buracos negros

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Quando isso acontece o lado direito de (4.20) é nulo. Como o raio adimensional x e a densidade adimensional z são, necessariamente, não nulos, somos levados a concluir que deve ser y=0. Neste caso o gás está em repouso e não existe qualquer forma de acreção. Este é o caso em que a nuvem de gás pode ser vista como uma continuação da atmosfera de uma estrela central.

4.4 Acreção de um gás ideal de Maxwell-Boltzmann

A expressão da pressão para um gás ideal de Maxwell-Boltzmann pode ser escrita, em função da densidade e temperatura, como se segue:

onde k é a constante de Boltzmann e m0 é a massa média por partícula de gás. A velocidade do som é obtida substituindo (4.29) em (4.3) ficando:

Substituindo este último resultado em (4.16) obtemos a expressão para a temperatura em função da densidade:

Podemos agora determinar, para este caso específico, a constante de proporcionalidade K presente em (4.1). Para tal basta substituir (4.31) em (4.1) obtendose:

Quando estamos muito aquém do raio sónico, snrr>>, o potencial gravitacional imposto pela massa central é muito pouco sentido. Os valores da temperatura, densidade e velocidade do som permanecem muito próximos dos respectivos valores assimptóticos. A expressão para a velocidade radial u pode ser obtida relacionando (4.8) com (4.17), obtendo-se:

2snrrr

Quando snrr<<, ou seja, quando estamos muito além do raio sónico, o potencial gravitacional imposto pela massa central é fortemente dominante. Na equação de

Bernoulli (4.9) podemos desprezar os termos proporcionais a ()1/1−γ em relação ao termo GM/r. Procedendo deste modo obtemos para a velocidade:

51 e r com

À medida que r vai diminuindo u tende para a velocidade de queda livre. A perda de velocidade por efeito da pressão do gás torna-se praticamente nula. O caso 3/5=γ será estudado mais adiante. Relacionando (4.8), (4.17) e (4.3) obtemos para a densidade:

51 e r comr

2 sn

Quanto à temperatura, podemos substituir (4.34) em (4.31) obtendo-se:

5γ1 e r comr

a GM2 λT Tsn 2

Ao tratar o problema do ponto de vista da teoria da relatividade geral (Capítulo 5) verifica-se que as equações (4.3), (4.34) e (4.35) estão relativisticamente correctas, desde que identifiquemos r com a coordenada radial de Schwarzschild, u com a 4- velocidade radial e ρ com a densidade própria (massa em repouso).

4.5 O caso gama = 1

Quando o índice adiabático do gás é igual à unidade o fluxo de partículas é isotérmico como se depreende a partir de (4.31). A equação de Bernoulli adimensional

(4.21), para o caso 1=γ, pode ser escrita como:

29 Com a ajuda de (4.19) podemos escrever esta equação na forma dimensional:

GMlnau

1 com

Quando 1=γ o raio sónico, rsn, assume o seu valor máximo:

a GM2

Quando r>>rsn os valores da temperatura, densidade e velocidade do som devem permanecer muito próximos dos respectivos valores assimptóticos. A expressão para a velocidade u, dada por (4.32), também continua a ser válida.

Por outro lado, quando r<<rsn podemos desprezar, na equação (4.36) os termos logarítmicos em relação a GM/r. Procedendo deste modo recuperamos para a velocidade a expressão (4.3) e para a densidade e temperatura as expressões (4.34) e (4.35) respectivamente.

Quando o índice adiabático do gás toma o valor 5/3 o raio sónico anula-se. O facto de rsn ser nulo significa que as partículas só atingem a velocidade do som na origem, decorrendo o processo de acreção sempre em regime subsónico.

Para regiões muito distantes do centro os valores da densidade, temperatura e velocidade do som permanecem próximos dos respectivos valores assimptóticos, como de resto acontecia nos dois casos anteriores. Quando r é pequeno, as equações diferem das consideradas anteriormente para r<<rsn. A velocidade radial u, assim como a velocidade do som a, podem ser determinadas, de forma aproximada, a partir da expressão:

r com

r GM2

Este resultado é obtido de (4.13) e constitui uma boa aproximação quando a condição 2a/GMr∞ << se verifica (equação 4.14). A expressão para a densidade pode ser obtida, a exemplo do que fizemos anteriormente, substituindo (4.37) em (4.8), conciliando depois o resultado com (4.17). Fica então:

GM r com r

Substituindo este último resultado em (4.31) obtemos a expressão para a temperatura:

GM r com r a GM2

As equações (4.37) a (4.39) estão relativisticamente correctas, a menos de um factor multiplicativo numérico da ordem da unidade.

4.7 Comparação entre a acreção esférica hidrodinâmica e a acreção esférica sem colisões

A taxa de captura de partículas para um gás sem colisões é, no caso da distribuição ser isotrópica e monoenergética, dada por (3.14). Por sua vez, a taxa de captura de partículas em regime hidrodinâmico é, no caso de um gás ideal de Maxwell- Boltzmann adiabático, dada por (4.17). Relacionando as duas equações anteriores vem:

sn acav4λ dM

Para o meio interestelar característico da nossa galáxia podemos tomar para a∞ um valor da ordem dos 10 kms-1 . Recordando que esse foi também o valor tomado para v∞ no caso do gás sem colisões e que 1/4<λsn<1.120 temos que:

é o factor dominante em (4.40). Concluímos então que a acreção hidrodinâmica é muito mais eficiente (por um factor de cerca de 109) do que a acreção de um gás sem colisões.

A explicação é a seguinte: as colisões entre partículas de gás limitam o movimento tangencial das mesmas. Como resultado temos um afunilamento de partículas na direcção radial o que vem aumentar significativamente a eficiência na captura.

4.8 Exemplo numérico

Vamos tomar, novamente, como densidade média típica para o meio interestelar, da nossa galáxia, o valor 321m kgm10ρ −− = e para velocidade típica do som, no mesmo meio, 14m ms10a − =. Defina-se velocidade do som relativa como se segue

mr a

Com a ajuda de (3.19) e (4.41) podemos escrever (4.17) na forma:

rMλaρMK dt onde a constante K1 é dada por:

Se tivermos um buraco negro de Schwarzschild de massa igual a 5M (Mr=5), mergulhado no meio interestelar galáctico (ρr=ar=1), temos, para um índice adiabático igual a 5/3 (λsn=1/4), a seguinte taxa de acreção:

Embora este resultado seja muito superior ao registado para o caso do gás sem colisões (nas mesmas condições), não deixa de ser um valor relativamente pequeno.

Para que a matéria capturada fosse da ordem das 0.01M seriam necessários cerca de

4.5×1011anos. A acreção esférica é, regra geral, um processo de captura de matéria pouco eficiente.

3 Capítulo 5

Equações relativistas para a acreção esférica adiabática

5.1 As equações do problema

Vamos tratar o problema da acreção esférica adiabática, não dependente do tempo, por um buraco negro de Schwarzschild, de massa M, de acordo com a Teoria da Relatividade Geral (e.g Shapiro & Teukolsky 1983). Como elemento de linha será considerada a métrica de Schwarzschild (2.1). Ao fazê-lo estamos a ignorar o efeito do gás que circunda o buraco negro bem como o aumento de massa deste último. A densidade massa-energia total do gás é dada por:

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