Teorema de Imersão de Nash: Introdução e Branas-mundo, Notas de estudo de Física

Baixe Teorema de Imersão de Nash: Introdução e Branas-mundo e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, v. 32, n. 1, 1305 (2010) www.sbfisica.org.br Introdução ao teorema de Nash e às Branas-mundo (Introduction to Nash’s theorem and brane-worlds) A.J.S. Capistrano1 e P.I. Odon2 1Universidade Federal do Tocantins, Porto Nacional, TO, Brasil 2Odyssey School, Boston MA, USA Recebido em 6/5/2009; Aceito em 1/7/2009; Publicado em 26/3/2010 Apesar dos modelos de Branas-mundo terem recebido atenção considerável nos últimos anos por fornecerem várias opções à f́ısica contemporânea, seus mecanismos não são completamente entendidos ou apropriadamente justificados. Tendo em vista tal dificuldade, neste trabalho fornecemos uma contribuição pedagógica dirigida especialmente aos alunos de pós-graduação em f́ısica, fazendo uma abordagem introdutória a um dos temas importantes em f́ısica e geometria no que diz respeito aos fundamentos da teoria de imersão de variedades. Apresentamos uma descrição do teorema de imersão de Nash de 1956 que mostra como fazer uma imersão local entre variedades Riemaniannas mantendo a regularidade e diferenciabilidade das funções de imersão, e de como isso é aplicado à f́ısica sob o ponto de vista das Branas-mundo. Palavras-chave: Branas-mundo, teoria de Imersão, teorema de Nash. Although brane-world models have gained considerable attention in the last years for providing several op- tions for contemporary physics, their mechanisms are not completely understood or properly justified. Taking into account such difficulty, in this work we provide a pedagogical contribution, written especially for physics graduate students, and present an introductory approach to one of the important themes in physics and geometry concerning the foundations of immersion theory of manifolds. We present a description of Nash’s embedding theorem of 1956 which shows how to do a local embedding between Riemannian manifolds while preserving the regularity and differentiability of the embedding functions, and how it can be applied to physics in the contex of the brane-worlds. Keywords: Brane-world, Immersion theory, Nash’s theorem. 1. Introdução A geometria Riemanniana tem exercido uma forte in- fluência na f́ısica desde o ińıcio do século XX com o advento da relatividade geral. Tanto é assim que os es- tudantes de f́ısica aprofundam seus conhecimentos em geometria através do estudo da geometria Riemanni- ana. No entanto, ela não é a única opção dispońıvel, no sentido de que estruturas mais gerais têm sido am- plamente estudadas, como a teoria de imersões de vari- edades. Porém, particularmente em f́ısica, o tema é muito pouco comentado tanto nos cursos básicos de graduação quanto nos cursos de pós-graduação devido à sua especificidade. Com o objetivo de dar uma con- tribuição suprindo esta questão, discutimos um dos tra- balhos importantes na história da geometria, e invari- avelmente repercutindo nas teorias f́ısicas, proposto há pouco mais de cinquenta anos por John Nash. Nash [1, 2] apresentou dois trabalhos sendo que o primeiro, no ano de 1954, tratava de imersões globais e o se- gundo, de 1956, resolvia o clássico problema da imersão local entre variedades Riemannianas usando argumen- tos de regularidade e diferenciabilidade das funções de imersão, onde iremos focar nossa atenção. O presente trabalho é dirigido principalmente aos estutandes de pós-graduação das áreas de relatividade geral e teorias multidimensionais. Damos ênfase ao res- gate de pontos principais acerca da geometria imersões locais, tais como seu desenvolvimento histórico, con- ceitos e esclarecimento de passagens matemáticas muitas vezes obscurecidas na literatura mais especia- lizada no que diz respeito à imersão. No entanto, dada a complexidade do tema, limitamo-nos a uma breve descrição do teorema de Nash e sua aplicação na estruturação de equações gerais comuns a quais- quer modelos de Branas-mundo, os quais são funda- mentalmente variedades imersas. Formulado sob um contexto multidimensional com inspiração nos mode- los de Supercordas, o programa de Branas-mundo foi proposto originalmente em 1998 como tentativa de re- 1E-mail: capistrano@mail.uft.edu.br. Copyright by the Sociedade Brasileira de F́ısica. Printed in Brazil. 1305-2 Capistrano e Odon solver o problema de hierarquia das interações funda- mentais. Tal problema pode ser resumido no questiona- mento acerca de como a interação gravitacional é mais fraca quando comparada às demais interações funda- mentais e de como podemos unificá-las com a elabo- ração de uma teoria f́ısica mais geral, incluindo aspec- tos quânticos e gravitacionais. Atualmente, os mode- los de Branas-mundo têm sido amplamente estudados particularmente em aplicações à cosmologia, como, por exemplo, o problema da expansão acelerada do uni- verso. O artigo está organizado em cinco seções. Na seção II apresentamos uma introdução histórica e con- ceitual do problema da imersão. Aspectos mais técnicos como a descrição do teorema de Nash, da obtenção das equações de Gauss-Codazzi-Ricci e do prinćıpio de ação Einstein-Hilbert adaptado às Branas-mundo são intro- duzidos na seção III. Na seção IV apresentamos uma discussão acerca de trabalhos com base na teoria de imersões. Finalmente, na última seção apresentamos as considerações finais. 2. O problema da imersão O desenvolvimento da teoria de Imersões confunde- se com a história da geometria Riemanniana. Antes de 1850, uma superf́ıcie bidimensional era considerada apenas como uma superf́ıcie imersa no espaço R3. Por exemplo, considere uma superf́ıcie onde cada um dos seus pontos podem ser definidos pela parametrização de Monge X : R2 −→ R3 X (u, v) = (u, v, f(u, v)), (1) onde u = x e v = y, sendo que f(u, v) é uma função diferenciável. Esta parametrização é caracterizada pela equação g(x, y, z) = cte, (2) onde g(x, y, z) : R3 −→ R2 é também uma função regular e diferenciável. A caracteŕıstica da função de ser regular permite-nos usar o teorema das funções impĺıcitas o que possibilita extrair outra função dife- renciável z = f(x, y). O vetor normal à superf́ıcie pode ser obtido pela relação n̂ = ∇g |∇g| , (3) onde conclúımos que dg =< ∇g, dl >= ∂g ∂x dx + ∂g ∂y dy + ∂g ∂z dz = 0, (4) sendo dl = (dx, dy, dz) tangente à superf́ıcie. Ao variar- mos a direção do vetor tangente, a noção de forma local de uma superf́ıcie pode ser obtida pela análise de como os vetores normais variam sobre a mesma ou, equiva- lentemente, de como a superf́ıcie se afasta do plano tangente local. As variações máximas e mı́nimas das direções no vetor normal n̂ são dadas respectivamente por k1 e k2. Estes extremos são usados para calcular as direções principais pela fórmula de Euler k(u) = k1 cos(θ) + k2 sin(θ). (5) Por outro lado, C.F Gauss propôs idéias bem dife- rentes contribuindo decisivamente para o que conhece- mos hoje por geometria não-Euclideana [3–5]. O quinto postulado de Euclides, conhecido como o postulado das paralelas, só pode ser violado se não existirem retas paralelas ou se existir mais de uma reta paralela à outra passando por algum ponto externo, algo que era inconceb́ıvel naquela época. O espaço descoberto por Gauss, J. Bolyai e N.I. Lobachevsky chamado de espaço hiperbólico, é o espaço onde o postulado das paralelas de Euclides é substitúıdo pela suposição de que, para qualquer reta, não existe apenas uma, mas muitas retas paralelas passando por qualquer ponto externo dado. Isso implica que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que 180◦ e que não existem triângulos semelhantes. A partir de 1816, Gauss fez um levantamento geo- désico de certas áreas da Alemanha e observou que bas- tavam medidas tangenciais para descrever a topografia do condado e assim, produziu um mapa bidimensional a partir de dados tridimensionais. O conceito inovador de Gauss foi extremamente importante na teoria da re- latividade geral de Einstein aplicando a idéia de que a geometria de uma superf́ıcie curva pode ser estudada sem a referência a um espaço Euclidiano de dimensão superior. Essa idéia foi desenvolvida por B. Riemann que apresentou a Gauss um outro tipo de espaço não- Euclideano, o espaço eĺıptico. Da mesma forma que o espaço hiperbólico, o espaço eĺıptico também se ba- seia na quebra do quinto postulado de Euclides: as re- tas paralelas não existem e como H. Poincaré [6], Rie- mann deu sua interpretação para os termos ponto, reta e plano. Como plano, ele escolheu a superf́ıcie da es- fera. Seus pontos, como os de Poincaré, continuavam sendo as posições descritas por Descartes. As retas de Riemann eram os ćırculos máximos, i.e., as geodésicas sobre uma esfera. O problema do espaço de Riemann era que além de ser inconsistente com o 5◦ postulado de Euclides também era incompat́ıvel com dois outros postulados. Ele reinterpretou o 2◦ postulado declarando que este apenas garantia que as retas não tivessem limites. En- tretanto Riemann não foi tão feliz em solucionar os problemas do espaço eĺıptico com o 1◦ postulado de Euclides, que diz dados dois pontos, há um segmento de reta que os une. Apesar disso, sua obra e a necessi- dade de quebrar outros postulados além do postulado das paralelas causaram um impacto na matemática do final do século XIX. O conceito abstrato de uma variedade Riemanni- ana, sendo esta definida intrinsecamente, foi formulada Introdução ao teorema de Nash e às Branas-mundo 1305-5 uma solução ao problema de hierarquia das interações. Como apontado pelo esquema de ADD, a escala de Planck para a gravitação forte é desprovida de caráter experimental, portanto não impede a elaboração de uma teoria gravitacional em escala de energia menor, igual às demais interações, em escala Tev,3 o que im- plica que as dimensões extras devem ser maiores que o comprimento de Planck (Lplanck ∼ 10−33cm). Em resumo, a proposta de ADD à uma teoria de Branas- mundo contém três postulados básicos: 1. Existe uma variedade maior ou ambiente (bulk) com dimensão D > 4 que é solução das equações de Einstein; 2. O espaço-tempo quadridimensional é imerso no espaço ambiente e gerado pelo movimento de Brana-mundo no mesmo espaço; 3. Em escala Tev, a gravitação descrita pela métrica da variedade de 4 dimensões imersa oscila no espaço ambiente e as ondas geradas propagam- se no espaço ambiente, mas as demais interações permanecem confinadas à Brana-mundo. A idéia central é que temos um estrutura teórica com- pat́ıvel com a teoria de imersão de variedades. Para en- tendermos com mais clareza o processo, podemos adap- tar o teorema de Nash à brana-mundo apresentando um detalhamento de como se fazer a imersão escrevendo as equações primeiramente para o caso sem perturbação e depois estendendo-as ao caso perturbativo na próxima subseção. Podemos inicialmente fazer uma imersão local e isométrica com a aplicação XA : V̄4 −→ VD. Nesse contexto, consideramos a variedade V̄4 como a Brana- mundo quadridimensional não-perturbada. Como ve- remos, a perturbação dessa variedade imersa nos dará o comportamento dinâmico da mesma em VD que é o espaço ambiente arbitrário a ser feita a imersão. Temos também que A = 1...D e D = 4 + N , onde N repre- senta o número de dimensões extras. As componentes XA = fA(x1, x2, ...xD) associam cada ponto de V̄4 um ponto de VD de coordenada XA. Além das propriedades de regularidade e diferencia- bilidade, que tais variedades, por construção, devam apresentar, XA devem também satisfazer novamente as equações de imersão: XA,αXB,βGAB = ḡαβ , (8) XA,αη̄Ba GAB = 0 , (9) η̄Aa η̄ B b GAB = ḡab , (10) onde temos a normalização dos vetores η̄ para ḡab = ²aδab com ²a = ±1 cujos sinais estão relacionados às posśıveis assinaturas das dimensões extras. Conforme o teorema de Nash, ao perturbarmos a geometria da va- riedade no bulk, criamos uma nova geometria que deve estar, para nossos fins, mesmo após a perturbação, con- finada no mesmo bulk, i.e., VD e V̄4 foram tomadas, de forma independente, como variedades Riemannianas. 3.2. Variáveis da Imersão De acordo com o teorema de Nash, a perturbação da geometria imersa é feita em uma direção normal à su- perf́ıcie da mesma. Nesse sentido, para fazermos a per- turbação de um objeto geométrico Ω situado em um ponto p da variedade, devemos medir a variação de Ω ao longo deste ponto tal que Ω′ = Ωp + δΩp. A medida de Ω ao longo de uma trajetória de p é feita com a introdução da derivada de Lie L definida pelo ponto p na variedade e pelo seu vetor tangente. Sendo assim, podemos por exemplo comparar dois tensores ainda que situados em pontos distintos em uma mesma curva. Essa comparação é feita pelo “arraste” (drag- ging) dos tensores ao longo da curva. Adaptando essa idéia para o processo de imersão em Branas-mundo, a derivada de Lie nos permite fazer a conexão entre as coordenadas do bulk e da Brana- mundo. Para entender isso, podemos optar a seguinte perturbação orientada em uma direção normal ξ = η̄ na derivada de Lie, assim temos ZA = XA + δya (LX )Aa . Podemos calcular os parênteses de Lie (LX )Aa = [η̄,X ]Aa , sendo que expressamos X na base vetorial X = Xa ∂∂xa com parâmetro x a da curva definida em um ponto qualquer na Brana-mundo, e η̄ = η̄A ∂ ∂xA . Assim, temos [η̄,X ]Aa = η̄A ∂Xa ∂xA ∂ ∂xa −Xb ∂η̄ A ∂xb ∂ ∂xA , como o vetor normal não depende das coordenadas xa, então ∂η̄ A ∂xa = 0, restando-nos somente [η̄,X ]Aa = η̄AδaA ∂ ∂xa = η̄A ∂ ∂xA = η̄ Obtemos então ZA = XA + δyaη̄Aa , (11) que nos informa que a perturbação da coordenada de imersão XA é feita na direção normal à Brana-mundo, ou à variedade imersa, conforme o teorema de Nash. De forma análoga, obtemos para perturbação do ve- tor normal ηA ηA = η̄ + (Lη̄)A = η̄A . 3Lembramos que um eletron-volt corresponde a energia adquirida por um elétron ao atravessar, no vácuo, uma diferença de potencial de um volt, assim 1 ev = 1, 6022× 10−19 J e 1 Tev = 1012 ev. 1305-6 Capistrano e Odon Assim, conclúımos que o vetor normal não se altera sob deformações, isto é η̄ = η. O resultado ZA deve definir uma nova geometria Riemanniana de dimensão V̄4 cuja imersão é dada por ZA que portanto deve satisfazer equações semelhantes a Eqs. (8), (9) e (10). Desta forma, podemos então estabelecer as novas equações de imersão da variedade deformada como ZA,µZB,νGAB = gµν , (12) ZA,µηBb GAB = gµb , (13) ηAa η B b GAB = gab = ²aδab , (14) onde gµν , gµa e gab são quantidades perturbadas, lem- brando que o processo perturbativo não é arbitrário, ou seja, o espaço de imersões deve ser o mais suave posśıvel. Usando as Eqs. (9) e (11), podemos escrever a Eq. (13) como gµb = (XA,µ + δyaηAa,µ ) ηBb GAB = XA,µ η̄Bb GAB + δyaηAa,µηBb GAB , fornecendo-nos gµb = ZA,µηBb GAB = δyaAµba , (15) onde Aµba é o vetor torção na geometria perturbada. Note que como ηA = η̄A, então Aµba = ηAa,µη B b GAB = η̄Aa,µη̄Bb GAB = Āµba , mostrando-nos que o vetor torção não se altera sob de- formações. O par {ZA,µ, ηAa } é a base de imersão da Brana-mundo no bulk chamado referencial Gaussiano de coordenadas. Vamos agora a partir das equações de imersões ex- pressar a métrica gµν da Brana-mundo em termos de quantidades perturbadas. Para tanto tomaremos as Eqs. (11) e (12), tal que podemos escrever gµν = ZA,µZB,νGAB = (XA,µ + δyaηAa,µ ) (XB,ν + δybηBb,ν )GAB = XA,µXB,ν GAB + δybXA,µηBb,νGAB + δyaXB,ν ηAa,µGAB + δyaδybηAa,µη B b,νGAB . Usando a Eq. (8) e a curvatura extŕınseca dada pela Eq. (6), podemos escrever após uma mudança de ı́ndices gµν = ḡµν − 2δyak̄µνa + δyaδybηAa,µηBb,νGAB . (16) No entanto, precisamos saber como definir o termo ηAa,µη B b,νGAB e expressá-lo em termos de quantidades extŕınsecas (curvatura extŕınseca e vetor torção). Essa motivação advém do teorema de Nash que nos informa que a perturbação da geometria tem influência de ele- mentos extŕınsecos a ela. Assim, podemos tomar a seguinte expressão para ηAa,µ como uma combinação li- near em termos das bases gaussianas {XA,µ, ηAa } que cor- respondem às equações de Gauss-Weingerten [12] ηAa,µ = Aµacg cbηAb − k̄µρaḡρνXA,ν . (17) Note que através dessa expressão podemos reproduzir as equações que definem k̄µρa e Aµac de acordo com as Eqs. (6) e(7). Para verificar isso, podemos contrair a Eq. (17) com a métrica GAB e a coordenada não defor- mada XA,µ obtendo XB,σηAa,µGAB = AµacgcbXB,σηAb GAB−k̄µρaḡρνXB,σXA,νGAB , e de posse das Eqs. (8) e (9), obtemos a expressão para k̄µσa dada pela Eq. (6). Para o vetor torção Aµac novamente podemos con- trair a Eq. (17) com a métrica GAB , porém agora com a componente normal ηBd ηBd η A a,µGAB = AµacgcbηAb ηBd GAB − k̄µρaḡρνXA,ν ηBc GAB , e de uso das Eqs. (9) e (10), obtemos a expressão para Aµad como visto anteriormente na Eq. (7). De acordo com o que foi abordado anteriormente na Eq. (17), podemos desenvolver o termo ηAa,µη B b,νGAB da seguinte forma ηAa,µη B b,νGAB = ( Aµacg cbηAb − k̄µρaḡνρXA,ν ) ( Aνbdg deηBe − k̄νσbḡασXB,αGAB ) , e assim temos ηAa,µη B b,νGAB = gcbgdeAµacAνbdηAb ηBe GAB −gcbḡασAµack̄νσbXB,αηAb GAB −gdeḡνρAνbdk̄µρaXA,ν ηBe GAB +ḡνρḡασk̄µρak̄νσbXA,νGAB . Usando as Eqs. (8), (9) e (10) podemos escrever ηAa,µη B b,νGAB = gcdAµcaAνdb + ḡσρk̄µσak̄νρb . (18) Dessa forma, obtemos a expressão para a métrica per- turbada gµν = ḡµν − 2yak̄µνa + δyaδyb [ ḡσρk̄µσak̄νρb + gcdAµcaAνdb ] (19) onde ḡµν expressa a métrica da Brana-mundo não- deformada. Podemos fazer um desenvolvimento análogo para a curvatura extŕınseca sob o contexto de deformação da variedade imersa. Desta forma, a curvatura extŕınseca perturbada será kµνa = −ηAa,µZB,νGAB , (20) e usando a Eq. (11) podemos fazer kµνa = k̄µνa − δybηAa,µηBb,νGAB , Introdução ao teorema de Nash e às Branas-mundo 1305-7 e de acordo com o resultado obtido na Eq. (18), podemos obter a seguinte relação entre as curvaturas extŕınsecas perturbada e não perturbada, tal que kµνa = k̄µνa − δyb ( gcdAµcaAνdb + ḡσρk̄µσak̄νρb ) . (21) Diferentemente do que mostramos com o uso da derivada de Lie, o processo perturbativo de Nash pode ser entendido também pela a relação entre a métrica e curvatura extŕınseca, com a propagação da cur- vatura extŕınseca nas dimensões extras ya. Para tanto, podemos tomar a derivada da Eq. (19) em relação ao parâmetro perturbativo ya obtendo ∂gµν ∂ya = −2k̄µνa+2δyaδba ( gcdAµcaAνdb + ḡσρk̄µσak̄νρb ) , e de acordo com a Eq. (20) podemos escrever ∂gµν ∂ya = −2kµνa , logo, kµνa = −12 ∂gµν ∂ya , (22) que é a relação de York que denota a evolução da métrica deformada da Brana-mundo sob o parâmetro perturbativo ya. O teorema de Nash parte dessa relação como prinćıpio para mostrar que toda geometria pode ser imersa diferencialmente. A expressão anterior pode ser escrita de modo diferencial como δgµν = −2k̄µνaδya , (23) a qual nos mostra que em primeira aproximação as per- turbações Nash de fato podem ser produzidas a par- tir de pequenos incrementos somados à métrica, i.e., gµν = ḡµν + δgµν + .... Assim, recuperamos a noção de definição de forma local de uma variedade Riemanniana imersa quando comparada ao espaço dimensionalmente maior a qual foi imersa. Vemos assim que o postulado de Branas-mundo sobre a propagação da gravidade nas dimensões extras é na verdade a essência do processo perturbativo de Nash com a propagação da curvatura extŕınseca que pode vir a ser interpretada como um campo independente. 3.3. As equações de Gauss-Codazzi-Ricci e prinćıpio de Einstein-Hilbert O processo perturbativo de Nash por si só não é capaz de fornecer equações de movimento da varie- dade imersa. Para tanto, precisamos das equações de Gauss-Codazzi-Ricci que nos fornecerão naturalmente um escalar de Curvatura tal que possamos escrever o prinćıpio variacional Einstein-Hilbert. Podemos começar fazendo uso da Eq. (12), tal que gµν = ZA,µZB,νGAB −→ gµνgµν = gµνZA,µZB,νGAB . Tendo em vista que gµνgµν = GABGAB − gabgab , logo, temos que gµνgµν = GABGAB − gabgab = gµνZA,µZB,νGAB , e de posse da Eq. (14), temos então GABGAB − gabηAa ηBb GAB = gµνZA,µZB,ν , que resulta na relação gµνZA,µZB,ν = GAB − gabηAa ηBb . (24) Para assegurarmos de forma completa a imersão com a deformação da Brana-mundo no mesmo bulk, i.e., garantir que tal deformação continue uma subvariedade do bulk, devemos tomar as componentes do tensor de RiemannRABCD do bulk definidas em termos das bases de imersão da geometria perturbada {ZA,µ, ηAa } [20–22] que correspondem às equações de Gauss-Codazzi-Ricci [12], dadas respectivamente por c RABCDZA,µZB,νZC,ρZD,σ = Rµνρσ − 2gcdkµ[ρ|ckν]σd (25a) RABCDZA,µηBa ZC,νZD,ρ = 2kµ[ν|a;ρ] − 2gcdA[ρ|cakµ|ν]d (25b) RABCDηAa ηBb ZC,µZD,ν = −2A[µ|ab;ν] − 2gcdA[µ|caAν]db − 2gαβk[µ|αakν]βb (25c) d as quais representam as condições de integrabilidade da imersão. Esta integrabilidade diz respeito à possi- bilidade de adição de hipersuperf́ıcies de espaço-tempo que ao serem integradas podemos extrair as equações de movimento. Como já comentamos, com uso da analiti- cidade das funções como proposto por Janet, Burstin e Cartan, é posśıvel obter as soluções do sistema. Porém, do ponto de vista f́ısico, essa é uma hipótese muito forte para o estudo de processos em que a origem e o fim não são bem conhecidos, como é no caso da cosmologia. Por outro lado, o teorema de Nash foi o primeiro a resolver as equações de Gauss-Codazzi-Ricci usando apenas a regularidade e diferenciabilidade das funções. O próximo passo será deduzir a equação de Einstein 1305-10 Capistrano e Odon de linha ds2 = 1 cosh2 Hr [dt2−dr2−H−2 tanh2 Hr(dθ2+sin2 θdφ2)] , (32) onde H = √ Λ/3 em um universo esférico quasi-estático de raio R = 3/Λ. Usando as seguintes definições [40]    X1 = α cosh( tα ) sin r cos θ X2 = α cosh( tα ) sin r sin θ cos φ X3 = α cosh( tα ) sin r sin θ sin φ X4 = α cosh( tα ) cos r X5 = α sinh( tα ) podemos mostrar que a solução de deSitter pode ser escrita como X21 + X 2 2 + X 2 3 + X 2 4 −X25 = α2 , que é equivalente à uma esfera de raio α = Λ−1 com centro na origem em um M5(4, 1), sendo um espaço de curvatura constante com Λ > 0 cujo elemento de linha podemos escrever como ds2 = −dt2 + α2 cosh2( t α )[dr2 + sin2 rdw2] , (33) onde dw2 = dθ2 + sin2 θdφ2. Por outro lado, se tomarmos as seguintes mudanças nas coordenadas no caso anterior    cosh( tα ) → cos( tα ) , sin r → sinh r , cos r → cosh r , obtemos as novas coordenadas    X1 = α cos( tα ) sinh r cos θ X2 = α cos( tα ) sinh r sin θ cosφ X3 = α cos( tα ) sinh r sin θ sin φ X4 = α cos( tα ) X5 = α sinh( tα ) que podemos escrever a equação X21 + X 2 2 + X 2 3 −X24 −X25 = −α2 , que é a equação de uma esfera centrada no infinito e de raio (iα) em M5(3, 2), tal que α = −iΛ , logo Λ < 0. Este espaço é chamado de anti-deSitter cujo elemento de linha pode ser escrito como ds2 = −dt2 + α2 cos2( t α )[dr2 + sinh2 rdw2] , (34) onde dw2 = dθ2 + sin2 θdφ2. Por conseguinte, para o modelo RS-I constrúıdo so- bre o ADS5, Randall e Sundrum apresentam o seguinte prinćıpio de ação c S = ∫ d4x ∫ π −π dφ √ −G−Λ + 2M3R̄ + ∫ d4x √−gvis(Svis − Vvis) + ∫ d4x ∫ d4x √−ghid(Shid − Vhid), (35a) d onde R̄ é o escalar de Ricci em 4 dimensões, com ansatz GAB = ( e−2φηµν 0 0 r2c ) , onde e−2φ é o fator de deformação (warp-factor) da Brana, ηµν é a métrica de Minkowski e rc é identifi- cado como raio de compactificação. O segundo e ter- ceiro termo da ação anterior dizem respeito às ações de Branas-mundo em dois diferentes universos vis e hid. Isso é consequência da adoção da simetria Z2 de um espaço tipo S1/Z2. Dessa forma, considera-se a Brana-mundo como um contorno de separação entre duas regiões do bulk, por exemplo, rotuladas como la- dos (+) e (−). Se definirmos um vetor normal ηA no lado (+) da Brana-mundo, devido à simetria Z2, pro- duzirá um vetor normal na lado (−) da mesma, i.e., ηA → −ηA, conforme a Fig. 1. Em suma, utilizar a simetria Z2 significa que quando um objeto se aproxi- ma da Brana-mundo o mesmo será refletido como uma imagem no espelho. Figura 1 - Representação pictórica do modelo Randall-Sundrum. A Brana-mundo f́ısica é um contorno que separa os lados (+) e (-). Por uso da simetria Z2 os vetores normais ηA à superf́ıcie são refletidos como em um espelho. Introdução ao teorema de Nash e às Branas-mundo 1305-11 É importante notar que a Brana-mundo no RS-I não possue uma dinâmica sendo simplesmente um contorno fixo. Apenas como ilustração, no modelo Randal- Sundrum, as equações de Einstein em 5-dimensões são dadas por RMN − 12GMNR = 0 , onde RMN e R são respectivamente os tensores de Ricci e escalar de curvatura em 5-dimensões e GMN a métrica do bulk pentadimensional. Assume-se ainda que exis- ta uma solução quadridimensional que satisfaça a in- variância de Poincaré. Tomando a Eq. (35a) com a métrica ds2 = e−2σ(φ)ηµνdxµdxν + r2cdφ 2 , as equações de Einstein em 5 dimensões reduzem-se às seguintes equações 6 σ′2 r2c = −Λ 4M3 , 3 σ′′2 r2c = Vhidδ(φ) 4M3rc + Vvisδ(φ− π) 4M3rc , onde σ′ = dσdφ as quais não são equações dinâmicas pois não há dependência temporal na função σ. A solução σ satisfaz a condição de simetria Z2 na qual φ → −φ σ = rc|φ| √ −Λ 24M3 , tal que Λ < 0. Note que o modelo Randall-Sundrum ao fazer a redução dimensional para o ADS5 pelo orbifold4 S1/Z2, implica que as funções imersas não sejam regulares, isto é, como não é posśıvel obter a função inversa da variável de imersão, a imersão é dita ŕıgida. O uso da simetria Z2 em conjunto com uma condição particular, a condição de Israel-Darmois-Lanczos [41] (IDL), ca- racterizam o modelo RS-II fornecendo uma dinâmica à Brana-mundo, e, em cosmologia, é necessária para a recuperação da gravidade 4-dimensional. A condição IDL basicamente relaciona a curvatura extŕınseca kµν com a matéria Tµν tal que ¯kµν = α∗ ( ¯Tµν − 13 T̄ ¯gµν ) . No entanto, o uso de tal condição é o ponto princi- pal de cŕıtica ao RS-II. A condição IDL não é uma consequência das equações de Einstein, mas um novo ansatz adotado, como mostrado por alguns autores em [20,42]. Em resumo, as várias abordagens dos modelos de Branas-mundo são baseadas na idéia que de a gravitação tem acesso às dimensões extras. Esta hipótese poderia explicar razão pela qual a interação gravitacional é mais fraca (menos intensa) em relação às demais interações quando medidas por um observador na Brana-mundo, onde as interações de calibre estão confinadas. Embora colocado como mais um postu- lado pelo ADD, a idéia do confinamento das interações está calcada na relatividade Especial onde o modelo padrão de part́ıculas está constrúıdo. Assim, por exem- plo, temos que a teoria eletromagnética é definida em 4 dimensões na formulação covariante ∂µF µν = 4πJν , ²µνρσ∂νF ρσ = 0 , onde ∂µ é a derivada quadrimensional, Fµν é o tensor de Maxwell dado por ∂µAν −∂νAµ no qual Aµ é o quadri- vetor potencial, e ainda Jµ é densidade de corrente quadrimensional. Além disso, a teoria de Maxwell é uma teoria de calibre local, ou seja, uma transformação de coordenadas é espećıfica para cada ponto do espaço- tempo, logo transformações de coordenadas arbitrárias não são válidas do ponto de vista f́ısico. Sendo assim, o mesmo pode se repetir para todo Yang-Mills D ∧ F∗ = 4πJ , D ∧ F = 0 , onde temos que Dµ é a derivada covariante dada por Dµ = ∂µ + Aµ e a curvatura 2-forma é dada por F = Fµνdxµ ∧ dxν = [Dµ, Dν ] com o dual F ∗ = F ∗µνdxµ ∧ dxν = εµνρσF ρσ. O termo J é a corrente de Yang-Mills. Assim, toda teoria de Yang-Mills pode ser consistentemente formulada [43,44] e testada expe- rimentalmente em 4-dimensões. Cabe lembrar que se adotarmos apenas a imersão local no contexto de Branas-mundo sem fazer escolhas a priori, como vimos na seção II, além da métrica, duas outras variáveis dinâmicas também assumem pa- pel importante, que são a curvatura extŕınseca kµνa e o vetor torção Aµab. Em uma perspectiva acerca da imersão, kµνa e Aµab complementam a descrição da forma local da Brana-mundo fornecendo a informação necessária pela qual podemos saber em qual direção a Brana-mundo se afasta do plano tangente, que é, em essência, o processo perturbativo da variedade imersa. Este ponto vista reflete o mesmo conceito das quanti- dades K e H sendo informações necessárias à descrição local de uma superf́ıcie. De fato, mostrou-se que Aµab é a única variável dinâmica que não se propaga através de uma perturbação o que significa que Aµab se qualifica a ser um campo de calibre relativo ao grupo de rotações das dimensões extras, o grupo SO(m − n) [11, 45]. A Brana-mundo imersa em um bulk com um número de dimensões extras maior do que 1 apresenta duas caracteŕısticas: a existência de um grupo de simetria SO(m − n) aos vetores unitários normais ηA; e em se- gundo lugar, é aonde surge a terceira forma fundamen- tal com as componentes Aµab. A primeira vez que a 4Neste contexto, de modo bastante simplório, a idéia de um orbifold consiste no quociente entre uma variedade com contornos e um grupo finito. 1305-12 Capistrano e Odon terceira forma fundamental foi efetivamente considera- da, a mesma se transformava como um grupo de cali- bre sobre a ação do grupo SO(m− n) conforme obser- vado por Holdom [11,36,37]. Claramente, a procura de significado f́ısico ou influência dessas quantidades são vastas áreas de estudo e têm sido amplamente estu- dadas [20–22, 46–49]. Vemos assim como os estudos atuais acerca da relação entre f́ısica e geometria estão em pura ebulição, motivados de forma decisiva desde 1916 com a teoria da relatividade geral. 5. Considerações finais A teoria de imersão tem sido apresentada como uma opção para a f́ısica nos últimos anos, principalmente com o advento dos modelos de Branas-mundo. Suas origens confundem-se com as próprias origens da geometria. O quinto postulado de Euclides motivou a descoberta de novas geometrias chamadas geome- trias não-Euclideanas, com particular destaque para a geometria Riemanniana. Desde Einstein, a geome- tria Riemanniana tem sido considerada como padrão de geometria devido ao sucesso da teoria da relativi- dade geral, apesar de certos dilemas tal como o proble- ma da ambiguidade do tensor de Riemann que fornece a “forma absoluta” dos objetos. No entanto, esta ca- racteŕıstica parece desafiar o aspecto intuitivo da per- cepção do mundo a nossa volta, como proposto pela filosofia Kantiana. O problema da imersão consistia originalmente em como uma variedade Riemanniana pode ser imersa em outra de forma consistente tal como superf́ıcies bidi- mensionais imersas no espaço Euclideano. Esta questão foi apontada primeiramente por Schlaefli em 1873 ao trabalho de Riemann na tentativa de resolver o dilema de como definir a forma local de uma superf́ıcie na geometria Riemanniana. A indicação inicial veio em resolver as equações de Gauss-Codazzi-Ricci que rela- cionam a variedade imersa com a variedade maior. No entanto, essas equações são fortemente não-lineares o que as torna de dif́ıcil solução. Primeiros esforços em resolvê-las vieram com os trabalhos de Janet-Cartan- Burstin com o uso particular de séries anaĺıticas con- vergentes. Um método mais geral para imersões locais de va- riedades Riemannianas foi proposto em 1956 por J. Nash usando a diferenciabilidade e regularidade das funções de imersão. Assim, definida a imersão en- tre duas variedades, uma nova variedade imersa pode- ria ser criada perturbativamente por pequenos incre- mentos adicionados à variedade imersa original (não- perturbada). Procuramos mostrar a relevância do tra- balho de Nash ao âmbito da geometria de imersões e à f́ısica apresentando parte do desenvolvimento histórico dos trabalhos com imersões. De fato, Nash considerava os trabalhos sobre imersões como os mais fundamen- tais de sua autoria, embora tenha ganhado o prêmio Nobel de Economia em 1994 por suas constribuições à teoria dos jogos. No entanto, quando relacionamos à f́ısica, o teorema de Nash provê a base necessária para a elaboração de uma teoria gravitacional mais geral compat́ıvel com a proposta da Branas-mundo, como mostrado em trabalhos mais especializados. De certo modo, o conceito de Branas-mundo representa uma volta ao ponto de vista Kantiano, como mencionado anteriormente, o que nos fornece um caminho para ex- plorar essa busca incessante pelo conhecimento e en- tendimento do mundo. Agradecimentos Gostaŕıamos de agradecer pelo apoio recebido do Con- selho Nacional de Desenvolvimento Cient́ıfico e Tec- nológico (CNPq) que possibilitou o desenvolvimento deste trabalho. Agradecemos também aos comentários do árbitro indicado pela Revista Brasileira de Ensino de F́ısica. Referências [1] J. Nash, The Annals of Mathematics 60, 3 (1954). [2] J. Nash, The Annals of Mathematics 63, 20 (1956). [3] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Jonh Wiley and Sons Inc, Nova York, 1972). [4] C.B. Boyer, História da Matemática (Edgard Blücher, São Paulo, 2003). [5] W. Dunnington, Carl Friedrich Gauss: Titan of Sci- ence (Hafner Publishing Co., Nova York, 1955). [6] H. Poincaré, Science and Hypothesis (Dover Publica- tions, Nova York, 1952). [7] B. Riemann, On the Hypotheses that Lie at the Bases of Geometry (1854), (Tradução para o inglês por W.K. Clifford, Nature, 8, 114 (1873)). [8] M.P. Carmo, Riemannian Geometry (Birkhäuser, Boston, 1992). [9] I. Kant, Cŕıtica da Razão Pura (Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1997). [10] L. Schlaefli, Annali di Matematica Pura et Applicata 5, 170 (1873). [11] P.I. Odon, Sobre a Origem das Simetrias Internas. Dissertação de Mestrado, Universidade de Braśılia, Braśılia, 2006. [12] L.P. Eisenhart, Riemannian Geometry (Princeton U.P., Reprint, 1966). [13] M. Janet, Annales De La Société Polonaise De Mathématique 5, 38 (1926). [14] E. Cartan, Annales De La Société Polonaise De Mathématique 6, 1 (1928). [15] C. Burstin, Rec. Math. Moscou, (Math Sbornik) 38, 74 (1931). [16] R. Greene, Bulletin of American Mathematical Society, 75, 1308 (1969); Memoirs of American Mathematical Society, 97 (1970).