Baixe Geometria analítica e outras Resumos em PDF para Química Industrial, somente na Docsity! Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 1 GEOMETRIA A ALÍTICA 1. Introdução 1.1 Eixo (Reta orientada) Representada por uma reta com indicação de sentido. O sentido positivo (+) é indicado pela reta, e o sentido negativo (-) é o oposto da reta 1.2 Segmento Orientado Determinado por um par ordenado de pontos. Representação: AB • Segmento Nulo: quando a origem coincide com a extremidade • Segmentos Opostos: BA é oposto de AB • Medida de um Segmento: Seu comprimento ou módulo é dado em unidade de comprimento (u.c): Daí, temos também que AB = BA, e que o comprimento de um segmento nulo é 0. 1.3 Segmento Equipolente Os segmentos AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, sentido e módulo. Representação: AB~CD • Propriedades: I. AB~AB II. Se AB~CD, CD~AB III. Se AB~CD, e CD~EF, daí AB~EF IV. Dado um segmento orientado AB e um ponto C, só existe um ponto D que AB~CD 1.4 Vetores Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB, ou seja, = {/ ~ } . Representação: • Características de um vetor : são as mesmas que as de seus representantes, ou seja, direção, módulo e sentido de são iguais a de qualquer um de seus representantes (segmentos orientados eqüipolentes) Y X B A v B . A r B . A u AB = 5u.c Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 2 • Módulo de : é dado por || • Vetores iguais: são iguais se AB~CD • Vetor ulo: 0 • Se = , portanto é oposto de Indicação: = − • Versor: o versor de um vetor não nulo é o vetor unitário, ou seja, || = 1, de mesma direção e sentido de . • Vetores Colineares: Os vetores são colineares se têm a mesma direção, ou seja, são paralelos (ou coincidentes). • Vetores Coplanares: Vetores não nulos, , pertencem a um mesmo plano π É importante dizer que dois vetores não colineares são sempre coplanares. 2. Operações com Vetores 2.1 Adição O vetor soma de ( + ) é o vetor determinado pelo segmento AC: Propriedades: I. + = + II. + + = + + III. Existe um só vetor nulo 0 tal que para todo vetor se tem + 0 = 0 + = IV. Qualquer que seja , existe um só vetor − tal que: + − = − + = 0 v B . A u u Nesse caso, temos queo vetor é versor do vetor π Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 5 3.1.1 Igualdade e Operações Igualdade: Sejam os vetores 6 = :6, F6 ' = :', F'; temos que 6 = ' se, e somente se, :6 = :' F6 = F' Soma: Sejam os vetores 6 = :6, F6 ' = :', F'; temos 6 + ' = :6 + :', F6 + F' Multiplicação por número real “a”: Seja o vetor 6 = :6, F6, temos /6 = /:6, /F6 Exemplo 1: Dados os vetores = 3, −1 = −1,2, determinar o vetor w tal que: RS − T + UV W = XS − W Resp: Para o x: 4Z3 − −1] + 6\ : = 23 − : ⟹ 4 ∙ 4 + 6\ : = 2 ∙ 3 − : ⇒ 43 : = 6 − 16 ⇒ 43 : = −10 ⇒ : = − 304 ⇒ ` = − UaX Para o y: 4Z−1 − 2] + 6\ F = 2−1 − F ⇒ 4 ∙ −3 + 6\ : = −2 − F ⇒ 43 F = −2 + 12 ⇒ 43 F = 10 ⇒ F = 304 ⇒ b = UaX Então, o vetor w é: W = − UaX ; UaX 3.1.2 Vetor sem origem no ponto O Exemplo com o vetor com origem no ponto :6, F6 e extremidade no ponto :', F' Exemplo 2: Dados os pontos A(-1,3), B(1,0), C(2,-1), determinar D tal que = . Resp: Sabendo que o ponto D é D(x,y), devemos primeiro encontrar os vetores : = − = −1,3 − 1,0 → = −2,3 B A Onde 1 = :6, F6 1 = :', F' Veja que 1 + = 1 , )*ã = 1 − 1 , que é dado então por = :', F' − :6, F6, resultando em: Fazendo isso, é como se estivéssemos transferindo o vetor para a origem. = :' − :6, F' − F6 Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 6 = − = 2, −1 − :, F → = 2 − :; −1 − F Como = , podemos escrever as equações de igualdade para x e para y: Para x: 2 − : = −2 → −: = −2 − 2 → −: = −4 → ` = R Para y: −1 − F = 3 → −F = 3 + 1 → −F = 4 → b = −R Então, o ponto D é D(4,-4) 3.2 O Espaço R3 Qualquer conjunto de vetores {6, ', \} não coplanares é uma base, sendo possível descrever qualquer vetor do espaço pela seguinte forma: = /6 ∙ 6 + /' ∙ ' + /\ ∙ \ Logo, qualquer vetor do espaço é uma combinação linear dos vetores da base. Para fins práticos, assim como no caso do R2, é usada a base canônica, onde cada vetor da base, os vetores 7̂, 9̂ "d têm módulo 1. Cada dupla de eixo forma um plano coordenado. Esses três planos: xy, yz e xz se interceptam e formam um octante. Dado um vetor = :7̂ + F9̂ + e"d, = 1f, onde O(0,0,0) e P(x,y,z). Sua expressão analítica é dada por = :, F, e. 4.2.1 Igualdade e Operações Igualdade: Sejam os vetores 6 = :6, F6, e6 ' = :', F', e'; temos que 6 = ' se, e somente se, :6 = :' F6 = F' e6 = e' Soma: Sejam os mesmos vetores; temos 6 + ' = :6 + :', F6 + F', e6 + e' Multiplicação por número real “a”: Seja o vetor 6 = :6, F6, e6, temos /6 = /:6, /F6, /e6 4.2.2 Vetor sem origem no ponto O Analogamente ao descrito para o plano R2, podemos encontrar o vetor AB sem origem no ponto O a partir de: = :' − :6, F' − F6, e' − e6 Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 7 3.3 Condição de Paralelismo Para que haja paralelismo entre os vetores 6 ', a relação 6 = " ∙ ' deve ser verdadeira, pois assim os vetores têm a mesma direção, ou seja, apresentam representantes que estão na mesma reta ou em retas paralelas. Sejam os vetores 6 = :6, F6, e6 ' = :', F', e', para que tenhamos 6//', temos: 6 = " ∙ ' :6, F6, e6 = ":', F', e' g:6 = ":'F6 = "F'e6 = "e' h → Exemplo 3: Determinar a e b de modo que os vetores = 4,1, −3 = 6, /, 0 sejam paralelos. Resp: pela condição de paralelismo, temos que = " ∙ , daí: :i:, = FiF, = eie, = " Como temos xu e xv, podemos encontrar a constante k, e em seguida encontrar a=yv e b=zv. Encontrando a: jkjl = mkml ⇒ no = 6p ⇒ / = on ⇒ q = VX Encontrando b: jkjl = rkrl ⇒ no = − \s ⇒ 0 = − o∙\n ⇒ 0 = − 6tn ⇒ u = − vX 3.4 Ponto Médio O ponto médio M entre dois pontos A e B pode ser encontrado com a seguinte relação: w = 12 :x − :p, Fx − Fp , ex − ep = 12 :s − :p, Fs − Fp, es − ep, Fazendo a igualdade para o x, temos: :x − :p = :s2 − :p2 ⇒ :x = :s2 − :p2 + :p ⇒ `y = `u + `qX :6:' = F6F' = e6e' = " w Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 10 Exemplo 7: Seja o vetor = + 77̂ + + 29̂ + 5"d, calcular m para que || = √38 Resp: Da expressão de módulo de vetores, temos: || = + 7' + + 2' + 5' = √38 Elevando os dois lados ao quadrado e desenvolvendo: ' + 18 + 40 + ' + 4 + 4 + 25 = 38 2' + 18 + 40 = 0 Encontrando a reposta pela fórmula quadrática: : = −0 ± √0' − 4/2/ = −18 ± √18' − 4 ∙ 2 ∙ 402 ∙ 2 = −18 ± 24 ⇒ { = −R ou { = −a 4.2 Propriedades do Produto Escalar I. ∙ ≥ 0 ∙ = 0 somente se = 1 = 0,0,0 II. ∙ = ∙ Propriedade Comutativa III. + = + Distributiva em relação à adição de vetores IV. m ∙ = ∙ = V. ∙ = ||' 4.3 Ângulo entre dois vetores Sejam os vetores ≠ 1 ≠ 1, o ângulo θ, sendo 0 ≤ 3 ≤ 180 é dado por: Veja também que, a partir da figura acima, temos a seguinte importante relação: Obs: • Se ∙ > 0 ∴ cos 3 > 0, daí temos que 0° ≤ 3 < 90° • Se ∙ < 0 ∴ cos 3 < 0, daí temos que 90° < 3 ≤ 180° • Se ∙ = 0 ∴ cos 3 = 0, daí temos que 3 = 90° − θ ∙ = || ∙ || cos 3 cos 3 = ∙ || ∙ || | − |' = ||' − 2 ∙ + ||' = ||' − 2|| ∙ || cos 3 + ||' Condição de Ortogonalidade: ∙ = 0 → Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 11 Exemplo 8: Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o ângulo interno ao vértice B. Resp: Considere a seguinte figura: Então, o ângulo θ é o ângulo entre os vetores = − = 3,0,4 = − = 7,0,1 O co-seno de θ é dado pela expressão: cos 3 = ∙ < < ∙ < < = 3 ∙ 7 + 0 ∙ 0 + 4 ∙ 1√3' + 0' + 4' ∙ √7' + 0' + 1' = 255√50 = 55√2 = √22 Assim, temos que θ=45º Exemplo 9: Determinar se o vetor = 3, −2,1 é ortogonal ao vetor = 2, −3, −12 Resp: para que o vetor seja ortogonal ao vetor , temos que o produto escalar entre eles é nulo: ∙ = 3 ∙ 2 + −2 ∙ −3 + 1 ∙ −12 = 6 + 6 − 12 = 0 Então os vetores são ortogonais. 4.3.1 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores de um vetor Sendo o vetor , seus ângulos diretores são os ângulos formados entre o vetor e os vetores da base canônica. Ângulos Diretores: : )* 7̂ ¡: )* 9̂¢: )* "d h Co-senos Diretores: cos = ,∙£̂|,|∙|£̂| = j,m,r6,¤,¤|,|∙6 = j|,| Analogamente, temos: cos = :|| cos ¡ = F|| cos ¢ = e|| A C B θ Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 12 4.3.1.1 Propriedades dos co-senos diretores I. Seja versor de = :, F, e, temos que: II. Seja versor de , sabendo que || = 1, = cos , cos ¡ , cos ¢, tem-se: 4.4 Projeção de um vetor Seja ≠ 1 ≠ 1, e θ o ângulo formado entre , o vetor , projeção de , é: cos 3 = |||| → || = || cos 3 = || ∙ || ∙ || → || = ∙ || Como têm a mesma direção: = " → || = |"| ∙ || → ∙ || = |"| ∙ || → |"| = ∙ || ∙ || = ∙ ||' ∴ " = ∙ ||' Substituindo k em = ", temos que o vetor projeção é dado por: Exemplo 10: Determinar o vetor projeção de = 1,2, −3 na direção de = 2,1, −2 Resp: Encontramos o vetor projeção de em pela seguinte expressão: f G,i = ¥ ∙ ||' ¦ ∙ = ¥1 ∙ 2 + 2 ∙ 1 + −3 ∙ −22 ∙ 2 + 1 ∙ 1 + −2 ∙ −2 ¦ ∙ = §109 ¨ ∙ 2,1, −2 f G,i = 209 , 109 , − 209 = || = :, F, e|| = § :|| , F|| , e||¨ → = cos , cos ¡ , cos ¢ cos' + cos' ¡ + cos' ¢ = 1 || = cos' + cos' ¡ + cos' ¢ = 1 → θ Agudo θ Obtuso = ¥ ∙ ||' ¦ ∙ ou f G,i = ¥ ∙ ||' ¦ ∙ Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 15 6. Produto Misto Sejam os vetores = :67̂ + F69̂ + e6"d = :'7̂ + F'9̂ + e'"d e = :\7̂ + F\9̂ + e\"d, o produto misto entre esses três vetores, (, , é dado por: , , = ∙ × = ¯:6 F6 e6:' F' e':\ F\ e\¯ 6.1 Propriedades do Produto Misto I. Temos que , , = 0 a) Se , = 1 b) Se dois deles forem colineares c) Se os três vetores forem coplanares, pois o produto vetorial × formaria um vetor ortogonal ao plano, que seria então ortogonal ao vetor II. , , = , , = , , , #orém, se mudar a ordem, tem-se: , , = −, , III. Sendo m ∈ ℝ: , , = , m, = m, , IV. , , + = , , + , , Exemplo 13: Verificar se os vetores = 4, −2,0, = 6,2,4 = −7,1, −2 são coplanares. Resp: Pela propriedade I-c do produto misto, vemos que o produto misto será nulo caso os vetores sejam coplanares. Então, devemos verificar se o produto misto será nulo: , , = ∙ × = ¯:6 F6 e6:' F' e':\ F\ e\¯ = ¯ 4 −2 06 2 4−7 1 −2¯ = −16 + 56 + 0 − 0 − 16 − 24 = 0 Então, os vetores , são coplanares. Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 16 6.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto Sejam os vetores , : Pela geometria da figura, temos: ℎ = || cos 3 e 0/¬ = | × | Então o volume é: ´µ = 0/¬ ∙ ℎ = ||| × ||cos 3| eq1 Mas vimos também que dados dois vetores 6 ', é válido dizer que: 6 ∙ ' = |6||'| cos 3 → |6 ∙ '| = |6||'||cos 3| eq2 Fazendo 6 = ' = × , e substituindo na eq2, temos: | ∙ × | = ||| × ||cos 3| = ´µ Esses três vetores formam um tetraedro, que é 1/6 do paralelepípedo, então ficamos com as seguintes expressões: Exemplo 14: Dados os vetores = 1,1, −7, = −1,4, −3 = −2,8, −2, calcular o volume do paralelepípedo formado esses três vetores. Resp: O volume é dado pelo produto misto entres esses três vetores. Temos então: ´µ = , , = ¯:1 F1 e1:2 F2 e2:3 F3 e3¯ = ¯ 1 1 −7−1 4 −3−2 8 −2¯ = −8 + 6 + 56 − 56 + 24 − 2 = 20 O volume é de 20 unidades de volume. ´µ = | ∙ × | = , , ¶́·¶¸p·¹¸ = | ∙ × |6 = , , 6 h θ Abase Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 17 7. Reta 7.1 Equação Vetorial da Reta Seja uma reta r que passa pelo ponto conhecido A(x1,y1,z1) e tem a direção do vetor = /, 0, . Para o ponto P pertencer a reta, o vetor f deve ser paralelo ao vetor , tendo então a seguinte relação: f = * ⇒ f − = * ⇒ f = + * O vetor é o vetor diretor da reta, e t é o parâmetro, que varia de -∞ / + ∞. 7.2 Equações Paramétricas da Reta Seja o sistema de coordenadas (0, 7, 9, "; um ponto P genérico da reta r; A(x1,y1,z1) um ponto dado da reta r; e = /7̂ + 09̂ + "d o vetor diretor da reta r. Lembrando que f = + * ⇒ :, F, e = :1, F1, e1 + */, 0, ⇒ :, F, e = :6 + */, F6 + *0, e6 + * Desse modo, podemos escrever: OBS: essa reta pode ser descrita por qualquer outro vetor paralelo ao vetor . 7.3 Reta definida por dois pontos Seja a reta que passa pelos pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), observamos que um possível vetor diretor é o vetor = = − = :' − :6, F' − F6, e' − e6 = /, 0, z x y f A P(x,y,z) Equação Vetorial da Reta: :, F, e = :6, F6, e6 + */, 0, g: = :6 + /*F = F6 + 0*e = e6 + * h ⇒ Equações Paramétricas da Reta Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 20 Como as duas equações são igual a x, temos a seguinte equação simétrica: : = : − 01 = F − ) = e − # Então, nesse caso, o ponto que podemos encontrar é P(0,n,q), e o vetor diretor é = 1, , # Exemplo 17: Mostrar que as retas r e s são paralelas, sendo: r: j¿t = mÅ6Ço = rÅ'6¤ e ¬: F = − \n : + Èn e = − (n : + 6\n h Resp: Primeiramente, devemos encontrar o vetor diretor da reta s, deixando y e z em função de x: ¼ÉÉ ½ Éɾ F = − 34 : + 94 → : = F − 94− 34 e = − 54 : + 134 → : = e − 134− 54 h ⇒ /í, ¬ * é Ë = 1, − 34 , − 54 Para que as retas sejam paralelas, devemos ter Ë = ¸, ou então: /Ë/¸ = 0Ë0¸ = ˸ = ⇒ 1−8 = − 346 = − 5410 ⟹ − 18 = − 18 = − 18 Assim, podemos dizer que as retas r e s são paralelas. 7.6 Retas paralelas aos planos e aos Eixos Coordenados Observando as equações simétricas da reta, vemos que as componentes a,b e c do vetor diretor não podem ser nulas, pois teria zero no denominador. Mas elas podem, sim, serem nulas, como vemos nos casos a seguir: 7.6.1 Só uma componente de é nula Temos que é ortogonal a um dos eixos coordenados, e a reta r é paralela ao plano dos outros eixos a) Se q = Ì, = Ì, u, Ä ⊥ Î`: Ï ∥ bÎÃ, ou seja, a reta r é paralela ao plano yOz Ñ : = :6F − F10 = e − e1 h Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 21 b) Se u = Ì, = q, Ì, Ä ⊥ Îb: Ï ∥ `ÎÃ, ou seja, a reta r é paralela ao plano xOz c) Se Ä = Ì, = q, u, Ì ⊥ ÎÃ: Ï ∥ `Îb, ou seja, a reta r é paralela ao plano xOy 7.6.2 Duas componentes de são nulas a) Se q = u = Ì, = Ì, Ì, Ä ∥ ÒÓ: Ï ∥ ÎÃ, ou seja, a reta r é paralela a reta do eixo z b) Se q = Ä = Ì, = Ì, u, Ì ∥ Ô̂: Ï ∥ Îb, ou seja, a reta r é paralela a reta do eixo y c) Se u = Ä = Ì, = q, Ì, Ì ∥ Õ̂: Ï ∥ Î`, ou seja, a reta r é paralela a reta do eixo x 7.7 Ângulo entre Duas Retas O menor ângulo formado entre duas retas r1 e r2 é dado pelo co-seno entre os vetores diretores de cada reta: cos 3 = |6 ∙ '||6| ∙ |'| , 0 ≤ 3 ≤ 42 OBS: α é o ângulo suplementar de θ, ou seja, α é o ângulo formado por −6 ' 6 − ', temos: cos = −cos 3 Ñ F = F6: − :1/ = e − e1 h Ñ F = F6: − :1/ = e − e10 h g : = :6F = F6e = e6 + *h g : = :6F = F6 + 0*e = e6 h g: = :6 + /*F = F6e = e6 h Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 22 7.8 Condição de Paralelismo de Duas Retas Sejam as retas r1 e r2, com vetores diretores 6 = /6, 06, 6 ' = /', 0', ', respectivamente, para que sejam paralelas, devemos ter: 6 = ', ou: 7.9 Condição de Ortogonalidade Sejam as retas r1 e r2, com vetores diretores 6 ', respectivamente, para serem ortogonais, devemos ter 6 ⊥ ', ou: OBS: Uma reta r, cujo vetor diretor é ortogonal a um plano π, é ortogonal a qualquer reta contida nesse plano. 8. Plano 8.1 A Equação Geral do Plano Seja um vetor ) = /, 0, , não nulo, e um ponto A(x,y,z), onde A∈ #µ/) 4 ) é ortogonal ao plano. /6/' = 060' = 6' = 6 ∙ ' = 0 4 A(x1,y1,z1) P(x,y,z) ) = /, 0, f Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 25 IV. Conhecimento de três pontos (não colineares) pertencentes ao plano: Sendo os pontos A, B e C pertencentes ao plano, é preciso fazer dois vetores usando esses pontos, ou seja, obtém-se , ou qualquer outra combinação, e encontramos o vetor normal da seguinte forma: ) = × O valor de d, para ser colocado na equação geral do plano, pode ser obtido a partir de qualquer um desses três pontos dados. Exemplo 20. Determinar a equação do plano que contém os pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1). Resp: Devemos determinar os vetores pertencentes ao plano, que serão: = − = 3, −3,1 = − = 2, −1, −1 Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, fazemos o produto vetorial entre esses dois vetores pertencentes ao plano: ) = × = 4,5,3 Utilizando o ponto A para determinar d: = −Z4 ∙ −1 + 5 ∙ 2 + 3 ∙ 0] = −6, )*ã / /çã âÝ/: 4: + 5F + 3e − 6 = 0 V. Conhecimento de duas retas concorrentes e pertencentes ao plano: Esse caso é similar ao caso II, pois agora, os vetores pertencentes ao plano são os vetores diretores da reta, e o ponto para encontrar d é qualquer ponto de uma das retas. Então, deve-se encontrar os vetores diretores , das retas rv e ru, respectivamente, e fazer o produto vetorial entre eles, para obter o vetor ) normal ao plano. ) = × Exemplo 21. Determinar a equação do plano que contém o seguinte par de retas: : : − 12 = F + 23 = e − 3−1 ¬: : − 1−2 = F + 2−1 = e − 32 4 A ) ru rv Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 26 Resp: Como plano contém as retas, então os vetores diretores dessas retas são pertencentes ao plano, e podemos encontrar o vetor normal pelo produto vetorial entre esses dois vetores. Sendo os vetores diretores ̧ = 2,3, −1 Ë = −2, −1,2, temos que o vetor normal é: ) = ¸ × Ë = 5, −2,4 Utilizando o ponto P(1,-2,3) da reta r, que pertence ao plano, temos: = −Z5 ∙ 1 + −2 ∙ −2 + 4 ∙ 3] = −21, / /çã #µ/) âÝ/: 5: − 2F + 4e − 21 = 0 VI. Conhecimento de duas retas paralelas e pertencentes ao plano: Como as retas são paralelas, o vetor diretor delas é o mesmo, então não é possível encontrar o vetor normal ao plano somente com os vetores diretores das retas. É preciso encontrar um outro vetor pertencente ao plano. Para isso, encontra-se um ponto de cada reta, no caso os pontos A e B, e cria-se o vetor , que é pertencente ao plano. Então, efetuamos os produto vetorial entre o vetor diretor das retas e o vetor , para encontrar o vetor normal ). ) = × Exemplo 22. Determinar a equação do plano que contém o seguinte par de retas: : g: = −3 + *F = −*e = 4 h ¬: ã: + 22 = F − 1−2 ; e = 0h Resp: Nesse caso, temos que os vetores diretores das retas pertencentes ao plano são ̧ = 1, −1,0 Ë = 2, −2,0. Assim, vemos que eles são vetores paralelos, logo, as retas são paralelas. Devemos encontrar outro vetor então que não seja paralelo a esses dois vetores, para podermos efetuar o produto vetorial (que quando é feito entre vetores paralelos gera um vetor nulo). Para isso, vamos utilizar os pontos Pr=(-3,0,4) da reta r, e Ps=(-2,1,0) da reta s, para encontrarmos o vetor que precisamos: = f̧ fË = fË − f̧ = 1,1, −4 Faremos agora o produto vetorial entre ̧ e , para encontrarmos o vetor normal (poderíamos usar também o vetor Ë, mas como é paralelo a ¸, o produto vetorial será igual, só que, no caso, duas vezes maior). ) = ̧ × = 4,4,2 Utilizando o ponto Pr para encontrar d: = −Z4 ∙ −3 + 4 ∙ 0 + 2 ∙ 4] = 4, /í / /çã #µ/) âÝ/: 4: + 4F + 2e + 4 = 0 r1 r2 A B Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 27 VII. Conhecimento de uma reta pertencente ao plano e um ponto também pertencente ao plano, mas que não pertence a reta: Esse caso é similar ao anterior. Só que agora não é preciso encontrar o ponto B pela equação da reta, ele já é dado. E o vetor normal ao plano é então dado por: ) = × Exemplo 23. Determinar a equação do plano que contém o ponto A(1,-1,2) e o eixo dos z. Resp: Um dos vetores pertencentes ao plano é o vetor "d, pois é o vetor diretor do eixo dos z. O outro vetor pertencente ao plano pode ser encontrado utilizando o ponto A e um ponto do eixo z, que no caso pode ser o ponto O(0,0,0), daí fazendo o vetor 1 = − 1 = 1, −1,2, temos o vetor normal originado do produto vetorial entre 1 "d: ) = 1 × "d = −1, −1,0 Utilizando o ponto O para encontrar d, temos que d=0, daí a equação fica: −: − F = 0 8.3 Casos Particulares 8.3.1 Planos que passam pela origem: ponto O(0,0,0) Pela equação geral do plano, /: + 0F + e + = 0, temos que d = 0, pois o ponto é O(0,0,0), daí a equação do plano fica: /: + 0F + e = 0 8.3.2 Planos paralelos ao eixo x O vetor normal é ) = 0, 0, , então, a equação do plano fica: 0F + e + = 0 A B r1 r2 A B y x z Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 30 8.6 Condição de Paralelismo e Ortogonalidade Sejam os planos 46 4', com vetores normais )6 = /6, 06, 6 )' = /', 0', ', respectivamente. Para serem paralelos, devemos ter: /6/' = 060' = 6' Sejam os planos 46 4', com vetores normais )6 = /6, 06, 6 )' = /', 0', ', respectivamente. Para serem ortogonais, devemos ter: )6 ∙ )' = 0 8.7 Ângulo entre uma Reta e um Plano Sendo θ o ângulo formado entre o vetor normal ) do plano e o vetor diretor da reta, e æ o ângulo formado entre a reta e o plano, temos: cos 3 = sin æ = |) ∙ ||)||| 8.8 Reta pertencente a um plano Para a reta pertencer ao plano, uma das duas seguintes condições devem ser satisfeitas: i. O vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor normal do plano e a reta ter um ponto pertencente ao plano ii. Dois pontos da reta pertencerem ao plano 8.9 Intersecção de Dois Planos A intersecção de dois planos é uma reta. Devemos encontrar a equação para essa reta. Vemos que o vetor diretor da reta é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos dois planos, então, para encontrar o vetor diretor da reta, devemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores normais: = )6 ∙ )' Por fim, devemos encontrar um ponto dessa intersecção, para podermos montar a equação da reta. Para isso, devemos resolver o sistema das duas equações de plano, deixando uma variável em como variável independente. Estipulando qualquer valor para essa variável independente, podemos achar um ponto da intersecção. Tendo um ponto, e o vetor diretor dessa reta, podemos montar sua equação como descrito no item de Retas. Arthur Henrique Chaves Consulin – Monitor de Geometria Analítica - 2009 31 Exemplo 24. Determinar as equações reduzidas da reta intersecção dos planos: 46: 2: − F − 3e − 5 = 0 4': : + F − e − 3 = 0 Resp: Devemos deixar as variáveis y e z como função de x, e obtemos as equações reduzidas da reta: ã2: − F − 3e − 5 = 0 ç ⇒ F = 2: − 3e − 5 ççç : + F − e − 3 = 0 çç h Substituindo III em II: : + 2: − 3e − 5 − e − 3 = 0 ⇒ 3: − 4e − 8 = 0 ⇒ e = \n : − 2 (IV) Substituindo IV em I: 2: − F − 3 §34 : − 2¨ − 5 = 0 ⇒ 84 : − F − 94 : + 6 = 0 ⇒ F = − 14 : + 6