Exercícios Resolvidos 2013 Superfícies Quádricas Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle

Exercícios Resolvidos 2013 Superfícies Quádricas Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle

(Parte 1 de 3)

GUIDG.COM – PG. 1

14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Superfícies Quádricas * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

1 – Revisão de conteúdo. 2 – Veja alguns exemplos gráficos de superfícies geradas a partir do computador. Partindo de exercícios mais simples, e seguindo até as formas mais complicadas.

Uma brevíssima revisão das equações e dos gráficos de superfícies:

Elipsóide:

f+ y2 f+ z2 c2 f=1

O sinais da equação são positivos. a, b e c são os eixos das elipses.

Centro C(h, k, l):

a2 f+ f+ z @l a2 c2 f=1

Hiperbolóide de uma folha:

Centro C(0, 0, 0). Um dos sinais é sempre negativo.

(1) + + -:

f+ y2 f@ z2 c2 f=1

(2) + - +:

f@ y2 f+ z2 c2 f=1

(3) - + +: @

f+ y2 f+ z2 c2 f=1

Hiperbolóide de duas folhas: Centro C(0, 0, 0).

Dois sinais são sempre negativos.

(1) + - -:

f@ y2 f@ z2 c2 f=1

(2) - + -: @

f+ y2 f@ z2 c2 f=1

(3) - - +: @

f@ y2 f+ z2 c2 f=1

GUIDG.COM – PG. 2

Parabolóide Elíptico:

Os sinais são iguais. ax, by, cz f+ y2 f =cz

f+ z2

c2 f=by f+ z2 f =ax

Parabolóide Hiperbólico (Sela): Os sinais são contrários.

f@ x2 f =cz

f@ x2

a2 f=by f@ y2 f =ax

Superfície Cônica: Equações semelhantes às do Elipsóide porem igualadas à zero.

O termo de sinal negativo indica o eixo dos cones.

(1) eixo z (fig. ao lado): x2 f+ y2 f@ z2 c2 f=0

z=0 , a = b, obtém-se uma superfície cônica circular. Mas se a ≠ b então obtém-se uma superfície cônica elíptica. O mesmo se aplica nas demais equações.

f+ y2 f+ z2

c2 f=0

(3) eixo y: x2 f@ y2 f+ z2 c2 f=0

GUIDG.COM – PG. 3 Superfície Cilíndrica:

O gráfico se auto explica, mas faremos algumas considerações

Imagine que você tenha uma equação de uma curva, então ela pode ser: uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, mas não limitando-se apenas à estas curvas. Esta equação é chamada de diretriz, porque realmente dará uma direção ao plano.

Imagine que as retas vermelhas estão avançando na direção (tanto faz o sentido) da curva azul, então elas estão gerando o plano, por isso são as geratrizes.

Se as retas se movessem muito rápido na direção da diretriz, então viríamos apenas o seu rastro formando um plano (figura ao lado).

Exemplos:

x2=2y

4 f+ z2

f=1

Superfícies degeneradas: Ainda existem casos onde os gráficos podem representar quádricas degeneradas, exemplos:

a) x² - 16 = 0; dois planos paralelos: x = 4 e x = -4 b) 3y² = 0; um plano: o plano y = 0 c) x² + 2y² = 0; uma reta: o eixo dos z. d) 2x² + 4y² + 5z² = 0; um ponto: a origem (0,0,0) e) 3x² + 2y² + z² = -3; o conjunto vazio.

(Exemplos do livro, pg;289, Observação.)

GUIDG.COM – PG. 4

Livro, pg. 289, 8.6 Problemas Propostos, exercício 01. Identificar as quádricas representadas pelas equações:

16 f [ x²8 f+ y²4 f+ z²

x = 0 , y²4 f+ z²

f=1
elipse: a = ±4 , b = ±2

y = 0 , x²8 f+ z²

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