Solução de Equações Diferenciais Não-Lineares: Equações de Bernoulli e Riccati, Notas de estudo de Física

Baixe Solução de Equações Diferenciais Não-Lineares: Equações de Bernoulli e Riccati e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Caṕıtulo 9 Alguns Métodos de Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias Conteúdo 9.1 Solução de Equações Ordinárias Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . 377 9.2 As Equações de Bernoulli e de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 9.3 Integração de Equações Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 9.4 O Método de Variação de Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 9.5 O Método de Substituição de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 9.6 O Método de Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 9.7 Solução de Equações Exatas e o Método dos Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . 385 9.8 Soluções das Equações de D’Alembert-Lagrange e Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 O problema de encontrar métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias tem cativado a imaginação einstigado a engenhosidade de gerações de cientistas e matemáticos. Muitas informações sobre o comportamentode soluções de equações diferenciais ordinárias podem ser obtidas sem que essas soluções sejam conhecidasexplicitamente, mas esse conhecimento expĺıcito é muitas vezes desejável, pois assim o poder de previsão de teorias e modelos torna-se evidentemente maior. Neste caṕıtulo apresentaremos algumas das diversas situações felizes nas quais métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias foram encontrados. Todos os métodos apresentados têm sua validade e sua eficácia limitadas a certas classes de equações. No Caṕıtulo 11, página 467, desenvolveremos com bastante detalhe métodos de solução de equações lineares baseados em expansões, a saber, o método de expansão em séries de potências e o método de Frobenius, válidos para equações diferenciais lineares gozando de certas propriedades de analiticidade. Com o propósito de centrar a discussão nos métodos de solução, não trataremos aqui de questões relativas à continuidade de soluções em relação a parâmetros e condições iniciais e ao domı́nio de validade de soluções. Essas questões são discutidas na Seção 8.3, página 367. Métodos iterativos, perturbativos ou numéricos também não serão discutidos neste caṕıtulo. Dada a profusão de métodos de solução de equações diferenciais (uma ciência que se desenvolve já há mais de trezentos anos!), nossa apresentação será, reconhecidamente, limitada. Para um texto introdutório sobre equações diferenciais ordinárias centrado em métodos de solução, vide [22]. 9.1 Solução de Equações Ordinárias Lineares de Primeira Or- dem Equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem são particularmente interessantes pois, sob hipóteses simples, é posśıvel apresentar soluções gerais para as mesmas e de modo relativamente fácil. Infelizmente a mesma facilidade não é encontrada para o caso das equações diferenciais lineares de ordem dois ou maior. Considere-se a equação diferencial ordinária linear de primeira ordem ẏ(t) + a(t)y(t) = b(t) , (9.1) para funções a e b : R → C, cont́ınuas. Vamos mostrar como resolver uma tal equação. Para tal, defina-se p(t) := exp (∫ t 0 a(τ)dτ ) . Multiplicando-se (9.1) por p(t) e usando o fato que ṗ(t) = a(t)p(t), teremos d dt [p(t)y(t)] = p(t)b(t) , 377 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 9 378/1730 donde conclui-se que y(t) = 1 p(t) ( y(0) + ∫ t 0 p(s)b(s) ds ) = p(t)−1y(0) + ∫ t 0 ( p(t)−1p(s) ) b(s) ds . (9.2) E. 9.1 Exerćıcio. Complete os detalhes. 6 Essa expressão representa a solução geral de (9.1), a qual depende do valor de y(0), a ser especificado (condição inicial). E. 9.2 Exerćıcio. A solução (9.2) é da forma (8.10), pois p(t)−1 é solução da equação homogênea ẏ(t) + a(t)y(t) = 0 enquanto que p(t)−1 ∫ t 0 b(τ)p(τ) dτ é solução particular da equação não-homogênea (9.1). Verifique essas afirmações. 6 Naturalmente, para o cálculo expĺıcito de y é necessário calcular a integral ∫ t 0 a(τ)dτ que aparece na definição de p, assim como, numa segunda etapa, a integral ∫ t 0 b(τ)p(τ)dτ . Como essas funções são conhecidas, isso pode ser posśıvel, em prinćıpio, mas nem sempre obtem-se fórmulas expĺıcitas para as mencionadas integrais. Ainda assim, (9.2) representa a solução completa do problema. Na pior das hipóteses as integrais mencionadas podem ser calculadas numericamente de modo aproximado. A solução (9.2) de (9.1) pode ser reobtida com o método dos fatores integrantes, tal como descrito no Exemplo 9.3, página 387. 9.2 As Equações de Bernoulli e de Riccati • A equação de Bernoulli Para a e b : R → C, ambas cont́ınuas, a equação diferencial ordinária não-linear homogênea de primeira ordem ẏ(t) + a(t)y(t) + b(t)y(t)2 = 0 (9.3) é denominada equação de Bernoulli1. Apesar desta equação ser um dos representantes mais simples da classe das equações diferenciais não-lineares, a não-linearidade da mesma não acrescenta nenhuma barreira à sua solubilidade, pois a simples substituição y(t) = 1/v(t) conduz à equação v̇(t) − a(t)v(t) − b(t) = 0 que é linear e tem por solução (vide acima) v(t) = 1 p(t) ( v(0) + ∫ t 0 b(τ)p(τ) dτ ) , onde p(t) := exp ( − ∫ t 0 a(τ) dτ ) . Portanto, a solução geral de (9.3) é y(t) = p(t) ( v(0) + ∫ t 0 b(τ)p(τ) dτ ) . E. 9.3 Exerćıcio. Complete os detalhes. 6 1Jacob Bernoulli (1654–1705). Vide nota histórica à página 380. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 9 381/1730 Logo, ddxA ( y(x) ) = B′(x) e, portanto, A ( y(x) ) = B(x) + c, c sendo uma constante. Como B(x0) = 0, segue que c = A(y0) = 0 (caso y(x0) = y0) e, conseqüentemente, A(y(x)) = B(x) Se a função A possuir uma inversa em algum aberto em torno de y0, teremos y(x) = A−1 ( B(x) ) (9.8) como solução de (9.7) (com a condição inicial y(x0) = y0) em um aberto em torno de x0. É interessante notar que, pelo Teorema da Função Inversa4, A é inverśıvel em um aberto torno de y0 se A ′ for cont́ınua e A′(y0) 6= 0. Assim, a condição 1g(y0) 6= 0 garante a existência da solução y dada em (9.8) para uma vizinhança de x0. E. 9.8 Exerćıcio. Determine a solução de y′(x) = 3x7 − 5x2 − 1 1 + y2 , com y(0) = 0. 6 E. 9.9 Exerćıcio. Determine a solução de y′(x) = (1 + x2) cos(y(x)) , com y(0) = y0. Estude os vários casos. 6 9.4 O Método de Variação de Constantes Seja a equação linear não-homogênea y′′(x) + a(x)y′(x) + b(x)y(x) = f(x) , (9.9) definida em um certo intervalo aberto I ⊂ R, com f cont́ınua por partes, e vamos supor que sejam conhecidas duas soluções independentes y1 e y2 da equação homogênea y ′′(x) + a(x)y′(x) + b(x)y(x) = 0. O método de variação de constantes consiste em determinar funções v1 e v2 tais que a combinação yv(x) = v1(x)y1(x) + v2(x)y2(x) , (9.10) seja solução da equação não-homogênea (9.9). A denominação do método como de “variação de constantes”, uma contradição em termos, provém do fato de que, como é bem sabido, a solução geral da equação homogênea é v1y1(x) + v2y2(x) para v1 e v2 constantes. Substituindo (9.10) em (9.9), e usando as hipóteses que y′′1 + ay ′ 1 + by1 = 0 e y ′′ 2 + ay ′ 2 + by2 = 0, obtem-se [v′1y1 + v ′ 2y2] ′ + a[v′1y1 + v ′ 2y2] + [v ′ 1y ′ 1 + v ′ 2y ′ 2] = f . (9.11) E. 9.10 Exerćıcio. Complete os detalhes que levam à última expressão. 6 Para determinar as duas funções v1 e v2 é preciso acrescentar mais uma equação diferencial envolvendo ambas as funções. A escolha dessa equação extra é essencialmente arbitrária, mas uma análise de (9.11) mostra ser muito conveniente impor a relação v′1y1 + v ′ 2y2 = 0 pois a expressão v ′ 1y1 + v ′ 2y2 aparece nos dois primeiros termos. Com isso, chegamos ao sistema de equações v′1y1 + v ′ 2y2 = 0 , v′1y ′ 1 + v ′ 2y ′ 2 = f , 4Vide Seção 22.5, página 1075, ou qualquer bom livro de Cálculo de funções de várias variáveis, por exemplo, [39, 126, 127]. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 9 382/1730 que são equações algébricas para v′1 e v ′ 2, fornecendo v′1 = − y2f y1y′2 − y′1y2 , v′2 = + y1f y1y′2 − y′1y2 , cujas soluções são v1(x) = − ∫ x x0 y2(s)f(s) y1(s)y′2(s) − y′1(s)y2(s) ds + c1 , v2(x) = + ∫ x x0 y1(s)f(s) y1(s)y′2(s) − y′1(s)y2(s) ds + c2 , sendo x0 ∈ I e c1, c2 duas constantes de integração. A expressão Wy1, y2(x) := y1(x)y′2(x) − y′1(x)y2(x) é denominada determinante Wronskiano5 e não se anula pois, por hipótese, y1 e y2 são independentes. Assim, a solução procurada yv(x) = v1(x)y1(x) + v2(x)y2(x) tem a forma yv(x) = [c1y1(x) + c2y2(x)] + ∫ x x0 ( y1(s)y2(x) − y1(x)y2(s) y1(s)y′2(s) − y′1(s)y2(s) ) f(s) ds = [c1y1(x) + c2y2(x)] + ∫ x x0 ( y1(s)y2(x) − y1(x)y2(s) Wy1, y2(s) ) f(s) ds , para um ponto x0 ∈ I arbitrário e constantes arbitrárias c1 e c2 a serem fixadas por condições iniciais em x0. O estudante deve observar que o termo [· · · ] da última expressão acima é uma solução da equação homogênea e o último é uma solução particular da equação não-homogênea. Uma observação simples permite reescrever a última expressão de uma forma por vezes mais conveniente. Se a é cont́ınua por partes, é fácil constatar que d ds ( Wy1, y2(s) exp (∫ s x0 a(τ) dτ )) = [ [ y′′2 (s) + a(s)y ′ 2(s) + b(s)y2(s) ] y1(s) − [ y′′1 (s) + a(s)y ′ 1(s) + b(s)y1(s) ] y2(s) ] exp (∫ s x0 a(τ) dτ ) = 0 , pois y1 e y2 são soluções da equação homogênea. Com isso, conclúımos que Wy1, y2(s) = Wy1, y2(x0) exp ( − ∫ s x0 a(τ) dτ ) . Sempre podemos escolher as funções y1 e y2 de forma que satisfaçam y1(x0) = 1, y ′ 1(x0) = 0, y2(x0) = 0, y ′ 2(x0) = 1. Nesse caso Wy1, y2(x0) = 1 e conclúımos que yv(x) = [c1y1(x) + c2y2(x)] + ∫ x x0 exp (∫ s x0 a(τ) dτ ) ( y1(s)y2(x) − y1(x)y2(s) ) f(s) ds . Com essas escolhas, é fácil ver que yv(x0) = c1 e y ′ v(x0) = c2. No Caṕıtulo 10, página 393, o método de variação de constantes será reencontrado por outros caminhos e será tratado com mais generalidade, de modo a também incluir equações de ordem n e não apenas de segunda ordem, como fizemos acima. 9.5 O Método de Substituição de Prüfer Esse elegante método aplica-se à solução de certas equações diferenciais ordinárias e lineares e homogêneas de segunda ordem da forma ( p(x)y′(x) ) ′ + q(x)y(x) = 0 , (9.12) 5Conde Josef Hoëné de Wronski (1778–1853). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 9 383/1730 para x ∈ [a, b] ⊂ R, sendo p cont́ınua e diferenciável, p(x) > 0 e q cont́ınua. O chamado método de substituição de Prüfer6 consiste em definir duas novas funções ρ e θ por y(x) = ρ(x) sen (θ(x)) , p(x)y′(x) = ρ(x) cos(θ(x)) (9.13) e transformar o problema de resolver a equação diferencial de segunda ordem para y no problema de resolver um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem para ρ e θ. Como o leitor pode perceber, a mudança acima pode ser interpretada como a passagem a coordenadas polares no espaço de fase bidimensional definido por (y(x), p(x)y′(x)). Obtemos o sistema equações para ρ e θ da seguinte forma. Em primeiro lugar, observamos que diferenciando a equação do lado esquerdo de (9.13), tem-se y′(x) = ρ′(x) sen (θ(x)) + ρ(x) cos(θ(x))θ′(x) . Multiplicando-se por p e usando a equação do lado direito de (9.13), obtemos ρ′(x)p(x) sen (θ(x)) + ρ(x)p(x) cos(θ(x))θ′(x) = ρ(x) cos(θ(x)) . Em segundo lugar, inserindo-se a equação do lado direito de (9.13) em (9.12), tem-se ρ′(x) cos(θ(x)) − ρ(x) sen (θ(x))θ′(x) = −q(x)ρ(x) sen (θ(x)) . Dessas duas últimas igualdades podemos facilmente obter ρ′ e θ′: θ′(x) = q(x) ( sen (θ(x)) )2 + 1 p(x) ( cos(θ(x)) )2 , (9.14) ρ′(x) = ρ(x) 2 ( 1 p(x) − q(x) ) sen (2θ(x)) , (9.15) E. 9.11 Exerćıcio. Verifique! 6 Esse é o sistema de equações procurado. Um aspecto notável do mesmo é que a primeira equação envolve apenas θ. Se for posśıvel resolver essa equação, obtendo a função θ(x), a solução da segunda equação seria ρ(x) = ρ(a) exp ( 1 2 ∫ x a ( 1 p(y) − q(y) ) sen (2θ(y)) dy ) , (9.16) e, pela primeira equação de (9.13), teŕıamos a solução y(x) = ρ(a) exp ( 1 2 ∫ x a ( 1 p(y) − q(y) ) sen (2θ(y)) dy ) sen (θ(x)) . Uma feliz situação particular na qual a equação para θ pode ser resolvida facilmente é aquela na qual 1p(x) = q(x), em cujo caso ficamos com θ′(x) = q(x), ρ′(x) = 0, ou seja, θ(x) = θ(a) + ∫ x a q(y) dy , ρ(x) = ρ(a) . Assim, teŕıamos pela primeira equação de (9.13) a solução geral y(x) = c1 sen (∫ x a q(y) dy + c2 ) , para duas constantes c1 e c2 (aqui, c1 ≡ ρ(a) e c2 ≡ θ(a)). E. 9.12 Exerćıcio. Resolva a equação do oscilador harmônico simples ẍ + ω20x = 0 usando o método acima. Sugestão: reescreva a equação tomando p(x) = ω−10 e q(x) = ω0. 6 6Ernst Paul Heinz Prüfer (1896–1934). A referência para trabalho de Prüfer é H. Prüfer, “Neue Herleitung der Sturm-Liouvilleschen Reihenentwicklung stetiger Funktionen”. Math. Ann., 95, 499-518 (1926). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 9 386/1730 Dessa forma, conclúımos que a solução da equação (9.18) é a solução da equação impĺıcita U(x, y(x)) = U0 , caso essa exista. Aqui U0 é uma constante. Se estivermos interessados na condição inicial y(x0) = y0, para (x0, y0) ∈ D, teremos U0 = U(x0, y0). Pelo Teorema da Função Impĺıcita 7, a equação U(x, y(x)) = U(x0, y0) terá uma solução y(x) em uma vizinhança de x0 satisfazendo y(x0) = y0 se U for cont́ınua e diferenciável em torno de (x0, y0) e se ∂U ∂x2 (x0, y0) 6= 0, ou seja, se A2(x0, y0) 6= 0. E. 9.14 Exerćıcio. Mostre que a equação diferencial (3x2 − y(x)2 − 7) − (ey(x) + 2xy(x) + 1)y′(x) = 0 é exata e mostre que suas soluções são soluções da equação impĺıcita y(x) − y(x)2 + ey(x) + 7x − x3 = constante. 6 • Método dos fatores integrantes Dada uma equação diferencial como B1(x, y(x)) + B2(x, y(x))y ′(x) = 0 , (9.22) com B1(x1, x2) e B2(x1, x2) definidas em um domı́nio D ⊂ R2, aberto e simplesmente conexo, nem sempre ocorre de a condição de exatidão ∂B1∂x2 (x1, x2)− ∂B2 ∂x1 (x1, x2) = 0 ser satisfeita. Em alguns casos, porém, ao multiplicarmos a equação (9.22) por uma fator ω(x, y(x)) convenientemente escolhido, a equação pode transformar-se em uma equação exata, a qual pode, então, ser resolvida pelo método descrito acima. Um tal ω, se existir, será denominado fator integrante da equação (9.22). Definindo A1(x1, x2) := ω(x1, x2)B1(x1, x2) A2(x1, x2) := ω(x1, x2)B2(x1, x2), desejamos determinar quais funções ω tornam válida a condição (9.19), ou seja, desejamos determinar a solução ω da equação diferencial parcial linear de primeira ordem B1(x1, x2) ∂ω ∂x2 (x1, x2) − B2(x1, x2) ∂ω ∂x1 (x1, x2) + ω(x1, x2) ( ∂B1 ∂x2 (x1, x2) − ∂B2 ∂x1 (x1, x2) ) = 0 . (9.23) Resolver essa equação pode não ser posśıvel, ou pode ser uma tarefa ainda mais dif́ıcil que resolver a equação original (9.22) por outros meios. Em certos casos ela pode ser resolvida pelo método das caracteŕısticas, do qual falaremos adiante, mas há duas situações especiais que tornam a solução simples: I. 1 B2(x1, x2) ( ∂B1 ∂x2 (x1, x2) − ∂B2 ∂x1 (x1, x2) ) = α(x1), uma função apenas da variável x1. Nesse caso, (9.23) fica B1(x1, x2) B2(x1, x2) ∂ω ∂x2 (x1, x2) − ∂ω ∂x1 (x1, x2) + ω(x1, x2)α(x1) = 0 . Escolhendo ω(x1, x2) = ω(x1), uma função apenas da variável x1, essa equação simplifica-se para ω′(x1) − ω(x1)α(x1) = 0 , cuja solução é ω(x1) = c exp ( + ∫ x1 a α(ξ)dξ ) sendo a e c arbitrários (sem perda, podemos escolher c = 1). 7Vide Seção 22.5, página 1075, ou qualquer bom livro de Cálculo de funções de várias variáveis, por exemplo, [39, 126, 127]. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 9 387/1730 II. 1 B1(x1, x2) ( ∂B1 ∂x2 (x1, x2) − ∂B2 ∂x1 (x1, x2) ) = β(x2), uma função apenas da variável x2. Nesse caso, (9.23) fica ∂ω ∂x2 (x1, x2) − B2(x1, x2) B1(x1, x2) ∂ω ∂x1 (x1, x2) + ω(x1, x2)β(x2) = 0 . Escolhendo ω(x1, x2) = ω(x2), uma função apenas da variável x2, essa equação simplifica-se para ω′(x2) + ω(x2)β(x2) = 0 , cuja solução é ω(x2) = d exp ( − ∫ x2 b β(ξ)dξ ) sendo b e d arbitrários (sem perda, podemos escolher d = 1). Exemplo 9.3 Revisitando a equação (9.1) e reencontrando sua solução (9.2). A equação y′(x)+a(x)y(x) = b(x) pode ser escrita na forma (9.22) com B1(x1, x2) = a(x1)x2−b(x1) e B2(x1, x2) = 1. Tem-se aqui que 1B2(x1, x2) ( ∂B1 ∂x2 (x1, x2) − ∂B2∂x1 (x1, x2) ) = a(x1) e vale, portanto, a condição do item I, acima, sendo o fator integrante dado por ω(x1) = exp ( ∫ x1 x0 a(ξ)dξ ) com x0 arbitrário. Assim, A1(x1, x2) = exp (∫ x1 x0 a(ξ)dξ ) ( a(x1)x2 − b(x1) ) e A2(x1, x2) = exp (∫ x1 x0 a(ξ)dξ ) . Com U(x1, x2) = x2 exp (∫ x1 x0 a(ξ)dξ ) − ∫ x1 x0 b(χ) ( exp (∫ χ x0 a(ξ)dξ )) dχ constata-se que A1(x1, x2) = ∂U ∂x1 (x1, x2) e A2(x1, x2) = ∂U ∂x2 (x1, x2) . E. 9.15 Exerćıcio. Obtenha U calculando a integral em (9.20) para alguma curva C conveniente. 6 Pelo que vimos, a solução da equação diferencial satisfaz a equação impĺıcita U(x, y(x)) = U0, sendo U0 uma constante. Para uma condição inicial y(x0) = y0, tem-se U0 = U(x0, y0) = y0 e a equação impĺıcita U(x, y(x)) = y0 fica y(x) exp (∫ x x0 a(ξ)dξ ) − ∫ x x0 b(χ) ( exp (∫ χ x0 a(ξ)dξ )) dχ = y0 , cuja solução é y(x) = exp ( − ∫ x x0 a(ξ)dξ )[ y0 + ∫ x x0 b(χ) exp ( ∫ χ x0 a(ξ)dξ ) dχ ] , que é precisamente a solução dada em (9.2), como facilmente se constata. ◊ • Equações exatas de ordem n Veremos agora como as idéias de acima podem ser generalizadas para equações de ordem n. Seja F (x, x0, x1, . . . , xn) uma função de n + 2 variáveis que define uma equação diferencial ordinária de ordem n: F ( x, y(x), y′(x), . . . , y(n)(x) ) = 0 . (9.24) JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 9 388/1730 Essa equação é dita ser uma equação diferencial exata se existir uma função diferenciável U(x, x0, x1, . . . , xn−1) de n + 1 variáveis tal que F (x, x0, x1, . . . , xn) = ∂U ∂x (x, x0, x1, . . . , xn−1) + x1 ∂U ∂x0 (x, x0, x1, . . . , xn−1) + · · · + xn ∂U ∂xn−1 (x, x0, x1, . . . , xn−1) , (9.25) então a equação (9.24) torna-se ∂U ∂x ( x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x) ) + y′(x) ∂U ∂x0 ( x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x) ) + · · · + y(n)(x) ∂U ∂xn−1 ( x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x) ) = 0 , ou seja, d dx U ( x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x) ) = 0 e, portanto, vale U ( x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x) ) = U0 , (9.26) onde U0 é uma constante, fixada pelos n “valores iniciais” y(x0), y ′(x0), . . . , y (n−1)(x0), para algum ponto x0: U0 = U ( x0, y(x0), y ′(x0), . . . , y (n−1)(x0) ) . A expressão (9.26) é uma nova equação diferencial para y, mas de ordem no máximo igual a n − 1. Assim, toda equação exata de ordem n pode ser transformada em uma equação de ordem menor, a qual poderá eventualmente ser resolvida por algum dos métodos dispońıveis. Claro é por (9.25) que a equação (9.24) é da forma A1 ( x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x) ) + A2 ( x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x) ) y(n)(x) = 0 , (9.27) onde A1(x, x0, x1, . . . , xn−1) = ∂U ∂x (x, x0, x1, . . . , xn−1) + x1 ∂U ∂x0 (x, x0, x1, . . . , xn−1) (9.28) + · · · + xn−1 ∂U ∂xn−2 (x, x0, x1, . . . , xn−1) , A2(x, x0, x1, . . . , xn−1) = ∂U ∂xn−1 (x, x0, x1, . . . , xn−1) . (9.29) As expressões (9.27)-(9.29) generalizam (9.18)-(9.21), do caso de equações exatas de ordem n = 1. Naquele caso sab́ıamos que a relação (9.19) é necessária e suficiente (caso D seja simplesmente conexo) para garantir exatidão, ou seja, a existência de uma função U com as propriedades desejadas. No caso n > 1, infelizmente não há modo simples de expressar as condições necessárias e suficientes para que A1 e A2 tenham a forma dada em (9.28) e (9.29), respectivamente. Exemplo 9.4 Seja V diferenciável e f = −V ′. A equação diferencial de segunda ordem my′′(x) − f(y(x)) = 0 não é exata, mas multiplicando-a por y′(x), ficamos com y′(x)(my′′(x) − f(y(x))) = 0, que pode ser escrita como F (x, y(x), y′(x), y′′(x)) = 0 para F (x, x0, x1, x2) = x1(mx2 − f(x0)) e para essa F , podemos encontrar uma função U(x, x0, x1) tal que a condição de exatidão (9.25) é satisfeita. De fato, essa função é U(x, x0, x1) = m 2 x 2 1 + V (x0) (verifique!). A nova equação (9.26) fica nesse caso m 2 (y′(x))2 + V (y(x)) = U0 = constante. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 9 391/1730 é uma equação de primeira ordem, mas a dependência em v′ é muito mais simples. Em verdade, identificando B1(x, v(x)) = A(v(x)) − v(x) e B2(x, v(x)) = xA′(v(x)) + B′(v(x)) , ou seja, para, B1(x1, x2) = A(x2) − x2 e B2(x1, x2) = x1A′(x2) + B′(x2) , a equação (9.32) tem a forma (9.22). A condição de exatidão (9.19) não é satisfeita (verifique!) e desejamos saber se um fator integrante pode ser encontrado. É fácil ver que nesse caso 1 B1(x1, x2) ( ∂B1 ∂x2 (x1, x2) − ∂B2 ∂x1 (x1, x2) ) = 1 A(x2) − x2 =: β(x2) , uma função apenas da variável x2. Vale, assim, o caso II da página 387, e o fator integrante é ω(x2) = exp (∫ x2 b 1 (A(ξ) − ξ)dξ ) . Assim, definindo A1(x1, x2) := ω(x2)B1(x1, x2) = (A(x2) − x2) exp (∫ x2 b 1 (A(ξ) − ξ)dξ ) A2(x1, x2) := ω(x2)B2(x1, x2) = (x1A ′(x2) + B ′(x2)) exp (∫ x2 b 1 (A(ξ) − ξ)dξ ) a equação A1(x, v(x)) + A1(x, v(x))v ′(x) = 0, obtida multiplicando (9.32) por ω(v(x)), é exata. É fácil verificar que nesse caso U(x1, x2) = x1(A(x2) − x2) exp (∫ x2 b 1 (A(ξ) − ξ)dξ ) + ∫ x2 b B′(χ) exp (∫ χ b 1 (A(ξ) − ξ)dξ ) dχ . (9.35) E. 9.20 Exerćıcio. Prove isso! 6 Assim, a solução para (9.32) é dada por U(x, v(x)) = c0, c0 sendo uma constante. Agora, para a obtenção das soluções desejadas de (9.30) há dois procedimentos: a. Observa-se que a equação (9.30) pode ser lida como xA(v(x)) + B(v(x)) = y(x), que relaciona v e y. Ao menos em prinćıpio, podemos resolver essa equação para v e obter v(x) = I(x, y(x)). Inserindo isso em U(x, v(x)) = c0, obtemos U(x, I(x, y(x))) = c0. Essa equação pode ser, ao menos em prinćıpio, resolvida em y para fornecer uma solução y1(x), dependente de um parâmetro livre c0. b. Resolve-se localmente a equação U(x, v(x)) = c0 para v, obtendo-se v(x) = H(x, c0) para alguma função H . Observa-se que a equação (9.30) pode ser lida como y(x) = xA(v(x)) + B(v(x)), que fornece y se v é dado. Assim, y2(x) = xA(H(x, c0)) + B(H(x, c0)) é uma segunda solução de (9.30). É de se notar que a solução y2 depende de um parâmetro livre c0. Um terceiro procedimento seria resolver localmente a equação U(x, v(x)) = c0 para v, obtendo v(x) = H(x, c0) para alguma função H , donde se extrai y3(x) = ∫ H(x, c0)dx + c1, c1 sendo uma nova constante. Para que se tenha uma solução de (9.30) é preciso inserir essa solução naquela equação, o que implica y3(x) = xA(H(x, c0)) + B(H(x, c0)), mostrando que essa terceira solução é idêntica à y2. Exemplo 9.6 A equação diferencial (2x + 1)y′(x) − y(x) = 0 pode ser facilmente resolvida por integração, fornecendo a solução y0(x) = k √ 2x + 1, k sendo uma constante. Para ilustrar o método de solução desenvolvido acima, escrevemos essa equação diferencial na forma de uma equação de D’Alembert-Lagrange: 2xy′(x) − y(x) + y′(x) = 0 . (9.36) Aqui temos A(z) = 2z, B(z) = z, B′(z) = 1. Para a função U tem-se por (9.35) (tomamos aqui b = 1, sem perda de generalidade) U(x1, x2) = x1x2 exp ( ∫ x2 1 1 ξ dξ ) + ∫ x2 1 exp ( ∫ χ 1 1 ξ dξ ) dχ = x1x 2 2 + ∫ x2 1 χ dχ = ( x1 + 1 2 ) x22 − 12 . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 9 392/1730 A equação U(x, v(x)) = c0 fica, então, (2x + 1)v(x) 2 = c′0 (com c ′ 0 = 2c0 + 1). Assim, v(x) = ± √ c′ 0 2x+1 . Assim, H(x, c′0) = ± √ c′ 0 2x+1 e a solução y2 fica y2(x) = ± √ c′0(2x + 1), que coincide em forma com a solução y0. Para a solução y1 começamos por notar que (9.36) diz-nos que y(x) = (2x + 1)v(x) e, portanto, v(x) = I(x, y(x)) = y(x)/(2x + 1). A equação U(x, I(x, y(x))) = c0 fica y(x) 2/(2x + 1) − 1 = c0, cuja solução é y1(x) = ± √ c′0(2x + 1), também idêntica em forma à solução y0. O fato de as soluções y1 e y2 coincidirem decorre de (9.36) ser uma equação linear, apresentando apenas uma solução, dependente de um parâmetro (vide Seção 9.1, página 377). ◊ Exemplo 9.7 Considere a equação diferencial 2xy′(x) − y(x) − α 3 (y′(x))3 = 0 , (9.37) α 6= 0 sendo uma constante. Essa é uma equação de D’Alembert-Lagrange com A(z) = 2z, B(z) = −α3 z3, B′(z) = −αz2. Para a função U tem-se, por (9.35) (tomamos aqui b = 1, sem perda de generalidade), U(x1, x2) = x1x2 exp (∫ x2 1 1 ξ dξ ) − α ∫ x2 1 χ2 exp (∫ χ 1 1 ξ dξ ) dχ = x1x 2 2 − α ∫ x2 1 χ3 dχ = x1x 2 2 − α 4 (x42 − 1) . A equação U(x, v(x)) = c0 fica v(x) 4 − 4xα v(x)2 − c′0 = 0 (com c′0 = − 4c0α − 1) cujas quatro soluções são v(x) = ± √ 2x α ± √ x2 α2 + (c′0) 2 . Por (9.37), y(x) = v(x) ( 2x − α3 v(x)2 ) e, assim, obtem-se quatro soluções y2(x) = ± ( 4x 3 ± (−α) 3 √ 4x2 α2 + (c′0) 2 ) √ 2x α ± √ 4x2 α2 + (c′0) 2 , (9.38) sendo que os dois últimos sinais ± devem ser escolhidos iguais. Para obter as soluções y1 é preciso primeiro resolver em v a equação de terceiro grau y(x) = 2xv(x) − α3 v(x)3. Para soluções de equações de terceiro grau, vide, por exemplo, [180]. ◊ E. 9.21 Exerćıcio. Verifique que (9.38) é, de fato, uma solução de (9.37). 6