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Autovalores e Autofunções de Sistemas Quânticos, Notas de estudo de Física

Este documento aborda o problema de autovalores de hamiltonianas quânticas, impondo condições de normalização e contorno nas autofunções. São apresentados exemplos de oscilador harmônico e potencial de barreira, bem como a expansão das funções de onda em autoestados da hamiltoniana. Além disso, é discutido o espectro contínuo e a normalização de funções de onda.

Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 21/09/2010

marilton-rafael-1
marilton-rafael-1 🇧🇷

4.5

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Baixe Autovalores e Autofunções de Sistemas Quânticos e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Caṕıtulo 4 Exemplos Unidimensionais Neste caṕıtulo analisaremos exemplos unidimensionais com o intuito de esclarecer a estrutura geral da Mecânica Quântica, bem como desen- volver a nossa intuição. Além disso, desenvolveremos a representação dos momentos e veremos como devemos tratar os estados não nor- malizáveis associados ao espectro cont́ınuo. 4.1 Espectro Discreto Inicialmente vamos estudar alguns exemplos do problema de autoval- ores da hamiltoniana impondo que as autofunções sejam normalizáveis, isto é, elas são tais que ∫ dx|u(x)|2 é finita. Neste caso o conjunto de autovalores, que chamamos de espectro, é discreto, isto é, não é posśıvel encontrar dois autovalores arbitrariamente próximos, existindo uma separação entre eles. Apesar de não demonstrarmos este fato, ele é geral, não sendo uma peculiaridade dos exemplos a seguir. 4.1.1 Part́ıcula numa caixa Nosso primeiro exemplo será uma part́ıcula confinada numa caixa, sendo a hamiltoniana deste sistema dada por H = p2 2m + V (x) , (4.1) 45 46 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais onde V (x) = { 0 para 0 < x < L ∞ de outra forma . (4.2) Uma vez que o potencial é infinito para x > L e x < 0 não é posśıvel a part́ıcula ser encontrada nessas regiões e conseqüentemente a autofunção deve anular-se áı. Além disso, dado que a autofunção é cont́ınua, ela anula-se para x = 0 e x = L. Explicitamente, o problema de autovalor para a hamiltoniana acima é dado por − h̄ 2 2m d2u dx2 = Eu , (4.3) onde esta equação diferencial deve ser resolvida para a região 0 < x < L. Para especificarmos completamente o problema devemos impor a condição de contorno acima u(0) = u(L) = 0. Antes de resolvermos este problema é interessante notar que temos três incógnitas, a saber, duas constantes oriundas da solução de equação diferencial de segunda ordem e a energia E. Por outro lado, possuimos apenas duas equações dadas pelas condições de contorno. A constante arbitrária que sobrará da nossa solução deve vir multiplicando a auto- função, tendo em vista que um autovetor é determinado a menos de uma constante multiplicativa. Para E ≤ 0 não existem soluções não nulas de (4.3) que satisfaçam as condições de contorno.1 Logo, concentremo-nos para valores posi- tivos de E (= h̄ 2k2 2m ), para os quais a equação de Schrödinger indepen- dente do tempo pode ser escrita na forma d2u dx2 = −k2u . (4.4) A solução geral desta equação é u = Aeikx + Be−ikx , (4.5) onde A e B são constantes. Para que as condições de contorno sejam satisfeitas, devemos ter que ( 1 1 eikL e−ikL )( A B ) = 0 . (4.6) 1Exerćıcio: mostre que u = 0 é a única solução para E complexo e E ≤ 0. 4.1. Espectro Discreto 49 pressa como uma combinação linear das autofunções do operador her- mitiano H : Ψ(x) = ∑ p cp up(x) , (4.12) onde as constantes cp são dadas por cp = ∫ L 0 dx u∗p(x)Ψ(x) . (4.13) A verificação deste fato é imediata, bastando notar que a Eq. (4.12) nada mais é do que a série de Fourier em seno para Ψ(x) ; lembre-se do curso de F́ısica Matemática I. Aplicação Uma vez que já resolvemos o problema de autovalores da hamiltoniana, calculemos a evolução temporal de um estado cuja condição inicial é dada por Ψ(x, 0) = √ 12 L3 { x para 0 < x < L 2 L − x para L 2 < x < L , (4.14) bem como as probabilidades de uma medida da energia ter como resul- tado Ep. Nosso primeiro passo é expandir o estado inicial na base das auto- funções da hamiltoniana como em (4.12). Uma vez que os estados up estão normalizados convenientemente, utilizando (4.13) temos que cp = ∫ L 0 dx u∗p(x)Ψ(x, 0) (4.15) = 4 √ 6 p2π2 sin ( pπ 2 ) . (4.16) Agora a solução da equação de Schrödinger que satisfaz esta condição inicial é Ψ(x, t) = ∑ p cpe −iEpt/h̄up(x) . (4.17) Para visualizar a evolução temporal deste estado somamos numerica- mente os 500 primeiros termos não nulos desta série para diversos va- lores de t. Estes resultados estão nas figuras 4.2 e 4.3, as quais foram feitas assumindo L = h̄ = 2m = 1. 50 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais Figura 4.2: |Ψ(x, t)|2, onde o eixo t (x) encontra-se à esquerda (direita). Estando de posse da expansão de Ψ(x, t) em autoestados da hamil- toniana, é trivial obter a probabilidade de uma medida da energia ter como resultado Ep é |cp|2 = 96 p4π4 sin2 ( pπ 2 ) . (4.18) Este resultado indica que a probabilidade de encontrarmos este sistema no estado fundamental é de 96/π4 ≃ 0, 986. Note também que estas probabilidades independem do tempo. 4.1. Espectro Discreto 51 Figura 4.3: |Ψ(x, t)|2 para os instantes t = 0, 0,05, 0,12 e 0,185. 4.1.2 Oscilador harmônico Consideremos agora um oscilador harmônico cuja hamiltoniana é dada por H = p2 2m + 1 2 mω2x2 . (4.19) A equação diferencial associada ao problema de autovalores Hu = Eu é − h̄ 2 2m d2u dx2 + 1 2 mω2x2u = Eu . (4.20) Para determinar completamente o problema f́ısico devemos agora fornecer as condições de contorno: Impondo que u seja normalizável, i.e. que 54 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais onde n = 0, 1, 2.... Além disso, ainda a partir de Eq. (4.30), vemos que para n par (́ımpar) apenas a série para hP (hI) termina enquanto que hI (hP ) apresenta um comportamento indesejado para y → ±∞. Portanto, a autofunção é dada por hP para n par e por hI para n ı́mpar. Visando usar uma notação padrão para as soluções do problema, adotaremos as seguintes convenções: • Para n par definimos o polinômio de Hermite Hn(y) = hP (y) com a0 ≡ (−1) n 2 n! (n 2 )! . (4.32) • Para n ı́mpar definimos o polinômio de Hermite Hn(y) = hI(y) com a escolha a1 ≡ (−1) n−1 2 2(n!) (n−1 2 )! . (4.33) Note que Hn é um polinômio de ordem n. Listamos a seguir os cinco primeiros polinômios de Hermite.4 n Hn(y) 0 1 1 2y 2 4y2 − 2 3 8y3 − 12y 4 16y4 − 48y2 + 12 Finalmente, temos que os autovalores de H são dados por En = h̄ω ( n + 1 2 ) , (4.34) e as correspondentes autofunções são un(y) = Hn(y) e − 1 2 y2 . (4.35) 4Para maiores detalhes sobre os polinômios de Hermite vide o apêndice deste caṕıtulo. 4.1. Espectro Discreto 55 É interessante notar que emsmo para o estado fundamental (n = 0) e energia do oscilador é não nula; isto nada mais é do que uma simples conseqüência da relação de incerteza entre x e p. A figura 4.4 mostra o comportamento dos cinco primeiros autoestados e as respectivas densi- dades de probabilidades. Propriedades das autofunções do oscilador harmônico • Uma vez que a hamiltoniana (4.19) é hermitiana, seus autovalores (En = h̄ω(n + 1/2)) são reais. Neste problema verificamos isso explici- tamente, pois se E fosse complexo, ǫ também o seria e a série (4.28) não terminaria, e consequentemente, a condição de contorno não seria satisfeita. • Para cada En existe apenas um un, i.e. o espectro não é de- generado. Este é um fato “geral” do espectro discreto em problemas unidimensionais. • Os autovalores da energia são igualmente espaçados. Esta é uma peculiaridade do oscilador harmônico que encontra muitas aplicações em sistemas de muitos corpos. • Conforme está demonstrado no apêndice deste caṕıtulo, auto- funções associadas a autovalores distintos são ortogonais, como era es- perado do fato de H ser hermitiano. De fato, ∫ ∞ −∞ dy u∗n(y)um(y) = ∫ ∞ −∞ dy Hn(y)Hm(y)e −y2 = √ πn!2nδn,m . (4.36) • Utilizando a Eq. (4.36) é fácil ver que a autofunção normalizada associada a En = h̄ω(n + 1/2) é dada por Ψn(x) = 2− n 2√ n! ( mω h̄π ) 1 4 Hn ( √ mω h̄ x ) e− mω 2h̄ x2 , (4.37) a qual satisfaz ∫ ∞ −∞ dx Ψ∗n(x)Ψk(x) = δn,k . (4.38) 56 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais Figura 4.4: Primeiros cinco autoestados do oscilador harmônico. À direita encontram-se os gráficos de un(ξ) e à esquerda |un(ξ)|2, onde ξ = √ mω h̄ x. 4.1. Espectro Discreto 59 Substituindo a Eq. (4.50) em (4.51) obtemos que ( κ sin ka + k cos ka κ cos ka − k sin ka κ sin ka + k cos ka −κ cos ka + k sin ka )( α β ) = 0 . (4.52) Para que o sistema possua uma solução não trivial (nula) o determi- nante da matriz acima deve ser nulo, o que fornece (κ sin ka + k cos ka) (k sin ka − κ cos ka) = 0 . (4.53) Logo, temos duas possibilidades k sin ka = κ cos ka , (4.54) ou κ sin ka = −k cos ka . (4.55) Comecemos a nossa análise pela Eq. (4.54). Esta apresenta solução para ka no primeiro e terceiro quadrantes, onde o seno e o cosseno possuem o mesmo sinal. Quadrando (4.54) para eliminar κ, e usando as Eqs. (4.47) e (4.48) obtemos que ka = √ 2ma2V0 h̄2 | cos ka| . (4.56) Esta equação não pode ser resolvida analiticamante, contudo é fácil a partir do seu gráfico (linha cont́ınua da figura 4.5) verificar que ela sempre possui uma solução. Este também é um fato geral em problemas unidimensionais, a saber, se o potencial for atrativo, não importando quão fraco ele seja, sempre existirá um estado pertencente ao espectro discreto. Para obtermos a autofunção correspondente a esta energia, substi- tuimos o valor de k que é a solução da Eq. (4.56) em (4.50) e (4.52), obtendo que u(+)(x) = β      eκ(x+a) cos ka para x < −a cos kx para −a < x < a e−κ(x−a) cos ka para x > a . (4.57) Note que, como era de se esperar, a constante indeterminada (β) aparece multiplicando a solução como um todo, como nos exemplos anteriores. 60 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais Figura 4.5: Solução gráfica das Eqs. 4.56 e 4.58. Mais ainda, podemos mostrar que a solução com energia mais baixa (menor ka) nunca se anula, ao passo que a segunda solução, se existir, anula-se duas vezes. Para determinarmos a existência do primeiro estado excitado deve- mos analisar a Eq. (4.55), uma vez que esta é que conduz a soluções ı́mpares. Esta equação possui solução apenas para ka no segundo e quarto quadrantes onde o seno e o cosseno exibem sinais opostos. Mais uma vez, quadrando-se esta equação e usando as expressões (4.47) e (4.48), obtemos que ka = √ 2ma2V0 h̄2 | sin ka| . (4.58) A partir do seu gráfico (linha pontilhada da figura 4.5) podemos notar que para √ 8mV0a2 π2h̄2 ≤ 1 esta equação não possui soluções. Nos casos em que existe ao memos uma solução as Eqs. (4.50) e (4.52) conduzem à autofunção u(−)(x) = α      −eκ(x+a) sin ka para x < −a sin kx para −a < x < a e−κ(x−a) sin ka para x > a . (4.59) Exerćıcio: Analisando a figura anterior detalhadamente verifique a seguinte propriedade geral de problemas unidimensionais: o estado fun- 4.1. Espectro Discreto 61 damental sempre existe para potenciais atrativos e não possui zeros, enquanto que o n-ésimo estado excitado, se existir, anula-se n vezes. 4.1.4 Potencial delta Analisemos agora o problema de autovalores da hamiltoniana H = p2 2m − h̄ 2λ 2m δ(x) . (4.60) Mais uma vez vamos procurar autoestados normalizáveis, os quais obedecem a condição de contorno u(x) → 0 para x → ±∞. A equação diferencial associada a este problema é − h̄ 2 2m d2u dx2 − h̄ 2λ 2m δ(x)u = Eu , (4.61) a qual para x 6= 0 toma a forma − h̄ 2 2m d2u dx2 = Eu , (4.62) já que a função delta anula-se nesta região. Para E = h̄2k2/2m positivo, as soluções desta equação diferencial u = Aeikx + Be−ikx (4.63) não são normalizáveis e portanto devem ser descartadas. Resta-nos então analisar o caso E = −h̄2κ2/2m negativo. Neste caso a solução geral de (4.62) é u(x) = { Ae−κx + Ceκx para x > 0 Beκx + De−κx para x < 0 (4.64) Aplicando a condição de contorno, temos que C = D = 0. Devemos agora costurar as duas soluções em x = 0. Uma vez que u(x) é cont́ınua em x = 0 temos que u(0) = A = B . A presença do δ na Eq. (4.60) manisfesta-se no fato de du dx não ser cont́ınua na origem. De fato, integrando (4.60) entre −ǫ e ǫ temos que 64 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais entendido heuristicamente: uma vez que este estado possui ∆p = 0 temos que ∆x = ∞, o que significa que up não está localizada no espaço. Neste ponto podemos tomar duas atitudades visando preservar a existência de autofunções do momento: • A primeira é supor que o espaço é limitado, i.e. o regulador L introduzido acima possui de fato um sentido f́ısico. Esta solução é natural uma vez que qualquer sistema que estejamos interessados em analisar usualmente encontra-se limitado, mesmo que isso ocorra em escalas macroscópicas. • A segunda alternativa é trabalhar com o espaço como sendo in- finito e aprender a conviver com o fato de up não ser normalizável. Tratemos inicialmente a primeira alternativa. Sistema contido em uma caixa Neste caso podemos impor que ∫ dx |up|2 = 1. Utilizando a Eq. (4.72), temos que up normalizada é dada por up(x) = 1√ L eipx/h̄ . (4.73) Aparentemente o espectro de pop é cont́ınuo, uma vez que para qualquer p a Eq. (4.70) é satisfeita. Todavia isto não coincide com a intuição oriunda dos exemplos anteriores onde o espectro era discreto para valores da energia correspondentes a movimentos clássicos limi- tados. A solução deste impasse está num ponto técnico: devemos ser cuidadosos e analisar sob que condições pop é hermitiano. Para que isto ocorra devemos ter 〈pop〉 − 〈pop〉∗ = 0 , (4.74) o que implica que Ψ∗ ( −L 2 ) Ψ ( −L 2 ) = Ψ∗ ( L 2 ) Ψ ( L 2 ) . (4.75) Uma das maneiras de satisfazer esta condição é impor condições de contorno periódicas, i.e. 4.2. Espectro Cont́ınuo 65 up ( −L 2 ) = up ( L 2 ) , (4.76) acarretando que o espectro do momento é discreto, sendo dado por pn = 2πnh̄ L , (4.77) onde n = 0,±1,±2, ... A partir desta última expressão temos que o espaçamento entre dois autovalores consecutivos é dado por δp = 2πh̄/L. Note que considerando o sistema contido em uma caixa podemos manter a interpretação de |up(x)|2 como uma densidade de probabi- lidade, bem como tratar o sistema da mesma maneira que foi feita para os exemplos de espectro discreto discutidos anteriormente. Por exemplo, podemos exprimir uma função Ψ(x) arbitrária em termos das autofunções do momento Ψ(x) = ∑ n Cn ei 2πn L x √ L , (4.78) onde as constantes Cn são dadas por Cn = ∫ L/2 −L/2 dx 1√ L e−i 2πn L xΨ(x) . (4.79) Antes de tratarmos do caso de espaço infinito é interessante analisar o limite L → ∞. Nesta situação o espectro torna-se cont́ınuo uma vez que o espaçamento entre os autovalores δp tende a zero. Além disso a soma sobre n em (4.78) transforma-se numa integral sobre p mul- tiplicada pela densidade de estados em p, a qual vale 1/δp. De fato, considerando o limite L → ∞ temos que ∑ n f(n) = ∑ pn f(pn) , = ∑ pn δp f(pn) δp , → ∫ dp f(pn) δp , 66 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais onde f é arbitrária. Logo podemos escrever que Ψ(x) = ∫ dp g(p)eipx/h̄ , (4.80) onde g(p) = √ LCn 2πh̄ é uma função bem definida de p, a qual podemos obter a partir de (4.79). g(p) = ∫ dx 1 2πh̄ e−ipx/h̄Ψ(x) (4.81) Resumindo, no limite de L indo para infinito, o espectro torna- se cont́ınuo e a soma sobre n é substitúıda por uma integração sobre p. Com isto em mente passemos a análise do sistema em um espaço infinito. Espaço infinito Utilizando a forma expĺıcita (4.71) das autofunções do momento, obte- mos que ∫ ∞ −∞ dx u∗p′(x)up(x) = 2πh̄C ∗ p′Cpδ(p − p′) , (4.82) onde temos o aparecimento de um delta de Dirac, o qual é infinito para p = p′ e zero para p 6= p′. A utilização das autofunções do espectro cont́ınuo é simplificada se adotarmos a normalização ∫ ∞ −∞ dx u∗p′(x)up(x) = δ(p − p′) , (4.83) ou seja, as autofunções são dadas por up(x) = 1√ 2πh̄ eipx/h̄ . (4.84) Segundo o nosso posturema, podemos escrever um estado arbitrário Ψ como uma combinação linear das autofunções do operador hermitiano associado ao momento. Como vimos na seção anterior, esta combinação linear deve ser dada por uma integral em dp (vide Eq. (4.80)) Ψ(x) = ∫ ∞ −∞ dp Φ(p)up(x) . (4.85) 4.2. Espectro Cont́ınuo 69 〈A〉 = ∫ dp Φ∗(p)A ( p, x = ih̄ ∂ ∂p ) Φ(p) . (4.90) Além disso, é fácil demonstrar, partindo da equação de Schrödinger para Ψ, que Φ também obedece a esta equação, i.e. ih̄ ∂Φ ∂t = HopΦ , (4.91) com Hop obtido segundo a regra dada em (4.90). Portanto o formalismo da Mecânica Quântica é idêntico utilizando Ψ(x) ou Φ(p), lembrando sempre que os operadores x e p são represen- tados de maneira diferente quando trabalhamos com as coordenadas ou com os momentos.9 A utilização da representação das coordenadas (Ψ(x)) ou dos mo- mentos (Φ(p)) é apenas uma questão de gosto e/ou conveniência, uma vez que elas conduzem aos mesmos resultados. 4.2.3 Normalização para operadores arbitrários Consideremos agora um operador arbitrário A, cujo espectro pode a- presentar autovalores discretos e cont́ınuos. Avan = anvan (discreto) (4.92) Avaξ = aξvaξ (cont́ınuo) (4.93) Analogamente ao que foi feito com os casos exibindo apenas o es- pectro discreto e com o espectro do momento, adotaremos a seguinte normalização ∫ dx v∗ak(x)van(x) = δk,n , (4.94) ∫ dx v∗aξ′ (x)vaξ(x) = δ(aξ − aξ′) . (4.95) 9Note que a relação de comutação [p, x] = h̄/i é a mesma no espaços dos mo- mentos e das coordenadas. 70 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais Obviamente não devemos esquecer que as autofunções do discreto e do cont́ınuo são ortogonais já que estão associadas a autovalores distintos, i.e. ∫ dx v∗aξ(x)van(x) = 0. Uma vez que A é hermitiano, pelo nosso posturema, podemos escre- ver um estado qualquer Ψ como uma combinação linear dos autoestados de A. Ψ = ∑ n canvan + ∫ daξ caξvaξ (4.96) Utilizando-se as relações (4.94-4.95) é fácil mostrar que can = ∫ dx v∗an(x)Ψ(x) , (4.97) caξ = ∫ dx v∗aξ(x)Ψ(x) , (4.98) uma vez que este cálculo é exatamente o mesmo feito para obter Φ(p) acima (compare com as Eqs. (4.83, 4.85, 4.86)). Note que a escolha das normalizações (4.94-4.95) permite-nos escr- ever para caξ uma expressão igual a usada para can . 4.2.4 Part́ıcula livre Autovalores do Hamiltoniana Utilizando a representação das coordenadas, analisemos o problema de autovalores para a Hamiltoniana de uma part́ıcula livre com o objetivo de compreender as condições de contorno para problemas exibindo um espectro cont́ınuo. HuE = p2 2m uE = EuE (4.99) Neste caso E é uma constante positiva e existem duas autofunções associadas a este autovalor u±E = C ± E e ±ipx/h̄ , (4.100) onde C±E são constantes arbitrárias e p = √ 2mE. 4.2. Espectro Cont́ınuo 71 Para que o problema esteja completamente determinado devemos impor uma condição de contorno, a qual selecione uma combinação linear particular destas autofunções. Isto é feito especificando a lo- calização da fonte de part́ıculas. Por exemplo, podemos ter a fonte emissora das part́ıculas em x = −∞. Utilizando a expressão para a corrente de probabilidade J , temos que uma solução da forma uE = C − E e −ipx/h̄ + C+E e ipx/h̄ corresponde a J = |C+E |2 p m − |C−E |2 p m , i.e. a solução u+E (u − E) descreve um feixe de part́ıculas movendo-se no sentido de x positivo (negativo). Logo existe a seguinte correspondência entre condições de contorno e soluções, a menos de uma constante mul- tiplicativa associada a normalização: • Para a fonte em x = −∞ associamos a u+E. • Para a fonte em x = +∞ associamos a u−E. • Para fontes idênticas em x = ±∞ associamos a u = u+E + u−E. Evolução temporal Como um exemplo de aplicação da representação dos momentos, va- mos obter a solução geral para o problema de condição inicial de uma part́ıcula livre. Dada uma configuração inicial Ψ(x, 0), podemos obter Φ(p, 0) va- lendo-nos da Eq. (4.86). A evolução temporal do sistema é regida pela equação de Schrödinger para Φ(p, t), a qual toma a forma ih̄ ∂ ∂t Φ(p, t) = p2 2m Φ(p, t) . (4.101) A solução desta equação, a qual satisfaz a condição inicial, é dada por Φ(p, t) = Φ(p, 0) exp [ −i p 2 2mh̄ t ] . (4.102) 74 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais onde utilizamos (4.106) para escrever a primeira igualdade e também que ϕ é um autovetor de T . Tendo em vista que as duas integrais da última expseressão são iguais segue que |λ|2 = 1 . Podemos então escrever λ = eika onde k é real. Para encontrar a forma geral dos autoestados de T defininamos uk(x) = e −ikxϕ(x) , o qual é uma função periódica de x já que uk(x + a) = e −ik(x+a)ϕ(x + a) = e−ikxe−ikaeikaϕ(x) = uk(x) , onde utilizamos (4.107). Logo, os autoestados de T são da forma ϕ(x) = eikxuk(x) , onde uk(x) é uma função periódica. Este resultado é conhecido com teorema de Bloch. Cristais contém um número N (≃ 1023) átomos mas não são in- finitos. Tendo em vista que as propriedades dos elétrons dependem pouco de efeitos de superf́ıcie, i.e. das condições de contorno, vamos considerar a condição de contorno periódica Ψ(x = Na) = Ψ(x = 0) , (4.108) a qual preserva as propriedades acima. Dada esta condição os auto- valores do operador deslocamento T podem tomar apenas um número finito de valores visto que ϕ(x = Na) = ϕ(x = 0) = T nϕ(x = 0) = eiNkaϕ(x = 0) . Logo, k = 2πj Na onde j = 0,±1,±2, . . . ,±(N − 1) . (4.109) 4.4. Exemplo: potencial de Kronig–Penney 75 4.4 Exemplo: potencial de Kronig–Penney Um potencial periódico facilmente solúvel é V (x) = ∑ n v0 δ(x − na) , (4.110) onde somamos sobre todos os śıtios da rede. Quando diagonalizamos simultaneamente T e H , precisamos resolver a equação diferencial as- sociada a H|E〉 = E|E〉 apenas no intervalo 0 < x ≤ a uma vez que a autofunção para outros valores de x pode ser obtida usando o operador T : Ψ(x + ja) = T jΨ(x) = eijkaΨ(x) . (4.111) A equação diferencial associada a este problema de autovalores no intervalo 0 ≤ x < a é dada por − h̄ 2 2m d2Ψ dx2 + v0 δ(x)Ψ = EΨ . (4.112) No intervalo 0 < x < a o potencial é nulo, sendo que a solução geral de (4.112) é dada por Ψ = A sin(qx) + B cos(qx) , (4.113) onde escrevemos E = h̄ 2q2 2m e vamos analisar o caso E > 0, i.e. q é real. Agora impomos que Ψ seja cont́ınua em x = 0, o que conduz a e−ika [A sin(qa) + B cos(qa)] = B , (4.114) onde utilizamos (4.111). Conforme vimos anteriormente, a derivada de Ψ apresenta uma descontinuidade na posição dos deltas de Dirac. O salto da derivada para x = 0 é dado por (4.66), que conduz à relação qA − e−ika q [A cos(qa) − B sin(qa)] = 2mv0 h̄2 B . (4.115) A partir das duas últimas expressões podemos obter a equação que determina q para um dado valor de k cos ka = cos qa + mv0a h̄2 sin(qa) qa . (4.116) 76 Caṕıtulo 4. Exemplos Unidimensionais Comecemos analisando o caso em que a part́ıcula está livre, i.e. v0 = 0. Para um valor fixo de k temos que q = k + 2πj a com j = 0, ± 1, ± 2, . . . Quando consideramos todos os valores posśıveis de k dados por (4.109) segue que q = 2πn a com n = 0, ± 1, ± 2, . . . No caso geral v0 6= 0 os valores posśıveis valores de q que satisfazem (4.116) dependem da constante β = mv0a h̄2 . Para ilustrar o compor- tamento do lado direito de (4.116) com qa exibimos na Figura 4.6 o gráfico da função cos(qa) + 2 sin(qa)/qa i.e. assumimos beta = 2. Figura 4.6: Gráfico de cos(qa)+2 sin(qa)/qa como função de qa. Note que este é o caso β = 2.
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