Engenharia de software Luís A. Alexandre UBI, 25 de Fevereiro de 2008

nc - cap31
(Parte 1 de 7)
Capıtulo 31
Introducao as Distribuicoes e Transformadas de Fourier
31.1 Funcoes de Schwartz e Funcoes de Teste | 1456 |
31.2 Transformadas de Fourier | 1465 |
31.2.1 Transformadas de Fourier no Espaco de Schwartz | 1467 |
31.2.1.1 A Transformada de Fourier de Funcoes Gaussianas | 1470 |
31.2.1.2 Invertibilidade da Transformada de Fourier no Epaco de Schwartz | 1473 |
31.2.1.3 Transformadas de Fourier, Produtos de Convolucao e Identidade de Plancherel | 1475 |
31.2.1.4 A Transformada de Fourier em L2(Rn, dx) e suas Propriedades Espectrais | 1477 |
31.2.2 Transformadas de Fourier. Topicos Suplementares | 1479 |
31.2.2.1 A Formula de Soma de Poisson | 1479 |
31.2.2.2 Transformadas de Fourier e Medias Angulares | 1483 |
31.3 Distribuicoes e Distribuicoes Temperadas | 1487 |
31.3.1 Primeiros Exemplos de Distribuicoes | 1489 |
31.3.2 Outros Exemplos de Distribuicoes | 1494 |
31.3.2.1 A Distribuicao Valor Principal | 1494 |
31.3.2.2 Distribuicoes do Tipo Parte Finita de Hadamard | 1496 |
31.3.3 Algumas Relacoes Uteis Envolvendo Distribuicoes | 1499 |
31.3.4 Derivadas de Distribuicoes | 1501 |
31.3.4.1 Alguns Exemplos de Derivadas de Distribuicoes | 1502 |
31.3.4.2 Calculo da Derivada de Algumas Distribuicoes de Interesse | 1503 |
31.3.5 Alguns Resultados Estruturais sobre Distribuicoes | 1505 |
31.3.6 Transformadas de Fourier de Distribuicoes Temperadas | 1506 |
31.3.6.1 Calculo de Transformadas de Fourier de Algumas Distribuicoes Temperadas | 1507 |
31.3.7 Produtos de Distribuicoes | 1509 |
31.3.7.1 Produto de Convolucao de Distribuicoes | 1514 |
31.4 Equacoes Diferenciais Distribucionais, Solucoes Fundamentais e Funcoes de Green | 1515 |
31.4.1 Solucoes Fundamentais | 1518 |
31.4.1.1 Solucoes Fundamentais como Funcoes Generalizadas | 1519 |
31.4.1.2 O Caso de Operadores Lineares a Coeficientes Constantes | 1521 |
31.4.1.3 Alguns Exemplos Fisicamente Relevantes | 1524 |
31.5 Exercıcios Adicionais | 1527 |
APENDICES | 1531 |
31.A Prova da Proposicao 31.14 | 1531 |
31.B Prova de (31.17) | 1534 |
Conteudo olocada no devido contexto a nocao de distribuicao e tao natural que parece ter sido descoberta, nao inventada. Em abstrato, uma distribuicao e um funcional linear contınuo em um certo espaco topologico que possua uma estrutura diferenciavel, mas por tras dessa abstracao encontram-se ideias muito simples, originarias do desejo (ou necessidade) de estender a nocao de funcao, ou melhor, a nocao intuitiva de densidade, de modo a incluir, por exemplo, densidades concentradas em pontos (e outros conjuntos de medida nula), permitindo ainda o emprego de pelo menos parte da estrutura do calculo diferencial.
A nocao de distribuicao, foi introduzida em 1935 por Sobolev1 sob o nome de “funcao generalizada” e foi estudada sistematicamente por Schwartz2 a partir de 1948. Essa nocao desempenha um papel central em toda discussao moderna

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1456/1730 sobre a teoria das equacoes diferenciais (lineares, ao menos). As ideias fısicas e matematicas subjacentes a teoria das distribuicoes originam-se dos trabalhos de Green3, Heaviside4, Dirac5, Weil6 e possivelmente muitos outros.
Como a teoria das distribuicoes e intimamente ligada a teoria das transformadas de Fourier, dedicamos a Secao 31.2, pagina 1465, ao seu estudo.
Introduziremos a nocao de distribuicao em Rn apos alguma preparacao breve. Em seguida trataremos de alguns exemplos. Apos isso, discutiremos a nocao de derivada de uma distribuicoes para entao discutirmos equacoes diferenciais distribucionais. Isso nos remetera ao metodo da funcao de Green.
Para uma introducao pedagogica e rica em exemplos a Teoria das Distribuicoes, vide [24]. Para um tratamento de nıvel intermediario, vide [152]. Uma introducao acessıvel (direcionada a aplicacoes na Teoria Quantica de Campos) pode ser encontrada nos primeiros capıtulos de [184]. Para um texto classico, vide [171]. Para textos mais avancados, vide [64] ou [95].
Omitiremos na presente versao o tratamento da nocao de produto de distribuicoes, de conjuntos de frente de onda e outros itens proprios a uma discussao mais avancada. Tambem com o intuito de manter a discussao tao simples quanto possıvel, omitiremos quase toda a discussao topologica sobre a natureza das distribuicoes no contexto da teoria dos espacos localmente convexos. Para isso remetemos o estudante interessado aos textos supracitados.
31.1 Funcoes de Schwartz e Funcoes de Teste
• Funcoes infinitamente diferenciaveis em Rn
Diz-se que uma funcao7 f : Rn → C, e infinitamente diferenciavel em um domınio aberto Ω ⊂ Rn se for contınua em Ω e se todas suas as suas derivadas parciais de ordem finita existirem e forem contınuas em Ω, ou seja, se existirem
e forem contınuas para todo (x1, | , xn) ∈ Ω as funcoes ∂ f |
(x1, | , xn) para todos α1, ..., αn ∈ N0, sendo |

O estudante deve ser alertado a nao confundir a nocao de diferenciabilidade infinita com a de analiticidade. Por exemplo, a funcao f : R → R definida por
e infinitamente diferenciavel, enquanto funcao da variavel real x, mas nao e analıtica em x = 0. A funcao de uma variavel complexa z = x + iy definida por g(z) = e− possui uma singularidade essencial em z = 0. Para z = x ∈ R, x 6= 0, g e identica a f, mas para z = iy, y ∈ R, y 6= 0, tem-se g(iy) = e + que diverge para y → 0.
O conjunto de de todas as funcoes infinitamente diferenciaveis e frequentemente denotado por C∞(Ω). E facil constatar que C∞(Ω) e um espaco vetorial: combinacoes lineares finitas de funcoes infinitamente diferenciaveis produzem novamente funcoes infinitamente diferenciaveis.
• O espaco de Schwartz em R
O conjunto C∞(R) das funcoes infinitamente diferenciaveis definidas em R e assumindo valores em C possui um subconjunto que merece particular atencao. Trata-se do conjunto das funcoes de C∞(R) que, assim como suas derivadas, decaem a zero no infinito mais rapido do que qualquer polinomio, ou seja, e o conjunto das funcoes f : R → C tais que

3George Green (1793–1841). 4Oliver Heaviside (1850–1925). 5Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984). 6Andre Weil (1906–1998). 7Em toda a presente secao trataremos, salvo mencao explıcita, de funcoes que assumem valores complexos, mas o tratamento de funcoes que assumem valores reais e identico, com resultados identicos.
JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1457/1730 para todo polinomio p e todo q ∈ N0. E facil ver que essa condicao equivale a condicao
lim para todo m ∈ N0 e todo q ∈ N0.
E um exercıcio elementar provar que o conjunto das funcoes com a propriedade (31.1) e um espaco vetorial, ou seja, se f e g satisfazem (31.1) para todo polinomio p e todo q ∈ N0, entao para todos os numeros complexos α e β a funcao αf + βg tambem satisfaz (31.1) para todo polinomio p e todo q ∈ N0. Esse espaco vetorial e denominado espaco de Schwartz em R e e denotado por S(R).
Funcoes como e−x , sen(x)e−2x
E. 31.1 Exercıcio. Para a > 0, fixo, considere a funcao
Mostre que ha e uma funcao de Schwartz em R: ha ∈ S(R), a > 0. 6
• Convergencia no espaco S(R)
Devido a propriedade (31.1), vale para toda funcao f ∈ S(R) que as quantidades definidas para cada m e q ∈ N0 por
sao finitas e anulam-se todas se e somente se f for identicamente igual a zero.
Esse fato permite introduzir uma nocao de convergencia no espaco S(R). Dizemos que uma sequencia de funcoes fk ∈ S(R), k ∈ N, converge a uma funcao f ∈ S(R) se lim k→∞ ‖fk − f‖m,q = 0 para todos m e q ∈ N0. Essas ideias de convergencia podem ser aprofundadas atraves da introducao de nocoes topologicas apropriadas (introduzindo as nocoes de espaco localmente convexo e de espaco de Frechet8), mas aqui iremos nos limitar a uma discussao elementar. Vide referencias citadas no inıcio do presente capıtulo.
Vamos agora indicar como o espaco S(R) generaliza-se em mais dimensoes. Para tal faremos uso da notacao de multi-ındices. introduzida a pagina 598.
• O espaco de Schwartz em R n
O conjunto C∞(Rn) das funcoes infinitamente diferenciaveis definidas em Rn e assumindo valores em C possui um subconjunto que merece particular atencao. Trata-se do conjunto das funcoes de C∞(Rn) que, assim como suas derivadas, decaem a zero no infinito mais rapido do que qualquer polinomio, ou seja, e o conjunto das funcoes f : Rn → C tais que
para todo polinomio p(x) ≡ p(x1, | , xn) e todo multi-ındice β. Acima ‖x‖ = √ |
facil ver que essa condicao equivale a condicao
para todo m ∈ N0 e todo multi-ındice β.
E um exercıcio elementar provar que o conjunto das funcoes com a propriedade (31.4) e um espaco vetorial, ou seja, se f e g satisfazem (31.4) para todo polinomio p e todo multi-ındice β, entao para todos os numeros complexos a e b a funcao af + ag tambem satisfaz (31.1) para todo polinomio p e todo multi-ındice β. Esse espaco vetorial e denominado espaco de Schwartz em Rn e e denotado por S(Rn).
JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1458/1730
• Convergencia no espaco S(Rn)
Devido a propriedade (31.4), vale para toda funcao f ∈ S(Rn) que as quantidades definidas para cada m ∈ N0 e cada multi-ındice β por
sao finitas e anulam-se todas se e somente se f for identicamente igual a zero.
Esse fato permite introduzir uma nocao de convergencia no espaco S(Rn). Dizemos que uma sequencia de funcoes fk ∈ S(Rn), k ∈ N, converge a uma funcao f ∈ S(Rn) se lim k→∞ ‖fk − f‖m,β = 0 para todos m ∈ N0 e multi-ındice β.
Como no caso do espaco S(R), comentamos que essa nocao de convergencia nos espacos S(Rn) esta ligada a nocoes topologicas mais profundas, mas aqui iremos nos limitar a uma discussao elementar.
• Uma desigualdade util
Devido a definicao (31.6) vale, para cada q ∈ N0, e cada multi-ındice β, a desigualdade (1 + ‖x‖)q|Dβf(x)| ≤ ‖f‖q,β para todo x ∈ Rn, o que implica
para todo x ∈ Rn. Usaremos a desigualdade (31.7) de diversas formas no que segue.
• Funcoes infinitamente diferenciaveis de suporte compacto
Define-se o suporte de uma funcao f : Rn → R ou f : Rn → C, denotado por suppf, como sendo o fecho do conjunto de todos os pontos onde f nao se anula:
(a barra horizontal denota o fecho do conjunto).
Funcoes que sejam infinitamente diferenciaveis e tenham suporte compacto sao importantes na Teoria das Distribuicoes. Um exemplo de uma funcao desse tipo e a funcao
onde −∞ < a < b < ∞. O suporte dessa funcao e [a, b], um conjunto compacto, e a mesma e infinitamente diferenciavel (verifique!). Outro exemplo e a funcao
para 0 < α < β < ∞. Observe que o suporte dessa funcao e o intervalo [−β, β], que a funcao g e igual a 1 no intervalo [−α, α] (um subconjunto proprio de [−β, β]).
E. 31.2 Exercıcio. Prove que a funcao g definida em (31.9) satisfaz 0 ≤ g ≤ 1 em toda a reta R.
no intervalo α < x < β. 6
JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1459/1730
E. 31.3 Exercıcio. Desenhe os graficos das funcoes f e g de (31.8) e (31.9), acima. Prove que as mesmas sao infinitamente diferenciaveis.
Sugestao: no caso da funcao f mostre que as derivadas de funcoes como exp( − 1 sao sempre da forma exp( − 1
vezes um polinomio em 1 (x−a). Esse polinomio diverge quando x → a mas o fator exponencial exp( − 1 (x−a) ) vai a zero mais rapidamente. Para g tem-se algo analogo. 6
O conjunto de de todas as funcoes infinitamente diferenciaveis de suporte compacto definidas em Rn e frequentemente denotado por C∞0 (Rn).
E facil constatar que o conjunto de todas funcoes infinitamente diferenciaveis em Rn de suporte compacto forma um espaco vetorial: combinacoes lineares finitas de funcoes infinitamente diferenciaveis de suporte compacto produzem novamente funcoes infinitamente diferenciaveis de suporte compacto. Esse espaco vetorial e frequentemente denotado por
C∞0 (Rn) ou por D(Rn). Os elementos de D(Rn), ou seja, as infinitamente diferenciaveis em Rn de suporte compacto, sao frequentemente denominadas funcoes de teste9.
E bastante claro pela definicao que D(Rn) ⊂ S(Rn).
As funcoes do espaco de Schwartz S(Rn) possuem uma propriedade que nao e compartilhada pelas funcoes de D(Rn): a transformada de Fourier de uma funcao de S(Rn) e novamente uma funcao de S(Rn). Esse fato e muito importante em certos desenvolvimentos.
• Convergencia no espaco D(Rn)
E tambem possıvel introduzir uma nocao de convergencia em D(Rn). Dizemos que uma sequencia ϕk, k ∈ N, de funcoes de D(Rn) converge a uma funcao ϕ de D(Rn) se as seguintes condicoes forem satisfeitas: 1. existe um conjunto compacto K ⊂ Rn tal que para todo k ∈ N grande o suficiente o suporte da diferenca ϕk − ϕ esta contido dentro de K; 2. para todo multi-ındice β a diferenca Dβϕk −Dβϕ converge uniformemente a funcao nula em K, o que equivale a dizer
que lim k→∞ sup
Por exemplo, a sequencia de funcoes de D(R) dada por
k ∈ N, converge a funcao nula no sentido de convergencia do espaco D(R), definido acima, mas a sequencia de funcoes de D(R) dada por
k ∈ N, nao converge a funcao nula no sentido de convergencia do espaco D(R), definido acima (pois a condicao 1 e violada).
O estudante deve observar, porem, que tanto a sequencia 1ϕk quanto a sequencia 2ϕk convergem a funcao nula no sentido de convergencia definido no espaco de Schwartz S (R). Vide Exercıcio E. 31.4. Esses exemplos mostram que as nocoes de convergencia no sentido do espaco S (R) e no sentido do espaco D(R) sao diferentes.
9Infelizmente alguns autores tambem denominam funcoes de teste as funcoes de S(Rn).
JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1460/1730 E. 31.5 Exercıcio. Mostre que a sequencia de funcoes de D(R) definidas por
k ∈ N, nao converge a funcao nula no sentido de convergencia do espaco D(R) e nao converge a funcao nula no sentido de convergencia do espaco S(R). 6
Como no caso do espaco S(Rn), comentamos que a nocao de convergencia nos espacos D(Rn) esta associada a nocoes topologicas mais profundas, mas aqui iremos nos limitar a uma discussao elementar. Vide referencias citadas no inıcio da presente secao.
Importante nessa discussao e a seguinte afirmacao:
Proposicao 31.1 Se ϕk e uma sequencia de elementos de D(Rn) que converge a uma funcao ϕ ∈ D(Rn) no sentido de convergencia de D(Rn), entao ϕk tambem converge a ϕ no sentido de convergencia de S(Rn). 2
O exemplo da sequencia 2ϕk de (31.10), acima, mostra que a recıproca da afirmacao dessa proposicao nao e verdadeira, pois 2ϕk converge a funcao nula segundo S(R) mas nao segundo D(R) (vide Exercıcio E. 31.4).
Prova da Proposicao 31.1. Considere-se uma sequencia ϕk de elementos de D(Rn) que converge a uma funcao ϕ ∈ D(Rn) no sentido de convergencia de D(Rn). Entao, existe um compacto K ⊂ Rn tal que ϕk − ϕ tem suporte contido em K para todo k grande o suficiente. Para tais k’s e para valera
sendo m ∈ N0 e β um multi-ındice, ambos arbitrarios. O fator sup{ e independente do ındice k. Ja o fator sup
Dβϕk converge uniformemente a Dβϕ. Isso provou que lim k→∞ ‖ϕk − ϕ‖m,β = 0 para todo m ∈ N0 e todo multi-ındice β, estabelecendo que ϕk tambem converge a ϕ no sentido de convergencia de S(Rn).
• Uma proposicao util
A proposicao a seguir sera usada no que segue, por exemplo na discussao sobre a transformada de Fourier no espaco de Schwartz.
Proposicao 31.2 Se f ∈ S(Rn) satisfaz f(a) = 0 para algum a = (a1, | , an) ∈ Rn, entao f pode ser escrita na |
k=1 (xk − ak)fk(x), onde as funcoes fk sao tambem elementos de S(Rn). 2
Prova. Pelo Corolario 30.2, pagina 1403, sabemos que podemos escrever
JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1461/1730 onde as funcoes hk sao infinitamente diferenciaveis. Isso nao implica, todavia, que sejam funcoes de Schwartz. Sabemos, por outro lado, que as funcoes gk definidas por gk(x) := f(x) (xk − ak)
‖x − a‖2 sao infinitamente diferenciaveis exceto em x = a, e decaem, assim como suas derivadas, mais rapido que qualquer polinomio em x, pois f o faz. Fora isso, vale
Seja agora uma funcao infinitamente diferenciavel e de suporte compacto χ escolhida de modo que χ(x) = 1 para todo x em uma vizinhanca de a. Um exemplo seria a funcao χ(x) = g(‖x − a‖2) , onde g e a funcao definida em (31.9).
Defina-se para cada k
Como comentamos acima, gk so nao e diferenciavel em x = a, mas 1 − χ anula-se em uma vizinhanca de a. No suporte de 1 − χ as funcoes gk decaem, assim como suas derivadas, mais rapido que qualquer polinomio em x. Assim, o produto (1 − χ)gk e uma funcao de Schwartz. Ja hk e infinitamente diferenciavel e o produto χ(x)hk(x) e infinitamente diferenciavel e de suporte compacto sendo, portanto, uma funcao de Schwartz. Isso provou que as funcoes fk sao de Schwartz. Note-se agora que
completando a prova.
Sejam a1, | , aN funcoes infinitamente diferenciaveis em Rn e sejam α1, ..., αN multi-ındices distintos. A |
• Operadores diferenciais lineares em D(Rn) expressao que a cada ϕ ∈ D(Rn) associa uma funcao Lϕ ∈ D(Rn) dada por
define um operador diferencial linear em D(Rn). Simbolicamente denotamos o operador diferencial linear L por
Podemos definir, o chamado operador diferencial linear dual de L, denotado por LT como sendo o operador diferencial linear que a cada ϕ ∈ D(Rn) associa uma funcao LTϕ ∈ D(Rn) dada por
E importante notar que, com as definicoes de acima, vale para todas as funcoes ϕ, ψ ∈ D(Rn) a seguinte relacao:∫
(Verifique! Sugestao: integracao por partes). A validade dessa relacao e a razao de ser da definicao do operador dual LT. Simbolicamente denotamos o operador diferencial linear LT por
JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 31 1462/1730 onde o sımbolo “⋆” indica a posicao ocupada pela funcao de D(Rn) sobre a qual LT atua.
Operadores diferenciais lineares podem ser definidos em S (Rn) sob condicoes mais restritivas. Para descreve-los precisamos introduzir a nocao de funcao de crescimento polinomialmente limitado.
(Parte 1 de 7)