Fundamentos Fisica

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6 http://www.pensador.info/p/frases_de_albert_einstein/1/ o que implica, concomitantemente a “eliminação” do outro sentido, implícito na direção. Quando isso ocorre, dizemos que houve uma orientação na direção do vetor. Vetor é um segmento de reta orientado. Assim, as grandezas vetoriais são seguimentos de reta orientadas. Um seguimento de reta orientado (vetor) tem módulo (comprimento), direção e sentido.

NOTA: Ao darmos nome a um vetor, precisamos colocar uma pequena seta sobre o seu nome. Por exemplo, vetor . É bem provável, algumas vezes, que estejamos interessados em saber apenas sobre o comprimento (módulo) do vetor. Quando isso ocorre, escrevemos o nome do vetor, com seta, entre barras de módulo ou escrevemos o nome do vetor sem a seta e sem as barras de módulo. Usando o nosso vetor como exemplo, se estamos interessados apenas em seu módulo, devemos escrevê-lo como ou como .

NOTA: dois ou mais vetores são iguais quando todos têm o mesmo módulo (comprimento), mesma direção e mesmo sentido.

NOTA: dois vetores e são opostos, quando eles têm o mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários.

3.2 Soma e Subtração de Vetores

Podemos somar e subtrair vetores. Por, exemplo, dados dois vetores e , podemos somá-los e obtermos como resultado da soma um terceiro vetor

, ou seja,

Como ilustração da soma de vetores, dada na equação (3.1), temos a figura seguinte:

Da figura temos que é o ângulo (direção) formado por e , o ângulo (direção) formado por e

022UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

EAD 2009EAD 2009 QUÍMICA

023UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA e o ângulo (direção) formado por e .

Da equação (3.1) partimos do princípio que e são completamente conhecidos, ou seja, conhecemos os seus módulos, direções (o ângulo ) e sentidos.

3.2.1 Cálculo do Módulo de - Lei dos Cossenos

Para a obtensão do módulo de seguimos o seguinte raciocínio: da figura (3.2) vemos que o triângulo é um triângulo retângulo e que é a sua hipotenusa. Assim, usando a Lei de Pitágoras para o triângulo retângulo , podemos escrever:

Vemos, na equação (3.2), que os seguimentos de reta e ainda são incógnitas. Mas do triângulo temos que e .

Ao substituirmos esses “valores” na equação (3.2), obtemos:

Ou seja, (3.3)

Com a equação (3.3), podemos calcular o módulo

(comprimento) de . A equação (3.3) é chamada Lei dos Cossenos.

Figura7 7 http://qchose.files.wordpress.com/2008/12/1252724.jpg

3.2.2 Cálculo dos ângulos , e - Lei dos Senos

Os valores dos ângulos , e implicam a definição das respectivas direções relativas dos vetores.

Para obtermos as relações necessárias para os cálculos dos nossos ângulos tal como apresentados na figura (3.2) vemos que:

Do triângulo, , de forma que: (3.4)

• Do triângulo , , nos permite escrever: (3.5)

Das equações (3.4) e (3.5) , concluímos que , de modo que:

• Da mesma figura, encontramos, no triângulo que

(3.7) Também encontramos, no triângulo , que

(3.8) Das equações (3.7) e (3.8), encontramos que

• Combinando as equações (3.6) e 3.9), podemos escrever a expressão:

A equação (3.10) é chamada Lei dos Senos. A Lei dos Senos nos fornece a relação dos ângulo , e .

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EAD 2009

3.2.3 Subtração de Dois Vetores

A subtração de dois vetores pode ser obtida da expressão:

Ou seja, a subtração de dois vetores é o mesmo que a soma de um vetor com o inverso do outro, tal como ilustra a figura (3.4). Da mesma figura, vemos que o ângulo formado por e é o ângulo

. Assim, o módulo de pode ser obtido por meio da seguinte expressão:

Os Vetores surgiram no início do século XIX com trabalhos de Caspar Wessel (1745–1818), Jean Robert Argand (1768– 1822) e Carl Friedrich Gauss (1777–1855) que no estudo dos números complexos como pontos no plano bidimensional os representaram como segmentos de reta orientados com representação bidimensional. Diversos matemáticos e cientistas trabalharam na mesma época com este tipo de representação, sem a denominação de vetores, mas como pares ordenados de números reais. Avanço significativo houve em 1827 com August Ferdinand Möbius quando publicou um pequeno livro, The Barycentric Calculus, no qual introduziu diretamente segmentos de reta denotados por letras do alfabeto, vetores na essência, mas ainda não no nome. No seu estudo de centros de gravidade e geometria projetiva, Möbius desenvolveu uma aritmética destes segmentos de reta; adicionou-os e mostrou como multiplicá-los por um número real. Seus interesses estavam em outro lugar, e ninguém se importou em notar a importância destes cálculos.

“O tempo e o espaço são modos pelos quais pensamos e não condições nas quais vivemos.”

Albert Eisntein8

Exercícios Resolvidos (Exemplos)

Exemplo (3.1)

Dois vetores cujos módulos são de 6 e 9 unidades de comprimento, formam um ângulo de (a) , (b) , (c) , (d) e (e) . Determine o módulo da soma desses vetores e a direção do vetor resultante com relação ao vetor menor.

• Resolução Passo a Passo (A. L. Almeida):

Com o uso da figura (3.2) e a lei dos cossenos (equação 3.3) podemos obter o módulo do vetor resultante, da soma dos vetores, para cada um dos ítens da questão e igual aos valores definidos em cada item.

Da figura (3.2), tomamos e .

A direção do vetor resultante com o menor vetor é obtida com a lei dos senos, equação (3.10).

Letra (a):

No item (a)de forma que a equação (3.3)

pode ser posta na forma:

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