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Note-se que 2 nao pertence ao domınio da expressao donde nao pode ser solucao. O conjunto solucao da equacao dada e {−3}.

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Pre-Calculo 2005 3 Equac oes Exercıcios Propostos

Determina, em R, o conjunto solucao das seguintes equacoes.

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Notacao Definicao Exemplos

Inequacao indica uma relacao de maior que (menor que) entre duas expressoes

Solucao ou Raiz da Inequacao e um valor que, quando concretizado na variavel, transforma a inequacao numa proposicao verdadeira

Regras Praticas Exemplos

Quando se multiplicam ambos os membros de uma inequacao por um numero positivo o sentido da desigualdade mantem-se.

Quando se multiplicam ambos os membros de uma inequacao por um numero negativo inverte-se o sentido da desigualdade.

Resolver a inequacao ax2 + bx + c > 0 e determinar os valores de x para os quais a funcao f e positiva, isto e, o grafico da funcao fica acima do eixo dos x.

Analogamente, resolver a inequacao ax2 + bx + c < 0 e determinar os valores de x para os quais a funcao e negativa, ou seja, o grafico da funcao fica abaixo do eixo dos x.

As solucoes deste tipo de inequacoes dependem do valor de a e da posicao do vertice da parabola correspondente a inequacao tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vertice e dada por

Caso a > 0 (concavidade para cima)

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Caso a < 0 (concavidade para baixo)

Exercıcios Propostos 1. Determine o menor numero natural que verifica a condicao

Recorde-se que C ∧ V ⇔ C, qualquer que seja a condicao C e, alem disso,

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Exercıcios Propostos

Determine, em R, o conjunto solucao das seguintes inequacoes

4.3 Inequacoes com Radicais

Resolucao de inequacoes do tipo √

elevam-se ambos os membros ao quadrado e obtem-se uma inequacao equivalente. Recorde-se que f(x) ≥ 0 e o domınio da expressao.

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Resolucao de inequacoes do tipo √

eleva-se ambos os membros ao quadrado e obtem-se uma inequacao equivalente. Recorde-se que f(x) ≥ 0 e o domınio da expressao.

Exercıcios Propostos

4.4 Resolucao de outras Inequacoes

O primeiro passo a realizar na resolucao de uma inequacao e transforma-la numa inequacao equivalente cujo segundo membro da inequacao seja nulo. De seguida, e sempre que possıvel, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressoes .

Exemplo 1 Considere-se a seguinte inequacao (x − 4)(x + 1) > 0. Resolver esta inequacao e determinar os valores de x para os quais o produto de x − 4 por x + 1 e positivo. Atendendo a que o produto de dois factores so e positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de x sao os que verificam as condicoes

Uma forma mais simples para a resolucao deste tipo de inequacoes e a construcao de uma tabela. O primeiro membro da inequacao (x − 4)(x + 1) > 0 tem dois factores. O que se pretende e colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores e positivo ou negativo.

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Os valores que se tem de colocar nas colunas sao os valores para os quais cada factor se anula, por ordem crescente. Os factores anulam-se para 4 e −1, respectivamente. Assinala-se o sinal que cada factor toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma

A ultima linha e preenchida atendendo a regra dos sinais.

Regra dos Sinais

Um produto e positivo se o numero de factores negativos e par Um produto e negativo se o numero de factores negativos e ımpar

Exemplo 2 Considere-se a seguinte inequacao

Tem que se colocar o segundo membro da inequacao a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressoes.

Aplicando a tabela descrita no exemplo anterior, os factores anulam-se para 7

tabela tem a forma

Note-se que, quando x = 4, o denominador anula-se e a inequacao nao faz sentido e, por isso, e usual escreverse S/S, que significa Sem Significado. Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fraccao. Assim o

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Pre-Calculo 2005 4 Inequac oes Exercıcios Propostos

1. Determine, em R, o conjunto solucao das seguintes inequacoes

(a) 1

(e) 1

(f) 5

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