Baixe Matemática Financeira-aula 13 e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity! i i “mat˙fin” — 2008/8/12 — 15:12 — page 7 — #1 i i i i i i Aula SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS 13 O b j e t i v o s Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 1 entender os conceitos do Sistema de Amortização Americano - SAA; 2 entender os conceitos do Sistema de Amortizações Variáveis; 3 interpretar e resolver os problemas propostos. i i “mat˙fin” — 2008/8/12 — 15:12 — page 8 — #2 i i i i i i Matemática Financeira | Sistema de Amortização Americano (SAA) Sistema de Amortizações Variáveis SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) INTRODUÇÃO Neste sistema, o principal é devolvido em uma só parcela no final do perı́odo contratado. Em geral, os juros são pagos du- rante o perı́odo de empréstimo; entretanto, podem ser capitaliza- dos e pagos de uma só vez, junto com o principal, tudo depende do acordo entre as partes interessadas. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO - SAA Exemplo 13.1 a) Por um empréstimo de R$ 10.000,00, uma pessoa se propõe a devolver o principal daqui a 4 meses, pagando somente os juros à taxa de 10% ao mês. Construa a planilha. Solução: A planilha é construı́da, calculando-se os juros do perı́odo sobre o saldo do perı́odo anterior. No último perı́odo, além dos juros, será pago também o principal. Assim, temos que: Planilha do financiamento Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk) (Ak) (Jk = i×Sdk−1) (Pk = Ak + Jk) 0 10.000,00 - - - 1 10.000,00 1.000,00 1.000,00 2 10.000,00 1.000,00 1.000,00 3 10.000,00 1.000,00 11.000,00 TOTAL - 10.000,00 3.000,00 13.000,00 b) Um banco empresta R$ 100.000,00 a uma empresa, a uma taxa de juros de 10% ao semestre, com prazo de utilização unitário, para ser devolvido após uma carência de 2 anos. Sabendo-se que os juros serão cobrados semestralmente, calcular planilha pelo sistema americano. Qual a taxa efe- tiva anual? 8 C E D E R J i i “mat˙fin” — 2008/8/12 — 15:12 — page 11 — #5 i i i i i i A U L A 13 1 M Ó D U L O 1Como S = R×FV F (i;n)⇒R = S FV F (i;n) e daı́, R = 100.000,00 FV F (10;4) . Utilizando uma tabela financeira ou a equação FV P(i;n)= (1+ i)n −1 i , tem-se que FV P(10%;4) = 1− (1+ 0,10)−4 0,10 ⇒ FV P(10%;4) ∼= 4,641000. Portanto, R = 100.000 4,64100 ∼= 21.547,08. Na construção da tabela, teremos na coluna dos depósitos, valor do termo R encontrado. Os juros de um perı́odo são determinados sobre o saldo credor anterior considerando a taxa combinada. O saldo credor do perı́odo é determinado somando-se o saldo anterior com o depósito e os juros do perı́odo. Assim, tem-se que: Planilha do fundo de amortização Anos Saldo credor Juros Depósito (k) (Sck) (Jk) (Dk) 0 0,0 0,0 0,0 1 21.547,08 0,0 21.547,08 2 45.248,87 2.154,71 21.547,08 3 71.320,84 4.524,89 21.547,08 4 100.000,00 7.132,08 21.547,08 TOTAL - 48.000,00 100.000,00 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS Neste caso, o pagamento do principal é feito em parcelas desiguais, conforme estabelecido no contrato de empréstimo. Exemplo 13.3 Uma empresa pede emprestados R$ 100.000,00, a uma taxa de 10% ao ano, que serão amortizados anualmente do seguinte modo: a) 1o¯ ano: 10.000,00; b) 2o¯ ano: 20.000,00; c) 3o¯ ano: 30.000,00; d) 4o¯ ano: 40.000,00. C E D E R J 11 i i “mat˙fin” — 2008/8/12 — 15:12 — page 12 — #6 i i i i i i Matemática Financeira | Sistema de Amortização Americano (SAA) Sistema de Amortizações Variáveis Sabendo que o banco concedeu 3 anos de carência para o inı́cio das amortizações, que a taxa de juros devidos serão pagos anualmente, construir a planilha. Solução: A planilha é construı́da, colocando-se inicialmente os va- lores das amortizações, determinando-se os saldos devedores de cada perı́odo, em seguida, calcula-se os juros sobre o saldo devedor do pe- rı́odo anterior. Planilha do financiamento Anos Saldo devedor Amortização Juros Prestação (k) (Sdk) (Ak) (Jk = iSdk−1) (Pk = Ak + Jk) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 3 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 4 90.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00 5 70.000,00 20.000,00 9.000,00 29.000,00 6 40.000,00 30.000,00 7.000,00 37.000,00 7 - 40.000,00 4.000,00 44.000,00 TOTAL - 100.000,00 60.000,00 160.000,00 Resumo Nesta aula, continuamos o estudo dos Sistemas de Amor- tização de Empréstimos. Os conceitos envolvidos nesse es- tudo foram agora utilizados no desenvolvimento do estudo do Sistema de Amortização Americano – SAA e do Sistema de Amortizações Variáveis. Exercı́cio 13.1 1. Um empréstimo no valor de R$ 850.000,00 a uma em- presa para serem devolvidos em prestações quadrimes- trais, pelo Sistema de Amortização Americano, em 4 anos. A taxa de juros cobrada a cada quadrimestre é de 8,5%. Pede-se: a) elaborar a planilha do empréstimo pelo SAA; 12 C E D E R J i i “mat˙fin” — 2008/8/12 — 15:12 — page 13 — #7 i i i i i i A U L A 13 1 M Ó D U L O 1 b) sendo de 4 % a.q. a taxa de aplicação, determinar o valor dos depósitos quadrimestrais para constituição de um fundo de amortização. Resposta: b) R$ 56.569,30. 2. Um financista toma emprestado R$ 100.000,00 à taxa de 25% ao ano, pelo prazo de 4 anos. Optando pelo Sistema Americano, constitui um fundo de amortização, aplicando seus depósitos anuais a 27% ao ano. Construir o quadro demonstrativo dos desembolsos anuais e da evolução do fundo de amortização. 3. Uma empresa recebeu um empréstimo de R$ 5.000.000,00, compromissando-se a devolvê-lo ao fim de seis anos pelo Sistema Americano, pagando anualmente apenas os ju- ros vencidos no perı́odo. A taxa contratada é de 10% ao ano. Planejando a devolução do principal, a empresa re- solve constituir um fundo de amortização, aplicando anu- almente certa quantia fixa em uma instituição financeira que paga 8% ao ano. Qual será o desembolso anual? Resposta: R$ 1.181.576,93. 4. Um banco de investimentos empresta R$ 500.000,00 a um cliente, contratando-se a taxa de 10% ao ano, com capitalizações semestrais sem carência. A devolução do principal far-se-ia mediante cinco parcelas semestrais de: 1a¯ parcela: R$ 50.000,00 2a¯ parcela: R$ 75.000,00 3a¯ parcela: R$ 100.000,00 4a¯ parcela: R$ 125.000,00 5a¯ parcela: R$ 150.000,00 Os juros serão cobrados sobre o saldo devedor, vencendo a cada semestre. Construir a planilha do financiamento. 5. O montante de R$ 450.000,00 é financiado em cinco anos à taxa de 18% ao ano pelo Sistema Americano. Se o toma- dor do empréstimo pudesse optar pelo Sistema Francês, mantendo-se a taxa de juros, quanto perderia, caso a taxa do fundo de amortização fosse de 15% ao ano? Resposta: 25.904,03. C E D E R J 13