UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Departamento de Física Disciplina: Física do Século X A Prof. César Augusto Zen Vasconcellos LISTA TEMÁTICA E DE PROBLEMAS No. 9 – Tratamento Formal de Sistemas Físicos na Mecânica Quântica. Estados Físicos na Mecânica Quântica. Tratamento Formal de um Sistema Quântico. Superposição Linear de Estados Quânticos. Grandezas Observáveis e Operadores em Mecânica Quântica. Posição, Momentum Linear e Energia na Mecânica Quântica. Valores Esperados de Operadores na Mecânica Quântica. Introdução. A Mecânica Quântica compreende o estudo de sistemas físicos cujas dimensões são próximas ou abaixo da escala atômica (ou seja, moléculas, átomos, elétrons, prótons e outras partículas subatômicas). A Mecânica Quântica é um ramo fundamental da física com aplicações nos mais variados campos do conhecimento e, em especial, no desenvolvimento das mais modernas tecnologias. A teoria quântica representa, em muitos aspectos, uma espécie de generalização da mecânica clássica, fornecendo descrições plausíveis para fenômenos de natureza corpuscular, que ocorrem em escalas microscópicas e sub-microscópicas, tais como a radiação de corpo negro, a natureza das órbitas estáveis do elétron, a origem da energia de ligação de um núcleo, entre muitos outros. Há porém efeitos específicos da mecânica quântica que não são somente perceptíveis em escalas microscópicas como, por exemplo, os fenômenos da superfluidez1 e da supercondutividade2. A denominação mecânica quântica se deve, como sabemos, ao fenômeno da discretização de determinadas propriedades físicas, como no caso, por exemplo, de um elétron, em um estado ligado a um núcleo, em que sua energia é quantizada, diferentemente do resultado previsto pela teoria clássica. A palavra Quântica (do Latim, quantum) caracteriza quão expressiva é uma quantidade; a palavra se refere porém, na mecânica quântica, como sabemos, a uma porção discreta atribuída a certas quantidades físicas, como a energia de um fóton de luz. Foi a descoberta de que as ondas eletromagnéticas podem ser explicadas como uma emissão de pacotes de energia (chamados de quanta) que conduziu à mecânica quântica. A mecânica quântica é a base teórica e experimental de vários campos da Física e da Química, incluindo a física da matéria condensada, a física do estado sólido, a física atômica, a física molecular, a química computacional, a química quântica, a física de partículas e a física nuclear. Estados Físicos na Mecânica Quântica. O Conceito de Estado na Mecânica Quântica. Em física, denominamos com a palavra sistema a um ’fragmento‘ da realidade, fragmento este que é ‘separado’ para estudo. Dependendo do caso, a palavra sistema pode referir-se por exemplo a um elétron ou a um próton, a um átomo de hidrogênio ou ao átomo de urânio, a uma molécula isolada ou a um conjunto de moléculas interagentes formando um sólido ou vapor. A especificação de um sistema físico compreende a predição, por meio de uma abordagem teórica baseada em modelos da realidade, de valores numéricos que caracterizem suas propriedades físicas, e a subseqüente ou pré-existente determinação, confirmação ou negação, por meio da experimentação, destas predições. É importante ressaltar que sistemas físicos podem evoluir com o tempo. 1 A superfluidez consiste em um estado anômalo de líquidos, de natureza quântica, que se encontram sob uma temperatura muito baixa, de tal forma que este estado apresenta as seguintes características: viscosidade nula ou quase nula (superfluidez); transmissão de calor anormalmente elevada. 2 Supercondutividade é uma propriedade física que é característica de certos materiais os quais apresentam altos níveis de condução de corrente elétrica, sem apresentar resistências nem perdas ao fluxo de corrente, funcionando ademais como um diamagneto perfeito abaixo de uma temperatura chamada de crítica. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Departamento de Física Disciplina: Física do Século X A Prof. César Augusto Zen Vasconcellos LISTA TEMÁTICA E DE PROBLEMAS No. 9 – Tratamento Formal de Sistemas Físicos na Mecânica Quântica. Estados Físicos na Mecânica Quântica. Tratamento Formal de um Sistema Quântico. Superposição Linear de Estados Quânticos. Grandezas Observáveis e Operadores em Mecânica Quântica. Posição, Momentum Linear e Energia na Mecânica Quântica. Valores Esperados de Operadores na Mecânica Quântica. Introdução. A Mecânica Quântica compreende o estudo de sistemas físicos cujas dimensões são próximas ou abaixo da escala atômica (ou seja, moléculas, átomos, elétrons, prótons e outras partículas subatômicas). A Mecânica Quântica é um ramo fundamental da física com aplicações nos mais variados campos do conhecimento e, em especial, no desenvolvimento das mais modernas tecnologias. A teoria quântica representa, em muitos aspectos, uma espécie de generalização da mecânica clássica, fornecendo descrições plausíveis para fenômenos de natureza corpuscular, que ocorrem em escalas microscópicas e sub-microscópicas, tais como a radiação de corpo negro, a natureza das órbitas estáveis do elétron, a origem da energia de ligação de um núcleo, entre muitos outros. Há porém efeitos específicos da mecânica quântica que não são somente perceptíveis em escalas microscópicas como, por exemplo, os fenômenos da superfluidez1 e da supercondutividade2. A denominação mecânica quântica se deve, como sabemos, ao fenômeno da discretização de determinadas propriedades físicas, como no caso, por exemplo, de um elétron, em um estado ligado a um núcleo, em que sua energia é quantizada, diferentemente do resultado previsto pela teoria clássica. A palavra Quântica (do Latim, quantum) caracteriza quão expressiva é uma quantidade; a palavra se refere porém, na mecânica quântica, como sabemos, a uma porção discreta atribuída a certas quantidades físicas, como a energia de um fóton de luz. Foi a descoberta de que as ondas eletromagnéticas podem ser explicadas como uma emissão de pacotes de energia (chamados de quanta) que conduziu à mecânica quântica. A mecânica quântica é a base teórica e experimental de vários campos da Física e da Química, incluindo a física da matéria condensada, a física do estado sólido, a física atômica, a física molecular, a química computacional, a química quântica, a física de partículas e a física nuclear. Estados Físicos na Mecânica Quântica. O Conceito de Estado na Mecânica Quântica. Em física, denominamos com a palavra sistema a um ’fragmento‘ da realidade, fragmento este que é ‘separado’ para estudo. Dependendo do caso, a palavra sistema pode referir-se por exemplo a um elétron ou a um próton, a um átomo de hidrogênio ou ao átomo de urânio, a uma molécula isolada ou a um conjunto de moléculas interagentes formando um sólido ou vapor. A especificação de um sistema físico compreende a predição, por meio de uma abordagem teórica baseada em modelos da realidade, de valores numéricos que caracterizem suas propriedades físicas, e a subseqüente ou pré-existente determinação, confirmação ou negação, por meio da experimentação, destas predições. É importante ressaltar que sistemas físicos podem evoluir com o tempo. 1 A superfluidez consiste em um estado anômalo de líquidos, de natureza quântica, que se encontram sob uma temperatura muito baixa, de tal forma que este estado apresenta as seguintes características: viscosidade nula ou quase nula (superfluidez); transmissão de calor anormalmente elevada. 2 Supercondutividade é uma propriedade física que é característica de certos materiais os quais apresentam altos níveis de condução de corrente elétrica, sem apresentar resistências nem perdas ao fluxo de corrente, funcionando ademais como um diamagneto perfeito abaixo de uma temperatura chamada de crítica.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Departamento de Física Disciplina: Física do Século X A Prof. César Augusto Zen Vasconcellos LISTA TEMÁTICA E DE PROBLEMAS No. 9 – Tratamento Formal de Sistemas Físicos na Mecânica Quântica. Estados Físicos na Mecânica Quântica. Tratamento Formal de um Sistema Quântico. Superposição Linear de Estados Quânticos. Grandezas Observáveis e Operadores em Mecânica Quântica. Posição, Momentum Linear e Energia na Mecânica Quântica. Valores Esperados de Operadores na Mecânica Quântica. Isto significa dizer que um dado sistema, submetido à idênticas fases de preparo para uma dada realização experimental, pode dar origem a resultados experimentais distintos, dependendo do instante de tempo em que uma determinada medida é realizada. Essa idéia conduz a um conceito fundamental na mecânica quântica: o conceito de estado. Um estado é uma forma abstrata de representação das propriedades físicas de um sistema em função do tempo. Neste contexto, cada sistema, ou componente de um sistema, ocupa, em um dado instante de tempo, um estado. E às leis da física compete ‘regular’ como o sistema evolui, de um estado a outro, com o passar do tempo. Por outro lado, variáveis que são bem determinadas na mecânica clássica3, são substituídas, na mecânica quântica, por grandezas cuja determinação esta associada à uma interpretação probabilística da natureza. Isto porque, no mundo quântico nos deparamos com aspectos que são essencialmente distintos daqueles encontrados no mundo clássico. Dentre estes ressaltamos: a existência de processos não determinísticos e irreversíveis; o fenômeno do entrelaçamento4; as conseqüências do Principio da Complementaridade. Tratamento Formal de Um Sistema Quântico. A Representação do Estado. No formalismo da mecânica quântica, podemos representar o estado de um sistema, em um dado instante de tempo, das seguintes maneiras: • o estado pode ser representado por uma função complexa das posições ou dos momenta lineares de cada partícula que compõe o sistema em função do tempo; essa representação é chamada função de onda; • o estado pode representado por um vetor em um espaço vetorial complexo; esta representação do estado quântico é chamada ‘vetor de estado‘; devido à notação introduzida por Paul Dirac, tais vetores são usualmente chamados, na nomenclatura inglesa, ‘bras’e ‘kets. As funções de onda e os vetores de estado representam os estados de um dado sistema físico de forma completa e equivalente e as leis da mecânica quântica descrevem como vetores de estado e funções de onda evoluem no tempo. Estes objetos matemáticos abstratos permitem o cálculo da probabilidade de se obter resultados específicos em um determinado experimento. Por exemplo, o formalismo da mecânica quântica permite que se calcule a probabilidade de encontrar um elétron em uma região particular em torno do núcleo. 3 Esta visão se insere no contexto do Determinismo Filosófico. O Determinismo Filosófico é a proposição de que todos os eventos, incluindo a cognição humana e comportamento, decisão e ação, é causalmente determinada por uma cadeia ininterrupta de ocorrências anteriores. 4 Na mecânica quântica, o fenômeno do entrelaçamento está associado ao paradoxo EPR ou Paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen. EPR é um experimento mental que demonstra que o resultado de uma medição realizada em uma parte do sistema quântico pode ter um efeito instantâneo no resultado de uma medição realizada em outra parte, independentemente da distância que separa as duas partes. Isto vai de encontro aos princípios da relatividade especial, que estabelece que uma informação não pode ser transmitida mais rapidamente que a velocidade da luz. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Departamento de Física Disciplina: Física do Século X A Prof. César Augusto Zen Vasconcellos LISTA TEMÁTICA E DE PROBLEMAS No. 9 – Tratamento Formal de Sistemas Físicos na Mecânica Quântica. Estados Físicos na Mecânica Quântica. Tratamento Formal de um Sistema Quântico. Superposição Linear de Estados Quânticos. Grandezas Observáveis e Operadores em Mecânica Quântica. Posição, Momentum Linear e Energia na Mecânica Quântica. Valores Esperados de Operadores na Mecânica Quântica. Isto significa dizer que um dado sistema, submetido à idênticas fases de preparo para uma dada realização experimental, pode dar origem a resultados experimentais distintos, dependendo do instante de tempo em que uma determinada medida é realizada. Essa idéia conduz a um conceito fundamental na mecânica quântica: o conceito de estado. Um estado é uma forma abstrata de representação das propriedades físicas de um sistema em função do tempo. Neste contexto, cada sistema, ou componente de um sistema, ocupa, em um dado instante de tempo, um estado. E às leis da física compete ‘regular’ como o sistema evolui, de um estado a outro, com o passar do tempo. Por outro lado, variáveis que são bem determinadas na mecânica clássica3, são substituídas, na mecânica quântica, por grandezas cuja determinação esta associada à uma interpretação probabilística da natureza. Isto porque, no mundo quântico nos deparamos com aspectos que são essencialmente distintos daqueles encontrados no mundo clássico. Dentre estes ressaltamos: a existência de processos não determinísticos e irreversíveis; o fenômeno do entrelaçamento4; as conseqüências do Principio da Complementaridade. Tratamento Formal de Um Sistema Quântico. A Representação do Estado. No formalismo da mecânica quântica, podemos representar o estado de um sistema, em um dado instante de tempo, das seguintes maneiras: • o estado pode ser representado por uma função complexa das posições ou dos momenta lineares de cada partícula que compõe o sistema em função do tempo; essa representação é chamada função de onda; • o estado pode representado por um vetor em um espaço vetorial complexo; esta representação do estado quântico é chamada ‘vetor de estado‘; devido à notação introduzida por Paul Dirac, tais vetores são usualmente chamados, na nomenclatura inglesa, ‘bras’e ‘kets. As funções de onda e os vetores de estado representam os estados de um dado sistema físico de forma completa e equivalente e as leis da mecânica quântica descrevem como vetores de estado e funções de onda evoluem no tempo. Estes objetos matemáticos abstratos permitem o cálculo da probabilidade de se obter resultados específicos em um determinado experimento. Por exemplo, o formalismo da mecânica quântica permite que se calcule a probabilidade de encontrar um elétron em uma região particular em torno do núcleo. 3 Esta visão se insere no contexto do Determinismo Filosófico. O Determinismo Filosófico é a proposição de que todos os eventos, incluindo a cognição humana e comportamento, decisão e ação, é causalmente determinada por uma cadeia ininterrupta de ocorrências anteriores. 4 Na mecânica quântica, o fenômeno do entrelaçamento está associado ao paradoxo EPR ou Paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen. EPR é um experimento mental que demonstra que o resultado de uma medição realizada em uma parte do sistema quântico pode ter um efeito instantâneo no resultado de uma medição realizada em outra parte, independentemente da distância que separa as duas partes. Isto vai de encontro aos princípios da relatividade especial, que estabelece que uma informação não pode ser transmitida mais rapidamente que a velocidade da luz.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Departamento de Física Disciplina: Física do Século X A Prof. César Augusto Zen Vasconcellos LISTA TEMÁTICA E DE PROBLEMAS No. 9 – Tratamento Formal de Sistemas Físicos na Mecânica Quântica. Estados Físicos na Mecânica Quântica. Tratamento Formal de um Sistema Quântico. Superposição Linear de Estados Quânticos. Grandezas Observáveis e Operadores em Mecânica Quântica. Posição, Momentum Linear e Energia na Mecânica Quântica. Valores Esperados de Operadores na Mecânica Quântica. Superposição Linear na Mecânica Quântica. Na mecânica quântica, o estado de um sistema físico é definido pelo conjunto de todas as informações que podem ser extraídas desse sistema ao se efetuar alguma medida. Além disso, na mecânica quântica os estados podem ser representados por vetores em um espaço vetorial complexo: o assim denominado Espaço de Hilbert H. Deste modo, cada vetor no espaço H representa um estado que poderia ser ocupado pelo sistema. Portanto, dados dois estados quaisquer, a soma algébrica, ou superposição linear desses estados representa também um estado. Esta concepção é denominada de Principio da Superposição. Na notação de Dirac, os vetores de estado, chamados ‘kets’, são representados na forma Na matemática, são denominados de funcionais todas as funções lineares que associam vetores de um espaço vetorial qualquer a um escalar. É sabido que os funcionais dos vetores de um espaço também formam um espaço, que é chamado espaço dual. Na notação de Dirac, os funcionais - elementos do espaço dual - são chamados ‘bras’ e são representados na forma Há um outro principio importante na mecânica quântica, e que se refere à medida de grandezas físicas. Este principio estabelece que: • dada uma grandeza física associamos a ela um operador linear e um observável; observável é o nome dado ao autovalor do operador; • dado um estado no qual o sistema se encontra no momento em que efetuamos a medida de uma grandeza física do sistema, estado este descrito por um ket, os únicos estados possíveis do sistema são aqueles que correspondem aos autovalores dos observáveis correspondentes. Outro principio importante na mecânica quântica: a evolução do sistema ao longo do tempo, é regida pela equação de Schrödinger: onde representa o operador Hamiltoniano do sistema.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Departamento de Física Disciplina: Física do Século X A Prof. César Augusto Zen Vasconcellos LISTA TEMÁTICA E DE PROBLEMAS No. 9 – Tratamento Formal de Sistemas Físicos na Mecânica Quântica. Estados Físicos na Mecânica Quântica. Tratamento Formal de um Sistema Quântico. Superposição Linear de Estados Quânticos. Grandezas Observáveis e Operadores em Mecânica Quântica. Posição, Momentum Linear e Energia na Mecânica Quântica. Valores Esperados de Operadores na Mecânica Quântica. Grandezas Observáveis e Operadores na Mecânica Quântica. Valores Esperados e Operadores: No tratamento teórico da mecânica quântica se busca explicar o resultado de determinadas observações experimentais que descrevem propriedades de partículas elementares, de átomos, de moléculas entre outros sistemas cujas dimensões características são da ordem de fentômetro, nanômetro, micrômetro e assim por diante. Diferentemente da mecânica clássica, --- onde muitas vezes se busca determinar com precisão absoluta a posição de uma ou mais partículas em função do tempo ----, na mecânica quântica não é possível determinar com precisão absoluta a posição de uma partícula devido à presença de efeitos ondulatórios (dualidade onda-partícula). Assim, na mecânica quântica determinamos a função de onda )t,x(!e a densidade (ou distribuição) de probabilidade 2 )t,x(! . A função 2

)t,x(! descreve a probabilidade de que uma medida forneça, no tempo t, um determinado valor x na posição da partícula. Desta forma, na mecânica quântica tratamos do valor esperado na posição x da partícula, definido na forma:

$% . De maneira geral, o valor esperado de qualquer função )x(fé dado por

. No caso de uma partícula em um estado de energia, como a distribuição de probabilidade correspondente é independente do tempo, a expressão anterior se reduz a

. Operadores: . Na física, um operador é uma função que atua em estados físicos e como resultado é obtido um outro estado físico e, em geral, informações adicionais relevantes. Na mecânica quântica, tratamos de fato com operadores matemáticos, pois é através da aplicação de um operador matemático à função de onda que é possível gerarmos um auto-valor correspondente. Assim, dado um operador O seu valor esperado no estado quantum-mecânico descrito pela função de onda )t,x(! é

. Alguns Exemplos: mostramos a seguir alguns exemplos de valores esperados de operadores.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Departamento de Física Disciplina: Física do Século X A Prof. César Augusto Zen Vasconcellos LISTA TEMÁTICA E DE PROBLEMAS No. 9 – Tratamento Formal de Sistemas Físicos na Mecânica Quântica. Estados Físicos na Mecânica Quântica. Tratamento Formal de um Sistema Quântico. Superposição Linear de Estados Quânticos. Grandezas Observáveis e Operadores em Mecânica Quântica. Posição, Momentum Linear e Energia na Mecânica Quântica. Valores Esperados de Operadores na Mecânica Quântica. Operador momentum linear:

h. Operador energia cinética de uma partícula não-relativística de massa m:

h. Operador Hamiltoniano: Na mecânica clássica, a energia total de uma partícula sob a ação de um potencial local é expressa em função das variáveis que representam a posição instantânea e o momentum linear da partícula e é chamada de função Hamiltoniana, representada na forma )x(V

. Na mecânica quântica, o operador Hamiltoniano independente do tempo correspondente é representado na forma:

+= Por exemplo, usando esta definição, a equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita na forma compacta: .EHˆ

!=! Problemas: Escreva o valor esperado em mecânica quântica dos seguintes operadores:

zyx

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