Apostila Algebra Matlab

Apostila Algebra Matlab

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MATLAB Guia de utilização

MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág. 2

1. Conceitos Básicos de Matrizes e Vetores4
1.1. Operações entre matrizes5
1.2. Algumas propriedades fundamentais das matrizes6
1.3. Algumas propriedades fundamentais de operações entre matrizes9
1.4. Valores característicos e vetores característicos de matrizes quadradas9
2. Introdução ao Matlab11
2.1. Utilizando strings12
3. Utilizando funções matemáticas elementares13
4. Trabalhando com vetores e matrizes13
4.1. Construindo vetores14
4.3. Construindo matrizes16
4.4. Manipulando vetores e matrizes16
4.5. Comparando vetores e matrizes18
4.6. Realizando operações matriciais19
4.7. Utilizando matrizes especiais19
4.8. Ordenando matrizes20
4.9. Utilizando matrizes multidimensionais20
4.10. Utilizando listas21
4.12. Utilizando matrizes esparsas22
6. Trabalhando com polinômios24
8. Trabalhando com tempo30
9. Obtendo modelos empíricos31
9.1. Regressão linear31
10. Iniciando um programa32
1. Utilizando comandos de fluxo e operadores lógicos33
1.1. Utilizando a função for33
1.2. Utilizando a função while34
1.3. Utilizando a função if-else-end35
12. Resolvendo um sistema de equações algébricas36
13. Resolvendo um sistema de equações diferenciais37
14. Como saber mais sobre o MATLAB?38

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Prefácio

O objetivo deste guia é apresentar ao usuário iniciante do MATLAB noções básicas de utilização deste aplicativo. Inicialmente, é realizada uma rápida revisão dos conceitos de Álgebra Matricial. Em seguida, é feita uma breve descrição do software, onde são apresentadas as principais características e potencialidades do aplicativo. Posteriormente, separados em itens, são descritos alguns comandos importantes para a utilização do MATLAB. Noções de programação em MATLAB também são apresentadas neste guia, bem como os comandos empregados na resolução de sistemas de equações não lineares e de equações diferenciais ordinárias. Sugestões para consultas futuras e alguns exercícios de fixação são apresentados ao final do texto. MATLAB (MATrix LABoratory) é um “software” interativo de alta performance voltado para o cálculo numérico e científico.. O MATLAB integra análise numérica, cálculo com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em ambiente fácil de usar onde problemas e soluções podem ser expressos como eles são escritos na matemática ou na forma de uma linguagem de programação. No MATLAB o elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento, dispensando tarefas como declaração de variáveis, alocação de memória, utilização de ponteiros, permitindo a resolução de muitos problemas numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria para escrever um programa semelhante em linguagem Fortran, Basic ou C. A potencialidade do software está muito além do que será mostrado neste guia. Trata-se de um ambiente de alto nível que possui ferramentas avançadas de análise e visualização de dados. Mais do que um aplicativo, o MATLAB também possui características de linguagem de programação. As funções matemáticas já existentes no MATLAB são otimizadas, programadas em linguagem MATLAB e estão agrupadas de acordo com a área de interesse em toolboxes. Assim, o usuário tem acesso aos arquivos das funções matemáticas o que possibilita a realização de alterações nas rotinas já existentes. Todavia, vale ressaltar que estas alterações são desaconselháveis e só devem ser realizadas como última alternativa.

Aracaju, 10 de Fevereiro de 2005

Alexandre F. Santos Montserrat Fortuny

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1. Conceitos Básicos de Matrizes e Vetores

Os cálculos/operações assim como conceitos envolvendo matrizes e vetores constituem a base dos métodos numéricos que tratam da solução de sistemas lineares e não lineares de equações algébricas ou diferenciais. A representação destes sistemas em termos matriciais/vetoriais é extremamente mais compacta e é corrente na literatura técnica. Como visa-se neste capítulo apresentar os conceitos básicos deste assunto especialmente relacionados com aplicações em Engenharia de Processos, os elementos de matrizes e vetores serão em princípio números ou variáveis reais a não ser quando explicitamente especificados como complexos. Uma matriz é um arranjo retangular de números em m linhas e n colunas, mxn, sendo

, isto é:

representada como A (letras maiúsculas em negrito) pertencente a mxn

A ∈ mxn . O elemento da linha i e coluna j de A é representado por aij (correspondente letra minúscula com o sub-índice ij ) ou (A)ij . A matriz completa é geralmente escrita na

forma: A= mnm2m1

, ou em forma mais compacta por A= (aij ), com

i=1,...,m e j =1,...,n

Se duas matrizes A e B apresentam o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas são ditas do mesmo tipo.

Se A= (aij ) é tal que aij = 0 para todo i e j então a matriz A é dita nula e é representada por 0.

Se n=m a matriz A é dita quadrada.

Se n=m e aij = aji para i,j =1,...,n a matriz quadrada A é dita simétrica.

note que a matriz simétrica M tem sua própria imagem refletida através da diagonal principal.

MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág. 5 Se n=1 tem-se um vetor coluna ou simplesmente vetor designado por v (letra minúscula em negrito) e representado por: v= m v v

Se m=1 tem-se um vetor linha designado por vT (letra minúscula em negrito com o

= (v1 v2 v3vn) ∈ 1xn

sobre-índice T de transposto) e representada por: vT .

Se m=n=1 tem-se um escalar (real) (letra minúscula grega), ou seja: ∈ .

A matriz A ∈ mxn pode ser parcionada por: a) colunas na forma:

∈ m para j=1,...,n são os n vetores colunas da matriz A; b) linhas na forma:

T m onde Tia= ()ini2i1aaa ∈ 1xn , para i=1,...,m são os m vetores linhas

da matriz A

1.1. Operações entre matrizes

As operações de adição ou subtração são definidas apenas para matrizes do mesmo tipo, assim se A e B são matrizes (m x n ) então a matriz C , também (m x n ), soma ou subtração de A com B, representada por C = A ± B, tem como termo geral :

para i = 1,,m e j = 1, ... ,n .

cij = aij ± bij Se é um escalar qualquer, a matriz A é uma matriz cujo termo geral é aij.

A operação de multiplicação de matrizes A⋅⋅⋅⋅B só é definida se o número de colunas de A

(primeira parcela do produto) for igual ao número de linhas de B (segunda parcela do produto). Assim, temos:

C=A⋅⋅⋅⋅B, onde A é (m,n) , B é (n,p) e C é (m,p) que apresenta como termo geral:

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jkijikbac, para i=1,, m e k=1,...,p.

É importante ressaltar que a lei de comutatividade não é satisfeita pelo produto entre matrizes, ou seja, em qualquer caso temos a seguinte regra geral: A⋅⋅⋅⋅B B⋅⋅⋅⋅A.?

A operação de transposição de uma matriz A (m,n) consiste em trocar as linhas pelas colunas de A; esta nova matriz é chamada de matriz transposta de A, representada por

, e é uma matriz (n,m) cujo termo da linha j e coluna i é a ijT ijaa=, para j=1,...,n e i=1,...,m. Se a matriz A é simétrica, então: A = AT .

1.2. Algumas propriedades fundamentais das matrizes

As propriedades que serão descritas a seguir aplicam-se exclusivamente a matrizes quadradas (n,n) e a vetores coluna (n,1) e a vetores linha (1,n). Define-se como matriz unitária ou matriz identidade a matriz I cujo elemento geral é:

≠ ==δ= jiquesempre0 jiseapenas1 ijijI, onde δij é chamado de delta de Kronecker, deste

modo a matriz identidade é uma matriz diagonal cujos termos da diagonal são todos

unitários, assim: I= 100

, entendendo-se como matriz diagonal uma matriz quadrada em que apenas os elementos da diagonal (também chamada de diagonal principal) são não nulos. Uma matriz diagonal é um caso particular de matrizes dita esparsas, que são matrizes que apresentam um grande número de elementos nulos, sendo os elementos não nulos mais a exceção do que a regra.

Geralmente, uma matriz diagonal D= n

, é representada na forma mais

compacta: D= diag()n21ddd

Note que toda matriz diagonal é simétrica.

Uma propriedade muito importante da matriz identidade é: I⋅⋅⋅⋅A = A⋅⋅⋅⋅I = A, isto é, a matriz identidade pré-multiplicada ou pós-multiplicada por qualquer matriz quadrada de mesma dimensão não altera o valor de elemento algum desta matriz.

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As matrizes triangulares são matrizes que apresentam todos os elementos sob (ou sobre) a diagonal nulos, podendo assumir as seguintes classificações:

matriz triangular superior ou matriz U , com Uij =0 se i>j matriz triangular inferior ou matriz L , com Lij =0 se j>i

Matriz U é triangular superior Matriz L é triangular inferior O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos de sua diagonal, isto é:

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