algebra vetorial

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(Parte 1 de 5)

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 1

DEF: Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta. Sejam v um vetor diretor de uma reta r e A um ponto de r.

RtvtAX∈=, ⇔

Exemplos:

a) Uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(-5, 2, 3) e B(4,-7,-6) é:

b) As equações vetoriais dos eixos coordenados são

X = O + ti, eixo das abscissas X = O + tj, eixo das ordenadas

X = O + tk, eixo das cotas

Podemos interpretar a equação vtAX+=como o movimento descrito por um ponto sobre a reta r, com velocidade constante (vetorial) igual a v, t indicando o tempo e A a posição no instante inicial t = 0. Valores negativos de t indicam o “passado” do movimento, em relação ao instante inicial. A cada valor de t temos uma posição bem determinada do ponto móvel e fazendo t percorrer todo o conjunto R, a reta r é percorrida integralmente pelo ponto (r representa a trajetória do movimento). Como há muitos movimentos retilíneos uniformes com a mesma trajetória, fica fácil entender por que existem muitas equações vetoriais para a mesma reta.

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 2

Seja ()321,,,Oeee um sistema de coordenadas cartesianas no espaço.

Consideremos em relação a este sistema:

X(x, y, z) um ponto genérico, A(x0, y0, z0) um ponto dado e v = (a, b, c) um vetor diretor da reta r.

Escrevendo a equação vetorial da reta em coordenadas, obtemos

Rt ctzz btyy atxx que é o sistema de equações paramétricas da reta r.

Exemplo: As equações paramétricas do eixo coordenado y são

Rtz ty x tz ty tx

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 3

Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor é nula, podemos isolar t no primeiro membro de cada uma das equações paramétricas da reta e obter c zzb yya

Exercícios: 1) Seja r a reta determinada pelos pontos A(1,0,1) e B(3,-2,3). a) Obtenha equações de r nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. b) Verifique se o ponto P(-9,10,-9) pertence à reta r. c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A e B.

2) Mostre que as equações 1213

+=−=− z yx descrevem uma reta, escrevendo-as de modo que possam ser reconhecidas como equações na forma simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor da reta.

3) Escreva na forma simétrica a equação de uma reta no plano yz.

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 4

• Por uma reta pode-se traçar uma infinidade de planos. • Por três pontos não alinhados passa um único plano.

• A reta que passa por dois pontos distintos de um plano está contida nesse plano.

• Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semi-planos.

• Por uma reta e um ponto não pertencente à reta, passa um único plano. • Por duas retas paralelas (não coincidentes) passa um único plano.

• Por duas retas concorrentes passa um único plano.

• Por três pontos não alinhados passa um único plano.

DEF: Se u e v são LI e paralelos a um plano pi, u e v são ditos vetores diretores de pi. EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO

Sejam u e v vetores diretores de um plano pi, A um ponto fixo de pie X um ponto genérico de pi.

É claro que u, v e AX são LD, pois são coplanares.

Como u e v são LI, temos vuAXAXµλ+=−=, ou seja,

Exemplo: Dada uma reta r: X = A +vλ e um ponto rP∉, podemos determinar o plano .,,: RAPvAX ∈++= µλµλpi

AX u u v

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 5

Seja ()321,,,Oeee um sistema de coordenadas cartesianas no espaço. Consideremos em relação a este sistema: X (x, y, z) um ponto genérico,

A (x0, y0, z0) um ponto dado,

vetores diretores de um plano pi.

Escrevendo a equação vetorial do plano em coordenadas, obtemos

R cz by ax que é o sistema de equações paramétricas do plano pi.

Exercício: Seja pi o plano que contém o ponto A(3, 7, 1) e é paralelo a ()1,1,1=u e ()0,1,1=v.

a) Obtenha duas equações vetoriais de pi. b) Escreva equações paramétricas de pi. c) Verifique se o ponto (1, 2, 2) pertence a pi.

d) Verifique se o vetor ()5,2,2=w é paralelo a pi.

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Considerando que u, v e AX são LD, temos que cba cba zyx , isto é, ba z ac ac y cb cb x.

Sejam 2 ba c ac ac b cb cb a=== e a equação acima poderá ser reescrita como:

=−⋅+−⋅+−⋅ czbyaxczbyax zzcyybxxa

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA ERON E ISABEL 6

Exercícios: 1) Obtenha a equação geral do plano pi em cada caso.

c) pi tem equações paramétricas

2) Obtenha equações paramétricas do plano pi: 012=−−+zyx.

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