nc - cap22

nc - cap22

(Parte 3 de 7)

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 2 1060/1730

E. 2.4 Exercıcio-Exemplo. Usando o metodo de Newton determine um valor aproximado para √ 2 calculando o zero positivo de f(x) = x2 − 2. As iteracoes serao xn+1 = T(xn) com T(x) = x +2 2x . Que intervalo [a, b] e conveniente adotar?

O que ocorre proximo a x = 0 e por que?

Partindo-se, por exemplo, de x0 = 2 obtem-se os valores sucessivos 3/2, 17/12, 577/408. Esse ultimo valor aproxima √ 2 com um erro de 2 × 10−6. Note que esse procedimento fornece aproximacoes de √ 2 por numeros racionais. 6

E. 2.5 Exercıcio-Exemplo. Faca o mesmo para √ 3. 6

O metodo de Newton pode ser motivado geometricamente pela Figura 2.1. A linha reta que passa pelo ponto (xn, f(xn)) tangencia o grafico da funcao f. Sua inclinacao e, portanto, f′(xn). Assim, o ponto xn+1 indicado na figura vale xn+1 = xn − f(x ) f (x ) (verifique!). Repetindo-se o procedimento a partir do ponto xn+1 aproximamo-nos mais ainda do zero χ de f.

xnxn+1 f(x) f(x )n

Figura 2.1: Iteracao no metodo de Newton. O ponto χ e um zero de f. A linha reta tangencia o grafico de f no ponto (xn, f(xn)) e sua inclinacao e f′(xn). O ponto em que essa reta corta o eixo horizontal determina xn+1.

f(x )n

f(x)n+1
n+2f(x)

χ xn+1xn+2 f(x) arctan γ

Figura 2.2: Alternativa ao metodo de Newton. As linhas retas nao sao tangentes ao grafico de f, sao todas paralelas, todas com inclinacao fixa γ. Os pontos em que essas retas cortam o eixo horizontal sao os pontos da iteracao.

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 2 1061/1730

No metodo de Newton usual, a reta tangente tem uma inclinacao diferente a cada passo: f′(xn). Um metodo alternativo, por vezes denominado metodo de Newton simplificado, consiste em usar retas de inclinacao fixa, tal como na

Figura 2.2. Nessa situacao, o problema de determinar o zero χ de f equivale ao problema de ponto fixo x = T(x) com

E. 2.6 Exercıcio. Usando o Teorema de Ponto Fixo de Banach estude esse problema de ponto fixo e determine condicoes suficientes sobre a funcao f e sobre a inclinacao γ para garantir a existencia de um zero unico de f em um intervalo [a, b]. 6

O metodo de Newton simplificado, descrito acima, pode ser empregado mesmo em situacoes nas quais f nao e diferenciavel na regiao de interesse.

E. 2.7 Exercıcio-desafio. Generalize o metodo de Newton usando parabolas tangentes, ao inves de retas tangentes. Assuma, se o desejar, que a funcao f a ser considerada e ao menos duas vezes diferenciavel. 6

O metodo de Newton descrito acima pode ser generalizado para funcoes de Rn em Rn, mas nao trataremos disso aqui.

2.3 Aplicacao as Equacoes Integrais de Fredholm e de Volterra

No Capıtulo 15, pagina 715, introduzimos algumas equacoes integrais de interesse e discutimos alguns metodos de solucao. Na presente secao discutiremos metodos iterativos de solucao de dois tipos de equacoes integrais, as chamadas equacoes integrais de Fredholm11 de segundo tipo e as equacoes integrais de Volterra12 de segundo tipo. Ambas surgem em problemas de Fısica-Matematica (a equacao integral de Fredholm, por exemplo, surge no problema de Sturm-Liouville. Vide Capıtulo 14, pagina 670) e trataremos de exemplos de aplicacoes adiante. A razao de tratarmos das mesmas aqui esta na possibilidade de utilizarmos o Teorema de Ponto Fixo de Banach para estudar a existencia de solucoes. O mesmo teorema fornece, tambem neste caso, um poderoso metodo iterativo de solucao, de grande importancia pratica. Para uma introducao a teoria das equacoes integrais, vide tambem [151] e [196]. Para um tratamento extensivo da equacao integral de Volterra, vide [136].

Antes de tratarmos dessas equacoes integrais, vamos discutir uma condicao que usaremos adiante.

• A condicao de Lipschitz

Seja f : R → R uma funcao. f e dita satisfazer a condicao de Lipschitz13 em toda a reta real se existir uma constante M ≥ 0 tal que, para todos x e x′ em R tenhamos

Note que toda funcao que satisfaz a condicao de Lipschitz para algum M e necessariamente uma funcao contınua (por que?).

Para que uma funcao satisfaca a condicao de Lipschitz ha uma condicao suficiente que e util. Seja f : R → R uma funcao diferenciavel e tal que |f′(y)| ≤ M, para algum M ≥ 0 e para todo y ∈ R. Entao f satisfaz a condicao de Lipschitz. Para provar isso, notemos que, pelo teorema fundamental do calculo, vale

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 2 1062/1730

(Aqui tomamos x < x′, sem perda de generalidade).

E. 2.8 Exercıcio. Mostre que as funcoes sen e cos satisfazem a condicao de Lipschitz. Qual M pode ser adotado para ambas? 6

E. 2.9 Exercıcio. Mostre que a funcao f(y) = y2 nao pode satisfazer a condicao de Lipschitz em toda a reta real. Sugestao: |x2 − y2| ≤ M|x − y| implica |x + y| ≤ M para x 6= y. 6

E. 2.10 Exercıcio. Mostre que a funcao f(y) = y1/3 nao pode satisfazer a condicao de Lipschitz em toda a reta real. Sugestao: tome x′ = 0 e mostre que a relacao |x1/3| ≤ M|x| nao pode ser valida para todo x ∈ R com M ≥ 0 fixo qualquer. 6

Uma funcao que satisfaz a condicao de Lipschitz e dita ser Lipschitz-contınua. Para a demonstracao de resultados e muito util, por vezes, (veremos exemplos adiante) mostrar-se que uma funcao dada e Lipschitz-contınua.

A condicao discutida acima tem, alias, uma generalizacao da qual nao faremos uso aqui. Uma funcao f : R → R e dita ser Holder14-contınua se existirem M ≥ 0 e γ > 0 tais que para todos x e x′ em R valha

|f(x′) − f(x)| ≤ M|x′ − x|γ . A condicao de ser Lipschitz-contınua e o caso particular deste quando γ = 1.

• As equacoes integrais de Fredholm

Seja I o intervalo [a, b] da reta real (com a e b dados e a < b) e sejam duas funcoes f : I → R e K : I × I × R → R que consideraremos contınuas em seus domınios de definicao. Seja λ ∈ R, constante.

A chamada equacao integral de Fredholm de segundo tipo, ou simplesmente equacao integral de Fredholm, e a seguinte equacao integral:

Acima u : I → R e a funcao incognita. Note que K, que e chamada de nucleo da equacao integral, e uma funcao de tres variaveis e que a incognita u(y) aparece na posicao de seu terceiro argumento, dentro da integral.

Seja C0(I) a colecao de todas as funcoes contınuas de I em R. Ja vimos anteriormente (Proposicao 21.6, pagina 1012) que C0(I) e um espaco metrico completo em relacao a metrica onde h e l pertencem a C0(I). Seja T a aplicacao que leva C0(I) em si mesmo dada por

Note que se h e uma funcao contınua em I entao T(h) tambem e uma funcao contınua em I. A equacao integral de Fredholm pode ser entao entendida como a equacao de ponto fixo em C0(I) dada por

E natural, portanto, procurar condicoes que facam de T uma contracao no espaco metrico completo C0(I), pois assim poderemos evocar o Teorema de Ponto Fixo de Banach. E neste momento que a condicao de Lipschitz se faz util. Vamos supor que a funcao K satisfaca a condicao de Lipschitz para a terceira variavel: vamos supor que existe M ≥ 0 tal que

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 2 1063/1730

Entao, pelo menos no caso em que M(b − a) < 1, a aplicacao T e uma contracao em C0(I) com relacao a metrica d∞ dada. Para provar isso, usamos que, para duas funcoes h, l ∈ C0(I) temos donde tiramos que

Logo,

Assim, vimos que, sob as hipoteses acima, T e uma contracao se |λ| < 1/M(b − a). Essa condicao, se satisfeita, garante, pelo Teorema de Ponto Fixo de Banach, que ha uma e somente uma funcao u em C0(I) que e solucao da equacao integral de Fredholm. Com isso, a solucao pode ser aproximada (exponencialmente, na metrica d∞) partindo-se de qualquer u0 ∈ C0(I) atraves da sequencia iterada un = T(un−1), n ∈ N.

A condicao suficiente para termos contratividade M(b − a) < 1 e, em suma, uma condicao sobre a funcao K e sobre o intervalo I. Note-se que nao ha qualquer restricao a funcao f, alem da que seja contınua.

E. 2.1 Exercıcio. Mostre que a equacao integral de Fredholm

que a mesma e Lipschitz-contınua em relacao a z com M = 1/2. Para tal estude a derivada parcial de K em relacao a z e mostre que |∂zK(x, y, z)| ≤ 1/2 para todo x, y ∈ I e todo z ∈ R. 6

• As equacoes integrais de Volterra

A chamada equacao integral de Volterra de segundo tipo, ou simplesmente equacao integral de Volterra, e a seguinte equacao integral:

Acima u : I → R, I := [a, b] com b > a e a funcao incognita e f e K sao definidas tal como no caso das equacoes integrais de Fredholm. Note que K, que e chamada de nucleo da equacao integral, e uma funcao de tres variaveis e que a incognita u(y) aparece na posicao de seu terceiro argumento, dentro da integral. Note tambem que a equacao integral de Volterra difere da equacao integral de Fredholm pelo aparecimento de mais uma dependencia em x, a saber, no limite superior do intervalo de integracao.

(Parte 3 de 7)

Comentários