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Observe que, efectivamente,

= b.

Exercıcios do livro adoptado Calculo I (vol. I): Ex. 2, 3,, 6 p.221; Ex. 7, 9, 10, 1, 13 p.2

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6.1 Logaritmos

Definicao: Chama-se logaritmo de b (b > 0) na base a (a positivo e a 6= 1) ao expoente a que e preciso elevar a base a para obter b, isto e,

Observe-se que: alogab = b e loga ay = y.

Logaritmo neperiano: se a base e e (numero de Neper) escrevemos ln em vez de log, ou seja, lnc = loge c.

4. loga c = logb c logb a (mudanca de base).

Exemplo: Usando algumas das propriedades acima referidas temos que:

log5

Quando e referida “funcao exponencial”sem especificar a base, subentende-se que a base e e (numero de Neper) e a funcao e dada por f(x) = ex.

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• A funcao e estritamente crescente em R e portanto injectiva.

• Nao tem zeros. O grafico intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).

• A funcao e estritamente decrescente em R e portanto injectiva.

• Nao tem zeros. O grafico intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).

Resolucao: Observe-se que a funcao exponencial e injectiva e nunca se anula. Assim,

Resolucao:

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(b) Comecemos por determinar os zeros do numerador e do denominador:

3 (pela injectividade)

Como a funcao exponencial de base maior do que 1 e crescente, podemos construir a seguinte tabela de variacao de sinal:

Assim, o conjunto solucao da inequacao dada e:

(c) Podemos por em evidencia o factor xex+1 para podermos aplicar a lei do anulamento do produto: x2ex+1 − xex+2 = xex+1(x − e)

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4. Determine a e b para que a expressao y = a + bx+1 defina uma funcao cujo grafico intersecte o eixo das ordenadas (y) no ponto de ordenada 7 e tenha por assımptota a recta de equacao y = 2.

A funcao que satisfaz as condicoes do problema e

xy 1 a y = loga x

• A funcao e estritamente crescente em R e portanto injectiva.

• A funcao tem um unico zero em x = 1. O grafico de g nao intersecta o eixo das ordenadas.

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xy 1a

• A funcao e estritamente decrescente em R e portanto injectiva.

• O grafico de g intersecta o eixo das abcissas no ponto (1,0) e nao intersecta o eixo das ordenadas.

2. Determine o conjunto solucao das condicoes:

Resolucao:

(a) Comecemos por observar que o domınio da expressao 2lnx − ln(x − 1) e

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x < 0 Sistematizada esta informacao num quadro de sinal, temos:

3. Caracterize a inversa das funcoes definidas por:

(Note-se que o grafico de f obtem-se a partir de uma translacao do grafico da funcao exponencial segundo o vector (1,2).) Para determinar a expressao da inversa vamos resolver a equacao y = 2 + ex−1 em ordem a x:

Assim, a inversa de f e f−1 definida por:

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e o seu contradomınio e CDg = R. Para determinar a expressao da inversa vamos resolver a equacao y = log10 (2 − x) em ordem a x:

Exercıcios Propostos

(a) Recorrendo a funcao derivada de g, mostre que g e decrescente.

(b) Tendo em conta a alınea anterior e o valor de g(0),indique, justificando, se e verdadeira ou falsa a afirmacao: g(x) < 0,∀x ∈ R+.

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Pre-Calculo 2005 7 Func oes trigonometricas 7 Funcoes trigonometricas

Considerem-se dois eixos ortogonais Ox e Oy. Relativamente a este sistema de eixos coordenados, os angulos orientados tem uma posicao em que o vertice esta na origem das coordenadas e o lado origem coincide com o semi-eixo positivo Ox. Nestas condicoes, diz-se que o angulo e do 1o, 2o, 3o ou 4o quadrante conforme o lado extremidade se situe num daqueles quadrantes, respectivamente.

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