imca MATEMATICA

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(Parte 4 de 8)

Relacoes Tipo de Integral primeira∑

αilogfi∑

Tabela 1: Relacoes entre cofatores e integrais primeiras

CAPıTULO 3

Integrabilidade na presenca de simetrias

The earliest researches in the subject of differential equations were devoted to the problem of integration in the crude sense, that is to say to finding devices by which particular equations or classes of equations could be forced to yeld up their solutions directly, or be reduced to a more tractable form.(...) Thus on the one hand, there exists a number of apparently disconnected methods of integration, each adapted only to one particular class of equations(...)

This heterogeneous mass of knowledge was coordinated in a very striking way by means of the theory of continuous groups. The older methods of integration were shown to depend upon one general principle, which in its turn proved to be a powerful instrument for breaking newground.(...)

E. L. Ince [5]

Neste capıtulo vamos investigar a correlacao entre simetrias e integrabilidade. Buscamos uma abordagem elementar e baseada em propriedades basicas do colchete de Lie entre campos de vetores. Apesar das ideias terem forte apelo geometrico escolhemos uma abordagem que depende apenas de algebra linear e de algumas das propriedades de campos de vetores e derivacoes expostas no capıtulo 1.

Na ultima secao apresentamos a caracterizacao de 1–formas racionais fechadas em C2. Com isso podemos precisar explicitamente a forma das integrais primeiras de equacoes polinomiais que admitem simetrias infinitesimais. Esta caracterizacao tambem tera importancia no proximo capıtulo.

1. COLCHETE DE LIE E SIMETRIAS INFINITESIMAIS 21

1. Colchete de Lie e simetrias infinitesimais

Definicao 7. Sejam X e Y campos de vetores holomorfos em

C2. O colchete de Lie de X e Y , denotado por [X,Y ], e o campo de vetor holomorfo dado pela expressao

Exemplo 6. Sejam X e Y sao campos lineares em C2 dados por

com a,b,c e d numeros complexos, entao o colchete entre X e Y e

Definicao 8. Seja X um campo de vetores racional em C2. Dizemos que um campo de vetores racional Y e uma simetria infinitesimal de X se existe uma funcao racional µ ∈ C(x,y) tal que [X,Y ] = µ·X.

verifica-se que λ e de fato um funcao racional constante, ou seja, λ ∈ C. Explicitando a,b,c e d verifica-se que Y e uma simetria infinitesimal de X se, e somente se, Y e um multiplo do campo radial, i.e.,

Proposicao 6. Sejam X e Y campos de vetores racionais em C2 e T = det(X,Y )1. Se T 6= 0 entao

1Aqui det(X,Y ) denota o determinante da matriz cujas colunas sao dadas por X e Y .

1. COLCHETE DE LIE E SIMETRIAS INFINITESIMAIS 2 demonstracao: Suponha que X = a ∂

Portanto b d

Decompondo [X,Y ] com respeito a X e Y temos que

Portanto a prova da proposicao reduz-se a demonstrar que

Mostremos entao a validade da primeira igualdade. Utilizando a multilinearidade do determinante vemos que e que

Consequentemente, apos somar (1) e (12),

Desenvolvendo a expressao a esquerda verifica-se que

2. SIMETRIAS E FATORES DE INTEGRAcao RACIONAIS 23

2. Simetrias e fatores de integracao racionais

Teorema 3. Seja X um campo de vetores polinomial em C2.

Existe um fator de integracao racional para X se, e somente se, X admite uma simetria infinitesimal.

demonstracao: Suponha que X = P ∂ infinitesimal. Por definicao existe um campo de vetores racional Y e uma funcao racional µ tal que

Segue da proposicao 6 que T = det(X,Y ) e tal que

Consequentemente temos que

Concluımos que T e uma fator de integracao racional para X.

Se por outro lado X admite um fator de integracao racional, o qual denotaremos por λ, temos que

divX e tal que

Como λ e fator de integracao para X vale que 0 = div(λX) = λdivX + X(λ), logo T = λ. Pela proposicao 6 temos que

Com isso vemos que Y e uma simetria infinitesimal para X e concluımos a prova do teorema. ¤

3. FORMAS RACIONAIS FECHADAS 24

3. Formas racionais fechadas

Uma consequencia interessante do teorema que acabamos de demonstrar e que para obter uma descricao explıcita das integrais primeiras que podem ser obtidas utilizando simetrias infinitesimais basta descrever os campos de vetores racionais de divergente nulo ou, equivalentemente, descrever as 1-formas racionais fechadas.

Teorema 4. Seja η uma 1-forma racional fechada η em C2. Entao η pode ser escrita na seguinte forma:

λj dfj fj +d onde ni ∈ N,λi ∈ C∗,g,fj ∈ C[x,y] e os fj sao polinomios irredutıveis. As curvas algebricas fj = 0 sao os polos de η e os λj’s sao os resıduos de η em torno de fj = 0:

onde γj sao pequenos cırculos em torno de fj = 0.

λj dfj

j=1 λj dfj

Via a formula de mudanca de variaveis vemos que∫ dfj fj◦γk

3. FORMAS RACIONAIS FECHADAS 25 pois estamos supondo os fj irredutıveis. Provamos assim (13). Utilizaremos agora o fato nao trivial de que o primeiro grupo de

tal que

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