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Ainda e possıvel simplificar um pouco mais a expressao uma vez que existe uma potencia de grau superior ao

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Exemplo 6: Seja √ para todo x ∈ R). Aplicando os casos notaveis, obtem-se √

Exercıcios Propostos Simplifique as expressoes, racionalizando o denominador sempre que necessario.

(e) 2

(g) ba − a b

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Notacao Definicao Exemplos

Equacao e uma igualdade onde figura pelo menos uma variavel

Equacao Polinomial e uma igualdade

Solucao ou Raiz da Equacao e um valor que, quando concretizado na variavel, transforma a equacao numa proposicao verdadeira

Conjunto Solucao e o conjunto de todas

Equacoes Equivalentes sao equacoes com o

Equacao Impossıvel nao tem

Equacao Possıvel admite pelo menos

Serao recordados apenas metodos simples de resolver equacoes polinomiais do 1o e do 2o grau ou equacoes que podem ser simplificadas para equacoes desse tipo.

Chama-se grau de uma equacao polinomial ao maior expoente das potencias de x que surge na equacao, apos simplificacao.

Equacao do 1o grau

Exemplo: Considere-se a equacao

Simplificando, e atendendo ao quadro anterior, conclui-se que

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Pre-Calculo 2005 3 Equac oes Exercıcios Propostos

Resolva, em R, as seguintes equacoes.

Equacao do 2o grau

Para a resolver a equacao deve-se, em primeiro lugar, simplifica-la.

Exercıcios Propostos

3.3 Equacoes com Radicais

Resolucao de equacoes com radicais do tipo √ f(x)

• Primeiro deve-se isolar os radicais. • De seguida elevam-se ambos os membros ao quadrado.

Ao fazer esta operacao pode-se nao obter uma equacao equivalente a inicial pois podem ser introduzidas novas solucoes.

• Por fim, e depois de obter as solucoes da nova equacao, verifica-se se estas satisfazem a equacao inicial. • Nao esquecer que o domınio da expressao e f(x) ≥ 0.

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obtem-se

Nota: Repare-se que coloca-se o sinal de implicacao ⇒ quando se eleva ao quadrado ambos os membros porque, tal como foi dito anteriormente, pode-se estar a acrescentar solucoes, e portando nao se obtem equacoes equivalentes. Tambem por isso nao e necessario escrever domınios iguais.

Exercıcios Propostos

Exemplo 2: Considere-se a equacao |5x + 4| = −2. E facil verificar que se trata de uma equacao impossıvel pois uma distancia nunca pode ser negativa. De facto,

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Outro caso em que tambem se pode usar a tecnica do “elevar ao quadrado ambos os membros”, e nas equacoes que envolvem dois modulos. Nestas situacoes nao se inserem novas solucoes, ou seja, as solucoes obtidas depois de se elevar ao quadrado ambos os membros sao as mesmas da equacao inicial.

Exercıcios Propostos

3.5 Resolucao de outras Equacoes

Um processo muito usado na resolucao de equacoes e usar a decomposicao em factores seguida da lei do anulamento do produto. Lei do anulamento do produto

Exemplo: A lei do anulamento do produto permite determinar o conjunto solucao da equacao

Aplicando a lei do anulamento do produto vem que

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Pre-Calculo 2005 3 Equac oes Outros processos de resolucao de outro tipo de equacoes serao exemplificados.

Exemplo 1: Considere-se a equacao x4 + x2 − 12 = 0. Apesar de se tratar de uma equacao do 4o grau, onde nao se encontra nenhum factor comum para colocar em evidencia, pode-se resolve-la como sendo uma equacao do 2o grau. Repare-se que

Se se fizer uma mudanca de variavel y = x2 e se aplicar a formula resolvente obtem-se

Exemplo 2: Pretende-se determinar o conjunto solucao da equacao

Sabe-se que

No domınio da expressao, uma fraccao e nula se e so se o seu numerador e nulo. Assim

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