Baixe Matemática BB - 253pg e outras Notas de estudo em PDF para Direito, somente na Docsity! Concurso Público Banco do Brasil INTRODUÇÃO Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco primeiros. O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e positivos. O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos. O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações, já os irracionais não podem ser escritos na forma de fração. Os reais vão englobar todos os anteriores. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com NÚMEROS NATURAIS Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o conjunto dos números naturais, representados pela letra IN: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor. Exemplos: v o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9. v o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003. v Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1. Exercícios Resolvidos 1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os pares de números consecutivos entre esses números: 2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255 Resolução: 0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256 2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As idades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson tem? Resolução: Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor de 46, então esta idade será 48 anos. 3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7. Resolução: Seja o conjunto: A = {x ∈ IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado do exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim: A = {4, 5, 6} ADIÇÃO Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja passar por Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração, a diferença não se altera. Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos (15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7 MULTIPLICAÇÃO Multiplicar é somar parcelas iguais. Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15 Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o número de vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado é chamado de produto. Então: 5 × 3 15 multiplicando multiplicador produto Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um denominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o primeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o multiplicador são chamados de fatores. Propriedades 1) Fechamento - O produto de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 5 x 2 = 10 2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da multiplicação porque não afeta o produto. Ex: 10 x 1 = 10 3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20 4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os resultados. Exemplo: 1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com 2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15 Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos os termos. Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira pelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos. Exemplo: (6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63 DIVISÃO Divisão Exata Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois números, numa certa ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A indicação dessa operação é feita com os sinais:ou ÷ que se lê: dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, o segundo divisor e o resultado da operação, quociente. Exemplo: 15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15 Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente. Divisão Aproximada No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se encontra um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é menor que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53. O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o dividendo 53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por falta, porque o erro que se comete, quando se toma o número 8 para o quociente, é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se resto de uma divisão aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do quociente aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita assim: DIVIDENDO = DIVISOR × QUOCIENTE + RESTO Exemplo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com ⇒ 53 = 6 × 8 + 5 NÚMEROS INTEIROS (Z) Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejando ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "- 3", a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números Inteiros, hoje, representamos pela letra Z. Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim. Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor. Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos da adição e multiplicação. ADIÇÃO v Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. Exemplos: (+2) + (+3) = +5 (-2) + (-3) = - 5 v Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em módulo. Exemplos: (-2) + (+3) = +1 (+2) + (-3) = -1 Exercícios Resolvidos PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com ⇒ Representação Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração. O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador, quantas partes foram tomadas. As frações podem ser decimais e ordinárias. FRAÇÕES DECIMAIS Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000, etc. Exemplo: FRAÇÕES ORDINÁRIAS São todas as outras frações: TIPOS DE FRAÇÕES a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a fração é menor que a unidade. Exemplo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a fração é maior que a unidade. Exemplo: c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador. Exemplo: d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum. Exemplo: Simplificando-se 36 24 , temos 3 2 (fração irredutível) REDUÇÕE DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR 1) Reduzem-se as frações à forma irredutível 2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações 3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado da divisão. Exemplo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com 1-) 6 3 = 2 1 2-) mmc (2, 5, 7) = 70 3-) 5 2 , 2 1 , 7 4 ⇒ 70 , 70 , 70 ⇒ 70 28 , 70 35 , 70 40 PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES 1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por esse número. Exemplo: Seja a fração 10 3 . Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração 10 6 , que é duas vezes maior que 10 3 , pois se em 10 6 tomamos 6 das 10 divisões da unidade, em 10 3 tomamos apenas três. Ilustração: Observando a ilustração, verificamos que 10 3 é duas vezes menor que 10 6 . PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com 5 4 > 7 4 > 10 4 3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador. Exemplo: 5 2 < 2 1 < 7 4 ⇒ 70 28 < 70 35 < 70 40 Exercício Resolvido 1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <. 5 4 , 10 7 , 5 2 , 2 1 , 3 6 Resolução: Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc (2, 3, 5, 10) = 30: 5 4 , 10 7 , 5 2 , 2 1 , 3 6 ⇒ 30 , 30 , 30 , 30 , 30 ⇒ ⇒ 30 24 , 30 21 , 30 12 , 30 15 , 30 60 Logo: 30 12 < 30 15 < 30 21 < 30 24 < 30 60 ⇒ 5 2 < 2 1 < 10 7 < 5 4 < 3 6 FRAÇÕES EQUIVALENTES São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo valor. Na figura acima temos: 2 1 = 6 3 = 4 2 logo são frações equivalentes. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. 1 O . M o d o : 48 36 ⇒ 4 4 48 36 ÷ ÷ ⇒ 12 9 ⇒ 3 3 12 9 ÷ ÷ ⇒ 4 3 4 3 está na sua forma irredutível. 2O. Modo: Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o mdc (48,36) = 12 12 12 48 36 ÷ ÷ ⇒ 4 3 Exercício Resolvido 1) Obter 3 frações equivalentes a 5 3 . Resolução: Basta tomar os termos da fração 5 3 multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero: 3 3 5 3 × × = 15 9 7 7 5 3 × × = 35 21 12 12 5 3 × × = 60 36 ADIÇÃO DE FRAÇÕES Temos dois casos à considerar: v Caso 1: Denominadores Iguais "Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum". Exemplo: 5 11 + 5 9 + 5 2 = 5 2911 ++ = 5 22 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com v Caso 2: Denominadores Diferentes "Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra anterior ". Exemplo: 5 4 + 10 7 + 5 2 + 2 1 + 3 6 ⇒ 30 24 + 30 21 + 30 12 + 30 15 + 30 60 ⇒ ⇒ 30 6015122124 ++++ = 30 132 Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível: 6 6 30 132 ÷ ÷ = 5 22 Nota: Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias. SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição (Caso 1 e Caso 2). MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre: Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores. Exemplos: fi 5 3 × 7 6 = 75 63 × × = 35 18 fi 5 4 × 10 7 × 5 2 = 5105 274 ×× ×× = 250 56 = 2 2 250 56 ÷ ÷ = 125 28 Nota: Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com c) 7 elementos d) 8 elementos P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um número divisível por 252? P7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 para se obter um número divisível por 1050? P8) Assinalar a alternativa correta. a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos b) Todo número primo é divisível por 1 c) Às vezes um número primo não tem divisor d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor P9) Assinalar a alternativa falsa: a) O zero tem infinitos divisores b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos; c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo; d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero. P10) Para se saber se um número natural é primo não: a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos; b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos; c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos; d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos. P11) Determinar o número de divisores de 270. P12) Calcule o valor das expressões abaixo: a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7) b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2 c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7 d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ] e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2 f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13 P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a fim de que os quocientes sejam iguais. a) 15 e 17 b) 16 e 18 c) 14 e 18 d) 12 e16 P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108 e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível. Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de cada uma. 9, 8, 6 partes de 18 metros 8, 6, 5 partes de 18 metros 9, 7, 6 partes de 18 metros 10, 8, 4 partes de 18 metros PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com e) e) e) P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros? a) 562 árvores b) 528 árvores c) 474 árvores d) 436 árvores P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses cargos? P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro? P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente no ponto de partida e quantas voltas darão cada um? P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75 dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior, estes dentes estarão juntos novamente? P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos afirmar que: a) os números são primos b) eles são divisíveis entre si c) os números são primos entre si d) os números são ímpares P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8 minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas? P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20 minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas. P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio? P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os números? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça, depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender? P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4 do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um ? P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça ? P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro, 1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço do terreno ? P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou com R$80,00. Quanto possuía? P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4? P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do restante. Quanto falta para atingir o cume? P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3 unidades? P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30 minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem? P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual das duas comeu mais e quanto sobrou? P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse número? P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas balas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o segundo deu ½ do que possuía ao terceiro? P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia? P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo enche 3/7 desse tanque? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com P15) C P16) 1941 P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos P19) Após 4 voltas P20) C P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h P23) 24.339 P24) 72 e 48 P25) 12 metros P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00 P27) 90 metros P28) R$420.000,00 P29) R$300,00 P30) 155/4 P31) 2/7 P32) 24 P33) 9 h P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada P35) 35 P36) 6,6,15 P37) R$35.000,00 P38) 3horas P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 , 3º 4º e 5º R$16,00 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com P40) 45.000 P41) 105 P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791 P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219; P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008; P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714; P47) a) 0,85 b) 100 85 c) 85% P48) 0,05 P49) Errou, a resposta é 81/1000 P50) 2,03; 2,030 e 2,0300 P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603 P52) 13,6256 P53) a indústria A P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos. NÚMEROS DECIMAIS Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e no entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito em nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas de concursos públicos. ADIÇÃO PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as vírgulas se correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas. Exemplo: 13,8 + 0,052 + 2,9 = 13,8 13,800 0,052 ou 0,052 2,9 2,900 16,752 16,752 SUBTRAÇÃO Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas se correspondam. Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se a vírgula no resultado em correspondência com os dois termos. Exemplo: 5,08 - 3,4852 = 5,0800 −3,4852 1,5948 MULTIPLICAÇÃO Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicar normalmente, como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de casas decimais que cada um dos fatores apresenta somando em seguida e transferindo para o resultado do produto. Exemplo: 1,23 × 0,4 = 0,492; 12,345 × 5,75 = 70,98375 DIVISÃO PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Todo número que é par é divisível por 2. Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc. Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 3, então o número inicial o será também. Exemplos: v 762, pois 7 + 6 + 2 = 15 v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 v 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24 Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível por 4 o número será divisível por 4. Exemplos: v 764, pois 64 é divisível por 4. v 1 572, pois 72 é divisível por 4. v 3 300, pois o número termina em dois zeros. Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Exemplos: 760, 1 575, 3 320. Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6. Exemplos: 762, 1 572, 33 291. Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos: 1O. Separe a casa das unidades do número; 2O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2; 3O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7, então o número original também o será. Exemplos: v 378 é divisível por 7, pois Passo1: 37 ........ 8 Passo 2: 8 × 2 = 16 Passo 3: 37 − 16 = 21 Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é. v 4 809 é divisível por 7, pois Passo1: 480 ........ 9 Passo 2: 9 × 2 = 18 Passo 3: 480 − 18 = 462 Repetindo os passos para o número encontrado: Passo1: 46 ........ 2 Passo 2: 2 × 2 = 4 Passo 3: 46 − 4 = 42 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é. Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o número original também será. Exemplos: 1 416, 33 296, 57 800, 43 000. Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 9, então o número inicial o será também. Exemplos: v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 v 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27 v 945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36 Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10. Exemplos: 760, 3 320, 13 240. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Vamos determinar o total de divisores de 80. Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 × 51 Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: v 4 + 1 = 5 v 1 + 1 = 2 Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados 5 × 2 = 10 Portanto, o número de divisores de 80 é 10. Nota: Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os divisores positivos desse número. MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente. Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados. MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes. Exemplo: 1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280 Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menores expoentes são : 22 × 5 = 4 × 5 = 20 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma: MDC (60, 280) = 20 2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188 O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver o menor expoente, então temos 22 = 4 mdc (480, 188) = 4 MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS (MÉTODO DE EUCLIDES) Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280. 1O. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do meio) e o menor na segunda lacuna (do meio): 2O. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na lacuna abaixo do 280: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com 3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero. 4O. Passo: O último divisor encontrado será o mdc. mdc (60, 280) = 20 Nota: "Números Primos entre Si" Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor Comum entre esses números for igual a 1. Exemplo: 21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1 Exercícios Resolvidos 1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de obtermos quocientes iguais. Resolução: Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Então: mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260 RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números. mmc (a, b) × mdc (a, b) = a x b Exemplo: Sejam os números 18 e 80 Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) × mdc (18, 80) O produto é 18 × 80 = 1440. Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números. 80, 18 2 40, 9 2 20, 9 2 10, 9 2 5, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1 mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720 Logo: mdc(80, 18) = 1440 ÷ mmc(18, 80) = 1440 ÷ 720 = 2 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com EXERCÍCIO RESOLVIDO Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos algumas indicações importantes. I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são múltiplos; II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns; III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C. Exemplo: Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro? Resolução: v Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o novo encontro?" ⇒ Múltiplo v "Encontrar-se-ão num determinado dia" ⇒ Comum v "Quando acontecerá o novo encontro" ⇒ Mínimo Portanto 15, 20, 25 2 15, 10, 25 2 15, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1 1 300 Resposta: O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com MEDIDAS DE COMPRIMENTO A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m. O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento de um terreno, a altura de uma sala. Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores que ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada. Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego. Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro. Nome Símbolo Relação Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m hectômetro hm 100 m quilômetro km 1000 m Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m centímetro cm 0,01 m milímetro mm 0,001 m Nota: Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando sucessivas multiplicações ou divisões por 10. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com P13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento. Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço? P14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um veículo que sai de A, passa por B e atinge C? P15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé: a) 16m b) 17m c) 18 m d) 19 m e) 20 m GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO P1) 2856,9 P2) 0,00456835 P3) 0,80 P4) 382.200 km P5) 4,8 km/h P6) 53.000 minutos P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80 P8) 40,50 m P9) 40 cm P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com P11) 16 cm P12) Passando por C P13) 1,62 m P14) 87,5 km P15) E MEDIDAS DE SUPERFÍCIE "Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas. Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade". Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2) e que corresponde a um quadrado de 1 metro de lado. Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior. O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a superfície de uma fazenda. Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro quadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir pequenas superfícies. Múltiplos do Metro Quadrado Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de lado, eqüivalendo a 100 m2. Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de lado, eqüivalendo a 10.000 m2. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Quilômetro Quadrado (km2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de lado, eqüivalendo a 1.000.000 m2. Submúltiplos do Metro Quadrado Decímetro Quadrado (dm2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de lado, equivalendo a 0,01 m2. Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de lado, equivalendo a 0,0001 m2. Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de lado, equivalendo a 0,000001 m2 QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade imediatamente superior. MUDANÇA DE UNIDADE Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com " Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior". Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio litro, estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter. Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para medir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que se abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico. Exemplo: O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de 25m3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa? •25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000l MUDANÇA DE UNIDADE Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que as mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando- se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como foi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE P1) Expressar 2l em ml. P2) Sabendo-se que 1dm3 = 1l, expressar 250 l em cm3. P3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36m3, quantos litros de água foram consumidos? P4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser colocada em ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina? P5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros de combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia? P6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório? P7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a capacidade máxima em ml desta ampola? P8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de 0,24m3? GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE P1) 2000ml P2) 250000 cm3 P3) 36.000 litros P4) 40.000 ampolas P5) 85.000l de combustível P6) 5200 litros PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com MEDIDAS DE MASSA "Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém". O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para medir a massa de um corpo. A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro cúbico de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado como unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a milésima parte do quilograma ou seja, 1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g. RELAÇÃO IMPORTANTE Volume Capacidade Massa 1 dm3 = 1 litro = 1 kg Exemplo: Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o peso (massa) da água contida neste recipiente? v 5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kg Logo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA v Tonelada (T) = 1.000 kg v Megaton = 1.000 toneladas v Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos) PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com MUDANÇA DE UNIDADES Podem ocorrer dois casos: Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de medidas simples ou número incomplexo. Exemplo: Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min? v Como 1 dia tem 24 horas → 24 h x 3 = 72 h v Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h. v Como a hora vale 60 min. → 80 h x 60 min = 4800 min. v Somando-se ainda mais 13 min. → 4813 min. Caso2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores ou em números incomplexos. Exemplo: Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do problema anterior. v 4813 ¸ 60 = 80 h e 13 min v 80h ¸ 24 = 3 d e 8 h Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos. EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO P1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana? b) Quantas horas há em duas semanas? P2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos. b) 4 a 8 me 12 d em dias. P3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min. P4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano. P5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d. Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com P6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde? GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO P1) a) 10.080 min b) 336 h P2) a) 3.615 min b) 1.712 dias P3) 242 d 18 h 21 min P4) 7 me e 20 d P5) 1 a 10me 14d P6) 4 h 58 min INTRODUÇÃO Antes de iniciarmos o estudo de perímetros de figuras planas, vamos revisar alguns conceitos básicos da Geometria Plana. ÂNGULOS "Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem". Ângulo: BÔA BISSETRIZ "É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o divide em 2 ângulos congruentes". PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE "São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos lados do outro, como ilustra a figura". TEOREMA: ba ˆˆ = CLASSIFICAÇÕES PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com QUADRILÁTEROS "Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados". TRAPÉZIO "Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos consecutivos (agudo e obtuso) suplementares". Trapézio ABCD: v AD // BC v Â + B̂ = 180O v Ĉ + D̂ = 180º PARALELOGRAMO "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos opostos iguais e consecutivos suplementares". Paralelogramo ABCD: v AB // CD e AC // BD v Â + B̂ = 180O v Ĉ + D̂ = 180º v Â = D̂ e Ĉ = B̂ LOSANGO PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos opostos iguais e ângulos consecutivos suplementares". Losango ABCD: v AB // CD e AC // BD v AB =BC = CD = AD v Â + B̂ = 180O v Ĉ + D̂ = 180º v Â = Ĉ e D̂ = B̂ RETÂNGULO "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos ângulos internos de medida igual a 90O". Retângulo ABCD: v AB // CD e v AD // BC v Â =B̂ = Ĉ =D̂ =90O QUADRADO "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos internos de medida igual a 90O". Quadrado ABCD: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com v AB // CD e AD // BC v AB = BC = CD = AD v Â =B̂ = Ĉ = D̂ = 90O POLÍGONOS DIVERSOS Além dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de lados maiores que 4, que é o caso do Pentágono (5 lados), Hexágono (6 lados), e assim sucessivamente. Observe a tabela abaixo, referente aos nomes dos polígonos: Nomenclatura Número de lados 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 20 Icoságono Exemplos: v Pentágono PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com SR = b × h QUADRADO (SQ) A área de uma região quadrada de lado a é dada por (a × a = a2) unidades de área, ou seja: SQ = a × a = a2 PARALELOGRAMO (SP Vamos recortar o triângulo ADH e coloca-lo no espaço existente no lado BC: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Como as duas áreas são iguais, podemos dizer que a área da região limitada por um paralelogramo é dada multiplicando-se o comprimento (ou base) b pela largura (ou altura) h, ou seja: SP = b × h TRIÂNGULO (S∆) Para chegarmos na fórmula para cálculo da área limitada por um triângulo vamos primeiramente dividir um retângulo por uma das diagonais, encontrando assim dois triângulos retângulos congruentes: Observando a figura acima, concluímos que a área de um triângulo pode ser obtida pela metade da área de um retângulo: S∆ = 2 SR = 2 hb× SD = 2 hb× LOSANGO (SL) PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Seja o Losango MNPQ abaixo de diagonal maior D e diagonal menor d. Para deduzirmos qual a fórmula para cálculo da sua área vamos separa-lo em dois outros triângulos (∆MNP e ∆MQP) de base D e altura d/2 congruentes entre si: Logo: SL = 2 × S1 = 2 x 2 .D 2 d = 2 × 4 d.D = 2 d.D 2 d.DSL = TRAPÉZIO (ST) Seja o Trapézio abaixo de base menor b, base maior B e altura h. Para deduzirmos a fórmula para o cálculo da área limitada por um trapézio, vamos inverter sua posição e "encaixar" num segundo trapézio idêntico ao primeiro, observe: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com P4) Uma região retangular tem 6 m de comprimento por 4 de largura, uma região quadrada tem 5m de lado. Qual das duas regiões tem a maior área? P5) Consideremos uma região retangular que tem 27m de comprimento e 8 de largura. Essa região foi dividia em duas outras regiões A e B, de forma que a área da região A corresponde a 1/3 da área da região que foi dividida. Calcule a área de cada região. P6) Uma região circular tem 5m de raio. Essa região foi dividida em duas outras, A e B, de modo que a área da região B corresponde a 40% da área da região original. Calcule a área de cada uma dessas regiões. P7) Foram confeccionadas 1.500 flâmulas triangulares. Cada flâmula tem 0,40m de base de 0,15m de altura. Quantos metros quadrados foram usados na confecção dessas flâmulas? P8) Uma peça de madeira tem a fórmula de losango. A diagonal maior mede 50cm e a diagonal menor 20cm. Qual a área desse losango? P9) Calcular a base de um paralelogramo cuja a área é de 8,8336dm2 e a altura 1,52dm. P10) A área de um losango mede 2,565 dm2 e uma das suas diagonais tem 2,7dm. Quanto mede a outra diagonal? P11) A base maior de um trapézio mede 2,4m e a menor é igual a 1/3 da maior. Qual é a sua área em m2. Sabendo-se que a altura mede 8,5dm? P12) O comprimento de uma circunferência é 25,12cm. Qual é a área da circunferência? P13) A medida do raio de uma circunferência é igual a metade da medida do diâmetro dessa circunferência. Esta afirmação é falsa ou verdadeira? P14) A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Quando a roda desse automóvel der 5.000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo automóvel? P15) Uma circunferência tem 80 cm de raio. Se eu dividi-la por pontos em 4 partes de mesmo comprimento, qual será o comprimento de cada uma dessas 4 partes? P16) Determinar o valor do raio de uma circunferência cujo comprimento é 12,56 dm. P17) Cada uma das rodas, de 0,30 m de raio, de um automóvel, deu 4.500 voltas percorrendo um certo trajeto. Quantos quilômetros percorreu este automóvel? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com GABARITO - MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS) P1) 12m2 P2) 2900 m2 P3) 500 azulejos P4) A quadrada pois 25 m2 > 24 m2 P5) 144 m2 para B e 72 m2 para A P6) A região A = 47,10m2 e a região B = 31,40m2. P7) 45 m2 P8) 500 cm2 P9) 5,8116 dm P10) 1,9 dm P11) 1,36 m2 P12) 50,21 cm2 P13) Verdadeiro P14) 9425 m P15) 125,66 cm P16) 2 dm de raio P17) 8,478 km VOLUME DOS SÓLIDOS PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com "As abelhas em virtude de uma certa intuição geométrica sabem, que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo e conterá mais mel com o mesmo gasto de material..." Papus de Alexandria As abelhas, na realidade, não fazem hexágonos em suas colméias como disse o Matemático Papus de Alexandria, elas constroem Prismas Hexagonais. Os prismas são figuras geométricas consideradas sólidos geométricos, assim como as Pirâmides, Cilindros, Cones, Esferas. Nesta parte de nossos estudos daremos uma atenção especial para os sólidos geométricos. Até agora, quando estudamos quadrados, triângulos; falávamos apenas das áreas ou perímetros dessas figuras, e agora poderemos calcular o volume desses sólidos. PRISMAS Observe os Prismas abaixo: Observe agora apenas o Prisma Hexagonal: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com v VOLUME: V = 3 HAb ⋅ v ÁREA TOTAL: AT = AL + Ab v RELAÇÃO: ap2 = ab2 + H2 Onde: ap ⇒ apótema da pirâmide; ab ⇒ apótema da base; H ⇒ altura da pirâmide. Exercício Resolvido R2) Calcule o volume e a área lateral de uma pirâmide regular, sabendo que seu apótema mede 5 cm e a sua base é um quadrado sujo lado mede 8 cm. Resolução: Para encontrarmos o volume dessa pirâmide precisamos saber a sua altura: ap2 = ab2 + H2 ⇒ 52 = ( 2 8 )2 + H2 ⇒ H2 = 25 − 16 H2 = 9 ⇒ H = 3 cm Logo: 3 HA V b ⋅ = ⇒ V = 3 38 2 ⋅ ⇒ V = 64 cm3 Para se chegar na área lateral devemos saber quantas são as faces laterais e qual a área de uma face. Como a base é um quadrado de lado 8cm e cada face de uma pirâmide é um triângulo, fica ilustrada uma face lateral da seguinte forma: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com ap = 5cm b = 8cm . apótema da pirâmide AF = 2 58⋅ = 20 cm2 AL = 4 × 20 = 80 cm2 CILINDROS Encontramos vários tipos de cilindros no nosso dia a dia: Para se calcular o volume de um cilindro, faremos analogamente ao prisma (Ab × H), somente com a ressalva de que a base de um cilindro será um círculo. Na figuras representadas abaixo temos a planificação de um cilindro (Figura 4) onde podemos perceber que para o cálculo de sua área lateral vamos considerar o retângulo formado com a base sendo numericamente igual ao comprimento da circunferência. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com v VOLUME: VC = Ab× H v ÁREA LATERAL: AL = 2πr× H v ÁREA TOTAL: AT = AL + 2Ab Exercícios Resolvidos 1) Calcule o volume de um cilindro reto de altura 10 cm, sabendo que sua área lateral é 60p cm2. Resolução: AL = 2πr× H ⇒ 60π = 2πr × 10 ⇒ r = 3cm V = Ab × H = πr2 × H = 9π × 10 = 90π cm3 V = 90p cm3 2) Calcule o volume de um cilindro eqüilátero, sabendo que a área de sua secção meridiana é 64 m2. Resolução: Um cilindro eqüilátero é aquele que possui a altura igual ao diâmetro da base: Cilindro Eqüilátero: H = d Secção Meridiana PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Logo a área da secção: As = π r2 = 144π cm2 Αs = 144π cm2 CONES Um cone pode ser obtido através da rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo (e). Na figura temos que a hipotenusa (g) do triângulo será a geratriz do cone. A relação que existe entre um cone e um cilindro é a mesma existente entre uma pirâmide e um prisma, observe: Podemos concluir então que volume de um cone será obtido dividindo o volume de um cilindro, de mesma base e mesma altura, por três. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com v VOLUME: V = 3 HAb ⋅ v ÁREA LATERAL: AL = π r g v ÁREA TOTAL: AT = AL + Ab v RELAÇÃO: g2 = H2 + r2 Onde: g ⇒ geratriz do cone; r ⇒ raio da base H ⇒ altura do cone. Exercício Resolvido 1) Os catetos de um triângulo retângulo medem 8 cm e 15 cm. Calcule o volume e a área total do cone de revolução gerado pela rotação completa desse triângulo em torno de um eixo que contém seu cateto maior. Resolução: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com O triângulo retângulo considerado, ao dar uma volta completa, gera no espaço um cone de raio r = 8cm e altura H = 15cm . Sendo g a medida da geratriz desse cone, por Pitágoras: g2 = 82 + 152 ⇒ g2 = 64 + 225 ⇒ g = 17 cm Volume: V = 3 HAb ⋅ = 3 2 Hr ⋅⋅π = 3 1564 π⋅⋅ = 320π cm3 Área Total: AT = AL + Ab = π r g + π r2 = π .8 .17 + π . 82 = 200π cm2 EXERCÍCIOS SOBRE VOLUMES P1) Sendo 5cm a medida de uma aresta de um cubo, obtenha: a) a medida de uma diagonal de uma face de um cubo. b) a medida de uma diagonal desse cubo. c) sua área total. d) seu volume. P2) Se a diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 , então o volume desse cubo é: a) 600 3 b) 625 c) 225 d) 125 e) 100 3 P3) Um paralelepípedo reto retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Se a sua diagonal mede 3 10 , o valor de k é: a) 3 b) 7 c) 9 d) 10 e) 20 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 P12) Num cilindro de revolução, o raio da base mede 8cm e a altura mede 10cm. Calcule desse cilindro: a) a área da base. b) a área lateral. c) a área total. d) a área de uma secção meridiana. e) o volume. P13) Um tanque de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto, cujo volume é dado por: V = p R2 h. Sabendo-se que o raio da base e a altura medem 10 m, podemos afirmar que: o volume exato desse cilindro (em m3) é: a) 1 000p b) 100p c) (1 000p)/3 d) (100p)/3 e) 200p P14) O volume de um cilindro circular reto é 36 6 p cm3. Se a altura desse cilindro mede 6 6 cm, então a área total desse cilindro, em cm2, é: a) 72p b) 84p c) 92p d) 94p e) 96p P15) Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Supondo p = 3, se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é: a) 2 81 b) 2 27 c) 4 9 d) 4 27 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com e) 4 81 P16) Uma esfera tem raio medindo 15cm. Calcule: a) a área de sua superfície esférica. b) o volume dessa esfera. c) a área de uma secção feita nessa esfera por um plano que dista 9 cm do seu centro. P17) Bolas de tênis, normalmente são vendidas em embalagens cilíndricas contendo três unidades que tangenciam as paredes internas da embalagem. Numa dessas embalagens, se o volume não ocupado pelas bolas é 2p, o volume da embalagem é: a) 6π b) 8π c) 10π d) 12π e) 4π P18) Considere uma laranja como sendo uma esfera de 3cm de raio. Se a dividirmos em doze gomos congruentes, então o volume de cada em gomo, em cm3, será: a) πb) 2πc) 3 8 π d) 3πe) 6 49 π P19) Um tijolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Esse tijolo tem 22cm de comprimento, 10 cm de largura e 7cm de altura. Qual é o volume de argila usado na fabricação desse tijolo? P20) Um cubo tem 3cm de aresta. Um segundo cubo tem uma aresta que é igual ao triplo da aresta do primeiro. Calcule o volume de cada cubo e verifique quantas vezes o volume do segundo cubo é maior que o volume do primeiro. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com P21) Uma piscina, em forma de paralelepípedo retângulo, tem 10m de comprimento, 5m de largura e 1,75m de profundidade internamente. Quantos m3 de água são necessários para encher totalmente essa piscina? P22) Uma parede é feita de blocos. Cada bloco tem 0,4m de comprimento, 0,15m de largura e 0,25m de altura. Sabendo-se que foram usados 200 desses blocos para a construção dessa parede, qual é o volume da parede em m3? P23) Um bloco de pedra cúbico tem 2m de aresta. Qual é o peso desse bloco, se cada m3 pesa 1/2 tonelada? P24) Deseja-se cimentar um quintal retangular que tem 12m de comprimento por 7 de largura. Com uma mistura de areia e cimento que tem 3cm de espessura. Qual é em m3, o volume da mistura usada nesse revestimento? P25) Um paralelepípedo retângulo tem 4 m de comprimento, 3m de largura e 2m de altura. Um cubo tem 3m de aresta. Qual deles tem o volume maior? P26) A carroceria de um caminhão tem as seguintes medidas internas: 4m de comprimento, 2,5m de largura e 0,5m de altura. Essa carroceria está transportando uma quantidade de areia que corresponde a 3/5 do seu volume. Quantos m3 de areia estão sendo transportados pelo caminhão:? P27) Expresse em dm3: a) 0,08m3 b) 13600 cm3 c) 2 1 m3 P28) Um volume de 2.500.000 cm3 corresponde a quantos metros cúbicos? P29) O volume de 0,7m3 de uma solução líquida deve ser distribuído em ampolas cujo volume máximo é de 250 cm3. Quantas ampolas serão usadas? P30) Uma caixa d´água está totalmente cheia e contém 2m3 de água. Um registro colocado nessa caixa, deixa escolar 0,25m3 de água a cada 20 minutos, quando está aberto. Se o registro ficar aberto durante uma hora, quantos metros cúbicos de água restarão na caixa após seu fechamento? P31) Um sólido tem 1,2m3 de volume. Um segundo sólido tem um volume que corresponde a 5/8 do sólido dado. Qual o volume do segundo sólido? P32) A leitura de um hidrômetro feita em 01/4/98 assinalou 1936m3. Um mês após, a leitura do mesmo hidrômetro assinalou 2014m3. Qual foi, em m3, o consumo nesse período? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com "Chama-se razão de duas grandezas da mesma espécie, ao quociente da divisão dos números que medem essas grandezas numa mesma unidade. Este quociente é obtido, dividindo-se o primeiro número pelo segundo". Conforme a definição, para determinarmos a razão entre duas grandezas é necessário que sejam da mesma espécie, e medidas com a mesma unidade. A razão é representada sob a forma b a ou a : b (que se lê "a está para b"), sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0. Exemplo 1: Num exame há 1200 candidatos disputando 400 vagas. Se compararmos esses dois números através de uma divisão, obtemos: v 400 1200 = 3 Dizemos que há 3 candidatos para cada vaga ou que a razão entre o número de candidatos e o número de vagas é de 3 para 1. v 1200 400 = 3 1 Dizemos que para cada vaga há 3 candidatos ou que a razão entre o número de vagas e o número de candidatos é de 1 para 3. Quando comparamos dois números através de uma divisão, o resultado obtido chama-se razão entre esses números. Exemplo 2: Admite-se como ideal, numa cidade, a existência de 1 médico para cada 5000 habitantes. Nessas condições, quantos médicos deverá ter uma cidade com 50.000 habitantes? De acordo com o problema, a razão entre o número de médicos e o número de habitantes é 5000 1 . Número de habitantes Número de médicos 5.000 1 10.000 2 15.000 3 ...... ...... 50.000 10 A cidade deverá ter 10 médicos. Verificamos que as razões destacadas, 5000 1 e 50000 10 são iguais. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Exercícios Resolvidos 1) Achar a razão entre dois segmentos de 1dm e 25cm respectivamente. Resolução: Como é necessário medir as duas grandezas com a mesma unidade, vamos reduzir as duas medidas a cm, para obter a razão. Logo , cm cm 25 10 s im p l if ic ando -s e ⇒ 5 2 ou 2 : 5 Assim: 1 dm = 10cm 2) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, sendo 100 moças e 400 rapazes. a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes? b) Qual a razão do número de rapazes para o número de moças? Resolução: a) Dividindo-se o número de moças pelo número de rapazes, encontramos a razão: 400 100 = 4 1 b) 100 400 = 1 4 = 4 3) Determinar a razão entre 2 1 e 6 5 Resolução: 6 5 2 1 = 2 1 × 5 6 = 10 6 = 5 3 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS RAZÕES "Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número, diferente de zero, obtém-se um razão equivalente a uma razão dada". Exemplo: 3 3 5 3 × × = 15 9 RAZÕES ESPECIAIS PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com VELOCIDADE MÉDIA "Denomina-se velocidade média a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la". Velocidade Média = GastoTempo PercorridaDistância Exemplo: Vamos determinar a velocidade média de um trem que percorreu a distância de 453km em 6 horas: Vm = t d = 6 453 = 75,5 km/h Resposta: A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h ESCALA "Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no desenho e o correspondente comprimento real, medido com a mesma unidade". Escala = RealoCompriment DesenhooCompriment As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos (móveis, automóveis, etc), nas plantas de casas e terrenos, nos mapas e cartas cartográficas. Exemplo1: Em um mapa a distância entre duas cidades é de 3 cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 300 km, qual a escala utilizada no mapa? Resolução: v Comprimento do desenho: 3 cm v Comprimento real: 300 km = (300 x 100.000) cm = 30.000.000 cm Escala = al oDe Re senh = 30000000 3 = 10000000 1 Resposta: A escala utilizada foi de 1:10.000.000 Exemplo2: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com P9) 5 4 P10) 4 3 P11) 1,80 P12) 7,5 m/s P13)a) 56,00g b) 0,64g P14) 15 litros de tinta branca e 9 litros de tinta cinza P15) 1:60 P16) 1:40 P17) 1:10.000.000 P18) 1:2.000.000 P19) 1:3000 P20) 1:200 PROPORÇÃO INTRODUÇÃO Um posto de gasolina oferece um desconto de 1 real para cada 10 litros completos de gasolina. Se uma pessoa colocar 50 litros de gasolina no carro, que desconto irá obter? Com os dados do problema, podemos montar uma tabela: Litros Descontos (em R$) 10 1 20 2 30 3 40 4 50 5 O desconto será de R$ 5,00 Nesta tabela podemos destacar: vRazão entre desconto e litros: 10 1 vRazão entre desconto e litros: 50 5 . PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com V erificamo s que as razõ es 10 1 e 50 5 são igu ais (o u equivalentes). DEFINIÇÃO DE PROPORÇÃO "Proporção é a igualdade entre duas razões, ou seja, quando duas razões apresentam o mesmo quociente, sendo, portanto iguais". Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a razão do primeiro número para o segundo é igual a razão do terceiro para o quarto. b a = d c Ou, ainda, podemos escrever: a : b = c : d que se lê: "a está para b assim como c está para d" Os quatro termos que formam a proporção são denominados termos da proporção. O primeiro e o quarto termo são chamados extremos da proporção. O segundo e o terceiro são chamados meios. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES "Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos". d c b a = ⇒ a.d = b.c Exemplo: v 15 5 18 6 = ⇒ 6 x 15 = 5 x 18 ⇒ 90 = 90 RECÍPROCA DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL "Quando o produto de dois números é igual ao produto de dois outros, os quatro números formam uma proporção". Observação: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com Para verificar se quatro números formam uma proporção, efetuamos o produto do número maior pelo menor e verificamos se esse produto é igual aos outro dois. Assim, os quatro números 4,10,16 e 40 formam uma proporção, pois os produtos 4 ´ 40 e 10 ´ 16, tem como resultado 160. QUARTA PROPORCIONAL "Chama-se Quarta Proporcional a três números dados, um quarto número que forma com os mesmos uma proporção". Exemplo: Vamos encontrar a quarta proporcional aos números 16, 12 e 48. Representando por x o termo procurado, veremos que o problema admite três soluções, correspondentes às proporções, pois a posição do número x é arbitrária. I-) 1 16 48 12 x = ⇒ x1 = 64 II-) 4816 12 2x= ⇒ x2 = 36 III-) 16 4812 3 = x ⇒ x3 = 4 Só há três soluções porque em cada solução o produto de um dos números dados por x é igual ao produto dos outros dois. Em geral, considera-se a solução obtida, conservando na proporção a ordem dos números dados, e considerando como incógnita o último termo. PROPORÇÃO CONTÍNUA "Proporção contínua é aquela em que os meios e os extremos são iguais". Exemplo: 9 4 6 6 = (os meios são iguais) Na proporção contínua, o termo igual é denominado média proporcional ou geométrica, e qualquer um dos outros termos (4 ou 9) é denominado terceira proporcional. No exemplo acima, 4 é a terceira proporcional entre 9 e 6, sendo 9 a terceira proporcional entre 4 e 6. Exercícios Resolvidos 1) Achar a terceira proporcional a 5,6 e 0,84. 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