vazio (a ∈ S) e limitado superiormente (b é cota superior de S). Sejam c = sup S e (xn)n∈N ⊂ S tal que xn → c. Temos que f (xn) = L para todo n ∈ N e como f é contínua em c temos lim n→+∞ f (xn) = f (c). Portanto, f (c) ≤ L e, logo, c < b. Suponhamos que f (c) < L. Graças à Proposição 6.6 existe δ > 0 tal que se x ∈ [a, b] e ∣x − c∣ < δ, então http://cattai.mat.br ∣ ∣ 65 UNEB ★ 2009.2 f (x) < L. Como c < b podemos tomar x ∈ [a, b] com c < x < c + δ para obter que f (x) < L. Isto implica que x ∈ S e x > c = sup S, o que é absurdo. Exemplo 6.8. Mostre que a função f : R → R definida por f (x) = x3 − 6x2 + 5x − 12 possui pelo menos uma raiz real no intervalo [5, 6]. Solução: Como vimos no exemplo 6.5, toda função polinomial é contínua. Portanto f é contínua, em particular no intervalo [5, 6]. Como f (5) = −12 e f (6) = 18, pelo teorema do valor intermediário, existe pelo menos um c ∈ [5, 6], tal que f (5) = −12 < f (c) < 18 = f (6) e logo, algum c tal que f (c) = 0 ∈ [−12, 18]. Pratique! Considere o polinômio p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0, onde an > 0 e n é ímpar. Mostre que: (a) lim x→+∞ p(x) = +∞; (b) lim x→−∞ p(x) = −∞; (c) p(x) tem raiz, isto é, existe x0 ∈ R tal que p(x0) = 0. 6.8 Proposição. Seja f : I → R uma função contínua, em que I é um intervalo não degenerado. Então: (i) J = f (I) é um intervalo; (ii) Se f é injetiva, então f é monótona; (iii) Se f é injetiva, então a função f−1 : J → I é contínua. Prova: (i) Sejam a = inf J e b = sup J. Vamos mostrar que int J = (a, b) de onde seguirá que J é um intervalo (valerá uma dentre as seguintes possibilidades: J = (a, b), J = [a, b), J = (a, b] ou J = [a, b]). É fácil perceber que se y ≤ a = inf J, então y ∕∈ int J. Da mesma forma, se y ≥ b = sup J, então y ∕∈ int J. Segue que int J ⊂ (a, b). Seja y ∈ (a, b). Por definição de ínfimo e supremo, existem y1, y2 ∈ J tais que a < y1 < y < y2 < b. Como J = f (I), existem x1, x2 ∈ I tais que f (x1) = y1 e f (x2) = y2. Como f (x1) ∕= f (x2), obtemos que x1 ∕= x2. Suponhamos, por simplicidade, que x1 < x2. Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à função f no intervalo [x1, x2] concluímos que existe x ∈ (x1, x2) tal que f (x) = y. Segue que y ∈ J. Mostramos assim que (a, b) ⊂ J. Como (a, b) é aberto, obtemos (a, b) ⊂ int J. (ii) Suponhamos, por absurdo, que f não seja monótona. Então existem x1 < x2 < x3 ∈ I tais que f (x1) < f (x2) > f (x3) ou f (x1) > f (x2) < f (x3). Consideremos o primeiro caso (o segundo é análogo). Seja L ∈ ( f (x1), f (x2)) ∩ (( f (x3), f (x2)). Graças ao Teorema do Valor Intermediário, existem s ∈ (x1, x2) e t ∈ (x2, x3) tais que f (s) = f (t) = L, contrariando a injetividade de f . (iii) Já sabemos que f é monótona. Para fixar as idéias, suponhamos que f é crescente. Seja y ∈ J e (yn)n∈N ⊂ J tal que yn → y. Vamos mostrar que f−1(yn) → f−1(y). Dado ǫ > 0, se r, t ∈ I são tais que f−1(y)− ǫ < s < f−1(y) < t < f−1(y) + ǫ, então f (s) < y < f (t). Como yn → y, existe n0 ∈ N tal que 66 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real f (s) < yn < f (t) se n ≥ n0. Neste caso, f−1(y) − ǫ < s < f−1(yn) < t < f−1(y) + ǫ. Portanto ∣ f−1(yn)− f−1(y)∣ < ǫ se n ≥ n0. Exemplo 6.9. Existência da raiz n-ézima de um número real a, isto é, n √ a, a ∈ R. Considere a função f [0,+∞) → [0,+∞) definida por f (x) = xn, n ∈ N. Como f é crescente (estritamente crescente), temos que f é injetora, f (0) = 0 e lim x→+∞ f (x) = +∞, donde f é sobrejetora e, portanto, bijetora. Dado a ∈ [0,+∞), existe um número b ∈ [0,+∞) tal que f (b) = a, isto é, bn = a, ou seja, b = n√a. Quando n for ímpar, a bijeção será de R em R. Pratique! Seja f : [0, 1) ∪ [2, 3] → [0, 2] dada por f (x) = x se x ∈ [0, 1) ou f (x) = x − 1 se x ∈ [2, 3]. Mostre que f é uma bijeção contínua com inversa dada por f−1(y) = y se y ∈ [0, 1) ou f−1(y) = y + 1 se y ∈ [1, 2]. Conclua que f−1 é descontínua em 1. Pratique! Sejam f : R → R e A ⊂ R. Considere a seguinte definição: f é contínua em A se f é contínua em todos os elementos de A. A notação f ∣ ∣ A indica que f é definida em A ⊂ R, ou seja, uma restrição. Assim: (a) Mostre que se f é contínua em A, então f ∣ ∣ A é contínua. (b) Encontre um exemplo onde f ∣ ∣ A é contínua mas f é não é contínua em R. 6.2 Funções contínuas Definidas em Compactos A compacidade pode ser bem explorada em várias aplicações. A compacidade é uma propriedade preser- vada por funções contínuas. 6.9 Teorema (Preservação de compacidade). Se K ⊂ R é compacto, e f : K → R é contínua, então f (K) é compacto. Prova: Seja G = {Gα} coleção de abertos em R tal que f (K) ⊂ ∪ α Gα. Logo K ⊂ ∪ α f−1(Gα). Por f ser contínua, para todo α existe Hα aberto em R tal que f−1(Gα) = Hα ∩ K. Portanto {Hα} é uma cobertura aberta de K. Como K é compacto, então existe {Hα1 , . . . , Hαn} cobertura finita. Logo, K ⊂ n∪ i=1 Hαi = n∪ i=1 Hαi ∩ K = n∪ i=1 f−1(Gαi), e então f (K) ⊂ n∪ i=1 f (Gαi). Portanto, achamos uma subcobertura finita para f (K), e concluímos assim que f (K) é compacto. 6.10 Definição. Dizemos que f : A → R é limitada em A se existe M ∈ R tal que ∣ f (x)∣ ≤ M para todo x ∈ A. Exemplo 6.10. ⋄ As funções f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são limitadas em R, pois ∣ sen(x)∣ ≤ 1 e ∣ cos(x)∣ ≤ 1 para todo x ∈ R. ⋄ A função f (x) = 1 x não é limitada em R+. Entretanto f (x) é limitada em ( 1 2 ,+∞ ) pois ∣ ∣ ∣ ∣ 1 x ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ 2 para todo x neste intervalo. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 67 UNEB ★ 2009.2 Exemplo 6.15. Veremos, a partir da definição, que a função f (x) = 7− x2 é uniformemente contínua em [−10, 1], isto é, que é verdadeira a proposição ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ [−10, 1], ∣x − y∣ < δ ⇒ ∣7 − x2 − (7 − y2)∣ < ε. Assim, seja ε > 0. Como ∣7 − x2 − (7 − y2)∣ = ∣ − x2 + y2∣ = ∣x − y∣∣x + y∣ ≤ 20∣x − y∣, segue que ∣x − y∣ < δ ⇒ ∣7 − x2 − (7 − y2)∣ < ε, se δ < ε 20 . Vejamos outro exemplo de função contínua que não é uniformemente contínua. Exemplo 6.16. Vimos que f : R → R, dada por f (x) = x2 para todo x ∈ R, é contínua. No entanto f não é uniformemente contínua em R, isto é, é falsa a proposição ∀δ > 0 ∃ǫ > 0 ∀x, y ∈ R, ∣x − y∣ < ǫ ⇒ ∣x2 − y2∣ < δ. Da igualdade ∣x2 − y2∣ = ∣x − y∣∣x + y∣ podemos concluir que x e y podem estar tão próximos quanto se queira e a diferença entre as suas imagens ser arbitrariamente grande (basta pensar em pontos x e y cuja diferença seja sempre inferior a ǫ, mas que estejam arbitrariamente longe da origem). O resultado abaixo garante que todas as funções contínuas em conjuntos fechados limitados são uniforme- mente contínuas. 6.15 Teorema (de Cantor). Se K é compacto e f ∈ C0(K), então f é uniformemente contínua em K. Prova: Suponhamos, por absurdo, que f não é uniformemente contínua. Então, existe ǫ > 0 tal que ∀ δ > 0, ∃ x, y ∈ K tais que ∣x − y∣ < δ e ∣ f (x)− f (y)∣ ≥ ǫ. Tomando, para cada n ∈ N, δ = 1 n construímos duas sequências (xn)n∈N ⊂ K e (yn)n∈N ⊂ K tais que ∣xn − yn∣ < 1 n e ∣ f (xn) − f (yn)∣ ≥ ǫ para todo n ∈ N. Podemos extrair uma subsequência de (xn)n∈N (ainda denotada (xn)n∈N) convergente para x ∈ K. Como lim n→+∞ (xn − yn) = 0, obtemos que (yn)n∈N tam- bém converge para x. Como f é contínua, temos lim n→+∞ f (xn) = lim n→+∞ f (yn) = f (x). Concluímos que lim n→+∞ ( f (xn)− f (yn)) = 0, contrariando ∣ f (xn)− f (yn)∣ ≥ ǫ para todo n ∈ N. Nota 19. O teorema de Cantor equivale a dizer que toda função contínua num conjunto limitado e fechado é uniformemente contínua neste conjunto. Exemplo 6.17. Seja f uma função contínua em R. Veremos que f é uniformemente contínua em todo o subcon- junto limitado de R. Seja A ⊂ R um conjunto limitado. Se A for fechado, estamos nas condições do Teorema de Cantor. Supon- hamos que A não é fechado e m = inf(A) e M = sup(A). Consideremos o intervalo [m, M]. É um subconjunto fechado limitado de R. Como f é contínua em R, f é contínua em [m, M]. Pelo Teorema de Cantor, f é uni- formemente contínua nesse intervalo, sendo, portanto, uniformemente contínua em A ⊂ [m, M]. 70 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real 6.16 Definição. Uma função f : A ⊂ R → R é dita Lipschitz continua (ou Lipschitz, ou Lipschitziana) se existe α > 0 tal que ∣ f (x)− f (y)∣ ≤ α∣x − y∣ ∀x, y ∈ A. Dizemos que f é não expansiva se for lipschitziana para α = 1, ou seja, ∣ f (x)− f (y)∣ ≤ ∣x − y∣ e, uma contração se existe α ∈ (0, 1) tal que ∣ f (X)− f (y)∣ < α∣x − y∣. Atenção! Note que se f é uma contração, então f é uniformemente contínua 6.17 Teorema. Se A ⊂ R e f : A → R, e f é de Lipschitz, então f é uniformemente contínua em A. Prova: Seja α ∈ R tal que ∣ f (x)− f (y)∣ ≤ α∣x − y∣, ∀x, y ∈ A. Dado ǫ > 0, seja δ = ǫ δ . Então se x, y ∈ A e ∣x − y∣ < δ, temos que ∣ f (x)− f (y)∣ ≤ α∣x − y∣ ≤ αδ = ǫ, o que mostra que f é uniformemente contínua em A. Nem toda função uniformemente contínua é de Lipschitz, como mostra o exemplo abaixo. Exemplo 6.18. Seja g : [0, 1] → R, tal que g(x) = √x. Como [0, 1] é compacto, e g é contínua, então g é uniformemente contínua em [0, 1]. Entretanto note que se g fosse de Lipschitz, nós teríamos a existência de α ∈ R tal que √ x = ∣g(x)− g(0)∣ ≤ α∣x − 0∣ = αx ⇒ 1√ x ≤ α ∀ x > 0, um absurdo. Logo g não é de Lipschitz apesar de ser uniformemente contínua em seu domínio. Exemplo 6.19. A função f (x) = x2 é lipschitziana em [0, 1]. De fato, ∣x2 − y2∣ = ∣x + y∣ ⋅ ∣x − y∣ ≤ (∣x∣+ ∣y∣) ⋅ ∣x − y∣ ≤ 2∣x − y∣, ∀x, y ∈ [0, 1]. A função é uniformemente contínua em [0, 1], no entanto, vimos que f (x) = x2 não é uniformemente con- tínua em R. O fato da função ser uniformemente contínua depende do conjunto. Claro que se uma função for uniforme- mente contínua num conjunto X é uniformemente contínua em todos os subconjuntos de X. Capítulo 7 Derivadas 7.1 Derivabilidade e Derivada Vamos a uma breve introdução, escrita pelo professor Cassio Neri, da UFRJ. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 71 UNEB ★ 2009.2 As funções afins (funções g : R → R da forma g(x) = ax + b, sendo a e b constantes, isto é, funções cujos gráficos são retas) são mais simples de serem manipuladas do que outras funções (cujos gráficos não são retas). Por isto, pode ser útil saber se é possível (e em caso afirmativo, de que modo) aproximar uma função qualquer por outra que seja afim. Intuitivamente, dada a função f , queremos encontrar uma função afim g que mais se pareça com f . Vejamos um exemplo que foge um pouco do contexto mas que é suficientemente familiar para auxiliar nossa intuição. Consideremos a Terra. Durante muitos milhares de anos, pensou-se que a superfície terrestre era plana. A razão é que o planeta era visto de muito perto. Só quando nos afastamos dele, vemos que na realidade a sua superfície é mais parecida com uma esfera do que com um plano. Diz-se que Aristóteles reparou isto vendo a sombra da Terra sobre a Lua durante um eclipse. De certa forma, Aristóteles precisou recorrer à imagem da Terra vista da Lua para poder perceber que a Terra não era plana. Ora, se a Terra parece (ou parecia) plana significa que existe um plano que se parece muito com a Terra, certo? Na verdade, sabemos que não é um plano, mas sim vários planos. Para um habitante de Tóquio, o plano que mais parece com a Terra não é o mesmo que para nós. Isto nos indica que esta noção de aproximação é local, isto é, dependendo do ponto onde nos colocamos percebemos de modo diferente o objeto simples (reta, plano, etc.) que mais parece com o objeto original (curva, esfera, etc.). Voltando ao caso de uma função real. Dada a função f definida numa vizinhança de x0 queremos determi- nar a função afim g, dada por g(x) = ax + b, que mais se pareça com f na vizinhança de x0 (lembre-se que esta semelhança é local, isto é, perto de x0). Determinar g significa determinar as constantes a e b. Será mais conveniente, modificando a constante b, escrever a função g na forma g(x) = a(x − x0) + b (convença-se que toda função afim pode ser escrita desta forma). Como proceder? A resposta depende, é claro, do que se entende por “aproximar uma função”. Devemos precisar o que significa g ser a função afim que mais se parece com f na vizinhança de um ponto. É natural de se exigir que a função g satisfaça as seguintes condições: (i) g(x0) = f (x0); (ii) lim x→x0 ( f (x)− g(x)) = 0. É fácil ver que a primeira condição é equivalente a b = f (x0). A condição (ii) significa que o erro r(x) = f (x)− g(x) cometido ao aproximar f por g no ponto x fica tão pequeno quanto quisermos bastando para isto tomar x suficientemente próximo de x0. Substituindo g por sua expressão em (ii) obtemos lim x→x0 [ f (x)− (a(x − x0) + f (x0))] = 0 ⇔ lim x→x0 f (x) = lim x→x0 ( f (x0) + a(x − x0)) = f (x0). Ou seja, (ii) é equivalente à continuidade de f em x0. Veja que este resultado (in)felizmente não implica nada sobre a constante a. Será que existe algum valor para a que dê a melhor aproximação? Fazemos a seguinte definição. 7.1 Definição. Seja f : A ⊂ R → R dizemos que f é derivável em x0 ∈ A se existe a ∈ R tal que lim x→x0 f (x)− ( f (x0) + a(x − x0)) x − x0 = 0. (7.1) Esta definição acima difere daquela clássica presente na maioria (senão todos) os livros de Cálculo. A proposição seguinte resolve esta confusão mostrando que as duas definições são equivalentes. A escolha pela Definição 7.1 se deve ao fato que ela pode ser facilmente generalizada para funções de mais variáveis (inclusive infinitas!). 7.2 Proposição. Uma função f : A → R é derivável em x0 ∈ A se, e somente se, o limite abaixo existe e é finito. lim x→x0 f (x)− f (x0) x − x0 . 72 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real Prova: Seja r : B → R dada por r(y) = ⎧ ⎨ ⎩ g(y)− g ( f (x0)) y − f (x0) − g′ ( f (x0)) , se y ∕= f (x0), 0, se y = f (x0). É imediato que lim y→ f (x0) r(y) = 0 = r ( f (x0)). Se y ∈ B e y ∕= f (x0), então g(y)− g ( f (x0)) = g′ ( f (x0)) ⋅ (y − f (x0)) + r(y) ⋅ (y − f (x0)) . Como a equação acima é, trivialmente, verdadeira para y = f (x0) temos que ela é válida para todo y ∈ B. Fazendo y = f (x) com x ∈ A, x ∕= x0, na equação acima e dividindo-a por x − x0, obtemos g ( f (x))− g ( f (x0)) x − x0 = g′ ( f (x0)) f (x)− f (x0) x − x0 + r ( f (x)) f (x)− f (x0) x − x0 . Como f é contínua em x0 e r é contínua em f (x0), da Proposição 6.5 obtemos que lim x→x0 r ( f (x)) = 0. Concluí- mos a demonstração, fazendo x → x0 na equação acima e usando a Proposição 5.7. 7.6 Proposição. Sejam A, B ⊂ R e f : A → B invertível. Se f é derivável em x0 ∈ A com f ′(x0) ∕= 0 e f−1 é contínua em f (x0), então f−1 é derivável em f (x0) e, além disto, ( f−1 )′ ( f (x0)) = ( f ′(x0) )−1 . Prova: Seja y0 = f (x0). Como f é derivável em x0 temos que x0 ∈ A − {x0} e, portanto, existe uma sequência (xn)n∈N ⊂ A − {x0} convergente para x0. Como f é injetiva temos que ( f (xn))n∈N ⊂ B − {y0}. Além disto, da continuidade de f segue que f (xn) → y0 e, portanto, y0 ∈ B − {y0}. Seja (yn)n∈N ⊂ B − {y0} convergente para y0. Vamos mostrar que lim n→+∞ f−1(yn)− f−1(y0) yn − y0 = 1 f ′(x0) . O resultado seguirá da Proposição 5.3. Definindo xn = f−1(yn), para todo n ∈ N, temos que (xn)n∈N ⊂ A − {x0} e, como f−1 é contínua em y0, (xn)n∈N converge para x0. Segue que f−1(yn)− f−1(y0) yn − y0 = xn − x0 f (xn)− f (x0) → 1 f ′(x0) , quando n → +∞. Exemplo 7.3. Vimos que a função f : [0,+∞) → [0,+∞), dada por f (x) = x2 para todo x ≥ 0 tem inversa contínua. Como a derivada de f só se anula em 0, a proposição anterior implica que f−1 é derivável em f (x) se x > 0, ou seja, f−1 é derivável em (0,+∞). Além disto, em y = f (x) > 0, a derivada de f−1 é dada por ( f−1)′(y) = 1 f ′(x) = 1 2x = 1 2 √ y . http://cattai.mat.br ∣ ∣ 75 UNEB ★ 2009.2 Nota 20. De modo geral, seja f : R+ → R+ dada por f (x) = xn, onde n ∈ N. Então f tem inversa g : R+ → R+, e g(y) = n√y. Para y > 0 temos então g′(y) = 1 n ⋅ y n−1n . Note que g não é diferenciável no zero pois f ′(0) = 0. Exemplo 7.4. Seja f : [0, 1) ∪ [2, 3] → [0, 2] definida por f (x) = x, se x ∈ [0, 1) e f (x) = x − 1, se x ∈ [2, 3]. Temos que f é derivável com f ′(x) = 1 para todo x no domínio de f . No final da seção 6.1, deixamos um exercício para verificar que f é uma bijeção com inversa descontínua em 1. Portanto, f−1 não é derivável em 1. 7.3 Extremos Locais e o Teorema do Valor Médio (Lagrange) Veremos a seguir como a derivada pode ser útil na determinação de extremos locais (e a posteriori de ex- tremos globais). O resultado importante neste sentido é o Teorema dos Extremos Locais. Além de ser um resultado de uso bastante prático ele também tem importância teórica. Por exemplo, usare- mos o Teorema dos Extremos Locais para demonstrar o Teorema do Valor Médio (ou de Lagrange). Este último é um dos teoremas mais fundamental da Análise Real. 7.7 Definição. Seja f : A ⊂ R → R. Dizemos que x0 ∈ A é um ponto de máximo local de f se x0 é ponto de máximo de f na interseção de A com uma vizinhança de x0. Mutatis mutandis define-se ponto de mínimo local e ponto de extremo local (veja a Definição 6.12). Atenção! Todo extremo global é extremo local. 7.8 Teorema (Dos Extremos Locais). Seja f : A ⊂ R → R. Se x0 ∈ A é um extremo local de f tal que x0 ∈ int A e f é derivável em x0, então f ′(x0) = 0. Prova: Suponhamos que x0 é um ponto de máximo local de f . Como x0 é ponto de máximo local no interior de A, existe δ > 0 tal que se ∣x − x0∣ < δ, então x ∈ A e f (x) ≤ f (x0). Portanto, para x0 < x < x0 + δ temos f (x)− f (x0) x − x0 ≤ 0. Segue que lim x→x+0 f (x)− f (x0) x − x0 ≤ 0. Por outro lado, para x0 − δ < x < x0 temos f (x)− f (x0) x − x0 ≥ 0. Portanto, lim x→x+0 f (x)− f (x0) x − x0 ≥ 0. A demonstração é análoga para ponto de mínimo local. Como dissemos anteriormente, o Teorema dos Extremos Locais é útil na determinação dos extremos globais de uma função f : A ⊂ R → R. De fato, temos as seguintes implicações: x0 é extremo global ⇒ x0 é extremo local x0 ∈ int A e f é derivável em x0 } ⇒ f ′(x0) = 0. 76 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real Desta forma, se x0 é extremo global, então x0 pertence a algum dos três conjuntos abaixo: ⋄ {x ∈ int A; f é derivável em x e f ′(x) = 0}, ⋄ A ∖ int A, ⋄ {x ∈ int A; f não é derivável em x}. Exemplo 7.5. Seja f : [0, 4] → R dada por f (x) = ∣x − 1∣(5 − x) para todo x ∈ [0, 4]. Como f é contínua e A = [0, 4] é compacto, f tem extremos globais. Vamos determiná-los. Temos que f (x) = ⎧ ⎨ ⎩ (1 − x)(5 − x), se 0 ≤ x ≤ 1, (x − 1)(5 − x), se 1 < x ≤ 4 Segue que f é derivável em todo ponto x ∈ A − {1} (verifique). Além disto, f ′(x) = ⎧ ⎨ ⎩ 2x − 6, se 0 ≤ x < 1, 6 − 2x, se 1 < x ≤ 4. Assim, todo extremo global pertence a algum dos três conjuntos abaixo: ⋄ {x ∈ int A; f é derivável em x e f ′(x) = 0} = {3}, ⋄ A ∖ int A = {0, 4}, ⋄ {x ∈ int A; f não é derivável em x} = {1}. Uma simples verificação nos dá f (0) = 5, f (1) = 0, f (3) = 4 e f (4) = 3. Portanto, 0 é o ponto de máximo global e 1 é o ponto de mínimo global de f . 7.9 Teorema (Do Valor Médio). Se f ∈ C([a, b]) (com a < b) é derivável em (a, b), então existe c ∈ (a, b) tal que f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a). Prova: Considere a função g definida sobre o compacto [a, b] dada por g(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a) b − a (x − a). Temos que g ∈ C ([a, b]) e g é derivável em (a, b) com g′(x) = f ′(x)− f (b)− f (a) b − a . Para terminar a demonstração basta mostrar que existe c ∈ (a, b) tal que g′(c) = 0. Observamos inicialmente que g(a) = g(b) = 0. Se g for constante, então não há mais nada a ser demonstrado. Suponhamos que g não seja constante. Pelo Teorema de Weierstrass, g tem extremos globais em [a, b]. Como g não é constante, um destes ex- tremos, denotado c, é tal que g(c) ∕= g(a) = g(b) e portanto c ∈ (a, b). Do Teorema dos Extremos Locais segue que g′(c) = 0. 7.10 Corolário (Teorema de Rolle). Se f ∈ C ([a, b]) (com a < b) é derivável em (a, b) com f (a) = f (b), então existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0. Uma interessante aplicação do Teorema do Valor Médio garante que se uma função definida num intervalo tem derivada identicamente nula, então a função é constante. 7.11 Corolário. Seja f : [a, b] → R contínua em [a, b], onde a < b, e diferenciável em (a, b). Se f ′(x) = 0 para todo x ∈ [a, b], então f é constante em [a, b]. http://cattai.mat.br ∣ ∣ 77 UNEB ★ 2009.2 Evidente, um enunciado análogo é válido para o limite à esquerda. 7.15 Corolário. O teorema que segue, é uma “generalização” do Teorema do Valor Médio. 7.16 Teorema (De Cauchy). Se f , g ∈ C ([a, b]) (com a < b) são deriváveis em (a, b) e g′ não se anula em (a, b), então g(a) ∕= g(b) e existe c ∈ (a, b) tal que f (b)− f (a) g(b)− g(a) = f ′(c) g′(c) . Prova: Observamos inicialmente que g(a) ∕= g(b), pois senão, pelo Teorema de Rolle, g′ se anularia em algum ponto de (a, b). Considere a função h, definida sobre [a, b], dada por h(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a) g(b)− g(a) (g(x)− g(a)) . É fácil ver que h satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle, logo existe c ∈ (a, b) tal que h′(c) = 0, ou seja, f ′(c)− f (b)− f (a) g(b)− g(a) g ′(c) = 0. Daí segue imediatamente o resultado. Dizemos que o Teorema de Cauchy é uma “generalização” do Teorema do Valor Médio. Mas observe que na sua demonstração, usamos o Teorema de Rolle que aparecia como caso particular do Teorema do Valor Médio. Ou seja, mostramos as seguintes implicações: Teorema do Valor Médio ⇓ Teorema de Rolle ⇓ Teorema de Cauchy ⇓ Teorema do Valor Médio Portanto estes três resultados são equivalentes. 7.4 Regras de L’Hospital 7.17 Proposição (Regra de L’Hospital “0/0”). Sejam f e g funções deriváveis em (a, b). Se lim x→a+ f (x) = lim x→a+ g(x) = 0, g′ não se anula em (a, b) e existe lim x→a+ f ′(x) g′(x) (finito ou não), então existe lim x→a+ f (x) g(x) e lim x→a+ f (x) g(x) = lim x→a+ f ′(x) g′(x) . Prova: Como lim x → a+ f (x) = 0, modificando ou estendendo f , se necessário, podemos supor que f (a) = 0. Analogamente, g(a) = 0. Desta forma f e g são contínuas em [a, b). 80 ∣ ∣ Adriano Cattai Análise Real Seja x ∈ (a, b). Aplicando o Teorema de Cauchy às funções f e g sobre o intervalo [a, x], encontramos y ∈ (a, x) tal que f (x) g(x) = f (x)− f (a) g(x)− g(a) = f ′(y) g′(y) . O resultado segue da igualdade acima observando que y → a+ quando x → a+. A proposição também é válida quando no seu enunciado substituímos x → a+ por x → b−. Da mesma forma, a Regra de L’Hospital vale para limites do tipo x → a. A seguir veremos o caso em que x → +∞ (o caso x → −∞ é análogo). 7.18 Corolário. Sejam f e g funções deriváveis em (a,+∞). Se lim x→+∞ f (x) = lim x→+∞ g(x) = 0, g′ não se anula em (a,+∞) e existe lim x→+∞ f ′(x) g′(x) (finito ou não), então existe lim x→+∞ f (x) g(x) e lim x→+∞ f (x) g(x) = lim x→+∞ f ′(x) g′(x) . Prova: Considere a função F definida sobre um intervalo (0, b) por F(y) = f ( 1 y ) . Analogamente defini- mos G(y) = g ( 1 y ) . Os seguintes fatos são de verificação imediata: (i) F e G são deriváveis com F′(y) = − f ′ ( 1 y ) y2 e G′(y) = −g′ ( 1 y ) y2 (segue que G′ não se anula); (ii) lim y→0+ F(y) = lim y→0+ f ( 1 y ) = lim x→+∞ f (x) = 0; (iii) lim y→0+ G(y) = lim y→0+ g ( 1 y ) = lim y→0+ g(x) = 0; (iv) lim y→0+ F′(y) G′(y) = lim y→0+ f ′ ( 1 y ) g′ ( 1 y ) = lim y→0+ f ′(x) g′(x) . Pela proposição anterior, lim y→0+ F(y) G(y) = lim y→0+ f ′(x) g′(x) . Então lim y→0+ f (x) g(x) = lim y→0+ f ( 1 y ) g ( 1 y ) = lim y→0+ F(y) G(y) = lim y→0+ f ′(x) g′(x) . 7.19 Proposição (Regra de L’Hospital “∞/∞”). Sejam f e g funções deriváveis em (a, b). Se lim x→a+ f (x) = lim x→a+ g(x) = +∞, g′ não se anula em (a, b) e existe lim x→a+ f ′(x) g′(x) (finito ou não), então existe lim x→a+ f (x) g(x) e lim x→a+ f (x) g(x) = lim x→a+ f ′(x) g′(x) . A proposição também é válida nos casos x → b− e x → a. Abaixo veremos o caso em que x → +∞ (analogamente, o caso em que x → −∞). 7.20 Proposição. Sejam f e g funções deriváveis em (a,+∞). Se lim x→+∞ f (x) = lim x→+∞ g(x) = +∞, g′ não se anula em (a,+∞) e existe lim x→+∞ f ′(x) g′(x) , então existe lim x→+∞ f (x) g(x) e lim x→+∞ f (x) g(x) = lim x→+∞ f ′(x) g′(x) . http://cattai.mat.br ∣ ∣ 81 UNEB ★ 2009.2 Referências Bibliográficas [1] ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. 3a edição, revisada e ampliada. Edgard Blücher, São Paulo. 2006; [2] LIMA, Elon Lages. Análise Real, VOL. 1. Coleção Matemática Universitária. 10a edição. IMPA, Rio de Janeiro. 2008; [3] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, VOL. 1. 12a edição. IMPA, Rio de Janeiro. 2007; [4] MALTA, Iaci; PESCO, Sinésio & LOPES, Hélio. Cálculo a uma variável: uma introdução ao cálculo. VOL. 1. Ed. PUC-RIO, Rio de Janeiro, 2002; [5] FARIA, Isabel; MESQUITA, Ana Isabel & CADIMA, Jorge. Apontamentos de Análise Matemática I. Insti- tuto Superior de Agronomia. Universidade Técnica de Lisboa. 2005. Texto composto em LATEX 2ε, APC, 25 de setembro de 2009 82 ∣ ∣ Adriano Cattai