Tudo Sobre Matemática

Tudo Sobre Matemática

(Parte 1 de 3)

GUIDG.COM – PG. 1

21/7/2010 – MAT: Matemática. OBS.: Correções, adaptações e melhorias serão feitas regularmente, a fim de deixar a tabela mais didática possível.

As principais notações utilizadas em Matemática.

Notação Matemática Símbolos, Sinais, Letras, Fórmulas, Abreviações, Definições, Teoremas, Regras e etc.

Na coluna “Notação”, “ou” será utilizado para variação do alvo. Notação: Significado: Definição / Descrição:

O sistema decimal.

Algarismos Indo-Arábicos

ao matemático Al-Khowarizmi) para representar quantidades, objetos
0 para nenhuma unidade, 1 para uma unidade, 2 para duas unidades

Utiliza-se estes símbolos, que chamamos de algarismos (por homenagem É usado internacionalmente na ciência e na maioria dos países.

N Naturais

São os números que vão de 0, 1, 2, 3à +∞ (lê-se mais infinito).

N é o conjunto dos números naturais.

N = {0,1,2,3,4,}.

Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natural chamado sucessor, ou seja:

O antecessor de 1 é 0, e a definição é o número que antecede, isto é que vem antes (sinônimo: predecessor).

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 12,}
ZInteiros

O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais sem o zero, ou seja:

O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números naturais acrescido dos seus opostos (os naturais negativos). É representado pela letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar "número".

Z = {,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Z* = {, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero:

O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros não negativos:

O símbolo Z@ é usado para indicar o conjunto de números inteiros, nãopositivos:

O símbolo Z+C é usado para indicar o conjunto de números inteiros positivos:

= {1,2,3,4,5,}

O símbolo Z@C é usado para indicar o conjunto de números negativos:

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Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z: N Z.

Q Racionais

Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra

quociente de dois números inteiros

inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é um

Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata.

exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,3É a chamada

Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por dízima periódica.

Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.

Q = {a/b | a Z e b Z*}.

Lembre-se que não existe divisão por zero!.

O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto de números racionais nãonulos:

O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais nãonegativos:

O símbolo Q- é usado para indicar o conjunto de números racionais nãopositivos:

O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos:

O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos:

I ou ℑ Irracionais

Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional. O número irracional mais famoso é o pi ().

ℜ ou R Reais

O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R.

Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero, ou seja, o símbolo R* é usado para representar o conjunto dos números reais não-

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O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais nãonegativos:

O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais nãopositivos:

O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais positivos:

O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais negativos:

C ou C Complexos

Um número complexo representa-se por a+bi, sendo a a parte real e b a parte imaginária.

Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária, representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então:

i= @1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww .

Ø ou {} Vazio

Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio.

A B={} ou A B= Ø

Lê-se como "A união B"

∩∩∩∩ Interseção

Lê-se como "A interseção B"

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∈ Pertence

Indica relação de pertinência. Ex: 5 Ν. Significa que o 5 pertence aos números naturais.

∉ Não pertence

Não pertence

Ex: -1 N. Significa que o número -1 não pertence aos números naturais.

Esta contido Ex: N Ζ, ou seja, o conjunto dos números naturais está

contido no conjunto dos números inteiros.

Não esta contido Ex: R Ν, ou seja, o conjunto dos números reais não

está contido no conjunto dos números naturais.

Contém Ex: Z N, ou seja, o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.

| Tal que

Barra reta (vertical)

Ex: R+ = {x R | x ≥ 0} significa que R+ é o conjuntos dos números pertencentes aos reais TAL QUE esses números sejam maiores ou iguais a zero.

\ Menos, sem

Barra para esquerda.

Teoria dos conjuntos (Complemento teórico) A \ B, significa que é o conjunto que contém todos os elementos de A menos os elementos de B. Ex: A={1,2,3,4,5} e B={1,3,5} Então A \ B = {2,4}

OBS: A barra pra direita ( / ) indica divisão.

Se,Então

se...então p: José vai ao mercado q: José vai fazer compras

pq Se José vai ao mercado então ele vai fazer compras.

⇒ Implica

A: São Paulo é capital de um estado brasileiro B: São Paulo é uma cidade brasileira

Ex: sendo verdadeira a afirmação que está antes dele, então também será verdadeira a afirmação à sua direita. Por exemplo, “São Paulo é capital de um estado brasileiro” implica que “São Paulo é uma cidade

GUIDG.COM – PG. 5 brasileira”.

*Deve-se tomar cuidado na utilização deste sinal, para não aplica-lo desnecessariamente.

⇔ Se, e somente se se e somente se

Ex: p: Maria vai para a praia q: Maria vai tirar notas boas pq

Maria vai para a praia se e somente se ela tirar notas boas.

e

Existe e Não existe

Indica existência.

Significa que: Existe x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 3.

(O “existe” pode aparecer ainda, como um “E” ao contrario e cortado, que representa inexistência.

Ex: 9+ x → B. (não existe x em B) Sendo B={0,1,2,3}, e x = 9, não existe x no conjunto B.

Período

Ex: Q: 1,2(Neste caso indica que o período, é 2)

A reticência em matemática, genericamente será usada para representar o período de um numero racional ou irracional. (Período: parte que se repete).

∴∴∴∴ Portanto

Utilizado em expressões, equações, e etc.

Exemplo em logaritmos:

∀∀∀∀ Para todo

Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja".

Ex: ∀∀∀∀x > 0, x é positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x é positivo.

( ) Parênteses - I

Por ordem de resolução é o primeiro a se resolver.

O parênteses na matemática pode ter várias aplicações, vamos citar algumas: 1 – f(x) = 3x+2

Aqui está representando a função de 1ºgrau, ou função afim, o parênteses neste caso, guarda o espaço para valores que serão substituídos no lugar de “X”.

GUIDG.COM – PG. 6 para resolver você pode aplicar a propriedade distributiva, ou tirar o mínimo antes de multiplicar, os dois caminhos levam ao mesmo lugar, pois a multiplicação é uma operação comutativa.

Ouy = 3(1/2) + 2 = 3/2 + 2 = (3+4)/2 = 37/2

Pode também representar um intervalo aberto (igualmente o colchetes para fora). Veja X tal que x, está entre 3 e 4, inclusive 3 e exclusive 4.

olha o parênteses aqui.

Tem o mesmo papel que o colchetes para fora Ou seja representa um intervalo aberto, no qual os valores tendem a esse valor, mas não o atinge. Como se fosse o seu limite.

[ ] Colchetes - I

Por ordem de resolução é o segundo a se resolver. Em funções/intervalos, representa inclusão; exemplo:

[0;1] Entre 0 e 1. (inclusive o 0 e 1) 0 ≤ x ≤ 1 (Lê-se: x maior ou igual a zero e menor ou igual a

]2;4] Entre 2 e 4. (exclusive 2 e inclusive 4) 2 < x ≤ 4 (Lê-se: x maior que dois e menor ou igual a 4)

]-6;2[ Entre -6 e 2. (exclusive -6 e exclusive 2) -6 < x < 2 (Lê-se: x maior que menos seis e menor que 2)

{ } Chaves - I

o conjunto de

Por ordem de resolução é o terceiro a se resolver. ---- Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c.

+ Adição

Lê-se como "mais" Ex: 2+3 = 5 (Lê-se: dois mais três é igual a cinco). Significa que se somarmos 2 e 3 o resultado é 5.

± Mais ou Menos

Indicação de um valor “x” com duplo sinal. Ex: ±5 = +5 e −5

Quando delta é maior que zero, a equação de segundo grau apresenta duas raízes devido a presença do sinal “mais ou menos” contida na “fatoração da equação de segundo grau”. Apenas no Brasil é conhecida como fórmula de Báskara (consulte a história)

- Subtração

Lê-se como "menos" Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado é 2. O sinal - também denota um número negativo. Por exemplo: (-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado é -4.

/ ou ÷ ou : Divisão

Lê-se como "dividido" Ex: 6/2 = 3, significa que se dividirmos 6 por 2, o resultado é 3.

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*ou B ou . Multiplicação

Lê-se como "multiplicado" Ex: 8*2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado é 16.

2*3 = 3*2 (Lê-se duas vezes três é igual a três vezes dois)

2 e 3 são fatores, 6 é o resultado da multiplicação, também chamado de produto.

Implicação imediata da multiplicação: “A ordem dos fatores não altera o produto”

Per cento, Por cento, Porcentagem

Indicador de fração por cento (100). Porcentagem = Por cento, ou seja um número por 100 (Sobre 100, dividido por cem). 10% = 10/100 = 0,1 20% = 20/100 = 0,2

Igual, Igualdade

Lê-se como "igual a" Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor. Por exemplo: 3+5 = 7+1

≠ Diferente

Aproximadamente

Ex: pi “Pi” é um número irracional, resultado da divisão do valor da

falado em matemática como 3,1415para este podemos ler como

circunferência pelo diâmetro, por ser um número indeterminado em casas após a vírgula, atribuímos a ele um valor simplificado que comumente é

~ Equipolente

Utilizado em Álgebra Linear e Geometria Analítica Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD

Não confundir com Negação (Lógica)

≡ e a6

Equivalente

2/4≡1/2 (Lê-se: é equivalente à, ou é equipolente à) logo x ≡ y

(o sinal cortado significa “não equivale”) t Congruente à

Ângulos Congruentes:

Definição – Dois segmentos de reta são chamados congruentes quando tiverem a mesma medida, na mesma unidade.

Exemplo

Os segmentos de reta e , da figura, têm medida 4 cm, portanto são congruentes.

Indica-se:

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< > Comparação

Desigualdade Estrita.

É menor que, é maior que x < y significa que x é menor que y x > y significa que x é maior que y

≤ ≥ Comparação

Desigualdade não estrita.

é menor ou igual a, é maior ou igual a xy significa: x é menor ou igual a y; xy significa: x é maior ou igual a y

x n = x A x A x

…=y Potenciação

Definição dos termos da potenciação

Lê-se: x elevado à enésima potência é igual ao produto de x, “n” vezes, que é igual a y.

x.x.x= produto de fatores (é determinado pelo expoente)

x = base n = expoente ou potência (determina o número de fatores) y = produto (em alguns livros é definido como potência)

Exemplos: …

@ 3 a2 f= 19

Existem várias propriedades, consulte Propriedades da Potenciação.

X ao quadrado é igual a n

É comum alunos terem dúvidas nesse caso, por isso destacamos com um exemplo:

Aqui vem a seguinte pergunta, que número elevado ao quadrado é igual a nove? E você responde 3! (certo), mas esquece que pode ser (-3) também. Portanto não cometa mais esse erro, existem dois números que elevados ao quadrado são iguais a nove. Isto é:

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então:x2@32 = 0 diferença de quadrados:veja a forma fatorada:

Podendo ser escrita da seguinte forma:

S xentão xexemplo nxentão

Fatorial , n fatorial (n!)

O Símbolo / Sinal de exclamação na matemática é definido como fatorial. Fatorial que vêm da palavra fator.

√ Radical

O símbolo do radical deriva da letra r devido ao nome em latim radix quadratum (raiz quadrada), interpreta-se geometricamente como o lado do quadrado.

nxLê-se: Raiz enésima de x. OBS: quando não houver número no índice esta será sempre quadrada:

zri =

( √ ) Radical (sinal)

( r ) Radicando (dentro) ( i ) Índice (fora) ( z ) Raiz (resultado) Importante: A raiz quadrada de um número é sempre positiva.

log Logaritmo

Ex: log28 = 3 O logaritmo de 8 na base 2 é 3, pois elevando 2 ao expoente 3 obtemos

8. Nunca esqueça, se não tiver base no logarítmo, definimos como sendo na base 10.

GUIDG.COM – PG. 10 ln (l) Logaritmo (n) neperiano logarítmo natural logen = y

e = 2,718281828
Ex: log e 8 = 2,079441542

Logarítimo neperiano é o logarítmo cuja base é o numero "e".

e Número de Euler

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287

Lê-se “número de Óilar” ou também: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial.

Publicado em 1618 por John Napier

Constante de Euler- Mascheroni

*letra grega “Gama” minúscula

γγγγ = 0,577215664901532860606512090082402431

À teoria dos números.

A sexta constante matemática importante, foi calculado com centenas de casas decimais. Não se sabe se γ γ γ γ é um número irracional.

i Unidade imaginaria i = @1pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww i é utilizado para representar a raiz de menos um Consulte – Números Complexos pi

Pi (Minúsculo) *letra grega

pi = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288

O número pi é definido como sendo a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Mas este número tem outras personalidades. É também um número irracional e um número transcendente.

Em trigonometria pi = 180º

Também é conhecido como constante de Arquimedes ou número de Ludoph.

2pwwwwwwwwwwwwwwwww

Constante de Pitágoras

*Raiz quadrada de dois.

Número de Ouro

Letra grega Fi minúscula

φ =1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811

2a f

Raízes da Equação de Segundo Grau

Ocorre de escrevermos Báskara, mas o certo é Bhaskara.

É apenas aqui no Brasil, que comum tornou-se atribuir créditos ao Matemático Bhaskara, e o método para extrair as raízes, como fórmula de Bhaskara. (Consulte a história).

Essa fórmula se obtém quando fatora-se a equação de segundo grau,

GUIDG.COM – PG. 1 completa-se os quadrados e isola-se a variável (x). Viète também propôs outro método para extração das raízes (devem existir mais), mas essa é a forma mais fácil mesmo, e como na matemática trabalha-se repetidamente com equações de segundo grau, será fácil a memorização.

Essa é a equação de segundo grau igualada à zero:

ax2+bx+c=0 a, b, c são os coeficientes, e x a variável.

E foi a partir dela que surgiu a fórmula, o problema consistia em achar os valores de x para os quais tornam a equação verdadeira, ou seja que valores de x tornam a equação nula.

Publicamos um artigo demonstrando essa fórmula, verifique o índice de Matemática Básica.

Pesquisa de Raízes Racionais

Raízes da equação polinomial quando o grau é maior que 2.

Este método é chamado Pesquisa de raízes, por que raramente na primeira tentativa se acha uma solução para o problema. No entanto ele sugere um caminho, resumimos a definição abaixo.

(A) Raízes Racionais: Seja a função polinomial P(x) = 0 de grau n.

As possíveis raízes são o(s) número(s) x = p/q (p e q números primos), onde p é divisor Inteiro de an (termo independente) e q é divisor Inteiro de a0 (coeficiente do termo de maior grau).

(B) Raízes Inteiras: Um caso particular é se an divisível por a0 , for um número inteiro. Então obtemos sem tantas tentativas as raízes, que são os divisores inteiros de an. (Mas o teorema que abrange mais amplamente é o primeiro mesmo).

Exemplo para (A): Determinar em C as raízes da função polinomial:

I) As raízes possíveis são x = p/q, onde p é divisor inteiro de -1 e q é divisor inteiro de 2 .

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