nc - cap07, Notas de estudo de Física

Baixe nc - cap07 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Caṕıtulo 7 Tópicos de Álgebra Linear. II Conteúdo 7.1 Uma Topologia Métrica em Mat (C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 7.2 Exponenciais, Logaritmos e Funções Anaĺıticas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 7.2.1 A Exponenciação de Matrizes e os Grupos GL(C, n) e GL(R, n) . . . . . . . . . . . . . . . . 335 7.3 A Fórmula de Lie-Trotter e a Fórmula do Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 7.4 Aplicações Lineares em Mat (C, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 7.5 A Fórmula de Baker, Campbell e Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 7.6 A Fórmula de Duhamel e Algumas de suas Conseqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 7.7 Exerćıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354O presente caṕıtulo diferencia-se do anterior por explorar aspectos mais topológicos de álgebras de matrizes.Portanto, uma certa familiaridade com as noções básicas de espaços métricos (vide Caṕıtulo 21, página 1003)é útil. Discutiremos a definição de funções anaĺıticas de matrizes, em particular, a exponencial e o logaritmo.Nosso principal objetivo, porém, é provar as seguintes relações: para matrizes A, B ∈ Mat (C, n), valem: • Fórmula de Lie-Trotter1: exp (A+B) = lim m→∞ [ exp ( 1 m A ) exp ( 1 m B )]m . (7.1) • Fórmula do comutador: exp ([A, B]) = lim m→∞ [ exp ( 1 m A ) exp ( 1 m B ) exp ( − 1 m A ) exp ( − 1 m B )]m2 . (7.2) • Série de Lie: exp(B)A exp(−B) = A+ ∞∑ m=1 1 m! [ B, [ B, . . . , [B ︸ ︷︷ ︸ m vezes , A] · · · ]] . (7.3) • Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff2 (sobre a convergência, vide comentário adiante): exp(A) exp(B) = exp ( A+B + 1 2 [A, B] + 1 12 [ A, [A, B] ] + 1 12 [ B, [B, A] ] + · · · ) . (7.4) • Fórmula de Duhamel3: exp(A+B) = exp(A) + ∫ 1 0 exp ( (1− s)(A +B) ) B exp ( sA ) ds , (7.5) da qual se obtem a série de Duhamel: et(A+B) = etA [1+ ∫ t 0 e−t1ABet1Adt1 + ∞∑ m=2 ∫ t 0 ∫ t1 0 · · · ∫ tm−1 0 m∏ k=1 ( e−tkABetkA ) dtm · · ·dt1 ] . (7.6) A série dentro da exponencial no lado direito de (7.4) é um tanto complexa, mas envolve apenas comutadores múltiplos de ordem cada vez maior de A e B. A expressão completa encontra-se em (7.45), página 345. Ao contrário das fórmulas que lhe precedem e sucedem, a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff não é válida para quaisquer matrizes A e B pois, no caso geral, a convergência da série do lado direito só pode ser estabelecida para matrizes suficientemente “pequenas”, 1Marius Sophus Lie (1842–1899). Hale Freeman Trotter (1931–). 2Henry Frederick Baker (1866–1956). John Edward Campbell (1862–1924). Felix Hausdorff (1868–1942). 3Jean Marie Constant Duhamel (1797–1872). 324 JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 325/1730 a saber, tais que ‖A‖C e ‖B‖C sejam ambas menores que 12 ln ( 2− √ 2 2 ) ≈ 0, 12844 . . . (a definição da norma operatorial ‖ · ‖C de matrizes será apresentada adiante). Claro é que, nos casos felizes em que os comutadores múltiplos das matrizes A e B se anulam a partir de uma certa ordem, a série do lado direito será finita e, portanto, convergente. Comentamos ao leitor mais avançado que as expressões acima (e suas demonstrações abaixo) valem não apenas para álgebras de matrizes, mas também no contexto mais geral de álgebras-∗ de Banach com unidade. As fórmulas acima são empregadas em várias áreas da F́ısica (como na Mecânica Quântica, na Mecânica Estat́ıstica e na Teoria Quântica de Campos) e da Matemática (como na Teoria de Grupos). Faremos uso delas, por exemplo, nos Caṕıtulos 18 e 19. Suas provas serão apresentadas, pela ordem, na Proposição 7.12, página 338, na Proposição 7.13, página 341, no Teorema 7.1 da Seção 7.5, página 345 e na Seção 7.6, página 350. A única demonstração que se pode classificar como complexa é a da fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, as demais são simples. No correr das páginas seguintes outras identidades úteis, não listadas acima, serão obtidas. 7.1 Uma Topologia Métrica em Mat (C, n) Discutiremos nesta seção uma topologia métrica natural em Mat (C, n) a qual usaremos na Seção 7.2 para definir certas funções anaĺıticas de matrizes, tais como a exponencial e o logaritmo. Recordando, Mat (C, n) é o conjunto de todas as matrizes complexas n × n e GL(C, n) ⊂ Mat (C, n) é o conjunto de todas as matrizes complexas n× n inverśıveis. Como já observamos, GL(C, n) é um grupo. • Normas de matrizes. A norma operatorial Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, como Cn ou Rn, dotado de uma norma ‖ · ‖V . Para Cn ∋ u = (u1, . . . , un), por exemplo, podemos adotar ‖u‖Cn := √ |u1|2 + · · ·+ |un|2. Vamos denotar por L(V ) o conjunto de todas as aplicações lineares de V em V . É bem sabido que L(V ) é igualmente um espaço vetorial. Por exemplo, L(Cn) = Mat (C, n) e L(Rn) = Mat (R, n). Com uso da norma de V é posśıvel definir uma norma também em L(V ). Para A ∈ L(V ) define-se ‖A‖L(V ) := sup u∈V u6=0 ‖Au‖V ‖u‖V . E. 7.1 Exerćıcio. Mostre que ‖ · ‖L(V ) assim definida é, de fato, uma norma no espaço vetorial L(V ). 6 Observações. Note que ‖A‖L(V ) = sup u∈V ‖u‖V =1 ‖Au‖V . Para A ∈ L(V ), a norma ‖A‖L(V ) definida acima é denominada norma operatorial induzida pela norma ‖ · ‖V . Como comentaremos abaixo, há outras normas em L(Cn) e L(Rn) que não a norma operatorial, mas que são equivalentes àquela. É uma conseqüência imediata da definição de norma operatorial que ‖Au‖V ≤ ‖A‖L(V ) ‖u‖V , (7.7) para todo vetor u ∈ V . ♣ A norma operatorial tem a seguinte propriedade importante: para A, B ∈ L(V ) quaisquer, tem-se ‖AB‖L(V ) ≤ ‖A‖L(V ) ‖B‖L(V ) . Essa propriedade é denominada sub-multiplicatividade da norma ‖ · ‖L(V ). Nem toda norma em Mat (C, n) possui essa propriedade. E. 7.2 Exerćıcio importante. Mostre isso. Sugestão: use (7.7). 6 Observação. Em Mat (C, n) é posśıvel provar que ‖A∗‖Mat (C, n) = ‖A‖Mat (C, n) e que ‖A‖2Mat (C, n) = ‖A ∗A‖Mat (C, n) (propriedade C∗). Vide Teorema 33.11, página 1586. ♣ JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 328/1730 seja, ui = 1 para todo i. É elementar ver que Mu = nu. Logo ‖Mu‖C ‖u‖C = n. Portanto, ‖M‖ ≥ n e ‖M‖∞ = 1. Assim, ‖M‖ ≥ n‖M‖∞ e, da segunda desigualdade de (7.14), conclúımos que, nesse caso, ‖M‖ = n‖M‖∞. ♣ A desigualdade (7.13) significa que ‖A‖ ≤ ‖A‖2. Ao mesmo tempo, a desigualdade (7.12) mostra que n‖A‖2 = n∑ j=1 ‖A‖2 ≥ n∑ j=1 n∑ i=1 |Aij |2 = ‖A‖22 . Logo, conclúımos que em Mat (C, n) 1√ n ‖A‖2 ≤ ‖A‖ ≤ ‖A‖2 . (7.15) E. 7.6 Exerćıcio. Mostre que em Mat (C, n) 1 n2 ‖A‖1 ≤ ‖A‖ ≤ n‖A‖1 . (7.16) Sugestão: Mostre primeiro que ‖A‖∞ ≤ n∑ i, j=1 |Aij | ≤ n2‖A‖∞ ou seja ‖A‖∞ ≤ ‖A‖1 ≤ n2‖A‖∞ . (7.17) e, então, use (7.14). 6 E. 7.7 Exerćıcio. Mostre que as desigualdades (7.17) também não podem ser melhoradas. 6 Nota. As expressões (7.14), (7.15), (7.16) e (7.17) mostram-nos de modo expĺıcito que em Mat (C, n) as normas ‖ ·‖, ‖ ·‖∞, ‖ ·‖1 e ‖ ·‖2 são equivalentes (vide definição à página 162). Como já mencionamos, em espaços de dimensão finita todas as normas matriciais são equivalentes (Teorema 3.2, página 162). ♣ * A importância de se introduzir uma norma em L(V ) é que podemos dessa forma introduzir uma noção de distância entre elementos desse conjunto, ou seja, podemos definir uma métrica em L(V ) por d(A, B) = ‖A−B‖. Deixamos para o leitor a tarefa de demonstrar que isso de fato define uma métrica em L(V ). Com isso, fazemos de L(V ) um espaço dotado de uma topologia métrica. Fora isso, o importante Teorema 33.2 demonstrado à página 1567 afirma que L(V ) será um espaço métrico completo se V o for. Logo, como Cn e Rn são sabidamente espaços vetoriais completos, assim o serão Mat (C, n), Mat (R, n), assim como L(Mat (C, n)) etc. É posśıvel dessa forma falar de convergência de seqüências e séries de matrizes de Mat (C, n), Mat (R, n), assim como de elementos de L(Mat (C, n)) etc. Abaixo faremos uso repetido desse fato fundamental. 7.2 Exponenciais, Logaritmos e Funções Anaĺıticas de Matri- zes No estudo da teoria de grupos e em outras áreas é muito conveniente definir certas funções de operadores lineares, tais como exponenciais, logaritmos etc. Já abordamos a definição da exponenciação de matrizes nos caṕıtulos 6 e 10. Vamos aqui tentar uma abordagem mais geral. • Séries de potências de matrizes Seja A ∈ Mat (C, n) uma matriz n × n complexa e seja {am m ∈ N} uma seqüência de números complexos. A expressão ∞∑ m=0 amA m = lim N→∞ N∑ m=0 amA m = a01 + a1A+ a2A2 + a3A3 + · · · JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 329/1730 é dita ser uma série de potências convergente, caso o limite acima exista em Mat (C, n). Nota. Adotaremos sempre a convenção que A0 = 1. ♣ A seguinte proposição é fundamental: Proposição 7.1 A séria de potências ∞∑ m=0 amA m é convergente se ∞∑ m=0 |am| ‖A‖mC <∞. 2 A importância dessa proposição reside no fato que ∑∞ m=0 |am|‖A‖mC é uma série numérica e, portanto, mais simples de lidar. Prova. Sejam as somas parciais SN := N∑ m=0 amA m. Teremos para M < N , ‖SN − SM‖C = ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ N∑ m=M+1 amA m ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ C ≤ N∑ m=M+1 |am| ‖A‖mC . Agora, como a série numérica ∑∞ m=0 |am| ‖A‖mC converge, sN := ∑N m=0 |am| ‖A‖mC é uma seqüência de Cauchy. Logo ∑N m=M+1 |am| ‖A‖mC pode ser feito menor que qualquer ǫ > 0 dado, desde que escolhamos M e N grandes o suficiente. Logo SN é também uma seqüência de Cauchy no espaço métrico completo Mat (C, n). Portanto, SN converge em Mat (C, n) quando N →∞. • Funções anaĺıticas de matrizes A Proposição 7.1 conduz à seguinte definição. Seja r > 0 e Dr = {z ∈ C| |z| < r} o disco aberto de raio r centrado em 0 no plano complexo. Seja f : Dr → C uma função anaĺıtica em Dr. Como bem sabemos, f pode ser expressa em termos de uma série de potências (série de Taylor centrada em z0 = 0): f(z) = ∑∞ m=0 fmz m, onde fm = f (m)(0)/m!. É bem sabido também que essa série é absolutamente convergente em Dr: ∑∞ m=0 |fm| |z|m < ∞, se |z| < r. Podemos então definir f(A) := ∞∑ m=0 fmA m para toda a matriz A com ‖A‖C < r, pois a proposição acima garante que a série de matrizes do lado direito converge a alguma matriz de Mat (C, n), que denotamos por f(A), fazendo uma analogia óbvia com a função numérica f . A seguinte proposição sobre essas funções de matrizes será freqüentemente usada no que seguirá. Proposição 7.2 I. Sejam f e g duas funções anaĺıticas no mesmo domı́nio Dr. Definamos (f + g)(z) := f(z) + g(z) e (fg)(z) := f(z)g(z), z ∈ Dr. Então, para A ∈ Mat (C, n) com ‖A‖C < r teremos f(A) + g(A) = (f + g)(A) e f(A)g(A) = g(A)f(A) = (fg)(A). II. Sejam f e g duas funções anaĺıticas, com domı́nios Drf e Drg , respectivamente, e tais que a imagem de g esteja contida no domı́nio de f . Podemos então definir f ◦ g(z) := f(g(z)). Então, para A ∈ Mat (C, n) com ‖A‖C < rg teremos f(g(A)) = f ◦ g(A). 2 Prova. ←→ Exerćıcio. Note-se que a parte I da proposição acima afirma que existe um homomorfismo da álgebra das funções anaĺıticas em um domı́nio Dr ⊂ C e Mat (C, n). Vamos mais adiante usar o seguinte resultado, que essencialmente afirma que as matrizes f(A) definidas acima, com f anaĺıtica em um domı́nio Dr ⊂ C, dependem continuamente de A. Proposição 7.3 Seja f função complexa anaĺıtica em um domı́nio Dr ⊂ C, com f tendo a série de Taylor absolutamente convergente f(z) = ∑∞ k=0 fk z k, |z| < r. Seja também Bm, m ∈ N, uma seqüência de matrizes de Mat (C, n) tais que JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 330/1730 limm→∞ ‖Bm‖C = 0. Então, para todo A ∈Mat (C, n) com ‖A‖C < r tem-se lim m→∞ f(A+Bm) = f(A) . 2 Prova. Comecemos com um comentário sobre o enunciado do teorema. Para que f(A+Bm) esteja definido é necessário que ‖A+Bm‖C < r. Como ‖A+Bm‖C ≤ ‖A‖C +‖Bm‖C e ‖A‖C < r, a condição é satisfeita para m grande o suficiente, pois limm→∞ ‖Bm‖C = 0. Assim, estaremos supondo que m é grande o suficiente de modo que ‖Bm‖C < ǫ para algum ǫ tal que ‖A‖C + ǫ < r. Feita essa ressalva, passemos à demonstração. A prova da proposição segue como conseqüência das duas observações seguintes. A primeira é que para quaisquer matrizes X, Y ∈Mat (C, n) e qualquer k inteiro positivo tem-se a seguinte identidade algébrica: Xk − Y k = k−1∑ p=0 Xp (X − Y )Y k−1−p . (7.18) Para provar isso, basta expandir a soma do lado direito e mostrar, após alguns cancelamentos, que obtem-se o lado esquerdo (faça!). A segunda observação é que se f é anaĺıtica em Dr, sua derivada também o é. Assim, f ′(z) = ∑∞ k=0 kfk z k−1 converge absolutamente para |z| < r, ou seja, ∑∞k=0 k|fk| |z|k−1 <∞ sempre que |z| < r. Assim, f(A+Bm)− f(A) = ∞∑ k=0 fk [ (A+Bm) k −Ak ] . Usando (7.18) com X = A+Bm e Y = A, teremos f(A+Bm)− f(A) = ∞∑ k=0 fk k−1∑ p=0 (A+Bm) p BmA k−1−p. Logo, ‖f(A+Bm)− f(A)‖C ≤ ‖Bm‖C ∞∑ k=0 |fk| k−1∑ p=0 ‖A+Bm‖pC ‖A‖ k−1−p C . Agora, como dissemos, ‖A+Bm‖C < ‖A‖C + ǫ < r e, obviamente, ‖A‖C < ‖A‖C + ǫ < r. Portanto, ‖f(A+Bm)− f(A)‖C ≤ ‖Bm‖C ∞∑ k=0 |fk| k−1∑ p=0 (‖A‖C + ǫ)k−1 = ‖Bm‖C ∞∑ k=0 k|fk| (‖A‖C + ǫ)k−1. Como comentamos acima, a soma do lado direito é finita. Como, porém, ‖Bm‖C → 0 para m → ∞, teremos limm→∞ ‖f(A+Bm)− f(A)‖C = 0, que é o que queŕıamos provar. • Exponenciais e logaritmos de matrizes Com as definições apresentadas acima, podemos definir exponenciais e logaritmos de matrizes. Temos, exp(A) ≡ eA := ∞∑ m=0 1 m! Am (7.19) para toda matriz A ∈ Mat (C, n), pois a série de Taylor da função exponencial converge absolutamente em todo o plano complexo. Analogamente, podemos definir ln(1 +A) = ∞∑ m=1 (−1)m−1 m Am (7.20) JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 333/1730 E. 7.11 Exerćıcio. Usando a definição (7.19), mostre que P−1 exp(A)P = exp ( P−1AP ) (7.23) para matrizes n× n reais ou complexas A e P , sendo P inverśıvel. 6 E. 7.12 Exerćıcio. Usando a definição (7.19), mostre que exp(A)T = exp ( AT ) e que exp(A)∗ = exp (A∗) para A ∈ Mat (C, n) ou A ∈Mat (R, n). 6 Os exerćıcios acima podem ser facilmente generalizados: E. 7.13 Exerćıcio. Seja f(z) := ∞∑ m=0 fmz m uma série de potências convergente para |z| < r0 para algum r0 > 0. Então para A ∈ Mat (C, n) com ‖A‖ < r0 tem-se ( ∞∑ m=0 fmA m )T = ∞∑ m=0 fm ( AT )m e ( ∞∑ m=0 fmA m )∗ = ∞∑ m=0 fm (A ∗)m , ou seja, f(A)T = f ( AT ) e f(A)∗ = f (A∗), onde f(z) := ∞∑ m=0 fmz m = f (z). Prove essas afirmativas. Prove também que P−1 ( ∞∑ m=0 fmA m ) P = ∞∑ m=0 fm ( P−1AP )m , ou seja, P−1f(A)P = f ( P−1AP ) . 6 Também muito útil é a afirmação contida no seguinte exerćıcio: E. 7.14 Exerćıcio. Sejam f(z) = ∞∑ m=0 fmz m e g(z) = ∞∑ m=0 gmz m duas séries de potências convergentes em |z| < r1 e |z| < r2, respectivamente. Sejam A e B ∈ Mat (C, n) duas matrizes com ‖A‖ < r1 e ‖B‖ < r2 tais que AB = BA. Então f(A)g(B) = g(B)f(A). Prove isso. 6 • O determinante de exponenciais de matrizes O Teorema de Decomposição de Jordan (Teorema 6.20, página 294) permite-nos demonstrar o resultado a seguir, muito útil, sobre o determinante de exponenciais de matrizes. Uma primeira demonstração do mesmo foi apresentada na Proposição 6.14, página 253. Proposição 7.7 Seja A ∈ Mat (C, n) ou A ∈ Mat (R, n). Então vale que det ( eA ) = eTr(A) . (7.24) 2 É suficiente que provemos (7.24) para matrizes complexas primeiro, pois matrizes reais podem ser obtidas de matrizes complexas do limite quando a parte imaginária dos elementos de matriz vai a zero e a continuidade, tanto do lado direito quanto do lado esquerdo de (7.24) em relação aos elementos de matriz de A, garante a validade daquela expressão para matrizes reais também. Para a prova precisamos de um lema preparatório simples. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 334/1730 Lema 7.1 Se D ∈Mat (C, n) é uma matriz diagonal complexa n× n, então det ( eD ) = eTr(D) . Igualmente, se N ∈ Mat (C, n) é uma matriz nilpotente complexa n× n, então det ( eN ) = eTr(N) = 1 . 2 Prova. A parte referente à matriz diagonal é a mais fácil. Suponhamos que D é a matriz diagonal D = diag (d1, . . . , dn), sendo que os elementos da diagonal são os autovalores de D. Segue que eD é a matriz diagonal D = diag ( ed1 , . . . , edn ) . Assim, pela Proposição 6.4, página 247, det ( eD ) = ed1+···+dn = eTr(D). Tratemos agora da parte referente à matriz nilpotente N . Iremos provar provar que se N é nilpotente todos os autovalores de eN são iguais a 1. Pela Proposição 6.30, página 290, os autovalores de N são todos nulos, Assim, se φ é um autovetor de N teremos eNφ = φ, ou seja, φ é autovetor de eN com autovalor 1. Infelizmente, isso não nos permite concluir diretamente que todos os demais autovetores de eN têm a mesma propriedade mas, como veremos, isso é verdade. Vamos supor que o ı́ndice de N seja k, ou seja, Nk+1 = 0. Assim, eN = 1 + k∑ m=1 1 m! Nm. Seja ψ 6= 0 um autovetor de eN com autovalor λ e suponhamos que λ 6= 1. De eNψ = λψ tem-se (λ− 1)ψ = k∑ m=1 1 m! Nmψ (7.25) e, assim, aplicando Nk a ambos os lados, conclúımos que (λ − 1)Nkψ = 0, já que no lado direito aparecem potências como Nk+1ψ, Nk+2ψ etc., todas nulas. Como λ 6= 1, devemos ter Nkψ = 0. Retornando a (7.25), podemos re-escrevê-la como (λ− 1)ψ = k−1∑ m=1 1 m! Nmψ eliminando o termo com Nkψ. Aplicando Nk−1 a ambos os lados, conclúımos que (λ − 1)Nk−1ψ = 0, já que no lado direito aparecem potências como Nkψ, Nk+1ψ etc., todas nulas. Como λ 6= 1, devemos ter Nk−1ψ = 0. Prosseguindo dessa forma concluiremos por fim que Nψ = 0. Assim, eNψ = 1ψ = ψ, provando que λ = 1, uma contradição. A conclusão é que todos os autovalores de eN são iguais a 1, e pela Proposição 6.4, página 247, det ( eN ) = 1. Notemos que, pela Proposição 6.30, página 290, os autovalores de N são todos nulos e, assim, Tr(N) = 0. Logo, det ( eN ) = 1 = eTr(N). Isso completa a prova do lema. Prova da Proposição 7.7. Pelo Teorema de Decomposição de Jordan, existe uma matriz inverśıvel T tal que A = T−1(D +N)T , onde D é diagonal, N é nilpotente e DN = ND. Logo, eA = exp ( T−1(D +N)T ) = T−1 exp(D +N)T = T−1 exp(D) exp(N)T . Portanto, det ( eA ) = det ( T−1eDeNT ) = det ( T−1 ) det ( eD ) det ( eN ) det (T ) = det ( eD ) det ( eN ) , pois det ( T−1 ) = 1/ det (T ). Assim, pelo Lema 7.1, pela Proposição 6.11 e pela propriedade (6.31), det ( eA ) = eTr(D)eTr(N) = eTr(D+N) = eTr(T −1(D+N)T) = eTr(A) , completando a prova. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 335/1730 7.2.1 A Exponenciação de Matrizes e os Grupos GL(C, n) e GL(R, n) Recordemos que GL(C, n) (respectivamente, GL(R, n)) designa o grupo das matrizes inverśıveis complexas (reais) n×n. Aqui discutiremos a relação entre a exponenciação de matrizes e esses grupos. Essa discussão terá um papel mais relevante quando tratarmos da teoria dos grupos de Lie e álgebras de Lie nos Caṕıtulos 18 e 19. Em primeiro lugar, tem-se a seguinte proposição elementar: Proposição 7.8 A aplicação exp definida em (7.19) é uma aplicação de Mat (C, n) em GL(C, n) (ou, correspondente- mente, de Mat (R, n) em GL(R, n)). 2 Prova. É evidente pela definição (7.19) que exp(0) = 1. Tudo o que se deseja provar é que para qualquer A ∈Mat (C, n) então exp(A) é inverśıvel. Ora, por (7.22), é elementar constatar que exp(A)−1 = exp(−A). Tem-se também o seguinte: Proposição 7.9 Para n ≥ 2 as aplicações exp : Mat (C, n) → GL(C, n) e exp : Mat (R, n) → GL(R, n) não são injetoras. 2 Prova. Para matrizes complexas, basta constatar que, no exemplo das matrizes diagonais na formaD = diag (2πk1i, . . . , 2πkni, ) com kl ∈ Z, tem-se exp(D) = 1. Para matrizes reais, considere-se a matriz real A(α) := αJ onde J := ( 0 1 −1 0 ) , α ∈ R. Como facilmente se vê, tem-se para m ∈ N, A(α)2m = (−1)m(α)2m1 e A(α)2m+1 = (−1)m(α)2m+1J . Dáı, como facilmente se verifica por (7.19), exp(A(α)) = cos(α)1 + sen (α)J = ( cosα senα− senα cosα) . Logo, exp(A(2πk)) = 1 para todo k ∈ Z. Assim a exponenciação de matrizes reais 2 × 2 não pode ser injetora. É fácil, a partir desse exemplo, construir outros para matrizes reais n× n com n ≥ 2. Agora demonstraremos duas proposições nas quais as matrizes reais e complexas se diferenciam. Proposição 7.10 As aplicações exp : Mat (R, n)→ GL(R, n), n ≥ 1, não são sobrejetoras. 2 Proposição 7.11 As aplicações exp : Mat (C, n)→ GL(C, n), n ≥ 1, são sobrejetoras. 2 Prova da Prop. 7.10. Pela Proposição 7.24, o determinante da exponencial de qualquer matriz real é positivo. Ora, existem em GL(R, n) matrizes com determinante negativo. Logo, a exponenciação de matrizes reais não pode ser sobrejetora. À página 7.2.1 fazemos alguns comentários adicionais sobre a Proposição 7.10. Prova da Prop. 7.11. A Proposição 7.11 afirma que toda matriz complexa inverśıvel n×n pode ser escrita como exponencial de outra matriz complexa n×n. Provemos isso. Seja A ∈ GL(C, n). Pelo Teorema da Decomposição de Jordan (Teorema 6.20, página 294) existe uma matriz inverśıvel P tal que P−1AP = D +N com D diagonal, N nilpotente, DN = ND, sendo que D tem na diagonal principal os autovalores da matriz A. Esse último fato diz-nos que D não tem autovalores nulos e, portanto, é também inverśıvel. Podemos assim escrever D +N = D(1 +D−1N). O que faremos agora é provar os seguintes fatos: 1. D pode ser escrita como D = eF para alguma matriz F conveniente. 2. 1 +D−1N pode ser escrita como 1 +D−1N = eG para alguma matriz G conveniente. 3. Podemos escolher F e G de modo que FG = GF . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 338/1730 2 Prova. Vamos primeiramente provar a fórmula de Lie-Trotter8 e posteriormente passar à fórmula do comutador. Começamos definindo, para m ∈ N, Sm := exp ( 1 m A ) exp ( 1 m B ) e Tm := exp ( 1 m (A+B) ) . Note-se que (Tm) m = exp (A+B) e que tudo o que desejamos é provar que (Sm) m converge a exp (A+B), ou seja, lim m→∞ ‖(Sm)m − (Tm)m‖C = 0 . Precisamos, portanto, estudar (Sm) m− (Tm)m. Para isso, é útil empregarmos a identidade algébrica (7.18). Daquela relação e das propriedades da norma operatorial, segue que ‖(Sm)m − (Tm)m‖C ≤ m−1∑ p=0 ‖Sm‖pC ‖Sm − Tm‖C ‖Tm‖ m−1−p C . (7.33) Pela definição, temos para qualquer matriz M ∈ Mat (C, n) ‖ exp (M) ‖C = ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∞∑ k=0 1 k! Mk ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ C ≤ ∞∑ k=0 1 k! ‖M‖kC = e‖M‖C . Assim, ‖Sm‖C ≤ ∥ ∥ ∥ ∥ exp ( 1 m A )∥ ∥ ∥ ∥ C ∥ ∥ ∥ ∥ exp ( 1 m B )∥ ∥ ∥ ∥ C ≤ e(‖A‖C+‖B‖C)/m e ‖Tm‖C ≤ e(‖A‖C+‖B‖C)/m. Retornando a (7.33), teremos ‖(Sm)m − (Tm)m‖C ≤ e(‖A‖C+‖B‖C)(m−1)/m m−1∑ p=0 ‖Sm − Tm‖C ≤ m‖Sm − Tm‖C e(‖A‖C+‖B‖C) . Na última desigualdade usamos que (m− 1)/m < 1 e que ‖Sm − Tm‖C não depende de p. Como se vê da última expressão, tudo que que temos que fazer para provar ‖(Sm)m − (Tm)m‖C vai a zero quando m→∞ é provar que ‖Sm−Tm‖C vai a zero com 1/m2 quando m cresce. Isso é feito escrevendo as expressões expĺıcitas para Sm e Tm em termos da série de Taylor da função exponencial: Sm − Tm = exp ( 1 m A ) exp ( 1 m B ) − exp ( 1 m (A+B) ) = [1 + 1 m A+ ∞∑ k=2 m−k k! Ak ][1 + 1 m B + ∞∑ k=2 m−k k! Bk ] − [1+ 1 m (A+B) + ∞∑ k=2 m−k k! (A+B)k ] . Expandindo-se a última linha, e identificando os termos em 1/m, é fácil constatar que Sm − Tm = 1+ 1 m A+ 1 m B − 1− 1 m (A+B) + 1 m2 Sm = 1 m2 Sm , onde Sm é uma série, um tanto complicada, mas convergente em norma e tal que limm→∞ ‖Sm‖C = finito. Assim, m‖Sm − Tm‖C ≤ 1 m ‖Sm‖C e, portanto, lim m→∞ ‖(Sm)m − (Tm)m‖C = 0. Isso demonstrou a fórmula de Lie-Trotter. O estudante mais avançado pode facilmente convencer-se que precisamente a mesma demonstração se aplica ao contexto de operadores limitados agindo em espaços de Banach. 8Para a fórmula de Lie-Trotter seguiremos aqui a demonstração de [152]. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 339/1730 Para a fórmula do comutador usaremos outro procedimento. Definimos Um := exp ( 1 m A ) exp ( 1 m B ) exp ( − 1 m A ) exp ( − 1 m B ) e teremos Um = [1+ 1 m A+ 1 2m2 A2 + ∞∑ k=3 m−k k! Ak ] [1 + 1 m B + 1 2m2 B2 + ∞∑ k=3 m−k k! Bk ] × [1− 1 m A+ 1 2m2 A2 + ∞∑ k=3 (−m)−k k! Ak ] [1− 1 m B + 1 2m2 B2 + ∞∑ k=3 (−m)−k k! Bk ] . Com um pouco de paciência podemos expandir o produto dos quatro fatores do lado direito e constatar (faça!) que os termos envolvendo 1/m se cancelam e o termo proporcional a 1/m2 é AB − BA (outros termos como (1/m2)A2 e (1/m2)B2 também se cancelam. Verifique!). Ou seja, ficamos com Um = 1 + 1 m2 (AB −BA) + 1 m3 Rm , (7.34) onde 1m3 Rm são os termos restantes da expansão. Rm é uma expressão complicada, mas envolvendo séries convergentes e de tal forma que limm→∞ ‖Rm‖C é finito. Isso diz que para m grande o suficiente a norma de Um − 1 é pequena e, assim, podemos tomar o logaritmo de Um, definido por ln(Um) = ln(1 + (Um − 1)). Por (7.34) e pela expansão do logaritmo teremos ln(Um) = ln(1 + (Um − 1)) = ln(1+ 1 m2 (AB −BA) + 1 m3 Rm ) = 1 m2 (AB −BA) + 1 m3 R′m , ou seja, m2 ln(Um) = [A, B] + 1 m R′m , (7.35) onde R′m é novamente uma expressão complicada, mas envolvendo séries convergentes e de tal forma que limm→∞ ‖R′m‖C é finito. Como limm→∞ 1 mR ′ m = 0 podemos escrever, pela Proposição 7.3, exp([A, B]) = lim m→∞ exp ( [A, B] + 1 m R′m ) . Agora, por (7.35), exp ( [A, B] + 1 m R′m ) = exp ( m2 ln(Um) ) = (exp (ln(Um))) m2 = (Um) m2 . Logo, exp([A, B]) = lim m→∞ (Um) m2 . Isso é o que desejávamos provar9. E. 7.16 Exerćıcio. Demonstre a fórmula de Lie-Trotter usando as idéias da prova da fórmula do comutador. 6 9O estudante pode estar curioso (ou perplexo) sobre o por quê de não finalizamos a demonstração partindo de (7.35), escrevendo m2 ln(Um) = ln((Um)m 2 ) e tomando diretamente dáı o limite m → ∞. A razão é que o fato de Um ser próximo de 1 em norma não garante que (Um)m 2 também o seja. Assim, o logaritmo de (Um)m 2 pode não fazer sentido. Para evitar esse transtorno lógico é mais conveniente finalizar a demonstração com uso da função exponencial de matrizes, para a qual tais problemas de definição não ocorrem. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 340/1730 7.4 Aplicações Lineares em Mat (C, n) O conjunto de matrizes Mat (C, n) é naturalmente um espaço vetorial complexo de dimensão finita n2, pois combinações lineares de matrizes complexas n × n são novamente matrizes complexas n × n e a matriz nula faz o papel de vetor nulo. Como tal, há várias aplicações lineares agindo em Mat (C, n). Vamos nesta seção exibir e estudar algumas dessas aplicações e discutir suas relações. Os resultados aos quais chegaremos são de interesse por si só, mas nossa intenção é também a de preparar a demonstração da fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. • As aplicações ad Dada uma matriz X ∈ Mat (C, n) fixa podemos definir uma aplicação linear ad[X ] em Mat (C, n), ad[X ] : Mat (C, n)→ Mat (C, n) por ad[X ](A) := [X, A] = XA−AX . para toda matriz A ∈Mat (C, n). • As aplicações Ad Analogamente, seja G ∈ GL(C, n) uma matriz inverśıvel fixa. Podemos definir uma aplicação linear Ad[G] em Mat (C, n), Ad[G] : Mat (C, n)→ Mat (C, n) por Ad[G](A) := GAG−1 . • Definindo a exponenciação de ad Denotaremos por (ad[X ])p ou ad[X ]p a p-ésima potência de ad[X ]: ad[X ]p(A) = [ X, [ X, . . . , [X ︸ ︷︷ ︸ p vezes , A] · · · ]] . Aqui, p = 1, 2, . . .. Para facilitar a notação em aplicações futuras, convencionaremos que ad[X ]0(A) = A para toda matriz A ∈Mat (C, n). Dado que ad[X ] é uma aplicação linear em um espaço vetorial de dimensão finita, sua exponencial é bem definida. Definimos Exp[ad[X ]] como sendo a aplicação linear no espaço das matrizes complexas n×n, Exp[ad[X ]] : Mat (C, n)→ Mat (C, n) dada por Exp [ ad[X ] ] (A) := ∞∑ m=0 1 m! ( ad[X ] )m (A) := A+ ∞∑ m=1 1 m! ( ad[X ] )m (A) , = A+ ∞∑ m=1 1 m! [ X, [ X, . . . , [X ︸ ︷︷ ︸ m vezes , A] · · · ]] , para toda A ∈Mat (C, n). A convergência da série é automaticamente garantida pelas observações da Seção 7.2. • A relação entre ad e Ad Há uma relação elegante entre as aplicações ad e Ad, a qual se expressa na seguinte proposição: Proposição 7.13 Seja X ∈Mat (C, n) qualquer. Então Ad [ exp(X) ] = Exp [ ad[X ] ] , (7.36) ou seja, para toda matriz A ∈Mat (C, n) vale exp(X)A exp(−X) = A+ ∞∑ m=1 1 m! ( ad[X ] )m (A) , (7.37) JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 343/1730 Por razões que ficarão claras adiante quando provarmos a fórmula de Baker, Campbell e Hausdorff, é conveniente expressar dexp[X ] em termos de ad[X ]. Como veremos, é posśıvel fazer isso e o resultado está expresso na Proposição 7.14 que apresentaremos e demonstraremos a seguir. Antes, porém, duas definições. Para z ∈ C definimos a função complexa φ(z) por φ(z) := 1− e−z z = ∞∑ m=0 (−1)m (m+ 1)! zm . (7.42) Como a série de Taylor do lado direito converge para todo z ∈ C, φ(z) é uma função inteira, ou seja, é anaĺıtica em toda parte. Pelos nossos comentários da Seção 7.2, podemos definir para todo X ∈ Mat (C, n) uma aplicação linear Φ[X ] : Mat (C, n)→ Mat (C, n) dada por Φ[X ] := φ(ad[X ]) , (7.43) ou seja, Φ[X ] é a aplicação que a todo A ∈ Mat (C, n) associa a matriz Φ[X ](A) dada por Φ[X ](A) = ∞∑ m=0 (−1)m (m+ 1)! ad[X ]m(A) . (7.44) Pelos comentários da Seção 7.2 a série do lado direito converge para todos X, A ∈Mat (C, n). Proposição 7.14 Com as definições apresentadas acima, vale para todos A, X ∈ Mat (C, n) a expressão dexp[X ](A) = exp(X) Φ[ad[X ]](A) , ou seja, dexp[X ](A) = exp(X) ( ∞∑ m=0 (−1)m (m+ 1)! ad[X ]m(A) ) . 2 Também como comentado acima, é inútil tentar provar a proposição partindo de (7.40) e aplicando força-bruta. A demonstração usará uma série de truques elegantes. Prova. Vamos definir, para A, X ∈ Mat (C, n) fixas e t ∈ R, H(t) := tdexp[tX ](A) . A idéia é descobrir uma equação diferencial que H(t) satisfaz e, em seguida, resolvê-la. Note-se que, pela definição, H(0) = 0. Como veremos, resolver a equação diferencial é tarefa relativamente fácil. Um pouco mais trabalhoso é encontrar a equação diferencial. Para isso temos que calcular a derivada de H(t) em relação a t. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 344/1730 Pela definição de H(t) e de dexp[tX ](A) em (7.40), tem-se d dt H(t) = d dt (tdexp[tX ](A)) = d dt ( ∞∑ n=1 n−1∑ k=0 tn n! XkAXn−k−1 ) = ∞∑ n=1 n−1∑ k=0 tn−1 (n− 1)!X kAXn−k−1 = ∞∑ n=0 n∑ k=0 tn n! XkAXn−k = A+ ∞∑ n=1 n∑ k=0 tn n! XkAXn−k = A+ ∞∑ n=1 tn n! AXn + ∞∑ n=1 n∑ k=1 tn n! XkAXn−k = A (1 + ∞∑ n=1 tn n! Xn ) + ∞∑ n=1 n∑ k=1 tn n! XkAXn−k = A exp(tX) + ∞∑ n=1 n∑ k=1 tn n! XkAXn−k = A exp(tX) + tX ( ∞∑ n=1 n∑ k=1 tn−1 n! Xk−1AXn−k ) = A exp(tX) + tX ( ∞∑ n=1 n−1∑ k=0 tn−1 n! XkAXn−k−1 ) = A exp(tX) +X (tdexp[tX ](A)) = A exp(tX) +XH(t) . Em resumo, H(t) satisfaz a equação diferencial d dt H(t) = XH(t) +A exp(tX) , com a condição inicial H(0) = 0. Como estudamos à página 400 da Seção 10.2.2, a solução geral da equação matricial d dt M(t) = XM(t) + G(t) é M(t) = exp(tX)M(0) + ∫ t 0 exp ( (t− s)X ) G(s)ds . Assim, como H(0) = 0 e G(t) = A exp(tX), teremos H(t) = ∫ t 0 exp ( (t− s)X ) A exp(sX) ds = exp(tX) ∫ t 0 exp(−sX)A exp(sX) ds = exp(tX) ∫ t 0 Ad [ exp(−sX) ] (A) ds (7.36) = exp(tX) ∫ t 0 Exp [ − ad[sX ] ] (A) ds = exp(tX) ∫ t 0 ∞∑ m=0 (−s)m m! ad[X ]m(A) ds = exp(tX) ∞∑ m=0 (−1)m m! ad[X ]m(A) ∫ t 0 sm ds = exp(tX) ∞∑ m=0 (−1)mtm+1 (m+ 1)! ad[X ]m(A) = t exp(tX) ∞∑ m=0 (−1)mtm (m+ 1)! ad[X ]m(A) (7.44) = t exp(tX)Φ[tX ](A) . JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 345/1730 Essa expressão vale para todo t ∈ R. Tomando t = 1, teremos H(1) = exp(X)Φ[X ](A), ou seja, dexp[X ](A) = exp(X) Φ[X ](A) , que é o que queŕıamos provar. Reunindo todos esses resultados, estamos agora preparados para provar a fórmula de Baker, Campbell e Hausdorff. 7.5 A Fórmula de Baker, Campbell e Hausdorff A presente seção é dedicada à demonstração da célebre Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff. Seguiremos com diversas modificações o tratamento de [86]. O resultado principal que desejamos provar encontra-se expresso no seguinte teorema: Teorema 7.1 (Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff) Para A, B ∈ Mat (C, n) tais que ‖A‖C e ‖B‖C sejam ambas menores que 12 ln ( 2− √ 2 2 ) ≈ 0, 12844 . . ., vale exp(A) exp(B) = exp(A ∗B) , com A ∗B = A+B + ∑ k, l≥0 k+l>0 ∑ a1, b1≥0 a1+b1>0 · · · ∑ ak, bk≥0 ak+bk>0 (−1)k l!(k + 1)(b1 + · · ·+ bk + 1) ( k∏ i=1 1 ai!bi! ) × ad[A]a1ad[B]b1 · · ·ad[A]akad[B]bkad[A]l(B) . (7.45) Os primeiros termos de (7.45) são A ∗B = A+B + 1 2 [A, B] + 1 12 [ A, [A, B] ] + 1 12 [ B, [B, A] ] + · · · . (7.46) 2 Comentário. A expressão (7.45) é a célebre fórmula de Baker11, Campbell12 e Hausdorff13, que desempenha um papel importante no estudo de grupos de Lie e outras áreas. Advertimos que, devido à sua complexidade e devido à restrição quanto à norma das matrizes A e B, a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff tem um escopo de aplicações relativamente limitado no que concerne a cômputos de produtos de exponenciais. A mesma fórmula, porém, presta-se à demonstração de vários teoremas, especialmente na teoria dos grupos de Lie. Uma situação interessante na qual a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff pode ser empregada é aquela na qual comutadores de ordem suficientemente grande das matrizes A e B se anulam, pois áı o lado direito de (7.45) ou (7.46) tem um número finito de termos. Tal ocorre nas chamadas álgebras de Lie nilpotentes. O leitor que procura um exemplo simples do uso de (7.46) pode interessar-se em ler sobre o chamado grupo de Heisenberg na Seção 18.2.2, página 872. ♣ Prova do Teorema 7.1. A estratégia que empregaremos para provar a fórmula de Baker, Campbell e Hausdorff é muito semelhante àquela empregada na demonstração da Proposição 7.14. Seja, para A, B ∈ Mat (C, n) fixas tais que ‖A‖C < ln(2)/2 e ‖B‖C < ln(2)/2, a matriz14 G(t) := ln ( exp(A) exp(tB) ) , (7.47) para t ∈ [−1, 1]. Vamos identificar uma equação diferencial satisfeita por G(t) e, em seguida, resolvê-la. 11Henry Frederick Baker (1866–1956). 12John Edward Campbell (1862–1924). 13Felix Hausdorff (1868–1942). 14A condição ‖A‖C < ln(2)/2 e ‖B‖C < ln(2)/2 garante que ‖ exp(A) exp(tB) − 1‖C < 1 para todo t ∈ [−1, 1]. Assim, o logaritmo de exp(A) exp(tB) em (7.47) está definido. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 348/1730 A equação diferencial (7.51) para G(t) assume, portanto, a forma G′(t) = ψ ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[tB] ]) (B) , (7.54) com G(0) = A como condição inicial. Isto posto, nossa tarefa agora é resolver (7.54), o que pode ser feito por uma simples integração. Teremos, portanto, G(t)−G(0) = ∫ t 0 G′(s) ds = ∫ t 0 ψ ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ]) (B) ds . Tomando-se t = 1 teremos ln ( eA eB ) = A+ ∫ 1 0 ψ ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ]) (B) ds . (7.55) Estando já na reta final, resta-nos calcular a integral do lado direito, o que pode ser feito com o uso da expansão em série de ψ dada em (7.50) e um pouco de paciência. É o que faremos. Por (7.50), teremos ψ ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ]) (B) = ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ]) ∞∑ k=1 (−1)k−1 k ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ] − id )k−1 (B) = [ ∞∑ k=1 (−1)k−1 k ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ] − id )k−1 ] Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ] (B) = [ ∞∑ k=1 (−1)k−1 k ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ] − id )k−1 ] Exp [ ad[A] ] (B) , (7.56) onde, na última passagem, usamos o fato óbvio que Exp [ ad[sB] ] (B) = Ad [ exp(sB) ] (B) = exp(sB)B exp(−sB) = B . Desejamos escrever esta última expressão diretamente em termos das aplicações ad[A] e ad[sB]. O último fator, Exp [ ad[A] ] , é simplesmente Exp [ ad[A] ] = ∞∑ l=0 1 l! ad[A]l . (7.57) Fora isso, Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ] − id = ∞∑ a=0 ∞∑ b=0 1 a!b! ad[A]a ad[sB]b − id = ∑ a, b≥0 a+b>0 sb 1 a!b! ad[A]a ad[B]b . Com isso, ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ] − id )k−1 = ∑ a1, b1≥0 a1+b1>0 · · · ∑ ak−1, bk−1≥0 ak−1+bk−1>0 sb1+···+sk−1 a1!b1! · · · ak−1!bk−1! ad[A]a1 ad[B]b1 · · ·ad[A]ak−1 ad[B]bk−1 . (7.58) JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 349/1730 Inserindo-se (7.57) e (7.58) em (7.56), tem-se ∫ 1 0 ψ ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ]) (B) ds = ∫ 1 0 ∞∑ k=1 ∞∑ l=0 ∑ a1, b1≥0 a1+b1>0 · · · ∑ ak−1, bk−1≥0 ak−1+bk−1>0 (−1)k−1sb1+···+bk−1 l!k ( k−1∏ i=1 1 ai!bi! ) ad[A]a1 ad[B]b1 · · ·ad[A]ak−1 ad[B]bk−1 ad[A]l(B) ds . Trocando-se a integral pelas somas e usando que ∫ 1 0 sb1+···+bk−1 ds = (b1 + · · ·+ bk−1 + 1)−1, temos ∫ 1 0 ψ ( Exp [ ad[A] ] Exp [ ad[sB] ]) (B) ds = ∞∑ k=1 ∞∑ l=0 ∑ a1, b1≥0 a1+b1>0 · · · ∑ ak−1, bk−1≥0 ak−1+bk−1>0 (−1)k−1 l!k(b1 + · · ·+ bk−1 + 1) ( k−1∏ i=1 1 ai!bi! ) ad[A]a1 ad[B]b1 · · ·ad[A]ak−1 ad[B]bk−1 ad[A]l(B) = ∞∑ k=0 ∞∑ l=0 ∑ a1, b1≥0 a1+b1>0 · · · ∑ ak, bk≥0 ak+bk>0 (−1)k l!(k + 1)(b1 + · · ·+ bk + 1) ( k∏ i=1 1 ai!bi! ) ad[A]a1 ad[B]b1 · · ·ad[A]ak ad[B]bk ad[A]l(B) . (7.59) Na última igualdade fizemos apenas a mudança de variáveis k → k + 1. Retornando a (7.55), temos então ln ( eA eB ) = A ∗B , onde A ∗B := A+ ∞∑ k=0 ∞∑ l=0 ∑ a1, b1≥0 a1+b1>0 · · · ∑ ak, bk≥0 ak+bk>0 (−1)k l!(k + 1)(b1 + · · ·+ bk + 1) ( k∏ i=1 1 ai!bi! ) × ad[A]a1 ad[B]b1 · · ·ad[A]ak ad[B]bk ad[A]l(B) . (7.60) É fácil ver que o termo com k = l = 0 nas somas do lado direito é igual a B. Com essa identificação, finalmente chega-se a (7.45). Como já comentamos, a convergência é garantida se ‖A‖C e ‖B‖C forem ambas menores que 12 ln ( 2− √ 2 2 ) ≈ 0, 12844 . . .. E. 7.20 Exerćıcio importante. Colecionando os termos com a1 + b1 + · · · + ak + bk + l ≤ 2 em (7.45), mostre que os primeiros termos de A ∗B são aqueles dados em (7.46), página 345. 6 * Comentário. Um comentário que adiantamos é que, como discutiremos melhor no Caṕıtulo 19, página 958 (vide, em especial, a Proposição 19.8, página 979), o produto “∗” expresso em (7.45), define uma estrutura de grupo em sub-álgebras de Lie nilpotentes de Mat (C, n). De fato, é posśıvel provar que “∗” é um produto associativo (pois o produto de exponenciais de matrizes é associativo) e é fácil ver que A ∗ 0 = A e que A ∗ (−A) = 0 para toda matriz A. Com isso, a matriz nula é o elemento neutro do grupo e −A é a inversa de A. Isso também mostra que é por vezes posśıvel construir um produto associativo a partir de outro não-associativo, como o comutador de matrizes. ♣ JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 350/1730 7.6 A Fórmula de Duhamel e Algumas de suas Conseqüências Nesta seção demonstraremos a Fórmula de Duhamel15: exp(A+B) = exp(A) + ∫ 1 0 exp ( (1 − s)(A+B) ) B exp ( sA ) ds , (7.61) válida para quaisquer matrizes A, B ∈ Mat (C. n), e estudaremos algumas de suas conseqüências. A demonstração é simples. Diferenciando-se es(A+B)e−sA em relação a s, tem-se d ds ( es(A+B)e−sA ) = ( d ds es(A+B) ) e−sA + es(A+B) ( d ds e−sA ) = ( es(A+B) (A+B) ) e−sA + es(A+B) ( (−A) e−sA ) = es(A+B)B e−sA . Integrando-se ambos os lados entre 0 e t, obtem-se et(A+B)e−tA − 1 = ∫ t 0 es(A+B)B e−sA ds , de onde segue que et(A+B) = etA + ∫ t 0 es(A+B)B e−(s−t)A ds , A mudança de variável de integração s→ t− s conduz a et(A+B) = etA + ∫ t 0 e(t−s)(A+B)B esA ds . (7.62) Para t = 1, isso reduz-se a (7.61), que é o que queŕıamos provar. De (7.62) podem ser extráıdas várias relações úteis, que trataremos agora. • Derivada de uma exponencial em relação a um parâmetro Uma das conseqüências mais úteis da fórmula de Duhamel é uma relação para a derivada da exponencial de uma matriz que depende de um parâmetro. Seja A(λ) ∈ Mat (C. n) uma matriz que depende cont́ınua e diferenciavelmente de um parâmetro λ. Então vale d dλ ( eA(λ) ) = ∫ 1 0 e(1−s)A(λ) ( d dλ A(λ) ) esA(λ) ds . (7.63) Essa relação tem aplicações em equações diferenciais e na Mecânica Estat́ıstica (dentro e fora do equiĺıbrio). Alguns autores também denominam-na fórmula de Duhamel. O leitor deve compará-la à expressão alternativa (7.41). Passemos à demonstração. Sendo A(λ) diferenciável, vale, para todo ǫ suficientemente pequeno, A(λ+ ǫ) = A(λ) + ǫ d dλ A(λ) +R(λ, ǫ) , (7.64) onde lim ǫ→0 1 ǫ R(λ, ǫ) = 0 . (7.65) 15Jean Marie Constant Duhamel (1797–1872). JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 353/1730 ou, equivalentemente, et(A+B) = etA [1 + ∫ t 0 e−t1AB et1A dt1 + ∞∑ m=2 ∫ t 0 ∫ t1 0 · · · ∫ tm−1 0 m∏ k=1 ( e−tkAB etkA ) dtm · · · dt1 ] , (7.70) para todo t ∈ R, a convergência sendo uniforme para t em compactos. As expansões em série acima são denominadas séries de Duhamel. 2 Prova. A prova consiste em mostrar que o limite N →∞ de (7.66) ou (7.68) existe. Tomemos provisoriamente t ∈ [−T, T ] para algum T > 0. Para τ ∈ [−T, T ], tem-se ‖eτA‖ ≤ e|τ |‖A‖ ≤ eT‖A‖. Seja M := max ( eT‖A‖, eT‖A+B‖ ) . Tem-se ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∫ t 0 ∫ t1 0 · · · ∫ tm−1 0 m∏ k=1 ( e−tkAB etkA ) dtm · · · dt1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ M2m‖B‖m ∫ t 0 ∫ t1 0 · · · ∫ tm−1 0 dtm · · · dt1 = ( M2‖B‖|t| )m m! e, analogamente, ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∫ t 0 ∫ t−s1 0 · · · ∫ t−s1−···−sm 0 et−(s1+···+sm+1)(A+B) m∏ k=0 ( B esm+1−kA ) dsm+1 · · · ds1 ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ≤ M (M‖B‖|t|) m+1 (m+ 1)! . As duas desigualdades provam a convergência uniforme para t ∈ [−T, T ]. Como T é arbitrário, a convergência se dá para todo t ∈ R. Na Seção 10.4, página 409, apresentamos uma generalização da expressão (7.70), a chamada série de Dyson para da teoria de perturbações (vide, em particular, a expressão (10.29)). Vide tabém Exerćıcio E. 10.8, página 410. • Outros resultados análogos O método de demonstração da fórmula de Duhamel apresentado acima pode ser empregado na obtenção de outros resultados. Sejam novamente matrizes A, B ∈Mat (C, n). Então, vale [A, etB] = ∫ t 0 e(t−s)B[A, B]esB ds . (7.71) Para a prova, observamos que dds ( e−sBAesB ) = e−sB[A, B]esB (justifique!). Integrando-se ambos os lados de 0 a t, obtem-se e−tBAetB −A = ∫ t 0 e−sB[A, B]esBds . (7.72) Multiplicando-se à esquerda por etB chega-se à expressão (7.71). Expressões como (7.71) são empregadas na teoria de perturbações na Mecânica Quântica. JCABarata. Curso de F́ısica-Matemática Versão de 19 de março de 2010. Caṕıtulo 7 354/1730 7.7 Exerćıcios Adicionais E. 7.23 Exerćıcio. Seja A uma matriz n× n diagonalizável e seja A = r∑ k=1 αkEk sua representação espectral, onde α1, . . . , αr são seus r autovalores distintos (1 ≤ r ≤ n) e Ek são seus projetores espectrais, satisfazendo EaEb = δa, bEa e 1 = ∑rk=1 Ek. a) Mostre que exp(A) = r∑ k=1 eαkEk . (7.73) b) Usando esse fato calcule exp(tA1) e exp(tA2) para as matrizes A1 e A2 dadas por A1 = ( 2 0 −9i 1− 6i ) , A2 = ( −2i 1 + 5i 3− 8i 9 ) . 6 E. 7.24 Exerćıcio. As chamadas matrizes de Pauli são definidas por σ1 := ( 0 1 1 0 ) , σ2 := ( 0 −i i 0 ) e σ3 := ( 1 0 0 −1 ) . a) Mostre que as mesmas satisfazem as seguintes relações algébricas: para todos a, b = 1, 2, 3 valem [σa, σb] := σaσb − σbσa = 2i 3∑ c=1 εabcσc , {σa, σb} := σaσb + σbσa = 2δab1 , σaσb = δab1 + i 3∑ c=1 εabcσc . b) Mostre que as quatro matrizes 1, σ1, σ2, σ3 formam uma base em Mat (C, 2): toda matriz complexa 2× 2 pode ser escrita como uma combinação linear das mesmas. c) Mostre que as matrizes 1, σ1, σ2, σ3 são ortonormais em relação ao seguinte produto escalar definido em Mat (C, 2): 〈A, B〉 := 12Tr (A∗B). d) Obtenha a representação espectral das matrizes de Pauli. e) Seja ~η := (η1, η2, η3) um vetor de comprimento 1 de R 3, ou seja, ‖~η‖ = 1. Seja, ~η · ~σ := η1σ1 + η2σ2 + η3σ3, onde σk são as matrizes de Pauli, definidas acima. Prove que exp (iθ~η · ~σ) = cos(θ)1 + i sen (θ) (~η · ~σ) . Sugestão: Obtenha a decomposição espectral de ~η · ~σ e use (7.73). 6 Parte IV Equações Diferenciais 355