Pré calculo, Notas de estudo de Engenharia Biológica

Baixe Pré calculo e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Biológica, somente na Docsity! Pré-Cálculo Uma Revisão de Conceitos Matemáticos para as Cadeiras de Cálculo Departamento de Matemática Universidade de Aveiro Setembro de 2005 Pré-Cálculo 2005 Objectivos do Pré-Cálculo Este texto pretende dar aos alunos das disciplinas de Cálculo (I e II) uma visão genérica de algumas matérias, já estudadas anteriormente, e que consideramos serem pré-requisitos de Matemática para as disciplinas de Cálculo. Não pretendemos mais do que fornecer ao aluno a possibilidade de recordar, de uma forma rápida e fácil, alguns resultados que foram (ou não) sendo estudados em anos anteriores e que consideramos indispensáveis à percepção das matérias a leccionar. Não usamos grande detalhe na exposição dos resultados, mas preocupamo- -nos mais com a resolução de alguns exercı́cios que ajudem a recordar os conceitos estudados no ensino pré- -universitário. Ao longo do ano haverá provavelmente necessidade de outras revisões que aqui não puderam ser contempladas. Conscientes das dificuldades em Matemática, sentidas por grande número de alunos, procuraremos, deste modo, facilitar a sua integração no ensino superior. Para isso, é indispensável que da parte dos alunos haja vontade de aprender e alguma vontade de trabalhar. . . Para um melhor aprofundamento das matérias aqui afloradas, os alunos deverão consultar outros textos. Para além dos manuais do ensino secundário, sugerem-se, a tı́tulo de exemplo: 1. Iaci Malta, Sinésio Pesco e Hélio Lopes. Cálculo a Uma Variável, volumes I e II. Edições Loyola, 2002. 2. Jaime Carvalho e Silva. Princı́pios de Análise Matemática Aplicada. McGraw-Hill, 1994. Pode também consultar outra bibliografia conforme indicado nas Referências. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro i Pré-Cálculo 2005 1 Números e Cálculo 1 Números e Cálculo 1.1 Conjuntos de Números Notação Definição Exemplos N Números Naturais 1; 2; 3; . . . N0 Números Naturais e o Zero N0 = N ∪ {0} 0; 1; 2; 3; . . . Z Números InteirosZ = N0 ∪ {−n : n ∈ N} . . . ;−2;−1; 0; 1; 2; . . . Q Números Racionais Q = {a b : a, b ∈ Z ∧ b 6= 0 } dı́zimas finitas: −0, 6; 1 4 = 0, 25; 34, 8; 3; . . . dı́zimas infinitas periódicas: 0, 1(6) = 1 6 ; 0, (8) = 8 9 ; . . . R Números ReaisR = Q ∪ {x : x é número irracional} irracionais (ou dı́zimas infinitas não periódicas): π = 3.14159 . . . ; √ 7 = 2.645751 . . . C Números ComplexosC = {a + bi : a, b ∈ R, i2 = −1} 4− i; 3i; 5; . . . Nota: R+ = {x ∈ R : x > 0} =]0,+∞[ e R+0 = R+ ∪ {0} = [0,+∞[ R− = {x ∈ R : x < 0} =]−∞, 0[ e R−0 = R− ∪ {0} =]−∞, 0] 1.2 Condições Uma condição (numérica) é uma expressão que contém variáveis e que, para toda a concretização (substituição das variáveis por números), só admite um valor lógico, verdadeiro (V) ou falso (F). Chama-se condição univer- sal (c.univ.) a uma condição que é verdadeira para toda a concretização (p.e., x2 +1 > 0); chama-se condição impossı́vel (c.imp.) a uma condição que é falsa para toda a concretização. A partir de condições elementares (por exemplo, relações de igualdade, =, ou de ordem, <), constroem-se condições mais complicadas por conjunção (com o operador ∧, “e”) ou disjunção (com o operador ∨, “ou”). À conjunção de condições (∧) corresponde a intersecção de conjuntos solução (∩). À disjunção de condições (∨) corresponde a reunião de conjuntos solução (∪). Consequência disto são as seguintes leis. Seja C uma condição qualquer. Então, • C ∧ c.imp. e C ∧ F são c.imp. Exemplos: – x + 1 = 0 ∧ x2 + 1 = 0 – x + 1 = 0 ∧ 1 = 0 são c.imp.. • C ∨ c.univ. e C ∨ V são c.univ. exemplo: – x + 1 = 0 ∨ x2 + 1 > 0 e – x + 1 = 0 ∨ 1 > 0 são c.univ.. • C ∨ c.imp., C ∨ F, C ∧ c.univ. e C ∧ V são todas equivalentes a C. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 1 Pré-Cálculo 2005 1 Números e Cálculo 1.3 Módulo de um Número O módulo ou valor absoluto de um número real x é definido por |x| = { x se x ≥ 0 −x se x < 0 ou seja, é o valor não negativo que representa a distância desse número à origem da recta real. Exemplo: Por definição |x− 1| = { x− 1 se x− 1 ≥ 0 −(x− 1) se x− 1 < 0 = { x− 1 se x ≥ 1 −x + 1 se x < 1 Exercı́cios Propostos 1. Escreva, sem usar o sı́mbolo | |, os seguintes módulos: (a) |2x− 3| (b) 2|x + 4| (c) |x| − x3 2. Mostre que: (a) | − x| 6= x (b) |x2| = x2 = | − x2|, para todo x ∈ R 1.4 Operações com Fracções Propriedades Exemplos a b c d = ad bc ∧ d 6= 0 x−1 3x2 x3−2 8 = 8(x− 1) 3x2(x3 − 2) ab + ac a = b + c ∧ a 6= 0 3x senx− 5xe x2 x = 3 senx− 5ex 2 ∧ x 6= 0 ab + c a 6= b + c (x 2 + 1) cos x2 + ln(x4 − 5x) x2 + 1 6= cos x2 + ln(x4 − 5x) b + c a = b a + c a 2x−3 + cos x 3x2 + 5 = 2x−3 3x2 + 5 + cos x 3x2 + 5 a b + c 6= a b + a c x2 ex + x tanx 6= x 2 ex + x tanx a + c b + d 6= a b + c d 5−x + ln(x + 3) 5−x + x 6= 1 + ln(x + 3) x Exercı́cios Propostos Utilizando os sı́mbolos = ou 6=, e impondo as condições necessárias, preencha os espaços de forma a que a afirmação resultante seja verdadeira. Justifique a sua resposta. (a) ab + ac a . . . b + ac (b) a− b b− a . . . − 1 ∧ . . . (c) − (a + b) . . . − a + b (d) (a− b)− c . . . a− (b− c) (e) − a b . . . −a b ∧ . . . (f) a b c . . . a b c ∧ . . . Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 2 Pré-Cálculo 2005 1 Números e Cálculo 1.5 Potências au é uma potência de base a e expoente u A potência au não está definida para todo a, u ∈ R. Se a > 0, au está sempre bem definida e au ∈ R+. Se a = 0, a potência au só é válida se u ∈ R+ e au = 0u = 0. Por exemplo, 0−2 = 1 02 = 10 não tem significado. Se a < 0, a potência au nem sempre tem significado. Por exemplo, (−2) 5 2 = √ (−2)5 = √ −32. Sejam a, b ∈ R+ e sejam u, v ∈ R. Propriedades Exemplos a−u = 1 au 3−4 = 1 34 a 1 u = u √ a 7 1 5 = 5 √ 7 a v u = u √ av 2 3 4 = 4 √ 23 avau = av+u avau 6= avu 32 · 35 = 32+5 = 37 41 · 42 = 4 · 16 = 43 6= 41·2 = 42 (au)v = auv = (av)u (23)2 = 82 = 64 = 26 = 23·2 (22)3 = 43 = 64 aubu = (ab)u 52 · 62 = 302 av au = av−u 73 74 = 73−4 = 7−1(a b )u = au bu ( 3 5 )3 = 33 53 ATENÇÃO Exemplos √ a + b 6= √ a + √ b √ 9 + 16 = √ 25 = 5√ 9 + √ 16 = 3 + 4 = 7 √ a2 + b2 6= a + b √ 52 + 122 = √ 169 = 13 5 + 12 = 17 n √ an = |a|, se n é par 4 √ (−5)4 = | − 5| = 5 n √ an = a, se n é ı́mpar 3 √ (−5)3 = −5 NOTA: Se a < 0, as propriedades anteriormente descritas são apenas válidas se u = rs , com s um número ı́mpar. Por exemplo, se aplicarmos a 5a propriedade a ((−1)2) 1 2 = (−1)1 = −1; por outro lado, ((−1)2) 1 2 = 1 1 2 = 1. Exercı́cios Propostos 1. Prove, usando as propriedades anteriores, que a0 = 1, para todo a ∈ R \ {0} . Justifique porque é que 00 não está definido. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 3 Pré-Cálculo 2005 2 Polinómios 2.1.2 Regra de Ruffini A regra de Ruffini é um processo prático para a determinação dos coeficientes do quociente e do resto da divisão inteira de polinómios quando o divisor é da forma x− α, com α ∈ R. Veja-se a partir de um exemplo em que consiste a Regra de Ruffini. Considere a divisão de p(x) = 2x3 − 5x2 + 5 por d(x) = x + 1. 2 −5 0 5 −1 Na primeira linha colocam-se os coeficientes do dividendo. Escreve-se zero nos coeficientes nu- los. Na segunda linha coloca-se o valor de α = −1 2 −5 0 5 −1 ↓ 2 Transporta-se para a terceira linha o primeiro coeficiente do dividendo. É nesta linha que se obtém os coeficientes do polinómio quociente e do resto. 2 −5 0 5 −1 −2 × 2 Obtém-se o segundo coeficiente do quociente−7 multiplicando por α = −1 o primeiro coeficiente do quociente 2 e adicionando o resultado −2 ao segundo coeficiente do dividendo −5. 2 −5 0 5 −1 −2 7 −7 2 −7 7 −2 Repete-se o processo sucessivamente. O último número obtido é o resto da divisão, sendo os anteriores os coeficientes do quociente. Neste caso o resto é r(x) = −2 e o quociente é q(x) = 2x2 − 7x + 7. Exercı́cios Propostos Determine quociente e o resto da divisão inteira de (a) p(x) = x5 + 4x2 − 2 por d(x) = x2 + 2 (b) p(x) = x6 − 4x2 − 1 por d(x) = x3 − 1 (c) p(x) = x2 − 3x− 5 por d(x) = x− 2 (d) p(x) = x4 − 2x2 − 16 por d(x) = x + 2 2.2 Zeros de um Polinómio e Factorização Dado um polinómio p diz-se que β é um zero ou uma raiz de p se, ao substituir x por β, o polinómio anula-se, ou seja, p(β) = 0. Mostra-se que β é uma raiz de p se o resto da divisão de p por x− β é zero. A decomposição de um polinómio em factores consiste em escrever um polinómio como produto de factores. Se β é raiz do polinómio p então p pode decompor-se em factores da forma p(x) = (x− β)q(x), onde q(x) é o quociente da divisão inteira de p(x) por x− β. Existem vários processos para determinar zeros de um polinómio e a sua consequente decomposição. • Seja p(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R e a 6= 0. Os zeros deste polinómio existem (em R) se e só se b2 − 4ac ≥ 0 e são dados pela fórmula resolvente α = −b + √ b2 − 4ac 2a β = −b− √ b2 − 4ac 2a Nota: É usual denotar ∆ = b2 − 4ac. Caso existam os zeros, pode-se factorizar p do seguinte modo p(x) = a(x− α)(x− β). Exemplo: Seja p(x) = 3x2 − 3x− 18. Aplicando a fórmula resolvente, verifica-se que tem como zeros x = 3 + √ 32 − 4 · 3 · (−18) 2 · 3 = 3 e x = 3− √ 32 − 4 · 3 · (−18) 2 · 3 = −2. Assim, p(x) = 3(x− 3)(x + 2). Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 6 Pré-Cálculo 2005 2 Polinómios • Existem certos polinómios de grau 2 que são mais fáceis de factorizar aplicando os casos notáveis da multiplicação. Exemplo: Aplicando os casos notáveis pode-se decompor os seguintes polinómios p(x) = 2x2 − 25 = (√ 2x )2 − 52 é a diferença entre os quadrados de √ 2x e 5 = (√ 2x− 5 )(√ 2x + 5 ) t(x) = 9x2 − 24x + 16 = (3x)2 − 2 · 3x · 4 + 42 é o quadrado da diferença entre 3x e 4 = (3x− 4)2 a(x) = 4x2 + 4 √ 5x + 5 = (2x)2 + 2 · 2x · √ 5 + (√ 5 )2 é o quadrado da soma de 2x com √ 5 = (2x + √ 5)2 • Seja p(x) = anxn + · · · + a1x + a0, n ∈ N. A regra de Ruffini pode ser usada para determinar o valor de α tal que o resto da divisão inteira de p por x− α seja nulo. Regra prática Suponha-se que p tem todos os coeficientes inteiros, ou seja, ai ∈ Z Então, se tiver um zero da forma α = β γ , tal que β ∈ Z e γ ∈ N β é divisor de a0 e γ é divisor de an. Donde p(x) = (x− α)q(x), onde q(x) é o quociente da divisão. Exemplo: Considere-se p(x) = x3 − 3x2 + x + 1. De acordo com a regra prática, como a3 = 1 ⇒ β = 1 ∨ β = −1 a0 = 1 ⇒ γ = 1 os possı́veis candidatos a raı́zes são 1 e −1. Começa-se por experimentar. 1 −3 1 1 −1 −3 6 −7 1 −6 7 −6 Como o resto é não nulo, −1 não é zero de p. Resta experimentar α = 1 1 −3 1 1 1 1 −2 −1 1 −2 −1 0 Donde 1 é zero de p e p(x) = (x− 1)(x2 − 2x− 1). Além disso, pela fórmula resolvente, sabe-se que x2 − 2x− 1 = 0 ⇔ x = 1 + √ 2 ∨ x = 1− √ 2, o que quer dizer que x2 − 2x− 1 = ( x− 1− √ 2 ) ( x− 1 + √ 2 ) . Logo p(x) = (x− 1) ( x− 1− √ 2 )( x− 1 + √ 2 ) . • Outro processo baseia-se na existência de factores comuns em todos os monómios que compõem o polinómio. Se tais factores existirem, podem-se colocar em evidência. Exemplo 1: Seja p(x) = −8x3 + 16x2. Repare-se que 8x2 é um factor comum a todos os monómios que constituem o polinómio, ou seja, é um factor comum a −8x3 e a 16x2. Donde p(x) = 8x2(−x + 2) Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 7 Pré-Cálculo 2005 2 Polinómios Exemplo 2: Seja t(x) = 2x2 − 2 + x3 − x. Poderia-se tentar aplicar a regra de Ruffini. Mas repare-se 2x2 − 2 + x3 − x = 2(x2 − 1) + x(x2 − 1) Donde existe um factor x2 − 1 comum às duas parcelas. Logo t(x) = (x2 − 1)(2 + x) E como x2 − 1 = (x− 1)(x + 1), tem-se que t(x) = (x− 1)(x + 1)(2 + x). Exercı́cios Propostos Factorize os seguintes polinómios (a) x2 − 3x + 2 (b) 52x2 − 10x3 − 48x (c) x3 − 7x2 + 3x + 3 (d) x 2 36 − 9 2.3 Simplificação de Expressões O domı́nio das expressões é o maior subconjunto de R onde a expressão tem significado. O domı́nio da expressão inicial deve ser igual ao domı́nio da expressão obtida após simplificação. Para tal é, por vezes necessário, acrescentar condições às variáveis envolvidas na expressão. Considerem-se alguns exemplos de simplificação de expressões e racionalização de denominadores. Exemplo 1: Pelas propriedades das potências tem-se que( x4 3y3 )−2 = ( 3y3 x4 )2 = 32(y3)2 (x4)2 = 9y6 x8 ∧ y 6= 0 Acrescentou-se a condição y 6= 0 porque o domı́nio da expressão 9y 6 x8 é x 6= 0 e o domı́nio da expressão inicial é y 6= 0 (encontra-se no denominador de uma fracção) e x 6= 0 (uma potência com expoente negativo não pode ter base nula). A igualdade das expressões apenas é válida se y 6= 0 e x 6= 0. Exemplo 2: Novamente pelas propriedades das potências, 3 √ 23a6 b3 = 3 √ 23 3 √ a6 3 √ b3 = 2a2 b Repare-se que o domı́nio das expressões, inicial e final, é b 6= 0, daı́ que não seja necessário acrescentar nenhuma condição às variáveis para que a igualdade entre as expressões seja válida. Exemplo 3: Para simplificar a expressão x x2 − 1 + 2x + 3 2x + 2 − 1 2x− 2 reduzem-se todas as fracções ao mesmo denominador. Para isso é necessário factorizar os denominadores. Sabe-se que x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), 2x − 2 = 2(x − 1) e 2x + 2 = 2(x + 1). Pode-se reduzir todas as fracções a fracções equivalentes com denominador 2(x2 − 1). Assim x x2 − 1 + 2x + 3 2x + 2 − 1 2x− 2 = 2x 2(x2 − 1) + (2x + 3)(x− 1) 2(x2 − 1) − (x + 1) 2(x2 − 1) = 2x + (2x + 3)(x− 1)− (x + 1) 2(x2 − 1) Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 8 Pré-Cálculo 2005 3 Equações 3 Equações Notação Definição Exemplos Equação é uma igualdade onde figura pelo menos uma variável 3x− 5 = 4 2x = −8 ln y2 + 2x2 = 2x Equação Polinomial é uma igualdade entre polinómios 3x− 5 = 4 x2 − 5 = 4x Solução ou Raiz da Equação é um valor que, quando concretizado na variável, transforma a equação numa proposição verdadeira −1 é solução de x2 − 5 = 4x pois (−1)2 − 5 = 4 · (−1) Conjunto Solução é o conjunto de todas as soluções {−1, 5} é o conjunto solução de x2 − 5 = 4x Equações Equivalentes são equações com o mesmo conjunto solução 3x− 5 = 4 e 3x = 9 são equivalentes Equação Impossı́vel não tem nenhuma solução 2x = −8 é uma equação impossı́vel Equação Possı́vel admite pelo menos uma solução x2 − 5 = 4x é uma equação possı́vel Resolver uma Equação é encontrar todas as soluções aplicar a fórmula resolvente resolve x2 − 5 = 4x Serão recordados apenas métodos simples de resolver equações polinomiais do 1o e do 2o grau ou equações que podem ser simplificadas para equações desse tipo. Chama-se grau de uma equação polinomial ao maior expoente das potências de x que surge na equação, após simplificação. 3.1 Equação do 1o Grau Equação do 1o grau Toda a equação que, depois de simplificada, tem a forma ax = b, com a, b ∈ R e a 6= 0. O seu conjunto solução é { b a } . NOTA: Se após simplificação, a equação for do tipo 0x = b então o conjunto solução, em R, é ∅ se b 6= 0; se b = 0, então o conjunto solução é R Exemplo: Considere-se a equação 2(x + 1) 3 − x + 2 4 = 2x Simplificando, e atendendo ao quadro anterior, conclui-se que 2(x + 1) 3 − x + 2 4 = 2x ⇔ 8(x + 1) 12 − 3(x + 2) 12 = 12(2x) 12 ⇔ 8(x + 1)− 3(x + 2) = 12(2x) ⇔ 8x + 8− 3x− 6 = 24x ⇔ 8x− 3x− 24x = −8 + 6 ⇔ −19x = −2 ⇔ x = −2 −19 = 2 19 . Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 11 Pré-Cálculo 2005 3 Equações Exercı́cios Propostos Resolva, em R, as seguintes equações. (a) x + 10 4 = 5− x (b) 3 (x 2 + 1 ) = x− 2(1− x) (c) 4− 10x + 1 6 = 4x− 16x + 3 4 (d) ( x + 1 3 ) − 4 5 x = 2 ( 1− x 6 ) 3.2 Equações do 2o grau Equação do 2o grau Toda a equação que, depois de simplificada, tem a forma ax2 + bx + c = 0, com a, b, c ∈ R e a 6= 0 Recorde-se que ∆ = b2 − 4ac. Casos Possı́veis Conjunto Solução em R ∆ < 0 ∅ ∆ = 0 { − b 2a } ∆ > 0 { −b + √ b2 − 4ac 2a , −b− √ b2 − 4ac 2a } Exemplo: Pretende-se determinar o conjunto solução, em R, da equação x(x + 1) + 7 = 3− 3x Para a resolver a equação deve-se, em primeiro lugar, simplificá-la. x(x + 1) + 7 = 3− 3x ⇔ x2 + x + 7 = 3− 3x ⇔ x2 + x + 7− 3 + 3x = 0 ⇔ x2 + 4x + 4 = 0 Trata-se de uma equação do 2o grau. Como ∆ = 42 − 4 · 1 · 4 = 0, sabe-se que a equação admite uma única solução que é x = −4 2 = −2. Exercı́cios Propostos Determine o conjunto solução, em R, das seguintes equações. (a) 4x2 − 3x = 0 (b) 1 + (x + 2)(x− 4) = x (c) x2 − 4 12 + x2 + 4 8 = 1 (d) (x− 1)2 + (x + 3)2 = 0 3.3 Equações com Radicais Resolução de equações com radicais do tipo √ f(x) • Primeiro deve-se isolar os radicais. • De seguida elevam-se ambos os membros ao quadrado. Ao fazer esta operação pode-se não obter uma equação equivalente à inicial pois podem ser introduzidas novas soluções. • Por fim, e depois de obter as soluções da nova equação, verifica-se se estas satisfazem a equação inicial. • Não esquecer que o domı́nio da expressão é f(x) ≥ 0. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 12 Pré-Cálculo 2005 3 Equações Exemplo: Pretende-se resolver a equação √ 5x− 9 = x − 3. Elevando ambos os membros ao quadrado obtém-se √ 5x− 9 = x− 3 ⇒ (√ 5x− 9 )2 = (x− 3)2 ⇔ 5x− 9 = x2 − 6x + 9 ⇔ x2 − 6x− 5x + 9 + 9 = 0 ⇔ x2 − 11x + 18 = 0 ⇔ x = 9 ∨ x = 2 Resta verificar se as soluções obtidas satisfazem a equação dada. Para x = 2, √ 5 · 2− 9 = 2− 3 ⇔ 1 = −1. Donde 2 não é solução da equação inicial. Para x = 9, √ 5 · 9− 9 = 9− 3 ⇔ 6 = 6. Logo a única solução da equação dada é x = 9. Nota: Repare-se que coloca-se o sinal de implicação ⇒ quando se eleva ao quadrado ambos os membros porque, tal como foi dito anteriormente, pode-se estar a acrescentar soluções, e portando não se obtêm equações equivalentes. Também por isso não é necessário escrever domı́nios iguais. Exercı́cios Propostos Resolva, em R, as seguintes equações. (a) √ 7− x = x− 5 (b) √ x3 = √ x (c) x + √ 4x + 1 = 5 (d) √ x + √ x + 8 = 2 √ x 3.4 Equações com Módulos Resolução de equações tipo |f(x)| = g(x) |f(x)| = g(x) ⇔ [ f(x) = g(x) ∨ f(x) = −g(x) ] ∧ g(x) ≥ 0 NOTA: se g(x) < 0, a equação |f(x)| = g(x) é impossı́vel . Exemplo 1: Pretende-se determinar o conjunto solução da equação |x− 3| = 8. |x− 3| = 8 ⇔ (x− 3 = 8 ∨ x− 3 = −8) ∧ 8 ≥ 0︸ ︷︷ ︸ V ⇔ x = 11 ∨ x = −5 Recorde-se que V ∧ C ⇔ C, qualquer que seja a condição C. Logo o conjunto solução é {−5, 11}. Exemplo 2: Considere-se a equação |5x + 4| = −2. É fácil verificar que se trata de uma equação impossı́vel pois uma distância nunca pode ser negativa. De facto, |5x + 4| = −2 ⇔ (5x + 4 = −2 ∨ 5x + 4 = 2) ∧ −2 ≥ 0︸ ︷︷ ︸ F pois F∧C ⇔ F, qualquer que seja a condição C. Donde a equação é impossı́vel e, portanto, o conjunto solução é ∅. Exemplo 3: Pretende-se determinar o conjunto solução da equação |2x− 1| = 3x + 4. Sabe-se que |2x− 1| = 3x + 4 ⇔ [ 2x− 1 = 3x + 4 ∨ 2x− 1 = −(3x + 4) ] ∧ 3x + 4 ≥ 0 ⇔ (2x− 3x = 4 + 1 ∨ 2x + 3x = −4 + 1) ∧ 3x + 4 ≥ 0 ⇔ ( x = −5 ∨ x = −3 5 ) ∧ x ≥ −4 3 ⇔ x = −3 5 Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 13 Pré-Cálculo 2005 3 Equações Exercı́cios Propostos Determina, em R, o conjunto solução das seguintes equações. (a) 2x + 7 3 − 2(x 2 − 4) 5x − 4x 4 − 6 15x = 7x2 + 6 3x2 (b) 4x + 3 2x− 5 − 3x + 8 3x− 7 = 1 (c) 3 2 − 6x 2 9x2 − 1 = 2 3x− 1 (d) x− 2( 2x− 32 )2 − 1 = x (e) √ x + 4√ x = 5 (f) (x− √ 2)2 ( x− 110 ) (x + √ 17) x4 + 2x2 + 1 = 0 Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 16 Pré-Cálculo 2005 4 Inequações 4 Inequações Notação Definição Exemplos Inequação indica uma relação de maior que (menor que) entre duas expressões 3x− 5 ≤ 4 x2 + 2 > 2x cos x ex 2 + 2 ≥ x Solução ou Raiz da Inequação é um valor que, quando concretizado na variável, transforma a inequação numa proposição verdadeira 1 é solução de 3x− 5 ≤ 4 pois 3 · 1− 5 ≤ 4 Conjunto Solução é o conjunto de todas as soluções o conjunto solução de 3x− 5 ≤ 4 é ]−∞, 3] Inequações equivalentes têm o mesmo conjunto solução 3x− 5 ≤ 4 e 3x ≤ 9 são equivalentes Regras Práticas Exemplos Quando se adiciona a ambos os membros de uma inequação qualquer número o sentido da desigualdade mantém-se . x + 3 ≥ 7 x + 3− 3 ≥ 7− 3 ⇔ x ≥ 4 Quando se multiplicam ambos os membros de uma inequação por um número positivo o sentido da desigualdade mantém-se. 3x ≥ 9 ⇔ ( 1 3 ) 3x ≥ ( 1 3 ) 9 ⇔ x ≥ 3 Quando se multiplicam ambos os membros de uma inequação por um número negativo inverte-se o sentido da desigualdade. −2x ≥ 10 ⇔ ( −1 2 ) (−2x) ≤ ( −1 2 ) 10 ⇔ x ≤ −5 4.1 Inequações do 2o grau O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0, é uma parábola. Se a < 0 então a concavidade da parábola é voltada para baixo. Se a > 0 então a concavidade é voltada para cima. Resolver a inequação ax2 + bx + c > 0 é determinar os valores de x para os quais a função f é positiva, isto é, o gráfico da função fica acima do eixo dos xx. Analogamente, resolver a inequação ax2 + bx + c < 0 é determinar os valores de x para os quais a função é negativa, ou seja, o gráfico da função fica abaixo do eixo dos xx. As soluções deste tipo de inequações dependem do valor de a e da posição do vértice da parábola correspon- dente à inequação tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vértice é dada por yv = − ∆ 4a e a abcissa é xv = − b 2a . Caso a > 0 (concavidade para cima) ∆ yv Gráfico Zeros Exemplos Conjunto Solução > 0 < 0 2 2x2 − 2x− 12 ≥ 0 ]−∞,−2] ∪ [3,+∞[ = 0 = 0 1 x2 − 10x + 25 ≤ 0 {5} < 0 > 0 0 4x2 + x + 7 > 0 R Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 17 Pré-Cálculo 2005 4 Inequações Caso a < 0 (concavidade para baixo) ∆ yv Gráfico Zeros Exemplos Conjunto Solução > 0 > 0 2 −2x2 + 4x + 6 > 0 ]− 1, 3[ = 0 = 0 1 −x2 + 16x− 64 < 0 R \ {8} < 0 < 0 0 −5x2 + 5x− 15 ≥ 0 ∅ Exercı́cios Propostos 1. Determine o menor número natural que verifica a condição x− 3 4 − x 2 + 5 4 < 2x2 3 + 10. 2. Determine, em R, o conjunto solução das seguintes inequações (a) ( x− 1 2 ) (3− x) < 0 (b) x2 − 12x + 27 ≤ 0 (c) x2 ≥ x (d) (x− 1)2 − 7 (x− 2)2 ≤ 0 4.2 Inequações com módulos Resolução de inequações do tipo |f(x)| < g(x) |f(x)| < g(x) ⇔ [ f(x) < g(x) ∧ f(x) > −g(x) ] ∧ g(x) > 0 Nota: Se g(x) ≤ 0 então a inequação é impossı́vel. Exemplo 1 Considere-se a inequação |5x + 2| ≤ 0. Então |5x + 2| ≤ 0 ⇔ 5x + 2 ≤ 0 ∧ 5x + 2 ≥ 0 ∧ 0 ≥ 0︸ ︷︷ ︸ V Recorde-se que C ∧ V⇔ C, qualquer que seja a condição C e, além disso, 5x + 2 ≤ 0 ∧ 5x + 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ 5x + 2 ≤ 0 ⇔ 5x + 2 = 0. Logo a solução é 5x + 2 = 0 ⇔ x = −2 5 . Exemplo 2 Seja |x2 − x| ≤ 2x− 3. |x2 − x| ≤ 2x− 3 ⇔ [ x2 − x ≤ 2x− 3 ∧ x2 − x ≥ −(2x− 3) ] ∧ 2x− 3 ≥ 0 ⇔ ( x2 − x− 2x + 3 ≤ 0 ∧ x2 − x + 2x− 3 ≥ 0 ) ∧ 2x ≥ 3 ⇔ ( x2 − 3x + 3 ≤ 0 ∧ x2 + x− 3 ≥ 0 ) ∧ x ≥ 3 2 As duas primeiras inequações são do 2o grau. Pode-se usar o raciocı́nio visto anteriormente. Repare-se que f(x) = x2 − 3x + 3 não admite zeros (∆ = −3 < 0) e tem a concavidade voltada para cima (a = 1 > 0), o que permite concluir que o seu gráfico está sempre acima do eixo dos xx, ou seja, x2−3x+3 ≤ 0 é uma condição impossı́vel. Como F ∧ C ⇔ F, qualquer que seja a condição C, temos que a inequação dada é impossı́vel, ou seja, o seu conjunto solução é ∅. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 18 Pré-Cálculo 2005 4 Inequações Os valores que se têm de colocar nas colunas são os valores para os quais cada factor se anula, por ordem crescente. Os factores anulam-se para 4 e −1, respectivamente. Assinala-se o sinal que cada factor toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma −1 4 x− 4 − −5 − 0 + x + 1 − 0 + 5 + (x− 4)(x + 1) + 0 − 0 + A última linha é preenchida atendendo à regra dos sinais. Regra dos Sinais Um produto é positivo se o número de factores negativos é par Um produto é negativo se o número de factores negativos é ı́mpar Assim (x− 4)(x + 1) > 0 ⇔ x < −1 ∨ x > 4, ou seja, o conjunto solução da inequação é ]−∞,−1[∪]4,+∞[. Se se pretende resolver a inequação (x− 4)(x + 1) ≤ 0, basta observar de novo o quadro e concluir que (x− 4)(x + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4 Exemplo 2 Considere-se a seguinte inequação x− 3 4− x ≤ 1 Tem que se colocar o segundo membro da inequação a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressões. x− 3 4− x ≤ 1 ⇔ x− 3 4− x − 1 ≤ 0 ⇔ x− 3 4− x − 4− x 4− x ≤ 0 ⇔ x− 3− 4 + x 4− x ≤ 0 ⇔ 2x− 7 4− x ≤ 0 Aplicando a tabela descrita no exemplo anterior, os factores anulam-se para 7 2 e 4, respectivamente. Assim a tabela tem a forma 7 2 4 2x− 7 − 0 + 1 + 4− x + 12 + 0 − 2x−7 4−x − 0 + S/S − Note-se que, quando x = 4, o denominador anula-se e a inequação não faz sentido e, por isso, é usual escrever- se S/S, que significa Sem Significado. Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fracção. Assim o conjunto solução é ] −∞, 7 2 ] ∪]4,+∞[. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 21 Pré-Cálculo 2005 4 Inequações Exercı́cios Propostos 1. Determine, em R, o conjunto solução das seguintes inequações (a) 1 x− 2 − 3 x + 1 ≥ 0 (b) x(x− 1) x(x + 2) ≤ −3 (c) x + 2 x + 8 > x− 2 x + 3 (d) x + 3 3 − 4 x + 2 < x 3 (e) 1 x2 + x ≥ 1 x2 − x − 1 x2 − 1 (f) 5 3x− 1 + 20 9x2 − 1 < 2 3x− 1 (g) x− 1 x + 4 ≤ x− 5 x− 1 2. Exercı́cio 3 das páginas 58 e 59 do livro adoptado: Cálculo I (vol. I). Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 22 Pré-Cálculo 2005 5 Generalidades sobre Funções 5 Generalidades sobre Funções 5.1 Noção de Função. Domı́nio e Contradomı́nio Definição: Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função f : A → B é uma correspondência que associa a cada elemento x ∈ A um único elemento y = f(x) ∈ B. Formalmente podemos escrever: ∀x ∈ A,∃1y ∈ B : y = f(x) Nota: ∃1 lê-se “existe um e um só” ou “existe um único”. O conjunto A diz-se o domı́nio de f e o conjunto B o conjunto de chegada de f . O subconjunto de B dado por f(A) = {y ∈ B : y = f(x) com x ∈ A} ⊆ B diz-se o contradomı́nio (ou conjunto das imagens) de f . Os elementos do domı́nio designam-se por objectos e os do contradomı́nio por imagens. a) •P •Q A • P ′ • Q′ B • R′ b) •P •Q A • P ′ • Q′ B • R c) •P •Q A • P ′ • Q′ B • R d) •P •Q A • P ′ • Q′ B • R′ Apenas c) e d) são funções. Em a) o ponto P tem “duas imagens”, portanto contraria o facto de para cada x existir um e um só y tal que y = f(x). Em b) o ponto R (ponto do domı́nio) “não tem imagem”. Usar-se-ão as notações Df para domı́nio da função f e CDf para contradomı́nio de f . 5.2 Funções Reais de Variável Real Se A ⊆ R e B = R A função f diz-se função real de variável real, se o domı́nio, Df , é um subconjunto de R e o conjunto de chegada é R (f : Df ⊆ R −→ R). O contradomı́nio de f é, neste caso, CDf = f(Df ) = {f(x) : x ∈ Df} = {y ∈ R : y = f(x) ∧ x ∈ Df} Chama-se gráfico de uma função f , real de variável real, ao subconjunto de R2 definido por Grf = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Df e y = f(x)}. x y Df CDf Grf Gráfico de f com domı́nio Df e contradomı́nio CDf Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 23 Pré-Cálculo 2005 5 Generalidades sobre Funções 5.3 Restrição de uma função Dada uma função f : Df ⊆ R → R e A um subconjunto de Df , podemos definir uma nova função r : A ⊆ Df → R dada por r(x) = f(x), ∀x ∈ A. As funções f e r têm a mesma expressão analı́tica mas A = Dr ⊆ Df . Esta função designa-se por restrição de f a A e indica-se r = f |A . Exemplo: A restrição da função h : R \ {1} −→ R x 7−→ 1 x− 1 ao conjunto A =]−∞, 1[ é h |A : ]−∞, 1[ → R x 7→ 1 x− 1 O contradomı́nio de h é R \ {0} e o contradomı́nio de h |A é ]−∞, 0[. 5.4 Funções definidas por ramos Considere-se a função x y 21−1 1.5 •◦ • y = f(x) f(x) =  x2 − 1 2 se x < 2 2− x se x ≥ 2 Por exemplo f(3) = 2− 3 = −1 e f(1) = 1 2 (12 − 1) = 0. Observe-se que f(2) = 2− 2 = 0 e f(2) 6= 32 = 22 − 1 2 . 5.4.1 A função módulo A função módulo pode ser encarada como uma função definida por ramos: x y 1−1 1 y = |x| |x| = { x se x ≥ 0 −x se x < 0 Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 26 Pré-Cálculo 2005 5 Generalidades sobre Funções Exercı́cios Resolvidos Seja f a função definida por f(x) = |x2 − 3x + 2|. (a) Reescreva a expressão analı́tica de f sem usar o sı́mbolo | |. (b) Determine o conjunto A ⊆ R por forma a que a proposição “f(x) < 1, se e só se x ∈ A” seja verdadeira. Resolução: (a) Comecemos por analisar o sinal de x2 − 3x + 2. x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 3± √ 9− 8 2 ⇔ x = 2 ∨ x = 1. Assim, x2 − 3x + 2 = (x− 2)(x− 1). O produto será positivo se os dois factores tiverem o mesmo sinal e negativo se os factores tiverem sinais contrários. Então: 1 2 x− 1 − 0 + + + x− 2 − − − 0 + (x− 1)(x− 2) + 0 − 0 + x2 − 3x + 2 = (x− 2)(x− 1) > 0 se x ∈]−∞, 1[∪]2,+∞[ e x2 − 3x + 2 = (x− 2)(x− 1) < 0 se x ∈]1, 2[ Podemos agora definir a função f por ramos da seguinte forma: f(x) =  x2 − 3x + 2 se x ≤ 1 ∨ x > 2 −x2 + 3x− 2 se 1 < x ≤ 2 Repare que f(1) = f(2) = 0 sendo portanto indiferente calcular o valor da função nestes pontos num ou noutro ramo. (b) Pretende-se determinar o conjunto A = {x ∈ R : |x2 − 3x + 2| < 1} = {x ∈ R : −1 < x2 − 3x + 2 < 1} Resolvendo as duas inequações temos: −1 < x2 − 3x + 2 ⇔ x2 − 3x + 3 > 0 x2 − 3x + 2 < 1 ⇔ x2 − 3x + 1 < 0 A equação x2 − 3x + 3 = 0 não tem raı́zes A equação x2 − 3x + 1 = 0 admite as raı́zes reais. x = 3− √ 5 2 e x = 3 + √ 5 2 . Portanto x2 − 3x + 3 > 0,∀x ∈ R Portanto x2 − 3x + 1 < 0,∀x ∈ ] 3− √ 5 2 , 3 + √ 5 2 [ O conjunto A é a intersecção dos conjuntos solução das duas inequações, A = R ∩ ] 3− √ 5 2 , 3 + √ 5 2 [ = ] 3− √ 5 2 , 3 + √ 5 2 [ Exercı́cios Propostos Reescreva a expressão analı́tica das seguintes funções, sem usar o sı́mbolo módulo: (a) f(x) = |x− 1|; (b) g(x) = |x| − 3. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 27 Pré-Cálculo 2005 5 Generalidades sobre Funções 5.5 Injectividade e sobrejectividade Definição: Uma f : A → B diz-se injectiva se a objectos distintos correspondem imagens distintas, i.e., ∀x, x′ ∈ A, x 6= x′ ⇒ f(x) 6= f(x′) ou equivalentemente, se a cada elemento do contradomı́nio corresponde um único elemento do domı́nio (a imagens iguais correspondem objectos iguais), i.e., ∀x, x′ ∈ A, f(x) = f(x′) ⇒ x = x′. Definição: f diz-se sobrejectiva se todos os elementos do conjunto de chegada são imagem de algum elemento do domı́nio, i.e., ∀y ∈ B,∃x ∈ A : f(x) = y ou equivalentemente, se o contradomı́nio coincide com o conjunto de chegada, i.e., CDf = B Definição: Uma função diz-se bijectiva se é injectiva e sobrejectiva, i.e., ∀y ∈ B, ∃1x ∈ A : y = f(x). Obs.: Sendo f uma função real de variável real, f é sobrejectiva se o seu contradomı́nio é R, i.e., CDf = R e é bijectiva se ∀y ∈ R, ∃1x ∈ Df : y = f(x). x y 1 y = ex x y 1 π 2 y = cos x Injectiva e não sobrejectiva Não injectiva e não sobrejectiva x y π 2 −π 2 y = tan x x y y = x3 Sobrejectiva e não injectiva Injectiva e sobrejectiva - bijectiva Exercı́cios Resolvidos Considere as funções definidas por: f(x) = √ x; g(x) = x2; j(x) = 1 x (a) Determine os seus domı́nios. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 28 Pré-Cálculo 2005 5 Generalidades sobre Funções Resolução: (a) Sejam x1, x2 ∈ R, tais que x1 < x2. Então, como x31 < x32, resulta que −x31 > −x32. Portanto f(x1) = −x31 + 1 > −x32 + 1 = f(x2), ou seja, f é monótona decrescente (em sentido estrito). (b) Observe que a função é sempre positiva e é par, ou seja simétrica relativamente ao eixo das ordenadas. Considerando os pontos x1 = −1, x2 = 0 e x3 = 1, tem-se x1 < x2 < x3. Calculando os valores de h nestes pontos vem: h(x1) = 1 | − 1|+ 2 = 1 3 = h(x3)( porque f é par ); e h(x2) = 1 2 . Assim, h(x1) < h(x2) e h(x2) > h(x3), logo h não é monótona. 5.8 Função Limitada Uma função f : Df ⊆ R → R diz-se limitada se o seu contradomı́nio é um conjunto limitado, isto é, se existem A,B ∈ R, tais que A ≤ f(x) ≤ B,∀x ∈ Df . Equivalentemente, f : Df ⊆ R → R diz-se limitada se existe M ∈ R+ tal que |f(x)| ≤ M, ∀x ∈ Df . Exercı́cios Resolvidos Considere as funções f : [1,+∞[→ R, dada por f(x) = 1− 1 x e g : R \ {0} → R, dada por g(x) = 1− 1 x . x y 1 • 1 y = f(x) x y 1 1 y = g(x) 1. Mostre que a função f é limitada. 2. Mostre que a função g não é limitada. Resolução: 1. Como o domı́nio de f é [1,+∞[, x ≥ 1 e portanto 0 < 1 x ≤ 1. Então: −1 ≤ −1 x < 0 =⇒ 0 ≤ 1− 1 x < 1 e portanto f é limitada (sendo A = 0 e B = 1). Se usarmos a segunda definição de função limitada, basta tomar M = 1. 2. No caso da função g, se x estiver próximo de 0 o valor de |g(x)| torna-se muito elevado. Seja M > 0 um número positivo arbitrário. Então, existe xM 6= 0 tal que |g(xM )| > M , por exemplo, xM = 1 2M + 1 : |g(xM )| = ∣∣∣∣∣1− 11 2M+1 ∣∣∣∣∣ = |1− 2M − 1| = | − 2M | = 2M > M Podemos interpretar este facto graficamente. Qualquer que seja a recta horizontal y = M , encontramos sempre um valor de x para o qual |g(x)| está acima da recta considerada, i.e., |g(x)| > M . Portanto, g não é limitada. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 31 Pré-Cálculo 2005 5 Generalidades sobre Funções 5.9 Funções com parâmetros ou famı́lias de funções Dada uma função f : D ⊆ R → R podemos obter uma nova função fazendo uma translação do gráfico de f ao longo do eixo das abcissas ou ao longo do eixo das ordenadas, g(x) = f(x− c) ou g(x) = f(x)− c, em que c é um parâmetro real. No caso g(x) = f(x− c), o domı́nio de g é Dg = {x ∈ R : x− c ∈ Df}. Se g(x) = f(x)− c, o domı́nio de g coincide com o domı́nio de f . x y c=−1 c=0 c=1 c=2 y = f(x− c) x y c=−1 c=0 c=1 y = f(x)− c Nota: g(x) = f(x − c) representa uma translação de f sobre o eixo dos xx segundo (c, 0) (para a direita se c > 0 e para a esquerda se c < 0). 5.10 Funções polinomiais Uma função polinomial1 é uma função de domı́nio R da forma P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 em que os coeficientes ai são números reais. Se an 6= 0 a função polinomial diz-se ter grau n. Se P tem grau ı́mpar o seu contradomı́nio é R e se P tem grau par o seu contradomı́nio é um intervalo da forma ]−∞, α] se an < 0, ou [β, +∞[ se an > 0. Exemplos: 1. Se P (x) = −3x + 1 o seu contradomı́nio é R. 2. Se Q(x) = −2x2 + 3, o seu contradomı́nio é ]−∞, 3] A determinação de raı́zes 2 (zeros) de polinómios reveste-se de grande importância daı́ que surja o seguinte Teorema: Um polinómio de grau n > 0 tem n raı́zes em C (não necessariamente reais nem distintas), contando que uma raiz de ordem m é considerada como correspondente a m raı́zes. Por exemplo o polinómio de grau 6, P (x) = (x2 +3)(x+2)4 tem duas raı́zes complexas conjugadas (portanto distintas), r1 = − √ 3i, r2 = √ 3i e uma raiz real de multiplicidade 4, r3 = −2. 1Ver secção sobre polinómios. 2z é uma raiz de P , se e só se P (z) = 0, ou seja, se e só se (x− z) é um factor de P . z é uma raiz de ordem m de P se e só se (x− z)m é um factor de P mas (x− z)m+1 já não é factor de P . Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 32 Pré-Cálculo 2005 5 Generalidades sobre Funções 5.11 Funções racionais Funções racionais são funções do tipo f(x) = P (x) Q(x) em que P e Q são polinómios. Já sabemos que o seu domı́nio é o conjunto Df = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}. Exercı́cios Propostos 1. Indique o domı́nio de: (a) f(x) = x− 1 x2 − 2x + 5 (b) g(x) = x2 − 1 x3 − 3x− 2x . 5.12 Função Composta Definição: Sejam f e g duas funções reais de variável real. A função composta g após f , g ◦ f , é definida por: g ◦ f : D ⊆ R −→ R x 7−→ (g ◦ f)(x) = g (f(x)) , com D = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dg}. Se o contradomı́nio de f é um subconjunto do domı́nio de g, CDf ⊆ Dg, então o domı́nio da função g ◦ f é Df . Exercı́cios Resolvidos Considere as funções f , g e h definidas por: f(x) = √ x, g(x) = x2 e h(x) = 1 x− 1 Determine os domı́nios e as expressões analı́ticas de g ◦ f, f ◦ g, h ◦ f, f ◦ h. Resolução: Df = R+0 ; Dg = R; Dh = R \ {1}. Então, Dg◦f = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dg} = { x ∈ R : x ∈ R+0 ∧ √ x ∈ R } = R+0 . Df◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df} = x ∈ R : x ∈ R ∧ x2 ∈ R+0︸ ︷︷ ︸ cond. universal  = R. (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g (√ x ) = (√ x )2 = |x| = x (porque x ≥ 0) e (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f ( x2 ) = √ x2 = |x|. Considerem-se agora as funções f e h: Dh◦f = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dh} = { x ∈ R : x ∈ R+0 ∧ √ x 6= 1 } = R+0 \ {1} = [0, 1[∪]1,+∞[. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 33 Pré-Cálculo 2005 6 Função logarı́tmica e função exponencial 6 Função logarı́tmica e função exponencial 6.1 Logaritmos Definição: Chama-se logaritmo de b (b > 0) na base a (a positivo e a 6= 1) ao expoente a que é preciso elevar a base a para obter b, isto é, loga b = y ⇐⇒ ay = b. Em qualquer base, loga 1 = 0 porque a0 = 1 e loga a = 1 porque a1 = a. Observe-se que: aloga b = b e loga a y = y. Logaritmo neperiano: se a base é e (número de Neper) escrevemos ln em vez de log, ou seja, ln c = loge c. 6.1.1 Propriedades Se u, v > 0, a > 0 e a 6= 1, então: 1. loga (uv) = loga u + loga v, 2. loga ( u v ) = loga u− loga v, 3. loga(uv) = v loga u, 4. loga c = logb c logb a (mudança de base). Exemplo: Usando algumas das propriedades acima referidas temos que: log5 (√ 54 53 ) = log5 5 2 − log5 53 = 2− 3 = −1. 6.2 Função Exponencial Definição: Chama-se função exponencial de base a, a > 0 e a 6= 1, à correspondência f : R −→ R x 7−→ ax, Quando é referida “função exponencial”sem especificar a base, subentende-se que a base é e (número de Neper) e a função é dada por f(x) = ex. 6.2.1 Propriedades da exponencial Sejam a > 0 e x, y ∈ R, então: 1. a−x = 1 ax . 2. (ax)y = axy. 3. axay = ax+y. 4. (ab)x = axbx,∀b > 0 5. a0 = 1. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 36 Pré-Cálculo 2005 6 Função logarı́tmica e função exponencial 6.2.2 Função Exponencial de Base a com a > 1 x y 1 1 a y = ax (a>1) • Domı́nio R. Contradomı́nio R+. • Contı́nua em todo o domı́nio. • A função é estritamente crescente em R e portanto injectiva. • Não tem zeros. O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). • Admite a assı́mptota horizontal y = 0 quando x → −∞. Não tem assı́mptotas verticais nem oblı́quas. lim x→+∞ ax = +∞ e lim x→−∞ ax = 0. 6.2.3 Função Exponencial de Base a com 0 < a < 1 x y 1 1 a y = ax (0<a<1) • Domı́nio R. Contradomı́nio R+. • Contı́nua em todo o domı́nio. • A função é estritamente decrescente em R e portanto injectiva. • Não tem zeros. O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). • Admite a assı́mptota horizontal y = 0 quando x → +∞. Não tem assı́mptotas verticais nem oblı́quas. lim x→−∞ ax = +∞ e lim x→+∞ ax0. Exercı́cios Resolvidos 1. Resolva a equação ex = e−x. Resolução: Observe-se que a função exponencial é injectiva e nunca se anula. Assim, ex = e−x ⇐⇒ ex − e−x = 0 ⇐⇒ e 2x − 1 ex = 0 ⇐⇒ e2x = 1(∧ex 6= 0) ⇐⇒ x = 0 ou ex = e−x ⇐⇒ x = −x ⇐⇒ x = 0 (pela injectividade) 2. Determine os valores de x tais que 2x ≤ 1 2 . Resolução: 2x ≤ 1 2 ⇐⇒ 2x ≤ 2−1 ⇐⇒ x ≤ −1 (por ser estritamente crescente) 3. Determine o conjunto solução de cada uma das condições : (a) 4x − 3 · 2x + 2 ≤ 0 Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 37 Pré-Cálculo 2005 6 Função logarı́tmica e função exponencial (b) 1− 23x−1 3x2−2 − 9 ≥ 0 (c) x2ex+1 − xex+2 < 0 Resolução: (a) Como 4x = (22)x, temos, 4x − 3 · 2x + 2 ≤ 0 ⇐⇒ 22x − 3 · 2x + 2 ≤ 0. (1) Substituindo y = 2x em (1), vem: y2 − 3y + 2 ≤ 0 ⇐⇒ 1 ≤ y ≤ 2, porque a função dada pela equação y2 − 3y + 2 é representada graficamente por uma parábola de zeros 1 e 2 e concavidade voltada para cima. Então, como a função exponencial f(x) = 2x é crescente, 20 ≤ 2x ≤ 21 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1. Assim, o conjunto solução da inequação é [0, 1]. (b) Comecemos por determinar os zeros do numerador e do denominador: 1−23x−1 = 0 ⇐⇒ 23x−1 = 1 ⇐⇒ 23x−1 = 20 ⇐⇒ 3x−1 = 0 ⇐⇒ x = 1 3 (pela injectividade) 3x 2−2 − 9 = 0 ⇐⇒ 3x2−2 = 32 ⇐⇒ x2 − 2 = 2 ⇐⇒ x2 − 4 = 0 ⇐⇒ x = 2 ∨ x = −2 Como a função exponencial de base maior do que 1 é crescente, podemos construir a seguinte tabela de variação de sinal: −2 13 2 1− 23x−1 + + + 0 − − − 3x 2−2 − 9 + 0 − − − 0 + 1− 23x−1 3x2−2 − 9 + ND − 0 + ND − Assim, o conjunto solução da inequação dada é: C.S. = ]−∞,−2[ ∪ [ 1 3 , 2 [ (c) Podemos pôr em evidência o factor xex+1 para podermos aplicar a lei do anulamento do produto: x2ex+1 − xex+2 = xex+1(x− e) Assim, xex+1(x− e) = 0 ⇐⇒ xex+1 = 0 ∨ (x− e) = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ x = e Como ex+1 > 0,∀x ∈ R, o sinal de xex+1 apenas depende do sinal de x. Então, 0 e xex+1 − 0 + + + x− e − − − 0 + x2ex+1 − xex+2 + 0 − 0 + O conjunto solução da inequação é: C.S. =]0, e[ Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 38 Pré-Cálculo 2005 6 Função logarı́tmica e função exponencial (c) O domı́nio da função dada por f(x) = log2 (x + 1) é D = {x ∈ R : x + 1 > 0} =]− 1,+∞[. Então, para x ∈]− 1,+∞[, x log2 (x + 1) > x ⇐⇒ x(log2 (x + 1)− 1) > 0 (2) O produto é positivo se: log2 (x + 1)− 1 > 0 x > 0 ou  log2 (x + 1)− 1 < 0 x < 0 (3) Como log2 (x + 1)− 1 = 0 ⇐⇒ log2 (x + 1) = 1 ⇐⇒ x + 1 = 21 ⇐⇒ x = 1 (pela injectividade) e a função dada por f(x) = log2 (x + 1)− 1 é crescente, (3) vem: x > 1 x > 0 ou  x < 1 x < 0 Sistematizada esta informação num quadro de sinal, temos: −1 0 1 log2 (x + 1)− 1 ND − − − 0 + x − − 0 + + + x(log2 (x + 1)− 1) ND + 0 − 0 + Atendendo ao domı́nio D, o conjunto solução da inequação (2) é: C.S. =]− 1, 0[∪]1,+∞[. 3. Caracterize a inversa das funções definidas por: (a) f(x) = 2 + ex−1 (b) g(x) = log10 (2− x) Resolução: (a) O domı́nio de f é Df = R.O contradomı́nio de f é CDf =]2,+∞[: Como a função exponencial é sempre positiva, ex−1 > 0,∀x ∈ R =⇒ 2 + ex−1 > 2,∀x ∈ R (Note-se que o gráfico de f obtém-se a partir de uma translação do gráfico da função exponencial segundo o vector (1, 2).) Para determinar a expressão da inversa vamos resolver a equação y = 2 + ex−1 em ordem a x: y = 2 + ex−1 ⇐⇒ ln (y − 2) = ln ex−1 ⇐⇒ x = 1 + ln (y − 2) Assim, a inversa de f é f−1 definida por: f−1 : ]2,+∞[ −→ R x 7−→ 1 + ln(x− 2). Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 41 Pré-Cálculo 2005 6 Função logarı́tmica e função exponencial (b) O domı́nio de g é: Dg = {x ∈ R : 2− x > 0} =]−∞, 2[, e o seu contradomı́nio é CDg = R. Para determinar a expressão da inversa vamos resolver a equação y = log10 (2− x) em ordem a x: y = log10 (2− x) ⇐⇒ 10y = 2− x ⇐⇒ x = 2− 10y Então, a inversa de g é dada por: g−1 : R −→ R x 7−→ 2− 10x. e o seu contradomı́nio é ]−∞, 2[. Exercı́cios Propostos 1. Seja f a função definida em R+ por f(x) = log2 (8x2)− log2 x. (a) Mostre que f(x) = 3 + log3 x, para qualquer x ∈ R+ (b) Determine a abcissa do ponto de intersecção do gráfico f com a recta de equação y = 8. 2. Considere a função g : [0,+∞[ → R x 7→ ln (1 + x)− x, (a) Recorrendo à função derivada de g, mostre que g é decrescente. (b) Tendo em conta a alı́nea anterior e o valor de g(0),indique, justificando, se é verdadeira ou falsa a afirmação: g(x) < 0,∀x ∈ R+. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 42 Pré-Cálculo 2005 7 Funções trigonométricas 7 Funções trigonométricas Considerem-se dois eixos ortogonais Ox e Oy. Relativamente a este sistema de eixos coordenados, os ângulos orientados têm uma posição em que o vértice está na origem das coordenadas e o lado origem coincide com o semi-eixo positivo Ox. Nestas condições, diz-se que o ângulo é do 1o, 2o, 3o ou 4o quadrante conforme o lado extremidade se situe num daqueles quadrantes, respectivamente. 7.1 Funções Trigonométricas No que se segue, definiremos as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) utilizando um cı́rculo de raio r. • x y P (x,y) θ r= √ x2+y2 Seja P (x, y) um ponto qualquer da circunferência, e designe-se por r a distância da origem O ao ponto P e por θ o ângulo que o vector −−→ OP faz com o semieixo positivo das abcissas. Entre os três números x, y e r podem estabelecer-se as seguintes razões: sen θ = y r , r 6= 0 cos θ = x r , r 6= 0 tan θ = sen θ cos θ = y x , x 6= 0 A cada valor do ângulo θ corresponde um e um só valor de cada uma das três razões consideradas, as quais por este facto são funções do ângulo θ. Tais funções são chamadas funções circulares ou Funções Trigo- nométricas. Se tomarmos r = 1 conclui-se que sen θ = y e cos θ = x. Ao cı́rculo orientado de centro na origem e raio unitário chama-se cı́rculo trigonométrico. Em seguida apresenta-se uma tabela de valores das funções trigonométricas, anteriormente definidas, para alguns ângulos do 1o Quadrante. θ (Graus) 0o 30o 45o 60o 90o θ (Radianos) 0 π6 π 4 π 3 π 2 sen θ 0 12 √ 2 2 √ 3 2 1 cos θ 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 tan θ 0 √ 3 3 1 √ 3 não definida As funções trigonométricas são funções periódicas, i.e., ∃p > 0 : f(x + p) = f(x), ∀x ∈ Df Ao menor valor positivo p que satisfaça a igualdade acima dá-se a designação de perı́odo da função f . As funções trigonométricas não são injectivas pois são periódicas. 7.2 Identidades Trigonométricas Fórmula Fundamental da Trigonometria sen2 x + cos2 x = 1 (4) Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 43 Pré-Cálculo 2005 7 Funções trigonométricas Exercı́cios Resolvidos 1. Simplifique a seguinte expressão: sen ( α− π 2 ) + cos (3π − α). Resolução: Usando as propriedades das funções seno e cosseno em 7.3.1, temos sen ( α− π2 ) + cos (3π − α) = sen ( − ( π 2 − α )) + cos (2π + π − α) = = − sen (( π 2 − α )) + cos (π − α) = − cos α− cos α = −2 cos α 2. Calcule tan x 2 sabendo que senx = 35 e π 2 ≤ x ≤ π. Resolução: Usando as fórmulas (5) e (6), temos que tan 2 (x 2 ) = 1 cos2 ( x 2 ) − 1. (7) e usando 7.2 cos2 (x 2 ) = 1 + cos x 2 . Assim, dado que senx = 35 , cos2 x = 1− sen2 x = 1− 9 25 = 16 25 Como x ∈ 2oQ, cos x = −45 . Logo, cos2 (x 2 ) = 1− 45 2 = 1 10 . Então, tan 2 (x 2 ) = 1 1 10 − 1 = 9. Como x ∈ 2oQ, tan x 2 = −3. 3. Considere a função g : [0, π] −→ R definida por g(x) = senx + sen (2x). (a) Determine os zeros da função g; (b) Estude, quanto à existência de assı́mptotas, a função h definida em [0, π] \ {π 2 } por h(x) = g(x) cos x . Resolução: (a) Pretendemos resolver a equação g(x) = 0, com x ∈ [0, π]. Como, senx + sen (2x) = 0 ⇔ senx = − sen (2x) ⇔ senx = sen (−2x) ⇔ ⇔ x = −2x + 2kπ ∨ x = π − (−2x) + 2kπ, k ∈ Z ⇔ x = 2kπ3 ∨ x = −π − 2kπ, k ∈ Z. Queremos os valores de k ∈ Z, tais que: x = 2kπ 3 ∈ [0, π] ou x = −π − 2kπ ∈ [0, π], ou seja, 0 ≤ 2kπ3 ≤ π ⇔ 0 ≤ k ≤ 3 2 ou 0 ≤ −π − 2kπ ≤ π ⇔ −1 ≤ k ≤ − 1 2 a que correspondem os valores de k = 0 e k = 1 no primeiro caso, e k = −1 no segundo. Os zeros da função g são, portanto, 0, 2π 3 , π. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 46 Pré-Cálculo 2005 7 Funções trigonométricas (b) Pelo facto do domı́nio de h ser um conjunto limitado, não tem sentido procurar assı́mptotas não verticais. Sendo h contı́nua em todo o seu domı́nio ( [0, π]\{π}), só poderá haver assı́mptota vertical em x = π 2 . Como, lim x→(π 2 )− h(x) = +∞ e lim x→π 2 + h(x) = −∞, a recta de equação x = π 2 é assı́mptota vertical do gráfico de h. Exercı́cios Propostos 1. Considere a função f , de domı́nio R \ {1}, definida por f(x) = exx−1 (a) Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos. (b) Resolva a equação ln[f(x)] = x (c) Estude a função f quanto à existência de assı́mptotas verticais e horizontais do seu gráfico. 2. Sabendo que sen (π 2 + a ) = 5 13 , tan(7π − b) = 4 3 e que a ∈ 4o Q, b ∈ 2o Q, calcule a) sen(a + b); b) cos(a− b); c) cos ( π 4 + b ) . 3. Resolva as seguintes equações trigonométricas: (a) cos x + √ 3 senx = 1; (b) cos 4x− sen 4x = 0; (c) cos 2x = 2− 3 senx; (d) sen (x + π/6) = senx; (e) cos (2x + π/4) = cos x; (f) cos x = 1− 5 senx tanx . 4. Usando as fórmulas da soma de dois ângulos (6), mostre que: (a) sen ( x + π2 ) = cos x; (b) cos ( x + π2 ) = − senx; (c) sen 2x = 12(1− cos 2x); (d) cos 2 x = 12(1 + cos 2x) . 5. Considere a função f , de domı́nio [0, 2π] definida por f(x) =  1 + ln (π − x) se 0 ≤ x < π cos (2x) se π ≤ x ≤ 2π (a) Estude f quanto à continuidade. (b) Determine os zeros de f . (c) Seja α ∈ [π, 2π] tal que cos α = 23 . Determine f(α). 6. Considere as funções f e g de domı́nio R, definidas por f(x) = 13 + 2e 1−x e g(x) = 2 senx− cos x. (a) Estude a função f quanto à existência de assı́mptotas paralelas aos eixos coordenados. (b) Resolva a equação f(x) = g(π), apresentando a solução na forma ln(ke), onde k representa um número real positivo. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 47 Pré-Cálculo 2005 8 Sucessões reais 8 Sucessões reais 8.1 Conceitos fundamentais Definição: Uma sucessão é uma função de domı́nio N. Se o conjunto de chegada é R, então designa-se por sucessão real. Portanto, uma sucessão real é uma função u : N → R n 7→ u(n) = un que se denota usualmente por (un)n∈N. • un é o termo geral (define a expressão analitica da sucessão, por exemplo un = 2n − 1), • n é a ordem do termo un, • {un : n ∈ N} é o conjunto dos seus termos (ou seja, é o contradomı́nio da sucessão). Por exemplo, a sucessão de termo geral an = 2n é a função em que a imagem de cada número natural é o dobro desse número: a imagem de 1 é 2, a imagem de 2 é 4, e assim sucessivamente. Obtém-se a sequência 2, 4, 6, 8, . . . O gráfico desta sucessão é o seguinte: n y 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 Exercı́cios Resolvidos Considere a sucessão de termo geral un = (−1)n. (a) Calcule os primeiros termos da sucessão. (b) Mostre que todos os termos de ordem par são positivos. (c) Esboce o gráfico da sucessão. Resolução: (a) Substituindo no termo geral n por 1, obtemos u1 = (−1)1 = −1. Logo o primeiro termo é −1. Para determinar o segundo termo, substituı́mos n por 2. Assim sendo, u2 = (−1)2 = 1. Repetindo o processo, os primeiros termos da sucessão dada são −1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 48 Pré-Cálculo 2005 8 Sucessões reais 8.2 Monotonia Teorema: Seja (an)n∈N uma sucessão real. A sucessão é monótona • crescente se an+1 − an ≥ 0, para todo n ∈ N; • decrescente se an+1 − an ≤ 0, para todo n ∈ N; • estritamente crescente se an+1 − an > 0, para todo n ∈ N; • estritamente decrescente se an+1 − an < 0, para todo n ∈ N. Por exemplo, a sucessão an = 1/n é estritamente decrescente, uma vez que an+1 − an = 1 n + 1 − 1 n = −1 n(n + 1) < 0, para todo n ∈ N. Observemos que toda a sucessão estritamente crescente (respectivamente “estritamente decrescente”) é crescente (respectivamente “decrescente”). Uma sucessão constante, por exemplo, un = 4 é simultaneamente crescente e decrescente, sendo portanto monótona. Exercı́cios Resolvidos Estude a monotonia das sucessões de termo geral: (a) an = 3 + √ n. (b) bn = n + 2 n + 1 . (c) cn = n2 − 11n + 10. (d) dn = (−2)n. (e) { e1 = 4 en+1 = en + 2n + 1, n ∈ N Resolução: (a) Devemos estudar o sinal de an+1 − an. Como n + 1 > n, então √ n + 1 > √ n. Logo, an+1 − an = [3 + √ n + 1]− [3 + √ n] = √ n + 1− √ n > 0, e portanto a sucessão é monótona crescente. (b) Devemos estudar novamente o sinal de bn+1 − bn: bn+1 − bn = (n + 1) + 2 (n + 1) + 1 − n + 2 n + 1 = (n + 3)(n + 1)− (n + 2)(n + 2) (n + 2)(n + 1) = −1 (n + 2)(n + 1) < 0, uma vez que, como n ∈ N, então n + 2 > 0 e n + 1 > 0. Logo (bn)n∈N é monótona decrescente. (c) Como cn+1 − cn = 2n − 10 e esta expressão toma valores positivos ou negativos3, dependendo do valor de n, concluı́mos que a sucessão dada não é monótona. (d) Atendendo a que d1 = −2, d2 = 4 e d3 = −8, então d1 < d2 e d2 > d3. Portanto a sucessão é não monótona. (e) Uma vez que en+1 = en + 2n + 1 ⇔ en+1 − en = 2n + 1 e 2n + 1 é sempre positivo, concluı́mos que a sucessão dada é monótona crescente. 3Por exemplo, se n = 3, 2n− 10 < 0, e c4 < c3; mas se n = 6, então 2n− 10 > 0 e portanto c7 > c6. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 51 Pré-Cálculo 2005 8 Sucessões reais 8.3 Sucessões limitadas Definição: Uma sucessão (an)n∈N é • limitada superiormente se existe M ∈ R tal que an ≤ M , para todo n ∈ N; • limitada inferiormente se existe m ∈ R tal que an ≥ m, para todo n ∈ N; • limitada se existem m,M ∈ R tais que que m ≤ an ≤ M , para todo n ∈ N. M é um majorante e m um minorante do conjunto dos termos da sucessão. Ainda existe uma outra maneira de definirmos sucessão limitada: uma sucessão é limitada se existe M ∈ R+ tal que |an| ≤ M , para todo n ∈ N. Exercı́cios Resolvidos Prove que são limitadas as sucessões (a) an = 2/n. (b) bn = (−1)n 2n n + 3 . Resolução: (a) Como n ≥ 1, então 0 < 1/n ≤ 1. Logo 0 < 2/n ≤ 2 e portanto 0 é um minorante do conjunto dos termos da sucessão e 2 um majorante. (b) Podemos escrever a sucessão dada como bn =  2n n + 3 , se n é par − 2n n + 3 , se n é ı́mpar Além disso, efectuando a divisão de 2n por n + 3, obtemos 2n n + 3 = 2− 6 n + 3 . Logo, para n par: n ≥ 2 → n + 3 ≥ 5 → 0 < 6 n + 3 ≤ 6 5 → −6 5 ≤ − 6 n + 3 < 0 → 4 5 ≤ 2− 6 n + 3 < 2. Para n ı́mpar, obtemos n ≥ 1 → n + 3 ≥ 4 → 0 < 6 n + 3 ≤ 6 4 = 3 2 → −2 < −2 + 6 n + 3 ≤ −1 2 . Portanto −2 < bn < 2, ou seja, é limitada. Exercı́cios Resolvidos Considere a sucessão definida por an = n + 8 n + 1 . (a) Mostre que a sucessão é decrescente. (b) Mostre que a sucessão é limitada. Resolução: (a) Uma vez que an+1 − an = −7 (n + 2)(n + 1) < 0, provámos o pretendido. (b) Uma vez que a sucessão é monótona decrescente, o seu primeiro termo, a1 = 9/2, é um majorante do conjunto dos termos da sucessão. Facilmente se vê que, para todo n ∈ N, an > 0. Logo 0 é um minorante e concluı́mos assim que 0 < an ≤ 9/2. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 52 Pré-Cálculo 2005 8 Sucessões reais 8.4 Progressões aritméticas e geométricas 8.4.1 Progressões aritméticas Definição: Seja (an)n∈N uma sucessão. Dizemos que a sucessão é uma progressão aritmética de razão r ∈ R se a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da sucessão é constante, i.e., an+1 − an = r, ∀n ∈ N. Por exemplo, a sucessão un = 2n− 3 é uma progressão aritmética de razão 2 pois un+1 − un = 2. A sucessão de termo geral vn = 1/n não representa uma progressão aritmética porque vn+1−vn não é constante (a diferença depende de n). Da definição decorre que uma progressão aritmética é sempre monótona, sendo crescente ou decrescente con- soante r é não negativo ou não positivo, respectivamente. Teorema: O termo geral de uma progressão aritmética (an)n∈N de razão r é an = a1 + (n− 1)r. Logo, se conhecermos o primeiro termo da progressão e a razão, podemos determinar o seu termo geral. Dada uma sucessão (an)n∈N, definimos S1, S2, S3, . . . , Sn como sendo S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 ... Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an Sn representa a soma dos n primeiros termos da sucessão (an)n∈N. Teorema: Se (an)n∈N é uma progressão aritmética, então Sn = a1 + an 2 n. Podemos generalizar esta fórmula para o caso seguinte: supor que pretendı́amos calcular a soma dos termos consecutivos da sucessão: ak + ak+1 + ak+2 + . . . + an, k ≤ n. Neste caso viria ak + ak+1 + ak+2 + . . . + an = ak + an 2 (n− k + 1)︸ ︷︷ ︸ número de termos . Notação: n∑ i=k ai = ak + ak+1 + ak+2 + . . . + an. Exercı́cios Resolvidos Sabendo que (un)n∈N é uma progressão aritmética e que u5 = −7 e u12 = −28, (a) determine a razão da progressão; (b) escreva a expressão do termo geral da sucessão; (c) determine a soma dos 20 primeiros termos da sucessão; (d) calcule 50∑ i=3 ui. Resolução: (a) Uma vez que u5 = u1 + (5− 1)r e u12 = u1 + (12− 1)r, então substituindo pelos valores dados, vem{ −7 = u1 + 4r −28 = u1 + 11r ⇔ { r = −3 u1 = 5 Logo a razão é igual a −3. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 53 Pré-Cálculo 2005 8 Sucessões reais n y −4 −2 1 2 3 4 5 2 4 6 6 (un)n n y −1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 (vn)n Os termos da sucessão (un)n aumentam indefinidamente; dizemos que lim un = +∞. Os termos da sucessão (vn)n vão oscilando entre −1 e 1 consoante n é ı́mpar ou par, respectivamente. Uma vez que o limite de uma sucessão quando existe é único, concluı́mos que esta sucessão não tem limite. Ambas as sucessões são divergentes. Definição: Se lim an = +∞ dizemos que a sucessão (an)n é um infinitamente grande positivo. Formalmente dizemos, lim an = +∞⇔ ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : n ≥ N → an > M ; Se lim an = −∞ a sucessão diz-se um infinitamente grande negativo. Formalmente temos: lim an = −∞⇔ ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : n ≥ N → an < M ; Se lim an = 0 a sucessão é um infinitésimo. Formalmente, lim an = 0 ⇔ ∀ > 0, ∃N ∈ N : n ≥ N → |an| < . 8.6 Limites notáveis Segue a lista de alguns limites “notáveis”, i.e., alguns dos limites frequentemente usados e cuja determinação não é simples. • lim 1 n = 0, • lim n √ a = 1, onde a > 0; • lim n √ n = 1; • lim an  = 0 se −1 < a < 1 = 1 se a = 1 = +∞ se a > 1 não existe se a ≤ −1 • lim ( 1 + a n )n = ea. 8.7 Propriedades aritméticas dos limites Sejam (an)n e (bn)n duas sucessões convergentes, tais que lim an = a e lim bn = b, com a, b ∈ R. Então 1. lim(an ± bn) = a± b; 2. lim(an · bn) = a · b; 3. lim an bn = a b se b 6= 0; Observação: Se a = ±∞ e b ∈ R, então: • lim(an ± bn) = ±∞; • Se b 6= 0 então lim(an · bn) = ±∞, dependendo do sinal de b. • Se b 6= 0 então lim an bn = ±∞, dependendo do sinal de b. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 56 Pré-Cálculo 2005 8 Sucessões reais 8.8 Teoremas sobre limites Teorema: Toda a sucessão limitada e monótona é convergente. Este resultado não nos permite determinar o limite mas garante a sua existência. Frequentemente é usado em sucessões definidas por recorrência. Teorema: Sejam (an)n e (bn)n duas sucessões convergentes para a e b respectivamente. Se a partir de certa ordem, se verifica an ≤ bn, então a ≤ b. Teorema das sucessões enquadradas Dadas três sucessões (an)n∈N, (bn)n∈N e (cn)n∈N tais que 1. an ≤ bn ≤ cn, a partir de certa ordem; 2. lim an = lim cn, então existe lim bn e lim an = lim bn = lim cn. Exercı́cios Resolvidos Calcule o limite das seguintes sucessões: (a) an = 3n− 5 n + 1 . (b) bn = 4n5 + 3n2 − n− 5 3n2 − 2n + 10 . (c) cn = −n2 + n + 7. (d) dn = 2n − 3n+2 2n−1 + 3n+1 . (e) en = sin(nπ). (f) fn = sin (nπ 2 ) . (g) gn = (−1)n+3n + 1 n3 + 1 . (h) hn = √ n2 + 2n + 3− √ n2 + 2n. (i) in = (2n + 1)!n! (2n− 1)!(n + 1)! . (j) jn = sinn n . (m) mn = ( n + 1 n + 4 )n . Resolução: (a) lim 3n− 5 n + 1 = lim n ( 3− 5 n ) n ( 1 + 1 n ) = lim 3− 5n 1 + 1 n = 3− 0 1 + 0 = 3. (b) lim 4n5 + 3n2 − n− 5 3n2 − 2n + 10 = lim n2 ( 4n3 + 3− 1 n − 5 n2 ) n2 ( 3− 2 n + 10 n2 ) = lim 4n3 + 3− 1n − 5n2 3− 2 n + 10 n2 = +∞. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 57 Pré-Cálculo 2005 8 Sucessões reais (c) lim (−n2 + n + 7) = lim n2 ( −1 + 1 n + 7 n2 ) ︸ ︷︷ ︸ ↓ −1 = −∞. (d) lim 2n − 3n+2 2n−1 + 3n+1 = lim 3n (( 2 3 )n − 32 ) 3n (( 2 3 )n · 2−1 + 3 ) = lim ( 2 3 )n − 32( 2 3 )n · 2−1 + 3 = 0− 9 0 + 3 = −3. (e) Como sin(nπ) = 0, para todo n ∈ N, então lim en = 0. (f) Observe-se que: • Se n é da forma 1 + 4k, vem, f1+4k = sin π 2 = 1 • Se n é da forma 2 + 4k, vem, f2+4k = sinπ = 0 • Se n é da forma 3 + 4k, vem, f3+4k = sin 3π 2 = −1 • Se n é da forma 4 + 4k, vem, f4+4k = sin 2π = 0 com k = 0, 1, 2, . . .. Então fn toma somente os valores 1, 0,−1. Logo não existe limite da sucessão dada porque podemos escolher subsucessões de (fn)n com limites distintos. (g) Para n par, gn = −n + 1 n3 + 1 e para n ı́mpar, gn = n + 1 n3 + 1 . Como lim −n + 1 n3 + 1 = lim n + 1 n3 + 1 = 0, resulta que lim gn = 0. (h) lim( √ n2 + 2n + 3 − √ n2 + 2n) = lim ( √ n2 + 2n + 3− √ n2 + 2n)( √ n2 + 2n + 3 + √ n2 + 2n)√ n2 + 2n + 3 + √ n2 + 2n = = lim (n2 + 2n + 3)− (n2 + 2n)√ n2 + 2n + 3 + √ n2 + 2n = lim 3√ n2 + 2n + 3 + √ n2 + 2n = 0. (i) lim (2n + 1)!n! (2n− 1)!(n + 1)! = lim (2n + 1)(2n)(2n− 1)!n! (2n− 1)!(n + 1)n! = lim (2n + 1)(2n) n + 1 = +∞ (j) Como −1 ≤ sinn ≤ 1, então −1 n ≤ sinn n ≤ 1 n . Pelo teorema das sucessões enquadradas, como lim −1 n = lim 1 n = 0, concluı́mos que lim sinn n = 0. (m) Procedendo à divisão de n + 1 por n + 4, obtemos n + 1 n + 4 = 1 + −3 n + 4 . Logo lim ( n + 1 n + 4 )n = lim [( 1 + −3 n + 4 )n+4 · ( 1 + −3 n + 4 )−4] = e−3 · 1−4 = e−3. Exercı́cios Resolvidos Seja (an)n∈N a sucessão definida por recorrência{ a1 = 3 an+1 = 1 2 an + 4, para n ≥ 1 Sabendo que a sucessão converge, determine o seu limite. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 58 Pré-Cálculo 2005 9 Limites e Continuidade 9 Limites e Continuidade 9.1 Definição de Limite No que se segue considere-se uma função f : D ⊆ R → R e a ∈ R tal que D contém um intervalo aberto de centro em a com possı́vel excepção do ponto a. Definição: Diz-se que f tem limite l ∈ R quando x tende para a em D, lim x→a f(x) = l, se para toda a sucessão (xn)n∈N, de elementos de D, distintos de a, que tende para a ( lim n→+∞ xn = a), a correspondente sucessão das imagens (f(xn))n∈N tende para l ( limn→+∞ f(xn) = l). Exemplo: Seja f(x)= 1 x + 1 com Df =R\{−1}. Considerando a sucessão xn =1+ (−1)n n → 1 tem-se que lim n→+∞ f(xn) = 1 2 . n xn 1 xn f(xn) 1 0.5 Contudo, este exemplo não demonstra que lim x→1 f(x) = 12 , porque foi considerada uma sucessão particular xn =1+ (−1)n n . Para mostrarmos que lim x→1 f(x) = 12 vamos considerar uma sucessão (xn)n qualquer, que convirja para 1 e tal que xn ∈ D \ {1}, ∀n ∈ N, assim temos lim n→+∞ f(xn) = lim n→+∞ 1 xn + 1 = 1 lim n→+∞ xn + 1 = 1 1 + 1 = 1 2 . Como lim n→+∞ f(xn) é independente da sucessão (xn)n escolhida, pode garantir-se que lim x→1 f(x) = 12 . Observações: 1. Pode existir lim x→a g(x) e a /∈ Dg . Vejamos por exemplo a função g definida por g(x) = x−1x2−1 , com domı́nio Dg = R \ {1,−1} e lim x→1 g(x) = lim x→1 x− 1 x2 − 1 = lim x→1 x− 1 (x− 1)(x + 1) = lim x→1 1 x + 1 = 1 2 . Repare-se que x− 1 (x− 1)(x + 1) = 1 x + 1 ∧ x 6= 1. Como se trata do limite quando x tende para 1, x é efectivamente diferente de 1. x y 1 1 2 •◦ g(x)= x−1 x2−1 Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 61 Pré-Cálculo 2005 9 Limites e Continuidade 2. O limite da função num ponto não é necessariamente a imagem da função no ponto. Considere-se por exemplo a função, h(x) =  1 x + 1 se x 6= 1 2 se x = 1, lim x→1 h(x) = lim x→1 1 x + 1 = 1 2 e h(1) = 2. x y • 1 2 1 2 •◦ h(x) 9.2 Continuidade Seja I um intervalo aberto de números reais. Definição: Seja f : I → R. A função f é contı́nua em a ∈ I se e só se existe lim x→a f(x) e lim x→a f(x) = f(a). f é contı́nua à direita de a quando lim x→a+ f(x) = f(a). f é contı́nua à esquerda de a quando lim x→a− f(x) = f(a). Se f não for contı́nua em a, f diz-se descontı́nua em a. Observação: Uma função diz-se descontı́nua no ponto a se não existe lim x→a f(x) ou existe lim x→a f(x) mas é diferente de f(a). Continuidade num intervalo 1. f diz-se contı́nua num intervalo I se f é contı́nua em todos os pontos desse intervalo. 2. Uma função é contı́nua em [a, b] se for: (a) contı́nua em ]a, b[; (b) contı́nua à direita do ponto a; (c) contı́nua à esquerda do ponto b. Obs.: Considerando f : [a, b] → R, os pontos do domı́nio de f , estão à direita de a e à esquerda de b, i.e., a ≤ x ≤ b. Daı́ que no cálculo dos limites nos extremos do intervalo se pense apenas em lim x→a+ f(x) e lim x→b− f(x). • As funções elementares conhecidas (polinomiais, racionais, trigonométricas, potências, exponencial e logarı́tmica) são funções contı́nuas no seu domı́nio. • Uma função contı́nua em I é contı́nua em qualquer subintervalo de I . 9.3 Propriedades dos Limites 1. Unicidade do Limite: Se existe, em R, lim x→a f(x) então esse limite é único. 2. Seja c uma constante real. Se f(x) = c, ∀x ∈ R então lim x→a f(x) = c, ∀a ∈ R 3. Sejam lim x→a f(x) = l e lim x→a g(x) = m com l,m ∈ R. • Se c ∈ R, lim x→a cf(x) = cl; • lim x→a (f(x)± g(x)) = l ±m; • lim x→a (f(x) g(x)) = l m; Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 62 Pré-Cálculo 2005 9 Limites e Continuidade • lim x→a f(x) g(x) = l m se m 6= 0; Se n for um número natural qualquer, tem-se: • lim x→a [f(x)]n = ln Se P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 então lim x→a P (x) = anln + an−1ln−1 + · · ·+ a0 • lim x→a n √ f(x) = n √ l supondo que l ≥ 0 quando n é par. 9.4 Propriedades das Funções Contı́nuas Propriedades Aritméticas: Se f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R são funções contı́nuas em a ∈ Df ∩Dg então as seguintes funções também são contı́nuas em a: (a) f ± g; (b) fg; (c) fg , se g(a) 6= 0. Composição de Funções: Se f : D ⊆ R → R tem limite l ∈ R quando x tende para a e g : Dg ⊆ R → R é contı́nua em l(∈ Dg) então a função composta g ◦ f tem limite g(l) quando x tende para a: lim x→a g(f(x)) = g( lim x→a f(x)) = g(l) Como consequência, a composição de funções contı́nuas é contı́nua. Exemplos: h(x) = sin(x2) e g(x) = ln(1 + cos2 x) são funções contı́nuas em R. Como a função s(x) = sin x e a função p(x) = x2 são contı́nuas em R, a função h = s◦p é contı́nua em R. Analogamente, como a função l(x) = lnx é contı́nua em R+ e a função c(x) = cos x é contı́nua em R, a função r(x) = 1 + cos2 x é contı́nua em R. Por consequência, atendendo a que r(x) > 0,∀x ∈ R, a função g = l ◦ r é contı́nua em R. Exercı́cios Resolvidos 1. Considere a função real de variável real dada por f(x) =  −x2 + 7x− 12 2x2 − 5x− 3 , x > 3 −2, x = 3 2x− k, x < 3 (a) Determine k ∈ R por forma a que exista lim x→3 f(x). (b) Para que valores de k encontrados f é contı́nua em x = 3? Resolução: (a) Como a função é definida por ramos, ao fazermos x tender para 3, temos que considerar o que se passa se x < 3 ( lim x→3− f(x)) e o que se passa com x > 3 ( lim x→3+ f(x)). Comecemos por calcular lim x→3+ f(x) = lim x→3+ −x2 + 7x− 12 2x2 − 5x− 3 . Vamos simplificar a função racional: −x2 + 7x− 12 = 0 ⇔ x = −7± √ 49− 48 −2 ⇔ x = 3 ∨ x = 4 2x2 − 5x− 3 = 0 ⇔ x = 5± √ 25 + 24 4 ⇔ x = 3 ∨ x = −1 2 Assim, como x 6= 3 porque se trata do limite quando x tende para 3, podemos afirmar que as seguintes expressões são iguais: −x2 + 7x− 12 2x2 − 5x− 3 = −(x− 3)(x− 4) 2(x− 3)(x + 12 ) = 4− x 2x + 1 Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 63 Pré-Cálculo 2005 9 Limites e Continuidade e sin(yn) = sin ( 2nπ + π 2 ) = 1 → 1. Se o limite existisse, seria único e portanto qualquer sucessão (f(xn))n deveria convergir para esse limite, independente- mente da escolha da sucessão (xn)n. De forma análoga se prova que não existem os seguintes limites: lim x→−∞ sinx, lim x→+∞ cos x, lim x→−∞ cos x, lim x→+∞ tanx, lim x→−∞ tanx. 9.6 Propriedades dos Limites Infinitos O teorema da unicidade do limite enunciado anteriormente para limites finitos pode generalizar-se a limites infinitos. As propriedades aritméticas dos limites finitos poderão também ser generalizadas a limites infinitos depois de estabele- cida uma aritmética dos limites infinitos. Aritmética dos Limites No caso em que a aplicação das propriedades do limite conduzam a resultados do tipo descrito abaixo, por abuso de linguagem escreve-se −(+∞) = (−∞) (+∞) + (+∞) = (+∞) (−∞) + (−∞) = (−∞) (±∞) + a = (±∞) ∞ ·∞ = ∞ ∞ · a = ∞, se a 6= 0 1 0+ = +∞ 1 0− = −∞ 1 ∞ = 0 0+∞ = 0 0−∞ = +∞ No produto de limites infinitos é válida a regra de sinais usada no produto de números reais. No caso de sermos conduzidos a um destes tipos 0 0 , ∞ ∞ , ∞ · 0, +∞−∞, +∞0, 00, 1∞. diz-se que temos uma indeterminação. Se no cálculo de um limite, surgir uma indeterminação, tal não significa que o limite não exista. Dever-se-á proceder à manipulação da expressão analı́tica da função em estudo por forma a averiguar a existência, ou não, desse limite. Alguns limites que conduzem a indeterminações são designados limites notáveis e são fundamentais no cálculo de limites. Indeterminação Limites Notáveis 0 0 lim x→0 sinx x = 1 lim x→0 cos x− 1 x = 0 lim x→0 ln (x + 1) x = 1 lim x→0 ex − 1 x = 1 1∞ lim x→+∞ ( 1 + a x )x = ea, a ∈ R ∞ ∞ limx→+∞ ex xp = +∞, p ∈ R lim x→+∞ lnx xp = 0, p ∈ R+ 0 · ∞ lim x→0+ xp lnx = 0, p ∈ R+ Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 66 Pré-Cálculo 2005 9 Limites e Continuidade Exercı́cios Resolvidos Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites: 1. lim x→+∞ 1 x− 3 2. lim x→3 1 x− 3 3. lim x→2− 1 2− x 4. lim x→−1+ 1 x2 − 1 5. lim x→2 ln(x− 2) 6. lim x→0 e 1 x Resolução: 1. lim x→+∞ 1 x− 3 = 0 (porque lim x→+∞ (x− 3) = +∞ e o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo). 2. lim x→3 1 x− 3 =? Vamos calcular os limites laterais: lim x→3− 1 x− 3 = −∞ (como x → 3− tem-se (x− 3) → 0− e “ 10− = −∞”) lim x→3+ 1 x− 3 = 1 0+ = +∞ (tem-se (x− 3) → 0+ e “ 10+ = +∞”) Como os limites laterais são diferentes, não existe lim x→3 1 x− 3 . (Para determinarmos se um limite tende para 0 por valores à direita (0+) ou por valores à esquerda (0−), basta termos em conta o sinal da função à direita e à esquerda de 0. Neste caso a função y = x−3 é positiva para valores superiores a 3 e negativa para valores inferiores a 3.) 3. lim x→2− 1 2− x = +∞ (é “ 10+ ” porque a função y = 2− x é positiva à esquerda de 2). 4. lim x→−1+ 1 x2 − 1 = −∞ (é “ 10− ” porque a função y = x 2 − 1 é negativa para valores à direita de −1 que estão próximos de −1. O gráfico da função y = x2 − 1 é uma parábola com a concavidade voltada para cima). 5. lim x→2 ln(x− 2) = lim x→2+ ln(x− 2) = −∞ (Note-se que função só está definida à direita de 2 e “ln(0+) = −∞”). 6. lim x→0 e 1 x =? Vamos determinar os limites laterais quando x tende para 0: lim x→0+ e 1 x = +∞ ( lim x→0+ 1 x = +∞ e “e+∞ = +∞”) lim x→0− e 1 x = 0 ( lim x→0− 1 x = −∞ e “e−∞ = 0”) Como os limites laterais são diferentes, não existe lim x→0 e 1 x . Exercı́cios Resolvidos Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites: 1. lim x→+∞ 3x − 2x 3x+1 + 2x−3 2. lim x→+∞ 3x2 − x− 10 x2 − x− 2 3. lim x→2 √ x− √ 2 x− 2 4. lim t→0 1− cos(t) sin(t) 5. lim t→2 e2t−4 − 1 t− 2 6. lim t→+∞ x2 sin 1 x 7. lim x→−∞ xex 8. lim x→+∞ (√ x− √ x + 1 ) 9. lim x→+∞ ( ln(3x2 + 2)− ln(x2) ) 10. lim x→π2 + cos(x) 1− sin(x) Resolução: 1. lim x→+∞ 3x − 2x 3x+1 + 2x−3 = lim x→+∞ 1− 2 x 3x 3 + 2x−33x = 1 3 . (Dividimos o numerador e o denominador pela exponencial de maior base, neste caso 3x.) Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 67 Pré-Cálculo 2005 9 Limites e Continuidade 2. lim x→+∞ 3x2 − x− 10 x2 − x− 2 = lim x→+∞ 3− 1x − 10 x2 1− 1x − 2 x2 = 3. (Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x.) 3. lim x→2 √ x− √ 2 x− 2 = lim x→2 ( √ x− √ 2)( √ x + √ 2) (x− 2)( √ x + √ 2) ( multiplicando pelo conjugado) = lim x→2 x− 2 (x− 2)( √ x + √ 2) = lim x→2 1 √ x + √ 2 (como x 6= 2 podemos simplificar a expressão) = 1 2 √ 2 = √ 2 4 4. lim t→0 1− cos(t) sin(t) = lim t→0 1− cos(t) t · t sin(t) = 0 · 1 = 0. 5. Como lim y→0 ey − 1 y = 1 e 2t− 4 → 0 quando t → 2, lim t→2 e2t−4 − 1 t− 2 = lim t→2 2 e2t−4 − 1 2(t− 2) = 2 lim t→2 e2t−4 − 1 2t− 4 = 2 · 1 = 2. 6. Como lim y→0 sin (y) y = 1 e lim x→+∞ 1 x = 0, tem-se: lim x→+∞ x2 sin 1 x = lim x→+∞ x sin 1x 1 x = “ +∞ · 1′′ = +∞. 7. lim x→−∞ xex = lim x→−∞ x e−x = lim y→+∞ −y ey = 0 (Recorremos a uma mudança de variável y = −x.) 8. lim x→+∞ (√ x− √ x + 1 ) = lim x→+∞ ( √ x− √ x + 1)( √ x + √ x + 1) ( √ x + √ x + 1) (multiplicando pelo conjugado.) = lim x→+∞ x− (x + 1) ( √ x + √ x + 1) = lim x→+∞ −1 ( √ x + √ x + 1) = 0 9. lim t→+∞ ( ln(3x2 + 2)− ln(x2) ) = lim t→+∞ ln 3x2 + 2 x2 = ln ( lim t→+∞ 3x2 + 2 x2 ) = ln 3 (Usamos as propriedades aritméticas dos logaritmos e a continuidade da função logarı́tmica, que nos permite “tro- car” o limite com o logaritmo) 10. lim x→π2 + cos(x) 1− sin(x) = lim x→π2 + cos(x)(1 + sin(x)) (1− sin(x))(1 + sin(x)) (repare-se que x 6= π2 e portanto sinx 6= 1) = lim x→π2 + cos(x)(1 + sin(x)) 1− sin2(x) = lim x→π2 + cos(x)(1 + sin(x)) cos2(x) (usando a fórmula fundamental da trigonometria) = lim x→π2 + 1 + sin(x) cos(x) = −∞ ( quando x → π 2 + , tem-se que sinx → 1 e cos x → 0− ) Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 68 Pré-Cálculo 2005 9 Limites e Continuidade Exercı́cios Resolvidos Determine as equações das assı́mptotas ao gráfico de cada uma das funções: 1. f(x) = x+1x−1 2. g(x) = (x + 1)e 1 x Resolução: 1. lim x→1− f(x) = −∞ e lim x→1+ f(x) = +∞, logo a recta x = 1 é assı́mptota vertical ao gráfico de f . m = lim x→±∞ f(x) x = lim x→±∞ x + 1 x2 − x = 0 e b = lim x→±∞ f(x) = 1, logo a recta y = 1 é assı́mptota horizontal bilateral ao gráfico de f . 2. lim x→0+ g(x) = +∞ e lim x→0− g(x) = 0, logo x = 0 é assı́mptota vertical. m = lim x→+∞ g(x) x = lim x→±∞ (x + 1)e 1 x x = lim x→±∞ [( 1 + 1 x ) e 1 x ] = 1 b = lim x→+∞ (g(x)− x) = lim x→±∞ ( (x + 1)e 1 x − x ) = lim x→±∞ ( (x + 1)e 1 x − (x + 1) + 1 ) = lim x→±∞ [ (x + 1)(e 1 x − 1) ] + 1 = lim x→±∞ [ x + 1 x · e 1 x − 1 1 x ] + 1 = 1 · 1 + 1 = 2 A recta y = x + 2 é assı́mptota oblı́qua bilateral ao gráfico de g. Exercı́cios Propostos Determine, caso existam, as assı́mptotas dos gráficos de cada uma das seguintes funções: 1. f(x) = x2 − 7x + 10 x− 6 ; 2. g(x) = ln(x2 − 2x + 2); 3. h(x) = √ 4x2 − 2x + 3; 4. i(x) = e− 1 x ; 5. i(x) = lnx x . Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 71 Pré-Cálculo 2005 10 Derivadas 10 Derivadas 10.1 Derivada de uma Função num Ponto. Função Derivada Definição: Seja a um ponto de um intervalo aberto I contido no domı́nio Df da função f , ou seja, a ∈ I ⊆ Df . A derivada da função f no ponto a é definida pelo limite f ′(a) = lim x→a f(x)− f(a) x− a , ou equivalentemente, f ′(a) = lim h→0 f(a + h)− f(a) h , caso o limite exista e seja finito. A função f é derivável em I ⊆ Df se admite derivada em todos os pontos de I . A função que a cada elemento a ∈ Df em que f admite derivada faz corresponder f ′(a) designa-se por função derivada de f . Note que Df ′ ⊆ Df mas os dois domı́nios podem ser diferentes. Exercı́cios Resolvidos Mostre que a função f dada por f(x) = |x| não é derivável em 0. Determine a função derivada, f ′, de f . Resolução: Observe-se que f(x) = { x se x > 0 −x se x ≤ 0 Como os limites laterais lim x→0+ f(x)− f(0) x− 0 = 1 lim x→0− f(x)− f(0) x− 0 = −1 são diferentes concluimos que não existe lim x→0 f(x)− f(0) x− 0 , ou seja, não existe a derivada de f no ponto 0. Contudo, a função derivada de f está definida em Df ′ = R \ {0} e é dada por: f ′(x) = { 1 se x > 0 −1 se x < 0 . 10.2 Interpretação Geométrica da Derivada Seja f uma função real de variável real. Uma recta que passa por dois pontos distintos do gráfico de f diz-se recta secante ao gráfico de f . x y s f(x) • a f(a) • b f(b) A equação da recta secante, s, ao gráfico de f em (a, f(a)) e (b, f(b)), é dada por y = f(b)− f(a) b− a (x− a) + f(a). Ao declive da recta secante, f(b)− f(a) b− a Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 72 Pré-Cálculo 2005 10 Derivadas chama-se taxa de variação da função f no intervalo [a, b]. A recta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) tem declive f ′(a) e sua equação é y = f ′(a)(x− a) + f(a). x y • f(x) a f(a) Exercı́cios Resolvidos 1. Determine a recta tangente ao gráfico da função dada por f(x) = x2 no ponto de abcissa x0 = −1. Resolução: Por definição de derivada de uma função num ponto, x0, temos, f ′(x0) = lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 = lim x→x0 x2 − x20 x− x0 = lim x→x0 (x− x0)(x + x0) x− x0 = lim x→x0 (x + x0) = 2x0 ∈ R Como x0 é um número real arbitrário, f é derivável em R. A recta tangente ao gráfico de f no ponto x0 = −1 tem declive f ′(−1) (derivada de f no ponto x0 = −1) e é dada por: y = f ′(−1)(x + 1) + f(−1) = −2x− 1. 2. Seja f : R −→ R cujo gráfico é uma recta, r. Mostre que a tangente ao gráfico da função em qualquer ponto é a própria recta r. Resolução: Consideremos a função f(x) = ax+b, com a, b ∈ R (cujo gráfico é uma recta com declive a e ordenada na origem b), derivável em R. A derivada de f é dada por: lim x→x0 f(x)− f(x0) x− x0 = lim x→x0 a(x− x0) x− x0 = a, i.e, f ′(x0) = a para qualquer número real x0. Se fizermos x0 = 1, a equação da recta tangente ao gráfico de f neste ponto é dada por y = f ′(1)(x− 1) + f(1) = ax + b. Efectivamente, qualquer que seja o ponto x0 ∈ R a recta tangente coincide com o gráfico da própria função: y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0) = a(x− x0) + ax0 + b = ax + b. 10.3 Regras de Derivação Sejam f e g funções deriváveis no conjunto D ⊆ R e α, β ∈ R. Então: • αf + βg é derivável em D e (αf + βg)′ = αf ′ + βg′ (“linearidade”); • fg é derivável em D e (fg)′ = f ′g + fg′; • f g é derivável em D desde que f g esteja definida em D e ( f g )′ = f ′g − fg′ g2 ; • (fα)′ é derivável em D e (fα)′ = αfα−1f ′, desde que fα e fα−1 estejam definidas. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 73 Pré-Cálculo 2005 10 Derivadas Exercı́cios Resolvidos 1. Determine a derivada da inversa da função definida por f(x) = √ x. Resolução: A função f(x) = √ x é invertı́vel e tem derivada f ′(x) = 1 2 √ x não nula no intervalo I =]0,+∞[. Portanto, a sua inversa é derivável em f(]0,+∞[) =]0,+∞[ e ∀y ∈]0,+∞[, (f−1)′(y) = 11 2y = 2y. 2. Considere a função f : R → R, definida por f(x) = 5x7 +6x3 +x+9. Sabendo que f é invertı́vel e f(−1) = −3, determine (f−1)′(−3). Resolução: A função f é uma função invertı́vel e tem derivada f ′(x) = 35x6 + 18x2 + 1 não nula em R. Assim, a inversa de f é derivável em R e (f−1)′(−3) = 1 f ′(f−1(−3)) De f(−1) = −3 resulta que f−1(−3) = −1, logo (f−1)′(−3) = 1 f ′(−1) = 1 54 . Exercı́cios Propostos 1. Considere a função f : R → R, definida por f(x) = 4x3+x+2. Sabendo que f é invertı́vel, determine (f−1)′(2). 10.6 Derivadas de ordem superior à primeira Seja f derivável em D e f ′ também derivável em D. Podemos obter uma nova função f ′′ : D → R, tal que f ′′(x) = (f ′)′(x),∀x ∈ D a que se chama função derivada de segunda ordem ou segunda derivada. Este processo pode ser repetido para obter a função derivada de ordem n que se denota por f (n) (desde que as sucessivas derivadas existam). De modo análogo, a função f ′ designa-se também por derivada de primeira ordem. • A notação de Leibniz é também muito usada para designar derivadas: f ′(x) = df(x) dx = d dx f(x) e f (n)(x) = dnf(x) dxn = dn dxn f(x). Exercı́cios Resolvidos 1. Seja f(x) = cos x,∀x ∈ R. Determine a derivada de ordem n da função f . Resolução: f ′(x) = − sinx; f ′′(x) = − cos x; f ′′′(x) = sin x; f (4)(x) = cos x = f(x). Podemos, neste caso, obter uma regra para a derivada de qualquer ordem da função f : f (2k)(x) = (−1)k cos x e f (2k−1)(x) = (−1)k sinx, ∀k ∈ N. Obs.: Se n par, n = 2k para algum k ∈ N, se n ı́mpar, n = 2k − 1 para algum k ∈ N. Exercı́cios Propostos 1. Encontre as derivadas de 2a ordem das funções y(x) = sin x e y = x. 2. Encontre a derivada de 3a ordem da função g(x) = ln |x|. 3. Encontre todas as derivadas até à 7a ordem da função f(x) = ex. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 76 Pré-Cálculo 2005 10 Derivadas 10.7 Aplicação das derivadas ao estudo de funções 10.7.1 Monotonia Teorema: Seja f uma função derivável num intervalo I ⊆ Df . Se • f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I , então f é monótona crescente em I; • f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I , então f é monótona decrescente em I; • f ′(x) > 0, ∀x ∈ I , então f é estritamente monótona crescente em I; • f ′(x) < 0, ∀x ∈ I , então f é estritamente monótona decrescente em I; • f ′(x) = 0, ∀x ∈ I , então f é constante em I . Definição: Seja f : Df ⊆ R → R com contradomı́nio CDf . O ponto c ∈ Df é • ponto de máximo (resp. mı́nimo) global de f se f(c) é o máximo (resp. mı́nimo) de CDf , i.e., f(x) ≤ f(c),∀x ∈ Df (máximo global) f(x) ≥ f(c),∀x ∈ Df (mı́nimo global) • ponto de máximo (resp. mı́nimo) local se existe um intervalo aberto I que contém c tal que c é ponto de máximo (resp. mı́nimo) global de f no conjunto Df ∩ I , i.e., f(x) ≤ f(c),∀x ∈ Df ∩ I (máximo local) f(x) ≥ f(c),∀x ∈ Df ∩ I (mı́nimo local) Exercı́cios Resolvidos 1. Dada a função f(x) = (x− 1)3 (a) caracterize f ′; (b) estude o sinal de f ′; (c) estude a monotonia de f . Resolução: (a) f ′ fica caracterizada com a determinação da sua expressão analı́tica e respectivo domı́nio. A expressão analı́tica da primeira derivada de f é dada por f ′(x) = 3(x−1)2 e Df ′ = R, pois f é uma função polinomial. (b) Se x = 1 tem-se f ′(x) = 0 e se x 6= 1 tem-se f ′(x) > 0. (c) Como f ′(x) ≥ 0, f é monótona crescente em R. 2. Seja f definida por f(x) = e−x 2 . Estude f quanto à monotonia em R. Resolução: Como f ′(x) = −2xe−x2 temos, 0 f ′(x) + 0 − f(x) ↗ 1 ↘ A função f é crescente em ]−∞, 0[, decrescente em ]0,+∞[ e tem em 0 o máximo (absoluto) f(0) = 1. 10.7.2 Convexidade, Concavidade e Pontos de Inflexão Seja f uma função definida em Df ⊆ R e D ⊆ Df . Definição: Diz-se que f é convexa (côncava) em D se para qualquer intervalo [a, b] ⊆ D, o gráfico da função não está acima (resp. abaixo) da recta secante nos pontos a e b. Se f é convexa (côncava), diz-se que tem a concavidade voltada para cima (resp. para baixo). Definição: O ponto c ∈ Df é ponto de inflexão da função f se em x = c o seu gráfico muda o sentido da concavidade. Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 77 Pré-Cálculo 2005 10 Derivadas x y • a • b • c Função convexa x y • • a b • c Função côncava x y • c côncava convexa Ponto de inflexão Se f ′ for derivável, pode estudar-se a concavidade de f a partir do sinal da segunda derivada, f ′′. Seja I ⊆ Df ′ um intervalo onde f ′ é derivável. Se • f ′′(x) > 0, ∀x ∈ I , então f é convexa em I; • f ′′(x) < 0, ∀x ∈ I , então f é côncava em I . Observe-se que se f é convexa (côncava) em I a recta tangente ao gráfico de f em qualquer ponto c ∈ I fica abaixo (acima) do gráfico de f , numa vizinhança de c. Na figura seguinte estão representados os gráficos de algumas funções e respectivas derivadas: (a) x y f(x) • a x y f ′(x) • x y f(x) (b) x y f ′(x)•◦ b•◦ (c) x y f(x) • c x y f ′(x)•◦ •◦ Em (a) o sentido da concavidade muda no ponto a, i.e, a é ponto de inflexão de f . Repare-se que no intervalo onde f é convexa (resp. côncava), f ′ é crescente (resp. decrescente) . Em (b) a função f é convexa (tem concavidade voltada para cima) e a função f ′ é crescente em ]−∞, b[ e em ]b, +∞[. Note-se que a função f não é derivável no ponto x = b. Em (c) a função f é côncava em ]−∞, c[ e convexa em ]c,+∞[. Apesar de não existir derivada de f em x = c, c é ponto de inflexão. Exercı́cios Resolvidos 1. Estude os intervalos de concavidade da função f(x) = x ln |x|. Resolução: Comecemos por determinar o domı́nio de f . Df = {x ∈ R : |x| > 0} = R \ {0}. Assim, podemos definir a função f por ramos da seguinte forma: f(x) = { x lnx se x > 0 x ln(−x) se x < 0 A derivada da função f é definida por f ′(x) = { lnx + 1 se x > 0 ln (−x)− 1 se x < 0 Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro 78