nc - cap22

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Antes de entrarmos nos detalhes tecnicos, gostarıamos de fazer uma pequena nota historica: originalmente, a demonstracao de existencia e unicidade de solucoes para EDOs se deve a Lindelof. Entretanto, o metodo que aplicaremos aqui para a sua demonstracao, fazendo uso explıcito do Teorema de Ponto Fixo de Banach, deve-se a Picard17. Esses trabalhos datam da decada de 90 do Seculo XIX.

No que segue procuraremos apresentar uma versao bastante geral do teorema sobre existencia e unicidade de solucoes para EDOs valido para equacoes definidas em espacos de Banach B. Consideremos, a saber, o seguinte tipo de equacao diferencial de primeira ordem x(t) = f(t, x(t)) , (2.28) onde t ∈ R e x : R → B representa uma funcao de uma variavel real assumindo valores em um espaco de Banach B. Acima, f : R × B → B e uma funcao de t ∈ R e x ∈ B sobre a qual suporemos certas hipoteses convenientes de continuidade etc.

O leitor deve ter em mente o caso em que B = R (ou B = C), quando a equacao acima representa uma equacao de primeira ordem de uma funcao real (complexa) desconhecida x(t), ou o caso em que B = Rn (ou B = Cn), quando a equacao acima representa um sistema de equacoes de primeira ordem de um vetor real (complexo) desconhecido de n

componentes: x(t) = (x1(t),, xn(t)). Tais sistemas foram discutidos no Capıtulo 8, pagina 356.

Um problema de valor inicial consiste de uma equacao diferencial ordinaria, como a dada acima, mais uma condicao inicial onde t0 ∈ R e x0 ∈ B sao dados. Com essa pequena definicao, estamos prontos para enunciar o teorema de existencia e unicidade de Picard-Lindelof:

Teorema 2.4 (Teorema de Picard-Lindelof. Existencia e unicidade de solucoes de EDO’s) Seja f : R×B → B nao-identicamente nula e contınua na regiao fechada para certos valores a > 0 e b > 0, onde ‖ · ‖ representa a norma do espaco de Banach B. Claro e que f e limitada em R. Seja c > 0 definida por

Suponha ainda que f seja Lipschitz-contınua em R com relacao ao seu segundo argumento, ou seja, existe uma constante k ≥ 0 tal que para todos (t, x) e (t, y) ∈ R valha

Entao, pelo menos no intervalo fechado [t0 − β, t0 + β], onde

o problema de valor inicial descrito pelas relacoes x(t) = f(t, x(t)) com x(t0) = x0 apresenta uma solucao, a qual e unica.

Uma condicao suficiente para que a condicao de Lipschitz acima se cumpra e que ∂yf(t, y) exista em todo R e la seja limitada, em cujo caso a constante de Lipschitz seria dada por k := sup

Antes de apresentarmos a demonstracao, gostarıamos de notar que existem diversos outros teoremas que garantem existencia e unicidade de solucao de problemas de valor inicial como os discutidos acima com condicoes distintas, mas eventualmente mais especıficas, sobre a funcao f. Para uma lista mais ampla de diversos teoremas sobre existencia e/ou

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 2 1069/1730 unicidade de solucao para EDOs, vide [3]. Na Secao 8.3, pagina 367, apresentamos exemplos de aplicacao do Teorema de Picard-Lindelof e exemplos nos quais o mesmo nao se aplica, tendo por consequencia a inexistencia ou nao-unicidade da solucao.

Descrevamos agora a tecnica a ser utilizada em nossa demonstracao. O primeiro passo consiste em convertermos a equacao diferencial (2.28) em uma equacao integral, definindo-se para isso uma transformacao T. Em seguida, sob as hipoteses do teorema, mostraremos que existe uma certa potencia da transformacao T, digamos Tm, m ≥ 1, tal que Tm e uma contracao. Feito isso, utilizando o Teorema de Ponto Fixo de Banach em sua versao generalizada (Proposicao 2.1, pagina 1057), concluiremos a existencia e a unicidade do ponto fixo para a transformacao T, o qual sera justamente a solucao de nosso problema. Faremos uso nessa demonstracao, de dois resultados previos, que escrevemos sob a forma de dois lemas. O primeiro deles, e a Proposicao 21.6, pagina 1012, que recordamos aqui.

Lema 2.1 Seja C([a, b], B) o espaco das funcoes contınuas definidas no compacto [a, b] ⊂ R assumindo valores no espaco e Banach B. Entao, C([a, b], B) e um espaco de Banach em relacao a metrica do supremo, definida por

Isso segue do Corolario 21.1, pagina 1025. A demonstracao e tambem identica a da Proposicao 21.6, pagina 1012, e nao precisa se repetida aqui. O segundo lema que utilizaremos e o seguinte.

Entao, C e um subespaco fechado de C([a, b], B). 2

Prova. Tudo o que precisamos fazer e mostrar que qualquer sequencia convergente (xn) de elementos de C converge para um x∗ que tambem esta em C (se voce nao entendeu a razao dessa afirmacao, confira a Proposicao 21.7 da pagina 1019, ou, equivalentemente, a Proposicao 23.1, pagina 101). De fato, como xn ∈ C para todo n ∈ N, temos

‖xn(t) − x0‖ ≤ κ, ∀t ∈ [a, b] . Ja que essa expressao nao depende de t, podemos escrever

Por outro lado, como por hipotese a sequencia (xn) converge para x∗, entao, dado ε > 0, existe Nε > 0 tal que para todo n > Nε vale: d∞(xn, x∗) ≤ ε . (2.36)

Vamos agora utilizar a desigualdade triangular:

onde, na ultima desigualdade, fizemos uso das relacoes (2.35) e (2.36). Uma vez que (2.37) e verdadeira para qualquer ε > 0, concluımos entao que

mostrando que x∗ tambem pertence a C.

Prova do Teorema 2.4. Seja J o intervalo [t0 − β, t0 + β] ⊂ R e considere o espaco C(J, B) das funcoes contınuas em J assumindo valores em B, dotado com a metrica do supremo. Considere ainda o subespaco C ⊂ C(J, B) formado pelo conjunto das funcoes x(t) tais que

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Pelo Lema 2.1, sabemos que C(J, B) e um espaco de Banach. Por outro lado, do Lema 2.2 vemos que o subespacoC e fechado em C(J, B). Logo, da Proposicao 21.7 da pagina 1019 (ou equivalentemente, da Proposicao 23.1, pagina

1101), concluımos imediatamente que C tambem e um espaco metrico completo. Essa e uma conclusao importante da qual faremos uso adiante.

Definamos agora uma transformacao T pela seguinte relacao:

Vamos mostrar que T e uma aplicacao que leva C em C, ou seja, T : C → C. De fato, para τ ∈ J e x(τ) ∈ C, como cβ ≤ b, concluımos de (2.30) que (τ, x(τ)) ∈ R. Logo a curva J ∋ τ 7→ (τ, x(τ)) ∈ R×B e contınua e esta inteiramente contida na regiao R, onde f e contınua por hipotese. Assim, J ∋ τ 7→ f(τ,x(τ)) ∈ B e contınua e a sua integral estara bem definida. Concluımos daı que T pode ser aplicada a funcoes de C. Agora vamos mostrar que Tx e novamente um elemento em C.

Utilizando a relacao (2.31) de limitacao da funcao f no retangulo R, tem-se para x ∈ C,

provando que Tx dista de x0 menos que cβ, uma das condicoes definidores do conjunto C. Resta-nos provar que Tx e contınua caso x ∈ C. Para tal, ja vimos que para x ∈ C fixo, J ∋ τ 7→ f(τ, x(τ)) ∈ B e igualmente contınua e, portanto, limitada, ou seja, existe Nx > 0 tal que ‖f(τ, x(τ))‖ ≤ Nx para todo τ ∈ J. Logo, para t, t′ ∈ J, com t′ ≥ t

Como o lado direito vai a zero para t → t′ provou-se que (Tx)(t) e contınua como funcao de t ∈ J. Assim, Tx ∈ C se x ∈ C.

Chegamos agora ao ponto crucial de nossa demonstracao. Observe que se x(t) ∈ C satisfaz o nosso problema de valor inicial (relacoes (2.28) e (2.29)), entao certamente x(t) pode ser escrita como

Para tal, procedemos como no tratamento da equacao integral de Volterra, pagina 1064, assumindo que a funcao f seja Lipschitz-contınua em relacao a segunda variavel, ou seja, que valha a condicao descrita em (2.32). Para t ∈ J, e

donde segue que (assumimos sem perda de generalidade que t ≥ t0)

Vamos agora provar por inducao que para todo n ∈ N tem-se

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Como ja vimos que isso e verdade para n = 1, assumamos que essa relacao e valida para um certo n generico. Entao,

o que prova (2.41) para todo n ∈ N e todo t ∈ J, por inducao. Assim, temos tambem que

Note-se agora que, para quaisquer k e β fixos, existe n grande o suficiente tal que [kβ] n! < 1. Assim, para um tal n, Tn sera uma contracao do espaco completo C e si mesmo. Nessas condicoes, podemos certamente evocar a versao generalizada do Teorema de Ponto Fixo de Banach fornecida pela Proposicao 2.1, pagina 1057, garantindo a existencia e a unicidade de x(t) ∈ C, satisfazendo (2.40). Mas isso implica justamente a existencia e unicidade de solucao em C(J, B) do problema de valor inicial considerado, demonstrando o Teorema 2.4.

No Capıtulo 8, especialmente na Secao 8.3.1, pagina 369 e seguintes, sao discutidos exemplos de equacoes diferenciais ordinarias que violam as condicoes do Teorema de Picard-Lindelof.

2.4.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelof. Solucoes Globais

Nesta sub-secao demonstraremos um teorema que fornece condicoes suficientes para a existencia de solucoes globais de problemas de valor inicial. O primeiro teorema abaixo e um resultado preparatorio que estende o Teorema de Picard- Lindelof, Teorema 2.4, pagina 1068.

Em toda esta secao, B denota um espaco de Banach com norma ‖ · ‖ e, para a > 0 e t0 ∈ R, denotamos por Fa,t ⊂ R × B a faixa de largura a centrada em t0 definida por

Teorema 2.5 Suponhamos que para um certo a > 0 e para t0 ∈ R tenhamos uma funcao f : Fa,t → B que seja contınua. Suponhamos tambem que f e Lipschitz-contınua em relacao a segunda variavel, ou seja, existe uma constante ka (denominada constante de Lipschitz) tal que para todos (t, y), (t, v) ∈ Fa,t vale ‖f(t, y) − f(t, v)‖ ≤ ka ‖y − v‖. Entao, para qualquer x0 ∈ B, o problema de valor inicial x(t) = f(t, x(t)) com x(t0) = x0 apresenta uma solucao unica valida para todo t ∈ [t0 − a, t0 + a].

Uma condicao suficiente para que a condicao de Lipschitz acima se cumpra e que ∂yf(t, y) exista em todo ponto de

Fa,t e la seja limitada, em cujo caso a constante de Lipschitz pode ser escolhida como ka := sup (t,y)∈F ‖∂yf(t, y)‖. 2

O leitor deve notar que esse teorema difere do Teorema de Picard-Lindelof primeiro na hipotese de que f seja Lipschitz- contınua em uma faixa infinita Fa,t de largura 2a centrada no instante inicial t0, e nao apenas em uma regiao compacta como o R do Teorema 2.4; segundo na conclusao, que afirma que a solucao existe em todo intervalo [t0 − a, t0 + a] e nao em um intervalo eventualmente menor.

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Prova. A demonstracao segue passos semelhantes aos da prova do Teorema de Picard-Lindelof. Seja J o intervalo fechado

[t0−a, t0+a]. Considere o espaco C(J, B) das funcoes contınuas em J assumindo valores em B, dotado com a metrica do supremo. Pelo Lema 2.1, sabemos que C(J, B) e um espaco de Banach. Como na prova do Teorema de Picard-Lindelof, definimos a transformacao

Vamos mostrar que T e uma aplicacao que leva C(J, B) em C(J, B). De fato, para τ ∈ J e x ∈ C(J, B) tem-se obviamente que (τ, x(τ)) ∈ Fa,t . Logo, a curva J ∋ τ 7→ (τ, x(τ)) ∈ R × B e contınua e esta inteiramente contida na regiao Fa,t , onde f e contınua por hipotese. Assim, J ∋ τ 7→ f(τ, x(τ)) ∈ B e contınua e a sua integral estara bem definida. Concluımos daı que T pode ser aplicada a funcoes de C(J, B). Agora vamos mostrar que Tx e novamente um elemento em C(J, B) e para tal e preciso provar que Tx e contınua caso x ∈ C(J, B). Para x ∈ C(J, B) fixo, vimos que

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