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Pre-Calculo

Uma Revisao de Conceitos Matematicos para as Cadeiras de Calculo

Departamento de Matematica Universidade de Aveiro

Setembro de 2005

Pre-Calculo 2005 Objectivos do Pre-Calculo

Este texto pretende dar aos alunos das disciplinas de Calculo (I e I) uma visao generica de algumas materias, ja estudadas anteriormente, e que consideramos serem pre-requisitos de Matematica para as disciplinas de Calculo. Nao pretendemos mais do que fornecer ao aluno a possibilidade de recordar, de uma forma rapida e facil, alguns resultados que foram (ou nao) sendo estudados em anos anteriores e que consideramos indispensaveis a percepcao das materias a leccionar. Nao usamos grande detalhe na exposicao dos resultados, mas preocupamo- -nos mais com a resolucao de alguns exercıcios que ajudem a recordar os conceitos estudados no ensino pre-

-universitario. Ao longo do ano havera provavelmente necessidade de outras revisoes que aqui nao puderam ser contempladas. Conscientes das dificuldades em Matematica, sentidas por grande numero de alunos, procuraremos, deste modo, facilitar a sua integracao no ensino superior. Para isso, e indispensavel que da parte dos alunos haja vontade de aprender e alguma vontade de trabalhar... Para um melhor aprofundamento das materias aqui afloradas, os alunos deverao consultar outros textos. Para alem dos manuais do ensino secundario, sugerem-se, a tıtulo de exemplo:

1. Iaci Malta, Sinesio Pesco e Helio Lopes. Calculo a Uma Variavel, volumes I e I. Edicoes Loyola, 2002. 2. Jaime Carvalho e Silva. Princıpios de Analise Matematica Aplicada. McGraw-Hill, 1994. Pode tambem consultar outra bibliografia conforme indicado nas Referencias.

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Pre-Calculo 2005 Conteudo

1.1 Conjuntos de Numeros1
1.2 Condic oes1
1.3 Modulo de um Numero2
1.4 Operac oes com Fracc oes2
1.5 Potencias3
1.6 Casos Notaveis da Multiplicacao4
2.1 Divisao Inteira de Polinomios5
2.1.1 Algoritmo da Divisao Inteira de Polinomios5
2.1.2 Regra de Ruffini6
2.2 Zeros de um Polinomio e Factorizacao6
2.3 Simplificacao de Expressoes8
3.1 Equacao do 1o Grau1
3.2 Equac oes do 2o grau12
3.3 Equac oes com Radicais12
3.4 Equac oes com Modulos13
3.5 Resolucao de outras Equac oes14
4.1 Inequac oes do 2o grau17
4.2 Inequac oes com modulos18
4.3 Inequac oes com Radicais19
4.4 Resolucao de outras Inequac oes20
5.1 Nocao de Funcao. Domınio e Contradomınio23
5.2 Func oes Reais de Variavel Real23
5.3 Restricao de uma funcao26
5.4 Func oes definidas por ramos26
5.4.1 A funcao modulo26
5.5 Injectividade e sobrejectividade28
5.6 Paridade de Func oes29
5.7 Func oes Monotonas30
5.8 Funcao Limitada31
5.9 Funcoes com parametros ou famılias de funcoes32
5.10 Func oes polinomiais32
5.1 Func oes racionais3
5.12 Funcao Composta3
5.13 Inversa de uma Funcao34
6.1 Logaritmos36
6.1.1 Propriedades36
6.2 Funcao Exponencial36
6.2.1 Propriedades da exponencial36
6.2.2 Funcao Exponencial de Base a com a > 137
6.2.3 Funcao Exponencial de Base a com 0 < a < 137
6.3 Funcao Logarıtmica39
6.3.1 Funcao Logarıtmica de Base a, com a > 139
6.3.2 Funcao Logarıtmica de Base a, com 0 < a < 140

6 Funcao logarıtmica e funcao exponencial 36 Departamento de Matematica, Universidade de Aveiro i

Pre-Calculo 2005 Conteudo

7.1 Func oes Trigonometricas43
7.2 Identidades Trigonometricas43
7.3 Graficos das funcoes trigonometricas4
7.3.1 Func oes seno e cosseno4
7.3.2 Funcao tangente45
7.4 Equac oes trigonometricas45
8.1 Conceitos fundamentais48
8.1.1 Sucessoes definidas por recorrencia50
8.2 Monotonia51
8.3 Sucessoes limitadas52
8.4 Progressoes aritmeticas e geometricas53
8.4.1 Progressoes aritmeticas53
8.4.2 Progressoes geometricas54
8.5 Convergencia de uma sucessao5
8.6 Limites notaveis56
8.7 Propriedades aritmeticas dos limites56
8.8 Teoremas sobre limites57
9.1 Definicao de Limite61
9.2 Continuidade62
9.3 Propriedades dos Limites62
9.4 Propriedades das Funcoes Contınuas63
9.5 Limites Infinitos e Limites no Infinito65
9.6 Propriedades dos Limites Infinitos6
9.7 Assımptotas70
10.1 Derivada de uma Funcao num Ponto. Funcao Derivada72
10.2 Interpretacao Geometrica da Derivada72
10.3 Regras de Derivacao73
10.4 Derivada da Funcao Composta74
10.5 Derivada da funcao inversa75
10.6 Derivadas de ordem superior a primeira76
10.7 Aplicacao das derivadas ao estudo de funcoes7
10.7.1 Monotonia7
10.7.2 Convexidade, Concavidade e Pontos de Inflexao7

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1.1 Conjuntos de Numeros

N0 Numeros Naturais e o Zero

Z = N0 ∪ {−n : n ∈ N};−2;−1;0;1;2;...

Z Numeros Inteiros

Q Numeros Racionais dızimas finitas:

= 0, 25; 34, 8; 3;

4 dızimas infinitas periodicas:

;

R Numeros Reais

Uma condicao (numerica) e uma expressao que contem variaveis e que, para toda a concretizacao (substituicao das variaveis por numeros), so admite um valor logico, verdadeiro (V) ou falso (F). Chama-se condicao universal (c.univ.) a uma condicao que e verdadeira para toda a concretizacao (p.e., x2 +1 > 0); chama-se condicao impossıvel (c.imp.) a uma condicao que e falsa para toda a concretizacao. A partir de condicoes elementares (por exemplo, relacoes de igualdade, =, ou de ordem, <), constroem-se condicoes mais complicadas por conjuncao (com o operador ∧, “e”) ou disjuncao (com o operador ∨, “ou”).

Consequencia disto sao as seguintes leis. Seja C uma condicao qualquer. Entao,

• C ∧ c.imp. e C ∧ F sao c.imp. Exemplos:

O modulo ou valor absoluto de um numero real x e definido por

ou seja, e o valor nao negativo que representa a distancia desse numero a origem da recta real.

Exemplo: Por definicao

Exercıcios Propostos

1.4 Operacoes com Fraccoes

Propriedades Exemplos a b ab + ac

a + ca b + ac ex + x tanx b + cd

Exercıcios Propostos

Utilizando os sımbolos = ou 6=, e impondo as condicoes necessarias, preencha os espacos de forma a que a afirmacao resultante seja verdadeira. Justifique a sua resposta.

(a) ab + ac

b + ac (b)

a a−b

− 1 ∧ . . .
(c) − (a + b)− a + b (d) (a − b) − c ... a − (b − c)
(f) a

(e) − a b −ab bc a b c

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au e uma potencia de base a e expoente u

A potencia au nao esta definida para todo a,u ∈ R.

significado.

Propriedades Exemplos

avau = av+u avau 6= avu

ATENC AO Exemplos

NOTA: Se a < 0, as propriedades anteriormente descritas sao apenas validas se u = rs, com s um numero ımpar. Por exemplo, se aplicarmos a 5a propriedade a por outro lado,

Justifique porque e que 0 nao esta definido. Departamento de Matematica, Universidade de Aveiro 3

Pre-Calculo 2005 1 Numeros e Calculo 2. Utilizando os sımbolos = ou 6=, e impondo as condicoes necessarias, preencha os espacos de forma a

a2 + 1a + 1 (b) (ar)2 ... ar2
(c) axby(ab)xy (d) n√

que a afirmacao resultante seja verdadeira. Justifique a sua resposta.(a) √ 1

c− 1

c n

aa 1
amamn

3. Simplifique as as seguintes expressoes, aplicando as propriedades vistas anteriormente.(a) (√3

1.6 Casos Notaveis da Multiplicacao

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Notacao Definicao Exemplo

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