nc - cap24, Notas de estudo de Física

Baixe nc - cap24 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Caṕıtulo 24 Medidas Conteúdo 24.1 O Problema da Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104 24.2 Medidas de Conjuntos. Definição, Exemplos e Propriedades Básicas . . . . . . . . . . . . 1107 24.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Carathéodory . . . . . . . . . 1110 24.3.1 Medidas Exteriores Métricas e Conjuntos Borelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117 24.4 Um Esquema de Construção de Medidas Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120 APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123 24.A Prova das Fórmulas de Inclusão-Exclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123 O presente caṕıtulo visa apresentar ao estudante a noção de medida de conjuntos, algumas de suas proprie-dades básicas e exemplos elementares e, por fim, discutir uma construção importante de medidas devida aCarathéodory1. O caso importante da chamada medida de Lebesgue2 é discutido com essa base no Caṕıtulo25, página 1125. Começaremos com uma discussão parcialmente informal sobre os problemas básicos por trás da noção intuitiva de medida de conjuntos. 24.1 O Problema da Teoria da Medida Em uma primeira instância, o objetivo da área da Análise conhecida como Teoria da Medida é dar fundamento às idéias intuitivas de comprimento, área, volume etc. de subconjuntos de Rn. Grandezas como comprimento, área, volume etc. de subconjuntos de Rn são referidas genericamente como medidas de tais conjuntos e à Teoria da Medida cabe não só apresentar definições precisas de tais conceitos mas também cabe determinar que classes de conjuntos são mensuráveis, ou seja, a quais conjuntos tais conceitos são aplicáveis. Talvez surpreenda ouvir pela primeira vez que conceitos como comprimento, área e volume não possam ser aplicados a qualquer conjunto e que a manipulação dos mesmos, se feita sem o devido cuidado, possa levar a situações paradoxais. Entretanto, como mostra o exemplo do conjunto de Vitali, tratado na próxima seção, existem, já no simples caso da reta real, conjuntos para os quais o conceito de comprimento não pode ser definido. A dificuldade que temos de sequer imaginar como devem ser tais conjuntos reside, talvez, no fato que os mesmos serem de construção incomum (a construção, como veremos, faz uso expĺıcito do Axioma da Escolha). A Teoria da Medida não se restringe, porém, a tratar de conceitos geométricos como comprimento, área etc., sendo que o conceito formal de medida de um conjunto extrapola em muito esse campo de aplicações, como veremos. Fora isso, a Teoria da Medida não se limita apenas ao estudo do conceito de medida e de conjuntos mensuráveis, mas tem como seu mais importante objetivo formalização da teoria da integração. Que os conceitos de medida e de integral são conectados diz-nos já a velha noção de integral definida como sendo o “área sob o gráfico” de uma função. De fato, a teoria da medida fornece material poderoso para um tratamento mais profundo do conceito de integral e de suas extensões. Nestas notas, o tratamento da Teoria da Integração será iniciado no Caṕıtulo 27, página 1166. Todos esses conceitos serão tratados de modo cuidadoso adiante, mas achamos por bem começar mostrando ao estudante a origem de toda a problemática: a existência de conjuntos não mensuráveis. • O exemplo de Vitali Considere-se o conjunto R dos números reais e seus subconjuntos. Temos uma noção intuitiva clara do que seja o comprimento de intervalos da reta real como (a, b) ou [a, b] ou [a, b) ou (a, b]. Em todos esses casos o comprimento é o número positivo (ou nulo) b − a. Para um intervalo I como os de acima, denotemos por m(I) o seu comprimento. Assim, por exemplo, m([a, b]) = b − a, para todo a e b com b ≥ a. 1Constantin Carathéodory (1873–1950). 2Henri Léon Lebesgue (1875–1941). 1104 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1105/1730 Se um conjunto A ⊂ R for formado pela união disjunta de dois intervalos I e J como os de acima, é também intuitivo que o comprimento de A seja dado por m(A) = m(I) + m(J), ou seja, pela soma dos comprimentos dos intervalos disjuntos que formam A. Se A for formado por uma união disjunta contável de intervalos Ia, a ∈ N, então, igualmente, é natural dizer que o comprimento total de A é dado por m(A) = ∞ ∑ a=1 m(Ia) . Note-se que não exclúımos a possibilidade de A ser um conjunto com comprimento infinito, como é o caso da semi-reta [0, ∞), que, aliás pode ser escrita como a união contável disjunta de intervalos de comprimento 1 do tipo [n, n +1) com n ∈ N0. Conjuntos com comprimento zero, como conjuntos com um só elemento {x} também existem. Dessas noções extráımos o seguinte prinćıpio: se um conjunto A puder ser escrito como uma união disjunta contável de outros conjuntos Ba, a ∈ N, que possuem um comprimento bem definido (finito ou não), então o comprimento de A deve ser dado pela soma dos comprimentos de cada Ba, seja essa soma finita ou não: m ( ⋃ a∈N Ba ) = ∑ a∈N m(Ba) . Outra propriedade razoável que devemos supor do conceito de comprimento de um conjunto é que se A e B são conjuntos e A ⊂ B então m(A) ≤ m(B). Note que podemos ter a igualdade mesmo que A seja um subconjunto próprio de B. Esse é, por exemplo, o caso dos conjuntos A = (1, 3) e B = [1, 3] onde tanto A quanto B têm o mesmo comprimento, a saber 2. Por fim, uma última condição razoável que o a noção usual de comprimento de subconjuntos da reta deve satisfazer é o de invariância por translações. Seja E ⊂ R. Denotemos por Ex, ou por E + x, o conjunto E transladado por um número x ∈ R, ou seja: Ex = { y ∈ R, com y = a + x para algum a ∈ E } . Então, é razoável supor que m(Ex) = m(E) para qualquer x ∈ R. O que vamos agora fazer é mostrar que existem subconjuntos da reta real para os quais não há a menor possibilidade de definir um comprimento m que satisfaça os requerimentos razoáveis delineados acima. O exemplo que construiremos é conhecido como exemplo de Vitali3. Vamos supor que a todo subconjunto E da reta real possamos associar um comprimento m(E) com as condições mencionadas acima. Seja o intervalo I = [0, 1]. Definamos em I uma relação de equivalência da seguinte forma. Dois pontos x e y, ambos elementos de I, são ditos ser equivalentes, x ∼ y, se e somente se x − y for um número racional. E. 24.1 Exerćıcio. Prove que isso define de fato uma relação de equivalência. 6 O fato de termos assim criado uma relação de equivalência em I significa que I pode ser escrito como uma união disjunta das classes de equivalência por essa relação. Usando o Axioma da Escolha podemos construir um conjunto, que chamaremos de V , tomando um e somente um elemento arbitrário de cada classe de equivalência de I. Obviamente, temos V ⊂ I. Seja agora Vr o conjunto obtido transladando-se o conjunto V por um número r ∈ Q. Vamos mostrar que Vr ∩Vs = ∅ se r 6= s com r, s ∈ Q, ou seja, que Vr e Vs são disjuntos se r e s forem elementos distintos de Q. Para ver isso suponhamos o contrário, ou seja, que exista um elemento u ∈ Vr ∩ Vs. Como u ∈ Vr então u = v + r, para algum elemento v ∈ V . Por outro lado, como u ∈ Vs então u = v′ + s, para algum elemento v′ ∈ V . Portanto v + r = v′ + s e v− v′ = s− r. Como s− r é um racional então v ∼ v′. Mas isso só é posśıvel se v = v′ pois, ao construirmos V , tomamos um e somente um elemento de cada classe de equivalência de I, o que significa dizer que elementos distintos de V não podem ser equivalentes. Por outro lado, se v = v′ a relação v − v′ = s − r diz que s = r, o que contraria as hipóteses. Logo Vr ∩ Vs = ∅ se r, s ∈ Q com r 6= s. Vamos denotar por Q1 o conjunto de todos os números racionais contidos no intervalo [−1, 1]: Q1 = Q ∩ [−1, 1]. Afirmamos que as seguintes relações de inclusão são válidas: [0, 1] ⊂ ⋃ r∈Q1 Vr ⊂ [−1, 2] . (24.1) 3Giuseppe Vitali (1875–1932). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1108/1730 Então, δC é uma medida (verifique!) que generaliza a medida δx0 acima. Observe que δC(E) = µc(E ∩ C) para todo E ∈ M. 4. Sejam α, β ≥ 0 e seja X um conjunto não-vazio que possua um subconjunto próprio não-vazio A (para isso basta que X tenha mais de um elemento). Considere a σ-álgebra M = {∅, A, Ac, X}. Se definirmos µ(∅) = 0, µ(A) = α, µ(Ac) = β e µ(X) = α + β, então µ será uma medida em M. Mostre isso! Por estes exemplos vemos que a noção de medida extrapola a noção geométrica de comprimento, área, volume etc. de um conjunto, conceitos esses que, ademais, só se aplicam a certos subconjuntos de Rn. Outros exemplos mais elaborados de medidas serão vistos adiante, em especial aqueles referentes justamente às noções geométricas de comprimento, área etc. de subconjuntos de Rn. Tais medidas são conhecidas como medidas de Lebesgue e serão discutidas adiante. E. 24.2 Exerćıcio. Sejam α, β e γ três objetos distintos (por exemplo, três letras distintas do alfabeto grego). Mostre que M = { ∅, {γ}, {α, β}, {α, β, γ} } é uma σ-álgebra em X = {α, β, γ}. Mostre que µ : M → R+, definida por µ(∅) = 0, µ({γ}) = 1, µ({α, β}) = 0, µ({α, β, γ}) = 1 é uma medida em M. 6 E. 24.3 Exerćıcio. Sejam α, β e γ três objetos distintos (por exemplo, três letras distintas do alfabeto grego). Mostre que M = { ∅, {γ}, {α, β}, {α, β, γ} } é uma σ-álgebra em X = {α, β, γ}. Mostre que µ : M → R+, definida por µ(∅) = 0, µ({γ}) = 2, µ({α, β}) = 1, µ({α, β, γ}) = 3 é uma medida em M. 6 E. 24.4 Exerćıcio. Sejam α, β e γ três objetos distintos (por exemplo, três letras distintas do alfabeto grego). Mostre que M = { ∅, {α}, {β}, {γ}, {α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β, γ} } é uma σ-álgebra em X = {α, β, γ}. Mostre que µ : M → R+ definida por µ(∅) = 0 , µ({α}) = 0 , µ({β}) = 0 , µ({γ}) = 1 , µ({α, β}) = 0 , µ({α, γ}) = 1 , µ({β, γ}) = 1 , µ({α, β, γ}) = 1 é uma medida em M. 6 • Propriedades básicas de medidas Vamos agora extrair algumas conseqüências básicas da definição de medida [160]. Abaixo, seja X um conjunto não-vazio, M uma σ-álgebra em X e µ uma medida em M. 1. Se A1, . . . , An é uma coleção finita de elementos disjuntos de M então µ(A1 ∪ · · · ∪ An) = µ(A1) + · · · + µ(An). Prova. Defina-se Am = ∅ para m > n. Então, A1 ∪ · · · ∪ An = ⋃ j∈N Aj e, portanto, µ(A1 ∪ · · · ∪ An) = µ   ⋃ j∈N Aj   = ∑ j∈N µ(Aj) = µ(A1) + · · · + µ(An) , pois µ(∅) = 0. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1109/1730 2. Se A e B são elementos de M e A ⊂ B então µ(A) ≤ µ(B). Prova. Como A ⊂ B, segue que B = A ∪ (Ac ∩ B), uma união disjunta de elementos de M (por que?). Logo, pelo item anterior segue que µ(B) = µ(A) + µ(Ac ∩ B). Como µ(Ac ∩ B) ≥ 0, segue que µ(B) ≥ µ(A). 3. Se Aj , j ∈ N, são elementos de M com Aj ⊂ Aj+1 para todo j ∈ N, então lim n→∞ µ(An) = µ(A), onde A = ⋃ n∈N An. Prova. Defina-se B1 = A1 e Ba = Aa \ Aa−1 para a ≥ 2. Então, pelas hipóteses, An = B1 ∪ · · · ∪ Bn e A = ⋃ a∈N Ba , onde, em ambos os casos, as uniões são disjuntas. Assim, µ(An) = µ(B1) + · · · + µ(Bn) e µ(A) = ∑ a∈N µ(Ba) . Portanto, µ(A) = lim n→∞ µ(An), como queŕıamos provar. 4. Se Aj , j ∈ N, são elementos de M com Aj+1 ⊂ Aj para todo j ∈ N, e se µ(A1) for finito, então lim n→∞ µ(An) = µ(A), onde A = ⋂ n∈N An. Prova. Seja Ca = A1 \ Aa. Então, pelas hipóteses, Cj ⊂ Cj+1. Como vimos no item anterior, isso diz que lim n→∞ µ(Cn) = µ(C) , onde C = ⋃ a∈N Ca = A1 \ A. Temos agora que A1 = An ∪ Cn e A1 = A ∪ C, duas uniões disjuntas. Portanto µ(An) + µ(Cn) = µ(A) + µ(C). Assim, lim n→∞ µ(An) + lim n→∞ µ(Cn) = µ(A) + µ(C) e, então, lim n→∞ µ(An) + µ(C) = µ(A) + µ(C) . Como µ(A1) é finito, então µ(C) e µ(A) também são finitos (pois são subconjuntos de A1). Logo, podemos cancelar µ(C) da última igualdade e obtemos o desejado. Os dois primeiros itens acima são resultados desejados pela noção intuitiva de medida. O penúltimo diz que a medida de um conjunto mensurável A pode ser aproximada “por dentro” pelas medidas de conjuntos mensuráveis que convergem a A e o último item diz que se um conjunto mensurável A tem medida finita e se há conjuntos An também com medida finita que contêm A e convergem a A então também podemos aproximar a medida de A pela dos aproximantes externos An. • Fórmula de Inclusão-Exclusão O seguinte exerćıcio apresenta mais algumas propriedades gerais elementares de medidas. As expressões (24.4) e (24.5), denominadas por vezes fórmulas de inclusão-exclusão, ou prinćıpio de inclusão-exclusão, são usadas amiúde, por exemplo, na Teoria de Probabilidades e em Análise Combinatória. E. 24.5 Exerćıcio. Sejam X um conjunto não-vazio, M uma σ-álgebra em X e µ uma medida em M. Então, se A e B são elementos de M tais que µ(A) < ∞ e µ(B) < ∞, mostre que µ ( A ∪ B ) = µ(A) + µ(B) − µ ( A ∩ B ) . (24.4) Mais genericamente, prove que vale para todo n ∈ N vale a seguinte afirmação: se A1, . . . , An são elementos de M com µ(Ak) < ∞ para todo k = 1, . . . , n, então µ   n ⋃ j=1 Aj   = n ∑ k=1 (−1)k+1   ∑ 1≤i1<···<ik≤n µ (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik)   . (24.5) Uma demonstração de (24.4) e (24.5) pode ser encontrada no Apêndice 24.A, página 1123. 6 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1110/1730 No caso de a medida µ ser a medida de contagem, (24.4) e (24.5) fornecem expressões para o número de elementos de uniões de conjuntos finitos. Nesse contexto, (24.4) e (24.5) são por vezes denominadas fórmulas do crivo de de Moivre5, ou fórmulas do crivo de Poincaré6-Sylvester7. E. 24.6 Exerćıcio. Mostre que (24.5) pode ser escrita como µ   n ⋃ j=1 Aj   = ∑ I⊂{1, ..., n} I 6=∅ I={i1, ..., i|I|} (−1)|I|+1µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Ai|I| ) . (24.6) Usando a Fórmula de Inversão de Möbius, Proposição 1.20, página 62, mostre, por (24.6), que µ ( n ⋂ i=1 Ai ) = ∑ J⊂{1, ..., n} J 6=∅ J={j1, ..., j|J|} (−1)|J|+1µ ( Aj1 ∪ · · · ∪ Aj|J| ) , (24.7) e, portanto, que µ ( n ⋂ i=1 Ai ) = n ∑ l=1 (−1)l+1   ∑ 1≤j1<···<jl≤n µ (Aj1 ∪ · · · ∪ Ajl)   . (24.8) Essa última relação também pode ser provada diretamente, de modo análogo à demonstração de (24.5) apresentada no Apêndice 24.A, página 1123. 6 • Quase em toda parte Se X é um conjunto no qual está definida uma medida µ, uma afirmação a respeito dos elementos de X que for falsa apenas em um conjunto de medida µ nula é dita valer quase em toda a parte em relação a µ, ou µ-quase em toda parte. Abreviadamente, escreve-se também q.t.p., ou µ-q.t.p.8 24.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Carathéodory Há muitos processos que permitem construir medidas com certas propriedades desejadas. Vamos aqui delinear um tal processo, devido a Carathéodory9, que será particularmente importante para a construção da chamada medida de Lebesgue da reta real, a qual corresponde à noção intuitiva de comprimento de conjuntos em R. A construção a que nos referimos exige que introduzamos mais um conceito, o de medida exterior. • Medidas Exteriores Uma medida exterior µ em um conjunto não-vazio X é uma função que associa a cada subconjunto de X um número real maior ou igual a zero ou infinito e de tal forma que: 1. µ(∅) = 0. 2. Se A ⊂ B então µ(A) ≤ µ(B). 3. Para qualquer coleção contável Aj , j ∈ N, de subconjuntos de X tem-se que µ   ⋃ j∈N Aj   ≤ ∑ j∈N µ(Aj) . 5Abraham de Moivre (1667–1754). 6Jules Henri Poincaré (1854–1912). 7James Joseph Sylvester (1814–1897). 8Em ĺıngua inglesa usa-se a abreviação a.e.: “almost everywhere”. 9Constantin Carathéodory (1873–1950). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1113/1730 por hipótese. Assim, podemos também ver que tanto ∅ quanto X são elementos de Mµ pois, claramente, para qualquer E ⊂ X µ(E) = µ(E ∩ ∅) + µ(E ∩ (∅)c) dado que ∅c = X , que E ∩ X = E, que E ∩ ∅ = ∅ e que µ(∅) = 0. Vimos no Lema 24.1 que se A e B são elementos de Mµ então A ∪ B também o é. Como A ∩ B = (A c ∪ Bc)c então conclúımos que A ∩ B também é elemento de Mµ, o mesmo valendo para A \ B pois A \ B = A ∩ Bc. Resta-nos provar que se {Aj , j ∈ N} é uma coleção contável de elementos de Mµ então A = ⋃ j∈N Aj também o é. Seja E um subconjunto genérico de X . Claramente temos que E = (E ∩ A) ∪ (E ∩ Ac), o que, pelo que observamos acima, significa que µ(E) ≤ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac). Tudo o que precisamos fazer, então, é provar que µ(E) ≥ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac) o que significaria então que A ∈ Mµ, como queremos provar. Para provar esta desigualdade, observemos primeiro que, para qualquer conjunto E′ e qualquer elemento A de Mµ vale, por definição, µ(E′) = µ(E′ ∩A) + µ(E′ ∩Ac). Dáı, tomando-se E′ da forma E′ = (A ∪B) ∩E, com E ⊂ X e A, B ∈ Mµ com A ∩ B = ∅, temos µ((A ∪ B) ∩ E) = µ(A ∩ E) + µ(B ∩ E) , pois, como A ∩ B = ∅, tem-se que (A ∪ B) ∩ E ∩ A = A ∩ E e (A ∪ B) ∩ E ∩ Ac = B ∩ E. E. 24.7 Exerćıcio. Verifique estas últimas afirmativas. 6 Isso significa, em particular, que se B1, . . . , Bn são elementos disjuntos de Mµ, então µ ( E ∩ (B1 ∪ · · · ∪ Bn) ) = µ(E ∩ B1) + · · · + µ(E ∩ Bn) . Vamos definir B1 = A1, Bn = An \ (A1 ∪ · · · ∪An−1) para n ≥ 2. Então, pelo que já observamos, cada Bj é elemento de Mµ e Bi ∩ Bj = ∅ se i 6= j. Fora isso, ⋃ i∈N Bi = ⋃ i∈N Ai . Como cada Bi é elemento de Mµ, então já vimos que para cada n finito n ⋃ i=1 Bi ∈ Mµ, ou seja, µ(E) = µ ( E ∩ ( n ⋃ i=1 Bi )) + µ ( E ∩ ( n ⋃ i=1 Bi )c) para todo E ⊂ X . Agora µ ( E ∩ ( n ⋃ i=1 Bi )) = n ∑ i=1 µ(Bi ∩ E) pois os Bi’s são disjuntos. Por outro lado µ ( E ∩ ( n ⋃ i=1 Bi )c) ≥ µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )c) dado que ( ⋃ i∈N Bi )c ⊂ ( n ⋃ i=1 Bi )c (justifique!) . Logo, vimos que µ(E) ≥ n ∑ i=1 µ(Bi ∩ E) + µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )c) . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1114/1730 Como essa desigualdade vale para qualquer n, segue que µ(E) ≥ ∞ ∑ i=1 µ(Bi ∩ E) + µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )c) . Por fim, pela própria definição de medida exterior, temos que ∞ ∑ i=1 µ(Bi ∩ E) ≥ µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )) (justifique!) e, portanto, µ(E) ≥ µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )) + µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )c) = µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Ai )) + µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Ai )c) . Isso é exatamente o que queŕıamos provar. Assim, mostramos que Mµ é de fato uma σ-álgebra e a prova da parte I do teorema está completa. Parte II. Vamos nesta parte II provar que a medida exterior é de fato uma medida quando restrita aos elementos da σ-álgebra Mµ. Tudo o que queremos provar é a propriedade seguinte: se Bi, i ∈ N, são elementos disjuntos de Mµ, então µ ( ⋃ i∈N Bi ) = ∑ i∈N µ(Bi) . Pelo que já vimos na parte I, temos que µ(E) ≥ ∞ ∑ i=1 µ(Bi ∩ E) + µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )c) ≥ µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )) + µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )c) = µ(E) , onde a última igualdade é precisamente a afirmativa que foi provada na parte I. Assim, como µ(E) aparece no começo e no fim da cadeia de desigualdades, todos os śımbolos de “≥” podem ser substitúıdos por śımbolos de igualdade “=” (justifique!). Ou seja, temos que µ(E) = ∞ ∑ i=1 µ(Bi ∩ E) + µ ( E ∩ ( ⋃ i∈N Bi )c) . Como isso vale para todo E ⊂ X , tomemos, em particular, E = ⋃ i∈N Bi. A última fórmula fica µ ( ⋃ i∈N Bi ) = ∞ ∑ i=1 µ(Bi) , que é exatamente o que queŕıamos provar. Isso completa a prova do Teorema de Carathéodory. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1115/1730 * No Caṕıtulo 25 vamos ilustrar o uso do Teorema de Carathéodory, Teorema 24.1, página 1111, na construção de uma medida muito importante: a medida de Lebesgue da reta real. O Teorema de Carathéodory pode ser utilizado em várias outras construções de medidas, as mais notáveis talvez sejam medidas em conjuntos fractais, conjuntos que não possuem dimensão (de Hausdorff) inteira, tais como o conjunto de Cantor11, a Estrela de Koch12 (Fig. 24.1) e outras. A Estrela de Koch tem dimensão (de Hausdorff, vide Seção 25.2, página 1129) igual a ln(4)/ ln(3) Figura 24.1: A Estrela de Koch. O Teorema de Carathéodory, Teorema 24.1, página 1111, permite a construção de uma medida em uma determinada σ-álgebra e seria útil conhecer critérios que permitam obter mais informações sobre os elementos dessa σ-álgebra. No caso de espaços métricos uma informação importante pode ser obtida para o caso das chamadas medidas exteriores métricas, a saber, que todos os conjuntos Borelianos são mensuráveis no sentido de Carathéodory, ou seja, satisfazem a condição (24.9), página 1111. Disso trataremos na Seção 24.3.1, página 1117. • Uma ilustração elementar do Teorema de Carathéodory O seguinte exerćıcio-exemplo ilustra o Teorema de Carathéodory. E. 24.8 Exerćıcio-exemplo. Sejam α, β e γ três objetos distintos (por exemplo, três letras distintas do alfabeto grego). Seja X = {α, β, γ} e sejaP(X) = {∅, {α}, {β}, {γ}, {α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β, γ}} . Mostre que µ : P(X) → R+, definida por µ(∅) = 0 , µ({α}) = 1 , µ({β}) = 1 , µ({γ}) = 2 , µ({α, β}) = 1 , µ({α, γ}) = 3 , µ({β, γ}) = 3 , µ({α, β, γ}) = 3 é uma medida exterior em P(X). Podemos, então, nos perguntar: quais conjuntos A ⊂ X têm a propriedade de Carathéodory µ(E) = µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac) (24.10) para todo E ∈ P(X)? Mostre explicitamente (ou seja, analisando caso-a-caso) que os elementos de M = { ∅, {γ}, {α, β}, {α, β, γ} } possuem a propriedade (24.10). Mostre agora que 11Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918). 12Niels Fabian Helge von Koch (1870–1924). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1118/1730 O lema técnico a seguir tem conseqüências importantes a respeito da mensurabilidade de conjuntos Borelianos, das quais trataremos logo abaixo. Lema 24.2 Sejam M um conjunto não-vazio dotado de uma métrica d, τd a topologia em M induzida por d e µ uma medida exterior métrica em M . Seja {An, n ∈ N} uma seqüência crescente de subconjuntos de M com a propriedade d(An, A \ An+1) > 0 (24.15) para todo n ∈ N, onde A ≡ lim n→∞ An = ⋃ m∈N Am. Então, µ ( lim n→∞ An ) = lim n→∞ µ (An) . (24.16) 2 Prova. Defina-se uma nova seqüência {Bn, n ∈ N} de subconjuntos de M por B1 = A1, Bk = Ak \ Ak−1, k ≥ 2. Pela definição vale, evidentemente, que Bk ⊂ Ak (24.17) para todo k, e que, para l − k ≥ 2 Bl ⊂ A \ Ak+1 (24.18) pois Bl = Al \ Al−1 ⊂ A \ Al−1 ⊂ A \ Ak+1 a última relação sendo devida a Al−1 ⊃ Ak+1. Segue disso que d(Bk, Bl) > 0 para todos k e l com l − k ≥ 2, (24.19) pois para l − k ≥ 2 vale d(Bk, Bl) = inf { d(x, y), x ∈ Bk, y ∈ Bl } (24.17)−(24.18) ≥ inf { d(x, y), x ∈ Ak, y ∈ A \ Ak+1 } =: d ( Ak, A \ Ak+1 ) (24.15) > 0 . Por (24.14), segue de (24.19) que µ(B1 ∪ B3) = µ(B1) + µ(B3) e µ(B2 ∪ B4) = µ(B2) + µ(B4) e, por indução, segue também facilmente que µ ( m ⋃ a=1 B2a−1 ) = m ∑ a=1 µ(B2a−1) e µ ( m ⋃ a=1 B2a ) = m ∑ a=1 µ(B2a) (24.20) para todo m ≥ 1. Há dois casos a considerar: 1. quando pelo menos uma das somas em (24.20) diverge para m → ∞ e 2. quando ambas as somas em (24.20) convergem para m → ∞. No caso 1., observe-se que para todo k, Ak = k ⋃ a=1 Ba . (24.21) Logo, para todo m tem-se A2m−1 ⊃ ⋃m a=1 B2a−1 e A2m ⊃ ⋃m a=1 B2a. Portanto, µ(A2m−1) ≥ µ ( m ⋃ a=1 B2a−1 ) (24.20) = m ∑ a=1 µ(B2a−1) e µ(A2m) ≥ µ ( m ⋃ a=1 B2a ) (24.20) = m ∑ a=1 µ(B2a) . Conseqüentemente, se qualquer das somas em (24.20) divergir quando m → ∞ teremos lim n→∞ µ(An) = ∞, o que implica µ(A) = ∞ pois, como A ⊃ An para todo n, vale µ(A) ≥ µ(An), também para todo n. Nesse caso teŕıamos, então, µ(A) = lim n→∞ µ(An) = ∞, provando (24.16) para o caso 1. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1119/1730 No caso 2 procedemos da seguinte forma. Segue de (24.21) que A = ∞ ⋃ a=1 Aa = Aj ∪ ∞ ⋃ a=j+1 Ba para qualquer j. Logo, µ(A) = µ  Aj ∪ ∞ ⋃ a=j+1 Ba   ≤ µ(Aj) + µ   ∞ ⋃ a=j+1 Ba   ≤ µ(Aj) + ∞ ∑ a=j+1 µ (Ba) , (24.22) sendo a soma ao lado direito convergente, por hipótese. Pela mesma razão, vale lim j→∞ ∞ ∑ a=j+1 µ (Ba) = 0 e, portanto, segue de (24.22) que µ(A) ≤ lim j→∞ µ(Aj). Do fato que A ⊃ An para todo n, segue que µ(A) ≥ µ(An), implicando que µ(A) ≥ lim n→∞ µ(An). Essas duas últimas desigualdades implicam (24.16) para o caso 2. • Mensurabilidade de conjuntos Bolerianos para medidas exteriores métricas Teorema 24.3 Sejam M um conjunto não-vazio dotado de uma métrica d, τd a topologia em M induzida por d e seja µ uma medida exterior métrica em M . Então M[τd] ⊂ Mµ, ou seja, os conjuntos Borelianos de M (segundo a topologia τd) são mensuráveis para a medida exterior métrica µ. 2 Prova. É suficiente demonstrarmos que todo aberto A ∈ τd satisfaz a condição de mensurabilidade de Carathéodory (24.9), página 1111, para todo E ⊂ M , pois isso garante que τd ⊂ Mµ, o que implica que M[τd] ⊂ Mµ. Para tal, é suficiente provarmos que µ(E) ≥ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac) para todo A ∈ τd e todo E ⊂ M , pois a desigualdade oposta µ(E) ≤ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac) é sempre satisfeita para uma medida exterior µ. Para cada m ∈ N, seja Em ⊂ E ∩ A o conjunto Em = { x ∈ E ∩ A ∣ ∣ d(x, y) ≥ 1/m para todo y ∈ Ac } . Claramente, para todo x ∈ Em e para todo y ∈ E ∩ Ac ⊂ Ac vale d(x, y) ≥ 1/m e, portanto, d ( Em, E ∩ Ac ) ≥ 1/m. Logo, por µ ser uma medida exterior métrica, vale µ ( Em ∪ (E ∩ A c) ) = µ ( Em ) + µ ( E ∩ Ac ) . (24.23) Porém, como Em ⊂ E ∩ A, segue que Em ∪ (E ∩ Ac) ⊂ (E ∩ A) ∪ (E ∩ Ac) = E e, portanto, µ ( Em ∪ (E ∩ Ac) ) ≤ µ(E). Assim, estabelecemos por (24.23) que para todo m ∈ N, µ(E) ≥ µ ( Em ) + µ ( E ∩ Ac ) . (24.24) Como se vê, se provarmos que lim m→∞ µ ( Em ) = µ ( E ∩ A ) , teremos por (24.24) que µ(E) ≥ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac) e a demonstração do Teorema 24.3 estará completa. No que segue estabeleceremos isso em três passos sucessivos. O primeiro passo é notar que vale E ∩ A = ⋃ m∈N Em . (24.25) Para provar isso, lembremos que para todo m tem-se Em ⊂ E ∩ A e, assim, trivialmente, ⋃ m∈N Em ⊂ E ∩ A. Por outro lado, se x ∈ E ∩ A então existe r(x) > 0 tal que todo z ∈ M com d(z, x) < r(x) também pertence a A, pois A é τd-aberto, por hipótese 13. Logo, para todo y ∈ Ac forçosamente vale d(y, x) ≥ r(x). Assim, se x ∈ E ∩ A existe algum m grande o suficiente tal que d(y, x) ≥ 1/m para todo y ∈ Ac. Isso equivale a dizer que se x ∈ E ∩ A, então x ∈ Em para algum m. Logo, E ∩ A ⊂ ⋃ m∈N Em, provando (24.25). 13O estudante deve atentar para o fato que somente nessa passagem é evocado que A é τd-aberto. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1120/1730 O segundo passo é observar que, lim m→∞ Em = E ∩ A , (24.26) pois, como a seqüência de conjuntos Em é crescente, ou seja, Em ⊂ Em′ para todos m ≤ m′, segue que ⋃ m∈N Em = lim m→∞ Em e, de (24.25), segue imediatamente (24.26). No terceiro passo provamos que para todo m ∈ N vale d ( Em, (E ∩ A) \ Em+1 ) > 0 . (24.27) De fato, notemos que se z ∈ (E ∩ A) \ Em+1 então, pela definição de Em+1, existe pelo menos um ponto y ∈ Ac tal que d(z, y) < 1/(m + 1). Logo, para qualquer x ∈ Em teremos pela definição de Em que d(x, y) ≥ 1/m. Da desigualdade triangular segue que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) e, portanto, que d(x, z) ≥ d(x, y) − d(z, y) > 1 m − 1 m + 1 . Assim, d ( Em, (E ∩ A) \ Em+1 ) = inf { d(x, z), x ∈ Em , z ∈ (E ∩ A) \ Em+1 } > 1 m − 1 m + 1 > 0 , provando (24.27). Por (24.26), (24.27) e pelo Lema 24.2, página 1118, vale µ ( E ∩ A ) = lim m→∞ µ ( Em ) . Logo, de (24.24) segue que µ(E) ≥ lim m→∞ µ ( Em ) + µ ( E ∩ Ac ) = µ ( E ∩ A ) + µ ( E ∩ Ac ) completando a demonstração. 24.4 Um Esquema de Construção de Medidas Exteriores Vamos nesta seção descrever um procedimento de construção de medidas exteriores que é aplicável em diversos contextos, em particular, na construção das medidas de Lebesgue e de Hausdorff, das quais trataremos no Caṕıtulo 25, página 1125. Começamos com uma proposição útil. Lembramos que a construção de medidas exteriores é relevante por permitir a construção de medidas, como descrito no Teorema de Carathéodory, Teorema 24.1, página 1111. Proposição 24.2 Seja X um conjunto não-vazio e seja uma coleção não-vazia R ⊂ P(X) de subconjuntos de X, com ∅ ∈ R. Denotemos por SR a coleção de todos os subconjuntos contáveis de R. Seja uma função h : R → R+∪{∞} = [0, ∞], com h(∅) = 0. Defina-se uma função H : SR → R+ ∪ {∞} da seguinte forma: para cada R = {Rn ∈ R, n ∈ N} ∈ SR tem-se H(R) := ∑ Rn∈R h(Rn) . (24.28) Então, valem 1. H({∅}) = 0. 2. Se Rb ∈ SR para todo b ∈ N, então H ( ⋃ b∈N Rb ) ≤ ∑ b∈N H(Rb). (24.29) 2 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1123/1730 Apêndices 24.A Prova das Fórmulas de Inclusão-Exclusão Para provar (24.4), observe-se que A ∪ B pode ser escrito como a união disjunta A ∪ B = A ∪ (B ∩ Ac), sendo que B ∩ Ac ∈ M. Logo, µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B ∩ Ac). Ao mesmo tempo, B também pode ser escrito como a união disjunta B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac), sendo que, novamente, tanto B ∩ A quanto B ∩ Ac são elementos de M. Logo, µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B ∩ Ac). Eliminando µ(B ∩ Ac) de ambas as relações obtemos (24.4). A prova de (24.5) pode ser feita por indução. O caso n = 1 é trivial, o caso n = 2 corresponde a (24.4). Suporemos a igualdade válida para n − 1 e provarêmo-la para n. Tomando A = ⋃n−1 j=1 Aj e B = An, tem-se ⋃n j=1 Aj = A ∪ B e por (24.4) obtém-se µ   n ⋃ j=1 Aj   = µ   n−1 ⋃ j=1 Aj  + µ(An) − µ   n−1 ⋃ j=1 (Aj ∩ An)   . Agora, assumindo (24.5) verdadeira para n − 1, segue que µ   n−1 ⋃ j=1 Aj   = n−1 ∑ k=1 (−1)k+1   ∑ 1≤i1<···<ik≤n−1 µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )   e µ   n−1 ⋃ j=1 (Aj ∩ An)   = n−1 ∑ l=1 (−1)l+1   ∑ 1≤i1<···<il≤n−1 µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Ail ∩ An )   , (24.A.1) pois ( Ai1 ∩ An ) ∩ · · · ∩ ( Ail ∩ An ) = Ai1 ∩ · · · ∩ Ail ∩ An. Note que o lado direito de (24.A.1) pode ser escrito como n−1 ∑ l=1 (−1)l+1     ∑ 1≤i1<···<il+1≤n il+1=n µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Ail ∩ Ail+1 )     Logo, µ   n ⋃ j=1 Aj   = n−1 ∑ k=1 (−1)k+1   ∑ 1≤i1<···<ik≤n−1 µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )   + µ(An) − n−1 ∑ l=1 (−1)l+1     ∑ 1≤i1<···<il+1≤n il+1=n µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Ail ∩ Ail+1 )     Fazendo-se a mudança de variáveis l → k − 1 na segunda somatória, obtemos µ   n ⋃ j=1 Aj   l→k−1 = n−1 ∑ k=1 (−1)k+1   ∑ 1≤i1<···<ik≤n−1 µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )   + µ(An) + n ∑ k=2 (−1)k+1    ∑ 1≤i1<···<ik≤n ik=n µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )    JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 24 1124/1730 O termo µ(An) pode ser absorvido na última somatória se a iniciarmos por k = 1 em lugar de k = 2. Portanto, µ   n ⋃ j=1 Aj   = n−1 ∑ k=1 (−1)k+1   ∑ 1≤i1<···<ik≤n−1 µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )  + n ∑ k=1 (−1)k+1    ∑ 1≤i1<···<ik≤n ik=n µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )    = n ∑ k=1 (−1)k+1   ∑ 1≤i1<···<ik≤n µ ( Ai1 ∩ · · · ∩ Aik )   , que é o que se desejava provar.