Baixe Aula07-Construções Geométricas e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity! Retificação de circunferências e de arcos. MÓDULO 1 - AULA 7 Aula 7 – Retificação de circunferências e de arcos. Objetivos Retificar circunferências e arcos de circunferências; Obter geometricamente o valor aproximado de π; Obter aproximadamente um quadrado equivalente a um ćırculo. Retificar uma curva é construir um segmento de reta que tenha o com- primento desta curva. Intuitivamente, significa encontrar um segmento de reta, supostamente flex́ıvel como um fio de aço, tal que possa-se curvar ajustando-se perfeita- mente sobre a curva em questão. Preocuparemo-nos, nesta aula, com a retificação de circunferência ou arcos de circunferências. A construção exata da circunferência ou do arco de circunferência re- tificado é imposśıvel por meio de régua e compasso, podendo-se, no entanto, fazê-lo de modo aproximado com esses instrumentos. Assim, como o compri- mento da circunferência de raio R é igual a 2πR, podemos obter um segmento de medida próxima a 2πR. Existem diversos processos aproximados de se retificar uma circun- ferência e veremos a seguir, alguns deles. Primeiro Processo: Trata-se de um processo que perde um pouco em precisão, mas ga- nhando em praticidade no que se refere à construção. Tal processo é baseado na obtenção dos lados de um quadrado e de um triângulo eqüilátero inscrito na circunferência. Consideremos uma circunferência de centro O e raio R. 1.1 Traçamos dois raios perpendiculares AO e OB. 1.2 Com centro em um ponto G qualquer da circunferência e raio AO, igual ao da circunferência, marcamos dois pontos D e E. 1.3 Traçamos os segmentos AB e DE. 91 CEDERJ Retificação de circunferências e de arcos. O comprimento da circunferência é aproximadamente igual ao compri- mento de MN , onde: MN = 2(AB +DE). Figura 115 Justificativa: Seja R o raio da circunferência. Observe que: AB = R √ 2(lado de um quadrado de diagonal 2R) e DE = R √ 3(lado de um triângulo eqüilátero de altura R + R 2 = 3R 2 ). Então, MN = 2R( √ 2 + √ 3) ∼= 2R(1, 4142 + 1, 732). Logo, MN ∼= 2R(3, 1462). O erro cometido é por ex- cesso e vale aproximadamente 0, 0046(2R), sendo, portanto, inferior a cinco milésimos do diâmetro. Segundo Processo: Consiste em adotar o número 22 7 para o valor de π. Toma-se então para comprimento da circunferência o segmento MN = 2R 22 7 = 2R(3 + 1 7 ) ou, equivalentemente, MN = 3, 14285(2R) Figura 116 CEDERJ 92 Retificação de circunferências e de arcos. MÓDULO 1 - AULA 7 Figura 119 Justificativa: Observe que : AC = 2R, CD = R 5 e DF = 2R 5 . Logo, AD = 2R + R 5 = 11R 5 AF = 2R + 3R 5 = 13R 5 . Portanto, AE = OD = √ (AO)2 + (AD)2 = √ R2 + 121R2 15 = √ 146R2 25 = R √ 146 5 . Como os triângulos AOF e e AEG são semelhantes temos que, AF AG = AO AE ⇔ AG = AF AE AO . Substituindo AF , AE e AO pelos seus valores indicados, teremos: AG = 13 √ 146 25 R = 2R( 13 √ 146 50 ). Calculando a expressão entre parênteses, obtemos o número 3,1415919 para o valor de π, em vez de 3,1415926 que é o valor de π com sete casas decimais. Vemos assim que o erro cometido é por falta e é inferior a um milionésimo do diâmetro. Exerćıcios: 2. Construa um quadrado cuja área seja aproximadamente igual a área do ćırculo de raio R, isto é, obtenha um quadrado equivalente a um ćırculo. 95 CEDERJ Retificação de circunferências e de arcos. Sugestão: Considere o raio como unidade e encontre um segmento de tamanho aproximado de π. Se o raio é a unidade, isto é, R = 1, então a área do ćırculo é π. Assim basta encontrar √ π = √ π.R. Portanto basta encontra a média geométrica entre π e R para ter o lado do quadrado. Figura 120 Retificação de um Arco de Circunferência O processo para retificar um arco de circunferência a seguir nos dá um elo de ligação(aproximado) entre arco de circunferência e segmento. Isto é, ele servirá para solucionar problemas geométricos de arcos a partir da solução em segmentos. Por exemplo, podemos dividir um arco de forma aproximada pela divisão do arco retificado em segmento. Consideremos um arco ÂB de circunferência menor ou igual a 90o. a) Traça-se o diâmetro AC e toma-se CD igual a 3 4 do raio da circun- ferência; b) Traça-se por A uma perpendicular ao diâmetro AC; c) Une-se o ponto D ao ponto B e obtém-se o ponto E na perpendicular traçada; d) Tem-se que AE é aproximadamente o comprimento do arco ÂB dado. Figura 121 CEDERJ 96 Retificação de circunferências e de arcos. MÓDULO 1 - AULA 7 Justificativa: Sejam β = OD̂B, α = AÔB e γ = OB̂D. De acordo com a construção feita, temos AD = 2R + 3 4 R = 11 4 R e OD = 11 4 R−R = 7 4 R. Figura 122 No triângulo ADE, tem-se: (1) AE = ADtgβ = 11 4 Rtgβ A lei dos senos no triângulo OBD indica que: OD senγ = OB senβ ⇔ 7R 4senγ = R senβ ⇔ senγ senβ = 7 4 No triângulo OBD, α = β + γ ou, equivalentemente, γ = α− β. Logo, 7 4 = sen(α− β) senβ = senα.cosβ − senβ.cosα senβ = senα tgβ − cosα, donde (2) tgβ = 4senα 7 + 4cosα . Substituindo (2) em (1), obtém-se: AE = 11senα 7 + 4cosα R. Observação: Pela Geometria plana, temos m(ÂB) = πRα 180o . Para se ter uma idéia da aproximação pelo processo visto, verificar-se-á para α = 90o, α = 45o e também α = 30o. (i) Para α = 90o, tem-se que: AE = 11 7 R ∼= 1, 57142R e m(ÂB) = π2R ∼= 1.57079R. O erro na construção é, portanto, por excesso e inferior a 0,0007R. 97 CEDERJ Retificação de circunferências e de arcos. arcos correspondentes às divisões. Na construção a seguir, você pode ter o arco dividido em 3 partes iguais. Figura 126 Exerćıcios: 3. Dado um segmento AE, determine numa circunferência de raio R um arco cujo comprimento seja aproximadamente igual ao de AE. Figura 127 4. Divida o arco ÂB em partes (aproximadamente) proporcionais aos seg- mentos de medidas a, b e c. Figura 128 CEDERJ 100 Retificação de circunferências e de arcos. MÓDULO 1 - AULA 7 5. Construa um ângulo de 24o(aproximado) utilizando régua e compasso. Sugestão: Lembre que 24o = 1 5 120o. Resumo Nesta aula, você aprendeu a... • Retificar uma circunferência; • Obter a aproximação geométrica de π; • Retificar um arco de circunferência; • Aplicar o processo de retificação de arcos para efetuar divisões do mesmo. 101 CEDERJ