geometria analítica tridimensional

geometria analítica tridimensional

(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

  • (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

  • (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

  • (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,0) + (1,0,1)

(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

  • (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

  • (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

(2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

  • (2,3,-5) = (1,1,1) + (1,1,2) + (0,0,3)

Definição: Um conjunto de vectores de V

  • Definição: Um conjunto de vectores de V

  • {v1, v2, … , vk}

  • diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.

Definição: Um conjunto de vectores de V

  • Definição: Um conjunto de vectores de V

  • {v1, v2, … , vk}

  • diz-se linearmente independente se a única combinação linear nula destes vectores é a trivial.

Definição: Um conjunto de vectores de V

  • Definição: Um conjunto de vectores de V

  • {v1, v2, … , vk}

  • diz-se linearmente dependente se não é independente, isto é, se é possível obter o vector nulo com uma combinação linear que não tem os coeficientes todos nulos.

Para que o conjunto de vectores de V

  • Para que o conjunto de vectores de V

  • {v1, v2, … , vk}

  • seja linearmente independente é preciso que o sistema

  • seja determinado, isto é, que a característica da matriz do sistema seja k.

Contiver o vector nulo;

  • Contiver o vector nulo;

  • Tiver dois vectores iguais;

  • Tiver um vector múltiplo de outro;

  • Se um dos vectores for combinação linear de outros.

Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}

  • Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}

  • linearmente independente?

Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}

  • Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}

  • linearmente independente?

  • a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) = (0,0,0,0)

Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}

  • Será {(1,2,3,4), (2,-1,3,5), (4,7,-3,-7), (1,-8,-3,-2)}

  • linearmente independente?

  • a(1,2,3,4)+ b(2,-1,3,5)+ c(4,7,-3,-7)+ d(1,-8,-3,-2) = (0,0,0,0)

Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de V se e só se

  • Seja V um espaço vectorial. Um subconjunto não vazio F de V é um subespaço vectorial de V se e só se

  • ou seja: F é fechado para a soma e para o produto por um escalar.

Considere-se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v1, v2, … , vk} vectores de um espaço vectorial V

  • Considere-se W o conjunto de todas as combinações lineares de {v1, v2, … , vk} vectores de um espaço vectorial V

  • W é um subespaço vectorial

  • W é o menor subespaço vectorial de V que contém {v1, v2, … , vk}

  • Chama-se expansão linear de {v1, v2, … , vk}

  • ou subespaço vectorial gerado pelos vectores

  • {v1, v2, … , vk}

  • e representa-se por <v1, v2, … , vk>

  • Os vectores {v1, v2, … , vk} dizem-se um conjunto de geradores de W

A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama-se base desse espaço.

  • A um conjunto de geradores de um espaço que seja linearmente independente chama-se base desse espaço.

  • Um espaço tem várias bases

  • Todas as bases têm o mesmo número de elementos

  • A esse número de elementos chama-se dimensão do espaço

Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores independentes com mais do que n elementos

  • Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores independentes com mais do que n elementos

  • Se um espaço vectorial tem dimensão n não pode haver conjuntos de vectores geradores do espaço com menos do que n elementos

Encontra-se uma base para o subespaço

  • Encontra-se uma base para o subespaço

  • Verifica-se se o vector pode ser combinação linear dos elementos da base.

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