Soroban - manual 2007, Manuais, Projetos, Pesquisas de Química

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Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Manual para uso do ábaco japonês S o r o b a n Por Fernando Tejón Traduzido ao português por Raimundo Viana Editerio Krayono Ponferrada - Espanha 2 0 0 7 1 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 2 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Índice Tema 1: Introdução...................... 7 Tema 2: Algarismos e notação…...... 9 Tema 3: A soma........................... 13 Tema 4: A subtração..................... 19 Tema 5: A multiplicação……….......... 29 Tema 6: A divisão........................ 39 Tema 7: As potências.................... 45 Tema 8: Raízes quadradas.............. 47 Tema 9: Outras operações.............. 55 Tema 10: As mãos como Soroban....... 63 Tema 11: Exercícios..................... 67 Tema 12: Informações úteis............ 115 5 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 6 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Tema 1: Introdução Um ábaco não é apenas um instrumento para facilitar os cálculos matemáticos, que seriam de grande complexidade, ou até mesmo impossíveis, serem feitos mentalmente. Além do uso matemático para realizar as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, cálculo de raízes e potências, em pleno século XXI o ábaco, longe de ser um obsoleto instrumento de cálculo, apresenta inumeráveis vantagens: seu uso habitual fomenta a habilidade numérica, melhora a capacidade de concentração, de raciocínio lógico, a memória, a agilidade mental, o processamento da informação de forma ordenada e a atenção visual. Poderia considerar-se que o uso do ábaco é uma excelente forma de exercitar o cérebro, mantendo-o ativo e ágil em qualquer idade. Como se fossem ainda poucas as vantagens, em muitos casos os cálculos matemáticos com o ábaco são mais rápidos que com uma moderna calculadora eletrônica... Já na antiga Grécia foram utilizados ábacos rudimentares, que eram simplesmente tabuleiros polvilhados com finas capas de areia, sobre os quais se escreviam símbolos numéricos com o dedo, ou com uma vareta de madeira. Posteriormente se utilizaram os tabuleiros de recontagem, que eram tábuas de madeira ou de mármore, nas quais sobre linhas paralelas pintadas ou desbastadas se deslocavam contas para que os cálculos fossem efetuados. Estes tabuleiros eram chamados pelos gregos de abakion, e pelos romanos, abacus. As contas que eram utilizadas eram simplesmente pequenas pedras arredondadas; chamadas em latim calculus, palavra que dá origem à moderna cálculo. Na Idade Média se usava na Europa a mesa de ábaco, uma mesa sobre a qual se punha um pano no qual se desenhavam linhas com um giz, embora ás vezes se empregassem panos com as linhas bordadas. Sobre estas linhas moviam-se as contas. O ábaco atual é em essência um marco de madeira ou plástico no qual se inserem um número variável de varetas pelas quais deslizam contas perfuradas. Hoje se utilizam principalmente três tipos de ábaco, que se diferenciam principalmente no número de contas ou bolas por vareta. Isso não afeta sua capacidade de cálculo, a qual só depende do número de varetas que possua o ábaco. O ábaco chinês, o Suan-pan, está formado por contas toroidais, que são colocadas a deslizar ao longo de varetas tradicionalmente feitas de bambu. Cada uma das varetas tem duas contas sobre a barra central e outras cinco abaixo dela (disposição 2/5). Vem sendo usado desde há mais de mil anos. O ábaco japonês, o Soroban, tem sua origem no século XVI. Inicialmente tinha uma disposição de contas 2/5 como no Suan-pan chinês, do qual deriva. Posteriormente eliminou-se uma de suas contas superiores, ficando em disposição 1/5. Em princípio do século XX perdeu uma das contas inferiores ficando com a atual disposição 1/4 que é a mais adequada ao sistema decimal usado atualmente. As contas do Soroban são pequenas, finas e têm as bordas afiladas. Com este formato melhora-se notavelmente a rapidez nos movimentos, e como conseqüência a dos cálculos. Sem dúvida, o Soroban é o ábaco mais evoluído e com o qual se realizam os cálculos com maior rapidez. 7 Suan-pan Chinês Ábaco Romano Soroban Japonês Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Marcaremos o algarismo 8 na vareta que marca as centenas de milhão, aproximando-se da barra a conta superior com o dedo indicador e apenas três contas inferiores com o dedo polegar simultaneamente na vareta I. Notação: I +5 +3. Anotar-se-á o número 7 na vareta que marca as dezenas de milhão, aproximando-se da barra a conta superior com o dedo indicador e apenas duas contas inferiores com o dedo polegar simultaneamente na vareta H. Notação: H +5 +2. De modo similar anotar-se-á o algarismo 6 na vareta que marca as unidades de milhão, aproximando da barra a conta superior com o dedo indicador e somente uma conta inferior com o dedo polegar simultaneamente na vareta G. Notação: G +5 +1. Para marcar o algarismo 5 na vareta que marca as centenas de milhar, simplesmente aproximaremos da barra central a conta superior com o dedo indicador na vareta F. Notação: F +5. Anota-se o algarismo 4 na vareta que marca as dezenas de milhar, aproximando da barra central as quatro contas inferiores com o dedo polegar na vareta E. Notação: E +4. Anota-se o algarismo 3 na vareta que marca as unidades de milhar, aproximando da barra central três contas inferiores com o dedo polegar na vareta D. Notação: D +3. Para se anotar o algarismo 2 na vareta que marca as centenas, aproxima-se da barra central duas contas inferiores com o dedo polegar na vareta C. Notação: C +2. Anotamos o algarismo 1 na vareta que marca as dezenas, aproximando da barra somente uma conta inferior com o dedo polegar na vareta B. Notação: B +1. Por último se anota o algarismo 0 na vareta que marca as unidades, simplesmente não aproximando da barra nenhuma conta na vareta A. Notação: nenhuma já que não movemos nenhuma conta. Marquemos agora o número 189.700.162. Enquanto se vai anotando o número no soroban, deve-se ir lendo-o em voz alta corretamente; neste caso: cento e oitenta e nove milhões setecentos mil cento e sessenta e dois. Em nenhuma hipótese leia como fazem os principiantes: um – oito – nove - sete – zero – zero – um – seis – dois. É preciso fazer a leitura correta para a perfeita situação mental dos números. Acostume-se a fazer bem as coisas desde o princípio, é melhor progredir lentamente mas de modo adequado que tratar de eliminar posteriormente vícios de uso devidos a uma aprendizagem apressada e deficiente. I +1 H +5 +3 G +5 +4 F +5 +2 C +1 B +5 +1 A +2 Outro exemplo: 762.503.755 I +5 +2 H +5 +1 G +2 F +5 D +3 C +5 +2 B +5 A +5 E outro: 186.040.177.024 10 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban L +1 K +5 +3 J +5 +1 H +4 F +1 E +5 +2 D +5 +2 B +2 A +4 Um último exemplo: 500.035.100 I +5 E +3 D +5 C+1 Exercícios Escreva no soroban os seguintes números, lendo-os em voz alta um por vez e corretamente enquanto os escreve. Quando o número estiver escrito no soroban leia-o e comprove se se equivocou em algum algarismo. Escreva todos os números seguintes tantas vezes quantas seja necessário, até que possa fazê-lo com desenvoltura. 89.539.407 28.994.935 7.701.028 49.424.198 90.493.862 15.922.784 18.097.721 67.991.683 3.695.349 52.130.291 5.823.524 91.183.046 78.103.893 50.513.187 51.764.218 89.195.326 35.000.002 40.000.548 123.456.789 61.194.219 10.000.000 5.314.735 3.002.658 43.513.079 53.968.799 84.879.578 65.610.000 89.012.907 59.000.001 61.280.009 505.105.001 18.652.601 10.000.111 14.899.393 48.831.148 59.766.666 4.587.930 1.355 86.229.981 200.001 35.2001.911 458.665 1.025.327 12.222.977 6.251.028 1.223.588 694.009 3.581.117 633.999 32.154 31.999.158 3.654.663 98.789.308 18.770.809 21.545.654 3.845.484 893.871 9.999.222 14.556.093 32.455.002 Pode também praticar escrevendo os números da fatura de compra do supermercado, números de telefone de sua agenda ou do catálogo telefônico, preços de artigos de folhetos publicitários, etc. A prática deve ser regular, dedique-se de 10 a 15 minutos diários a esta prática durante vários dias até poder escrever números no soroban e lê-los sem duvidar. Não passe ao tema seguinte antes de dominar a escrita e a leitura de números no soroban. 11 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 12 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban E +5 –1 Para somar 4 (quatro mil) na vareta D deveriam aproximar-se quatro contas à barra ou en- tão, como no caso anterior, aproximar a conta superior (+5) e afastar uma das inferiores (-1), porém nenhuma dessas duas opções é possível. A tabela das somas complexas nos oferece a solução: somar 4 é o mesmo que somar 10 e subtrair 6. Para isso, temos de somar 10 na vareta D, isto é, somar 1 na vareta que está à esquerda da vareta D, ou seja na vareta E, e posteriormente subtraímos 6 na vareta E, separando da barra central uma conta superior com o dedo indicador e uma conta inferior com o dedo polegar: E +1 D –5 –1 Somar quatro (quatrocentos) na vareta C e três (trinta) na vareta B é simples, já que dispomos de contas na vareta onde vamos somar: C +4 B +3 Finalmente deveríamos somar 8 na vareta A. Não é possível fazê-lo diretamente, assim sendo tentaríamos somar 10 (somar 1 em B) e subtrair 2 em A segundo a tabela de somas complexas. Tampouco isso é possível já que na vareta imediatamente à esquerda de A está escrito o algarismo 9. A solução nestes casos é simples. Busque a primeira vareta à esquerda da vareta A que não tenha um 9. Essa vareta é neste caso D. Some nela 1 (o “10” que deveríamos ter somado em B), ponha a zero todas as varetas com 9 entre D e A (as varetas B e C). Por último subtraia 2 em A: D +1 C –5 –4 B –5 –4 A –2 ● D+1 efetua-se com o dedo polegar. ● C –5 –4, B –5 –4 efetuam-se de uma só vez afastando da barra central as quatro contas inferiores de C e B com os dedos indicador e médio, que imediatamente se usarão para afastar as duas contas superiores. ● A –2 efetua-se com o dedo indicador. 15 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban No exemplo anterior podem-se ver todos os tipos de soma. Pratique-o várias vezes até que o faça com fluência. Poder-se-ia para resumo da soma fazer um esquema explicativo. Quando se quer somar um algarismo em qualquer vareta, genericamente rotulada X, tentar-se-á fazer o que indica o primeiro ponto; se isso não for possível, passaremos ao ponto seguinte e assim sucessivamente até encontrar um ponto aplicável: 1. Somamos as contas diretamente na vareta X. 2. Somamos 5 e subtraímos o excedente na vareta X. 3. Somamos 1 (“10”) na vareta situada à esquerda da vareta X, e subtraímos o excedente na vareta X. 4. Somamos 1 na primeira vareta à esquerda da vareta X que não tenha um 9. Pomos a zero as varetas com 9 entre a vareta à qual somamos 1 e a vareta X. Finalmente subtraímos o excedente na vareta X. Exercícios de somas complexas Apesar de que os seguintes exercícios possam lhe parecer monótonos, por nenhum motivo deixe de fazê-los, pois ainda que não pareçam ser muito úteis, são a base imprescindível na boa aprendizagem da soma. 9.999 +9.999 9.999 +8.888 9.999 +7.777 9.999 +6.666 9.999 +5.555 9.999 +4.444 9.999 +3.333 19.998 18.887 17.776 16.665 15.554 14.443 13.332 9.999 +2.222 9.999 +1.111 8.888 +8.888 8.888 +7.777 8.888 +6.666 8.888 +5.555 8.888 +4.444 12.221 11.110 17.776 16.665 15.554 14.443 13.332 8.888 +3.333 8.888 +2.222 7.777 +7.777 7.777 +6.666 7.777 +5.555 7.777 +4.444 7.777 +3.333 12.221 11.110 15.554 14.443 13.332 12.221 11.110 6.666 +6.666 6.666 +5.555 6.666 +4.444 5.555 +5.555 13.332 12.221 11.110 11.110 Some agora dez vezes 111.111 para obter 1.111.110. Faça o mesmo para os números 222.222, 333.333, etc. até 999.999 para dar 9.999.990. Agora some dez vezes 123.456.789 para obter 1.234.567.890. Faça o mesmo para o número 987.654.321 para obter 9.876.543.210. Estes dois últimos exercícios são ideais para se obter agilidade no cálculo. Pratique-os freqüentemente. Mais exercícios: 47.626.371 94.493.374 26.242.464 +59.816.753 16.751.135 97.043.382 87.450.467 +64.523.585 36.077.301 36.447.527 49.548.323 +37.377.548 228.178.962 265.768.569 159.450.699 16 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 123 456 789 123 456 789 123 456 +789 741 852 963 741 852 963 741 852 +963 111 222 333 444 555 666 777 888 +999 251 514 64 863 253 350 134 6 +266 477 491 910 412 218 970 155 85 +344 455 594 214 570 326 773 537 861 +799 4.104 7.668 4.995 2.701 4.062 5.129 Some os números da fatura da compra no supermercado, os números telefônicos de sua agenda, etc., ou escreva números aleatórios e some-os. A prática diária é a chave do êxito na aprendizagem. 3.3 − Somas abreviadas Seguramente você já se terá dado conta de que algumas somas são muito mais fáceis de se fazer de modo indireto. Por exemplo, se queremos somar 1.237 + 9.999 = 11.236 pode-se fazer mais facilmente no Soroban somando-se 10.000 e subtraindo-se 1 em vez de se somar diretamente 9.999, assim: 1.237 + 10.000 – 1 = 11.236. Outro exemplo: 2.368 + 198 = 2.566 pode-se fazer muito mais facilmente somando 200 e subtraindo 2 em vez de somar 198, assim: 2.368 + 200 – 2 = 2.566. Experimente fazer as somas anteriores no Soroban de ambas as formas. Quando conhecer perfeitamente a subtração então poderá abordar as somas abreviadas, de modo proveitoso. Após adquirir a desenvoltura que lhe permita fazer qualquer soma que se lhe apresente, por complexa que seja, poderá passar ao tema seguinte. 17 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban subtrair é o mesmo que 1 subtrair 5 e somar 4 subtrair 10 e somar 9 2 subtrair 5 e somar 3 subtrair 10 e somar 8 3 subtrair 5 e somar 2 subtrair 10 e somar 7 4 subtrair 5 e somar 1 subtrair 10 e somar 6 5 subtrair 5 subtrair 10 e somar 5 6 subtrair 6 subtrair 10 e somar 4 7 subtrair 7 subtrair 10 e somar 3 8 subtrair 8 subtrair 10 e somar 2 9 subtrair 9 subtrair 10 e somar 1 Ilustremos o uso da tabela com o exemplo: 7.828.300 – 2.471.006 = 5.357.294 A primeira coisa que se faz é anotar no Soroban o minuendo: G +5 +2 F +5 +3 E +2 D +5 +3 C +3 Subtraem-se 2 milhões: G -2 Agora subtraímos 4 na vareta F (quatrocentos mil). Como não se pode separar diretamente 4 contas da barra central, pedimos ajuda à tabela das subtrações complexas, na qual vemos que subtrair 4 é o mesmo que subtrair 5 e somar 1: F –5 +1 Para subtrair 7 na vareta E (setenta mil) também devemos pedir ajuda à tabela. Neste caso deve-se subtrair 1 em F e somar 3 em E; com isso se terá somado 10 unidades em E (separando uma conta da barra central em F) e somado 3 unidades em E, o que equivale a subtrair 7 (-10 + 3 = -7): 20 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban F –1 E +5 –2 Para subtrair 1 na vareta D (mil) simplesmente separaremos uma conta da barra central: D –1 Por último devemos subtrair 6 da vareta das unidades A. Não se pode fazer diretamente na vareta A, nem tampouco usando a tabela de subtração [subtraindo 1 em B e somando 4 em A (-10 + 4 = +6)] porque a vareta B está a zero. Nestes casos a solução é simples: À esquerda da vareta onde está se efetuando a subtração, busca-se a primeira vareta com alguma conta sobre a barra central, em nosso exemplo é a vareta C. Subtrai-se nessa vareta um (C – 1). Põem-se a nove todas as varetas que entre as duas anteriores estavam a zero, em nosso exemplo só pomos a nove a vareta B: B +5 +4 Finalmente soma-se 4 na vareta inicial A (A +4). O que se fez para somar 6 foi simplesmente: -100 + 94 = +6 porque não pudemos fazer o mais simples: +6 ou –10 + 4 = +6: C –1 B +5 +4 A +4 No Soroban podemos ler a solução da subtração: 5.357.294 Outro exemplo: 35.000 – 17 = 34.983 E +3 D +5 21 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban D –5 +4 C +5 +4 B +5 +4 B –1 A +3 Compreende-se perfeitamente cada um dos passos? Como no caso da soma, poder-se-ia fazer um esquema explicativo para a subtração. Quando se quer subtrair um algarismo em qualquer vareta, genericamente rotulada X, tentar-se-á fazer o que indica o primeiro ponto; se isto não for possível passaremos ao ponto seguinte e assim sucessivamente até encontrar um ponto aplicável: 1. Subtraímos as contas diretamente na vareta X. 2. Subtraímos 5 e somamos o que falta na vareta X. 3. Subtraímos 1 (“10”) na vareta situada à esquerda da vareta X, e somamos o que falta na vareta X. 4. Subtraímos 1 na primeira vareta à esquerda da vareta X que não tenha um 0. Pomos a nove as varetas com 0 entre a vareta na qual subtraímos 1 e a vareta X. Finalmente somamos o que falta na vareta X. Exercícios de subtrações complexas Como exercícios de subtrações tomaremos os exercícios de somas do tema anterior e após anotar no Soroban o resultado da soma se lhe irão subtraindo sucessivamente as parcelas até chegar ao resultado final: zero. Um excelente exercício é efetuar a soma e imediatamente a subtração, com o qual, além de praticar ambas as operações, facilmente se comprova se foram cometidos erros, verificando-se se o resultado final não é zero. 4.3 − Subtrações abreviadas Como já ocorria com as somas, algumas subtrações se podem fazer de modo indireto com maior facilidade e portanto com maior rapidez. Por exemplo, se se deseja subtrair 989 de 3.578 pode-se fazer indiretamente subtraindo mil e depois somar onze: 3.578 – 989 = 3.578 – 1.000 + 11 = 2.589. Outro exemplo: 2.366 - 198 = 2.168, pode ser feito com maior rapidez subtraindo 200 e depois somando 2 em vez de subtrair diretamente 198, assim: 2.368 - 200 + 2 = 2.168 Faça as subtrações anteriores no Soroban direta e indiretamente. Acostume-se a pensar no número que vai subtrair, e decida em cada caso como fazer a subtração, direta ou indiretamente, para fazê-la o mais rapidamente possível. Só a prática contínua permite progredir, pelo que você deve realizar somas e subtrações diariamente para aumentar sua habilidade e diminuir o tempo empregado no cálculo. 22 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Agora devemos subtrair o número de dois algarismos, 81, que é maior que o 63 anotado. Acrescenta-se a 63 um 1 seguido de dois zeros (100) e posteriormente subtrai-se 81. No Soroban pode-se ver o resultado parcial da soma: 63 – 81 = -18 (complementar mais um de 82). [ C+1 C-1 ] B+2 A-1 O próximo número a ser somado é o 45, que se soma a “82” (na realidade -18) que se observa no Soroban. Feita esta soma vemos no Soroban o resultado de 127. Se não tivéssemos que somar mais números, então segundo o caso 1, teríamos que subtrair de 127 o número adicionado anteriormente (100) e o resultado seria 27 (63 - 81 + 45 = 27). Em nosso caso a soma continua, pelo que podemos subtrair o 100 extra adicionado ou mesmo fazê-lo no resultado final da soma. Escolhemos a segunda opção. C+1 B-5-1 A+5 Seguidamente devemos subtrair 654 (ou somar -654). É evidente que não é possível fazê-lo diretamente. Como 654 é um número de 3 algarismos, deveríamos adicionar como número extra 1.000 (um 1 seguido de três zeros), mas como no passo anterior já adicionamos um número extra, 100, agora convém adicionar 900 em vez de 1.000; assim, o 100 adicionado anteriormente com o 900 que adicionamos agora somam 1.000, que é um número extra total conveniente (potência de 10). Feitas estas operações, no Soroban se mostra o número 373, mas se quisermos saber a soma parcial obtida deveríamos olhar em seu complemento de 9, como se indica no caso 2 (63 - 81 + 45 - 654 = -627). D+1 C-1 D-1 C+4 C-1 B+5 A-5+1 O último número a ser somado é 822, que se soma sem dificuldade: D+1 C-2 B+2 A+5-3 25 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban No Soroban se vê o número 1.195, que é maior que o número extra total adicionado (1.000), pelo que para obter-se o resultado final da soma simplesmente devemos subtrair de 1.195 o número extra 1.000, obtendo-se o resultado final de 195. D-1 Resultado final: 63 - 81 + 45 - 654 + 822 = 195 Exercícios de subtrações com complementos 45 – 100 = -55 (lendo o complementar de 9 e somando 1). 654 – 1000 = -346 (lendo o complementar de 9 e somando 1). 45 – 123 = [comp (45 + 1000 – 123)] + 1 = -78 752 – 1268 = [comp (752 + 10000 – 1268)] + 1 = -516 124 - 520 + 450 + 620 - 512 = 162 25 - 80 + 120 - 726 = -661 483 - 500 - 712 + 407 = -322 190 - 234 + 523 - 1.589 + 310 = -800 4.5 − Subtrair somando Com o uso dos complementares de 9, qualquer subtração pode-se transformar facilmente em uma soma. O método é o seguinte: Some ao minuendo o complementar de 9 do subtraendo. Subtraia ao resultado o número formado por um 1 seguido de tantos zeros quantos algarismos tiver o subtraendo. Some 1 ao resultado. O resultado se vê no Soroban. Vejamos um exemplo que ilustrará a metodologia a seguir: 4.535 – 2.781 = 1.754 Anotamos no Soroban o minuendo, neste caso 4.535: D +4 C +5 B +3 A +5 Agora somamos ao número anterior o complementar de 9 de 2.781, que é 7.218 já que somando-se ambos dá 9.999. 26 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban E +1 D –3 C+2 B+1 B +5 -4 A –5 +3 Agora devemos subtrair o número formado por um 1 seguido de tantos zeros quantos algarismos tem o subtraendo, que neste exemplo tem quatro algarismos. Depois devemos subtrair 10.000: E -1 Para finalizar, seguindo o método, soma-se 1: A +1 No Soroban pode-se ler a solução: 1.754. Realmente o que fizemos foi 4.535 – 2.781 = 4.535 + 7.218 – 10.000 + 1 = 1.754. No caso de que o subtraendo seja maior que o minuendo, simplesmente deve-se somar ao minuendo o complementar de 9 do subtraendo, lendo no Soroban as contas sem valor (o complementar de 9), que são as que não estão colocadas junto à barra central. Como exemplo se fará a subtração 234 – 317 = -83. Em primeiro lugar se anota no Soroban o número 234: C +2 B +3 A +4 Soma-se o complementar de 9 de 317, que é 682: C +5 +1 C +1 B –2 A +5 -3 27 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban L +3 K +1 J +5 +1 F +7 E +4 Alguém poderia se perguntar à vista do Soroban: “— Como se sabe que se deve multiplicar 316 x 74 e não 3.160 x 74 ?” A resposta está nas varetas livres. No segundo caso teríamos dei- xado cinco varetas a zero à direita do multiplicador e não quatro. Anotar o multiplicador desta maneira permite colocar o multiplicando onde se deseje, e poder ler o resultado final sem nenhuma dúvida. Inicia-se a multiplicação com os algarismos do multiplicando da esquerda para a direita atuando sobre o algarismo das unidades do multiplicador (4): 3 x 4 = 12 que se soma imediatamente à direita da vareta na qual está anotado o 4, quer dizer, em D e C: D +1 C +2 A partir de agora a vareta em que anotamos o segundo algarismo do produto será a primeira em que anotaremos o seguinte. Seguimos multiplicando: 1 x 4 = 04 somando-se o 0 em C e o 4 em B. Logicamente o 0 não se soma realmente, mostrou-se para que se veja a ordem de anotação da metodologia usada. Observe-se que o produto anterior se somou em D e C, e este em C e B: B +4 6 x 4 = 24 que se anota em B e A: B +5 –3 A +4 Já foram efetuados todos os produtos sobre a unidade (4) do multiplicador, e por isso se apaga o 4 do Soroban: 30 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban E -4 Agora repete-se o processo com o algarismo das dezenas do multiplicador (7): 3 x 7 = 21 que se soma imediatamente à direita da vareta na qual está anotado o 7 (F), quer dizer, se soma o 2 em E e o 1 em D: E +2 D +1 1 x 7 = 07 que se soma em D e C: C +5 +2 6 x 7 = 42 que se soma em C e B: D +1 C –5 –1 B +2 Para finalizar se apaga do Soroban o algarismo das dezenas do multiplicando, o 7, da vareta F: F –5 -2 O resultado da multiplicação pode-se ler facilmente: 23.384 Querendo se efetuar o produto de dois números com algarismos decimais, por exemplo 3,16 x 0,74 a metodologia é exatamente a mesma, multiplique 316 x 74 e o resultado (23.384) será lido como 2,3384 que tem quatro algarismos decimais (dois de 3,16 e os outros dois de 0,74). Caso o deseje, para não ter de memorizar o número de algarismos decimais, 31 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban pode-se anotar em uma vareta livre à esquerda do Soroban, por exemplo na vareta Q. Assim, no caso de se multiplicar 3,16 x 0,74 = 2,3384 o Soroban mostraria depois das operações (as mesmas que no exemplo anterior) o aspecto mostrado na seguinte imagem. Observe-se que em Q está anotado 4, portanto os valores anotados nas varetas D, C, B e A são algarismos decimais, e em E se encontra o algarismo de unidades do número, que deve ser lido simplesmente como 2,3384. Se o multiplicando ou o multiplicador têm algum algarismo 0 só se precisa lembrar que qualquer número de um algarismo por 0 é “00”, o que nos permite seguir com a ordem correta da anotação. Exercícios de multiplicações pelo método-padrão Realize as seguintes multiplicações, primeiro na ordem mostrada e posteriormente na inversa. O resultado será o mesmo em ambos os casos, porque a multiplicação goza da propriedade comutativa, mas dessa maneira poder-se-á fazer um número dobrado de exercícios. 25 x 37 91 x 17 20 x 50 79 x 30 61 x 35 56 x 39 87 x 96 98 x 31 49 x 78 925 1.547 1.000 2.370 2.135 2.184 8.352 3.038 3.822 954 x 49 636 x 71 890 x 89 613 x 27 798 x 987 643 x 762 809 x 390 46.746 45.156 79.210 16.551 787.626 489.966 315.510 633 x 18 307 x 59 164 x 99 732 x 101 12,3 x 1,2 1,24 x 0,27 6,88 x 1,23 11.394 18.113 16.236 73.932 14,76 0,3348 8,4624 5.2 − Método multifatorial O método anterior tem o defeito de que o produto está colocado algumas varetas à direita do multiplicador, e se se deseja multiplicar o produto obtido por outro número, não haverá varetas livres à direita para fazê-lo. O método multifatorial permite fazer multiplicações sucessivas, de dois fatores, e também de mais de dois fatores, porque os produtos de cada multiplicação obtém-se sobre o lugar onde está anotado o multiplicador, mantendo a coloca- ção de unidades, dezenas, centenas, etc., e por isso é um método ideal para se calcular fatoriais, potências, e qualquer multiplicação com vários fatores. Para se constatar essa metodologia se efetuará em seguida o produto dos números 25 x 473 cujo resultado é 11.825. Anota-se à esquerda do Soroban o multiplicando ao qual se subtrai sempre uma unidade e à direita o multiplicador. Observe-se que nas varetas Q e P se anotou 24 (25 –1) e nas varetas C, B e A o número 473: 32 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Apaga-se o 4 da vareta L e se anota o fator que ficou por multiplicar, o 85, porém anotamos 84, uma unidade a menos, nas varetas M e L. Seguimos multiplicando: 8 x 6 = 48 e se soma nas varetas E e D (E +4, D +5 +3). 4 x 6 = 24 e se soma nas varetas D e C (E+5–4, D–5–3, D+1, C–5–1). 8 x 3 = 24 e se soma nas varetas D e C (D +2, C +4). 4 x 3 = 12 e se soma nas varetas C e B (C +5 –4, B +5 -3). 8 x 5 = 40 e se soma nas varetas C e B (C +4). 4 x 5 = 20 e se soma nas varetas B e A (B +2). Tendo-se em conta, como se vê na vareta Q, que os três algarismos das varetas C, B e A são decimais, o resultado (a área do triângulo) se lê como 53,975 cm2. Exercícios de multiplicações multifatoriais 32 x 51 x 68 = 110.976 5 x 59 x 453 = 133.635 55 x 56 x 57 =175.560 38 x 69 x 527 = 1.381.794 0,35 x 1,55 x 3 = 1,6275 1,96 x 32 x 0,055 = 3,4496 75 x 63 x 1,8 = 8505 23,8 x 1,1 x 59 = 1544,62 1. Compra-se um lote de 25 peças a 8,5 euros cada unidade. Se se deve acrescentar 16% de impostos, quanto deve-se pagar pelo lote? (Solução: 25 x 8,5 x 1,16 = 246,5 euros). 2. O interior de uma casa mede 5,5 m de comprimento, 4,7 m de largura e 2,4 m de altura. Calcule o volume da casa. (Solução: 5,5 x 4,7 x 2,4 = 62,04 m3). 3. Um círculo tem 24 cm de raio. Calcule a área do círculo. (Solução: a área do círculo é o produto do quadrado do raio por   3,142, logo: 24 x 24 x 3,142 = 1.809,792 cm2). 4. Calcule o cubo de 72. (Solução: 72 x 72 x 72 = 373.248). 5.3 − Método de multiplicações acumuladas Às vezes é necessário somar os resultados de várias multiplicações de números escritos em um papel. O método que deve ser usado nesse caso é o “método multifatorial”, já visto anteriormente, porém modificado de maneira que os fatores não serão anotados no Soroban e por isso ao multiplicando não lhe será subtraído uma unidade. Como exemplo se determina- rá a quantia a ser paga em um supermercado após a compra de vários artigos com um desconto devido a uma oferta especial: 35 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban - 12 litros de leite a 0,85 euros/litro - 2 caixas de bolachas a 2,15 euros/caixa - 1 pacote de açúcar a 1,20 euros/pacote Sobre o total o supermercado nos dá um desconto de 5%. Os preços serão colocados em cêntimos de euro e assim não se terá problema com os deci- mais. Por outro lado, dar-lhe um desconto de 5% implica pagar somente 95% do total. As ope- rações a se realizar serão: 12 x 85 + 2 x 215 + 120 e o resultado da soma se multiplicará por 0,95 obtendo-se o total a pagar. Para multiplicar 12 x 85 seguindo o método multifatorial modificado se fariam os produtos: 1 x 8 = 08 que se soma nas varetas D e C (C +5 +3). 2 x 8 = 16 que se soma nas varetas C e B (C +1, B +5 +1). 1 x 5 = 05 que se soma nas varetas C e B (D +1,C –5 –1, B -5). 2 x 5 = 10 que se soma nas varetas B e A (B +1). No Soroban pode-se ver o resultado parcial 1.020: A multiplicação seguinte, 2 x 215, efetua-se de forma semelhante, somando-se os produ- tos sobre o resultado anterior: 2 x 2 = 04 que se soma nas varetas D e C (C +4). 2 x 1 = 02 que se soma nas varetas C e B (B +2). 2 x 5 = 10 que se soma nas varetas B e A (B +5 -4): No Soroban se pode ver o resultado parcial 1.450: Agora se soma 120 sobre o subtotal anterior e se obtém o total a pagar: 1.570 (sem aplicar ainda o desconto). C +5 –4 B +2 Para se aplicar o desconto de 5% multiplica-se o valor mostrado no Soroban por 0,95 (em verdade por 95 e no resultado se consideram 2 algarismos decimais) pelo método multifatorial obtendo-se o resultado final: 36 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban No Soroban se pode ver: - 2 na vareta Q , que indica que o resultado final tem dois algarismos decimais, - 94 (95 –1) nas varetas M e L, - 149150 nas varetas de F a A. O resultado deve ser lido como 1.491,50 cêntimos (com dois algarismos decimais) ou como 14,915 euros. Exercícios de multiplicações acumuladas Os melhores exercícios neste caso são as faturas das compras habituais porque se usa o Soroban em cálculos reais. Outros exercícios: 12 x 15 + 25 x 14 = 530 35 x 12 + 72 x 25 + 10 x 3 = 2.250 123 x 28 + 142 x 27 = 7.278 120 x 8 + 455 x 16 + 1.230 = 9.470 0,23 x 20 + 1,5 x 42 =67,6 635 x 15 + 48 x 18 + 9 x 12 = 10.497 Antes de passar ao tema seguinte, a divisão, deve-se dominar a multiplicação e as operações anteriores. Aplique seus conhecimentos de cálculo no Soroban para realizar operações comuns da vida real, como já se fez com o exemplo de fatura de compra. 37 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban o divisor e somar 1 (ou mais) ao algarismo do quociente. Lembre-se que a divisão é uma série de subtrações repetidas e o uso da multiplicação é um modo de abreviar o processo. Continuando com a divisão (5.196 / 24) seleciona-se a partir da esquerda um grupo de dois algarismos do dividendo “51”, que é maior que o divisor. Do grupo selecionado pode-se subtrair 2 vezes o divisor (24). O 2 se anota na vareta L. Multiplique 2 por 24 e subtraia o re- sultado, 48, de 51 ficando 03 que já é menor que o divisor. Também se pode fazer a multipli- cação e a subtração passo a passo (supondo-se que já se conhecem perfeitamente as opera- ções tratadas nos temas anteriores): 2 x 2 = 04 que se subtrai de K e J 2 x 4 = 08 que se subtrai de J e I J -5 +1 J -1 I +2 O resultado pode ser visto no gráfico anterior. Em seguida seleciona-se um novo grupo do dividendo, o “39” que também é maior que o divisor. De 39 se pode subtrair uma vez 24, pelo que se anota 1 na vareta K e se subtrai 24 x 1 = 24 de 39 ficando o grupo reduzido a 15. Passo a passo se poderia fazer: 1 x 2 = 02 que se subtrai de J e I 1 x 4 = 04 que se subtrai de I e H I -2 H -4 Observe-se como o quociente avança da esquerda para a direita à medida que o dividendo vai desaparecendo. O novo grupo a selecionar de dois algarismos “15” é menor que o divisor, pelo que se deve selecionar um grupo com um algarismo a mais, “156”, do qual se pode subtrair o divisor 6 vezes, pelo que anotaremos 6 em J, imediatamente à esquerda do dividendo, segundo indica o ponto 2 do método. Multiplica-se 6 por 24 (6 x 24 = 144) e se subtrai o produto, 144, do grupo selecionado, 156, ficando o grupo reduzido a 12. Passo a passo se poderia fazer também: 6 x 2 = 12 que se subtrai de I e H 6 x 4 = 24 que se subtrai de H e G 40 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban I -1 H -5 +3 H -2 G -5 +1 Como no caso anterior o novo grupo a selecionar de dois algarismos “12” é menor que o divisor, pelo que de novo se deve selecionar um grupo com um algarismo a mais, 3, que o divisor, neste caso “120”. A este grupo se pode subtrair exatamente 5 vezes 24 (5 x 24 = 120) pelo que se dá por terminada a divisão ao se haver eliminado totalmente o dividendo. Anota- se 5 em I e se faz a subtração. Passo a passo se efetuaria: 5 x 2 = 10 que se subtrai de H e G 5 x 4 = 20 que se subtrai de G e F H -1 G -2 O resultado da divisão é lido como 216,5 já que a vareta I é a primeira (e neste caso a única) da parte decimal do quociente. Como o dividendo desapareceu por completo, o resto é zero. Resumindo: 5.196 / 24 = 216,5 com resto zero. Outro exemplo: 362 / 451 = 0,8026607... Anota-se 451 em Q, P e O e 362 em H, G e F, deixando a vareta I como primeiro algarismo da parte decimal do quociente. Como o divisor tem três algarismos, selecionamos o primeiro grupo de três algarismos do dividendo, “362”, mas por ser menor que o divisor, deve-se selecionar um grupo de 4 algarismos, “3620”. Deste grupo pode-se subtrair 451, o divisor, 8 vezes. Anota-se 8 em I, imediatamente à esquerda do dividendo, e se procede a fazer as multiplicações e as subtrações: 8 x 4 = 32 que se subtrai de H e G 8 x 5 = 40 que se subtrai de G e F 8 x 1 = 08 que se subtrai de F e E 41 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Agora se seleciona como grupo “1200”, já que o grupo “120” é menor que o divisor. De 1200 pode-se subtrair 2 vezes o divisor, 451, pelo que se anota 2 em G e se faz como no passo anterior as multiplicações e as subtrações: 2 x 4 = 08 que se subtrai de F e E 2 x 5 = 10 que se subtrai de E e D 2 x 1 = 02 que se subtrai de D e C Do grupo seguinte “2980” pode-se subtrair 6 vezes o divisor, 451, portanto anota-se 6 em F e são feitas as subtrações: 6 x 4 = 24 que se subtrai de E e D 6 x 5 = 30 que se subtrai de D e C 6 x 1 = 06 que se subtrai de C e B Por último se seleciona o grupo “2740” do qual se pode subtrair 6 vezes o divisor. Anota-se 6 em E e como no passo anterior se fazem as subtrações: 6 x 4 = 24 que se subtrai de D e C 6 x 5 = 30 que se subtrai de C e B 6 x 1 = 06 que se subtrai de B e A O resultado da divisão se lê nas varetas de I a E, lembrando que I é a vareta onde está anotada o primeiro algarismo decimal do quociente: 362 / 451 = 0,80266. Inclusive poder-se- 42 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Tema 7: As potências O método que se utilizará para o cálculo de potências de números é simplesmente o método multifatorial de multiplicação já visto no tema 5. Ele é conseqüência direta de que qualquer potência inteira de um número nada mais é do que esse número multiplicado por si mesmo várias vezes. Usar o método multifatorial para o cálculo de potências tem várias vantagens importantes: 1. Já é conhecido por ter sido estudado anteriormente no tema 5. 2. Não é necessário memorizar fórmulas, como as do binômio de Newton, nem fazer cálculos mentais como se devem fazer, seguindo outros métodos. 3. O único limite do método é o número de varetas disponíveis no Soroban. Por exemplo, se se deseja calcular o quadrado do número 35 basta multiplicar 35 x 35 = 1.225. Primeiro se anotam os fatores no Soroban seguindo o método multifatorial: Q +3 P +4 B +3 A +5 E agora se efetua a multiplicação: 3 x 3 = 09 que se soma em D e C 4 x 3 = 12 que se soma em C e B 3 x 5 = 15 que se soma em C e B 4 x 5 = 20 que se soma em B e A Após se efetuar a multiplicação vê-se no Soroban o resultado, 1.225. Se se deseja calcular 353 calcula-se primeiro 35 x 35 = 1.225 e depois se multiplica 35 x 1.225 = 42.875. A vantagem é que os fatores já estão anotados no Soroban. O resultado, 42.875, é o cubo de 35: 353 = 42.875 45 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Multiplicando-se agora 35 x 42.875 se obter-se-ia 1.500.625, a quarta potência do número 35. 354 = 1.500.625 E assim poder-se-ia seguir até esgotar as varetas disponíveis no Soroban. Exercícios de potências 1282 = 128 x 128 = 16.384 4.5732 = 4.573 x 4.573 = 20.912.329 573 = 57 x 57 x 57 = 3.249 x 57 = 185.193 253 = 25 x 25 x 25 = 625 x 25 = 15.625 1203 = 120 x 120 x 120 = 14.400 x 120 = 1.728.000 Também se pode fazer como: 1203 = 123 x 103 = 12 x 12 x 12 x 103 = 144 x 12 x 103 = 1.728 x 103 = 1.728.000 Outro exercício: 624 = 62 x 62 x 62 x 62 = 3.844 x 62 x 62 = 238.328 x 62 = 14.776.336 Também se poderia fazer: 624 = 622 x 622 = (62 x 62) x (62 x 62) = 3.844 x 3.844 = 14.776.336 Um último exercício: 78 = 74 x 74 = (72 x 72) x (72 x 72) = (49 x 49) x (49 x 49) = 2.401 x 2.401 = 5.764.801 Problemas simples: - Calcule o volume de um cubo de lado 1,6 m. (Solução: 1,63 = 1,6 x 1,6 x 1,6 = 16 x 16 x 16 x 10-3 = 256 x 16 x 10-3 = 4.096 x 10-3 = 4,096 m3 ). - Calcule o volume de um hangar de 4,5 m de largura, 4,5 m de altura e 45 m de comprimento. (Solução: 4,5 x 4,5 x 45 = 45 x 45 x 45 x 10-2 = 2.025 x 45 x 10-2 = 91.125 x 10-2 = 911,25 m3 ). 46 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Tema 8: Raízes quadradas Existem vários métodos para se calcular a raiz quadrada de um número, dos quais são mostrados dois. O “método Chinês” não exige cálculo mental porém é lento; o “método algébrico” exige cálculo mental mas é muito mais rápido. 8.1 − Método padrão Chinês Deve-se seguir a seguinte metodologia: 1. O radicando é anotado na parte direita do Soroban, deixando entre o radicando e o bordo direito do Soroban o dobro de varetas livres de quantos algarismos decimais desejamos obter no número raiz. Separe mentalmente o radicando em grupos de 2 algarismos começando pelo ponto decimal da direita para a esquerda. 2. Anota-se o algarismo 1 em uma vareta da parte esquerda do Soroban. Ao número anotado chamamos “número raiz” e se subtrai do grupo situado mais à esquerda do radicando o grupo ativo. 3. Soma-se 2 ao número raiz e se subtrai o novo número raiz obtido ao grupo ativo do radicando. Este processo, somar 2 ao número raiz e subtrair o novo número raiz obtido ao grupo ativo se repete tantas vezes quantas forem necessárias até que o grupo ativo seja menor que o número raiz. Observe-se que a cada passo o número raiz aumenta e o grupo ativo diminui. 4. Em seguida o grupo ativo presente e o grupo seguinte de dois algarismos do radicando formam o novo grupo ativo. Ao número raiz se multiplica por 10 e se soma 11, e se subtrai o valor obtido do novo grupo ativo. Repete-se o processo do ponto 3 até que novamente o grupo ativo seja menor que o número raiz. Nesse caso se aplica de novo o ponto 4 até que o radicando desapareça o se tenham os algarismos decimais desejados. 5. Às vezes, depois de se somar o seguinte grupo de dois algarismos a um grupo ativo para formar o novo grupo ativo, este continua sendo menor que o número raiz. Então ao número raiz se multiplica por 100 (não por 10) e se soma 101 (não 11) e ao grupo ativo se lhe adicionam mais dois algarismos. Depois disso segue-se com o método segundo os pontos 3 e 4. 6. Finalizadas as subtrações soma-se 1 ao número raiz final e o resultado se multiplica por 4 somando o produto sobre o número raiz, quer dizer, multiplica por 5 segundo o método multifatorial. O resultado é a raiz quadrada do radicando com tantos algarismos decimais como se indicou no ponto 1. Exemplo 1: 784=28 Como não sabemos se a raiz quadrada de 784 é exata ou não, anotamos 784 no Soroban nas varetas G, F e E, deixando livres as quatro varetas D, C, B e A para calcular dois algarismos decimais se for necessário. Separamos mentalmente o número anotado em grupos de dois algarismos começando da vírgula decimal, de acordo com o ponto 1: 7-84-00-00. Há 2 grupos à esquerda da vírgula decimal, pelo que o resultado da raiz quadrada será um número de dois algarismos (unidades e dezenas) e com dois algarismos decimais (pelos dois grupos 00) se houver. 47 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban O número 37 só tinha um grupo de dois algarismos, pelo que o resultado da raiz terá um algarismo inteiro “6” e dois algarismos decimais “08”, portanto: 37= 6,08 . 8.2 − Método algébrico Este método é uma adaptação ao Soroban do método manual usado nas escolas. A metodologia é a seguinte: 1. O radicando é anotado na parte direita do Soroban, deixando à direita da vírgula decimal do radicando um número de varetas que será o dobro do número de decimais que terá o resultado. Separa-se mentalmente o radicando em grupos de dois algarismos, começando pelo ponto decimal, da direita à esquerda. 2. Anota-se da parte esquerda do Soroban o maior número de um algarismo cujo quadrado seja menor ou igual ao grupo de dois algarismos do radicando que está mais à sua esquerda, o "grupo ativo". O número anotado é chamado "número dobrado". Subtrai-se, do "grupo ativo" do radicando, o quadrado do "número dobrado". Em seguida duplique o "número dobrado". 3. O resíduo do "grupo ativo" anterior do radicando, seguido do grupo seguinte de dois algarismos formam o novo grupo ativo. Na vareta imediatamente à direita do "número dobrado" anota-se um número, de maneira que o novo "número dobrado" assim formado, multiplicado pelo número de um algarismo recém-anotado (o último algarismo do novo "número dobrado") seja o maior possível que se possa subtrair do "grupo ativo" do radicando. Faça-se a multiplicação e a subtração. 4. Duplique o último algarismo do "número dobrado". 5. Continue-se aplicando os pontos 3 e 4 até ter usado todos os grupos necessários de dois algarismos do radicando. 6. Finalmente, a raiz quadrada do radicando é obtida calculando-se a metade do "número dobrado". Pode-se fazer mentalmente com facilidade ou também se pode multiplicar por 0,5 de acordo com o método multifatorial, tal como se faz no ponto 6 do “método Chinês”. A parte inteira do resultado está formada por tantos algarismos como grupos de dois algarismos tinha o radicando à esquerda de sua vírgula decimal, o resto de algarismos formam a parte decimal do resultado. Exemplo 1: 784=28 Anota-se 784 no Soroban nas varetas G, F e E, deixando livres as quatro varetas D, C, B e A para calcular dois algarismos decimais se for necessário. Separamos mentalmente o número anotado em grupos de dois algarismos começando da vírgula decimal, segundo o ponto 1: 7-84-00-00. Há 2 grupos à esquerda da vírgula decimal, pelo que o resultado da raiz quadrada será um número com dois algarismos em sua parte inteira (unidades e dezenas) e os demais algarismos, se houver, serão decimais. 50 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban G +5 +2 F +5 +3 E +4 O grupo ativo do radicando é 7. O número 2 é o maior cujo quadrado (4) é menor ou igual ao “grupo ativo”. Conforme indica o ponto 2 anota-se 2 na vareta L formando o primeiro “número dobrado” e se subtrai seu quadrado (4) do “grupo ativo”: 7; imediatamente se duplica o 2 anotado em L: L +2 G -5 +1 L +2 De acordo com o ponto 3, o novo “grupo ativo” é 384. Agora se trata de buscar um número, que anotaremos em K, que formará com o 4 anotado em L o novo “número dobrado”, de tal maneira que, ao multiplicá-lo pelo anotado em K, obtenha-se o maior produto que se possa subtrair do “grupo ativo” 384. Caso se anotasse 9 em K, o novo “número dobrado” seria 49, que multiplicado por 9 dá como resultado 441, que não se pode subtrair do “grupo ativo”. Anotamos 8 em K, assim o novo “número dobrado” formado é 48, que multiplicado por 8 dá como produto 384 que se pode subtrair do “grupo ativo”. De fato, o “grupo ativo” desaparece totalmente, pelo que a raiz quadrada é exata. A multiplicação 48 x 8 também pode ser feita passo a passo: K +5 +3 8 x 4 = 32 que se subtrai de G e F (G -3 F -2) 8 x 8 = 64 que se subtrai de F e E (F -5 -1 E -4) Agora se aplica o ponto 4 e se obtém o número dobrado final: L +5 -4 K -2 Finalmente se calcula a metade do número dobrado, conforme indica o ponto 6. Neste caso é muito simples fazê-lo mentalmente: 56 / 2 = 28. Esse é o resultado da raiz quadrada de 784: 784=28 51 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Exemplo 2: 352=18,761 A raiz quadrada de 352 será um número com dois algarismos em sua parte inteira. Anota- se 352 nas varetas G, F e E: G +3 F +5 E +2 O grupo ativo é “3”, pelo que o “número dobrado” é 1, que se anota em L. Subtrai-se o quadrado do “número dobrado” do “grupo ativo” e em seguida se duplica o “número dobrado”: L +1 G -1 L +1 Forma-se o novo “número dobrado” anotando-se 8 em K. O “número dobrado” assim formado “28” multiplica-se por 8 e se subtrai o resultado 224 do “grupo ativo”. Se esta multiplicação, ao invés de ser feita mentalmente, faz-se passo a passo, pode ocorrer que vez por outra o número anotado seja excessivamente grande ou pequeno. Em qualquer dos casos não é difícil desfazer as operações feitas e escolher o número adequado. K +5 +3 8 x 2 = 16 que se subtrai de G e F ( G -2 F +4) 8 x 8 = 64 que se subtrai de F e E (F -5 -2 E +5 +1) Duplica-se o último algarismo do “número dobrado”: L +1 K -2 O novo “grupo ativo” é, segundo o ponto 3, o grupo 2800. Anotamos 7 em J formando-se assim o novo “número dobrado” 367. Este número se multiplica por 7 e se subtrai o resultado, 2569, do “grupo ativo”. Em seguida se duplica o último algarismo do “número dobrado”. 52 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Tema 9: Outras operações Este tema simplesmente tem a intenção de mostrar algumas das possibilidades do Soroban para quaisquer tipos de cálculos, por complexos que sejam. 9.1 − Logaritmos Se se possui uma tabela de logaritmos, o Soroban permite fazer praticamente qualquer cálculo. Para isso é preciso conhecer o que é um logaritmo, suas propriedades, assim como as propriedades das funções exponenciais: Funções exponenciais Funções logarítmicas ab×ac=abc log a×b =logalogb ab ac =ab-c logab =loga−logb ab c =ab×c log ab =b×loga bac=a c b log bac= c b ×loga Exemplo 1: 2516 = 2,32 x 1022 Aplica-se a função logarítmica ao número e depois de simplificar mentalmente a expressão, calculando os logaritmos de 2,5 e de 10 com a tabela, faz-se a multiplicação final com o Soroban: log 2516 =16×log 25=16×log 2,5×10 =16×  log 2,5log 10 = =16×0,39791 =16×1,3979=22,3664 Portanto: 2516=1022,3664=1022×100,3664=1022×2,32=2,32×1022 Exemplo 2: 51,4 = 9,52 Como no caso anterior: log 51,4 =1,4×log 5=1,4×0,6990=0,9786 Portanto: 51,4=100,9786=9,52 Exemplo 3: 517=1,76 log 517=1 5 ×log 17=1 5 × log 1,7log 10 =1 5 ×0,23041 = ¿ 1 5 ×1,2304=0,2460 Portanto: 5 17=100,2460=1,76 55 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Exemplo 4: log3(8,31) = 1,927 log3 8,31= log 8,31 log 3 = 0,9196 0,4771 = 9196 4771 =1,927 9.2 − Trigonometria Como no caso dos logaritmos, se se dispõe de tabelas adequadas, o Soroban permite a re- solução de qualquer problema no qual se utilizem as razões trigonométricas. Exemplo 1: Dois dos lados de um triângulo medem 15,5 cm e 24,3 cm, e o ângulo entre eles é 36º 23’. Calcule a área do triângulo. (Solução: A área de qualquer triângulo é calculada multiplicando-se 0,5 pelas medidas de dois lados e pelo seno do ângulo entre eles. Neste caso a área seria: 0,5 x 15,5 x 24,3 x sen (36º 23’). Primeiramente se calcula, com ajuda das tabelas a razão trigonométrica: sen (36º 23’) = 0,5925 + 0,0007 = 0,5932 e agora se procede às multiplicações no Soroban, multiplicando 5 x 155 x 243 x 5.932 com sete algarismos decimais. Finalmente o valor da área do triângulo que se vê no Soroban é 111,7143900 cm2, valor que pode ser arredondado, inclusive enquanto se realizam as multiplicações no Soroban, a 111,7 cm2) Exemplo 2: Calcule sec (78º 51’). Solução: sec 78º51'=1 cos 78º51'  = 1 0,1934 = 10.000 1.934 =5,17 Usando a tabela: cos 78º51' =0,1937−0,0003=0,1934  Exemplo 3: Do ponto mais alto de um poste vertical que mede 3,1 m de altura se estende um cabo de contenção, o qual forma 48º 30’ com a horizontal. Calcule o comprimento do cabo. Solução: 3,1 sen 48º 30'  = 3,1 0,7490 = 31.000 7.490 = 3.100 749 =4,138 m Usando a tabela: sen 48º 30' =0,7490  9.3 − Máximo divisor comum MDC e mínimo múltiplo comum MMC. O método a ser utilizado será o algoritmo de Euclides, por que utilizando simplesmente a subtração se obterá o MDC de dois números anotados no Soroban. Para dois números 56 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban quaisquer a e b sempre é válido que: MMC (a, b) x MDC (a, b) = a x b, com o que o cálculo posterior do MMC é simplesmente uma divisão exata e um produto. Anote um dos números na parte direita do Soroban e o outro na parte esquerda. Subtraia o menor deles do maior tantas vezes como seja possível (pode apoiar-se na multiplicação para reduzir o número de subtrações). Agora se tem anotados no Soroban um dos números iniciais e outro, que agora é o menor. Repita o processo de subtrair o menor do maior tantas vezes quantas seja possível até obter outro novo par de números. Prossiga com esta metodologia até que um dos dois números se converta em 0. O número que resta é o MDC dos números anotados inicialmente. Se é 1, diz-se que os números anotados inicialmente são primos entre si, já que não têm divisores comuns além do 1. Se agora deseja calcular o MMC deverá dividir um dos números, por exemplo a entre o recém calculado MDC. A divisão é exata. O quociente da divisão multiplica-se por b. O resultado é o MMC de a e b. Exemplo 1: Cálculo do MDC e MMC de 150 e 125: Anotamos os números no Soroban: 125---150. Depois de subtrair 125 de 150 uma vez o resultado é: 125---25. Agora se subtrai 25 de 125 as vezes que for possível (5): 0---25. Um dos números já se converteu em 0, o outro, 25, é o MDC de 150 e 125. Agora divida um dos números iniciais entre o MDC e o resultado multiplique pelo outro: 125 25 ×150=5×150=750=MMC Portanto: MDC (125, 150) = 25 e MMC (125, 150) = 750 Se desejar calcular o MDC de mais de dois números, primeiro calcule o MDC de dois deles, depois calcule o MDC entre o número seguinte e o MDC calculado no passo anterior, e assim sucessivamente. Para achar o MMC deverá dividir um dos números iniciais pelo MDC total e o quociente multiplicá-lo pelos números iniciais. Exemplo 2: Em uma estrada há sinais quilométricos a cada 1.000m e telefones de emergência a cada 4.250m. A cada quantos metros coincidem um sinal quilométrico e um telefone de emergên- cia? Solução: Simplesmente calculamos o MMC entre 1.000 e 4.250. Anotamos no soroban os números anteriores: 4250---1000. Seguindo com o método descrito anteriormente teremos: 250---1000, 250---0. Portanto o MDC é 250. Agora calcula-se o MMC: 1000 250 ×4250=4×4250=17000=MMC A cada 17.000m (17 quilômetros) coincidem um sinal quilométrico e um telefone de emergência. 57 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Tabelas trigonométricas I senos naturais 0º - 45º diferenças a somar º 0’ 10’ 20’ 30’ 40’ 50’ 60' º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ 0 0000 0029 0058 0087 0116 0145 0175 89 3 6 9 12 15 17 20 23 26 1 0175 0204 0233 0262 0291 0320 0349 88 3 6 9 12 15 17 20 23 26 2 0349 0378 0407 0436 0465 0494 0523 87 3 6 9 12 15 17 20 23 26 3 0523 0552 0581 0610 0640 0669 0698 86 3 6 9 12 15 17 20 23 26 4 0698 0727 0756 0785 0814 0843 0872 85 3 6 9 12 14 17 20 23 26 5 0872 0901 0929 0958 0987 1016 1045 84 3 6 9 12 14 17 20 23 26 6 1045 1074 1103 1132 1161 1190 1219 83 3 6 9 12 14 17 20 23 26 7 1219 1248 1276 1305 1334 1363 1392 82 3 6 9 12 14 17 20 23 26 8 1392 1421 1449 1478 1507 1536 1564 81 3 6 9 12 14 17 20 23 26 9 1564 1593 1622 1650 1679 1708 1736 80 3 6 9 11 14 17 20 23 26 10 1736 1765 1794 1822 1851 1880 1908 79 3 6 9 11 14 17 20 23 26 11 1908 1937 1965 1994 2022 2051 2079 78 3 6 9 11 14 17 20 23 26 12 2079 2108 2136 2164 2193 2221 2250 77 3 6 9 11 14 17 20 23 26 13 2250 2278 2306 2334 2363 2391 2419 76 3 6 8 11 14 17 20 23 25 14 2419 2447 2476 2504 2532 2560 2588 75 3 6 8 11 14 17 20 23 25 15 2588 2616 2644 2672 2700 2728 2756 74 3 6 8 11 14 17 20 22 25 16 2756 2784 2812 2840 2868 2896 2924 73 3 6 8 11 14 17 20 22 25 17 2924 2952 2979 3007 3035 3062 3090 72 3 6 8 11 14 17 19 22 25 18 3090 3118 3145 3173 3201 3228 3256 71 3 6 8 11 14 17 19 22 25 19 3256 3283 3311 3338 3365 3393 3420 70 3 5 8 11 14 16 19 22 25 20 3420 3448 3475 3502 3529 3557 3584 69 3 5 8 11 14 16 19 22 25 21 3584 3611 3638 3665 3692 3719 3746 68 3 5 8 11 14 16 19 22 24 22 3746 3773 3800 3827 3854 3881 3907 67 3 5 8 11 13 16 19 21 24 23 3907 3934 3961 3987 4014 4041 4067 66 3 5 8 11 13 16 19 21 24 24 4067 4094 4120 4147 4173 4200 4226 65 3 5 8 11 13 16 19 21 24 25 4226 4253 4279 4305 4331 4358 4384 64 3 5 8 10 13 16 18 21 24 26 4384 4410 4436 4462 4488 4514 4540 63 3 5 8 10 13 16 18 21 23 27 4540 4566 4592 4617 4643 4669 4695 62 3 5 8 10 13 15 18 21 23 28 4695 4720 4746 4772 4797 4823 4848 61 3 5 8 10 13 15 18 20 23 29 4848 4874 4899 4924 4950 4975 5000 60 3 5 8 10 13 15 18 20 23 30 5000 5025 5050 5075 5100 5125 5150 59 3 5 8 10 13 15 18 20 23 31 5150 5175 5200 5225 5250 5275 5299 58 2 5 7 10 12 15 17 20 22 32 5299 5324 5348 5373 5398 5422 5446 57 2 5 7 10 12 15 17 20 22 33 5446 5471 5495 5519 5544 5568 5592 56 2 5 7 10 12 15 17 19 22 34 5592 5616 5640 5664 5688 5712 5736 55 2 5 7 10 12 14 17 19 22 35 5736 5760 5783 5807 5831 5854 5878 54 2 5 7 9 12 14 17 19 21 36 5878 5901 5925 5948 5972 5995 6018 53 2 5 7 9 12 14 16 19 21 37 6018 6041 6065 6088 6111 6134 6157 52 2 5 7 9 12 14 16 18 21 38 6157 6180 6202 6225 6248 6271 6293 51 2 5 7 9 11 14 16 18 20 39 6293 6316 6338 6361 6383 6406 6428 50 2 4 7 9 11 13 16 18 20 40 6428 6450 6472 6494 6517 6539 6561 49 2 4 7 9 11 13 15 18 20 41 6561 6583 6604 6626 6648 6670 6691 48 2 4 7 9 11 13 15 17 20 42 6691 6713 6734 6756 6777 6799 6820 47 2 4 6 9 11 13 15 17 19 43 6820 6841 6862 6884 6905 6926 6947 46 2 4 6 8 11 13 15 17 19 44 6947 6967 6988 7009 7030 7050 7071 45 2 4 6 8 10 12 15 17 19 º 60’ 50’ 40’ 30’ 20’ 10’ 0’ º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ cossenos naturais 45º - 90º diferenças a subtrair 60 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Tabelas trigonométricas II senos naturais 45º - 90º diferenças a somar º 0’ 10’ 20’ 30’ 40’ 50’ 60’ º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ 45 7071 7092 7112 7133 7153 7173 7193 44 2 4 6 8 10 12 14 16 18 46 7193 7214 7234 7254 7274 7294 7314 43 2 4 6 8 10 12 14 16 18 47 7314 7333 7353 7373 7392 7412 7431 42 2 4 6 8 10 12 14 16 18 48 7431 7451 7470 7490 7509 7528 7547 41 2 4 6 8 10 12 13 15 17 49 7547 7566 7585 7604 7623 7642 7660 40 2 4 6 8 9 11 13 15 17 50 7660 7679 7698 7716 7735 7753 7771 39 2 4 6 7 9 11 13 15 17 51 7771 7790 7808 7826 7844 7862 7880 38 2 4 5 7 9 11 13 14 16 52 7880 7898 7916 7934 7951 7969 7986 37 2 4 5 7 9 11 12 14 16 53 7986 8004 8021 8039 8056 8073 8090 36 2 3 5 7 9 10 12 14 16 54 8090 8107 8124 8141 8158 8175 8192 35 2 3 5 7 8 10 12 13 15 55 8192 8208 8225 8241 8258 8274 8290 34 2 3 5 7 8 10 12 13 15 56 8290 8307 8323 8339 8355 8371 8387 33 2 3 5 6 8 10 11 13 14 57 8387 8403 8418 8434 8450 8465 8480 32 2 3 5 6 8 9 11 12 14 58 8480 8496 8511 8526 8542 8557 8572 31 2 3 5 6 8 9 11 12 14 59 8572 8587 8601 8616 8631 8646 8660 30 1 3 4 6 7 9 10 12 13 60 8660 8675 8689 8704 8718 8732 8746 29 1 3 4 6 7 9 10 11 13 61 8746 8760 8774 8788 8802 8816 8829 28 1 3 4 6 7 8 10 11 12 62 8829 8843 8857 8870 8884 8897 8910 27 1 3 4 5 7 8 9 11 12 63 8910 8923 8936 8949 8962 8975 8988 26 1 3 4 5 6 8 9 10 12 64 8988 9001 9013 9026 9038 9051 9063 25 1 3 4 5 6 8 9 10 11 65 9063 9075 9088 9100 9112 9124 9135 24 1 2 4 5 6 7 8 10 11 66 9135 9147 9159 9171 9182 9194 9205 23 1 2 3 5 6 7 8 9 10 67 9205 9216 9228 9239 9250 9261 9272 22 1 2 3 4 6 7 8 9 10 68 9272 9283 9293 9304 9315 9325 9336 21 1 2 3 4 5 6 7 9 10 69 9336 9346 9356 9367 9377 9387 9397 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 70 9397 9407 9417 9426 9436 9446 9455 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 71 9455 9465 9474 9483 9492 9502 9511 18 1 2 3 4 5 6 6 7 8 72 9511 9520 9528 9537 9546 9555 9563 17 1 2 3 3 4 5 6 7 8 73 9563 9572 9580 9588 9596 9605 9613 16 1 2 2 3 4 5 6 7 7 74 9613 9621 9628 9636 9644 9652 9659 15 1 2 2 3 4 5 5 6 7 75 9659 9667 9674 9681 9689 9696 9703 14 1 1 2 3 4 4 5 6 7 76 9703 9710 9717 9724 9730 9737 9744 13 1 1 2 3 3 4 5 5 6 77 9744 9750 9757 9763 9769 9775 9781 12 1 1 2 3 3 4 4 5 6 78 9781 9787 9793 9799 9805 9811 9816 11 1 1 2 2 3 3 4 5 5 79 9816 9822 9827 9833 9838 9843 9848 10 1 1 2 2 3 3 4 4 5 80 9848 9853 9858 9863 9868 9872 9877 9 0 1 1 2 2 3 3 4 4 81 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 8 0 1 1 2 2 3 3 3 4 82 9903 9907 9911 9914 9918 9922 9925 7 0 1 1 2 2 2 3 3 3 83 9925 9929 9932 9936 9939 9942 9945 6 0 1 1 1 2 2 2 3 3 84 9945 9948 9951 9954 9957 9959 9962 5 0 1 1 1 1 2 2 2 2 85 9962 9964 9967 9969 9971 9974 9976 4 0 0 1 1 1 1 2 2 2 86 9976 9978 9980 9981 9983 9985 9986 3 0 0 1 1 1 1 1 1 2 87 9986 9988 9989 9990 9992 9993 9994 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 88 9994 9995 9996 9997 9997 9998 9998 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 89 9998 9999 9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 º 60’ 50’ 40’ 30’ 20’ 10’ 0 º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ cossenos naturais 45º - 90º diferenças a subtrair 61 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 62 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Somas e subtrações Exemplo 1: 25 + 13 = 38 Anota-se 25 e+2, d+5 25 Soma-se uma dezena... e+1 35 e três unidades. d+3 38 Exemplo 2: 25 + 27 = 52 Forma 1: Anota-se 25 e+2, d+5 25 Soma-se duas dezenas... e+2 45 e sete unidades. e+5-4, d-3 52 Forma 2: Anota-se 25 e+2, d+5 25 Soma-se três dezenas e... e+3 55 subtrai-se três unidades d-3 52 65 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Exemplo 3: 25 + 13 - 29 = 09 = 9 Anota-se 25 e+2, d+5 25 Soma-se 13 como antes... e+1, d+3 38 e subtrai-se 29 (-30 + 1) e-3, d+1 09 Exemplo 4: 25 - 16 - 43 = -34 Forma 1: Anota-se 25 e+2, d+5 25 subtrai-se 16 (-20 + 4) e-2, d+4 09 Para subtrair 43 de 9 devo somar mentalmente 100 como número extra, e seguidamente subtrair 43. (Ver tema 4) Subtrai-se 43: e+5+1, d-3 66 Como 66 é menor que o número extra somado mentalmente (100) o resultado será um número negativo, que será o "complementar de 9" mais 1 do número final obtido: comp 66 = 33 33 + 1 = 34 O resultado é um número negativo: -34 Finalmente lembre-se que o segredo do êxito não é outro senão a prática regular. 66 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Tema 11: Exercícios • Exercícios para praticar Somas e subtrações, nível principiante. 900 423 301 41 836 831 374 69 - 286 179 717 459 184 98 880 235 634 777 - 311 464 - 87 663 - 16 - 993 262 - 689 120 248 - 428 266 336 931 198 426 88 397 1 745 1 296 1 126 1 792 1 831 1 737 741 447 839 221 325 801 483 918 386 641 580 872 108 466 233 909 310 70 248 125 - 135 - 783 - 92 249 - 479 907 - 317 847 - 607 840 - 24 - 914 - 765 - 280 624 711 402 778 153 562 938 228 - 168 515 - 34 - 792 581 974 952 - 619 85 - 21 208 - 103 196 41 509 107 949 695 2 459 2 664 954 1 371 3 816 5 337 540 130 364 81 612 419 489 825 577 263 702 77 349 809 331 945 472 369 21 - 188 992 45 - 801 922 219 - 480 - 975 600 - 284 298 - 477 - 331 - 418 371 390 - 756 540 663 21 782 278 511 - 63 - 591 148 - 742 513 82 - 188 791 64 - 143 459 - 804 663 308 122 16 556 879 2 093 1 936 1 226 2 218 2 897 1 997 55 367 776 864 806 786 456 956 666 205 601 756 187 997 600 348 411 601 - 508 - 565 137 769 447 - 873 - 168 - 60 329 - 438 - 610 399 972 - 146 893 - 865 276 - 329 141 651 170 659 998 754 885 67 992 - 755 352 - 15 - 779 787 702 - 616 - 100 993 856 515 856 537 289 250 2 097 3 569 6 121 708 3 470 3 322 67 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 152 642 86 575 853 347 435 347 65 460 229 115 960 270 294 606 886 801 - 939 148 - 863 - 438 86 306 938 - 995 346 912 187 - 457 - 167 - 252 734 - 637 - 439 - 452 904 458 313 377 724 192 428 459 873 - 344 - 500 226 - 501 - 454 22 824 - 549 - 997 84 39 100 80 26 351 2 294 662 1 970 2 415 1 503 432 940 508 923 588 955 80 843 873 956 230 73 684 660 258 323 546 708 232 445 - 126 - 869 - 175 524 - 91 223 518 436 597 - 784 - 532 120 185 717 211 - 515 - 601 369 823 504 103 674 984 - 242 139 735 670 - 686 568 - 448 237 454 761 335 - 85 101 857 728 96 232 790 3 011 4 272 4 907 3 627 1 516 2 029 284 791 946 294 581 448 126 128 74 853 236 363 422 896 200 777 565 718 - 79 326 602 - 693 62 689 505 - 391 - 993 871 - 647 - 866 769 - 125 - 758 566 - 612 379 619 789 700 15 335 28 - 39 - 632 843 87 872 489 598 - 540 263 911 - 53 467 886 328 853 982 531 302 4 091 1 570 2 730 4 663 1 870 3 017 151 343 290 680 624 674 263 320 274 453 354 537 723 130 451 788 276 310 875 - 31 - 236 62 547 - 758 586 720 438 522 - 485 - 519 - 730 - 482 - 351 135 - 274 10 9 955 516 526 288 19 888 - 370 59 464 683 769 - 216 970 - 366 381 644 883 294 35 620 566 620 829 2 843 2 590 1 695 4 577 3 277 2 754 70 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 528 558 471 314 385 432 161 170 135 86 741 472 136 341 84 566 866 223 755 373 615 - 210 390 - 437 78 264 - 960 834 - 386 346 583 726 - 729 250 - 242 322 167 793 502 529 204 768 - 392 - 434 185 - 940 - 440 - 735 - 685 - 888 766 741 612 - 729 200 554 263 394 251 741 1 531 2 457 1 332 2 564 2 381 1 403 162 622 664 487 65 155 295 673 489 438 202 13 289 747 758 181 613 696 - 293 - 218 - 182 480 315 178 864 - 599 210 - 273 534 - 960 302 - 680 - 426 - 26 - 244 - 769 433 27 956 340 112 174 - 546 618 - 476 - 105 201 870 - 568 669 - 210 113 542 410 641 68 297 70 723 93 1 579 1 927 2 080 1 705 3 063 860 679 521 441 238 875 100 286 399 636 294 940 837 491 412 893 30 528 767 - 107 657 - 444 - 909 - 341 919 698 - 815 352 41 - 11 143 - 840 981 - 777 173 - 608 580 314 795 752 757 332 766 961 - 175 78 - 193 879 - 732 - 558 67 251 587 - 84 928 921 627 906 377 650 967 2 845 3 469 3 088 1 395 3 160 5 275 543 196 507 379 341 571 151 48 633 47 536 924 366 760 20 964 332 784 - 877 25 - 50 288 460 649 499 963 624 994 681 - 576 638 - 97 - 793 - 177 260 - 547 20 122 848 848 589 348 13 - 922 886 - 536 - 962 - 461 - 462 821 405 - 91 506 - 487 632 727 497 649 819 181 1 523 2 643 3 577 3 365 3 562 1 386 71 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 984 67 644 762 423 626 465 218 980 425 43 745 558 321 370 583 501 975 197 - 106 - 871 - 860 457 - 731 178 697 929 971 - 38 624 - 885 - 695 - 45 - 640 171 - 412 261 207 297 789 109 841 382 400 - 700 424 - 84 - 39 892 858 - 80 - 733 297 11 307 828 611 192 570 297 3 339 2 795 2 135 1 913 2 449 2 937 927 502 36 503 27 488 492 444 973 187 374 655 543 188 849 919 972 251 - 611 - 492 - 349 - 251 837 - 353 - 934 489 879 - 264 316 62 - 350 - 549 72 219 - 162 43 530 305 242 578 467 710 398 - 732 193 - 668 987 199 292 184 - 305 152 288 - 966 995 749 504 392 827 205 2 282 1 088 3 094 1 767 4 933 1 294 623 946 314 168 655 220 267 429 267 469 648 67 168 541 995 120 347 90 282 962 50 - 731 99 363 - 720 - 550 346 844 - 814 617 - 94 - 168 - 761 786 - 167 283 139 135 834 528 812 940 799 415 - 434 - 956 563 - 790 - 872 - 684 - 506 471 - 436 161 517 555 836 335 558 943 1 109 2 581 1 941 2 034 2 265 2 894 60 95 831 617 985 993 40 394 199 796 25 27 536 664 902 821 123 704 412 - 872 97 - 139 - 179 335 400 397 - 724 - 107 380 - 295 - 432 939 - 978 474 - 22 79 85 709 158 237 514 97 - 201 - 648 - 821 - 126 620 - 38 276 876 - 328 599 - 414 - 425 527 416 480 75 516 955 1 703 2 970 - 184 3 247 2 548 2 432 72 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Somas e subtrações, nível médio. 3 666 8 054 7 584 7 482 8 463 7 876 4 868 469 6 666 4 144 9 657 4 467 5 090 7 257 8 185 2 674 - 6 525 8 858 - 2 201 4 969 - 420 5 672 5 793 2 724 - 3 101 3 622 - 8 257 1 181 - 4 890 - 914 6 603 562 9 674 885 9 702 5 761 591 - 6 849 - 9 121 - 2 934 - 5 808 1 687 6 674 - 4 378 9 372 7 033 9 945 2 294 4 367 1 357 40 664 21 064 40 768 8 791 39 243 9 933 359 153 9 002 5 308 3 519 9 101 2 915 853 1 595 5 450 7 758 1 938 6 174 9 151 - 9 008 - 7 654 - 7 210 3 036 2 279 5 133 5 676 8 777 - 4 889 4 142 8 926 5 366 7 486 2 641 - 4 945 6 478 3 486 915 1 601 6 987 7 290 2 477 - 2 560 - 4 393 - 8 476 - 9 225 - 1 688 - 3 959 3 686 - 504 6 467 2 158 1 849 1 714 5 283 34 963 27 039 10 304 19 425 20 820 1 951 6 687 9 558 3 178 5 648 4 149 2 093 8 693 5 124 3 368 9 395 4 002 961 1 378 9 680 1 778 - 5 681 3 685 7 359 - 7 203 6 554 - 717 - 4 437 - 7 504 - 7 820 - 1 224 6 829 9 693 - 2 623 6 615 7 054 1 975 2 031 4 314 2 209 3 806 1 926 6 455 - 6 249 - 8 025 9 410 - 4 404 - 7 307 5 524 2 062 9 600 2 619 8 589 9 131 9 445 52 473 15 329 37 921 19 632 15 979 6 433 3 742 153 8 045 5 612 9 053 7 421 6 529 3 071 5 641 4 837 837 3 276 6 363 6 193 - 9 982 9 424 - 1 602 5 771 - 8 409 - 5 208 - 9 691 5 033 8 275 6 740 - 7 182 2 827 8 432 - 8 688 - 6 765 8 106 5 473 3 870 5 290 2 726 - 2 640 - 9 613 4 732 1 428 - 7 826 8 356 9 948 922 7 527 3 257 1 801 5 641 3 930 7 392 2 318 13 574 26 009 35 275 44 474 9 487 75 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 8 137 7 458 3 821 2 164 9 401 3 012 2 470 5 963 7 903 5 874 5 117 904 6 419 9 257 7 536 - 2 287 - 9 472 - 8 480 - 3 860 - 3 156 - 6 588 574 - 9 099 - 8 545 501 - 3 584 - 3 052 8 300 5 710 - 9 323 8 964 672 5 210 917 8 963 1 968 4 703 3 054 787 8 166 4 379 - 550 7 847 3 364 941 8 095 6 126 1 004 7 967 7 894 27 213 9 833 24 039 25 664 36 797 2 505 829 8 168 7 021 8 633 9 293 8 420 9 882 2 317 2 566 5 766 5 311 5 483 7 260 1 527 9 768 3 350 9 882 - 6 816 - 9 287 4 973 - 1 512 1 384 - 4 882 - 3 072 4 784 - 6 620 6 509 8 845 - 379 3 945 4 836 5 292 1 718 4 558 - 1 600 - 7 682 3 349 8 106 - 4 683 - 7 969 - 5 084 - 6 175 5 205 - 1 968 8 013 1 855 4 225 9 317 5 776 39 478 3 703 47 999 38 091 3 671 8 118 977 6 327 3 704 3 672 4 686 6 788 1 915 3 821 1 752 6 391 6 028 1 935 248 3 923 - 5 086 8 722 - 1 393 3 610 9 973 8 479 1 282 2 871 - 2 971 - 8 901 2 930 - 5 129 - 8 433 9 536 - 8 320 8 991 1 736 5 496 7 780 3 193 1 193 - 4 120 - 8 514 2 602 - 8 933 - 2 347 2 002 4 690 - 7 026 - 1 788 4 649 7 999 6 801 612 1 444 38 004 26 285 11 695 21 916 - 3 985 1 807 9 121 2 755 8 020 621 6 751 1 060 1 938 3 460 3 361 7 280 5 577 1 193 3 206 682 5 497 - 9 631 - 1 367 2 775 - 5 509 - 4 504 3 847 - 1 680 - 3 215 - 8 692 - 8 642 8 556 9 453 3 722 1 045 9 059 288 7 297 8 279 8 927 1 746 5 395 - 2 325 - 1 028 2 257 - 8 316 - 2 762 1 235 - 3 050 3 617 7 407 5 310 5 769 4 842 7 845 18 085 26 761 24 268 27 011 14 154 76 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 2 864 9 937 585 6 335 1 208 2 624 2 814 8 145 3 905 4 700 9 477 8 341 3 871 3 173 2 480 - 9 259 3 026 - 679 7 217 1 987 1 828 - 6 274 1 604 - 5 010 - 5 086 409 - 9 585 6 089 - 9 639 8 576 5 838 2 765 4 786 3 312 1 360 2 454 7 661 4 556 662 - 5 120 9 529 3 793 8 724 - 4 047 1 760 7 892 2 712 6 761 9 708 7 387 33 656 25 190 44 442 15 616 19 252 6 589 9 935 9 558 7 569 3 982 9 312 6 376 2 123 2 917 1 575 1 710 3 262 1 948 1 670 3 759 - 7 143 6 680 - 8 218 - 209 3 942 - 2 314 402 3 796 5 306 - 6 833 4 179 5 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3 532 7 172 3 828 7 896 8 028 6 469 8 344 3 105 4 028 - 5 799 7 108 6 743 4 127 - 3 947 3 496 8 645 8 496 - 7 942 679 365 9 453 - 5 869 5 832 3 311 1 685 4 054 1 572 - 5 407 - 6 762 9 062 4 010 9 951 4 484 - 9 777 9 207 1 325 - 4 732 6 827 4 803 1 114 171 6 631 22 598 9 241 36 131 45 130 48 157 3 462 1 403 2 366 2 919 5 491 9 114 3 956 6 291 4 337 5 926 6 812 7 901 6 142 8 157 553 3 266 3 888 9 638 - 7 176 8 138 - 4 392 6 414 1 345 - 1 568 - 4 060 - 9 647 1 554 3 163 - 8 407 - 8 250 931 2 688 9 126 1 608 1 660 7 274 - 8 267 6 717 - 7 198 - 9 213 - 5 869 - 1 989 5 469 5 237 - 2 978 5 311 9 769 551 2 360 8 347 16 262 27 317 50 808 269 5 614 9 757 9 931 1 918 9 818 6 106 7 063 9 841 3 115 5 532 6 753 1 040 480 3 174 2 675 5 983 - 1 936 - 4 128 - 9 590 5 213 - 6 404 3 427 8 630 - 1 200 - 2 539 3 825 142 6 363 9 304 3 696 5 674 1 675 6 633 1 510 9 193 895 - 5 141 - 8 347 - 3 676 3 171 - 5 034 - 5 547 - 5 257 - 8 145 4 016 - 4 246 2 217 8 089 1 525 2 808 7 991 12 697 32 235 - 2 065 43 583 21 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108 - 202 932 761 050 - 650 898 - 810 194 742 397 625 744 794 345 975 193 255 999 755 294 59 084 97 546 147 943 590 382 698 590 3 069 772 1 891 624 2 147 614 4 090 689 5 004 732 87 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban 276 705 673 084 132 458 355 537 604 331 996 470 157 543 40 404 32 601 121 786 218 842 - 879 764 841 483 - 438 535 - 169 984 984 021 594 605 - 711 707 360 131 672 230 583 639 998 219 - 754 850 - 248 796 - 567 267 482 506 19 108 - 534 707 994 323 - 975 284 38 870 - 369 559 - 259 915 - 910 765 570 228 628 666 - 222 685 - 507 175 - 377 849 803 492 956 083 955 564 940 501 936 566 828 894 472 751 416 448 981 799 953 216 821 790 5 638 553 2 342 563 168 291 1 656 429 2 710 216 231 364 504 824 111 753 278 261 431 360 211 216 985 166 641 734 439 920 209 278 339 280 - 79 636 159 662 128 188 116 908 752 994 - 852 813 - 900 127 712 473 679 916 627 998 - 205 276 - 370 297 - 905 528 210 954 769 132 792 478 - 221 311 390 105 597 359 405 756 - 618 851 43 020 - 941 453 641 396 216 701 - 372 612 268 921 - 307 464 803 792 813 977 883 178 574 491 266 106 801 535 596 213 330 356 101 356 854 426 415 843 4 964 631 1 366 814 409 202 915 034 4 908 341 321 446 767 848 708 540 952 465 55 183 839 814 237 470 882 963 671 483 456 946 158 792 781 196 207 468 - 280 034 - 32 260 - 279 938 - 24 815 153 991 125 192 901 748 960 241 192 313 976 570 955 380 - 872 259 514 362 - 799 105 - 892 649 60 988 987 539 27 519 - 21 875 635 054 43 708 448 217 - 25 404 668 117 - 333 676 - 826 903 432 667 - 124 321 814 910 377 115 36 778 176 340 113 143 107 588 93 823 871 321 354 824 2 505 654 2 723 647 2 809 199 2 610 378 2 908 945 - 497 958 - 929 004 567 264 647 052 - 134 662 286 768 257 105 270 388 813 651 504 323 637 255 937 092 418 180 689 899 - 15 679 510 972 - 818 539 598 936 - 987 981 - 36 556 854 369 - 832 093 - 623 145 192 455 24 003 - 232 623 55 022 - 259 182 - 601 663 - 37 298 822 036 - 739 192 918 164 433 799 745 364 823 989 63 084 - 13 887 787 965 - 399 015 607 407 - 111 479 877 595 324 078 324 927 - 768 247 - 638 080 913 499 722 146 651 716 3 043 968 - 2 756 084 3 667 812 3 021 401 1 627 123 90 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Multiplicações, nível principiante. 89 x 14 = 1 246 40 x 41 = 1 640 46 x 72 = 3 312 88 x 66 = 5 808 29 x 53 = 1 537 96 x 42 = 4 032 29 x 61 = 1 769 57 x 53 = 3 021 45 x 52 = 2 340 14 x 74 = 1 036 9 x 61 = 549 35 x 74 = 2 590 74 x 24 = 1 776 65 x 79 = 5 135 94 x 12 = 1 128 98 x 12 = 1 176 86 x 13 = 1 118 81 x 54 = 4 374 86 x 19 = 1 634 17 x 38 = 646 18 x 87 = 1 566 88 x 93 = 8 184 86 x 20 = 1 720 86 x 83 = 7 138 31 x 27 = 837 28 x 94 = 2 632 82 x 25 = 2 050 61 x 11 = 671 95 x 29 = 2 755 52 x 93 = 4 836 53 x 15 = 795 92 x 93 = 8 556 69 x 27 = 1 863 61 x 36 = 2 196 20 x 90 = 1 800 85 x 45 = 3 825 20 x 96 = 1 920 32 x 78 = 2 496 50 x 93 = 4 650 17 x 13 = 221 49 x 96 = 4 704 68 x 76 = 5 168 45 x 56 = 2 520 48 x 66 = 3 168 36 x 59 = 2 124 42 x 43 = 1 806 20 x 75 = 1 500 92 x 38 = 3 496 74 x 73 = 5 402 15 x 55 = 825 39 x 81 = 3 159 75 x 77 = 5 775 13 x 18 = 234 75 x 78 = 5 850 48 x 74 = 3 552 73 x 96 = 7 008 36 x 64 = 2 304 94 x 85 = 7 990 39 x 49 = 1 911 80 x 79 = 6 320 71 x 21 = 1 491 61 x 37 = 2 257 74 x 26 = 1 924 73 x 94 = 6 862 33 x 17 = 561 45 x 63 = 2 835 89 x 29 = 2 581 11 x 41 = 451 64 x 66 = 4 224 13 x 83 = 1 079 21 x 74 = 1 554 92 x 75 = 6 900 74 x 13 = 962 34 x 59 = 2 006 77 x 79 = 6 083 40 x 86 = 3 440 82 x 73 = 5 986 86 x 34 = 2 924 39 x 14 = 546 98 x 77 = 7 546 23 x 98 = 2 254 38 x 86 = 3 268 75 x 23 = 1 725 90 x 58 = 5 220 30 x 50 = 1 500 79 x 88 = 6 952 72 x 78 = 5 616 70 x 81 = 5 670 36 x 95 = 3 420 17 x 83 = 1 411 60 x 51 = 3 060 54 x 15 = 810 47 x 71 = 3 337 66 x 46 = 3 036 52 x 24 = 1 248 15 x 46 = 690 63 x 22 = 1 386 90 x 72 = 6 480 9 x 42 = 378 26 x 64 = 1 664 91 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Multiplicações, nível médio. 467 x 24 = 11 208 599 x 94 = 56 306 730 x 43 = 31 390 71 x 24 = 1 704 245 x 58 = 14 210 333 x 69 = 22 977 234 x 95 = 22 230 847 x 93 = 78 771 645 x 64 = 41 280 940 x 55 = 51 700 829 x 89 = 73 781 512 x 21 = 10 752 811 x 79 = 64 069 523 x 23 = 12 029 483 x 41 = 19 803 682 x 55 = 37 510 282 x 97 = 27 354 657 x 74 = 48 618 290 x 87 = 25 230 804 x 55 = 44 220 836 x 48 = 40 128 72 x 87 = 6 264 202 x 45 = 9 090 266 x 75 = 19 950 926 x 53 = 49 078 462 x 77 = 35 574 155 x 51 = 7 905 292 x 21 = 6 132 330 x 96 = 31 680 809 x 51 = 41 259 180 x 63 = 11 340 186 x 39 = 7 254 21 x 83 = 1 743 787 x 67 = 52 729 304 x 46 = 13 984 528 x 44 = 23 232 514 x 48 = 24 672 127 x 21 = 2 667 397 x 74 = 29 378 914 x 88 = 80 432 621 x 49 = 30 429 531 x 25 = 13 275 867 x 37 = 32 079 321 x 24 = 7 704 482 x 10 = 4 820 671 x 89 = 59 719 162 x 38 = 6 156 505 x 40 = 20 200 663 x 41 = 27 183 853 x 42 = 35 826 988 x 37 = 36 556 894 x 25 = 22 350 205 x 67 = 13 735 91 x 61 = 5 551 613 x 68 = 41 684 55 x 38 = 2 090 445 x 10 = 4 450 618 x 49 = 30 282 260 x 42 = 10 920 647 x 43 = 27 821 536 x 33 = 17 688 341 x 41 = 13 981 976 x 45 = 43 920 55 x 70 = 3 850 475 x 54 = 25 650 65 x 75 = 4 875 558 x 66 = 36 828 972 x 97 = 94 284 440 x 77 = 33 880 71 x 36 = 2 556 119 x 70 = 8 330 979 x 43 = 42 097 51 x 91 = 4 641 880 x 11 = 9 680 128 x 51 = 6 528 375 x 22 = 8 250 658 x 95 = 62 510 678 x 96 = 65 088 437 x 16 = 6 992 278 x 73 = 20 294 327 x 44 = 14 388 21 x 74 = 1 554 444 x 43 = 19 092 799 x 72 = 57 528 936 x 64 = 59 904 899 x 58 = 52 142 570 x 44 = 25 080 680 x 51 = 34 680 829 x 37 = 30 673 560 x 70 = 39 200 381 x 31 = 11 811 690 x 45 = 31 050 649 x 51 = 33 099 256 x 90 = 23 040 192 x 17 = 3 264 199 x 77 = 15 323 547 x 36 = 19 692 491 x 12 = 5 892 590 x 11 = 6 490 170 x 46 = 7 820 92 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Divisões, nível principiante. 761 / 8 = 95,125 570 / 5 = 114,000 193 / 7 = 27,571 838 / 7 = 119,714 992 / 7 = 141,714 469 / 3 = 156,333 11 / 4 = 2,750 670 / 8 = 83,750 403 / 7 = 57,571 474 / 3 = 158,000 859 / 7 = 122,714 997 / 2 = 498,500 352 / 8 = 44,000 623 / 6 = 103,833 723 / 5 = 144,600 443 / 6 = 73,833 418 / 5 = 83,600 668 / 8 = 83,500 899 / 7 = 128,429 242 / 3 = 80,667 226 / 7 = 32,286 63 / 5 = 12,600 463 / 4 = 115,750 464 / 3 = 154,667 745 / 2 = 372,500 665 / 2 = 332,500 453 / 9 = 50,333 687 / 7 = 98,143 73 / 4 = 18,250 596 / 9 = 66,222 281 / 5 = 56,200 430 / 7 = 61,429 422 / 3 = 140,667 778 / 7 = 111,143 137 / 9 = 15,222 79 / 6 = 13,167 687 / 7 = 98,143 94 / 4 = 23,500 702 / 2 = 351,000 932 / 4 = 233,000 926 / 3 = 308,667 112 / 9 = 12,444 948 / 8 = 118,500 96 / 5 = 19,200 753 / 9 = 83,667 927 / 8 = 115,875 444 / 6 = 74,000 86 / 6 = 14,333 240 / 4 = 60,000 82 / 4 = 20,500 322 / 8 = 40,250 955 / 7 = 136,429 146 / 3 = 48,667 413 / 5 = 82,600 426 / 6 = 71,000 320 / 8 = 40,000 301 / 2 = 150,500 249 / 8 = 31,125 257 / 5 = 51,400 32 / 9 = 3,556 147 / 6 = 24,500 695 / 5 = 139,000 258 / 2 = 129,000 65 / 6 = 10,833 369 / 3 = 123,000 34 / 3 = 11,333 789 / 7 = 112,714 789 / 9 = 87,666 256 / 9 = 28,444 478 / 4 = 119,500 247 / 5 = 49,400 542 / 5 = 108,4 898 / 4 = 224,500 305 / 6 = 50,833 569 / 9 = 63,222 603 / 8 = 75,375 227 / 2 = 113,500 540 / 9 = 60,000 365 / 3 = 121,666 123 / 5 = 24,600 846 / 8 = 105,750 969 / 6 = 161,500 654 / 9 = 72,666 874 / 3 = 291,333 666 / 7 = 95,142 254 / 7 = 36,285 478 / 2 = 239,000 569 / 4 = 142,250 554 / 6 = 92,333 595 / 5 = 119,000 302 / 4 = 75,500 598 / 6 = 99,666 300 / 6 = 50,000 555 / 8 = 69,375 730 / 2 = 365,000 980 / 5 = 196,000 269 / 5 = 53,800 308 / 7 = 44,000 56 / 9 = 6,222 999 / 8 = 124,875 95 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Divisões, nível médio. 782 / 19 = 41,158 381 / 13 = 29,308 155 / 53 = 2,925 550 / 21 = 26,190 454 / 90 = 5,044 13 / 31 = 0,419 764 / 9 = 84,889 383 / 70 = 5,471 363 / 53 = 6,849 396 / 80 = 4,950 611 / 86 = 7,105 295 / 47 = 6,277 927 / 56 = 16,554 352 / 53 = 6,642 96 / 31 = 3,097 686 / 33 = 20,788 477 / 26 = 18,346 398 / 14 = 28,429 492 / 54 = 9,111 531 / 54 = 9,833 646 / 69 = 9,362 163 / 75 = 2,173 416 / 61 = 6,820 698 / 23 = 30,348 825 / 63 = 13,095 541 / 87 = 6,218 59 / 65 = 0,908 71 / 80 = 0,888 979 / 20 = 48,950 544 / 27 = 20,148 916 / 75 = 12,213 569 / 71 = 8,014 806 / 50 = 16,120 451 / 90 = 5,011 677 / 33 = 20,515 612 / 98 = 6,245 998 / 18 = 55,444 925 / 19 = 48,684 478 / 86 = 5,558 25 / 21 = 1,190 378 / 72 = 5,250 75 / 76 = 0,987 442 / 80 = 5,525 588 / 28 = 21,000 490 / 59 = 8,305 596 / 75 = 7,947 339 / 32 = 10,594 358 / 19 = 18,842 470 / 77 = 6,104 887 / 20 = 44,350 298 / 71 = 4,197 94 / 70 = 1,343 320 / 48 = 6,667 103 / 88 = 1,170 498 / 73 = 6,822 482 / 94 = 5,128 496 / 27 = 18,370 48 / 26 = 1,846 357 / 98 = 3,643 321 / 20 = 16,050 147 / 23 = 6,391 369 / 69 = 5,347 365 / 54 = 6,759 145 / 47 = 3,085 578 / 78 = 7,410 478 / 55 = 8,690 654 / 14 = 46,714 555 / 60 = 9,250 233 / 69 = 3,376 621 / 15 = 41,400 259 / 55 = 4,709 151 / 32 = 4,718 201 / 21 = 9,571 220 / 65 = 3,384 759 / 32 = 23,718 984 / 92 = 10,695 147 / 15 = 9,800 760 / 48 = 15,833 998 / 78 = 12,794 829 / 43 = 19,279 855 / 14 = 61,071 884 / 25 = 35,360 554 / 91 = 6,087 320 / 14 = 22,857 698 / 30 = 23,266 333 / 17 = 19,588 993 / 68 = 14,602 970 / 26 = 37,307 981 / 47 = 20,872 994 / 34 = 29,235 452 / 55 = 8,218 639 / 56 = 11,410 223 / 60 = 3,716 338 / 97 = 3,484 189 / 14 = 13,500 251 / 43 = 5,837 509 / 19 = 26,789 784 / 52 = 15,076 200 / 67 = 2,985 554 / 16 = 34,625 96 Manual para uso do ábaco japonês Soroban http://es.geocities.com/abacosoroban Divisões, nível avançado. 92 986 / 213 = 436,554 53 834 / 639 = 84,247 21 788 / 580 = 37,566 29 388 / 596 = 49,309 99 134 / 505 = 196,305 53 199 / 616 = 86,362 59 026 / 731 = 80,747 48 222 / 917 = 52,587 29 925 / 786 = 38,073 41 278 / 996 = 41,444 78 226 / 404 = 193,629 21 773 / 194 = 112,232 8 882 / 355 = 25,020 53 907 / 857 = 62,902 22 282 / 621 = 35,881 47 796 / 627 = 76,230 18 249 / 516 = 35,366 70 736 / 369 = 191,696 91 356 / 893 = 102,302 33 387 / 326 = 102,414 41 352 / 302 = 136,927 96 791 / 128 = 756,180 72 204 / 918 = 78,654 10 831 / 626 = 17,302 59 545 / 213 = 279,554 23 226 / 296 = 78,466 61 927 / 487 = 127,160 4 300 / 788 = 5,457 24 504 / 979 = 25,030 34 569 / 532 = 64,979 32 223 / 733 = 43,960 75 719 / 638 = 118,682 21 108 / 244 = 86,508 74 110 / 144 = 514,653 53 010 / 882 = 60,102 28 280 / 602 = 46,977 38 257 / 438 = 87,345 3 420 / 475 = 7,200 73 928 / 939 = 78,731 23 113 / 105 = 220,124 63 991 / 765 = 83,648 61 952 / 900 = 68,836 86 037 / 268 = 321,034 27 090 / 547 = 49,525 60 895 / 169 = 360,325 18 216 / 305 = 59,725 60 339 / 905 = 66,673 28 939 / 973 = 29,742 83 550 / 515 = 162,233 37 507 / 971 = 38,627 58 759 / 221 = 265,878 12 142 / 738 = 16,453 40 158 / 953 = 42,139 86 791 / 99 = 876,677 99 697 / 333 = 299,390 95 924 / 136 = 705,324 93 591 / 618 = 151,442 20 092 / 409 = 49,125 54 831 / 551 = 99,512 12 920 / 876 = 14,749 26 255 / 265 = 99,075 21 428 / 548 = 39,102 41 378 / 478 = 86,564 72 747 / 655 = 111,064 14 784 / 589 = 25,100 68 078 / 749 = 90,891 57 695 / 699 = 82,539 5 940 / 978 = 6,073 92 569 / 675 = 137,139 70 259 / 523 = 134,338 53 042 / 116 = 457,258 91 890 / 443 = 207,426 28 779 / 735 = 39,155 43 059 / 701 = 61,425 38 998 / 749 = 52,066 13 264 / 855 = 15,513 49 460 / 594 = 83,265 58 428 / 461 = 126,741 82 263 / 483 = 170,316 88 414 / 337 = 262,356 34 512 / 815 = 42,346 25 312 / 123 = 205,788 83 725 / 123 = 680,691 75 081 / 809 = 92,807 24 113 / 301 = 80,109 93 134 / 473 = 196,900 72 619 / 479 = 151,605 82 623 / 829 = 99,665 40 123 / 126 = 318,436 54 611 / 632 = 86,409 72 360 / 349 = 207,335 77 128 / 310 = 248,800 51 177 / 177 = 289,135 91 113 / 901 = 101,124 68 792 / 262 = 262,564 70 168 / 117 = 599,726 35 936 / 954 = 37,668 82 129 / 677 = 121,313 72 127 / 103 = 700,262 91 687 / 638 = 143,710 97