integral de linha, Notas de estudo de Química Industrial

Baixe integral de linha e outras Notas de estudo em PDF para Química Industrial, somente na Docsity! 3. INTEGRAIS MÚLTIPLAS Integrais duplas: Objetivos: Ao final do caṕıtulo espera-se que o aluno seja capaz de: 1. Encontrar o valor de uma integral dupla; 2. Interpretar geometricamente uma integral dupla; 3. Dada uma região delimitada por funções, encontrar os limitantes que permitem calcular o valor da integral dupla; 4. Calcular integrais duplas em coordenadas polares; 5. Resolver exerćıcios usando o Maple Integrais triplas: Objetivos: Ao final do caṕıtulo espera-se que o aluno seja capaz de: 1. Encontrar o valor de uma integral tripla; 2. Interpretar geométrica e fisicamente uma integral tripla; 3. Calcular integrais triplas em coordenadas retangulares; 4. Calcular integrais triplas em coordenadas ciĺındricas; 5. Calcular integrais triplas em coordenadas esféricas; 6. Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares para cilindricas e de cilindricas para retangulares; 7. Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares para esféricas e de esféricas para retangulares; 8. Calcular a área de uma superf́ıcie; 9. Fazer a maquete de uma figura delimitada por superf́ıcies e encontrar seu volume. 10. Resolver exerćıcios usando o Maple. A prova será composta por questões que possibilitam verificar se os obje- tivos foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formulação das questões é o modelo adotado na formulação dos exerćıcios e desenvolvimento teórico desse caṕıtulo, nessa apostila. 3.1. Introdução No estudo das funções de várias variáveis, ao calcularmos derivadas parciais escolhiamos uma das variáves independentes para derivar em relação a ela e admitiamos que as demais eram constantes. O mesmo procedimento será adotado para integração múltipla. 107 Antes de estudarmos a integração múltipla propriamente dita vamos ver alguns exemp- los. Exemplo 3.1. Encontrar a primitiva da função ( ) = 12 2 3 em relação à . Solução: Como foi dito, vamos admitir como constante e integrar em relação a . Portanto, Z 12 2 3 = 4 3 3 + Porém, nesse caso, a constante é uma função de . Pode ser por exemplo, ( ) = 3 + 2 + + 3 e uma das primitivas de ( ) = 12 2 3 será ( ) = 4 3 3 + 3 + 2 + + 3 Note que ( ) = 12 2 3 Exemplo 3.2. Encontrar a primitiva da função ( ) = 12 2 3 em relação à . Solução: Agora vamos admitir como constante e integrar em relação a . Portanto, Z 12 2 3 = 3 2 4 + Nesse caso, a constante é uma função de . Pode ser por exemplo, ( ) = 3 + 2 + + 3 e uma outra primitiva de ( ) = 12 2 3 será ( ) = 3 2 4 + 3 + 2 + + 3. Note que ( ) = 12 2 3 Exemplo 3.3. Encontrar o valor da expressão R +1 24 . Solução: Aplicando o teorema fundamental do cálculo vem: 108 Figura 3.1: 3.2. Interpretação Geométrica da Integral Dupla A definição de integral dupla comporta uma interpretação geométrica análoga à definição de integral definida simples, associando-a ao problema de cálculo de volume (ver figura 3.1 ) da mesma forma que a integral definida é associada ao cálculo de área. Assim, definição formal da integral dupla envolve a soma de muitas áreas elementares, isto é, diferenciais de área , ou seja, , com a finalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes e a áreas. Ao tentar resolver-se “o problema do volume” , sabe-se que se trata área da base vezes a altura é tal que para cada área elementar o valor de fica univocamente definido. Consideremos uma função = ( ) 0, definida numa região do plano . Nossa intensão é estimar o volume aproximado do sólido delimitado por = ( ) acima do plano = 0 e pelo cilindro definido pela curva fechada que delimita a região . Para tanto, subdividimos em subregiões traçando linhas paralelas aos planos coordenados, conforme na figura 3.2 e 3.3.Assim, a integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes das colunas infinitesimais inscritas em forma de 111 paraleleṕıpedos, como mostra a Figura 3.3. Figura 3.2: Figura 3.3: Então { 1 2 }é uma partição de . Seja | | o comprimento da maior de todas as diagonais dos subretângulos. Seja a área da subregião Para cada escolhenos um ponto ( ) . O produto = ( ) é o volume do ésimo paraleleṕıpedo de área e altura 112 ( ). Como há subdivisões, há paraleleṕıpedos. Assim, o volume aproximado do sólido delimitado superiormente por ( ) e inferiormente pela região é dado por = X =1 ( ) A integral dupla de uma função definida numa região é dada porZZ ( ) = lim | | 0 = lim | | 0 X =1 ( ) Observação 5. Se ( ) = 1 então RR ( ) = RR é, geometricamente, a área da região . 3.3. Cálculo da Integral Dupla Saber reconhecer o domı́nio de integração ou região de integração é fundamental para o cálculo das integrais duplas. Outro ponto importante é o reconhecimento das curvas que delimitam a região de integração. Muitas vezes é conveniente ter essas curvas escritas em função de , isto é, = ( ) e outras vezes é conveniente ter como função de , isto é = ( ). Essa conveniência é devido ao maior ou menor trabalho exigido no processo do cálculo do valor numérico. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 3.6. Calcular o valor da integral RR 24 sendo a região delimitada pelas curvas = 2 e = . Solução: Primeiro vamos fazer o gráfico da região e a tabela de limites dessa região. -2 -1 0 1 2 1 2 3 4 x y 113 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 5 10 15 x y Figura 3.4: área delimitada Limites R1 R2 R3 curva à esquerda = 3 = 1 = 1 curva à direita = 1 = 1 = 2 curva inferior = 2 = 1 = 2 curva superior = 6 = 6 = 6 Assim, a integral dupla R R será dada por :Z Z = Z Z 1 + Z Z 2 + Z Z 3 = Z 1 3 Z 6 2 + Z 1 1 Z 6 1 + Z 2 1 Z 6 2 = Z 1 3 |62 + Z 1 1 |61 + Z 2 1 |62 = Z 1 3 ¡ 6 2 ¢ + Z 1 1 (6 1) + Z 2 1 ¡ 6 2 ¢ = 22 3 + 10 + 13 6 = 39 2 ) Tomamdo como variável independente, os pontos de interseção das curvas são: (9 3) e (4 2) para as curvas = ± , = 6 e (1 1) e (1 1) para as curvas = ± e = 1. A representação gráfica da região é dada abaixo. 116 Vemos que a região de integração deve ser subdividida em duas sub-regiões para que o cálculo possa ser efetivado. Portanto, a tabela de limites é dada por Tabela de limites referente à região Limites R1 R2 curva à esquerda = 1 = 4 curva à direita = 4 = 9 curva inferior = = curva superior = = 6 Assim, a integral dupla R R será dada por Z Z = Z Z 1 + Z Z 2 = Z 4 1 Z = = + Z 9 4 Z 6 = Z 4 1 | + Z 9 4 |6 = Z 4 1 ( ( )) + Z 9 4 (6 ( )) = 61 6 + 28 3 = 39 2 Observação 6. Note que a mudança da variável independente diminuiu o trabalho dispensado ao cálculo da integral. 117 Exemplo 3.9. Escreva a integral que representa a área da região delimitada pelas curvas = 2, = 1 = 1 e = 1 a. Tomando como variável independente b. Tomando como variável independente Solução: A área delimitada pelas curvas pode ser vista na figura 3.5 Figura 3.5: área delimitada Inicialmente, vamos encontrar os pontos de interseção( = 2 = 1 (1 1) ( = 2 = 1 (1 1) ( = 1 + = 1 ( 2 1) a. tomando como variável independente Tabela de limites referente à região Limites R1 R2 curva à esquerda = 2 = 0 curva à direita = 0 = 1 curva inferior = 1 = curva superior = 1 + = 1 Ps: Na 2 vamos usar a semetria = Z 0 2 Z 1+ 1 + 2 Z 1 0 Z 1 = 8 3 b. Tomando como variável independente. 118 Figura 3.6: área sombreada Figura 3.7: área delimitada Agora, o primeiro passo é encontrar os pontos de interseção das curvas. Por- tanto, igualando as equações temos 4 = 2 = 1 2 assim obtemos = 6 ou = 5 6 A tabela de limites é dada por 121 Limites R1 arco inferior = 6 arco superior = 5 6 raio menor = 2 raio maior = 4 A área da região é dada por = R 5 6 6 R 4 2 = R 5 6 6 2 2 |42 = R 5 6 6 (4 )2 2 22 2 = R 5 6 6 (8 2 2) = R 5 6 6 ³ 8(1 cos 2 ) 2 2 ´ = R 5 6 6 (4 4 cos 2 2) = ¡ 2 2 2 ¢ | 56 6 = ¡ 2 ¡ 5 6 ¢ 2 25 6 ¡ 2 ¡ 6 ¢ 2 2 6 ¢¢ = 4 3 + 2 3 3.5. Exerćıcios Gerais 1. Nos items e , faça o gráfico, a tabela de limites e escrva a integral que permite calcular a área da região delimitada pelas curvas primeiro tomando como variavel independente e após tomando como variável independente. 1. Sendo a região delimitada pelas curvas = 2 1, = 1 , = 4 3 + 12 e = 12 9 2 . 2. Sendo a região delimitada pelas curvas = 4 3 + 8 3 , = 2 , = 2 2 e = 16 3 4 3 . 2. Nos problemas a seguir faça o gráfico e use coordenadas polares para carcular as integrais 1. R Rp 14 2 2 sendo a região dada por 4 2 + 2 9. 2. R Rp 14 2 2 sendo a região dada por 2+ 2 4, 0 e 0. 3. R 3 3 R 9 2 9 2 2 2 122 4. R 2 0 R = 4 2 =0 4+ 2+ 2 5. R R 1 ( 2+ 2)3 sendo dada por 4 2 + 2 9. 123 Exemplo 4.2. Determine o volume do sólido delimitado pelos planos = 0 = 0 = 0 e + 2 + 4 = 2 Solução: vamos fazer um esboço do sólido, conforme figura 4.2 Figura 4.2: volume delimitado Agora, vamos escolher o plano (ver figura 4.3) para fazer a projeção (poderia ser outro) Limites R1 à esquerda = 0 à direita = 4 curva inf = 0 curva sup = 2 2 sup inf = 0 sup sup = 4(2 2 ) 126 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x y Figura 4.3: projeção no plano xy = Z 4 0 Z 2 2 0 Z 4(2 2 ) 0 = Z 4 0 Z 2 2 0 |4(2 2 )0 = Z 4 0 Z 2 2 0 8 2 4 ) = Z 4 0 (8 2 2 2) |2 20 = Z 4 0 " 2 µ 1 2 2 ¶ 4 2 µ 1 2 2 ¶2 + 16 # = = Z 4 0 · 1 2 2 4 + 8 ¸ = 32 3 logo, o volume = 32 3 u.v Exemplo 4.3. Calcular o volume do sólido delimitado pela interseção dos cilindros 2 + 2 = 9 e 2 + 2 = 9 no I octante. Solução: Vamos fazer o desenho do sólido e escolher um dos planos coorde- nados para a projeção. 127 volume delimitado Como o sólido faz parte do I octante, temos os planos = 0 = 0 e = 0 delimitando o sólido. Limites R1 à esquerda = 0 à direita = 3 curva inf = 0 curva sup = 9 2 sup inf = 0 sup sup = 9 2 = Z 3 0 Z 9 2 0 Z 9 2 0 = Z 3 0 Z 9 2 0 9 2 = Z 3 0 9 2 | 9 20 = Z 3 0 (9 2) = 9 3 3 |30= 27 9 = 18 Logo o volume do sólido é = 18 Exemplo 4.4. Encontrar o volume do sólido delimitado pelas superf́ıcies = 9 2, = 5 , = 0 e = 5. Solução: O primeiro passo é determinar as curvas que limitam a região de integração sobre o plano . Para isso resolvemos o sistema de equações ( = 9 2 = 5 . 128 -4 -2 2 4 -10 10 20 x y Figura 4.4: projeção no plano xy logo a massa é dada por = 1 + 2 = Z 1 3 Z 2 +13 =4 Z =10 =0 + Z 4 1 Z =16 2 =4 Z =10 =0 4.4. Integrais triplas em coordenadas ciĺındricas Uma integral tripla pode ser convertida em coordenadas ciĺındricas seguindo o processo descrito a seguir. Sejam 0 e 1 tais que 0 1 0 2 e suponhamos que 1 e 2 são funções cont́ınuas de tais que 0 1 ( ) 2 ( ) seja verdadeiro para todos os valores tais que [ 1 2]. Sejam ( ) e ( ) funções cont́ınuas tais que ( ) ( ) seja verdadeiro para todo valor de com [ 1 2] e todo 1 ( ) 2 ( ). Seja o sólido contituido por todos os pontos cujas coordenadas ciĺındricas satisfaçam as condições 0 1, 1 ( ) 2 ( ) e ( ) ( ). Então temos a tabela de limites Tabela de limites Curvas equações Arco inferior 1 Arco superior 2 Curva inferior 1 ( ) Curva superior 2 ( ) Superf́ıcie inferior = ( ) Superf́ıcie superior = ( ) E a integral triplaZ Z 2( ) 1( ) Z ( ) ( ) ( ) 131 Figura 4.5: é escrita em coordenadas ciĺındricas como segue Z Z 2( ) 1( ) Z ( ) ( ) ( ) = Z 2 1 Z 2( ) 1( ) Z ( ) ( ) ( ) Exemplo 4.6. Determinar o volume do sólido delimitado superiormente pelo parabolóide 2 + 2 + 1 = 0 inferiormente pelo plano = 0 , e lateralmente pelo cilindro 2 + 2 2 = 0 . Solução: Graficamente temos o seguinte sólido (ver figura 4.6) A projeção no plano é a circunferência 2 + 2 2 = 0 que é a circun- ferência 2 + ( 1)2 = 1(ver figura ??) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x y projeção no plano xy 132 Figura 4.6: O sólido está limitado inferiormente pelo plano = 0 e superiormente pelo parabolóide = 2 + 2 + 1 Fazendo a tabela, podemos observar que em coordenadas cilindricas é muito mais fácil resolver esse problema Tabela de limites em coordenadas retangulares Tabela de limites em coord. ciĺındricas Curvas equações Curva à esquerda = 1 Curva à direita = 1 Curva inferior = 1 2 + 1 Curva superior = 1 2 + 1 Superf́ıcie inferior = 0 Superf́ıcie superior = 2 + 2 + 1 Curvas equações Arco inferior 1 = 0 Arco superior 2 = Curva inferior 1 ( ) = 0 Curva superior 2 ( ) = 2 Superf́ıcie inferior = 0 Superf́ıcie superior = 2 + 1 logo o Volume em coordenadas ciĺındricas é dado por: = Z 0 Z 2 0 Z 1+ 2 0 = Z 0 Z 2 0 |1+ 20 = Z 0 Z 2 0 (1 + 2) 133 Curvas equações Arco inferior 1 = 0 Arco superior 2 = 2 Curva inferior 1 = 0 Curva superior 2 = 2 cos Superf́ıcie inferior = 0 Superf́ıcie superior = 9 2 Considerando os arcos inferior e superior conclúımos que a base do sólido está projetada sobre o primeiro quadrante, pois temos 0 2 . Agora vamos escrever a curva = 2 cos em coordenadas retangulares. Sabemos que = cos , de modo que cos = , e que 2 = 2 + 2. Assim, = 2 cos donde vem = 2 ³ ´ ou 2 = 2 2 + 2 = 2 ou 2 + 2 2 = 0 ( 1)2 + 2 = 1 Vemos que em coordenadas retangulares a projeção do sólido sobre o plano é delimitada pela circunferência de equação ( 1)2+ 2 = 1. Desse modo, a tabela de limites, em coordenadas retangulares é dada por: Tabela de limites em coordenadas retangulares Curvas equações Curva à esquerda = 0 Curva à direita = 2 Curva inferior = 0 Curva superior = 2 2 Superf́ıcie inferior = 0 Superf́ıcie superior = 9 ( 2 + 2) Também devemos escrever de forma adequada a expressão 2 . Como = temos 2 = ( ) = p 2 + 2 136 Assim, a integral Z 2 0 Z 2 cos 0 Z 9 2 0 2 será dada por: Z 2 0 Z 2 cos 0 Z 9 2 0 2 = Z 2 0 Z 2 2 0 Z 9 2 2 0 p 2 + 2 4.5. Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas As integrais triplas podem ser convertidas para coordenadas esféricas de acordo com o processo descrito a seguir (veja a figura 4.8) Sejam 0 1 0 1 0 e 1 tais que 0 1 0 2 e 0 0 1. Figura 4.8: coordenadas esféricas Suponhamos que o sólido seja constituido por todos os pontos cujas coor- denadas esféricas ( ) tais que 137 0 1 0 1 0 1 Lembrando que o ponto ( ), em coordenadas esféricas é dado por ( ) em que = cos , = , = cos e 2 = 2 + 2 + 2. Considerando os acréscimos atribuidos a cada variável obtemos os pontos: ( ) ( + ) ( + ) ( + + ) Também, podemos observar um paraleleṕıpedo infinitesimal curviĺıneo com dimensões ¯̄ ¯̄ , ¯̄ ¯̄ e ¯̄ ¯̄ cujo volume aproximado é = ¯̄ ¯̄ ¯̄ ¯̄ ¯̄ ¯̄ É fácil ver que ¯̄ ¯̄ é a variação do raio entre os pontos e e, portanto¯̄ ¯̄ = . Como e pertencem ao ćırculo de raio ¯̄ ¯̄ = ¯̄ ¯̄ = e o arco d subentende um ângulo correspondente a variação de segue que¯̄ ¯̄ = Como e pertencem ao ćırculo de raio ¯̄ ¯̄ em que ¯̄ ¯̄ é lado oposto do trângulo b e b = obtemos¯̄ ¯̄ = ¯̄ ¯̄ = e, desse modo obtemos ¯̄ ¯̄ = Portanto, = ¯̄ ¯̄ ¯̄ ¯̄ ¯̄ ¯̄ = ( ) ( ) 2 138 Portanto, o volume será dado por = Z 2 2 Z 2 2 2 2 Z 4 ( 2+ 2) 2+ 2 Z 1 1 Z 1 2 1 2 Z 4 ( 2+ 2) 3 2+3 2 Como podemos perceber a resolução da integral é trabalhosa. Vamos escrevê- la em coordenadas esféricas. É facil ver que o arco varia de zero a 2 . Vamos determinar a variação do arco . O cone de equação 2 = 2 + 2 intercepta o plano na da reta = . Sendo o coefiente angular dessa reta = 1 segue que = 4 e assim, também tem-se = 4 . Já o cone de equação 2 = 3 2 + 3 2 intercepta o plano na da reta = 3 . Sendo o coeficiente angular dessa reta = 3, isto é = 3 , então, segue que = 6 . Portanto, a tabela de limites do sólido em coordenadas esféricas é dada por: Tabela de limites em coordenadas esféricas Curvas equações Arco inferior 1 = 0 Arco superior 2 = 2 Arco inferior 1 = 6 Arco superior 2 = 4 Superf́ıcie inferior 1 = 0 Superf́ıcie superior 2 = 2 Assim, o volume será dado por = Z 2 0 Z 4 6 Z 2 0 2 = Z =2 =0 Z = 4 = 6 3 3 |20 = Z =2 =0 Z = 4 = 6 8 3 = Z =2 =0 8 3 cos | 4 6 = Z =0 =2 8 3 Ã 2 2 + 3 2 ! 141 = 8 3 Ã 2 2 + 3 2 ! |20 = 4 3 ³ 3 2 ´ Exemplo 4.10. Escreva em coordenadas retangulares a integral 4 Z 2 0 Z 3 6 Z 4 0 Solução: O śımbolo R 2 0 significa que a região de integração está situada no primeiro quadrante. O śımbolo R 3 6 indica que o sólido de integração é delimitado pelos raios cujas retas tem coeficientes angulares 6 = 3 3 e 3 = 3. E o śımbolo R 4 0 indica que o sólido é também delimitado pela esfera de raio = 4, ou seja 2 + 2 + 2 = 16. Do coeficiente angular 6 = 3 3 obtemos as retas = 3 3 e = 3 3 as quais pertencem a interseção do cone 2 = 2 3 + 2 3 com os planos e , respectivamente. Do coeficiente angular 3 = 3 obtemos as retas = 3 e = 3 as quais pertencem a interseção do cone 2 = 3 2+3 2 com os planos e , respectiva- mente. Resolvendo os sistemas de equações ( 2 + 2 + 2 = 16 2 = 2 3 + 2 3 e ( 2 + 2 + 2 = 16 2 = 3 2 + 3 2 obtemos as curvas que delimitam a região de integração para o cálculo da integral rela- tiva a parte da esfera que está localizada dentro de cada um dos cones. Em ambos os casos, substituindo a segunda equação na primeira temos 2 + 2 + 2 = 16 2 + 2 + 2 = 16 2 + 2 + 2 3 + 2 3 = 16 3 2 + 3 2 + 2 + 2 = 16 4 2 3 + 4 2 3 = 16 2 + 2 = 4 2 + 2 = 12 donde donde = 4 2 = 12 2 A integral 4 Z 2 0 Z 3 6 Z 4 0 142 é dada pela diferença entre a integral calculada sobre o sólido delimitado pelas superf́ıcies 2+ 2+ 2 = 16 e 2 = 2 3 + 2 3 e o sólido delimitado pelas superf́ıcies 2+ 2+ 2 = 16 e 2 = 3 2 + 3 2. Como a integral está multiplicada por quatro significa que devemos considerar os quatro quadrantes. Assim, a tabela de limites para os sólidos de integração é dada por limites sólido I sólido II Curva a esquerda = 12 = 2 Curva a direita = 12 = 2 Curva a inferior = 12 2 = 4 2 Curva a superior = 12 2 = 4 2 Superf́ıcie inferior = q 2 3 + 2 3 = p 3 2 + 3 2 Superf́ıcie superior = p 16 ( 2 + 2) = p 16 ( 2 + 2) Também, sabemos que = p 2 + 2 + 2 e = 2 . Como temos devemos fazer a equivalência como segue: = µ ¶ = 2 = 2 = p 2 + 2 + 2 Agora podemos escrever a integral = 4 Z = 2 =0 Z = 3 = 6 Z =4 =0 é escrita em coordenadas retangulares como segue: = Z 12 12 Z 12 2 12 2 Z 16 ( 2+ 2) 2 3 + 2 3 p 2 + 2 + 2 Z 2 2 Z 4 2 4 2 Z 16 ( 2+ 2) 3 2+3 2 p 2 + 2 + 2 143 23. Determine o volume do sólido delimitado pelas superf́ıcies = 2, = 8 2, = 0 e + = 9 Resp=320 3 146 4.7. Exerćıcios Gerais 1. Calcule a R R .( + 3 ) , sendo a região triangular de vértices (0 0) (1 1) e (2 0) resp 2 2. Calcule R R 1 2+ 2 , sendo D a região do semiplano > 0 interna à cardióide = 1 = cos e externa à circunferência = 1 3. Determinar a área delimitada pelas curvas ( 2 2 + 2 2 )2 = 2 2 . = 2 2 2 4. O centro de uma esfera de raio está sobre a superf́ıcie de um ciĺındro reto cuja base tem raio igual a 2 . Encontre a área da superf́ıcie ciĺındrica que fica no interior da esfera. Resposta 4 2. 5. Encontrar a área da porção da esfera 2 + 2 + 2 = 2 que fica no interior do parabolóide = 2 + 2. Resposta 2 . 6. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superf́ıcies 2( 2 + 2) + 2 2 = 2 2 e 2 + 2 = . Resp 2 2 (3 4) 9 . 7. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superf́ıcies 2 + 2 + 2 = 8 e 2 + 2 = 2 . Resp 4 (8 2 7) 3 . 8. Calcular = R R R ( 1) , sendo T a região do espaço delimitada pelos planos = 0, = 0, + = 5 e pelo cilindro parabólico = 4 2. Resp 144 15 9. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superf́ıcies = 0, 2 = 2 + 2 e 2 + 2 = 2 . Resp: 32 3 9 10. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superf́ıcies + + = 1, = 0, = 0 e = 0. Resp 6 . 11. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superf́ıcies 2 + 2 + 2 = 0, = 0, = 4 + 147 12. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superf́ıcies 2 + 2 = 2 e 2 + 2 = 2. Resp 16 3 3 . 13. Determinar o volume do sólido delimitado pelas superf́ıcies = 4 cos , = 0 e 2 = 16 2. Resp 3 2 . 14. Encontrar a área da superf́ıcie do parabolóide = 4 2 2 acima do plano = 0. Resp [( 17) 3 1] 6 . 15. Nos itens abaixo escreva em coordenadas retangulares as integrais. 1. R 0 2 R 3 0 R 2 2 p 9 2 . 2. R 0 2 R 2 0 R 3 0 p 9 2 . 3. R 2 0 R 3 6 R 4 0 p 4 2 . 148