Baixe cálculo diferencial e integral de granville e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! COLEGIO DE BACHILLERES CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I FASCÍCULO 2. LA FUNCIÓN DERIVADA Autores: José Luis Alaníz Miranda Rosa María Espejel Mendoza Mario Luis Flores Fuentes Alberto Luque Luna Ángel Martínez Jiménez 2 5 CAPÍTULO 3. LÍMITES 131 PROPÓSITO 133 3.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 135 3.1.1 Límites por la Derecha y por la Izquierda 135 3.1.2 Límite de una Función f(x) Cuando la Variable independiente “x” Tiende a un Número real “a” (x → a) 139 3.1.3 Casos en los que el Límite no Existe 147 3.2 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 151 3.2.1 Función Continua 153 3.2.2 Técnicas Algebraicas para Calcular Límites a) Límites de Funciones Polinomiales b) Límites de Funciones Racionales c) Propiedades de los Límites 158 158 164 171 3.2.3 Los Límites y el Infinito a) Funciones que Crecen o Decrecen sin Cota b) Asíntotas Verticales c) Límite de una Función Cuando la Variable Independiente Tiende a Infinito d) Asíntotas Horizontales e) Límites de Algunas Funciones Trascendentes 179 179 181 183 184 187 RECAPITULACIÓN 196 ACTIVIDADES INTEGRALES 200 AUTOEVALUACIÓN 202 RECAPITULACIÓN GENERAL 204 ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 205 AUTOEVALUACIÓN 208 ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN 210 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 212 6 7 INTRODUCCIÓN El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo XVII para resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo, velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del Cálculo. Sobresalieron entre sus iniciadores John Wallis, profesor de la Universidad de Oxford e Isaac Barrow, profesor de Newton en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Pero un método general de diferenciación e integración fue descubierto solo hacia 1665 por el Inglés Isaac Newton y posteriormente por Gottfried Wilhelm Von Leibniz, nacido en Leipziy, Alemania, por lo que a ellos se les atribuye la invención del Cálculo. En la actualidad el Cálculo se aplica al estudio de problemas de diversas áreas de la actividad humana y de la naturaleza: la economía, la industria, la física, la química, la biología, para determinar los valores máximos y mínimos de funciones, optimizar la producción y las ganancias o minimizar costos de operación y riesgos. En este fascículo estudiarás una parte del Cálculo conocida como Cálculo Diferencial. Para abordar estos contenidos es necesario que apliques los conocimientos que adquiriste de álgebra, geometría, trigonometría y geometría analítica. El objetivo de este material es apoyarte para que adquieras el concepto de función derivada, aprendas técnicas para derivar funciones y apliques estos conocimientos en la construcción de gráficas y la solución de problemas a partir de la discusión de situaciones de la vida real, para que obtengas elementos que te permitan estar en condiciones de tomar decisiones acertadas y pronosticar los cambios experimentan dos cantidades relacionadas funcionalmente además de proporcionarte las bases para que accedas al estudio del Cálculo Integral. 10 11 Antes de iniciar el estudio de este capítulo es conveniente que analices el siguiente cuadro. ¿Qué voy a aprender? ¿Cómo lo voy a lograr? ¿Para qué me va a servir? • La derivada. • A partir del concepto de razón de cambio que estudiaste en el fascículo anterior y aplicando la noción intuitiva de límite. • Para calcular las razones de cambio instantáneas y pendientes de rectas tangentes a curvas. • Derivación de funciones algebraicas. • Aplicando la definición de derivada y el método de los cuatro pasos. • Para obtener derivadas de funciones de una manera más eficientes. • Regla de la cadena. • Generalizando a partir de casos particulares. •Para derivar funciones compuestas. • Derivadas de orden superior. • Derivando reiteradamente a las derivadas • Para resolver problemas en donde se emplean las derivadas sucesivas • Derivada de funciones implícitas. • Aplicando las técnicas de derivación y la resolución de ecuaciones. • Para obtener sin despejar previamente la derivada de una función implícita. • Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. • A partir del hecho de que las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas. • Para resolver problemas de aplicación de éstas derivadas. P R O P Ó S I T O 12 ¿Qué voy a aprender? ¿Cómo lo voy a lograr? ¿Para qué me va a servir? • Derivadas de funciones trigonométricas. • Retomando los conocimientos de funciones trigonométricas. • Para aplicarlas a cuestiones relativas a rotaciones y velocidades de puntos sobre ruedas y otros problemas. 15 Una bola sube verticalmente alcanzando una altura S =14t – 4.9t2 m, en t segundos después de lanzada. Halla la razón de incremento (Cambio) de altura de la bola en m/s al tiempo 1t Analiza la solución: digamos que la bola esta a una altura 1S al tiempo t1 y S2 a t2. El incremento promedio de la elevación de la bola durante el intervalo t 1 < t < t2 es, Geométricamente esta magnitud esta representada por la pendiente de la Secante a través de los puntos (t1, S1) y (t2, S2) del diagrama altura tiempo. Si t2 – t1 es pequeño, S2 – S1/ t2 – t1 representa aproximadamente la velocidad de ascenso de la bola en cualquier instante del intervalo. Para calcular la relación precisa del incremento de altura al tiempo t1 hacemos que 021 →− tt . Así, = − − 12 12 tt SS Pendiente de la Secante = − − 12 12 tt SS Velocidad promedio de ascenso = − − 12 12 tt SS ( )12 12 2 1 2 2 12 12 12 2 11 2 22 9.414 9.414 9.4149.414 tt tt tt tt tt tt tttt +−= − − − − − = − +−− Al aproximarse t2 a t1, en el intervalo t2 – t1, entonces t2 + t1 tiende a 2t1. Por lo tanto la pendiente S2 – S1/ t2 – t1 de la secante se convierte en la pendiente de la tangente y de la curva. Es decir: [ ] tt 0h t8.914 )tt(9.414 lim lim 12 12 →→ −=+−= Incremento de altura S2 – S1 Tiempo transcurrido t2 – t1 = 16 La velocidad de ascenso v a los t1 segundos es V = 14 – 9.8 1t m/seg. Nota: Que la razón de cambio consta de dos términos separados. El término 14 es la razón de cambio de 14t y -9.8t es la razón de cambio de –4.9t2 al tiempo t1. La velocidad o razón de cambio instantánea de elevación con relación al tiempo en el instante se representa gráficamente por la pendiente de la curva en t = t1. Con base al problema de la bola, contesta las siguientes preguntas. ¿Cuándo es cero la velocidad? ¿Cuándo esta, la bola a mayor altura? ¿A qué velocidad vuelve la pelota al piso? ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 17 1.1.1 CONCEPTO DE DERIVADA Precisamente como dy / dx es la razón de cambio de “y” con respecto a “x”, entonces podemos concluir que: Velocidad v =ds / dt = 11210 /lim 12 ttSSstt −−→− Gráfica No.1 ¿Has aclarado algunas dudas? Continúa el estudio y analiza el siguiente problema. La posición de una partícula suspendida en el espacio tiene como ecuación f(x) = x3 – 4x – 5. Determina la pendiente (m) y la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto cuya abscisa es igual a 2 Solución: a) De la derivada como límite, que es la razón de cambio de la función, en la pendiente que une los puntos (x , f (x) ). (t1, S1) (t2, S2) t1 t2 S2 S1 y 0 x 20 Primero se revisarán algunas ideas anteriores, supón que P(x,y) y Q(x1,y1) son los puntos de la gráfica de una función f. Entonces la recta secante P y Q tienen la pendiente: XX YYm − − = 1 1sec. o bien, puesto que y = f (x) y y1 = f (x1), xx xfxfm − − = 1 1 )()(sec. (1) haciendo, xxh −= 1 , entonces hxx +=1 de tal manera que la ecuación (1) puede escribirse así m sec = h xfhxfm )()(sec. −+= Observemos la gráfica No 3. Gráfica No. 3 De la gráfica se observa que P(x,f(x)) y Q(x1,f(x+h)–f(x)) ó Q(x+h,f(x+h)–f(x)). Cuando Q tiende P sobre la gráfica de f, X1 tiende a Xo y por consiguiente h = X1 – X tiende a cero. x x P h y 0 x1 = x+h y = f(x) f(x) f(x+h) f(x+h) – f(x) Q 21 Además, cuando Q tiende a P, la recta secante que une P y Q tiende a la recta tangente en P. El cual nos conduce a la siguiente definición: Si P (x, y) es un punto de la gráfica de una función f, entonces la recta tangente a la gráfica de f en P se define como la recta que pasa por P y tiene la pendiente siempre que exista el limite. m tan h xfhxf h )()(lim 0 −+ = → (2) Siempre que exista el límite, se hará referencia a la recta tangente en x1 = x. DEFINICIÓN: La derivada de una función f es una f definida por: h xfhxfxf h )()(lim)( 0 −+ = → (3) El dominio de f, consta de todas las “x” en la que existe este límite; NOTACIÓN: El símbolo f (x) se lee “f prima de x”. Sí x esta en el dominio de f, entonces se dice que f es diferenciable en x. De (2) y (3) se sigue que si f es diferenciable en Xo, el valor de la derivada en x es: = −+ = → h xfhxfxf h )()(lim)( 0 m tan En otros términos, la derivada de f es una función cuyo valor en X1 = X es la pendiente (m = tang θ) de la recta tangente a y = f(x) en x1 = x. El dominio de la derivada es el conjunto de los valores de X para lo que existe una recta tangente a Y = f(x). Existen tres maneras comunes en las que la función f puede no ser diferenciable en un punto, formuladas de una manera informal, estas pueden clasificarse como: a) Rupturas. b) Vértices. c) Tangentes verticales. 22 Ruptura. a) *Es evidente que si la gráfica de una función f tiene una “ruptura” en X1=X (ver gráfica 4) entonces la función no puede tener una tangente en X. Esto se demuestra cuando más preciso sea el término de una “ruptura”. Gráfica No. 4 Vértices. b) La gráfica de una función f tiene un “vértice” en un punto P (X, f (X) ) si la gráfica de f no se interrumpe en P y la posición límite de la recta secante que une a P y Q depende de si Q tiene a P por la izquierda o por la derecha ( ver gráfica 5). En los vértices no existe una recta tangente, ya que las pendientes de las rectas no tienen un límite ( por ambos lados). y x x2 1 y = 0 25 El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad, cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original. Los ejemplos siguientes muestran tales situaciones. 1) El cambio en el corte total de operación de una planta que resultan de cada unidad adicional producida. 2) El cambio en la demanda de cierto producto que resulta de un incremento en el precio. 3) El cambio en el producto nacional bruto de una país con cada año que pasa. Sea x una variable con un primer valor 1x y un segundo valor 2x . Entonces es el cambio, de valor x; es 12 xx − y se denomina el incremento de cualquier variable. ∆x = 12 xx − denota el cambio de la variable x ∆p = 12 pp − índica el cambio de variable p ∆q = 12 qq − denota el cambio de la variable q. Sea y = f(x) una variable que depende de x. Cuando x tiende al valor 1x , y tiende el valor )(1 xfy = De manera inicial, cuando 2xx = y tiende el valor )( 22 xfy = Así el incremento de y es 1212 yyyy −=− )()( 12 xfxf −= Ejemplo. El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio del litro. Si p en el precio por el litro en centavos, se encuentra que el volumen de venta ( en litros por día ) esta dado por: q = 500 (150 – p ) Calcula el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el precio de 120 c a 130 c por litro. Solución. Aquí p, es la variable independiente y q la función de p. El primer valor de p es: 1p = 120 y el segundo valor es 2p = 130. El incremento de p es: 101201301212 =−=−=− pppp 26 Los valores correspondientes de q son los siguientes: 1q = 500 ( 150 – 1p ) = 500 (150 – 120 ) = 15, 000 2q = 500 (150 – 2p ) = 500 (150 – 130 ) = 10, 000 En consecuencia, el incremento de q esta dado por: p2 – p1 = q2 – q1 = 10,000 – 15,000 = – 5000 El incremento de q mide el incremento en q y el hecho de que sea negativo significa que q en realidad decrece. El volumen de ventas decrece en 5, 000 litros por día si el precio se incrementa de 120c a 130c. Resolviendo la ecuación ∆x = 12 xx − para 2x si ∆x = h, entonces tenemos hxx += 12 . Usando este valor de 2x en la definición de ∆y, obtenemos, ∆y = )()(12 xfhxfyy −+=− En forma alternativa, dado que f (x) = 1y podemos escribir: )(12 hxfyyy +=−+ Ejemplo. Dado f (x) = 2x calcula el incremento 12 yy − , si x = 1 y h = 0. 2 Solución. sustituyendo los valores de x y ∆x en la fórmula de ∆y1, tenemos: ∆y = 2212 )()( xfhxfyy −+=− 22 )1()2.01( ff −+= = f (1.2)2 – f (1)2 = (1.2) 144.1)1( 22 −=− ∆y = 44.012 =− yy Observemos que un cambio de 0.2 en el valor de x da como resultado un cambio en “y” de 0.44. 27 Observemos la gráfica. Gráfica No.8 Ejemplo. En el caso de la función y = 2x , determina cuando x = 1 para cualquier incremento .1 xx − de x. 2 2 2 22 12 )(2 )(211 1)(21 )1()1( )1()1( )()( hh hh hh h fhf xfhxfyy += ++−= −++= −+= −+= −+=− Como en la expresión de 12 yy − el ejemplo es valido para todos los incrementos h, entonces podemos resolverlo sustituyendo h = 0.2 quedando el siguiente resultado: 44.004.04.0)2.0()2.0(2 212 =+=+=− yy Como el anterior. h1 = 0.44 y= x 2 1.44 1 h 1 1.2 2 h = 0.2 x y 0 30 1.2 TÉCNICAS DE LA DERIVACIÓN. 1.2.1 DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Generalmente la derivación se lleva acabo aplicando fórmulas obtenidas mediante la regla general de la derivación y que calcularemos a continuación, de estas podemos derivar las funciones algebraicas, trascendentales, sucesivas y combinadas. 1) DERIVADA DE UNA CONSTANTE. Emplearemos el método de los cuatro pasos. Si y = f (x) = c siendo c una constante a) Evaluamos f en x+h, al incrementar x, la constante no cambia y, por lo tanto tampoco cambia y, entonces f (x+h) = c. b) Restamos f(x). f (x+h) – f(x) = c – c = 0 c) Dividimos por h. 00 ==−+ hh )x(f)hx(f d) Obtenemos el límite cuando h → 0 0 00 → = h lim Resumiendo. Si y = c entonces y’ = 0 La derivada de una constante es igual a cero Ejemplo. La derivada de y = 4, es y’ = 0 La derivada de y = 5/7, es y’ = 0 La derivada de y = 2, es y’ = 0 Si y = 8, entonces y’ = 0 Si y = –2/3, entonces y’ = 0 31 2) DERIVADA DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE.(FUNCIÓN IDENTICA O IDENTIDAD) Sea y = f(x) = x siguiendo la regla general o de los cuatro pasos: a) y + y2 – y1 = x + h b) hyy =− 12 c) 1//12 ==− hhhyy La derivada de la variable independiente o con respecto a ella misma, es igual la unidad Entonces: d) 11limlim 0 12 0 == − →→ hh h yy Si y = x entonces y´ = 1 La derivada de la variable independiente o con respecto a ella misma, es igual la unidad 3) DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR LA VARIABLE INDEPENDIENTE. Sea la función y = cx, por ejemplo y = 5x Entonces la derivada de y = 5x, es y’ = 5 Si y = 5x /3, entonces y’ = 5/3 Si y = cx entonces y´ = c La derivada del producto de una constante por la variable independiente es igual a la constante Por regla general: a) )hx(cyyy +=−+ 12 b) chcxchcxyy =−+=− 12 c) c h ch h yy == − 12 d) cc h yy hh == − →→ 0 12 0 limlim 32 4) LA DERIVADA DE SUMA DE FUNCIONES Si y = u + v + w en donde y = f(x) , u = f(x) , v = f(x), w = f(x) Entonces y’ = u’ + v’ + w’ , Siempre que u, v, w sean diferenciables Ejemplo. Si y = )53( 2 xx + , entonces 56)5(')3(')53(' 22 +=+=+ xxyxyxxy y’ = u’ + v’ + w’ La derivada de la suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones Empleando la forma general comprueba la fórmula para la derivada de la suma de las funciones, 5) DERIVADA DE PRODUCTOS Y COCIENTES. En esta sección, enfocaremos los dos más importantes teoremas que representan técnicas útiles cuando se requiere derivar funciones complicadas. TEOREMA 1 REGLA DEL PRODUCTO Si u(x) y v(x) son dos funciones de x diferenciables, entonces la derivada de su producto es: (uv )’ = u v’ + u’ v La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 35 Ejemplo. Considerando otra vez la ecuación de la demanda lineal p = a – bx, se tiene que x = (a/b) – (p/b) y así dx/dp = –1/b, por lo tanto, el ingreso marginal con respecto al precio es: b p b a b p b p b a b p b p b a dp dxpx dp dR 2 )1( −=−−= +−= += Una vez más, podríamos haber calculado dR/dp directamente derivando la función: R = xp = (ap − p2) / b TEOREMA 2. REGLA DEL COCIENTE. Si u (x) y v(x) son dos funciones diferenciables de x, se tiene que: 2 '')( v uvvu v u − = La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador todo dividido entre el cuadrado del denominador. Ejemplo. Calcula y’ = 4 1 3 2 + + x x Aplicando la regla del cociente tenemos u = x2 + 1 y v = x3 + 4 23 3223 )4x( )4x( ' v )1x( )1x( ' u )4x( ' y + ++−++ = 16x8x )x3x3(x8x2 16x8x )(3x )1x( (2x) )4x( ' y 36 244 36 223 ++ +−+ = ++ +−+ = 23 24 36 24 )4x( x8x3x 16x8x x8x3x ' y + +−− = ++ +−− = 36 Ejemplo. Calcula y’ si 3 1 + + = x xy u = (x + 1) y v = (x + 3) 2)3x( )3x( ' v )1x( )1x( ' u )3x( ' y + ++−++ = 22 )3x( 1x3x )3x( )(1 )1x( (1) )3x( ' y + −−+ = + +−+ = 2)3x( 2 ' y + = Ejemplo. Calcula y´ si 7x2 3 y + = u = 3 y v = (2x + 7) 22 )7x2( 6 )7x2( )7x2( ' v )3( )3( ' u )7x2( ' y + − = + +−+ = 37 1. Usando la regla del producto calcula las derivadas de las funciones siguientes con respecto a la variable independiente respectiva. a) y = (x + 1) (x3 + 3) f) g(x) = (x2 + 1) (x + 1)2 b) u = (7x + 1) (2 − 3x) g) f(x) = (3x + 7) (x − 1)2 c) f(x) = (x2 – 5x + 1) (2x + 3) h) ( )5y y 3yu 2 −      + = d) y = (x3 + 6x2) (x2 – 1) i)         −       += 2 2 t 1t5 t 1t)t(g e) u = (x2 + 7x) (x2 + 3x + 1) j) f(x) = (2x + 1) (3x2 + 1) (x3 + 3) 2. Usando la regla del cociente calcular las derivadas de las funciones con respecto a la variable independiente respectiva. a) f(x)= 5 72 − − t tt f) y = 1 1 2 +x b) t= 1 1 2 2 + − x x g) y = 1+u u c) f (t) = t t 32 5 − h) g(x)= 3 3 2 − − x x d) f(x) = 1 2 − + x x i) x = 1 1 − + u u e) y = 1 1 2 2 ++ +− uu uu j) y = 2)1( 1 +t ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 40 9) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ENTRE UNA CONSTANTE Sea y = c u en donde c es una constante Ejemplo. Derivar y·= 8 23 +x donde u = 3x + 2 y u’ = 3 Entonces y’ = 8 3 c 'u c u'y =      La derivada de la función entre una constante es igual a la derivada de u entre la constante Esta fórmula también podemos citarla como un caso particular de la derivada de una constante por una función. 10) DERIVADA DE LA RAIZ CUADRADA DE UNA FUNCIÓN. Derivar. y = 23 −x donde u = 3x – 2 y u’ = 3 Entonces 232 3' − = x y Porque si y = x entonces y = x1/2 y su derivada es y’ = x2 1 Si el radicando (lo que está dentro del radical) es una variable u, entonces la función es de la forma y = u y su derivada es: y’ u =       u2 ' u La derivada de la raíz cuadrada de una variable, es la derivada de la variable entre dos veces la raíz de la variable Ejemplo. Derivar la función x xy 1+= , utilizando el exponente fraccionario y el exponente negativo. 41 2/12/1 2/1 2/1 xx x 1x y −+=+= y’ = ( ) 2/32/1112/1 x 2 1x 2 1 x 2 1x 2 1 2 1 −−−−− −=          −+ y’ =       −      2/32/1 x 1 2 1 x 1 2 1 y’ = 3x2 1 x2 1 − Obtén la derivada de las siguientes funciones, aplicando la fórmula correspondiente a) f(x) = 7x j) 1x x3)x(f 2 − = b) f(x) = bx + c k) 32 )8x( 1)x(f + = c) 3 8x4x)x(f 2 +− = l) x)x(f = d) f(x) = 3 (x3 – x2) m) 4x7)x(f = e) f(x) = (x2 + 1)2 n) 53 xx9)x(f −= f) f(x) = (ax)4 o) 3x)x(f = g) f(x) = (3x + 2)5 p) 2x 1x)x(f 2 2 + + = h) 4x 3)x(f − = q) 7x2 x)x(f + = i) f(x) = 3x2 – 1 r) 1x2)x(f −= ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 42 1.2.2 REGLA DE LA CADENA Las reglas de la derivación presentadas en las secciones anteriores se pueden usar solamente para sumar, restar productos y cocientes de expresiones de la forma x donde n es un número entero . 32 )1( +x Es claro que Dx 32 )1( +x Si cambiamos la forma de la expresión, entonces; 133)1( 24632 +++=+= xxxxy y Dxy = 6x5 + 12x3 + 6x , factorizando Dxy = 6x (x2 + 1)2 Por lo tanto Dxy (x2 + 1)3 = 6x (x2 + 1)2 Este desarrollo es muy complicado para potencias mayores como por ejemplo 102 )1( +x entonces es conveniente tener métodos más sencillos para calcular la derivada. El que se usa en este caso parte de expresar una función de x , recordando que si f y g son funciones tales que: y = f (u) (1) u = g(x) (2) Ahora bien si g (x) esta en el dominio de f entonces la podemos escribir y = f(u) = f [g(x)] es decir, y es una función de x, esto último es la función compuesta f ó g, podemos notar que la expresión 32 )1( += xy puede expresarse de la manera siguiente. y = u3 y u = x2 + 1 Si se pudiera encontrar una regla general para derivar f [g(x)], entonces se podría aplicar a y = 32 )1( +x como caso especial y también a cualquier expresión de la forma y = [f(x)n] donde n debe ser un número entero. Para dar una idea de tipo de regla esperada regresemos a las ecuaciones 1 y 2 y = f(u), u = g(x) queremos encontrar una fórmula para la derivada dy/dx de la función compuesta dada por y = f [g(x)] . Si f y g son derivables, entonces utilizando la notación de las diferenciables tenemos 45 Contesta las siguientes preguntas con base al problema del movimiento de un objeto. ¿Puedes resolverlo aplicando las derivadas sucesivas? ¿Qué calcularías primero, la velocidad, distancia, o aceleración? ¿La primera derivada de f (x) que representa? ¿Si S = f(t) que representa esta función? La solución del problema anterior, es la siguiente. Si lo podemos resolver utilizando derivada de orden superior o sucesivas. Se calcula primero la distancia, después la velocidad y por último la aceleración. La derivada f ’(x) nos representa, razón de cambio f(x) con respecto a x. S = f(t) nos representa el desplazamiento de algún móvil en línea recta. a) Tenemos que calcular f (t), f `(t), f´´(t) siendo S = f(t) 23 tt 3 1 )t(f S −== Para t = 6 seg. Desplazamiento: mts 36 3672 36 3 216 )6()6( 3 1 )6(f 23 =−=−=−= Velocidad (primera derivada): f ’(t) = t2 – 2t f ’(6) = (6)2 – 2(6) = 36 – 12 = 24 m/seg ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 46 Aceleración (segunda derivada): f ’’(t) = 2t – 2 f ’’(6) = 2(6) – 2 = 12 – 2 = 10 m/seg2 Es decir en t = 6 segundos el móvil recorrió 36m con una velocidad de 24 m/seg y una aceleración de 10 m/seg. b) Debemos calcular f(3), f ‘ (3), f ’’(3) mts 0 99 9 3 27 )2()3( 3 1 )3(f 23 =−=−=−= f ’(3) = (3)2 – 2(3) = 9 – 6 = 3 m/seg f ’’(3) = 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4 m/seg2 En t = 3 seg el móvil recorrió cero m, (empezó retrocediendo y en t = 3 había avanzado los que había retrocedido. En t = 3 seg, su velocidad era de 3 m/seg y su aceleración de 4 m/seg. Resuelve los incisos “c” y “d” ¿Qué observas? Por último observamos que si la gráfica de la función desplazamiento con respecto al tiempo tiene la forma: ¿Cuál es la gráfica para las otras funciones? (1) La velocidad es positiva y constante, lo que implica que la velocidad instantánea es la misma por cada instante y la aceleración es nula S t 0 47 Ejercicios de aplicación. a) Sea xxxxf −−= 24 2)( calcula f ’’’ (x) b) Si x xf 1)( = calcular )(4 xf en x = 2 c) Sea 224)( xxh −= calcular f ’’(4) Para los ejercicios del inciso d) al i) toma en cuenta que una partícula se mueve según la ecuación. 23 6tts −= , para t > 0 donde t esta en hrs. y s en km. d) Calcula la aceleración media en [3,5] e) Calcula la aceleración instantánea en t = 5 f) Calcula la aceleración instantánea en t = 1 g) ¿A que el valor “t” es igual a 0? h) ¿En que intervalo la velocidad es positiva? i) ¿En que intervalo la aceleración es positiva? La velocidad de un móvil se define como la derivada de una función. h )x(f)hx(f lim )x('f h −+ = →0 Si el límite existe entonces la segunda derivada de f, será: h )x('f)hx('f lim )x("f h −+ = →0 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 50 En algunos casos retomamos las fórmulas. a) y’ (uv) = uv’ +vu’ La derivada de un producto b) y’ (u)n = n(u)n–1 u’ La derivada de una función elevada a un exponente entero positivo c) 2v 'v u 'u v v u dx d − =      La derivada de un cociente y otras según lo estime el problema. Ejemplo. Derivar la función implícita 522 =+ yx Solución: derivamos término a término con respecto a x Sustituyendo xxy 2)(' 2 = yyy 2)(' 2 = 0)5(' =y y’ (x2 + y2 – 5) = 2x + 2y y’ – 0 ).(22 yyx ′+= ecuación (1) Despejamos 1.dey′ xyy 2'2 −= ∴ y’ = y x − El ejercicio anterior lo podemos expresar en forma explícita y obtener su derivada. Continuando con el ejemplo. Derivar 22 2/122 2/12222 552 2'2' )2()5( 2 1'5 )5(55 x x x xyxu xxyxu xxyyx − −= − −=−= −−=−= −=−==+ − Como y = 2x5 − , entonces se sustituye en la derivada y se obtiene la expresión y’ = y x − 51 Ejemplo. Derivar 225 yxyx +− = 0 En este caso aunque quisiéramos no es posible dar la expresión en forma explícita por lo cual es necesario aplicar el procedimiento de la derivación implícita. Solución derivando término a término con respecto de x. xxy 10)5(' 2 = yxyxyy += ')(' y’ (y2) = 2y (y’) Sustituyendo, tenemos: )5(' 22 yxyxy +− '2)'(10 yyyxyx ++−= = 10x – xy’ – y + 2y y’ Despejamos a y‘: x10y 'y y2 'xy −=+− xyyxy 10)2(' −=+− xy2 x10yy − − = NOTA En general los resultados de los términos de las funciones implícitas incluyen a “x” y a “y” como en el ejemplo anterior. Obtener la derivada de y con respecto a x en las siguientes funciones por el método de derivación implícita. a) .5x2 + 2y2 = 1 sol. y2 x5'y −= ó 2 x512 x5'y 2− = b) x2y2 – y2 = x2 sol. yyx xyx − − 2 2 c) 35 22 =− yx sol. y5 x'y = ó 5 3x5 x'y 2 − = ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 52 d) 5 – y3 = x sol. 2y3 1'y −= ó 3 2)x5( 3 1'y − −= e) y2 = 2px sol. y p'y = ó px2 p'y = f) 015 =−xy sol. x y'y −= ó 2x5 1'y −= g) yyx 35 2 =− sol. 310 1 +y h) 022 =+− yxyx sol. xy2 x2y'y − − = i) 222222 3 bayaxb =− sol. ya xb'y 2 2 = j) yyx 25 2 =− sol. 2y10 1'y + = 1.2.5 DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Antes de entrar al campo de logaritmos es necesario hacer un recordatorio: a) Reglas fundamentales de los logaritmos de cualquier base 1. log a A B = log a A + log a B 2. log a A/B = log a A − log a B 3. log a An = n log a A 4. log a n Alog n aa = b) En las propiedades generales de los logaritmos, se indica , en todo sistema de logaritmos el logaritmo de base uno. c) En ecuaciones exponenciales; toda ecuación que contiene a la incógnita como exponente se llama ecuación logarítmica. Ejemplo. log 5(x–3) + log 5x = 2 55 f) DERIVADA DE ln u uelog se puede expresar como: uelog = ln u = Lu Sea = uelog En donde u = f(x) de la fórmula (1) 'u u elog u log 'y aa = si hacemos a = e, queda: 'u u elog u log 'y ae = como en todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es un 1 1.log =ea de donde: 'u u 1 ln y' u log 'y e ⋅== ecuación (2) Ejemplo. Derivar y = ln (ax + 3) Donde u = ax + 3 y aplicando la formula u´= a u u uy ′=′ 1)(ln Sustituyendo valores 1 . 3 1 a ax + = y’ 3+ = ax a Derivar )ln(ln xy = Aplicando la formula u = ln x y u’ = x 1 xxxx xy ln 11. ln 1))(ln(ln ==′ 56 g) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL au sea y = a u en donde u = f(x) A la exponencial se le aplica logaritmos a los dos miembros de la ecuación, ln y = u ln a y se deriva en forma implícita, desarrollamos el primer miembro con la fórmula (2) y el segundo miembro con la derivada de un producto. 'u a ln a 1 u y 'y +     = 'u a ln y 'y = despejamos y’ = y ln a u’ Como y = au. Entonces: y’(au) = au ln a u’ ecuación (3) Ejemplo. Derivar )65( 2 10 −+= xxy 652 −+= xxu 52' += xu )52)(10(ln10' )65( 2 += −+ xy xx y’ = (2x + 5) )6x5x( 2 10 −− ln 10 h) DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL eu Sea y = eu en donde u = f(x) de la ecuación (3) y’(au) = au ln a u’ hacemos a = e queda y’(eu) = eu ln e u’ Como en todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es uno, ln e = 1 Entonces: y’(eu) = eu u’ ecuación (4) 57 Ejemplo. Derivar 3xey = donde u = x3 Por lo tanto aplicando la formula resulta 33 x22x e x3 )x3(e 'y == Con base a los conceptos de funciones logarítmicas y exponenciales, deriva las siguientes funciones para reafirmar tu conocimiento: a) y = ln (3x + b) sol. y’ = bx3 6 + b) y = ln (3x2 + b) sol. y’ = bx x +23 6 c) y = ln (ax + 2) sol. y’ = 2ax a + d) y = ln (2xn) sol. y’ = x n e) y = ln (2x3 – 3x2 + 5) sol. y’ = 532 )1(6 23 +− − xx xx f) x y 3log= sol. y’ = x e log g) y = ln x 3 sol. y’ = )3( 6 2xx + h) y = 2x23ln − sol. y’ = 2x23 x2 − − i) y = 2x ln x sol. y’ = 2 + 2 ln x j) y = e2x sol. y’ = 2 e2x ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 60 xxf 7.cot 4 1)( = Donde xu 7= , 7´=u )7)(7csc( 4 1´ 2 xy −= ∴ xy 7csc 4 7´ 2−= Entonces y’ (cot u) = −csc2 u ⋅ u’ Derivada de la función cotangente e) DERIVADA DE LA FUNCIÓN SECANTE Si tenemos presente que ( ) 1ucos ucos 1usec −== y ucos senuutan = y sea y = sec u en donde u = f(x) como sec u = (cos u)−1 y = sec u = (cos u)−1 entonces y = (cos u)−1 Derivamos aplicando: ')(' 1unuuy nn −= y’ = ( ) ( ) 1 'u u sen u cos 1 )u (cos'y u cos 1 2 2 ⋅−⋅ − =− − y’ = 'u u cos 1 u cos u sen ucos 'u )u sen( 2 ⋅⋅= Sustituyendo los cocientes por las identidades trigonométricas, se tiene: y = tan u sec u u’ Entonces y’(sec u) = sec u tan u u’ La derivada de la función secante 61 Derivar: ( ) 3 sec7 xxf = 3 xu = , 3 1'u = 3 1)tan(sec7´ uuy = 3 tan 3 sec 3 7´ xxy = f(x) = sec 3x u = 3x , u´= 3 )3(tansec´ uuy = xxy 3tan3sec3´ = f) DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSECANTE Derivar: y = x3csc 4 1 u = 3x , u’ = 3 y’ = ( ) )3( u cot u csc 4 1 − y’ = x3 cot x3 csc 4 3 − y = x1 1csc − u = x1 1 − , u’ = ( )2x1 1 − y’ = ( )         −−− − 2x1 1 x1 1cot x1 1csc y’ = ( ) x1 1cot x1 1csc x1 1 2 −−− − 62 Entonces y’(csc u) = −csc u cot u u’ La derivada de la función cosecante NOTA La función cosecante se obtiene en forma análoga a la secante, realiza ese procedimiento para obtenerla. 1.- Obtener la fórmula de la derivada de la función coseno. 2.- Obtener la fórmula para la derivada de la función cotangente 3.- Derivar las siguientes funciones trigonométricas xxf 2tan)( = 2sec)( xxf = xsenxf 24)( = 2/cos3)( xxf = 2/3)( 2xsenxf = xsenxf ,)( = 2)1()( xsenxf −= ) 2 )2tan()( x xxf + − = x sec 2)x(f = ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 65 Para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, inicialmente vamos a demostrar que: 1lim 0 = → α α α sen Este límite no se puede obtener con las reglas de los límites, para calcularlo utilizamos algunas propiedades de la geometría y de la trigonometría. 1 2 ˆ ; . . . ; . . . . c o m p a ra n d o .. la s .. lo n g itu d e s ( ) D iv id ie n d o (1 )e n tre.. ( ) P o r s e r ra d io s d e l m is m o c irc u lo. e n to n c e s A o B B Q L O A T A T A N B Q A B A T O A B Q A B A T O A O A O A B Q B QO A O B O A O B < < < < = = Como αsen BO QB AO QB BO QBsenα .dosustituyen === (3) α= AO BAqueindicaseya valor natural del ángulo (4) αtan= AO TA (5) sustituyendo en la igualdad .(2) los valores obtenidos en (3), (4) y (5) queda ,sen ααα tan<<sen (6) y dividiendo la igualdad (6) entre senα recordamos que α α α α α α α α αα sen sen sensen senentoncessen cos cos tan <<= ; entonces; αα α cos 11 << sen (7) A T B 0 α 66 como una desigualdad cambia de sentido al tomar los recíprocos, los tomamos α α α cos1 >> sen si tomamos el límite cuando 0→α queda... tenemos1coslimcomocoslimlim1 000 =>> →→→ αα α α ααα sen 1limdecires1lim1 00 ==>> →→ α α α α αα sensen a) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO SENO Derivar xu xu xsenarcy 10' 5 5 2 2 = = = xu xsenarcy = = y’ = ( ) 22 x251 x10 x51 x10 − = − x2 1'u = ( )2x1 'u'y − = )1(2 1 1 2 1 ' xxx xy − = − = y’ = 2xx2 1 − Entonces 21 '' u uusenarcy − = La derivada de la función inversa de arc sen Si tenemos presente que sen2 + cos2 y = 1, entonces ;1cos 2 yseny −= sea y = arc sen u, de donde u = f(x) y escribiendo el inverso del arco sen u, se obtiene sen y = u, la cual al derivarla como una función implícita. sen y’ = u’ 67 cos y y’ = u’ despejamos y uy cos ''= (1) como sen2 y + cos2 y = 1 entonces la derivada de la función arco seno. yseny 21cos −= sustituyendo en (1) ysen1 'u'y 2− = (2) como sen y =u, elevando al cuadrado los dos miembros sen2 y = u2, sustituyendo en y’ arc sen u = 21 ' u u − b) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO COSENO Derivar 2 cos. xarcy = 2 1 2 == xu x , 2 1'u = y’ = ( ) 2222 x42/1 2/1 4 x4 2/1 4 x1 2/1 2/x1 2/1 − −= − −= − −= − − y’ = 2x4 1 − − y = arc cos 3 2x xxu 3 2 3 2 == , 3 2 =′u y’ = ( ) 2222 x493/1 3/2 9 x49 3/2 9 x41 3/2 3/x21 3/2 − −= − −= − −= − − 70 Entonces y’ arc cot 2u1 'uu + −= La derivada de la función inversa arco cotangente De la forma análoga a la tangente inversa, encuentra la formula para la derivada de arc cot. e) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO SECANTE Derivar: y = arc sec (3x + 2) con u = 3x + 2 ; u´ = 3 y’ = ( ) 1)2x3(2x3 3 2 −++ = ( ) 3x12x92x3 3 2 +++ Derivar: y = arc sec 2x y’ = )x('u 1xx 1 2 42 − = 1xx x2 42 − = 1xx 2 4 − Entonces y’ arc sec 1 ' 2 − = uu uu La derivada de la función arco secante Si sabemos que sec2y – tan2y = 1 entonces tan2y = sec2y – 1 y tan y = 1ysec 2 − . Sea y = arc sec u donde u = f(x), si escribimos el inverso de arc sec u, entonces : sec y = u derivando como implícita. y’sec y = u’ ; sec y tan y y’ = u’ despejando yy uy tansec '´= (1) 71 como 1sectan 22 −= yy y tan y = 1ysec 2 − sustituyendo (1) y’ = 1ysec ysec u 2 − (2) y si sec y = u entonces elevando al cuadrado los dos miembros sec2y = u2 sustituyendo en (2) y’arc sec 1 ' 2 − = uu uu f) DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO COSECANTE Derivar: y = arc csc 2x con u = 2x ; u´ = 2 )x2('u 1x4 x2 1'y 2 − −= 1x4 x2 2'y 2 − −= 1x4 x 1'y 2 − −= Entonces y’ arc csc u = 1u u 'u 2 − − La derivada de la función arco cosecante 72 Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas. 1. arc sen (2x – 5) 2. arc sen (x /a) 3. arc cos (x /3) 4. x2 arc cos (2x) 5. arc cot x x − + 1 1 6. arc sec x 3 x− 7. arc csc (1 – 2 x) Hasta este momento hemos visto los temas para derivar diferentes tipos de funciones, desde las algebraicas, las exponenciales, las trigonométricas directas e inversas y las derivadas de orden superior, esto nos prepara para un mejor entendimiento en lo que respecta a las aplicaciones de la derivada. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN EXPLICACIÓN INTEGRADORA 75 Para la solución de los problemas utilizamos el siguiente procedimiento. 1. Encontramos la derivada como límite. h tfhtftf h )()(lim)( 0 −+ = → (1) Si f(t) = 3t2 – 2t + 1 (2) y 1)(2)(3)( 2 ++−+=+ hththtf (3) Entonces desarrollando la 3, nos queda. f(t + h) = 3 (t2 + 2th + h2) – 2t – 2h + 1 = 3t2 + 6th + 3h2 – 2t – 2h + 1 (4) Sustituyendo 2 y 4 en 1 h h2h3th6 lim h 1t2t31h2t2h3h6t3 lim )t(f 2 0h 222 0h −+ = −+−+−−++ = →→ 2t6 2)0(3t6 lim h )2h3t6( h lim )t(f 0h0h −=−+= −+ = →→ 26)( −=′ txf Es la derivada. -La razón de cambio para 23t es 6t -La razón de cambio para –2t es –2 Sustituyendo a t = 3seg en f’(x) = 6t – 2 encontramos la velocidad instantánea. V = f’(x) = 6t – 2 de donde V = 6(3) – 2 = 18 – 2 = 16 ∴ V = 16m/seg. AUTOEVALUACIÓN 76 2. Si h xfhxfxf h )()(lim)( 0 −+ = → (1) entonces 235)( 3 +−= xxxf (2) f (x + h) = 5 (x + h)3 – 3 (x + h) + 2 (3) Sustituyendo 2 y 3 en 1 tenemos. h )2x3x5(2)hx(3)hx(5 lim )x(f 33 0h +−−++−+ = → Efectuando las operaciones indicadas nos queda. h 2x3x52h3x3h5xh15hx15x5 lim )x(f 33223 0h −+−+−−+++ = → h h3xh15hx15 lim )x(f 22 0h −+ = → h )3xh15x15( h lim )x(f 2 0h −+ = → 3)0(5)0(x15x15 lim )x(f 22 0h −++= → 3x15 lim )x(f 2 0h −= → de donde 315)( 2 −=′ xxf -La razón de cambio de 35x es 215x -La razón de cambio de -3x es -3 77 APLICACIONES DE LA DERIVADA 2.1 ANÁLISIS Y TRAZO DE CURVAS 2.1.1 Estudio de la Variación de una Función a) Tabulación y Graficación de una Función b) Dominio y Rango de una Función 2.1.2 Intersecciones con los Ejes Coordenados a) Ceros de la Función b) Intervalos para los que la Función es Positiva c) Intervalos para los que la Función es Negativa 2.1.3 Máximos y Mínimos de una Función a) Intervalos para los que la Función es Creciente b) Intervalos para los que la Función es Decreciente c) Criterio de la Primera Derivada para la Obtención de Máximos y Mínimos de una Función 2.1.2 Puntos de Inflexión a) Criterio de la Segunda Derivada para la Obtención de los Puntos de Inflexión b) Concavidad y Convexidad 2.2 ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL 2.3 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Y RAZÓN DE CAMBIO CAPÍTULO 2 80 81 CAPÍTULO 2 APLICACIONES DE LA DERIVADA A menudo la vida nos enfrenta al problema de encontrar un mejor modo de hacer una determinada labor. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Algunas veces un problema de esta naturaleza puede asociarse de tal manera que involucre maximizar o minimizar una función sobre un conjunto específico. 82 2.1 ANÁLISIS Y TRAZO DE CURVAS En este tema se examinarán las funciones mediante la tabulación y el posterior análisis de su comportamiento gráfico. 2.1.1 ESTUDIO DE LA VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN a) Tabulación y Graficación de una Función Ejemplo. Un grupo de investigadores ecologistas observó que el crecimiento de un pino de una especie determinada esta dado por la siguiente función. y = x En donde ‘x’ representa el número de años transcurridos de la vida del pino y la ‘y’ representa su altura en metros. Completa la siguiente tabla x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0 1 2 3 Los valores que se le dan a ‘x’ son arbitrarios, y pueden ser más grandes que 9, pero no más pequeños que cero, ¿por qué? 85 Observa la gráfica y analiza las siguientes preguntas. ¿Para que valores del tiempo ( t ), la altura ( h ) que alcanza la pelota tiene significado lógico? A ese conjunto se llama dominio, y se presenta así: 0 ≤ t ≤ 5.12 Lo que significa que ‘t’ es mayor o igual que cero, pero menor o igual que 5.12 ¿Cuáles son los posibles valores de la altura que puede alcanzar la pelota? A ese conjunto se le llama rango, y se presenta así: 0 ≤ h ≤ 110 y significa que ‘h’ es mayor o igual que cero, pero menor o igual que 110. b) Dominio y Rango de una Función A partir de las gráficas siguientes obtén la información necesaria para contestar lo que se te pide a continuación: ¿Cuál es el intervalo de valores que puede tomar ‘x’ para que la función exista? ¿Cuál es el intervalo de valores que puede tomar ‘y’, que corresponden a las imágenes de los valores que pueden tomar ‘x’? 86 Ahora ya se pueden definir el dominio y el rango definiciones DOMINIO (D). El dominio de una función son todos los valores de la variable independiente ‘x’ que hacen que la función sea real, es decir, que exista. RANGO (R). El rango o conjunto de imágenes de una función son todos los valores que puede tomar la función (y) para todos y cada uno de los elementos del dominio. a) y x 0 b) y x 0 c) y x 0 d) y x 0 2 1 87 1. Para cada una de las funciones siguientes, encuentra su gráfica, su dominio, y su rango. a) f (x) = 5, 0 < x < 6, (este intervalo debe considerarse como el dominio) b) f (x) = 3X + 2, -3 ≤ x ≤ 3. c) f (x) = 2x 3x + − d) f (x) = 2x3 + 2. Para cada una de las siguientes funciones encuentra su gráfica, su dominio y su rango. a) f (x) = x2, (para toda x) b) f (x) = 3x2 + 5, x > –1. c) f (x) = x4 d) f(x) = x3 – 1, x≠ 0. e) f (x) = 2x 1x − + (el denominador, x – 2 debe ser diferente de cero) f) f (x) = 1x2 − (el radicando, 2x – 1, debe ser mayor o igual a cero) ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 90 a) Ceros de la Función ¿Te das cuenta? Al utilizar el método algebraico también es posible hallar las intersecciones con el eje ‘x’ . A estos valores de ‘x’ se les llama ceros de la función. ¿Crees que se puedan encontrar las intersecciones con el eje ‘y’? ¿De que modo? Observa nuevamente la tabla. ¿Existe algún valor para las ganancias, f(x), tal que la producción, ‘x’, sea igual a cero? ¡Claro esta! Cuando f(x) vale –1200, ‘x’ vale cero. ¿Qué es lo que esto significa para la empresa? También puedes verificarlo en la gráfica. Pero, el método algebraico para hallar las intersecciones con el eje ‘y’ es como sigue: Si en la función original f (x) = –x 2 + 80x – 1200 Se hace que ‘x’ sea igual a cero, ¿qué se obtiene? f (x) = – (0)2 + 80(0) – 1200 o sea f (x) = –1200 lo que se esperaba. Así que Para hallar las intersecciones con el eje ‘x’, se hace que f(x) sea igual a cero; y se resuelve la ecuación resultante. Para hallar las intersecciones con el eje ‘y’, se hace que ‘x’ sea igual a cero; y se resuelve la ecuación resultante. Definición. Se llama ‘ceros’ de una función a todos los valores de ‘x’ para los cuales la función es nula, es decir, cero. 91 1. Para cada una de las funciones siguientes, encuentra su gráfica, las intersecciones con el eje ‘x’, las intersecciones con el eje ‘y’ y los ceros. a) f (x) = 3x – 2 d) f (x) = 2x 2 – 32 b) f (x) = -2x – 3 e) f (x) = X 2 + x – 6 c) f (x) = x 2 + 6x f) f (x) = 2x 2 – 7x + 3 2. Para cada una de las funciones siguientes, encuentra su gráfica, las intersecciones con el eje ‘x’, las intersecciones con el eje ‘y’ y los ceros. a) f (x) = 6x + 1 d) f (x) = x 2 – 49 b) f (x) = –3x + 2 e) f (x) = x 2 – 8x + 15 c) f(x) = x 2 - 4x f) f (x) = 3x 2 – 8x – 3 b) Intervalos para los que la Función es Positiva Observa la siguiente tabla x 0 10 20 31 40 49 60 70 80 f (x) –1200 –500 0 319 400 319 0 –500 –1200 ¿Para qué valores de la producción, x, la empresa obtiene ganancias, f (x)? ¡Bien! Estos son 31, 40 y 49 pants. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 92 Ahora, observa la siguiente gráfica ¿Existen otros valores de la producción para que la empresa obtenga ganancias? ¿Cuál es el mínimo valor de la producción para el que la empresa obtiene ganancias? ¿Cuál es el máximo valor de la producción para el que la empresa obtiene ganancias? ¿Cuál es el intervalo que obtienes? Pues bien, el intervalo de la producción para el que la empresa obtiene ganancias es: 21 ≤ x ≤ 59 (en los intervalos cerrados, ≤ , los extremos si se incluyen) y deben leerse así; ‘x’ es mayor o igual que 21 pero menor o igual que 59. Lo que es muy cierto puesto que cuando X = 20; o X = 60, la función no es positiva ni negativa, es nula. Además, los valores de ‘x’ deben ser numeros enteros puesto que representan la producción de pants (completos). c) Intervalos para los que la función es negativa ¿Para que valores de la producción (x), la empresa registra ganancias negativas, es decir, perdidas? x 0 10 20 31 40 49 60 70 80 f (x) –1200 –500 0 319 400 319 0 –500 –1200 10 20 30 40 50 60 70 80 (numero de pants) 400 0 x f(x) pesos 95 Observa la tabla y la gráfica para contestar las siguientes preguntas: ¿Para que valor de ‘t’ la piedra asciende? (El valor de la función aumenta, es decir, crece) ¿Para que valor ‘t’ la piedra desciende? (el valor de la función disminuye, es decir, decrece) ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la altura? Definición PUNTO MÁXIMO. Se dice que un punto sobre una determinada curva, f (x), es un máximo relativo, si los valores de la función un poco a la izquierda y un poco a la derecha de dicho punto son más pequeños. f(x) x 1 2 3 4 t (segundos) 12.8 h(t) metros 9.6 6.4 3.2 16 19.2 22.4 0 Pmáximo 96 a) Intervalos para los que la Función es Creciente Después de observar la tabla y la gráfica anteriores ¿Podrías decir cual es el intervalo para el que la función es creciente? Recuerda que el intervalo de definición debe estar en términos de la variable ‘t’. Así que, debe ser 0 < t < 2 No se incluyen los extremos, t = 0 y t = 2, dado que en esos puntos la función no crece ni decrece. b) Intervalos para los que la Función es Decreciente Después de observar la tabla y la gráfica anteriores ¿Podrías decir cual es el intervalo para el que la función es decreciente? Dicho intervalo debe ser así: 2 < t < 3 Definiciones FUNCIÓN CRECIENTE. Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la variable independiente, (x), el valor de la variable dependiente, (y), también aumenta. FUNCION DECRECIENTE. Una función es decreciente cuando al aumentar el valor de la variable independiente, (x), el valor de la variable dependiente, (y), disminuye. Durante los primero 7 segundos, el pulso (en pulsaciones por minuto) de un individuo ‘t’ segundos después de que comienza a correr está dado por P (t) = 2t 2 – t + 56 El dominio de la función está dado en el mismo enunciado del problema. ¿Puedes decir cuál es? 97 Completa la siguiente tabla t 0 1 2 3 4 5 6 7 –1 –2 –3 0.25 P(t) 62 122 66 55.8125 La gráfica de esta función es la que a continuación se muestra, ¡verifícalo! Después de observar la tabla y la gráfica anteriores, contesta las siguientes preguntas: ¿Cuál es el valor más pequeño de la función? ¿Para que valor de ‘t’ la función es creciente? ¿Puedes determinar el intervalo de valores de ‘t’ para los que la función sea decreciente en el sentido del contexto del problema? P(t) -1 0 1 20.25 55.8125 t(s) (0.25,55.8125) Mínimo ACTIVIDAD DE REGULACIÓN