Teoria de Algebra Linear e Geometria Descritiva

Teoria de Algebra Linear e Geometria Descritiva

(Parte 1 de 3)

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I

Unidade I – ESTUDO DAS CÔNICAS 1) Equação da circunferência

De maneira geral, denominamos de uma curva a toda equação em x e y cujas soluções ( x,y) são as coordenadas dos pontos da curva.

No caso de um circunferência de centro C ( xC , yC ) e raio r dados, temos:y
r• P
P (x,y) ∈ curva ⇔ d (CP) = rC •

Assim, usando a fórmula de distância entre dois pontos, obtemos:

r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ²que é denominada equação reduzida da circunferência.

Exemplos: 1) Determine a equação reduzida da circunferência de centro C ( 3, -1) e raio r = 2. Solução : ( x – 3 ) ² + (y – (-1))² = 2², ou seja, ( x – 3 )² + ( y +1)² = 4

2) Verifique se os pontos A (2, -1) e B (3,0) pertencem a circunferência de equação (x-2)²+(y-3)²=16.

3) Identifique o centro e o raio da circunferência de equação ( x+3)² + (y-1)² = 9 4) Determine a equação da circunferência de centro ( 0,0) e raio 5.

Já conhecemos a equação reduzida da circunferência, que é r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ². Desenvolvendo esta equação, temos:

r² = x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc² Reorganizando, teremos:

-2xc = a , –2yc = b e xc ² + yc² - r² = c, teremos:

x² + y² + ax + by + c = 0 que é a equação geral da circunferência.

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Observamos que: -2 xc = a ⇒ 2 x c

-2 yc = b ⇒

2 byc xc² + yc² - r² = c ⇒ cyxr

Exemplos: 1) Determine a equação geral da circunferência de centro C(2,3) e raio 1.

2) Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y²- 8x + 12y + 3 = 0.

2) O gráfico da circunferência

Dada a equação (x-1)² + (y-2)² = c, podemos observar os seguintes casos:

a) Se c > 0, então a equação representa uma circunferência de centro (1,2) e raio r = c.

b) Se c = 0, então a equação representa o ponto (1,2) c) Se c < 0, então ela representa o conjunto vazio. Faça o gráfico para visualizar melhor.

Exercícios: 1) Determine a equação da circunferência ( reduzida e geral) em cada caso: a) C ( 3,3) e r = 6 b) C(-1,-3) e r = 2

2) Sendo dado o ponto P(1,1) pertencente a circunferência e o centro C(3,3), determine a equação reduzida e geral da circunferência.

3) Determine o centro e o raio da circunferência em cada caso: a) x² + y² - 4x – 8y + 19 = 0 b) 2x² + 2y² + 4x – 8y – 8 = 0 c) 2x² - y² = 9 d) 4x² + 4y² + 8x – 4y – 3 = 0

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b) (x+1)² + (y+3)² = 4e x² + y² + 2x + 6y + 6 = 0
2) (x-3)² + (y-3)² = 8e x² + y² - 6x – 6y + 10 = 0
3) a) C (2,4) r = 1b) C(-1,2) e r = 3 c) não é circunferência d) C(-1, ½ ) r=2

3) A circunferência definida por três pontos

1) Determine a equação da circunferência de centro C(2,0) e que passa pelo ponto P(4,1). Solução: Para obtermos o raio, basta usar a fórmula da distância:

rP r = 5

A equação da circunferência fica então definida como ( x – 2) ² + y² = 5.

2) Vamos agora determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos M(2,0) e N(4,-2) e tem centro na reta s: y = 2x.

Como o centro equidista de todos os pontos na circunferência, temos queN s
d(CM) = d(CN)M

Solução:

)y2()x(4)y(0)x(2−−+−=−+−
Ficamos com 4xc – 4 yc = 16 ou xc – yc = 4C

2c2c2c2c Como C(xc ,yc ) pertence a s: y = 2x, temos que yc = 2xc .

Substituindo esta equação na equação acima, vem: xc = -4 e yc = - 8. Assim, o centro é C = ( -4, -8) e podemos obter o raio:

A equação da circunferência é ( x + 4 )² + ( y + 8 ) ² = 100

3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(3, -1) , N(0,8) e P (0,0) . Situação: N

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Exercícios: 1) Encontre a equação da circunferência sabendo que os pontos A(4,-2) e B(2,0) pertencem a circunferência e cujo centro é o ponto médio de AB.

2) Determine a equação de um circunferência de raio igual a 3, tangente aos eixos coordenados e contida no 2º quadrante.

3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(-1,0) e B(1,0) e tem raio igual a 10.

4) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(7,10), B(-9,2) e D(9,-4)

4) Posições relativas: I ) Posição relativa entre ponto e circunferência: Dado um ponto P qualquer e um circunferência, podemos ter três casos:

γP • P
• C• C • C
P ∈ γP ∈ interior de γ P ∈ exterior de γ
a) P (5,-1)e x² + y² - 6x – 2y + 8 = 0

Exemplos: Verifique qual é a posição do ponto P dado em relação à circunferência de equação dada: b) P ( 1, -2) e x² + y² - 2x + 4y – 3 = 0 c) P (1, -3) e x² + y² -2x + 4y – 3 = 0

Conclusão: - Se d(CP) > r o ponto é exterior à circunferência

- Se d (CP) = r o ponto pertence à circunferência

- Se d(CP) < r o ponto é interior à circunferência. Ainda com relação a posição entre ponto e circunferência, podemos observar algumas inequações e gráficos .

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Considere a equação da circunferência de centro (2,3) e raio 2. a) Se ( x-2)² + (y-3)² < 2, teremos pontos dentro da circunferência.

b) Se ( x-2)² + (y-3)² ≤ 2, teremos pontos dentro e sobre a circunferência.

c) Se ( x-2)² + (y-3)² = 2, teremos pontos sobre a circunferência. d) Se ( x-2)² + (y-3)² > 2, teremos pontos fora da circunferência.

e) Se ( x-2)² + (y-3)² ≥ 2, teremos pontos fora e sobre a circunferência.

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2) Determine k para que o ponto P(3,k) pertença ao interior da circunferência de equação x² + y² - 4x = 0.

3) Determine k para que a equação x² + y² - 2x + 4y + k = 0 represente uma circunferência. 4) Idem para x² + y² - 4x – 3y + m = 0.

5) Faça o gráfico que represente as relações abaixo: a) x² + y² < 1 b) x² + y² > 4 c) 1 ≤ x² + y² ≤ 4

6) Represente graficamente as soluções do sistema:

Respostas: 1) a) exterior b) pertence à circunferência c) interior

I ) Posição relativa entre reta e circunferência:

Uma reta t e uma circunferência γ do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas:

SecanteTangente Exterior
PP
dQ d d
• Ct C • • C

t t d < r e t ∩∩∩∩ γγγγ = { P, Q} d = r e t ∩∩∩∩ γγγγ = { P} d > r e t ∩∩∩∩ γγγγ = ∅∅∅∅

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Dada a equação de t, ax + by + c = 0, o centro e o raio de γ, C ( xc, yc ) e r, podemos estabelecer a posição relativa calculando a distância d entre o centro e a reta:

cbyax d 2

Comparando d com r, temos:

d < r ⇔⇔⇔⇔ t e γγγγ são secantes d = r ⇔⇔⇔⇔ t e γγγγ são tangentes d > r ⇔⇔⇔⇔ t e γγγγ são exteriores

Exemplos: 1) Considere a reta t: x + y – 4 = 0 e a circunferência γ: x² + y² = 16 e verifique a posição relativa entre t e γ. Solução: 1º modo: centro e raio de γ: C ( 0, 0) e r = 4

Distância entre C e t: 2 4

Como 422<, temos d < r e concluímos que t e γ são secantes. 2º modo: vamos resolver o sistema das equações de t e γ :

Teremos duas soluções: x = 0 ou 4. Para x = 0 teremos y = 4 enquanto que para x = 4 termos y = 0. Logo, os pontos de intersecção são (4,0) e (0,4). Ou seja, há dois pontos de intersecção, logo a reta e a circunferência são secantes.

I ) Posição relativa entre duas circunferências:

Duas circunferências γ1 e γ2 do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas: a) EXTERIORES b) TANGENTES EXTERNAMENTE

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c) SECANTESd) UMA NO INTERIOR DA OUTRA

e) TANGENTES INTERIORMENTE f) CONCÊNTRICAS

1) Verifique a posição relativa das circunferências: γ1 = ( x – 1 )² + ( y – 2 ) ² = 5

Exercícios 1) Determine a posição relativa entre a reta x + y – 3 = 0 e a circunferência x² + y² -2x –2y –3 = 0.

2) Idem para x + y = -3 e x² + y² - 4x –2y –13 = 0. 3) Idem para x = y + 1 e x² + y² - 2x + 2y – 3 = 0 4) Determine o valor de m para que o ponto P (-1,3) pertença a circunferência x²+y²-2x+3y + m = 0. 5) Quais os pontos de intersecção entre a reta x+y+15=0 e a circunferência x² + y² - 4x -10y - 35=0.

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6) Calcule o comprimento da corda que a reta x + y - 3 = 0 determina na circunferência de equação (x+2)² + (y-1)² = 10.

7) Quais são os valores de k para que a reta t, de equação 4x + 3y + k = 0 e a circunferência de equação x² + y² - 12x + 6y + 9 = 0 sejam secantes? 8) Verifique a posição entre as circunferências:

9) As circunferências de equações x² + y² + 2x – 4y = 0 e x² + y² - x – y = 0 cortam-se nos pontos A e B. Obtenha a equação da reta AB.

Respostas: 1) secantes 2) tangentes 3) secantes 4) m = -21

6) 2 7) k > -45 e k < 15 8) a) exteriores b) tangentes internamente c) interiores não concêntricas d) secantes 9) x – y = 0

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Algumas aplicações das cônicas são: • As órbitas dos planetas têm a forma de elipse;

• A hipérbole é utilizada no estudo descritivo da expansão de gases em motores a explosão;

• A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar.

Aparece ainda na construção de espelhos parabólicos, utilizados em faróis de automóveis, e de antenas parabólicas.

Neste capítulo, vamos estudar a elipse.

Uma maneira prática de desenhar a elipse é a seguinte: espetamos um alfinete em cada foco e amarramos neles as pontas de um pedaço de linha com comprimento 2 a . Deslizando a ponta do lápis pela linha, de modo a mantê-la sempre bem esticada, faremos o desenho de uma elipse.

1) Definição: A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano, F1 e F2 é uma constante 2a (maior que a distância 21FF).

F1•• F2

Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que:

|PF1 | + | PF2 | = 2 a dá-se o nome de ELIPSE.

Observação: a distância 2a é o tamanho do fio que se usou para construir a elipse.

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aa

2) Elementos da elipse: B2 • b

A1 F1•c c • F2 A2
aa

• F1 e F2 são ditos FOCOS;

• d( F1 , F2 ) = distância focal; • C = centro

• A1 , A2 , B1 e B2 = vértices • | A1 A2 | = 2 a ( eixo maior)

• | B1 B2 | = 2 b ( eixo menor) • a = semi eixo maior

• b = semi eixo menor

Em toda a elipse vale a relação: a² = b² + c²

Excentricidade: e = a

3) Equação da Elipse de centro na origem do sistema: 1º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos x.

B2P ( x,y)
A1F1(-c,0) F2(c,0) A2
B1a

Usando a definição, temos: d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a ou, em coordenadas:

Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica I e elevando ao quadrado, temos:

Isolando o radical e tornando a elevar ao quadrado ficamos com:

Elevando novamente ao quadrado:

Dividindo por a² ( a² - c²) fica

Como já sabemos que a² = b² + c², podemos escrever a² - c² = b² Logo, substituindo esta relação teremos:

=+que é a equação reduzida da elipse.

2º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos y.

a•F2
B1 0B2

Com um procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação reduzida

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Observação: Tendo em vista que a² = b² + c², segue que a² > b² e daí a > b

Então, sempre o maior dos elementos na equação reduzida representa o número a², onde “a” é a

1) Dadas as elipses3
a)b)
-22
-33

medida do semi-eixo maior. Exemplos: 2

-3 -2 as equações em cada caso são:

2) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizontal sendo 10 cm e a distância focal 6 cm.

Se o eixo maior = 10, temos que 2a = 10logo, a = 5.

Solução: E se a distância focal = 6, temos que 2c = 6, logo, c = 3 Assim, a equação fica:

=+com a= 5, c = 3 e b = ????

Como achar b? Da relação a² = b² + c² temos que b = 4 Logo, a equação da elipse fica

ou14y5

3) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos, a excentricidade e o gráfico da elipse de equação x² + 4y ² = 16.

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4) Idem para a equação 9x² + 25 y² = 225. 5) Idem para a equação 4x² + y² = 16

6) Idem para a equação x² + y² - 9 = 0

7) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto ( 3,0) e a medida do eixo maior é 8. Determine sua equação.

A excentricidade

A excentricidade de uma elipse de eixo maior 2a e distância 2c é o número tal que e = a

Imaginemos uma seqüência de elipses, todas com mesmo eixo maior, porém com distância focais cada vez menores:

aa a
c1 • • c2 • • c3 •
F1F2 F1 F2 F1 F2

Conforme os focos vão se aproximando, a excentricidade da elipse vai diminuindo ( e1 > e2 > e3 ). Veja que quando a excentricidade é menor, a elipse fica mais arredondada.(Se e = 0, temos circunferência).

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Como curiosidade, saiba que tanto a trajetória da Terra em torno do Sol, como a da Lua em torno da Terra, são elipses, porém muito próximas de circunferências, pois têm excentricidade próximas de zero: a primeira tem excentricidade e = 0,016, enquanto a segunda tem excentricidade e = 0,054.

4) Equação da Elipse com centro fora da origem do sistema:

1º CASO: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x. Considere a elipse de centro C ( xc , yc ) e seja P (x, y) um ponto qualquer da mesma.

F1F2
yc A1 •• A2

xc

A equação de uma elipse de centro C (0,0) e eixo maior sobre o eixo dos x dada por 1byax passa agora, quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos x e o centro for C( xc , yc ), para equação

2º CASO: o eixo maior é paralelos ao eixo dos y.

ycC

xc De forma análoga, temos:

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Exemplo: 1) Determine a equação da elipse de centro C(2,-1) e tangente aos eixos coordenados, sendo os eixos de simetria paralelos aos eixos x e y.

2) Determine o centro, os focos, o eixo maior e o eixo menor da elipse 4x² + 9y² - 16x – 18y – 1 = 0.

Exercícios: 1) Dê a equação e a excentricidade da elipse nos casos seguintes:

a) O eixo menor mede 8 e os focos são F1 (-6,0) e F2 (6,0). b) Um foco é F1 (0,4), o centro dela é C(0,0), ela passa em P(2,0). c) O eixo maior mede 14 e os focos são F1 (0,-5) e F2 (0,5).

3) Determine a equação da elipse em cada caso: a) eixo maior = 10, focos (-4,0) e (4,0) b) centro ( 0,0), um foco em F1 =( ¾ , 0) e um vértice em A1 = (1,0) c) eixo menor = 4, Centro (0,0) e um foco em F1 = (0,5−). d) Centro C(2,4), um foco F(5,4) e excentricidade ¾.

4) Determine o centro, os vértices A1 e A2 , os focos F1 e F2 , e a excentricidade das elipses dadas:

c) 9x² + 25y² - 25 = 0d) 9x² + 5y² = 45

Respostas:

=+,e ≅ 0,83 b) 1
=+,e ≅ 0,89
=+,e ≅ 0,71

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HIPÉRBOLE 1) Definição:

Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância d (F1, F2 ) = 2c. Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que:

| d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 aou | PF1| - | PF2 | = 2a

dá-se o nome de hipérbole.

F1F2

Na verdade, | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a significa que d (P, F1) - d (P, F2) = ± 2 a Quando P estiver no ramo da direita, a diferença é + 2a e, em caso contrário, será – 2a .

P3• P1
F1A1 A2 F2
P4 •P2

A hipérbole é uma curva simétrica em relação a estas duas retas, como também em relação ao ponto C.

Se P1 é um ponto da hipérbole, existem os pontos P2 , P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em relação à reta horizontal, P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical, P4 é o simétrico de P1 em relação à origem.

Ainda pela simetria, conclui-se que

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