buracos negros

buracos negros

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Substituindo (4.13) na equação de Bernoulli (4.9) resulta:

a GM4

Substituindo este último resultado em (4.13) vem:

sn2 sn a

Obtivemos assim expressões para r e a (=u) no ponto sónico em termos de parâmetros conhecidos. Note-se que os dois últimos resultados requerem 3/5<γ.

O nosso objectivo consiste em determinar a taxa de acreção dM/dt ( em termos dos parâmetros conhecidos). Como dM/dt é uma constante, o seu valor pode ser determinado em qualquer ponto, por exemplo, no ponto sónico. Assim, podemos escrever (4.8) na forma:

snsn2 sn uρrπ4

A expressão para ρsn pode ser determinada a partir das expressões (4.2) e (4.3) obtendo-se:

snsn a a raπρ4 ou ainda:

GMπλ4 dt onde λsn é o chamado parâmetro adimensional da acreção para a solução trans-sónica. O seu valor é dado pela expressão:

Tabela 4.1 - Alguns valores do parâmetro λλλλsn.

γγγγ λλλλsn e depende apenas, como podemos constatar, do índice adiabático do gás. Na Tabela 4.1 são apresentados alguns valores para este parâmetro.

Considerámos a acreção no regime trans-sónico, ou seja, o caso em que a velocidade das partículas, a partir de um certo ponto chamado raio sónico, ultrapassa a velocidade do som. Também poderíamos ter falado nos regimes subsónico, em que a velocidade das partículas é sempre inferior à do som, e supersónico, em que a velocidade das partículas é sempre superior à do som. No entanto ao tratar o problema com base na teoria da relatividade geral (Capítulo 5) verifica-se que a acreção esférica por um buraco negro, que é o que nos interessa, é sempre trans-sónica.

4.2 A acreção é máxima no regime trans-sónico

Vamos mostrar que a acreção é máxima quando o regime é trans-sónico que é o que acontece quando a massa central é um buraco negro (e.g. Bondi 1952). Defina-se raio adimensional x, velocidade adimensional y e densidade adimensional z como se segue:

2a GM

Substituindo estas grandezas adimensionais em (4.8) obtemos:

( ) yzx ρaGMπ4

Notando que, todo o lado esquerdo da equação anterior representa uma constante, designaremos essa constante por λt. Diremos que λt é o parâmetro adimensional para a taxa de acreção. Podemos então escrever a taxa de acreção (4.8), na forma adimensional, como se segue:

A equação de Bernoulli (4.9) também pode ser escrita na forma adimensional obtendo-se:

A resolução das equações (4.20) + (4.21) em ordem a y e a z não é possível, a não ser que seja introduzida uma variável auxiliar w tal que:

É interessante notar que esta variável introduzida por questões meramente matemáticas tem um significado físico específico. De facto temos a/uw= que é o número de Mach. Substituindo (4.2) em (4.20) e resolvendo em ordem a z obtemos:

2 t wx

Se, por outro lado, resolvermos em ordem a y vem:

x λwy +

Com estes dois últimos resultados a equação de Bernoulli pode ser escrita na forma:

onde as funções f e g são dadas por:

1 wwf

x 1γ xxg +

O estudo das funções f e g permite determinar w como função de λt e x. Para encontrar y e z basta substituir w em (4.23) e (4.24) respectivamente.

Quando 3/51<γ< (deixaremos para depois os casos limite 1=γ e 3/5=γ) ambas as funções, f e g, consistem na soma de uma potência positiva com uma potência negativa das respectivas variáveis. Assim sendo ambas devem ter um mínimo. No caso de f temos:

e no caso de g é:

O valor mínimo que o lado direito de (4.25) pode tomar ocorre quando mingg=.

Quando isso acontece é também minff=. Para um regime onde são atingidos estes valores, o correspondente parâmetro λt é máximo, sendo o seu valor dado por:

min min maxt f gλ

Substituindo (4.26) e (4.27) em (4.28) verificamos que snmaxtλλ=, onde λsn, é o parâmetro adimensional para a acreção para a solução trans-sónica (4.18). Concluímos assim que a acreção é máxima no regime trans-sónico. A taxa de acreção dada por (4.17) corresponde à acreção máxima.

4.3 Regimes subsónico, trans-sónico e supersónico

O regime de acreção trans-sónico é aquele no qual as partículas de gás começam por ter velocidades inferiores à velocidade (local) do som e à medida que se aproximam do centro a sua velocidade é, a partir de um determinado ponto, superior à velocidade (local) do som. A acreção esférica por buracos negros ocorre sempre neste regime (Capítulo 5). Isso significa que a acreção esférica por buracos negros é máxima. Convém aqui, contudo, situar o regime trans-sónico relativamente aos regimes subsónico e supersónico. Para isso consideremos o gráfico w=w(x), representado na Figura 4.1, onde estão contemplados os casos:

(1)λt < λsn

sub-sónico ou super-sónico

(2)λt = λsn

trans-sónico

(3)λt > λsn não tem significado (pois snmaxtλλ=)

Analisemos os casos (1) e (2):

Figura 4.1 - Variação do número de Mach, w, com o raio x, para γ =7/5 (adaptado de Bondi 1952)

Caso (1): Vamos começar pela curva AB4. Quando ∞→x, ou seja, quando

∞→r, o número de Mach, w, e, portanto, a velocidade das partículas tende para zero. É a situação no ponto A. À medida que a partícula cai em direcção ao centro, w aumenta até que é atingido o máximo 3. Este pico será tanto mais alto, quanto mais λt se aproximar de λsn. Continuando a aproximação ao centro, w diminui tendendo para zero (ponto C). O fluxo de partículas é obstruído pela pressão resultante do elevado gradiente de densidade que surge com o acumular de matéria junto da massa central. A velocidade das partículas é sempre inferior à do som. Este é o caso típico da acreção esférica por estrelas de neutrões e anãs.

O ramo A'B'C' não tem significado para o presente estudo pois não respeita as condições de fronteira no infinito (0v≠∞ ). Este ramo representa um fluxo de partículas para o exterior resultante de uma aceleração não hidrodinâmica das mesmas. Este tipo de movimento não pode ser descrito pelas equações consideradas anteriormente. Neste ramo a velocidade das partículas é sempre superior à do som (regime supersónico).

Note-se ainda que uma partícula não pode saltar do ramo ABC para o ramo A'B'C' pois tal implicaria uma aceleração infinita.

Caso (2): Este caso tem a particularidade de ambas as curvas (ABC e A'B'C') se intersectarem num ponto, mais exactamente no ponto B=B'. Neste ponto o número de Mach é igual à unidade, ou seja, a velocidade da partícula iguala a velocidade local do som. Neste ponto é snrr=. Consideremos uma partícula que parte do repouso no infinito (ponto A). À medida que a partícula cai para o centro a sua velocidade aumenta igualando a velocidade do som quando atinge o ponto 3. A partir daqui existem dois caminhos possíveis: a partícula pode continuar até o ponto C ou então até ao ponto C'. Se a partícula continuar em direcção ao ponto C, então estamos perante o caso limite do fluxo subsónico descrito no caso (1). Esta curva (ABC) tem uma tangente descontínua em B o que implica um salto finito na aceleração ao cruzar esse ponto. Portanto, o mais provável será a partícula evitar este salto, o que acontece se continuar em direcção a C'.

No troço AB o movimento é subsónico e em BC' é supersónico. Estames perante o regime trans-sónico que descreve a acreção de matéria por buracos negros.

Finalmente, uma breve referência à curva C'B'A'. Esta descreve um fluxo de partículas para o exterior. As partículas são catapultadas com velocidade subsónica, atingindo depois velocidades supersónicas. É o caso, por exemplo, dos ventos estelares.

Antes de terminar vamos fazer referência a um caso especial: o caso 0λt=.

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