Cosmologia Matematica, Notas de estudo de Física

Baixe Cosmologia Matematica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! O Universo como um Todo Cosmologia Lei de Hubble O Paradoxo de Olbers Teoria de Relatividade Big Bang Densidade Crítica Radiação do Fundo do Universo Inflação Resultados do WMAP A idade do Universo A evolução química do Universo Viagem no Tempo Quarks Teoria de Cordas Microlentes Gravitacionais Cosmologia matemática Via Láctea Apesar de fortes restrições interiores, o homem teve aos poucos que abandonar a noção de que tinha qualquer posição central no Universo, e no começo deste século reconheceu que vivemos num planeta nada excepcional, em torno de uma estrela nada excepcional, o Sol, localizada quase na extremidade de uma galáxia normal, a Via Láctea. Esta galáxia faz parte de um grupo de galáxias, o Grupo Local, localizado na periferia de um grande cúmulo de galáxias. Mesmo este cúmulo, o cúmulo de Virgem, é pequeno em relação aos grandes cúmulos de galáxias que podemos observar em outras partes do Universo. Nossa localização no Universo é portanto insignificante. Aglomerado de Galáxias de Virgem e Distribuição de Galáxias em Grande Escala Deslocamento Espectral para o Vermelho Em 1912 Vesto Melvin Slipher (1875-1969) descobriu que as linhas espectrais das estrelas na galáxia de Andrômeda (M31) mostravam um enorme deslocamento para o azul, indicando que esta galáxia está se aproximando do Sol, a uma velocidade de 300 km/s. Slipher iniciou então um trabalho sistemático que levou duas décadas, demonstrando que das 41 galáxias que ele estudou, a maioria apresentava deslocamento espectral para o vermelho, indicando que as galáxias estavam se afastando de nós. Slipher descobriu que quanto mais fraca a galáxia e, portanto mais distante, maior era o deslocamento para o vermelho de seu espectro (redshifht). O Universo em Grande Escala Hubble Em 1923, Edwin Powell Hubble (1889-1953) , usando o recém instalado telescópio de 2,5 m de diâmetro do Monte Wilson, na Califórnia, conseguiu identificar as estrelas individuais na galáxia de Andrômeda e, medindo sua distância (mais de 2 milhões de anos-luz), demonstrou conclusivamente que nossa galáxia, com 100 mil anos-luz de extensão, não é a única no Universo. Humason e Hubble Em 1929 Hubble, medindo o deslocamento para o vermelho nas linhas espectrais das galáxias observadas por Milton La Salle Humason (1891-1972), e medindo ele próprio suas distâncias, descobre que as galáxias estavam se afastando com velocidades proporcionais à sua distância, isto é, quanto mais distante a galáxia, maior sua velocidade de afastamento. Hubble publicou seus resultados para 24 galáxias em 1929, no Proceedings of the National Academy of Science, e dois anos mais tarde, junto com Humason, estendeu seus resultados por um fator de 18 em distância. Isso constituiu a primeira evidência para a expansão do Universo, já predita pelo russo Alexander Friedmann (1888-1925) em dois artigos publicados no Zeitschrift für Physik em 1922 e 1924, e pelo belga Georges-Henri Édouard Lemaître (1894-1966) em 1927, no Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. Seja o deslocamento para o vermelho das linhas espectrais (redshift): A expansão não indica que estamos no centro do Universo. Em um bolo com passas em expansão, todas as passas se afastam umas das outras. Modelo do bolo de passas: Num tempo ti=0, as distâncias das passas em relação a uma passa de referência são: passa A: di= 1 cm passa B: di= 3 cm passa C: di= 4 cm Após 1 hora, o bolo dobra de tamanho, e as distâncias entre as passas serão: passa A: df= 2 cm passa B: df= 6 cm passa C: df= 8 cm Portanto as velocidades são: passa A: v=1 cm/h passa B: v=3 cm/h passa C: v=4 cm/h Se nesse momento fizermos um gráfico da velocidade de afastamento das outras passas em funçáo de suas distâncias, acharemos uma reta com uma declividade constante igual a C = (1cm/h)/2cm = (3cm/h)/6cm = (4cm/h)/8cm = 0,5/h que é a "constante de afastamento" das passas. Qual o significado dessa constante? Podemos pensar o seguinte: Se a passa A, se movendo a uma velocidade de 1cm/h, está a uma distância de 2cm, há quanto tempo atrás ela estava a uma distância de 0 cm? O tempo para se mover de 0 até a distância atual é dado por: t = d/v = 2cm/1cm/h = 2h Enquanto na teoria de Newton o espaço é rígido, descrito pela geometria Euclidiana [Euclides de Alexandria (c.365-300 a.C.)], na relatividade geral o espaço-tempo é distorcido pela presença da matéria que ele contém. Um ano depois de propor a relatividade geral, em 1917, Einstein publicou seu artigo histórico sobre cosmologia, Considerações Cosmológicas sobre a Teoria da Relatividade, construindo um modelo esférico do Universo. Como as equações da Relatividade Geral não levavam diretamente a um Universo estático de raio finito, mesma dificuldade encontrada com a teoria de Newton, Einstein modificou suas equações, introduzindo a famosa constante cosmológica, para obter um Universo estático, já que ele não tinha nenhuma razão para supor que o Universo estivesse se expandindo ou contraindo. A constante cosmológica age como uma força repulsiva que previne o colapso do Universo pela atração gravitacional. O holandês Willem de Sitter (1872-1934) demonstrou em 1917 que a constante cosmológica permite um Universo em expansão mesmo se ele não contivesse qualquer matéria e, portanto, ela é também chamada de energia do vácuo. As observações mostram que o Universo é homogêneo em escalas de 10 a 100 milhões de anos luz e maiores. Para escalas menores, podemos ver estrelas, galáxias e aglomerados de galáxias, mas em larga escala os elementos de volume são homogêneos. A hipótese que o Universo seja homogêneo e isotrópico é chamada de Princípio Cosmológico. Lentes Gravitacionais A previsão da relatividade geral de que um raio de luz é desviado ao passar por um corpo massivo foi confirmada em 1919 por uma expedição dupla chefiada pelo astrônomo inglês Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944) [ The Observatory, Vol. 42, p. 119-122 (1919)] a Sobral, no Ceará, e à ilha de Príncipe, na África, para medir a posição das estrelas durante um eclipse total do Sol de 29 de maio de 1919, na constelação do Touro, com as 13 estrelas brilhantes das Hyades no campo. A expedição ao Brasil foi coordenada pelo inglêses Andrew Claude de la Cherois Crommelin (1865-1939) e Charles Rundle Davidson (1875-1970) e retornou com 7 fotografias boas [The Observatory, Vol. 42, p. 368-371 (1919)], Nature 104, 280-281 (1919), Charles Rundle Davidson, The Observatory, Vol. 45, p. 224-225 (1922). Uma das imagens obtidas em 1919 em Sobral, do acervo da biblioteca do Observatório Nacional. Medindo a distância entre as estrelas à esquerda do Sol e as estrelas à direita do Sol durante o eclipse, quando as estrelas estão visíveis pelo curto espaço de tempo do eclipse, e comparando com medidas das mesmas estrelas obtidas 2 meses mais tarde, quando elas eram visíveis à noite, Eddington encontrou que as estrelas pareciam mais distantes umas das outras durante o eclipse. Isto implica que os raios de luz destas estrelas foram desviados pelo campo gravitacional do Sol, como predito por Einstein. O desvio previsto era de a uma distância de raios do Sol do centro do Sol. As duas expedições obtiveram 1,98± 0,12" (interno) ±0,30" (sistematico) e 1,61± 0,30" (interno), confirmando a teoria [Frank Watson Dyson (1868-1939), Arthur S. Eddington & Charles Davidson, 1920, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 220, 291; Einstein's Jury: the race to test relativity, Jeffrey Crelinsten, 2006, Princeton University Press]. A única razão de realizar estas medidas durante um eclipse é que durante um eclipse podemos enxergar e medir as estrelas próximas ao disco do Sol. Imagem do Cruz de Einstein, a lente gravitacional G2237+0305, fotografada com a Faint Object Camera, da European Space Agency, instalada no Telescópio Espacial Hubble, da NASA. A luz de um quasar distante forma quatro imagens ao passar pelo campo gravitacional de uma galáxia entre o quasar e a Terra. O quasar está a aproximadamente 8 bilhões de anos-luz de nós, enquanto que a galáxia está a 400 milhões de anos-luz. O número de imagens produzidas depende da distribuição de massa da galáxia, e dos detalhes do alinhamento. Imagem da lente gravitacional obtida pelo Telescópio Espacial Hubble no grupo 0024+1654 Existem cerca de 120 lentes gravitacionais conhecidas, sendo que destas cerca de 18 são anéis, como a da galáxia SDSS J162746.44-005357.5, à direita. As lentes gravitacionais são importantes também porque nos ajudam a mapear a matéria escura do Universo, que só interage por gravidade. Outra comprovação importante da Teoria da Relatividade Geral foi a observação do deslocamento do periélio do planeta Mercúrio, de 43" por século, já detectado pelo francês Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811-1877) em 1859, que não pode ser explicado pela teoria Newtoniana, mas é perfeitamente descrito pela teoria da relatividade. Enquanto na teoria de Newton somente a massa contribui para a gravidade, na teoria de Einstein a energia cinética do movimento dos planetas também contribui. Representação do deslocamento do periélio de Mercúrio com o tempo. O espaço-tempo é perturbado pela presença da massa do Sol, exatamente como predito pela Teoria da Relatividade Geral. O periélio de Vênus também se desloca, mas de 8,6" por século, e o da Terra de 3,8" por século, ambos já medidos. Pulsar na Nebulosa do Caranguejo, no raio X (NASA/CXC/ASU/) e no ótico (NASA/ HST/ASU/J. Hester et al.) Mas a observação mais crucial ainda é a da medida da taxa de redução do período orbital do pulsar binário PSR 1913+16 - duas estrelas de nêutrons - descoberto por Russell Alan Hulse (1950-) e Joseph Hooton Taylor Jr. (1941-) em 1974, utilizando a antena de 305 m de diâmetro do rádio-telescópio de Arecibo. O período orbital é de 7,75 horas, e o período de rotação do pulsar de 59 milisegundos. A taxa de redução do período orbital, de (76,0±0,3) milionésimos de segundos por ano, concorda com precisão melhor do que 1% com o cálculo de perda de energia devido à emissão de ondas gravitacionais, previstas pela teoria de Einstein. A teoria da relatividade geral prediz que massas aceleradas emitem ondas gravitacionais, da mesma maneira que cargas elétricas aceleradas produzem ondas eletromagnéticas. As ondas gravitacionais são perturbações na curvatura do espaço-tempo e se propagam à velocidade da luz. Uma onda gravitacional proveniente de uma fonte intensa, como um pulsar binário próximo, altera as distâncias, mas por fatores da ordem de 10-21. Esta descoberta lhes valeu o prêmio Nobel de física de 1993. Big Bang Apesar da descoberta da expansão do Universo, muitos pesquisadores acreditavam na Teoria do Estado Estacionário, isto é, que o Universo era similar em todas as direções e imutável no tempo, com produção contínua de matéria para contrabalançar a expansão observada, mantendo a densidade média constante. Esta teoria foi proposta por Herman Bondi (1919-2005), Thomas Gold (1920-2004) e Fred Hoyle (1915-2001). Em 1950 Fred Hoyle sugeriu pejorativamente o nome "Big Bang" para o evento de início do Universo, quando iniciou-se a expansão. Edward P. Tryon propôs em 1973 (Nature, 246, 396) que o Big Bang ocorreu por uma flutuação quântica do vácuo. Já qual será o destino do Universo tem duas possibilidades: o Universo se expandirá para sempre, ou a expansão parará e haverá novo colapso ao estado denso. O Universo colapsará novamente somente se a atração gravitacional da matéria (e energia) contida nele for grande o suficiente para parar a expansão. Como a matéria e energia escura do Universo parece chegar a quase 96% da energia total, não podemos ainda determinar com precisão se o Universo está se expandindo com velocidade maior do que a velocidade de escape, isto é, se o Universo continuará se expandindo para sempre. Podemos expressar a massa em termos da densidade, isto é, da massa por unidade de volume. A densidade crítica, que interromperia a expansão, é de 100 milésimos de trilionésimos de trilionésimos de uma grama por centímetro cúbico. Esta densidade crítica corresponde a 5 átomos de hidrogênio por metro cúbico, dez milhões de vezes menor do que o melhor vácuo que pode ser obtido em um laboratório na Terra. A matéria visível do Universo é ainda 100 vezes menor. Se a constante cosmológica não for nula, como indicam as medidas recentes, o Universo pode ser plano e ainda assim expandir para sempre. A constante cosmológica representa uma força contrária à gravidade, que acelera a expansão, em vez de retardá- la. Radiação do Fundo do Universo (1928-) mostrou, pelas velocidades de rotação das galáxias, que a matéria escura também está presente em galáxias individuais (Astrophysical Journal, 238, 808). Universo Inflacionário A matéria escura têm implicações importantes nos modelos de Big Bang, como o do Universo Inflacionário. Este modelo de Universo, proposto em 1979 por Alan Harvey Guth (1947-), do Massachussets Institute of Technology (MIT), nos Estados Unidos [Physical Review D 23, 347 (1981)], e Alexei Starobinski [Pisma Zhurnal Eksperimentalnoi i Teoreticheskoi Fiziki 30, 719 (1979)], na Rússia, e modificado em 1981 pelo russo Andrei Dmitrvitch Linde (1948-), e pelo americano Paul J. Steinhardt (1952-), vem de uma das formas das Teorias da Grande Unificação (GUT) das forças forte e eletrofraca que prevê uma quebra de simetria espontânea s depois do Big Bang. Esta quebra de simetria, ou transição de fase, faz a gravitação agir repulsivamente, expandindo o Universo um fator de . Depois de s, a teoria é idêntica ao Big Bang padrão. Outra interpretação da mesma transição de fase é que a liberação do calor latente (energia do vácuo) é que faz o Universo se expandir inflacionariamente. Quando publicada em 1979, a transição de fase (super-esfriamento) era prevista ter ocorrido em 10-35s, mas o valor moderno da energia de Higgs [Peter Ware Higgs (1929-)] é de 1016 GeV, correspondente a 10-37 s pelo princípio da incerteza: . O bóson de Higgs é a partícula que dá massa a todas as outras partículas, no Modelo Padrão das forças nucleares. Em 2009, o Grande Colisor de Hádrons, LHC, com feixes de 7 TeV cada, testará a existência do bóson de Higgs. Em novembro de 2008 ele ainda está em conserto para posterior esfriamento até chegar a 1,9K para o início das experiências. Peter Ware Higgs Enquanto no modelo inicial de Guth nosso Universo seria composto de muitas bolhas que se expandem exponencialmente, o que é inconsistente com a uniformidade da radiação do fundo do Universo, nos novos modelos inflacionários de Linde e Steinhardt nosso Universo é apenas uma bolha de um possível mega-Universo (megaverso) de bolhas. A teoria inflacionária prevê que a matéria escura não pode ser totalmente bariônica, mas é consistente com matéria escura fria, isto é, partículas com velocidade muito menor do que a velocidade da luz (neutrinos devem ter velocidade próxima a da luz). O modelo inflacionário prevê ainda que o Universo contém cem vezes mais matéria ou energia escura do que a matéria que brilha nas estrelas e, portanto, que o Universo é tridimensionalmente plano. Este modelo explicaria a estrutura de grandes paredes e buracos observadas na estrutura de grande escala do Universo, e que não estão casualmente conectadas atualmente, mais o seriam antes da expansão inflacionária. Diz-se que duas regiões não estão casualmente conectadas se, quando a radiação foi emitida por elas, as regiões no espaço estavam mais distantes do que a distância que a luz poderia ter atravessado desde o Big Bang. Entretanto, a mesma Teoria de Grande Unificação que prediz o Universo inflacionário, também prediz que os prótons deveriam decair em anos, o que não é observado ( anos), de modo que as teorias mais simples da GUT já foram eliminadas. Teorias de grande unificação que permitem a quebra de simetria que formou a assimetria de matéria-antimatéria antes de segundos, ainda são consistentes com o tempo de decaimento do próton observado. Nas Teorias de Grande Unificação, as diferenças observadas entre quarks e léptons e entre as três forças - eletromagnética, fraca e forte - são fenômenos de baixa energia que emergem através da quebra espontânea da simetria de unificação, em energias acima de 1 TeV. Jogesh C. Pati (1937-) previu, em 2000, no Physics of Atomic Nuclei, Volume 63, 1058, que o decaimento do próton pode ocorrer só acima de 1034 anos, com decaimento dominante pelo canal antineutrino-kaon+. A teoria inflacionária explica como as flutuações quânticas primordiais podem se expandir para tornar-se as sementes que produzem a estrutura do Universo, por colapso gravitacional. A Teoria de Tudo precisa combinar a teoria de relatividade geral (gravitação) com a teoria quântica. A mais promissora teoria no momento é a de supercordas (superstrings, cordas supersimétricas). Nesta teoria, as "partículas" fundamentais são cordas que vibram. As ressonâncias nestas cordas criam as partículas diferentes. Cada corda é extremamente pequena, cerca de 1020, ou 100 bilhões de bilhões de vezes, menor do que um próton, e vibra em um espaço com 10 ou 11 dimensões. Como o espaço-tempo tem 4 dimensões, as outras 6 ou 7 dimensões seriam colapsadas e, portanto, não observáveis. Na teoria, o Universo com 10 dimensões é instável e a energia liberada no colapso das 6 dimensões é que provoca o Big Bang. Uma modificação das supercodas é a teoria de (mem)branas (Philippe Brax, Carsten van de Bruck, Anne--Christine Davis, 2004, Reports on Progress in Physics, 67, 2183). Outra teoria é a da quantização do espaço- tempo, que propõe que o Big-Bang foi precedido de um colapso (rebote). Estas teorias ainda precisam ser testadas. A matéria escura não emite radiação eletromagnética e, portanto, somente podemos detectá-la através da força gravitacional que ela exerce sobre os objetos. A detecção da existência de matéria escura vem do estudo do movimento de estrelas individuais em galáxias e o movimento de galáxias em cúmulos de galáxias, mas também pelo seu efeito em lentes gravitacionais. Quando aplicamos a lei da gravitação a estes movimentos, detectamos que a massa é muito maior que a massa visível em estrelas e gás. A distribuição de matéria no cúmulo de galáxias 1E 0657-56, que está a 3,4 milhões de anos-luz de distância, numa imagem composta com medidas no raio-X (em vermelho: NASA/CXC/CfA/ Maxim Markevitch et al. 2005), e no ótico (NASA/STScI; ESO WFI; Magellan/U.Arizona/ Douglas Clowe et al. 2006). A massa de gás quente detectado no raio-X é muito maior do que a massa no ótico, mas muito menor do que a da matéria escura. Em azul está indicada a distribuição da matéria escura, necessária para explicar as lentes gravitacionais observadas. O que é esta matéria escura? Se sua quantidade fosse 5 a 10 vezes maior do que a de matéria luminosa, ela poderia se constituir de partículas normais (bárions), prótons e nêutrons, não condensados em estrelas, poeira ou gás, ou deveríamos detectá-los. Poderia entretanto ser composta de buracos negros (objetos colapsados gravitacionalmente), anãs marrons (objetos degenerados mas de massa inferior a estrelas e maiores que Jupiter) e planetas (que não geram sua própria luz). Mas as procuras por microlentes gravitacionais demonstram que menos de 2% da matéria de nossa Galáxia está em objetos compactos, isto é, a matéria escura também não está na forma de buracos negros ou estrelas compactas. Se entretanto a matéria/ energia escura fosse 100 vezes a luminosa, como a teoria inflacionária simples exige, então estaria em partículas exóticas ainda não detectadas na Terra, como neutrinos massivos, ou monopolos magnéticos, ou áxions, além da energia escura. Estas partículas ou energia podem compor mais de 90% da massa do Universo, sem participar da formação de estrelas, planetas e seres humanos. No Sudbury Neutrino Observatory, em Ontário, Canadá, com 1000 toneladas de água pesada e 9456 fotomultiplicadoras, a 2070 metros de profundidade, operando desde novembro de 1999, foi medido um fluxo de neutrinos do Sol provenientes da reação do ciclo próton-próton envolvendo o Berílio8 de 5,44±0,99 ×106 cm-2s-1, com evidência de oscilação de neutrinos que indica que a soma das massas dos 3 tipos de neutrinos está entre 0,05 a 8,4 eV. Estas massas levam à contribuição dos neutrinos na densidade do Universo entre 0,001 e 0,18 da densidade crítica. Ou seja, os neutrinos não são a forma dominante de matéria escura. COBE Em 18 de novembro de 1989, a NASA lançou um satélite chamado Cosmic Background Explorer (COBE), para analisar detalhadamente a radiação do fundo do universo (Cosmic Microwave Background - CMB) operando na faixa de microondas. Como planetas, estrelas, galáxias e nuvens de gás emitem muito pouco microondas, o satélite podia enxergar diretamente a luz que o Universo emitiu quando passou de opaco para transparente, na chamada época da recombinação, cerca de 380 mil anos depois do Big Bang. Os dados obtidos pelo COBE, mostrados na figura abaixo, e divulgados por John Cromwell Mather (1946-) - cientista coordenador do projeto COBE, fitam perfeitamente um corpo negro com temperatura de 2,735 K, com uma incerteza menor que 1%, valor da radiação predita para o gas quente de quando o Universo se formou, visto com um avermelhamento correspondente; a expansão do Universo estica o comprimento de onda pelo mesmo fator que o Universo se expande entre a emissão e a observação. Se o Big Bang tivesse sido caótico, por exemplo, o espectro observado não seria perfeitamente o de um corpo negro, mas seria distorcido para o azul, pelo decaimento das estruturas caóticas. Cada metro cúbico do Universo contém, em média, 400 milhões de fótons e somente 0,1 átomos. Resultados do experimento FIRAS do satélite COBE, mostrando que a radiação do fundo do Universo segue mesmo a lei da radiação de Planck. A radiação do fundo do Universo mostra suas condições 380 mil anos após o Big Bang, quando o Universo era dominado por radiação. Nesta época a temperatura do Universo caiu para cerca de 3000 K, suficiente para que os prótons e as partículas-α (He), formadas nos três a quatro primeiros minutos do Universo, começassem a capturar elétrons e formar átomos de hidrogênio e hélio neutros. Os cosmólogos chamam esta fase de recombinação, ou fase de desacoplamento, passando de um Universo dominado por radiação, onde a A idade do Universo Qual é a idade do Universo? A matéria total do Universo gera atração gravitacional, em que objetos atraem outros objetos (inclusive a luz, pela relatividade geral). Se a constante cosmológica (Λ) fosse nula, ou seja, se a energia do vácuo (repulsão) fosse nula, a atração gravitacional deveria diminuir a expansão, o que implicaria que no passado a expansão teria sido mais rápida. Neste caso, a idade do Universo pode ser calculada, no limite superior, assumindo que a quantidade de matéria é pequena e que, portanto, não teria reduzido a velocidade de expansão significativamente. Podemos então estimar a idade máxima do Universo to, calculando o tempo que as galáxias distantes, movendo-se à mesma velocidade de hoje, levaram para chegar aonde estão, assumindo energia escura nula. Como a lei de Hubble, que relaciona a velocidade de expansão da galáxia, v, com a distância a esta, d, é dada por Atualmente o valor da constante de Hubble, H, está medido diretamente das galáxias entre 57 km/s/Mpc e 78 km/s/Mpc, resultando em to12 a 17 bilhões de anos (1 Mpc = mega parsec = km). Levando-se em conta a desaceleração causada pela atração gravitacional, a idade seria t 2/3 to, isto é, entre 9 e 15 bilhões de anos. Por outro lado, calculando-se a idade das estrelas mais velhas conhecidas, as estrelas dos cúmulos globulares e as anãs brancas, obtém-se entre 12 e 14 bilhões de anos, ainda consistente com esta idade. Mas se a energia escura (constante cosmológica) - descoberta em 1998 com a detecção da aparente aceleração do Universo pela detecção das supernovas mais distantes - não é nula, o Universo está acelerando e sua idade é maior do que H-1. Michael S. Turner (1999, The Third Stromlo Symposium: The Galactic Halo, 165, 431) propos o termo energia escura em 1998. Isto é, se o Universo está se acelerando, pela presença de energia escura, ele estava se expandindo mais lentamente no passado e, portanto, levou mais tempo para chegar ao presente. Qual é a evolução química do Universo? O Universo se esfria enquanto se expande. Podemos demonstrar que a temperatura T cai com o tempo t e, 0,01 s depois do Big Bang, a temperatura do Universo era de K (t=0,2μs, kT=2×mpróton, t=0,7s, kT=2×melétron). Depois de 3 minutos, a temperatura já tinha baixado a um bilhão de graus Kelvin, ainda 70 vezes mais quente que o interior do Sol. Depois de 380 000 anos, a temperatura já se reduzira a meros 3 000 K. A uma temperatura de K (), a colisão de 2 fótons pode gerar um par elétron-pósitron, por conversão de energia em massa (). Para gerar prótons, a temperatura tem que ser maior que K ( microsegundo). A época até uma idade de um microsegundo é chamada de era hadrônica, pois podia formar hádrons (prótons e nêutrons). Note que para um tempo menor que s (0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1 segundos), o chamado tempo de Planck [Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947)], a temperatura era da ordem de K e as teorias físicas conhecidas não se aplicam mais, pelo princípio da incerteza: , onde . No tempo de Planck, o raio do horizonte do Universo (raio visível) é cm. O raio do Universo que continha toda a matéria hoje observada, era menor que um centésimo de centímetro. As teorias físicas se aplicam para tempos maiores que o tempo de Planck e, no modelo do Big Bang, o Universo está em rápida expansão, com temperaturas colossais e altíssima densidade, uma situação lembrando muito uma explosão. Gamow calculou a quantidade de deutério que se formaria neste caso. Era possível obter-se a percentagem observada de deutério mas se esta matéria não estivesse banhada por uma radiação de certa intensidade, formar-se-ia muito mais deutério do que o observado. Gamow previu que restos desta radiação deveriam ainda estar banhando todos os corpos celestes, que foi finalmente detectada em 1964, como a radiação do fundo do Universo. O deutério é um hidrogênio pesado, pois seu núcleo contém um próton e um nêutron. Embora observado no gás interestelar, no sistema solar e mesmo nos espectros de quasares, o deutério não pode ser formado nas estrelas. Quando uma estrela se forma por colapso de uma nuvem de gás interestelar, qualquer deutério nesta nuvem é destruído (convertido em hélio) mesmo antes da estrela se tornar quente o suficiente para iniciar a fusão do hidrogênio. Portanto o deutério, como a maior parte do hélio, é um fóssil do Big Bang. Quando o Universo está esfriando, quanto maior o número de átomos em um volume no espaço (densidade), menor a quantidade de deutério que sobrevive, porque a maior parte se converte em hélio. Como a seção de choque dos neutrinos é extremamente pequena, quando o Universo tinha 1 s, K, os neutrinos, relíquias da época dominada por interações fracas, não interagiam mais com a matéria, e evoluiram desacopladamente. Estes neutrinos, de baixíssima massa, por terem muito baixa energia, ( K, atual), não podem ser observados. Somente se estes neutrinos fossem massivos, poderíamos observá-los por seus efeitos gravitacionais, como massa escura. A teoria do Big Bang prevê que houve um pequeno excesso de matéria sobre anti- matéria (1 parte em 100 milhões), ou toda a massa seria aniquilada. Quando o Universo tinha t = 10-39 s, sua temperatura era da ordem de T = 1029 K. A esta temperatura, a energia média por partícula é da ordem de 1016 GeV (1 GeV = 1 bilhão de elétron volts), a energia em que as teorias de Grande Unificação prevêem efeitos importantes, como a violação da conservação de número bariônico e a possibilidade da formação de partículas super-massivas, o bóson de de Higgs, predito por Peter Ware Higgs (1929-) em 1964. Estas partículas são instáveis mas de longa vida e podem teoricamente dar origem a este pequeno excesso de matéria sobre a antimatéria. Em 1964, James H. Christenson, James Watson Cronin (1931-), Val Logsdon Fitch (1923-) e René Turlay (1932-2002) conseguiram observar que no decaimento da partícula neutra kaon, ou méson K, existe uma pequena (0,2%) diferença a favor da matéria, em relação à antimatéria produzida (1964, Phys. Rev. Lett. 13, 138). Cronin e Fitch receberam o prêmio Nobel em 1980 pela descoberta, demonstrando experimentalmente que existe assimetria matéria-antimatéria no Universo. Prótons e nêutrons começam a ficar ligados em núcleos quando o Universo tem , milhões K, formando hidrogênio, deutério (p+n), e hélio. Antes de 3m46s o deutério não é estável. Após formar o hélio, não há mais decaimento dos nêutrons, pois eles estão estáveis dentro dos átomos de hélio. O hélio formado é de aproximadamente 25% em massa, próximo do observado, pois existiam cerca de 7 prótons para cada nêutron, e não houve tempo necessário (τnêutron=889±2 s são necessários para os nêutrons decaírem) para a formação de novos nêutrons. Neste modelo, após alguns minutos, a temperatura já é muito fria para permitir a formação de outros núcleos mais pesados. A falta de elementos estáveis com massa 5 e 8 e a repulsão coulombiana entre os 4He impediram a formação de elementos maism pesados que o 7Li. Depois de 380 000 anos, K, (kT=0,26 eV) os eléctrons se combinam com os núcleos, formando átomos neutros. 0 00 8Como não existem então mais elétrons livres para espalhar os fótons, o Universo passa de opaco para transparente e, a partir de então, a matéria e a radiação evoluem independentemente. Esta radiação de 3 000 K, expandindo-se com o Universo, é o que detectamos como radiação do fundo do universo. Somente milhões de anos depois as galáxias começam a se formar. Desde a formação das estrelas mais velhas, somente 10% da massa de hidrogênio inicial pode ter sido convertida em hélio, por fusão nuclear no centro das estrelas. A maior parte deste hélio ainda está no interior das estrelas. Portanto, os 25% de hélio observados no gás interestelar e na atmosfera das estrelas foram necessariamente formados no Big Bang. A figura abaixo mostra como a abundâncias dos elementos formados depende da densidade de prótons e nêutrons, no modelo padrão de Big Bang, em termos da densidade crítica (densidade necessária para parar a expansão do Universo). Se o número de prótons e nêutrons for alto, mais frequentemente eles colidem e mais Hélio4 é produzido. As abundâncias de deutério e Hélio3 decrescem quando aumenta a densidade porque estes núcleons são formados por uma sequência de reações incompleta. Dado tempo suficiente, o deutério e o Hélio3 se transformam em Hélio4. Já o Lítio7 é produzido por várias reações e, portanto, depende da densidade de forma mais complexa. A nucleosíntese no Big Bang só formou os elementos leves: hidrogênio, deutério, hélio e lítio. Todos os elementos químicos mais pesados foram produzidos mais tarde, no interior das estrelas. Modelo do Big Bang Idade cósmica Temperatura Eventos marcantes < 10-44 segundos > 1032 K Big Bang. Unificação das 4 forças. onde R é o raio do Universo. A energia gravitacional das galáxias e cúmulos de galáxias, dividida por mc2, a energia de repouso, corresponde a 10-5 e, portanto, a dinâmica destes objetos é não relativística. Esta razão também é a razão entre a temperatura média da radiação do fundo do Universo (Cosmic Microwave Background) e a temperatura das flutuações que deram origem às estrelas, galáxias e cúmulos de galáxias, já que representam o avermelhamento gravitacional (redução de energia) necessário para os fótons escapem do campo gravitacional. Medida do COBE das flutuações de temperatura da radiação do fundo do Universo, em 1,25 microns, antes da correção pelo movimento do Sol (equivalente a variações de e pela emissão da Via Láctea (equivalente a variações de 0,0002 K). O feixe do detector tinha 7°, correspondendo a escalas muito maiores do que os grandes aglomerados de galáxias. Se o Universo é aberto, as flutuações devem ser máximas em escalas de 0,5°. Se o Universo é plano, as flutuações devem ser máximas em escalas de 1,0°. Se o Universo é fechado, as flutuações devem ser máximas em escalas maiores que 1°. A constante cosmológica pode ser escrita como uma densidade de energia, A escala natural de densidade de energia, segundo a Física de Partículas Elementares conhecida, deveria ser várias dezenas de ordens de magnitude maior do que a da densidade de energia crítica (Steven Weinberg 1989, Review of Modern Physics, 69, 1), diferente do que as medidas indicam. Se a matéria escura e energia escura podem ser unificadas num só modelo, ela teria duas fases: uma, aglomerada em halos, com pressão nula, contribuiria positivamente para o crescimento das estruturas observadas; outra, homogeneamente distribuída, com pressão negativa, contribuiria somente para a aceleração do universo e não teria efeitos dinâmicos sobre as estruturas em pequena escala. Ela é conhecida como quartessência, como no modelo do Gás de Chaplygin (A. Kamenshchik, U. Moschella e V. Pasquier. 2001, Phys. Lett. B 511, 265 e M.C. Bento, O. Bertolami e A.A. Sen. 2002, Phys. Rev. D66, 043507). Viagem no Tempo Na teoria da relatividade geral de Einstein, o tempo se acelera e desacerela quando passa por corpos massivos, como estrelas e galáxias. Um segundo na Terra não é um segundo em Marte. Relógios espalhados pelo Universo se movem com velocidades diferentes. Em 1935, Einstein e Nathan Rosen (1909-1995) deduziram que as soluções das equações da relatividade geral permitiam a existência de pontes, originalmente chamadas de pontes de Einstein-Rosen, mas agora chamadas de redemoinhos ou buracos de minhoca (wormholes). Estas pontes unem regiões do espaço-tempo distantes. Viajando pela ponte, pode-se mover mais rápido do que a luz viajando pelo espaço-tempo normal. Antes da morte de Einstein, o matemático Kurt Gödel (1906-1978), trabalhando na Universidade de Princeton, como Einstein, encontrou uma solução para as equações da relatividade geral que permitem a viagem no tempo. Esta solução mostrava que o tempo poderia ser distorcido por rotação do Universo, gerando redemoinhos que permitiam que alguém, movendo-se na direção da rotação, chega-se ao mesmo ponto no espaço, mas atrás no tempo. Einstein concluiu que como o Universo não está em rotação, a solução de Gödel não se aplicava. Em 1955 o físico americano John Archibald Wheeler (1911-2008), que cunhou o termo buraco negro, escreveu um artigo sobre "geometrodinâmica" mostrando que as pontes de Einstein-Rosen poderiam ligar não somente Universos paralelos, mas regiões do mesmo Universo, formando um túnel no espaço-tempo. Em 1963, o matemático Roy Patrick Kerr (1934-), da Nova Zelândia, encontrou uma solução das equações de Einstein para um buraco negro em rotação. Nesta solução, o buraco negro não colapsa para um ponto, ou singularidade, como previsto pelas equações para um buraco negro não rotante, mas sim em um anel de nêutrons em rotação. Neste anel, a força centrífuga previne o colapso gravitacional. Este anel é um redemoinho (wormhole) que conecta não somente regiões do espaço, mas também regiões do tempo, e poderia ser usado como máquina do tempo. A maior dificuldade é a energia: uma máquina do tempo necessita de uma quantidade fabulosa de energia. Seria preciso usar-se a energia nuclear de uma estrela, ou antimatéria. O segundo problema é de estabilidade. Um buraco negro em rotação pode ser instável, se acreta massa. Efeitos quânticos também podem acumular-se e destruir o redemoinho. Na verdade a teoria prevê que os redemoinhos (buracos de minhoca) sobrevivem somente uma fração de tempo tão curta que nem a luz consegue atravessá-lo. O outro grande problema de usar um buraco negro como ponte é que a força de maré de um buraco negro estelar é tão grande que despedaçaria qualquer corpo que se aproximasse do seu horizonte. Portanto, embora teoricamente possível, uma viagem no tempo não é praticável. Quarks Em 1964 o americano Murray Gell-Mann (1929-), do CALTECH, e George Zweig (1937-) independentemente sugeriram que a complexidade da interação forte poderia ser explicada assumindo-se que os mais de cem bárions e mésons conhecidos, inclusive os prótons e nêutrons, eram compostos de três partículas fundamentais, chamadas de quarks por Gell-Mann. O nome foi proposto a partir da frase do escritor irlandês James Joyce (1882-1941), na página 383 do romance Finnegans Wake, Three quarks for Muster Mark. Na proposta, um quark tinha carga elétrica 2/3 da carga do próton, e os outros dois -1/3. Entre 1967 e 1973, usando o Acelerador Linear de Stanford, Jerome Isaac Friedman (1930-), Henri W. Kendall (1926-), e Richard E. Taylor (1929-) notaram que o espalhamento de elétrons por prótons e nêutrons indicava que estes eram compostos por partículas menores, com cargas consistentes com a teoria dos quarks. Os três receberam o prêmio Nobel de física em 1990 pela descoberta. Embora a teoria original propusesse somente três quarks, os quarks, que compõem os hádrons, são em número total de 6: up, down, charm, strange, top e bottom. O próton é formado por 2 quarks up e 1 quark down, enquanto o nêutron é formado por 2 quarks down e 1 quark up. Os quarks interagem pela troca de glúons, dentro da teoria da interação forte chamada de Cromodinâmica Quântica (QCD). A QCD é uma teoria de gauge: uma teoria com simetria de gauge pode ser escrita em termos de potenciais em que somente diferenças de potenciais são significativas, isto é, podemos adicionar uma constante sem alterar os valores. A QCD tem a propriedade da liberdade assintótica, isto é, a interação entre as partículas diminui com o aumento de energia. Como o próton tem baixa energia, os quarks dentro do próton estão fortemente ligados uns aos outros, e os físicos teóricos estão convencidos que a teoria levará ao confinamento, que diz que os quarks não podem existir independentemente, pois estão confinados pela interação forte. O quark charm, predito por James D. Björken e Sheldon Lee Glashow (1932-) em 1964, foi descoberto em 1974 independentemente por Samuel Chao Chung Ting (1936-) e Burton Richer (1931-), com a descoberta da partícula J/, com 3,105 GeV, que é um charmônio, isto é, composto por um quark e um antiquark charm. Em 1976 Ting e Richer receberam o prêmio Nobel pela descoberta. A teoria de gauge prevê que, para que não hajam infinidades, os hádrons devem ter pares com os léptons. Os léptons são o elétron, o múon e o táon. O elétron foi descoberto pelo inglês Sir Joseph John Thomson (1856-1940) em 1895 e sua anti- partícula, o pósitron, por Carl David Anderson (1905-1991) em 1932, quando ele analisava os raios cósmicos e descobriu em uma das placas fotográficas uma partícula parecida com um elétron, mas se movendo na direção oposta em relação ao campo magnético e, portanto, com carga positiva. O múon foi descoberto em 1937, por Seth Henry Neddermeyer (1907-1988), Carl David Anderson (1905-1991), do CALTECH, Jabez Curry Street (1906-1989) e Edward C. Stevenson, de Harvard, e é 207 vezes mais massivo que o elétron; O táon foi descoberto em 1975 por Martin Lewis Perl (1927-), com 1,784 GeV, ou seja 3500 vezes mais massivo que o elétron. Os outros três léptons são os neutrinos correspondentes, , e . Em 1977 Leon M. Lederman (1922-) descobriu o upsilon (), com 9,46 GeV, interpretado como o estado ligado do quinto quark, bottom, e em 1995 dois grupos do Fermilab descobriram o sexto e último quark, o top, com 175 GeV, medindo o estado quark-antiquark . O decaimento da partícula Z0, bem como a abundância cósmica do hélio, e a meia vida do nêutron, demonstra que não pode haver outro tipo de neutrino além dos três observados, e portanto não deve haver outro tipo de quark, pela paridade dos léptons e hádrons. O telescópio Schmidt usado por Fritz Zwick em 1930 para de determinar a massa dos aglomerados de galáxias foi o segundo projetado pelo ótico e astrônomo amador Bernhardt Voldemar Schmidt (1879-1935), para observar grandes campos do céu. A teoria eletrofraca se separa em eletromagnética e fraca para energias mais baixas que 100 GeV, o que ocorre 10-12 segundos depois do Big Bang, mas já foi testado em laboratórios na Terra. As maiores energias atingíveis nos grandes aceleradores atuais são da ordem de 10 000 GeV. A força fraca age a distâncias subnucleares, menores que 10-15 cm. A repulsão elétrica entre dois prótons é 1036 vezes maior do que a atração gravitacional entre eles. Consideremos uma galáxia de massa movendo-se com velocidade , a uma distância de um sistema de coordenadas qualquer, em um sistema de massa total contida no volume de raio . A energia total do sistema, na ausência de cargas elétricas, é a soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional: constante Dependendo do valor da energia total do Universo, que é uma constante do sistema, o Universo será aberto ou fechado. Usando a lei de Hubble: onde é a constante de Hubble no presente, e onde é a densidade crítica, isto é, a densidade necessária para parar a expansão do Universo, , obtemos: Usando km/s/Mpc, obtemos que pode ser comparado com a densidade de matéria visível observada, que é da ordem de , ou seja, cerca de 100 vezes menor do que a densidade crítica. Vamos escrever a distância entre dois pontos quaisquer no espaço como: (1.1) onde é um fator de escala crescente com o tempo para um Universo em expansão e é a distância entre os dois pontos no instante em que . A velocidade de recessão entre os dois pontos pode ser obtida derivando-se (1) no tempo: Se escrevermos: (1.2) como na lei de Hubble, identificamos (1.3) Idade do Universo Como a lei de Hubble, que relaciona a velocidade de expansão da galáxia, v, com a distância a esta, d, é dada por assumindo que a velocidade v permaneceu constante no tempo, isto é, que não houve desaceleração, ou seja que o Universo é aberto. Podemos também derivar a idade do Universo para o caso do Universo plano (E=0), escrevendo na equação da energia total: (1.4) ou Integrando-se os dois lados, e usando r=0 para t=0, obtemos: (1.5) Como a lei de Hubble pode ser escrita como: podemos usar a equação (4) para escrever o termo em função da constante de Hubble: que substituindo na equação (5) nos dá: Lembre-se que 1 Mpc corresponde a 3,26 milhões de anos-luz e que a dimensão da constante de Hubble H é simplesmente o inverso de tempo. As unidades que usamos simplesmente explicitam que quando olhamos a um Mpc, a velocidade é de recessão das galáxias é da ordem de 50 a 100 km/s. A constante de Hubble é derivada medindo-se independentemente da velocidade, a distância às galáxias, como usando o fato de que as estrelas Cefeidas são intrinsicamente mais brilhantes quanto maior é o período de pulsação. Calculador para a idade do Universo: Para Ho = 71 km/s/Mpc, ΩM=0,270, Ωvac=0,730, z=11 corresponde à idade de 462 milhões de anos, e o Universo tem agora 13,665 bilhões de anos. Este é o z compatível com as observações do WMAP para a época da formação das primeiras estrelas, isto é, da reionização do Universo. Parâmetro de Densidade Consideremos agora a força gravitacional resultante sobre uma partícula pertencente a um Universo de massa , homogêneo e isotrópico, em expansão. Consideraremos uma partícula na superfície da esfera de raio : Em um dado instante, a partícula sofrerá uma aceleração gravitacional dada por: (1.6) Esta aceleração é de frenagem, ou seja, tenderá a reduzir a expansão do Universo. A energia mecânica da partícula, , assumindo-se a constante cosmológica =0, será: (1.7) Note que no caso em que apenas a gravidade atua no Universo, . Neste caso, sabemos que o sinal de determina se as partículas poderão se afastar indefinidamente umas das outras ou não: expansão indefinida: Universo aberto. expansão contida: Universo fechado. Omitiremos a coordenada para r(t) e H(t) na derivação a seguir. Como a massa é dada por (1.8) podemos reescrever a eq. (7) como: (1.9) Seja agora a densidade crítica, , definida como aquela para a qual a gravidade está no limite de conter a expansão (ou seja, ): (1.10) Inserindo na eq. (9), temos: (1.11) onde é chamado parâmetro de densidade. Como e são sempre positivos, os sinais de e estão anti-correlacionados: : Universo fechado. : Universo aberto. : Universo plano. Vamos escrever a energia em termos das propriedades no presente, usando-se a lei de Hubble: Substituindo logo (1.19) e ou e para , : logo Para , e : logo e e e para , e : e pelas definições das funções trigonométricas hiperbólicas (15 e 16): logo e para , Ou seja, os limites são: Deste modo, a relação entre a idade do Universo e a constante de Hubble no presente, torna-se: Universo aberto, Universo fechado. Parâmetro de Desaceleração Um outro parâmetro importante, que auxilia o entendimento do processo de expansão é o parâmetro de desaceleração, : (1.20) que descreve a mudança na taxa de expansão. Usando as equações (4), (8) e (10) obtemos: (1.21) Logo, o valor de , assim como o de determinam o futuro da expansão do Universo. Note que , e são funções do tempo. Mas o fato de ser constante, juntamente com as equações (11) e (21), garante que se (ou analogamente ) em um dado instante, esta condição continua satisfeita ao longo do tempo, ainda que o valor do parâmetro varie. A determinação do parâmetro de densidade (ou do parâmetro de desaceleração) do Universo em seu estágio atual contém informação sobre o desenlace da competição entre a expansão do Universo e a gravitação que tende a contê-la. Big Bang Quente Levando-se em conta que a densidade de energia de um campo de radiação é dada por: a densidade de massa equivalente () é dada por: Para comparação, se assumirmos K, obtemos Usando-se a lei de Wien [Wilhelm Wien (1864-1928)], e usando-se a relação de desvio para o vermelho devido à expansão do Universo: onde é a escala do Universo, representada pela distância média entre as galáxias, obtemos: ou seja, a densidade de radiação enquanto que a densidade de matéria é inversamente proporcional ao volume do Universo: Deste modo obtemos que indicando que quando o Universo era muito mais jovem, para isto é, quando o Universo era muito jovem () ele era dominado pela radiação. Nesta definição, é chamado de deslocamento para o vermelho, redshift, devido ao efeito Doppler. Espaço-Tempo de Minkowski Um ponto no espaço-tempo pode ser caracterizado por um evento, que aconteceu em um lugar do espaço, em um certo momento. Podemos caracterizar o espaço-tempo, e as transformações de Lorentz, propostas pelo físico holandês Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) em 1904, e utilizadas por Einstein na Teoria da Relatividade Especial em 1905: introduzindo a coordenada imaginária no lugar da coordenada temporal . Desta maneira, para um espaço cartesiano [René Descartes (1596-1650)], temos: Com estas definições, podemos transformar de um sistema de coordenadas para outro mantendo a relação: Um sistema de coordenadas descrito pelas coordenadas acima é chamado de um sistema de Minkowski, pois foi proposto pelo matemático russo Hermann Minkowski (1864-1909). Este sistema é um espaço Euclidiano de quatro dimensões, e a transformação de Lorentz corresponde a uma rotação neste espaço quadri-dimensional. Coordenadas Gaussianas Em um sistema de coordenadas Euclidiano, a unidade de distância não varia com a posição. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) propôs um sistema de coordenadas geral, não Euclidiano; imaginemos um sistema de coordenadas de curvas arbitrárias, não justapostas, em uma superfície qualquer. Em uma direção designemos as curvas por , designando-as , , .... Entre as curvas e podemos imaginar um número infinito de curvas, correspondendo aos números naturais entre 1 e 2. As curvas não se intersectam e somente uma curva passa por cada ponto da superfície, de modo que um valor perfeitamente definido de pode ser estabelecido para cada ponto. Podemos estabelecer um sistema de coordenadas sobre a superfície, de modo que um valor de e possam ser estabelecidos para cada ponto da superfície. Chamamos estes pontos de coordenadas gaussianas da superfície. Dois pontos próximos terão coordenadas e , com coordenadas: onde e são pequenos. A distância entre estes pontos será dada por: onde , e dependem de e , e representam a variação da unidade de distância em relação a elas. Somente para o caso especial em que a superfície seja Euclidiana e as coordenadas cartesianas, isto é, independentes, podemos escrever: Levantando e Baixando Índices Nas equações acima, algumas vezes aparece a componente covariante de Lorentz e outras vezes a componente contravariante . A relação entre elas é: sendo que e Cosmologia na Relatividade Geral A observação de que o Universo é homogêneo e isotrópico, e que está em expansão segundo a lei de Hubble, produz condições suficientes para que a Teoria da Relatividade Geral prediga concretamente a topologia e a evolução do Universo. Para um sistema isotrópico e homogêneo, podemos escrever as coordenadas em um sistema esférico, e considerar somente a coordenada radial, que chamaremos de , distância média entre as galáxias, e a coordenada temporal, . Pode-se demonstrar que a componente i=0, k=0 ou i=t, k=t do tensor de Einstein : é dada por: A condição de homogeneidade implica que a métrica deve ser homogênea. Para uma esfera de raio r, em três dimensões, uma geodésica é dada por: Para uma métrica de Friedmann, onde para cada valor de o espaço-tempo representa um hiper-esfera quadri-dimensional de circunferência própria , e o locus define esferas de área , temos: A circunferência própria () é dada por: a área da superfície (): e o volume () da quadri-esfera: Neste caso, A equação (24), com , se reduz a: (1.27) já que pela equação (23): Como o volume total deste Universo fechado é , identificando como a massa total em prótons, nêutrons, elétrons, etc., e a equação (27) pode ser escrita como: (1.28) Fazendo a mudança para variáveis adimensionais a equação (28) pode ser re-escrita como: que nós já resolvemos com a solução da equação (14) para o caso do Universo fechado. A densidade total é dada por: Quando o Universo está dominado por matéria, onde e como: Quando o Universo era dominado pela radiação: onde e Podemos expandir a equação (27) para pequeno em: e integrar, assumindo para , ou seja, O físico-matemático americano Howard Percy Robertson (1894-1979) e o matemático inglês Arthur Geoffrey Walker (1909-), demonstraram em 1935 e 1936 que a métrica mais geral que satisfaz a condição de homogeneidade e isotropia para a geometria do espaço-tempo é a chamada métrica de Robertson-Walker: Esta métrica pode ser convertida para a forma de Friedmann, com um fator de renormalização. Para a métrica de Robertson-Walker, a componente (00) da equação de campo de Einstein se reduz a: Como na Equação (3), podemos identificar a constante de Hubble como: A trajetória de uma galáxia que se move junto com a expansão do Universo é dada por constante, enquanto que a trajetória de um fóton satisfaz . Portanto a distância que um fóton percorre afastando-se radialmente ( e mantidos constantes) de uma fonte é governada pela equação diferencial: (1.29) Logo of fótons sempre atravessam uma distância própria em um intervalo de tempo próprio à velocidade da luz , Após ser emitido por uma fonte isotrópica, o fóton atravessa uma esfera de área em um tempo , mas esta área não é igual a , pois depende do valor de e de . Por exemplo, para um Universo de Einstein-de Sitter, isto é, plano, K=0 e Se o fóton for emitido num tempo , o desvio para o vermelho na recepção será dado por: A equação (29), para , se reduz a: de modo que onde é a área da esfera centrada na fonte e passando pelo tempo presente. Como , já que para o Universo plano . Tendo em vista que Universo plano é Euclidiano, é a distância no presente da fonte. A distância que o fóton atravessou deste que foi emitido é dada por: e portanto uma fonte com alto valor de está mais longe do que a distância atravessada pela luz. Definindo a pressão de cada componente como , implica que a densidade será expressa como e o parametro de desaceleração e para um universo dominado por matéria e constante cosmológica, já que , e . A radiação do fundo do Universo é normalmente decomposta em esféricos harmônicos e o momentum de multipolo é dado por Enquanto a luz viaja da fonte ao observador, seu comprimento de onda se expande por um fator proporcional ao aumento de a(t). Se atualmente contribui com 70% da densidade de energia total em um universo plano (K=0), então o universo se tornará dominado por em cerca de metade da idade atual. Podemos expressar a idade em função do deslocamento para o vermelho , da razão da densidade de matéria para a densidade crítica, , e da razão da densidade de energia do vácuo para a densidade crítica, , como Se o universo for plano, e a integral resulta em No limite , recuperamos a relação entre a idade e o deslocamento para o vermelho de um universo plano normal: Recombinação Intuitivamente espera-se que quando a energia média de um fóton da radiação do fundo do Universo caisse abaixo de 13,6 eV, a energia de ionização do hidrogênio, a maior parte do hidrogênio torna-se-se neutra. Podemos definir como o desvio para o vermelho (redshift) para o qual os elétrons e prótons recombinam, formando o hidrogênio neutro. O termo recombinação, usado por James Peebles em 1950, é um pouco problemático, pois nesta época da evolução do Universo, os elétrons e prótons estavam se combinando pela primeira vez. Na verdade, como veremos a seguir, a temperatura de recombinação é da ordem de 5 vezes menor do que a correspondente a 13,6 eV, porque o espaço de fase dos elétrons livres é muito maior do que o espaço de fase dos elétrons ligados, o que faz com que os elétrons permaneçam livres por mais tempo. Consideremos a reação Em equilíbrio químico, temos: (1.30) já que o potencial químico dos fótons é nulo. Nesta equação, representa o próton. A equação de Saha é obtida combinando-se esta expressão com a função distribuição para as espécies em questão: onde é o momentum, é o fator de degenerescência, o sinal mais se aplica aos férmions, isto é, partículas que obedecem à distribuição de momentum de Fermi-Dirac, como os prótons e os elétrons, e o sinal menos é para os bósons, isto é, partículas que obedecem à distribuição de Bose-Einstein, como os fótons. A função distribuição é definida de forma que é o número de partículas no elemento de volume do espaço de fase. Como estamos interessados em energias próximas a 13,6 eV, os elétrons e os prótons são não relativísticos, , Assumindo que as densidades eram não degeneradas, a densidade de partículas pode ser escrita como a distribuição de Boltzmann: Integrando, obtemos: (1.31) onde a densidade quântica é definida como: Colocando-se o valor do potencial químico (31) na equação do equilíbrio químico (30), obtemos: Nesta equação voltamos a usar para representar um próton, e não o momentum. O termo da direita da equação (32) é a energia de ligação do hidrogênio, eV. Os fatores de degenerescência são e . Assumindo nos valores de , obtemos a equação de Saha para a reação: Definindo a fração de ionização por , onde a densidade total , obtemos uma equação transcendental para em termos do desvio para o vermelho substituindo-se e . O desvio para o vermelho para a época de recombinação pode ser obtido usando o valor da densidade de partículas no presente, já que o hidrogênio compõe aproximadamente 75% da massa bariônica do Universo, obtemos A temperatura nesta época era de muito menor do que 13,6 eV. Podemos utilizar uma massa média de bárions um pouco mais precisa, pois quase a totalidade dos 25% restantes de massa em bárions está na forma de átomos de hélio, de modo que: Logo após a recombinação temos a época do desacoplamento da radiação com a matéria, uma vez que quando os elétrons e prótons combinam-se, o Universo se torna muito menos opaco. Os elétrons ligados só são capazes de interagir com os fótons com energia discretas, correspondentes aos níveis de excitação, ou com energias maiores do que a energia de ionização, mas como vimos a energia média dos elétrons é muito menor do que esta energia. O livre caminho médio dos fótons torna-se então muito grande, já que eles viajam grandes distâncias sem interagir com a matéria. Dizemos então que a radiação está desacoplada da matéria.